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Méthodes Mathématiques pour
l’Ingénieurl’Ingénieur
Suite de la boite à outils …
en 5 séances de cours
+ 5 séances de TD
1
Sommaire
• Vecteurs et valeurs propres des matrices
• Applications aux systèmes d’équations
différentielles
• Intégrales curvilignes et multiples• Intégrales curvilignes et multiples
2
Objectifs – Auto-évaluation
A la fin de la matière, l’étudiant doit pouvoir :
• calculer les valeurs et vecteurs propres d’une
matrice de dimension 2 ou 3.
• appliquer la décomposition en éléments • appliquer la décomposition en éléments
propres à la résolution d’un système
d’équations différentielles
• calculer des intégrales curvilignes, de surface,
de volume avec changement de variables
3
Vecteurs et valeurs
propres des matrices
4
IntroductionDeux grandes classes de problèmes en algèbre linéaire :
• Résoudre un système linéaire d’équations
Déjà vu en STE3
bAX =• Trouver les éléments propres d’une matrices
X: vecteur propre
λ: valeur propre
L’objectif de ce cours
5
λXAX =
Pourquoi faire ?
• La détermination des éléments propres d’une matrice
carrée a de multiples applications: résonnance,
traitement d’image, géométrie, recherche sur le web,
balançoire, vibration, marché financier, résolution de balançoire, vibration, marché financier, résolution de
certaines équations aux dérivées partielles (équation de
la chaleur), des systèmes d’équations différentielles
ordinaires (EDO), …
• Voici un exemple concret à partir du système d’EDO
suivant …
6
Exemple introductif
• Système différentiel de taille 2:
• Les inconnues sont les fonctions
v(t) et w(t)
−=
−=
wvdt
dw
wvdt
dv
S32
54)(
• Il s’agit d’un problème aux conditions initiales tel que souvent rencontré en pratique (ex: modèle de type proie-prédateur)
• Ici on prendra v(0)=8 et w(0)=5 et le but du jeu est de trouver v(t) et w(t) pour t>0
7
Exemple introductif
• Ce système peut facilement être écrit sous forme matricielle. On pose pour cela:
−−
=
=
32
54A
w(t)
v(t)U(t)
• Le système différentiel (S) est alors équivalent à:
• C’est une équation linéaire du premier ordre pour la nouvelle inconnue U(t)
8
==
5
8U(0) avec AU,
dtdU
Exemple introductif• On sait résoudre cette équation sans problème dans le cas
scalaire (U(t)=u(t) est une fonction réelle et plus un vecteur:
• La solution est alors connue:
0)0( avec , uuaudt
du ==
[ ] tatat etueutueutu αβ )cos()0()0(Re)( :faiten ,)0()( ===• Le comportement pour les grandes valeurs de t dépend de la
valeur du paramètre (éventuellement complexe) a=α+iβ:
– α > 0: solution instable
– α < 0: solution amortie qui tend vers zéro
– β ≠ 0: solution oscillante amortie, instable ou à amplitude constante
9
[ ] tatat etueutueutu αβ )cos()0()0(Re)( :faiten ,)0()( ===
Exemple introductif• Retour au cas du système: on cherche une solution avec une
dépendance exponentielle:
• En injectant dans (S) on obtient:
==
t
t
zetw
yetvλ
λ
)(
)(forme la sous cherchée (S) desolution
• Qui se simplifie en
10
−=−=
zeyeze
zeyeyettt
ttt
λλλ
λλλ
λλ
32
54
==
=−=−
z
yXλXAX avec ematriciellnotation en ou
32
54
zzy
yzy
λλ
Exemple introductif• On obtient donc le problème aux valeurs propres suivant:
• Si l’on sait résoudre ce problème d’algèbre linéaire, c’est-à-
dire déterminer la ou les valeurs propres λ et les vecteurs
λXAX =
dire déterminer la ou les valeurs propres λ et les vecteurs
propres associés , alors on connait la solution du
système différentiel (S):
11
[ ]tzyX =
==
t
t
zetw
yetvλ
λ
)(
)(
Résolution de AX=λX• On remarque tout d’abord que:
• On se ramène à un problème de résolution de système linéaire du type :
( ) 0 :également écrires'peut =−= XλIAλXAX
linéaire du type :
• Mais b=0, X=0 est toujours solution !! Fin de l’histoire ?
