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Mathématiques

Pascal CHAUVIN

1ère S

4 juin 2018

cbed

Paternité

Pas d’utilisation commerciale

Partage des conditions initiales à l’identique

Licence Creative Commons 2.0 France

http://creativecommons.org/

2

Publication sous licence Creative Commons cbed Pascal CHAUVIN – 4 juin 2018

http://fr.creativecommons.org/

Table des matières

1 Second degré 71.1 Polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Expression du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Fonction du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Variations et extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Signe du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Géométrie plane 152.1 Condition de colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Colinéarité et droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Colinéarité et alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Vecteurs directeurs d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Équation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Repères du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Dérivation (1/2) 193.1 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Nombre dérivé en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Nombre dérivé et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Fonctions usuelles 234.1 La fonction « carré » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 La fonction « racine carrée » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.1 Expression conjuguée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.2 La fonction « racine carrée » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 La fonction « valeur absolue » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 La fonction « inverse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Variations des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Dérivation (2/2) 315.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Fonctions dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 Fonctions dérivées et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.1 Fonction dérivée de la somme de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.2 Fonction dérivée du produit par une constante . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.3 Quotient et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.4 Dérivation et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

Table des matières 4

6 Statistiques 356.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1.1 Caractère : valeur et eectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1.2 Eectif, eectif total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1.3 Fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1.4 Eectif cumulé croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.1.5 Fréquence cumulée croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.1.6 Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1.7 La notation Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1.8 Médianes et quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Diagramme en boîte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.4 Indicateurs d’une série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Suites (1/2) 437.1 Dénition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.4 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Suites (2/2) 478.1 Variations d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2 Variations d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.3 Variations d’une suite géométrique positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.4 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 Produit scalaire 519.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.2 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.3 Norme et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 Probabilités 5510.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.1.1 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.1.2 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.1.3 Variance et écart-type d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.1.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.3 Expérience de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.4 Répétition d’expériences de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11 Coecients binomiaux 5911.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.2.1 Représentations visuelles des propriétés des coe. binomiaux . . . . . . . . 60

11.2.2 Le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60




12 Trigonométrie 6112.1 Rappel : le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

12.2 Angles orientés de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

12.2.1 Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 63

12.3 Relations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64



1 Second degré

1.1 Polynôme du second degré

a, b et c sont trois nombres réels ; a est non nul.

x est un nombre réel.

On distingue :

— l’expression a x2 + b x+ c, qui désigne le nombre de valeur « a× x2 + b× x+ c ».

— la fonction x 7−→ a x2 + b x+ c.

1.1.1 Expression du second degré


L’expression a x2 + b x+ c est appelée « polynôme du second degré » (en x).

Définition 1 – Polynôme du second degré

On rencontre aussi le nom « trinôme du second degré ».

Exemple 1 . x2 −43 est un polynôme du second degré.

Exemple 2 . (3x− 7) (2 + 3x) + 2 x2est un polynôme du second degré.

1.1.2 Forme canonique


Pour n’importe quel nombre x, on peut démontrer l’égalité :

a x2 + b x+ c = a

(x− −b2 a

)2

+(−b2 + 4 a c

4 a

).

On pose alors : α = −b2 a et β = −b2 + 4 a c4 a .

(α et β sont prononcées « alpha » et « bêta », ce sont les lettres a et b de l’alphabet grec.)

On obtient alors :

a x2 + b x+ c = a (x− α)2 + β .


L’expression a (x− α)2 + β est appelée forme canonique de a x2 + b x+ c.

Définition 2 – Forme canonique

7

Chapitre 1. Second degré 8

Exemple 1 . L’expression

32 (x− 2)2 − 4 est la forme canonique du polynôme...

Exemple 2 . Quelle est la forme canonique du trinôme x2 + 10x− 39?

La connaissance de la forme canonique d’un trinôme du second degré apporte de nombreuses infor-mations à son sujet : il est donc extrêmement important de savoir l’établir.

1.1.3 Équation ax2 + bx+ c = 0

On s’intéresse à l’équation du second degré a x2 + b x+ c = 0. Cette équation peut comporter

aucune, une ou deux solutions, selon les valeurs des nombres a, b et c.

a, b et c sont trois nombres réels ; a 6= 0.

L’expression b2 − 4 a c est appelée discriminant de l’expression a x2 + b x+ c.

Définition 3 – Discriminant

Le discriminant est souvent noté ∆ (prononcé « delta majuscule », c’est la lettre D de l’alphabet

grec) :

∆ = b2 − 4 a c


On note ∆ le discriminant de a x2 + b x+ c :

1. Si ∆ = 0, alors a x2 + b x+ c = 0 possède une solution réelle de valeur

−b2 a ;

2. Si ∆ > 0, alors a x2 + b x+ c = 0 possède deux solutions réelles ;

ce sont les nombres

−b−√

∆2 a et

−b+√

∆2 a

3. Si ∆ < 0, alors a x2 + b x+ c = 0 ne possède pas de solution réelle.

Dans le premier et le second cas, on obtient une forme factorisée du trinôme, à partir de la formecanonique.

Propriété 1

Exemple 1 . Indiquer le nombre de solutions de x2 + 10x − 39 = 0, et leurs valeurs le cas

échéant.

Exemple 2 . Résoudre l’équation 9x2 + 6x+ 1 = 0.

Exemple 3 . Donner une forme factorisée de l’expression 2x2 − 5x− 12.

1.2 Fonction du second degré

L’étude d’une fonction du second degré s’appuie sur les dénitions et propriétés précédentes.

1.2.1 Fonction polynôme du second degré





La fonction f : x 7−→ a x2 + b x+ c, dénie sur R, est appelée « fontion polynôme du seconddegré ».

Définition 4 – Fonction polynôme du second degré

Avec les notations précédentes, on démontre : f(α) = β .

1.2.2 Variations et extremum


Les nombres α et β sont dénis comme précédemment.


On note f la fonction dénie sur R par f(x) = a x2 + b x+ c.

1. Si a > 0, alors :

— f est décroissante sur ]−∞;α] ;

— f est croissante sur [α; +∞[ ;

— f possède un minimum global sur R, atteint en x = α et de valeur β :

∀x ∈ R,f(x) > β

(cette écriture signie : « pour n’importe quel nombre réel x, f(x) > β »)

2. Si a < 0, alors :

— f est croissante sur ]−∞;α] ;

— f est décroissante sur [α; +∞[ ;

— f possède un maximum global sur R, atteint en x = α et de valeur β :

∀x ∈ R,f(x) 6 β

Propriété 2

1.2.3 Signe du trinôme a x2 + b x+ c

a, b et c sont trois nombres réels ; a 6= 0.

On s’intéresse au signe de f(x) = a x2 + b x+ c.




si ∆ < 0 si ∆ > 0si a > 0 f(x) est toujours strictement

positif.

f(x) est négatif entre les ra-

cines, et positif sinon.

si a < 0 f(x) est toujours strictement

négatif.

f(x) est positif entre les ra-

cines, et négatif sinon.

Propriété 3

Cette propriété provient de l’égalité :

a x2 + b x+ c = a (x− α)2 + β

= a

[(x− α)2 + β

a

]

= a

[(x− α)2 + −∆

4 a2

]




1.3 Exercices

Exercice 1

À l’aide des formules de distributivité et des identités remarquables, développer et réduire :

1. L’expression A =(−2x+ 1

3

)(3x− 5

3

).

