P2

I - Polygone quelconqueII - Triangle

III - Quadrilatère

Polygones

Niveau 6e

H. TOURNEUR

9 décembre 2019

H. TOURNEUR Polygones

P2

I - Polygone quelconqueII - Triangle

III - Quadrilatère

En bref

1 Polygones quelconques : vocabulaire et notations ;

2 Triangles quelconques, isocèles et équilatéraux ;

3 Quadrilatères quelconques et losanges.

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I - Polygone quelconqueII - Triangle

III - Quadrilatère

Sommaire

I. Polygone quelconque

II. TriangleTriangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral

III. QuadrilatèreQuadrilatère quelconqueLosange

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I - Polygone quelconqueII - Triangle

III - Quadrilatère

Plan

I. Polygone quelconque

II. Triangle

III. Quadrilatère

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III - Quadrilatère

Exemple

A

B

C

D

E

Nom :polygone ABCDE

Côtés :[AB], [BC ], [CD], [DE ], [EA]

Sommets :A,B,C ,D,E

Dé�nition

Un polygone est une �gure géométrique

plane,

fermée,

dont le bord est constitué de segments.

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III - Quadrilatère

Dé�nition

Un côté d'un polygone est l'un des segments du bord.

Dé�nition

Un sommet d'un polygone est l'une des extrémités d'un côté.

Remarques

Un polygone comporte toujours autant de côtés que desommets.

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Vocabulaire

Des sommets consécutifs sont des sommets voisins.

Exemple

Dans le polygone précédent, les sommets B et C sont consécutifs,tandis que les sommets B et E ne le sont pas.

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Nommer un polygone

On cite tous ses sommets dans l'ordre en suivant le bord.

Pour un même polygone, il existe ainsi plusieurs noms.

Exemple

Tous les noms du polygone précédent sont :ABCDE

BCDEA

CDEAB

DEABC

EABCD

↪→ Sens des aiguilles d'une

montre

AEDCB

EDCBA

DCBAE

CBAED

BAEDC

↪→ Sens inverse des aiguilles

d'une montre

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III - Quadrilatère

Dé�nition

Une diagonale d'un polygone est un segment qui joint deuxsommets non consécutifs.

Exemple

A

B

C

D

E

Toutes les diagonales dupolygones ABCDE sont :[AC ] ; [AD] ;[BD] ; [BE ] ;[CE ]

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III - Quadrilatère

Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral

Plan

I. Polygone quelconque

II. TriangleTriangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral

III. Quadrilatère

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I - Polygone quelconqueII - Triangle

III - Quadrilatère

Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral

Dé�nition

Un triangle est un polygone ayant trois côtés.

Remarques

Lorsqu'on désigne un triangle, l'ordre des sommets n'a aucuneimportance.

Un triangle ne comporte pas de diagonale.

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III - Quadrilatère

Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral

Dé�nition

Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés demême longueur.

Exemple

B

A

C

� Le triangle ABC estisocèle en B � signi�e� BA = BC �

Le point B est le sommetprincipal.

Le segment [AC ] est labase.

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III - Quadrilatère

Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral

Triangle isocèle

Dé�nition

Dans un triangle isocèle, le sommet principal est le sommetcommun aux deux côtés de même longueur.

Dé�nition

Dans un triangle isocèle, la base est le côté opposé au sommetprincipal.

Remarque

On dira indi�éremment :

� le triangle ABC est isocèle en B �,

� le triangle ABC est isocèle de sommet principal B �.

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III - Quadrilatère

Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral

Triangle équilatéral

Dé�nition

Un triangle équilatéral est un triangle ayant ses côtés de mêmelongueur.

Exemple

A

B

C

� Le triangle ABC est équi-latéral � signi�e� AB = BC = CA �.

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Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral

Triangle équilatéral

Propriété

Si un triangle est équilatéral,alors il est isocèle en chacun de ses sommets.

↪→ vers la démonstration 27 (en annexe)

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Quadrilatère quelconqueLosange

Plan

I. Polygone quelconque

II. Triangle

III. QuadrilatèreQuadrilatère quelconqueLosange

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III - Quadrilatère

Quadrilatère quelconqueLosange

Quadrilatère quelconque

Dé�nition

Un quadrilatère est un polygone ayant quatre côtés.

Exemple

I

J K

L

On sait que IJKL est unpolygone a quatre côtés.Or d'après la dé�nition d'unquadrilatère,Donc le polygone IJKL estun quadrilatère.