• NON bien sûr ! On cherche une solution X non nulle
(pour qu’elle puisse avoir une utilité pour la résolution du système (S) …)
12
et : avec 0bλIAMbMX =−==
Résolution de AX=λX• Rappel du cours sur les systèmes linéaires:
singulièreest quedit on , cas le Dans
: si solutions de infinité uneou 0 -
:si uniquesolution 1 -
:admet carrée matrice avec
M0det(M)
0det(M)
0det(M)
MbMX
==
≠=
• Conséquence pour le problème aux valeurs propres:
13
( )
( ) 0λIAdet
Aλ
λIAM0X
XλIA0X
=−
−=≠=−=
:équationl'
résolvant en de propres valeursles chercheon dit Autrement
singulièreest où cas le dans place seon , solutions des
chercheon l' queet 0 desolution rsest toujou Puisque
Retour sur l’exemple• Avec la matrice A de l’exemple on a:
• Le déterminant de cette matrice de taille 2 se calcule
simplement:
−−−−
=
−
−−
=−λ
λλλ
32
54
10
01
32
54IA
simplement:
• C’est un polynôme d’ordre 2 (= taille de la matrice de départ).
On l’appelle polynôme caractéristique de A
• Ses racines annulent le déterminant de A-λλλλI; ce sont donc les
valeurs propres de A
14
( ) ( )( ) 2)2)(5(34 2 −−=−−−−−=− λλλλλIAdet
Retour sur l’exemple• Le polynôme caractéristique de A est d’ordre 2; il admet -1 et
+2 comme racine
• A admet donc 2 valeurs propres que l’on notera :
2et 1 21 =−= λλ
• Le cours sur les systèmes linéaires indique que pour les choix
λ=λ1 ou λ=λ2 (et uniquement pour ces choix), l’équation
AX=λX admet des solutions X non nulles
15
2et 1 21 =−= λλ
Retour sur l’exemple• Calcul du vecteur propre X1 associé à λ1: ses composantes
(y1, z1) vérifient le système d’équations:
( )( )
132
154
111
111
−=−−=−
zzy
yzy
• Les deux lignes de ce système sont en fait identiques et
équivalentes à :
• Par conséquent, tout vecteur non nul proportionnel à [1,1]t
est vecteur propre de A associé à λ1=-1.
16
1par notamment vérifiée,0 1111 ===− zyzy
Retour sur l’exemple• Calcul du vecteur propre X2 associé à λ2: ses composantes
(y2, z2) vérifient le système d’équations:
( )( )
232
254
222
222
+=−+=−
zzy
yzy
• Les deux lignes de ce système sont en fait identiques et
équivalentes à :
• Par conséquent, tout vecteur non nul proportionnel à [5,2]t
est vecteur propre de A associé à λ2=+2.
17
2et 5par notamment vérifiée,052 2222 ===− zyzy
Résolution de AX=λX
• Elle se fait en 3 étapes systématiques:
1. Calcul du déterminant de A-λλλλI
2. Détermination des racines du polynôme caractéristique 2. Détermination des racines du polynôme caractéristique
obtenu en écrivant : det(A-λλλλI)=0
3. Pour chaque racine (chaque valeur propre), résoudre le
système linéaire AX=λλλλX afin de déterminer le ou les
vecteurs propres associés.