2. L’expression B =(5x+

√3)2

.

3. L’expression C =(

3x− 56

)2.

4. L’expression D =(

4x+√

23

)(4x−

√2

3

).

Exercice 2

1. (a) À l’aide d’une identité remarquable, écrire la forme canonique de x2 − 4x.

(b) En déduire la forme canonique de x2 − 4x+ 5.

2. Mettre sous forme canonique A = x2 + 10x− 1 et B = 2x2 + 8x+ 3.

Exercice 3

Mettre sous forme canonique les polynômes du second degré suivants :

1. Le polynôme x2 + 4x+ 1 .

2. Le polynôme −2x2 + 3x− 6 .

Exercice 4

Donner le nombre de solutions de l’équation :

√2x2 − x = −1

2 .

Exercice 5

a, b et c désignent trois nombres réels.

1. Écrire un algorithme qui calcule le nombre α et le nombre β pour la forme canonique du

trinôme a x2 + b x+ c .

2. Écrire le programme correspondant pour la calculatrice.

Exercice 6

a, b et c désignent trois nombres réels.

1. Écrire un algorithme qui indique le nombre de solutions de l’équation a x2 + b x+ c = 0 .

2. Écrire le programme correspondant pour la calculatrice.

Exercice 7

Résoudre l’équation : 2x2 − 3x+ 1 = 0 .




Exercice 8

Une ville avec une fortication carrée (côté de longueur inconnue) comprend une porte au

milieu de chaque côté.

Énoncé

À l’extérieur de la ville, vingt pas après la porte Nord se trouve un arbre. Si tu quittes la ville par laporte Sud, marche quatorze pas vers le Sud puis mille sept cent soixante-quinze pas vers l’Ouest, et tucommenceras tout juste à apercevoir l’arbre.

Tiré du « Jiuzhang suanshu » ou « Neuf chapitres sur l’art du calcul », ouvrage chinois daté de 200 ans

avant J.C. composé de 246 problèmes ayant pour but de fournir des méthodes pour résoudre les problèmes

quotidiens de l’ingénierie, de l’arpentage, du commerce et de la scalité.

Exercice 9

Énoncé

« Un carré et dix racines sont égaux à trente-neuf en nombre. »

Ce problème s’exprime de façon moderne de la manière suivante :

x2 + 10x = 39

Pour les géomètres arabes du VIIe au XVe siècle de notre ère, les problèmes du second degré reçoivent unerésolution algébrique justiée géométriquement.

On donne ci-dessous une adaptation moderne de la solution proposée :

Construire un carré d’aire x2.

Sur deux côtés du carré, construire un rectangle dont le deuxième côté mesure 5 unités.

Compléter la gure pour obtenir un carré.

Exercice 10

La cinquième partie de la troupe, moins trois, élevée au carré, était allée dans une caverne et unsinge était en vue, grimpé sur une branche. Dis combien ils étaient.

Les singes de Bhaskara (XIIe

siècle)

Source : Mathématiques au l des âges, éd. Gauthier-Villars

Exercice 11

(énoncé modié)

On considère l’expression E = 3x2 − 42x+ 148, et on veut démontrer :

Pour n’importe quelle valeur de x, E > 1.

1. On note F = E − 1. Développer et réduire F .

2. Établir la forme canonique de F .

3. Étudier le signe de F , puis conclure.




Exercice 12

On considère la fonction f : x 7−→ −4x2 − 16x− 13.

1. Établir la forme canonique de f(x).

2. Prouver que : f(x) 6 4, pour n’importe quelle valeur du nombre réel x.

(ce qu’on écrira symboliquement : ∀x ∈ R, f(x) 6 4)

3. Prouver que : ∀x ∈ R, f(x) 6 7.

4. Est-il exact que f(x) 6 2, pour n’importe quelle valeur de x?

5. Quel est le plus petit nombre M tel que, pour n’importe quel nombre x, on a f(x) 6M ?

Exercice 13

On considère la fonction f : x 7−→ 3 (x− 1)2 + 2 .

1. La fonction f est représentée par une parabole : préciser les coordonnées de son sommet.

2. Étudier les variations de la fonction f (on dressera le tableau de variations de f ).

3. Donner le nombre de solutions de l’équation f(x) = 4 .

Exercice 14

On considère la fonction du second degré g dénie sur R par : g(x) = 12 x

2 − 5x+ 392 .

1. Montrer que la forme canonique de g est :

g(x) = 12 (x− 5)2 + 7 .

2. En déduire le minimum de g sur R .



2 Géométrie plane

2.1 Condition de colinéarité

On rappelle la dénition suivante :

On dit que deux vecteurs ~u et ~v sont colinéaires lorsqu’il existe un nombre réel λ tel que :

~v = λ~u .

Définition 1 – vecteurs colinéaires

On peut exprimer cette dénition par une propriété dans un repère du plan.

Les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel λ tel que :x~v = λx~u

y~v = λ y~u

où (x~u; y~u) et (x~v; y~v) désignent les coordonnées respectives des vecteurs ~u et ~v dans un

repère du plan.

Propriété 1

Ce qui revient à dire que les coordonnées de deux vecteurs colinéaires sont proportionnelles.

Remarque :

On a en particulier :

Pour n’importe quel vecteur ~u, on a : 0 ~u = ~0. Donc :

Le vecteur nul est colinéaire à n’importe quel vecteur.

On déduit de la propriété précédente :

Dans un repère du plan, on considère deux vecteurs ~u et ~v de coordonnées :

~u

(ab

)et ~v

(pq

).

Avec les notations ci-dessus, les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires si, et seulement si :

a× q − b× p = 0 .

Propriété 2 – condition de colinéarité

2.1.1 Colinéarité et droites parallèles

15

Chapitre 2. Géométrie plane 16

Deux droites (AB) et (MN) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs

−→AB et

−−→MN sont

colinéaires.

Propriété 3

2.1.2 Colinéarité et alignement

A, B et T sont trois points.

A, B et T sont alignés si, et seulement si, les vecteurs

−→AB et

−→AT sont colinéaires.

Propriété 4

2.2 Vecteurs directeurs d’une droite

A et B sont deux points distincts.

On dit qu’un vecteur ~u est un vecteur directeur de la droite (AB) lorsque ~u et

−→AB sont

colinéaires.

Définition 2 – vecteur directeur d’une droite

Remarque :

Si ~u est un vecteur directeur de (AB), alors ~u est non nul.

~u est un vecteur directeur d’une droite (AB).

~v est un vecteur directeur d’une droite (CD).

(AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, ~u et ~v sont colinéaires.

Propriété 5

2.3 Équation cartésienne d’une droite

Les nombres a et b sont deux réels tels que : (a; b) 6= (0; 0).

Dans un repère

(O,~i,~j

)du plan, l’ensemble des points de coordonnées (x; y) qui vérient

l’équation ax+ by + c = 0 est une droite.

Propriété 6

L’écriture (a; b) 6= (0; 0) signie l’une des trois possibilités :

— a = 0 et b 6= 0 ;

— ou bien : a 6= 0 et b = 0 ;

ATTENTION




— ou bien encore : a 6= 0 et b 6= 0 ;

Autrement dit, l’un au moins des nombres a et b est non nul.