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III - Quadrilatère

Quadrilatère quelconqueLosange

Quadrilatère quelconque

Vocabulaire

Deux côtés d'un quadrilatère sont adjacents lorsqu'ils sont

consécutifs (voisins).

Deux côtés d'un quadrilatère sont opposés lorsqu'ils sont nonconsécutifs.

Exemple

Dans l'exemple précédent du quadrilatère IJKL :

les côtés [IJ] et [JK ] sont adjacents ;

les côtés [IJ] et [LK ] sont opposés ;

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III - Quadrilatère

Quadrilatère quelconqueLosange

Losange

Dé�nition

Un losange est un quadrilatère ayant ses côtés de même longueur.

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III - Quadrilatère

Quadrilatère quelconqueLosange

Losange

Approche du tracé 1/3

On veut tracer le losange ABCD de côté 4 cm.

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Quadrilatère quelconqueLosange

Losange

Approche du tracé 2/3

A

B

(C)

D

(C1)

(C2)

C

1 Cercle (C) de centreA et de rayon 4 cm.

2 Placer B et D sur(C).

3 Tracer [AB] et [AD].

4 Cercle (C1) de centreD et de rayon 4 cm.

5 Cercle (C2) de centreB et de rayon 4 cm.

6 (C1) et (C2) secoupent en A (déjàplacé) et C .

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Quadrilatère quelconqueLosange

Losange

Approche du tracé 3/3

A

B

(C)

D

(C1)

(C2)

C

Selon la position despoints B et D sur lecercle (C), il est pos-sible de tracer plusieurslosanges.Pour n'avoir qu'un seullosange, il faut donc,en plus de la lon-gueur d'un côté, impo-ser également la lon-gueur d'une des diago-nales du losange.

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Quadrilatère quelconqueLosange

Losange

Exemple 1/2

On veut tracer un losange ABCD de côté 4 cmet dont la diagonale [BD] mesure BD = 3 cm.

Indice

Commencer par tracer la diagonale, puis deux arcs de cercles.

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III - Quadrilatère

Quadrilatère quelconqueLosange

Losange

Exemple 2/2

B

D

3 cm

(C2)

(C1)

A

C

4 cm

1 Tracer le segment[BD].

2 Tracer le cercle (C1)de centre D et derayon 4 cm.

3 Tracer le cercle (C2)de centre B et derayon 4 cm.

4 (C1) et (C2) secoupent en A et C .

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Début des annexes

↪→ vers la diapositive 2 (sommaire principal)

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Plan

I. Supplément

II. Exercices

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Supplément

Propriété

Si un triangle est équilatéral,alors il est isocèle en chacun de ses sommets.

DémonstrationOn considère un triangle équilatéral ABC .On veut démontrer qu'il est simultanément

isocèle en A,

isocèle en B ,

isocèle en C .

↪→ Montrons simplement qu'il est isocèle en B.

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Supplément

Démonstration (suite)

Etape 1On sait que ABC est équilatéralOr un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur,Donc AB = BC

↪→ De la double égalité AB = BC = CA,

on n'utilise ici que la première égalité.

Etape 2On sait que ABC est un triangle tel que AB = BC

Or un triangle isocèle possède au moins deux côtés de mêmelongueur,Donc ABC est un triangle isocèle.

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Supplément

Démonstration (suite)

Etape 3On sait que

ABC est un triangle isocèle avec AB = BC

↪→ D'après l'étape 1.

B ∈ [AB] et B ∈ [BC ]↪→ Evident d'après les notations.

Or le sommet principal d'un triangle isocèle est le sommet communaux deux côtés de même longueur,Donc B est le sommet principal du triangle isocèle ABC .

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Supplément

Démonstration (�n)

Conclusion

L'étape 3 a permis de conclureque le triangle équilatéral ABC est isocèle en B .

Pareillement, on démontreraitqu'il est également isocèle en A, puis en C .

Ainsi le triangle équilatéral ABCest bien isocèle en chacun de ses sommets.

↪→ retour 17

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Plan

I. Supplément

II. Exercices

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Tracés de polygones

Tracer en les codant les �gures suivantes :

1 ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm.

2 EFG est un triangle isocèle de sommet principal Gtel que EG = 5,2 cm et EF = 6 cm.

3 KLM est un triangle tel que KL = 3 cm, ML = 4,4 cmet KM = 5,5 cm.

4 ABCD est un quadrilatère tel que

AB = 3,5 cm

BC = 5 cm

CD = 7 cm

DA = 2,8 cm

AC = DC

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Fin des annexes

↪→ vers la diapositive 2 (sommaire principal)

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