Mouvement plan (2d)d'un projectile dans le champ de

pesanteur uniforme

Plan

● Dans le manuel

● Bases de l'étude

● Démonstration logicielle, observation.

Etude mécanique

● L'équation différentielle vectorielle

● Le système d'équations différentielles

● Les solutions : un système paramétrique

● L'équation de la trajectoire

Dans le manuel

● Chapitre 13 page 235

● Essentiel page 241

● Exercices 1,2,3, 11,13 p245, 248

g�

g�

Bases de l’étude

Le système, son environement

● L’accélération de la pesanteur est uniforme, on travaille près de la surface terrestre.

● Le vecteur définit la verticale (Le signe de sa coordonnée dépend du choix du vecteur unitaire vertical).

● Pas de frottements, pas de poussée d’Archimède, seule force : le poids.

● Le système, l’objet en mouvement est donc petit et dense : une bille, une balle lourde.

g�

g�

Référentiel

● Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre, il est galiléen, les lois de Newton s’appliquent.

g�

Comparaison avec les

chutes freinées.

● Deux dimensions au lieu d’une.

● En l’absence de frottement, la vitesse initiale; la position de départ déterminent toute la suite.

Simulation

Observation de la

simulation

● Il faut viser : La position initiale X0et

Y0, de vitesse V

0(VX0, VY0)

déterminent fortement la trajectoire

● L'absence de frottements fait que le système n'oublie pas les conditions initiales.

● On peut prévoir la trajectoire avec des calculs de TS.

Etude mécanique

Force

● Bilan des forces : le poids de l’objet

Vertical(e)

Vers le bas

Norme

Ecriture vectorielle

P�

P mg=�

______P j=� �

Deuxième loi de Newton

● Rappel

● Quand l’appliquer?

orces appliquées

dm F

dt⋅ =∑

V�

�

Repère et coordonnées

● Repère de projection : 2 vecteurs unitaires

vers le haut , vers la droite

● La vitesse a deux coordonnées

● Le poids aussi

x

y

VV

V

�

i�

j�

0P

mg

−

�

Newton 2 : équation

vectorielle

d P

dt m=V� �

Le système différentiel

● Projection dans le repère

0.

.

x

y

dVm i i

dtdV

m j mg jdt

= = −

��

��

),( ji�

−=

=

.

0

mgdt

dVm

dt

dVm

y

x

Les coordonnées de la vitesse

● Les solutions sont : constante sur x etaffine sur y

=+−====

)0(.)(

)0(

tVtgtV

tVcteV

yy

xx

−=

=

.

0

gdt

dVdt

dV

y

x

Etape suivante

● Pour passer de la vitesse à la position, on fait l’opération inverse de la dérivation.

( 0)

. ( 0)

x

y

dxV t constante

dtdy

g t V tdt

= = = − + =

Les solutions en x(t),y(t)

● Les expressions de x(t) et y(t) sont appelées lois horaires, au sens de fonctions du temps.

=+=+−=

+==+==

)0().0(2

²)(

.)0().0()( 00

tyttVt

gty

xtVtxttVtx

y

x

Les solutions en x(t),y(t)

● L’abscisse x(t) est affine

● L’ordonnée est du second degré

=+−=

==

)0(.

)0(

tVtgdt

dy

tVdt

dx

y

x

++−=

+=

00

00

.2

²)(

.)(

ytVt

gty

xtVtx

y

x

La trajectoire

● La trajectoire a pour équation la fonction y=f(x)

● Cette fonction ne contient plus la variable t.

● On passe d’un système paramétrique à une unique équation du second degré avec le terme en x² négatif.

L’équation de la trajectoire

● La méthode est la substitution.

0

2

0 00 0

( ), .

( ) ( )( ) .

2

x

yx x

x tt on exprime t on remplace

V

g x t x ty t V y

V V

=

= − + +

Sommet de la trajectoire

● Le sommet de la trajectoire est le point où la vitesse Vy s’annulle.

00 . y

Vx cste

dyg t V

dt

= = = − +

0y

Vx cste

Vt

g

= =

0

2

0 00 0

( )

( ) .2

x

y yy

x tt

V

V Vgy sommet V y

g g

=

= − + +

Expression différente

Angle avec l'horizontale

0

0

2

00

( )

( )( ) ( ). ( )

2

y

x

x

Vtg

V

g x ty t tg x t y

V

θ

θ

=

= − + +

θ0xV

0yV