Avec les notations précédentes, une équation du type :

a x+ b y + c = 0

est appelée équation cartésienne d’une droite.

Définition 3 – équation cartésienne d’une droite

Remarques :

— N’importe quelle droite du plan possède une équation cartésienne (que cette droite soit parallèle

ou sécante avec l’axe des ordonnées).

— N’importe quelle droite du plan possède une innité d’équations cartésiennes.

— Pour une droite sécante avec l’axe des ordonnées, il existe une équation réduite unique, que

l’on peut déduire de n’importe laquelle de ses équations cartésiennes.

— Dans une équation cartésienne d’une droite, l’un au moins des nombres a et b est non nul.

Les nombres a et b sont deux réels tels que : (a; b) 6= (0; 0).

Dans un repère

(O,~i, ~j

)du plan, (d) est une droite, d’équation cartésienne ax+ by+ c = 0.

Le vecteur ~u

(−ba

)est un vecteur directeur de la droite (d).

Propriété 7

Il faut veiller à bien utiliser les coordonnées d’un vecteur lorsqu’on veut établir une équation

cartésienne d’une droite à partir d’un vecteur directeur : si ~u

(pq

)est un vecteur directeur

d’une droite (d), alors une équation cartétienne de (d) est de la forme :

qx− py + r = 0

ATTENTION

Remarque :

Dans le cas particulier où b 6= 0, le vecteur ~u(

1; −ab

)est aussi un vecteur directeur de la

droite (d).

2.4 Repères du plan




A, B et C sont trois points non alignés du plan.

Pour n’importe quel point M du plan, il existe deux réels α et β, uniques, tels que :

−−→AM = α

−→AB + β

−→AC .

Propriété 8

Avec les notations de la propriété précédente, on dit que les coordonnées du point M sont

(α; β) dans le repère

(A; −→AB; −→AC

).

Définition 4 – repère et coordonnées



3 Dérivation (1/2)

3.1 Taux de variation

f est une fonction dénie sur un intervalle I .

a et b sont deux nombres distincts dans I .

Le nombre

f(b)− f(a)b− a

est appelé taux de variation de la fonction f entre a et b.

Définition 1 – Taux de variation

Remarques

1. Si on note A et B les points de (Cf ) 1, d’abscisses respectives a et b, le taux de variation de la

fonction f entre a et b n’est rien d’autre que le coecient directeur de la droite (AB).

2. En posant : h = b− a, on obtient une nouvelle écriture du taux de variation :

f(b)− f(a)b− a

= f(a+ h)− f(a)h

Exemple 1 . Calculer le taux de variation de f entre A et B :

x

y

0 1

1

(Cf )

AB

(AB)

f : x 7−→ 110x

3 − 35x

2 + 310x+ 3

xA = −1 ; xB = 3

1. (Cf ) désigne la représentation graphique de f .

19

Chapitre 3. Dérivation (1/2) 20

3.2 Nombre dérivé en un point

f est une fonction dénie sur un intervalle I de R.

a est un nombre de I , h est un nombre réel non nul.

Si le nombre

f(a+ h)− f(a)h

tend vers un nombre l lorsque le nombre h tend vers 0, on

dit que la fonction f est dérivable en a.

Dans ce cas, le nombre l est appelé nombre dérivé de la fonction f en a. On écrit :

limh→0

f(a+ h)− f(a)h

= l

Définition 2 – Nombre dérivé

Le nombre dérivé de la fonction f en a (quand il existe !) est noté f ′(a) :

limh→0

f(a+ h)− f(a)h

= f ′(a)

Définition 3 – Nombre dérivé : notation

Exemple 2 . On donne f : x 7−→ x2. Déterminer par le calcul les nombres f ′(2) et f ′(−3).

Exemple 3 . On donne g : x 7−→ 11 + x

. Calculer le nombre g′(9).

Exemple 4 . On donne h : x 7−→√x+ 2. Déterminer h′(5).

3.3 Nombre dérivé et tangente

Soit f une fonction dérivable en un nombre réel a de son ensemble de dénition Df .

On note (Cf ) la représentation graphique de la fonction f .

La droite passant par le point A( a ; f(a) ) et de coecient directeur f ′(a) est appelée

tangente à la courbe (Cf ) au point A.

Définition 4 – Tangente à une courbe

f est une fonction dénie et dérivable en un réel a.

Comme f est dérivable en a, la courbe (Cf ) possède une tangente au point a.

De plus, la tangente à la courbe (Cf ) au point d’abscisse a admet pour équation :

y = f ′(a) (x− a) + f(a)

Propriété 1 – Équation de la tangente




Exemple 5 . Établir l’équation de la tangente (d) à la courbe (Cf ) au point A.

x

y

0 1

1

(Cf )

A

(d)f : x 7−→ x2 − 6x+ 7

xA = 2 ; A ∈ (Cf )

Exemple 5 (bis) .

x

y

0 1

1

(Cf )

A

Convention de dessin : la èche double symbolise une tangente.



4 Fonctions usuelles

4.1 La fonction « carré »

La fonction x 7−→ x2est le cas le plus simple de fonction polynôme du second degré.

On étudie le signe de la fonction x 7−→ x2 − x sur R+pour établir la propriété :

— Pour n’importe quel nombre réel x ∈ [0; 1] : 0 6 x2 6 x 6 1.— Pour n’importe quel nombre réel x ∈ [1; +∞[ : 1 6 x 6 x2.

Propriété 1

4.2 La fonction « racine carrée »

4.2.1 Expression conjuguée

a et b sont deux nombres positifs, non tous les deux nuls. On a l’égalité :

√a−√b = a− b√a+√b

Propriété 2 – expression conjuguée

4.2.2 La fonction « racine carrée »

On déduit la courbe représentative de la fonction « racine carrée » de la représentation graphique

de la fonction « carré » pour les abscisses positives (demi-parabole) comme symétrique de cette courbe

par rapport à la droite d’équation y = x dans un repère orthonormé.

La propriété de la quantité conjuguée permet de démontrer :

La fonction x 7−→√x est strictement croissante sur R+

.

Propriété 3 – variations

L’étude de la fonction x 7−→ x−√x dénie sur R+

permet d’établir la propriété :

— Pour n’importe quel nombre réel x ∈ [0; 1] : 0 6 x2 6 x 6√x 6 1.

— Pour n’importe quel nombre réel x ∈ [1; +∞[ : 1 6√x 6 x 6 x2.

Propriété 4

23

Chapitre 4. Fonctions usuelles 24

Un dessin à retenir : positions relatives des courbes représentatives

x

y

−2 −1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

y = x2

y = x

y =√x

4.3 La fonction « valeur absolue »

4.3.1 Définition

Pour n’importe quel nombre réel a, on note | a | le nombre appelé valeur absolue de a, déni

par :

| a | =a si a est un nombre positif ou nul,

−a sinon (c.-à-d. pour a négatif).

Définition 1 – valeur absolue d’un nombre

4.3.2 Propriétés

1. Pour n’importe quel nombre réel x, on a : |x | > 0.

2. ∀x ∈ R, | − x | = |x |.3. |x | = 0 ⇐⇒ x = 0.

4. ∀x ∈ R,√x2 = |x |.