18
Re-Retour sur l’exemple• Deux solutions ont été obtenues pour le problème AX=λλλλX:
• Cela correspond à deux solutions pour le système différentiel
(S):
+=
−=
2
5 à nelproportion avec 2et
1
1 à nelproportion avec 1 XX λλ
(S):
• Comme le système différentiel (S) est linéaire, toute
combinaison linéaire de ces deux solutions est
potentiellement solution. La solution générale est alors:
19
=
=
2
5e et U(t)
1
1e U(t) 2tt-
+
=
2
5eC
1
1eC U(t) 2t
2t-
1
Re-Retour sur l’exemple• Les constantes C1 et C2 sont à déterminer en utilisant les
conditions initiales:
• Cela revient à résoudre le système linéaire suivant
==
+
==
5
8)0(
2
5C
1
1C 0)U(t 21 U
• Cela revient à résoudre le système linéaire suivant
• La solution recherchée pour le système différentiel (S) est
finalement:
20
=
=
1
3
C
Cest solution ladont
5
8
C
C
21
51
2
1
2
1
+=+=
−−
+
=
2tt-
2t-t2tt-
2e 3e)(
5e 3e)( :direàestc'
2
5e
1
13e U(t)
tw
tv
Eléments propres de quelques
matrices simples
• Matrice diagonale:
==
==
=
2
0;2
0
1;3
20
032211 XXA λλ
• Matrice de Projection
• Matrice de rotation
21
−==
==
=
1
1;0
1
1;1
2/12/1
2/12/12211 XXA λλ
réelnon ;2
3réelnon ;
2
3
2/32/1
2/12/32211 XXA
ii +=−=
−= λλ
Eléments propres de quelques
matrices simples
• Matrice défective:
!!1
1;1
1
1;1
01
1212211 XXXA =
==
==
−= λλ
• Valeur propre double
• Matrice non normale
22
==
+==
+−
=−=
−=1
0
0
;1
0
1
12
;1
0
12
1
;1
100
02/22/2
02/22/2
332211 XXXA λλλ
0:que remarqueOn
2
2;21
2
2;21
11
21
21
2211
≠⋅
−=−=
=+=
=
XX
XXA λλ
Quelques observations
• Le nombre de valeurs propres (éventuellement complexes) est
TOUJOURS égal à la taille de la matrice
• Le nombre de vecteurs propres réels PEUT être inférieur à la
taille de la matrice qui est alors dite défective
• Une matrice ne peut être défective que si elle admet une • Une matrice ne peut être défective que si elle admet une
valeur propre multiple. Autrement dit, deux valeurs propres
distinctes admettent des vecteurs propres distincts
• La somme des valeurs propres d’une matrice est égale à la
trace de cette matrice
• Le produit des valeurs propres d’une matrice est égal au
déterminant de cette matrice
23
Diagonalisation des matrices
• Si A est une matrice de taille n qui admet n vecteurs propres
distincts (linéairement indépendants), alors on dit que A est
diagonalisable. Si on note S la matrice dont les colonnes sont
les n vecteurs propres de A, alors on montre facilement:
• Dans ces trois égalité équivalentes, Λ Λ Λ Λ est une matrice
diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs
propres de A:
24
1−− Λ=== SSA;ASSΛ;SΛAS 1
=
=
MMMM
MMMM
K
MMMM
O
n
n
XXXSΛ
1 22
1
λ
λλ
Au sujet du terme « diagonalisable »
• Si A et B sont deux matrices carrées de même taille et qu’il
existe une matrice S inversible telle que
alors on dit que A et B sont semblables.
11 SBSA;ASSB;SBAS −− ===
alors on dit que A et B sont semblables.
• A est donc diagonalisable si elle est semblable à une matrice
diagonale.
25
Variables caractéristiques• Si la matrice A est diagonalisable:
• Le système différentiel initial peut s’écrire:
diagonale matrice avec 1 ΛΛ= −SSA
USdtdU
SUSSAUdtdU 111 −−− === Λ :soit Λ
• On introduit alors les variables caractéristiques:
qui permettent d’écrire le système sous la forme:
• On notera dans la suite:
26
USdt
SUSSAUdt
=== Λ :soit Λ
USW 1−=
Wdt
dWΛ=
=
2
1
W
WW
Re-Re-Retour sur l’exemple• Ecrit à partir des variables caractéristiques, le système
différentiel est découplé:
==
−==⇔=
2222
1111
2WWdW
WWdt
dW
λ
λΛW
dtdW
• Les variables caractéristiques évoluent de manière
indépendante l’une de l’autre
27
== 222 2WWdt
λ
== −
t
t
eWtW
eWtW2
22
11
)0()(
)0()(
Re-Re-Retour sur l’exemple• Les conditions initiales pour les variables caractéristiques
s’obtiennent simplement:
=
−
=
−
=
−−
=
==
−−−
38521)0(521)0(où d'
11
52
3
1
21
51 avec
1
1
vW
11 SUSW
• Les variables caractéristiques sont finalement égales à
28
== −
t
t
etW
etW2
2
1
)(
3)(
=
−−
=
−−
=
1
3
5
8
11
52
3
1
)0(
)0(
11
52
3
1)0(
)0(où d'
2
1
w
v
W
W
Re-Re-Retour sur l’exemple• Connaissant les variables caractéristiques, on peut retrouver
les variables primitives v(t) et w(t):
=
−−
=⇔=−
−
t
t
e
e
tw
tv2
3
21
51
)(
)( :direàestc'
SWUUSW 1
• On retrouve évidemment la même solution que
précédemment:
29
tetw 221)(
+=+=
2tt-
2t-t
2e 3e)(
5e 3e)(
tw
tv
Base propre• Si A est une matrice diagonalisable, elle admet n vecteurs
propres linéairement indépendants. Ces vecteurs constituent
une base appelée « base propre »
• Les colonnes de la matrice S contiennent les composantes des
vecteurs propres dans la base canonique: c’est aussi par vecteurs propres dans la base canonique: c’est aussi par
définition la matrice de passage de la base canonique (base
B) à la base propre (base B’)
• Si un vecteur admet X comme composantes dans la base
canonique et X’ dans la base propre, alors:
30
SPXPX BB'BB' == ,'ATTENTION !!
