Mouvement non uniforme d’un satellite

Un satellite artificiel tourne autour de la terre selon une trajectoire elliptique.

Si la trajectoire n’est pas circulaire, le mouvement n’est pas uniforme mais suit la « loi des aires ».L’activité sera de simuler ce mouvement sur le logiciel géogébra.

Mouvement d’un satellite : Le problème

La loi des aires:Si M et P sont les positions du satellite à l’instant t et t+Dt, l’aire de la surface balayée par le rayon de FM à FP (F est un des foyers de l’ellipse) est constante.Les aires des surfaces roses doivent être égales

Mouvement d’un satellite : Le problème

Pour faire la simulation d’un point M parcourant l’ellipse, il faut donc déterminer n positions de M sur l’ellipse telles que la lois des aires soit vérifiée.

Il suffira alors de faire avancer M sur ces positions successives à intervalles de temps égaux.

Pour faire la simulation d’un point M parcourant l’ellipse, il faut donc déterminer n positions de M sur l’ellipse telles que la lois des aires soit vérifiée.

Il suffira alors de faire avancer M sur ces positions successives à intervalles de temps égaux.

Le problème est: comment déterminer ces n points?

Mouvement d’un satellite : Analyse du problème

Quelques rappels à propos de l’ellipse

Intégrale elliptique qui ne s’exprime pas avec des fonctions usuelles.

L’aire S de l’ellipse complète est égale à pab

p est le paramètre de l’ellipsea est le demi grand axeb est le demi petit axe e est l’excentricité ( 0 e < 1 )c est la distance entre centre et foyer

Mouvement d’un satellite : Analyse du problème

Il faut trouver les n positions (r(qt); qt) telles que f(qt)= t*S/navec f(qt) = aire surface rouge.

Il faut donc trouver n points sur la courbe de f dont les ordonnées sont t*S/n. Les abscisses de ces points seront les qt cherchés.

Mouvement d’un satellite : Méthode

La fonction f est solution de l’équation différentielle: Y’(q)=0.5 r(q)² et Y(0)=0

On applique la méthode d’Euler pour résoudre cette équation:Le premier point de l’approximation de la courbe est (0,0) : q0 = 0.

Posons : le (t+1)ième point de l’approximation est (qt , t*S/n) L’ordonnée du point suivant est (t+1)*S/n [ car Ds = S/n]

On a:

L’abscisse point suivant est donc qt+1 = g(t+1)(0) avec g(x) = x + 2S/[n*r(x)²]

La suite des n angles est:{0, g(0),g(g(0)),g(3)(0), … g(n-1)(0)}

Mouvement d’un satellite : Méthode

Réalisation pour n= 50

Mouvement d’un satellite : Méthode

Réalisation pour n= 500

Mouvement d’un satellite : Méthode

Réalisation pour n= 1000

Mouvement d’un satellite

Réalisation sur Géogébra

Mouvement d’un satellite : Réalisation sur géogébra

I – Création de l’ellipse

1. Créer le point A n’importe où dans le plan (ce sera le centre de l’ellipse) bouton :

2. Créer les curseurs a (entre 0 et 10) et e (entre 0 et 1) bouton: Réglages: a = 2 et e = 0.8 a sera le demi grand axe, et e l’excentricité

4. Créer les foyers F et F’ et le point I de l’ellipse: Taper dans la barre de saisie (en bas) : F=A+(c,0) F’=A-(c,0) I=A+(a,0) (et valider)

5. Créer l’ellipse (avec le bouton ellipse, cliquer sur F, F’ et I) bouton :

3. Créer les autres paramètres p, c et b de l’ellipse: Taper dans la barre de saisie (en bas) : p=a*(1-e²) , c=a*e et b=a*sqrt(1-e²)

Mouvement d’un satellite : Réalisation sur géogébra

II – Création de l’animation

1. Créer le paramètre n (nb de points) comme un curseur (entre 40 et 1000), régler sur 500.

On se rappelle: qt = g(t)(0) g(x) = x + 2S/[n*r(x)²] r(x)= p/(1+ecos(x))

3. Créer les fonctions r et g:taper dans la barre de saisie: r(x)=p/(1+e*cos(x)) puis g(x)=x+2*S/(n*r(x)^2)

(les courbes de ces fonctions s’affichent: clic droit sur les courbes, décocher « afficher objet »)

2. Créer la variable S (S=p*a*b)

5. Créer la liste des n points sur l’ellipse F+(r(qk);qk):taper dans la barre de saisie:

points = Séquence[F + (r(Itération[g, 0, k]); Itération[g, 0, k]), k, 0, n - 1] la commande « séquence » créer une liste; la variable muette k varie de 0 à n-1 « Itération[g, 0, k] » calcule g(k)(0) qui est qk .« F + (r(Itération[g, 0, k]); Itération[g, 0, k]) » point de l’ellipse correspondant à la kième position.

4. Créer les paramètres pour l’animation:Créer une variable temps: curseur u variant de 0 à 10 000 par pas de 1Créer une variable position: t = u – floor(u/n)*n

(floor est la partie entière: t est le reste dans la division euclidienne de u par n)

Mouvement d’un satellite : Réalisation sur géogébra

II – Création de l’animation

6. Créer le satellite = tième point de la liste « points »:taper dans la barre de saisie: M= Elément[points, t + 1]

7. Réglage de l’animation:clic droit sur le curseur u: propriété/curseur; régler la vitesse à 0.05 et croissant

clic droit sur le curseur u: animer…

Votre satellite tourne en suivantapproximativement la loi des aires…