Propriété 5

Pour n’importe quel nombre réel positif x, on a :

(√x)2

= |x |.Cette propriété n’est vraie que pour les nombres positifs :(√

x)2

=√x2

si, et seulement si, x est positif !

+ Aention !




On dénit ensuite la fonction « valeur absolue » comme la fonction x 7−→ |x |.

1. La fonction x 7−→ |x | est strictement décroissante sur R−.

2. La fonction x 7−→ |x | est strictement croissante sur R+.

Propriété 6

x

y

−2 −1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4y = x

y = |x |

La représentation graphique de x 7−→ |x | est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

(d’équation x = 0).




4.4 La fonction « inverse »

La fonction « inverse » est dénie par :

]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ −→ Rx 7−→ 1

x

1. La fonction x 7−→ 1x

est strictement décroissante sur ]−∞; 0[.

2. La fonction x 7−→ 1x

est strictement décroissante sur ]0; +∞[.

Propriété 7 – variations

x

y

1 2 3 4 5−5 −4 −3 −2 −1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

0

y = 1x




4.5 Variations des fonctions composées

I désigne un intervalle de R.

u est une fonction dénie sur I .

k est un nombre réel.

On dénit la fonction :

f : I −→ Rx 7−→ u(x) + k

La fonction f possède le même sens de variation que la fonction u sur I .

Propriété 8 – variations de u+ k

Par commodité, la fonction f est notée u+ k :

∀x ∈ I, (u+ k) (x) = u (x) + k .


u est une fonction dénie sur I .

k est un nombre réel.

g : I −→ Rx 7−→ k × u (x)

— Si k > 0 , alors les fonctions g et u possèdent le même sens de variation sur I .

— Si k < 0 , alors g et u possèdent des sens de variation contraires sur I .

Propriété 9 – variations de k u

La fonction x 7−→ k × u (x) est notée k u.


u est une fonction dénie sur I et positive sur I :

∀x ∈ I, u (x) > 0 .

Les fonctions u et x 7−→√u (x) possèdent le même sens de variation sur I .

Propriété 10 – variations de√u

u est une fonction dénie sur un intervalle I de R.

On suppose que la fonction u ne s’annule pas sur I .

Les fonctions u et x 7−→1

u (x)ont des variations de sens contraires sur I .

Propriété 11 – variations de1u




x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

x = −1,5

y = 23 x+ 1

y =√

23 x+ 1

y = 123 x+ 1

4.6 Exercices

Exercice 1

Établir (éventuellement avec une tabulation sur la calculatrice) la liste des carrés des vingt-cinq

premiers entiers naturels.

Exercice 2

Déduire de la liste précédente la liste des racines carrées des premiers carrés parfaits (un entier

naturel n est un entier est un carré parfait lorsque

√n ∈ N).

Exercice 3

Donner un encadrement de

√200 par deux entiers naturels consécutifs.

Exercice 4

Donner sans calculatrice le nombre de chires de la partie entière du nombre

√11905.

Exercice 5

Comparer sans calculatrice les nombres 2√

19 et 6√

2.

Exercice 6

Exprimer chacun des nombres A, B, C et D sans racine carrée au dénominateur :

A = 1√3− 1

; B = 52 + 2

√3

; C = 3 +√

33−√

3; D =

√2√

5−√

3.




Exercice 7

Étudier les variations de la fonction f dénie sur R+par f(x) = x−

√x.



5 Dérivation (2/2)

5.1 Fonction dérivée

f désigne une fonction dénie sur un intervalle I de R.

Lorsque, pour n’importe quel nombre a de I , le nombre dérivé de f existe en a, on dit que fest dérivable sur l’intervalle I .

Lorsque f est dérivable sur I , on appelle fonction dérivée de f la fonction notée f ′ :

f ′ : I −→ Rx 7−→ f ′(x)

Définition 1 – Fonction dérivée

Exemple

Pour la fonction h :

h : R −→ Rx 7−→ 3x2 − 5x+ 2

On démontre que h est dérivable partout sur R.

La fonction h′ est dénie par :

h′ : R −→ Rx 7−→ 6x− 5

5.2 Fonctions dérivées des fonctions usuelles

fonction dénie sur dérivable sur fonction dérivée

f(x) = a x+ b R R f ′(x) = a

f(x) = k R R f ′(x) = 0f(x) = x2 R R f ′(x) = 2xf(x) = xn,n ∈ N R R f ′(x) = nxn−1

f(x) =1x

R∗ R∗ f ′(x) = − 1x2

f(x) =√x [0; +∞[ ]0; +∞[ f ′(x) =

12√x

Propriété 1

31


5.3 Fonctions dérivées et opérations

5.3.1 Fonction dérivée de la somme de deux fonctions

Soient u et v deux fonctions dénies et dérivables sur un intervalle I de R.

Alors la fonction x 7−→ u(x) + v(x) est dénie et dérivable sur I , avec :

∀x ∈ I, (u+ v)′(x) = u′(x) + v′(x)

Propriété 2

On écrit plus simplement :

(u+ v)′ = u′ + v′

On peut démontrer la propriété analogue pour la diérence :

(u− v)′ = u′ − v′

5.3.2 Fonction dérivée du produit par une constante

La fonction u est dénie et dérivable sur un intervalle I de R, k est un nombre réel.

Alors la fonction x 7−→ k × u(x) est dénie et dérivable sur I , avec :

∀x ∈ I, (k × u)′(x) = k × u′(x)

Propriété 3 – k × u


(k u)′ = k u′


Alors la fonction x 7−→ u(x)× v(x) est dénie et dérivable sur I , avec :

∀x ∈ I, (u× v)′(x) = u′(x)× v(x) + u(x)× v′(x)

Propriété 4


(u× v)′ = u′ × v + u× v′




5.3.3 otient et inverse


On suppose de plus que v ne s’annule pas sur I .

Alors la fonction x 7−→ u(x)v(x) est dénie et dérivable sur I , avec :

∀x ∈ I,(u

v

)′(x) = u′(x)× v(x)− u(x)× v′(x)

(v(x))2

Propriété 5

(u

v

)′= u′v − uv′

v2

On en déduit la propriété pour la dérivée de la fonction inverse d’une fontion :

Soit v une fonction dénie et dérivable sur un intervalle I de R.

On suppose de plus que v ne s’annule pas sur I .

Alors la fonction x 7−→ 1v(x) est dénie et dérivable sur I , avec :

∀x ∈ I,(1v

)′(x) = −v

′(x)(v(x))2

Propriété 6

(1v

)′= −v

′

v2




5.4 Dérivation et variations

f est une fonction dérivable sur un intervalle I .

Si f est strictement croissante sur I , alors :

∀x ∈ I,f ′(x) > 0 .

Propriété 7

Il existe une propriété analogue pour une fonction strictement décroissante sur un intervalle.

x

y

0 1

1(Cf )

f : x 7−→ x3

2 (x2 + 3x+ 3)

f est une fonction dénie et dérivable sur un intervalle I .

— Si, pour tout x de I , f ′(x) = 0, alors f est constante sur I ;

— Si, pour tout x de I , f ′(x) > 0 (sauf peut-être pour un nombre ni de valeurs de x pour

lesquelles f ′(x) = 0), alors f est strictement croissante sur I ;

— Si, pour tout x de I , f ′(x) < 0 (sauf peut-être pour un nombre ni de valeurs de x pour

lesquelles f ′(x) = 0), alors f est strictement décroissante sur I .