Changement de base• Dans le cas d’un système différentiel, cette formule de changement de
base permet de passer des variables primitives aux variables
caractéristiques et inversement
• En géométrie Euclidienne, elle permet de déterminer les composantes
d’un même vecteur lorsque représenté dans différentes bases :
SWUUSW 1 =⇔= −
d’un même vecteur lorsque représenté dans différentes bases :
31
( )( )jiB
jiB
V
V
V
V
jViVjViVV
y
x
y
x
yxyx
rr
rr
rrrrr
, base la dans
exprimées ','' de scomposante
lest contiennen de colonnes leset
; avec
:par liéessont scomposante Les
''
'
'
''
==
=
==
+=+=
BB'
BB'
P
V'VV'PV
X’y’
X
y Vr
ir
jr
'jr
'ir
Une application géométrique …• On s’intéresse à la courbe C d’équation :
• On montre que A est diagonalisable :
12
3
4
7
4
5 22 =++ xyyx
− 31102
=
==
73
35
4
1et avec ,1:ematriciell forme Sous AXAXX t
y
x
• On remarque que S est orthogonale: SSt=StS=I (ou bien S-1=St).
C’est toujours le cas pour les matrices symétriques (At=A) ou même
simplement normales (AtA=AAt)
• La courbe C admet donc également pour équation:
32
−=
=ΛΛ= −
13
31
2
1et
10
02 avec , S1SSA
( ) ( ) 1 :encoreou ,1 =Λ=Λ XSXSXSSX tttt t
Une application géométrique …• Exprimée à l’aide des coordonnées X’=StX= S-1X, l’équation de la courbe C
devient alors plus simple:
• C’est l’équation d’une ellipse de grand axe y’ et de petit axe x’
12 :encoreou ,1'' 22 =+=Λ y'x't XX
L’analyse en valeurs propres permet
33
X’y’
X
y
θ
L’analyse en valeurs propres permet de déterminer la bonne base pour observer /décrire la courbe C. Cette base est la base propre associée à la matrice A.
La formule de changement de base permet de se placer effectivement dans cette base.
Vecteurs et valeurs propres des
matrices
Consulter les notes de cours ‘Algèbre
34
Consulter les notes de cours ‘Algèbre linéaire’ pour plus de propriétés et
définitions
Intégrales curvilignes et
multiples
35
Introduction• Intégrale de Riemann bien connue pour les fonctions numériques à
une variable y=f(x):
x
f(x)
a b
∫=
b
ax
dxxf )(
• On a étudié en STE3 les fonctions de plusieurs variables et leur différentiabilité:– Dérivée directionnelle, partielle
– Gradient,
– Différentielle
– Matrice Jacobienne et Jacobien
• Dans les sciences de l’ingénieur, il est souvent utile voire indispensable de généraliser la notion d’intégrale aux fonctions de plusieurs variables
36
xa b
Intégrales curvilignes• Le domaine d’intégration est une courbe de l’espace (une
trajectoire).
