4.4 le mouvement circulaire uniforme

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4.4 Le mouvement circulaire uniforme

Le mouvement circulaire uniforme (m.c.u.) constitue le plus simple des mouvements en deux dimensions.

Avez-vous des exemples ?

Le mouvement des satellites, de la Lune , de Terre, une voiture qui garde sa vitesse constante dans une courbe, rotation d’un objet au bout d’une corde dans un plan horizontal, etc.

Nous analyserons ce type de mouvement afin d’en déterminer les caractéristiques importantes et de trouver les équations qui permettent d’obtenir les variables du mouvement.

Nous pourrons ainsi faire des prédictions reliées à ce genre de mouvement.

2


Considérons le mouvement de la Lune autour de la Terre.

TL

Quelles sont les variables qui interviennent dans l’analyse de ce mouvement?

Position, déplacement, vitesse, accélération, temps, distance parcourue.

Comment expliquait-on ce genre de mouvement avant Newton?

3


TL

Comment expliquait-on ce genre de mouvement avant Newton?

Avant Newton, on avait pas besoin d’explication, parce que le mouvement circulaire était un mouvement naturel et parfait qui n’avait pas besoin d’explication.

Comme tous les objets célestes, c’était dans leur nature de tourner en rond à vitesse constante, c’était un mouvement parfait sans explication.

Depuis Newton, on sait que la Lune est soumise à une force puisqu’elle ne se déplace pas en ligne droite à vitesse constante.

4


TL

La Lune subit une force centripète dirigée vers le centre de la trajectoire. Autrement elle se déplacerait en ligne droite.

C’est la force gravitationnelle qui joue le rôle de force centripète. Nous y reviendrons dans le chapitre 6.

On peut donc dire que la Lune subit une accélération centripète dirigée vers le centre c’est donc une accélération radiale ar .

v

r

La grandeur de cette accélération est donnée par :

22

m/s r

var

5


TL

Quelle démarche pouvons-nous prendre pour déterminer cette accélération?

En utilisant la géométrie, nous pouvons construire un hodographe comme nous verrons au laboratoire et utiliser la définition

La question qu’il faut maintenant se poser est:

v

vv

TL

r1 v1

t

v

ta

ta moy

0

lim

0

lim

D’où vient cette équation?

6


T

Construction d’un hodographe (construction géométrique) et utilisation de a définition.

v1V2

V

pôle

Vecteur vitesse

V1

T

L

r1

r2

V2

v1

V

v

t

v

ta

ta moy

0

lim

0

lim

r1

r2

r

1

2

hodographe

7


T

L

r1

r2

V2

v1

Nous avons des triangles isocèles et semblables ( même angle )

On peut écrire

V est dirigé vers le centre donc radial

v

v

r

r

v1V2

V

pôle

Construction géométrique

r2

r1

rVecteurs position et déplacement

8


T

L

r1

r2

V2

v1v1V2

V

pôle

r2

r1

r

v

v

r

r

r

r

vv

)( tv

r

vv

tr

vv

2donc

Puisque tvr

r1

r2

tvr

Construction géométrique

9


T

L

r1

r2

V2

v1

v1V2

V

pôle

tr

vv

2

)(lim 0 t

va t

)( tv

r

vv

r

r

vv

Celle de l’accélération instantanée est

Comparaisons des triangles

Par définition, l’accélération moyenne est donnée par

)(t

vamoy

r

v

t

v 2

=

tr

tvv

t

0

lim

r

v2

10


T

L

r1

r2

V2

v1

v1V2

V

pôle

t

r

vv

2

Par conséquent

)(lim 0 t

va t

r

v2

Le module de l’accélération radiale ou centripète sera donnée par

T

L

r1

r2

V2

v1

)(t

vamoy

r

v2

r

var

2

tr

tvv

t

0

lim

11


T

L

r1

r2

V2

v1

r

var

2

Le module de l’accélération radiale ou centripète sera donné par

ar

Les variables du mouvement circulaire uniforme ( m.c.u. ) seront donc

Vecteur position r

Vecteur vitesse v

Vecteur accélération ar

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T

L r

V

Vecteur position r

Vecteur vitesse v

Vecteur accélération ar

ut

ur

Pour le mouvement circulaire, on utilise deux nouveaux vecteurs unitaires utiles pour spécifier les orientations

Notation vectorielle des résultats

utpour l’orientation du vecteur vitesse (tangentielle)

urpour l’orientation des vecteurs position et accélération( radiale)

a

13


T

L r

V

ut

ur

utpour l’orientation du vecteur vitesse

urpour l’orientation des vecteurs

position et accélération

aVecteur position rurr

Vecteur vitesse tuvv

Vecteur accélération

rur

va

2

14


L a période T est une autre variable caractéristique d’ m.c.u. Elle correspond au temps que met l’objet pour faire un tour.

Elle est définie de la façon suivante :

s 2

v

rT

s vitesse

nceCirconféreT

On détermine parfois l’accélération centripète ou radiale à partir de la période T de la façon suivante:

2

2

222

m/s 41

T

r2

T

r

rr

var

pratique

TL

v

15


Les variables qui permettent de décrire le mouvement circulaire uniforme sont donc, la position, la vitesse, l’accélération et le temps.

Exemple :

a) À quelle vitesse la Lune se déplace-t-elle sur son orbite, compte tenu que sa période est de 27,3 jours et que le rayon de son orbite est de 3,84x108 m?

J’illustre la situation

TL

v

r

Problème: Je cherche v= ???

Je connais r et T

Solution possible :

J’utilisem/s

2

T

rv

16


Situation

TL

v

r

Problème: Je cherche v= ???

Je connais r et T

Solution possible :J’utilise

m/s 2

T

rv

On obtient

m/s 6060243,27

1084,32 8

v

m/s 10023,1 3v km/h 1068,3 3v

Résultat probable : J’obtiens m/s u 1002,1 3tv

pour la vitesse de la Lune sur son orbite.

17


Situation

TL

v

r

Problème:Je cherche ar = ???

Je connais r et v

Solution possible :

J’utilise

22

m/s r

var

b) Déterminer son accélération radiale

Avec m/s 10023,1 3vm 1084,3 8r

et

On obtient

23-

8

23

m/s 102,721084,3

)10023,1( ra

18


Situation

TL

v

rRésultat probable:

b) Déterminer son accélération radiale

J’obtiens2

r

-3 m/s u102,72 ra

On remarque que cette valeur est très faible comparée à 9,81 m/s2

Pour l’accélération radiale subit par la Lune sur son orbite.

19


rur

va

2

Résumé : Que devez-vous retenir?

Accélération centripète

Vitesse dont la grandeur est constante

Accélération dirigée vers le centre

2

24

T

ra

Explication: Satellite, Lune ,voiture dans une courbe

Force responsable

Hodographe

Démontrer

Hyper-physics

Circular motion

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

4.4 le mouvement circulaire uniforme

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