Propriété 8 – signe de la dérivée et monotonie



6 Statistiques

6.1 Rappels

6.1.1 Caractère : valeur et eectif

On considère une série statistique à caractère numérique :

valeur du caractère x1 x2 . . . xp

eectif n1 n2 . . . np

— La série possède p valeurs distinctes du caractère.

— En pratique, on organise le tableau en classant les valeurs xi par ordre croissant :

x1 < x2 < x3 < · · · < xp

6.1.2 Eectif, eectif total

— Le nombre noté ni est appelé eectif de la valeur xi.

— La somme des eectifs de toutes les valeurs du caractère est appelée eectif total de la

série.

En notant N l’eectif total : N = n1 + n2 + n3 + · · ·+ np.

Définition 1 – eectif, eectif total

6.1.3 Fréquence

On appelle fréquence de la valeur xi, notée fi, le quotient de l’eectif de la valeur xi par

l’eectif total :

fi = ni

n1 + n2 + n3 + · · ·+ np

Définition 2 – fréquence d’un caractère

— La fréquence d’une valeur du caractère est un nombre de l’intervalle [ 0 ; 1 ].— On peut exprimer la fréquence d’une valeur en pourcentage.

35

Chapitre 6. Statistiques 36

6.1.4 Eectif cumulé croissant

L’eectif cumulé croissant de la valeur xi est la somme des eectifs pour toutes les valeurs

du caractère inférieures ou égales à xi :

n1 + n2 + n3 + · · ·+ ni

Définition 3 – eectif cumulé croissant

6.1.5 Fréquence cumulée croissante

De manière analogue, on dénit la fréquence cumulée croissante comme la somme des

fréquences des valeurs du caractère inférieures ou égales à xi :

f1 + f2 + f3 + · · ·+ fi

Définition 4 – fréquence cumulée croissante

La fréquence cumulée croissante du caractère xi est égale au quotient de l’eectif cumulé

croissant de la valeur xi par l’eectif total :

n1 + n2 + n3 + · · ·+ ni

n1 + n2 + n3 + · · ·+ np

Propriété 1




6.1.6 Moyenne

La moyenne de la série statistique, notée x, est le nombre déni par :

x = n1 × x1 + n2 × x2 + · · ·+ np × xp

n1 + n2 + · · ·+ np

Définition 5 – moyenne

La moyenne est un indicateur de position.

6.1.7 La notation ΣLa formule précédente s’écrit avec la notation « somme » :

x =

p∑i=1

ni × xi

p∑i=1

ni

La lettre majuscule « Σ » (on lit « sigma ») est la lettre S de l’alphabet grec.

La formule peut s’écrire aussi :

x = 1N

p∑i=1

ni × xi

On a l’égalité :

x = f1 × x1 + f2 × x2 + · · ·+ fp × xp

Propriété 2

Cette propriété permet donc de calculer la moyenne d’une série statistique à l’aide des fréquences.

Remarque :

La dénition précédente de la moyenne concerne les séries à caractère discret, dont les valeurs

sont isolées (c.-à-d. peu nombreuses).

Cette dénition s’applique aussi aux séries à caractère continu : dans ce cas, les valeurs sont

regroupées en classes, et on applique la formule en prenant pour valeur du caractère le centre de

chaque classe.




6.1.8 Médianes et quartiles

Une médiane d’une série statistique est un nombre noté Me, pour lequel :

— au moins 50 % des valeurs sont inférieures à Me ;

— au moins 50 % des valeurs sont supérieures à Me.

Définition 6 – médiane

La médiane est un indicateur de position.

— Le 1erquartile Q1 est la plus petite valeur du caractère, pour laquelle au moins 25 % des

valeurs sont inférieures à Q1.

— Le 3equartile Q3 est la plus petite valeur du caractère, pour laquelle au moins 75 % des

valeurs sont inférieures à Q3.

Définition 7 – quartiles Q1 et Q3

Les quartiles sont des indicateurs de dispersion.

En pratique, on fait la convention suivante :

— Pour un eectif total impair, on prend comme médiane la valeur « centrale » du caractère.

— Pour un eectif total pair, on peut prendre comme médiane la demi-somme des deux valeurs

« centrales ».

Pour compléter l’étude d’une série statistique, on observe deux autres indicateurs de dispersion :

L’étendue est la diérence xp − x1.

Définition 8 – étendue

— L’écart interquartile est la diérence Q3 −Q1.

— L’intervalle [Q1 ; Q3 ] est appelé intervalle interquartile.

Définition 9 – écart interquartile




6.2 Diagramme en boîte

Un diagramme en boîte (on dit aussi une « boîte à moustaches ») est un graphique résumant une

série statistique.

Ce graphique comporte plusieurs informations concernant la série :

— les valeurs minimale et maximale du caractère ;

— la médiane ;

— les quartiles ;

— une « boîte » (un rectangle) faisant apparaître l’écart interquartile.

Un exemple de diagramme en boîte

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Q1 Q3Memin. max.




6.3 Variance et écart-type

On considère une série statistique à caractère quantitatif :

valeur x1 x2 . . . xp

eectif n1 n2 . . . np

On appelle variance le nombre V déni par :

V = 1N

p∑i=1

ni (xi − x)2

(on rappelle que le nombre x désigne la moyenne de la série)

Définition 10 – variance

On appelle écart-type le nombre σ =√V .

(où la lettre V désigne la variance de la série)

Définition 11 – écart-type

Avec les notations précédentes, l’écart-type vérie l’égalité :

V =(

1N

p∑i=1

ni × x2i

)− (x)2

Propriété 3




6.4 Indicateurs d’une série statistique

Les indicateurs de position et de dispersion permettent l’interprétation d’une série statistique :

— l’intervalle [Q1 ; Q3 ] contient 50 % des valeurs du caractère de la série ;

— l’écart interquartile Q3 −Q1 mesure la dispersion autour de la médiane Me ;

— la médianeMe partage la série en deux sous-séries de même eectif (les valeurs étant ordonnées

par ordre croissant) ;

— l’écart-type σ mesure la dispersion autour de la moyenne x.



7 Suites (1/2)

7.1 Définition et notations

Une suite numérique u est une fonction dénie sur N, à valeurs dans R :

u : N −→ Rn 7−→ u(n)

Définition 1

Remarque : une suite peut être dénie seulement à partir d’un certain nombre entier naturel (et

non à partir de l’indice 0 ou 1) :

Par exemple, la suite v : n 7−→√n− 2 n’est dénie que pour n > 2.

On utilise des notations spéciales pour les suites (on « numérote » les images) :

— pour l’image de l’entier n par u, on emploie la notation avec indice :

un = u(n)

— pour la suite u elle-même, on note :

(un)n∈N = (un)n>0

ou encore :

(un)n∈N = (un)

Pour l’exemple précédent, on note : (un)n>2.

f est une fonction dénie sur R et a est un nombre réel.

On peut dénir une suite (un)n∈N par :u0 = a∀n ∈ N, un+1 = f(un)

On dit alors que la suite (un)n∈N est dénie par récurrence.

Définition 2 – suite définie par récurrence

43

Chapitre 7. Suites (1/2) 44

7.2 Suites arithmétiques

a et b sont deux nombres réels.