• Exemple: la quantité d’énergie dépensée par un véhicule
pour aller du point A au point B suivant un itinéraire
• Ne peut pas être représentée par une intégrale de Riemann
qui vaut nécessairement zéro lorsque A=B …qui vaut nécessairement zéro lorsque A=B …
• Doit dépendre du chemin parcouru
37
A
B
Intégrales curvilignes• On se donne une courbe C de R2 (pourrait être R3) liant les deux points A
et B
• On se donne une suite de points M0, M1, …, Mn telle que
– M0=A
– Mn=B
– toutes les longueurs MiMi+1 sont identiques: M0M1 = M1M2 = … = MiMi+1 = … = Mn-1Mn
M M
• On se donne également une fonction f de deux variables:
38
A
BM0
M1
Mi Mi+1
Mn
),( scoordonnée de egéométriqupoint leest Moù
),(),(),(:
yx
Mfyxfyxf =a
Intégrales curvilignes• On note alors Sn la somme:
• Et on définit l’intégrale curviligne de f sur le parcours C comme la limite suivante:
[ ]111
1 segment du longueur la avec )( ++=
+∑= iiii
n
iiiin MMMMMMMfS
suivante:
• Remarques:
– Similarité avec la définition de l’intégrale de Riemann (passage à la limite)
– 3 ingrédients doivent impérativement être choisis pour définir l’intégrale curviligne: la fonction f, le parcours C, l’élément différentiel dl (ici la longueur de l’élément de parcours dl)
– Si elle existe, cette intégrale est un nombre (si f est une fonction scalaire)
39
nn
C
Sdlyxf∞→
=∫ lim),(
Un exemple concret …
( ) ?:
=−= ∫→BAC
dlyxI B(3,2)
A(1,1)
0 1 2 3
1
2
0
y
x
5AB :Rq:
== ∫→BAC
dl
40
0 1 2 3x
• dl est la longueur parcourue sur le parcours C lorsque les coordonnées x et y
évoluent de dx et dy
• Le parcours C est le segment de droite [AB]. Son équation est par exemple:
22 dydxdl +=
31 avec 2
1
2≤≤+= x
xy
: →BAC
Un exemple concret …
( ) ?:
=−= ∫→BAC
dlyxI B(3,2)
A(1,1)
0 1 2 3
1
2
0
y
x
41
0 1 2 3x
• Le calcul de l’intégrale curviligne I se fait en la reformulant comme une
intégrale de Riemann classique en x
dxdxdx
dydxdydxdl
2
5
4
111
222 =+=
+=+=
[ ] ABxx
dxx
xIx
x
≠=
−
=
−−= ∫=
= 2
5
2
1
22
1
2
5
2
5
2
1
231
3
1
23
1
Intégrales curvilignes• On peut définir de manière analogue les intégrales curvilignes
suivantes (avec g une fonction vectorielle définie sur C):
un vecteurest c' : scalaireun est c' :),(
scalaireun est c' : un vecteurest c' :),(
∫ ∫
∫∫
⋅C C
CC
dgdlyxg
dfdlyxf
r
• Dans le cas où A=B, C est un contour fermé et on note
42
... un vecteurest c' :),(∫
∫ ∫
∧C
C C
dlyxgr
∫∫C
delieu au C
Intégrales curvilignes• Propriétés:
primitive de exacte elledifférenti uneest si )()(
parcoursdu point un avec
::
:::
fdfAfBfdf
CO
ABCBAC
BOCOACBAC
−=
−=
+=
∫
∫∫
∫∫∫
→→
→→→
• Calcul pratique: on se ramène à une intégrale de Riemann en
utilisant l’équation du parcours C sous une des formes
suivantes:
43
exacte elledifférenti uneest si 0
primitive de exacte elledifférenti uneest si )()(:
dfdf
fdfAfBfdf
C
BAC
=
−=
∫
∫→
[ ]BA ttttyy
txxyxxxyy ,
)(
)();();( ∈
==
==
Un exemple concret … suite
( ) ?:
=−= ∫→BAC
dlyxI B(3,2)
A(1,1)
0 1 2 3
1
2
0
y
x
5AB :Rq:
== ∫→BAC
dl
44