La suite (un)n∈N dénie par : u0 = a∀n ∈ N, un+1 = un + b

est appelée suite arithmétique de premier terme a et de raison b.

Définition 3

Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison r. Alors :

∀n ∈ N, un = u0 + n× r .

Propriété 1 – terme général d’une suite arithmétique

Il faut veiller au rang du premier terme d’une suite géométrique : en eet la formule précé-

dente est FAUSSE si la suite n’est pas dénie à partir du rang 0 mais 1 (par exemple) ! Dans ce

cas (et seulement ce cas), la bonne formule devient :

Si (un)n>1 une suite arithmétique de raison r, alors :

∀n ∈ N, un = u1 + (n− 1)× r .

ATTENTION

Soit (un)n∈N une suite.

La suite (un)n∈N est une suite arithmétique si, et seulement si, il existe un nombre réel λ tel

que :

∀n ∈ N, un+1 − un = λ .

Dans ce cas, λ est la raison de la suite (un)n∈N.

Propriété 2

Pour n’importe quel nombre entier naturel non nul n :

1 + 2 + 3 + ...+ n = n (n+ 1)2 .

Propriété 3

La propriété précédente n’est rien d’autre que la somme des n premiers termes de la suite

arithmétique de premier terme 1 et de raison 1.




7.3 Suites géométriques


La suite (un)n∈N dénie par : u0 = a∀n ∈ N, un+1 = b× un

est appelée suite géométrique de premier terme a et de raison b.

Définition 4

Soit (un)n∈N une suite géométrique de raison q. Alors :

∀n ∈ N, un = u0 × qn .

Propriété 4 – terme général d’une suite géométrique

Pour n’importe quel nombre entier naturel non nul n et pour n’importe quel réel q diérent

de 1 :

1 + q + q2 + q3 + ...+ qn = 1− qn+1

1− q .

Propriété 5

Les remarques précédentes concernant les suites arithmétiques (rang du premier terme non nul

et formule clause, somme des premiers termes) restent valables pour les suites géométriques !




7.4 Suites arithmético-géométriques

a, b et k sont trois nombres réels.

La suite (un)n∈N dénie par :u0 = k∀n ∈ N, un+1 = a× un + b

est appelée suite arithmético-géométrique.

Définition 5



8 Suites (2/2)

8.1 Variations d’une suite

On dit qu’une suite (un)n∈N est croissante à partir du rang n0 ∈ N lorsque :

Pour tout nombre entier naturel n, si n > n0, alors un+1 > un.

Définition 1 – suite croissante

Si la suite (un)n∈N est croissante à partir de n0 :

Pour tout nombre entier naturel n, si n > n0, alors un > un0 .

Propriété 1

Cette propriété est une conséquence de la dénition précédente.

On dispose des propriétés analogues pour les suites décroissantes.

On dit qu’une suite (un)n∈N est décroissante à partir du rang n0 ∈ N lorsque :

∀n ∈ N, n > n0, un+1 6 un

Définition 2 – suite décroissante

Si la suite (un)n∈N est décroissante à partir de n0 :

Pour tout nombre entier naturel n, si n > n0, alors un 6 un0 .

Propriété 2

On dit qu’une suite (un)n∈N croissante ou décroissante est une suite monotone.

Définition 3 – suite monotone

Remarque :

Une suite peut tout à fait être ni croissante, ni décroissante.

47


— On dit qu’une suite u est majorée par un réel M si, pour tout entier n, un 6M .

— On dit qu’une suite u est minorée par un réel m si, pour tout entier n, un > m.

— On dit qu’une suite majorée et minorée est une suite bornée.

Définition 4 – suite majorée, suite minorée, suite bornée

8.2 Variations d’une suite arithmétique

1. Une suite arithmétique (un)n∈N de raison r est croissante si, et seulement si, r est un réel

strictement positif.

2. Une suite arithmétique (un)n∈N de raison r est décroissante si, et seulement si, r est un

réel strictement négatif.

Propriété 3 – variations d’une suite arithmétique

8.3 Variations d’une suite géométrique positive

On rappelle que le terme général d’une suite géométrique u de premier terme u0 et de raison qest, pour tout entier naturel n :

un = u0 × qn

On en déduit que le signe du terme général dépend des signes des nombres u0, q et de la parité

du nombre entier n :

signe de unsigne de u0

positif négatif

signe de qpositif un est positif un est négatif

négatif

n pair : un est positif n pair : un est négatif

n impair : un est négatif n impair : un est positif

q désigne un nombre réel positif :

— la suite géométrique (qn)n∈N est croissante si q > 1 ;

— la suite géométrique (qn)n∈N est décroissante si 0 < q < 1.

Propriété 4 – variations d’une suite géométrique positive




Remarques :

1. Pour q = 1, la suite est constante ;

2. Le signe du quotient

un+1

un

(égal à la raison pour une suite géométrique) peut varier selon la

parité de n (comme rappelé ci-dessus).

3. Pour une suite géométrique de raison q positive et de premier terme u0 négatif, on a :

— tous les termes sont négatifs ;

— la suite géométrique (u0 qn)n∈N est croissante si 0 < q < 1 ;

— la suite géométrique (u0 qn)n∈N est décroissante si q > 1.




8.4 Limite d’une suite

(un)n∈N est une suite.

Quand, pour n’importe quel nombre réel positif a, aussi petit que l’on veut, on peut détermi-

ner un certain nombre entier naturel n0 pour lequel on a :

si n > n0 , alors |un| 6 a

On dit alors que la suite u tend vers 0 et on écrit :

limn7→+∞

un = 0

Définition 5 – suite de limite 0

(un)n∈N est une suite.

Quand, pour n’importe quel nombre réel positif A, on peut déterminer un certain nombre

entier naturel n0 pour lequel on a :

si n > n0 , alors un > A

On dit alors que la suite u tend vers l’inni (l’inni positif est noté +∞) et on écrit :

limn7→+∞

un = +∞

Définition 6 – suite de limite +∞



9 Produit scalaire

Dans l’ensemble du chapitre, les angles (de vecteurs) sont mesurés en radians.

Mise en garde

9.1 Définition

On considère deux vecteurs−→u et

−→v représentés respectivement par

−→AB et

−→AC .

On appelle produit scalaire de −→u et −→v le nombre réel noté−→u · −→v déni par :

−→u · −→v = −→AB ·

−→AC

= AB × AC × cos(−→AB ,

−→AC

)

Définition 1 – produit scalaire de deux vecteurs

Un produit scalaire est un nombre réel ! ! !

Aention !

En particulier :

−→u · −→u = −→AB ·

−→AB

= AB × AB × cos(−→AB ,

−→AB

)= AB × AB × cos (0)= AB2

On pose comme notation :−→u 2 = −→u · −→u .

A, B et C sont trois points alignés.

1.

−→AB ·

−→AC > 0 si, et seulement si,

−→AB et

−→AC sont de même sens ;

2.

−→AB ·

−→AC 6 0 si, et seulement si,

−→AB et

−→AC sont de sens contraires.

Propriété 1

51

Chapitre 9. Produit scalaire 52

A, B et C sont trois points ; on note H le point projeté orthogonal du point C sur la

droite (AB). Alors :

1.

−→AB ·

−→AC = AB × AH si H ∈ [AB) ;

2.

−→AB ·

−→AC = −AB × AH si H ∈ (AB) \ [AB).

Dans les deux cas : −→AB ·

−→AC = −→AB · −−→AH

Propriété 2

9.2 Vecteurs orthogonaux

On dit que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendi-

culaires.

Définition 2 – vecteurs orthogonaux

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les vecteurs ~u

(ab

)et ~v

(a′

b′

).

Alors :

−→u · −→v = a× a′ + b× b′

Propriété 3

Avec les notations précédentes, les vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si :

a× a′ + b× b′ = 0

Propriété 4

On dit qu’un vecteur non nul est normal à une droite (d) lorsqu’il est orthogonal à au moins

un vecteur directeur de (d).

Définition 3 – vecteur normal à une droite

A ∈ (d) et ~n un vecteur normal de (d).

La droite (d) est l’ensemble

M ∈ P/

−−→AM · ~n = 0

.

Propriété 5




Dans un repère du plan, si une droite (d) a pour équation a x + b y + c = 0, alors le

vecteur ~n (a ; b) est un vecteur normal de (d).

Propriété 6




9.3 Norme et produit scalaire

Dans un repère orthonormé, on considère le vecteur ~u

(ab

).

On a :

−→u · −→u = a× a + b× b= a2 + b2

On appelle norme du vecteur ~u, notée ‖~u‖, le nombre positif :

‖~u‖ =√a2 + b2

Définition 4 – norme d’un vecteur

~u et ~v sont deux vecteurs : ~u · ~v = 12 (‖~u+ ~v‖2 − ‖~u‖2 − ‖~v‖2)

Propriété 7

9.4 Propriétés

~u, ~v et ~w sont trois vecteurs, k est un réel.

1. ~v · ~u = ~u · ~v ;

2. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w ;

3. (k ~u) · ~v = k (~u · ~v).

Propriété 8

On en déduit les « identités remarquables » pour les carrés de la somme vectorielle, de la diérence

vectorielle et du produit scalaire « somme vectorielle – diérence vectorielle ».



10 Probabilités

10.1 Variables aléatoires

Soit Ω = ω1, ω2, ... , ωk l’univers ni d’une expérience aléatoire.

On appelle variable aléatoire une fonction dénie sur Ω à valeurs dans R.

Définition 1 – Variable aléatoire discrète

Si x est un réel, l’événement «X prend la valeur x » est noté : X = x.

Cet événement est constitué de toutes les issues de Ω qui ont pour image x.

10.1.1 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

On considère une variable aléatoire X prenant les valeurs x1, x2, ..., xn.

Lorsqu’on associe à chaque valeur xi la probabilité de l’événement X = xi, on dit qu’on

dénit la loi de probabilité de X .

Définition 2 – Loi de probabilité

En pratique, pour dénir la loi de probabilité d’une expérience aléatoire,

1. on détermine toutes les valeurs possibles x1, x2, ... , xn prises par X ;

2. on calcule les probabilités p1, p2, ... , pn d’obtenir les valeurs correspondantes ;

3. on rassemble ces informations dans un tableau :

Valeur prise par X x1 x2 . . . xn

p(X = xi) p1 p2 . . . pn

On a donc la propriété :

p1 + p2 + ...+ pn = 1

c.-à-d. :

p(X = x1) + p(X = x2) + ...+ p(X = xn) = 1

55

Chapitre 10. Probabilités 56

10.1.2 Espérance d’une variable aléatoire

On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre noté E(X) déni

par :

E(X) =n∑

i=1p (X = xi)× xi

Définition 3 – Espérance mathématique

L’espérance mathématique correspond à la valeur moyenne que prendrait la variable aléatoire Xpour un très grand nombre de réalisations de l’expérience aléatoire.

10.1.3 Variance et écart-type d’une variable aléatoire

On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre noté V(X) déni par :

V(X) =n∑

i=1pi × (xi − E(X))2

Définition 4 – Variance

On appelle écart-type de la variable aléatoire X le nombre noté σ(X) déni par :

σ(X) =√

V(X)

Définition 5 – Écart-type

10.1.4 Propriétés

X est une variable aléatoire.


1. Propriété de l’espérance mathématique :

E(aX + b) = aE(X) + b

2. Propriété de la variance :

V(aX) = a2V(X)

Propriété 1




10.2 Loi binomiale

10.3 Expérience de Bernouilli

On s’intéresse à une expérience aléatoire, ayant seulement deux issues :

— une issue est nommée « succès » et notée S ;

— l’autre issue est nommée « échec » et notée S.

Une expérience aléatoire, ayant seulement deux issues, est appelée épreuve de Bernouilli.

On note p la probabilité de succès : p ∈ [0; 1].On dit que la variable aléatoire qui prend la valeur 1 (et prend la valeur 0 sinon) suit la loi de

Bernouilli de paramètre p.

Définition 6 – Épreuve de Bernouilli

k 1 0P (X = k) p 1− p

Pour une épreuve de Bernouilli de paramètre p, on a :

E(X) = p ; V(X) = p (1− p) ; σ(X) =√p (1− p)

Propriété 2




10.4 Répétition d’expériences de Bernouilli

Une expérience de Bernouilli est souvent répétée plusieurs fois dans des conditions identiques :

on peut alors représenter cette expérience par un arbre appelé schéma de Bernouilli :

Ω

S

S1− p

Sp

1− p

S

S1− p

Sp

p

On répète n fois une épreuve de Bernouilli de paramètre p.

On dit que la variable aléatoire X égale au nombre de succès lors des n expériences suit laloi binomiale de paramètres n et p.

On note :

X ∼ B(n ; p )

Définition 7 – Loi binomiale de paramètres n et p

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p).

Pour tout k ∈ 0, 1, 2, ..., n, on a :

P (X = k) =(nk

)pk (1− p)n−k

Propriété 3

La propriété ci-dessus utilise la notation « k parmi n » (cf. chapitre suivant) :

Pour tout entier k ∈ 0, 1, 2, ..., n, on note

(nk

)le nombre égal au nombre de manières

d’obtenir k succès au cours de n épreuves de Bernouilli.

Définition 8 – Notation k parmi n

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n ; p ).

E(X) = n p ; V(X) = n p (1− p) ; σ(X) =√n p (1− p)

Propriété 4



11 Coefficients binomiaux

On considère une expérience aléatoire à deux issues (« succès » et « échec »), renouvelée plusieurs

fois dans les mêmes conditions.

11.1 Définition

n et k sont deux entiers naturels, avec k 6 n.

On nomme coecient binomial k parmi n le nombre noté

(nk

), déni comme le nombre de

fois où l’on obtient k succès lors des n expériences.

Définition 1 – Coeicient binomial

11.2 Propriétés

— Pour tout n ∈ N,

(n0

)= 1 et

(nn

)= 1.

— Pour tout n ∈ N et tout k ∈ N, 0 6 k 6 n,

(n

n− k

)=(nk

).

Propriété 1

On fait la convention :

(00

)= 1.

Pour tout n ∈ N et pour tout k ∈ N, 0 6 k 6 n, on a :(nk

)+(

nk + 1

)=(n+ 1k + 1

)Propriété 2

Cette propriété est l’origine des deux représentations suivantes, très utiles pour le calcul « à la

main » des coecients binomiaux.