0 1 2 3x
• Le parcours C est le segment de droite [AB]. Son équation est par exemple:
• dl est la longueur parcourue sur le parcours C lorsque le paramètre t évolue dt
10 avec 1
12≤≤
+=+=
tty
tx
: →BAC
dtdtdt
dy
dt
dxdtdydxdl 514
2222 =+=
+
=+=
Un exemple concret … suite
( ) ?:
=−= ∫→BAC
dlyxI B(3,2)
A(1,1)
0 1 2 3
1
2
0
y
x
45
0 1 2 3x
• Le calcul de l’intégrale curviligne I se fait en la reformulant comme une
intégrale de Riemann classique en t
( ) ABt
dtttIt
t
≠=
=−−+= ∫
=
= 2
5
255112
1
0
21
0
Intégrales curvilignes• Exemples:
par t paramétrée courbe la delongueur :)(')('
et entre de graphedu longueur :)('1
22
2
)(:
∫∫
∫∫
=
=
==
+=
+=
B
B
A
tt
BA
xx
xxxyyC
dttytxdl
xxfdxxydl
46
( )
horaire-anti sens le dans parcourueet fermée supposée C dans contenue aire
)(')()(')(2
1
2
1
de long le vitessede champdu n circulatio:
)(
)(:
∫∫ ∫∫
∫
∫∫
=
=
=
==
−=−==−
⋅
B
A
A
tt
ttC CC
C
tt
tyy
txxC
dttxtytytxydxxdyydxxdy
CVdlVrr
Intégrales de surface• Le domaine d’intégration est une surface de l’espace
• Exemple: la quantité de pluie qui tombe sur le toit d’une
habitation
• La surface est orientée par son vecteur normal unitaire
• Elle peut être ouverte ou fermée
47
dSn à normal unitairevecteur :r
Élément de surface dS
Intégrales de surface• On se donne une surface S de R3
• On se donne une famille de N de portions élémentaires de S: dS0, dS1, …,
dSn telle que
– L’intersection des dSi est nulle (pas de recouvrement)
– Tout point de S appartient à un unique dSi (pas de trou)
– Les aires dAi des éléments de surface dSi sont toutes identiques: dA1 = dA2 = … = dAi = …
= dAN
dS
• On se donne également une fonction f de deux variables:
48
dS1
),,( scoordonnée de egéométriqupoint leest Moù
),(),,(),,(:
zyx
Mfzyxfzyxf =a
dS2
dS3
S
Intégrales de surface• On note alors Sn la somme:
• Et on définit l’intégrale de surface de f sur la surface S comme la limite suivante:
ii
n
iiiin dSMndAMfS surface deélément l' de centre le avec )(
1∑
=
= r
suivante:
• Remarques:
– Similarité avec la définition de l’intégrale de Riemann (passage à la limite)
– 3 ingrédients doivent impérativement être choisis pour définir l’intégrale surfacique: la fonction f, la surface orientée S, l’élément différentiel (ici l’aire de l’élément de surface fois le vecteur normal unitaire)
– Si elle existe, cette intégrale est un vecteur (f est une fonction scalaire)
49
nn
S
SdSnzyxf∞→
=∫∫ lim),,(r
Un exemple concret …
( ) ?ABC triangle:
=−= ∫∫S
dSyxI B(3,2)
A(1,1)
0 1 2 3
1
2
0
y
x
2ABC de Aire :RqABC triangle:
== ∫∫S
dS C(3,0)
50
0 1 2 3x
• dS est l’élément de surface généré lorsque les coordonnées x et y évoluent de
dx et dy
• La surface S est le triangle ABC. Son équation est par exemple:
dxdydS=
ABC triangle:S
31et 2
1
22
3
2≤≤+≤≤+− x
xy
x
Un exemple concret …
( ) ?ABC triangle:
=−= ∫∫S
dSyxI B(3,2)
A(1,1)
0 1 2 3
1
2
0
y
x
2ABC de Aire :RqABC triangle:
== ∫∫S
dS C(3,0)
51
0 1 2 3xABC triangle:S
( ) [ ] ( ) ( ) dxxxxdxy
yxdxdyyxIxx
x
x
x