59

Chapitre 11. Coecients binomiaux 60

11.2.1 Représentations visuelles des propriétés des coe. binomiaux

(40

)= 1

(41

)= 4

(42

)= 6

(43

)= 4

(44

)= 1

(30

)= 1

(31

)= 3

(32

)= 3

(33

)= 1

(20

)= 1

(21

)= 2

(22

)= 1

(10

)= 1

(11

)= 1

(00

)= 1

Ce qui donne plus simplement :

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

11.2.2 Le triangle de Pascal

rang 0 1rang 1 1 1rang 2 1 2 1rang 3 1rang 4 1rang 5 1



12 Trigonométrie

12.1 Rappel : le radian

Dans l’ensemble du chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé (O,I,J).

Pour la mesure des angles en radians, on considère le cercle trigonométrique (C) :

— de centre O (l’origine du repère) ;

— de rayon 1 ;

— on appelle sens direct le sens de I vers J sur le petit arc

_

IJ ; le sens indirect est le sens

opposé.

Définition 1 – cercle trigonométrique

x

y

O I

J

(C)

sens direct

On dénit 1 radian comme la mesure de l’angle au centre déterminé par un petit arc (de

cercle) dont la longueur est égale au rayon du cercle.

Définition 2 – le radian

On en déduit la correspondance (fondamentale) entre la mesure en degrés et la mesure en radians :

360 et 2 π rad sont deux mesures de l’angle plein.

On rappelle la proportionnalité des deux unités de mesure degré et radian :

angle (degrés) 360 180 90 45 30 . . .angle (radians) 2π

61

Chapitre 12. Trigonométrie 62

OA R

B

S

Sur la gure ci-dessus, la longueur de l’arc

_

AB est égale au rayon OA : l’angle AOB mesure

1 rad.

Pour la même raison, l’angle ROS mesure 1 rad.

12.2 Angles orientés de vecteurs

On considère deux vecteurs

−→AB et

−−→CD comme ci-dessous :

O

I

J

A

B

MC

D

N

R

S

x

y

+

Par construction, il vient :

— pour le parallélogramme ABMO :

−→AB = −−→OM ;

— les vecteurs

−−→OM et

−→OR sont colinéaires et R appartient au cercle trigonométrique ;

— pour le parallélogramme CDNO :

−−→CD = −−→ON ;

— les vecteurs

−−→ON et

−→OS sont colinéaires et S appartient au cercle trigonométrique.




L’angle orienté de vecteurs−−→AM et

−−→BN est noté

(−−→AM ,

−−→BN

)ou

(−−→AM ,

−−→BN

).

L’angle orienté de vecteurs−−→BN et

−−→AM est noté

(−−→BN ,

−−→AM

)ou

(−−→BN ,

−−→AM

).

Définition 3 – notation

Il faut être attentif à l’ordre des vecteurs dans la notation : les deux angles

(−−→AM ,

−−→BN

)et(−−→

BN ,−−→AM

)sont des angles de vecteurs de sens opposés !

ATTENTION! ! !

Soient R et S deux points du cercle trigonométrique.

Une mesure de l’angle orienté

(−→OR ,

−→OS

)est égale à la longueur de n’importe quel arc (du

cercle trigonométrique) d’extrémités R et S, dans le sens de R vers S.

Définition 4 – mesures d’un angle orienté de vecteurs unitaires

— N’importe quel angle orienté de vecteurs possède donc une innité de mesures, « à un ou

plusieurs tours près ».

— On confond par convention la notation d’un angle orienté de vecteurs avec n’importe

laquelle de ses mesures : un angle de vecteurs possède plusieurs mesures (toujours expri-

mées en radians).

ATTENTION! ! !

(−→AB ,

−−→CD

)=

(−−→OM ,

−−→ON

)(−→AB ,

−−→CD

)=

(−→OR ,

−→OS

)

On écrira par exemple :

(−−→OH ,

−→OT

)= π

6 .

Dans ce cas,

121π6 est une autre mesure de

(−−→OH ,

−→OT

); en eet :

π

6 + 20 π = 121 π6 .

12.2.1 Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs

Parmi toutes les mesures en radians d’un angle orienté de vecteurs, on appelle mesure princi-pale de l’angle orienté des vecteurs

−→u et−→v l’unique mesure qui appartient à l’intervalle ]−π; π].

Définition 5 – mesure principale d’un angle orienté




Si on note α le nombre réel mesure principale d’un angle orienté (−→u ,−→v ), alors les autres

mesures de (−→u ,−→v ) sont de la forme α + k × 2π, où k ∈ Z.

Propriété 1

Algorithme de calcul de la mesure principale

Données :x une mesure de (−→u ,−→v ) en radians

Résultat :m mesure principale de (−→u ,−→v ) en radians

débutx −→ msim > 0 alors

tant quem > π fairem− 2 π −→ m

n tqsinon

tant quem 6 −π fairem+ 2 π −→ m

n tqn siacher m

n

12.3 Relations trigonométriques

Soit x un nombre réel et le point M son image sur le cercle trigonométrique « par enroule-

ment de la droite réelle ».

On appelle cosinus de x l’abscisse de M et sinus de x l’ordonnée de M .

Définition 6 – cosinus et sinus d’un nombre réel

Pour n’importe quel réel x, on a : (cosx)2 + (sin x)2 = 1.

Pour n’importe quel réel x, on a : −1 6 cosx 6 1.

Pour n’importe quel réel x, on a : −1 6 sin x 6 1.

Propriété 2

Notation : on écrit aussi (cosx)2 = cos2 x.

On appelle cosinus et sinus d’un angle orienté (−→u ,−→v ) le cosinus et le sinus de n’importe

laquelle des mesures (en radians) de (−→u ,−→v ).

Définition 7 – cosinus et sinus d’un angle orienté




Pour n’importe quel réel x, on a : cos (−x) = cos (x).

Pour n’importe quel réel x, on a : sin (−x) = − sin (x).

Propriété 3

∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, cos (x+ k × 2 π) = cos (x)

∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, sin (x+ k × 2 π) = sin (x)

Propriété 4

∀x ∈ R, cos (π + x) = − cos (x)

∀x ∈ R, sin (π + x) = − sin (x)

Propriété 5

∀x ∈ R, cos (π − x) = − cos (x)

∀x ∈ R, sin (π − x) = sin (x)

Propriété 6

∀x ∈ R, cos(π

2 + x)

= − sin (x)

∀x ∈ R, sin(π

2 + x)

= cos (x)

Propriété 7

∀x ∈ R, cos(π

2 − x)

= sin (x)

∀x ∈ R, sin(π

2 − x)

= cos (x)

Propriété 8




∀x ∈ R, ∀y ∈ R, cos (x+ y) = cos (x) cos (y)− sin (x) sin (y)

∀x ∈ R, ∀y ∈ R, sin (x+ y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)

Propriété 9 – formules d’addition

∀x ∈ R, ∀y ∈ R, cos (x− y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)

∀x ∈ R, ∀y ∈ R, sin (x− y) = sin (x) cos (y)− cos (x) sin (y)

Propriété 10 – formules de soustraction

∀x ∈ R, cos (2x) = 1− 2 sin2 (x)

∀x ∈ R, sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

Propriété 11 – formules de duplication



mathématiques première s - livrecinq.org · chapitre 1. second degré 9 a, bet csont trois...

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