x
x
x
xy
∫∫∫ ∫==
+
+−
+
+−=
+
+−=
−−−=
−=
−=3
1
3
1
2
1
2
2
3
2
22
1
2
2
3
2
3
1
2
1
2
2
3
2
888
11
2
• Le calcul de l’intégrale de surface I se fait en la reformulant comme une
intégrale de Riemann double classique en x et y
( ) ( ) ( )ABC de Aire
3
8
3
1112
3
1
33
1
23
1
2 ≠=
−=−=+−= ∫∫==
xdxxdxxxI
xx
Intégrales de surface• On peut définir de manière analogue les intégrales de surface
suivantes (avec g une fonction vectorielle définie sur S):
un vecteurest c' :),,( un vecteurest c' :),,(
un vecteurest c' :),,( scalaireun est c' :),,(
SS
SS
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∧ dSnzyxgdSzyxg
zyxgddSzyxf
rrr
r
• Dans le cas où S est une surface fermée on note
52
... scalaireun est c' :),,(S
SS
∫∫ ⋅ dSnzyxgrr
∫∫∫∫SS
delieu au
Intégrales de surface• Calcul pratique: on se ramène à une intégrale double de
Riemann en utilisant l’équation de la surface S sous une des
formes suivantes:
• Théorème de Fubini:
[ ][ ]maxmin
maxmin
,
,,
),(
),(
),(
);,();,();,(vvv
uuu
vuzz
vuyy
vuxx
yxzzzxyyzyxx∈∈
===
===
• Théorème de Fubini:
• Et aussi:
53
∫∫∫ ∫∫ ∫=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
×=
=
=dy
cy
bx
ax
dy
cy
bx
ax
bx
ax
dy
cy
dyyhdxxgdydxyxfdxdyyxf
yhxgyxf
)()(),(),(
:alors )()(),( siet fixés paramètres dessont det cb,a, si
∫ ∫∫ ∫=
=
=
=
=
=
=
=
=
dy
cy
bx
ax
bx
ax
dy
cy
dydxyxfdxdyyxf ),(),(
:alors fixés paramètres dessont det cb,a, si
Intégrales de surface• Cas particulier: S est une partie du plan contenue entre les
graphes de deux fonctions numériques:
y
y=b(x)
y=a(x)
S
• Alors:
54
x
S
∫ ∫∫∫=
=
=
=
=
bx
ax
xby
xayS
dxdyyxfdxdyyxf)(
)(
),(),(
ba
Intégrales de surface• Changement de variables:
y
S
v
S’
==
⇔==
),(
),(
),(
),(
yxvv
yxuu
vuyy
vuxx
• Alors:
55
x
( )
0),(
),( :ation transformla deJacobien le avec
),(),,(),('
≠∂∂=
= ∫∫∫∫
vu
yxJJ
dudvJvuyvuxfdxdyyxfSS
u
Intégrales de surface• Exemples:
dxdyx
f
x
f
SdxdyS
:1
de Aire:
22
∫∫
∫∫
∂∂+
∂∂+
56
[ ]
SVdSnV
yxgzyxfz
dxdyyxgyxf
Syxfz
xx
S
S
S
surface la traversà vitessede champdu Flux :
),(et ),( surfaces les entre compris Volume
:),(),(
de dessusau ),( surface la de Aire
rrr
∫∫
∫∫
∫∫
⋅
==
−
−= ∂ ∂
Intégrales de volume• Le domaine d’intégration est une partie (volume) de l’espace
• Exemple: la quantité de nitrate dans une rivière
• On se donne une fonction de l’espace:
),,( scoordonnée de egéométriqupoint leest Moù
),(),,(),,(:
zyx
Mfzyxfzyxf =a
• Par une construction similaire à celle utilisée pour les
intégrales de surface, on définit l’intégrale volumique de f sur
un domaine Ω de l’espace et on note:
57
∫∫∫Ω
dxdydzzyxf ),,(
Intégrales de volume• La plupart des propriétés énoncées pour les intégrales de
surface se généralisent directement pour les intégrales de
volume:
– Théorème de Fubini
– Changement de variables avec l’aide du Jacobien
• Pour tout domaine Ω de l’espace:• Pour tout domaine Ω de l’espace:
58
),,(est volumiquemasse ladont de Masse :),,(
de Volume :
zyxdxdydzzyx
dxdydz
ρρ∫∫∫
∫∫∫
Ω
Ω
Ω
Ω