mathématiques b30 - government of saskatchewan

Mathématiques B30La programmation linéaire

Module de l’élève

2002

Mathématiques B30

La programmation linéaire

Module de l’élève

Bureau de la minorité de langue officielle

2002

P.ii - Math B30 - Programmation linéaire

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectifs spécifiques

L’élève sera capable de:C.10 Représenter graphiquement des systèmes d'inéquations

C.11 Déterminer les points d'intersection des droites tracées à l'objectif 10

C.12 Déterminer quels sommets d'un polygone formé par un systèmed'inéquations maximisent ou minimisent une fonction linéaire donnée

RemerciementsCe module contient en partie des exercices et des exemples adaptés, avecpermission, du document de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon PublicSchool Division, 1999).

P.1 - Math B30 - Programmation linéaire

1. Introduction

En 1947, George Dantzig devait trouver un moyen de résoudre le problème dedistribution des provisions de l’armée américaine de manière à minimiser les coûtsd’opération. Dantzig utilisa une méthode, la programmation linéaire, dans laquellela valeur maximale ou minimale d’une fonction mathématique est déterminée enfonction des contraintes du problème. Par exemple, supposons une compagnie quifabrique deux modèles de montres. En connaissant les contraintes qui lui sontimposées, telles que la quantité de pièces disponibles ainsi que le nombre d’heuresde montage nécessaires, elle peut déterminer combien de montres de chaquemodèle elle devrait fabriquer afin de maximiser ses revenus.

Le monde des affaires n’a pas tardé à reconnaître le potentiel de la méthode deGeorge Dantzig dans la résolution de problèmes économiques complexes. Aujourd’hui, la programmation linéaire est utilisée non seulement dans la gestiondes inventaires, le design des usines et la gestion des ressources, mais elle trouveaussi des applications dans les domaines de la santé, de l’environnement, del’agriculture et des communications.

Avant de résoudre des problèmes utilisant la programmation linéaire, nous devonsrevoir les processus qui permettent de traduire en inéquations les contraintes d’unproblème d’optimisation.

2. Définition et graphiques d’inéquations linéaires

2.1 L’inéquation à deux variables

Une inégalité est constituée lorsque deux expressions sont liées par lesymbole > ou le symbole<. On trouve aussi desinégalités ayant lessymboles ou . � �

Une inéquation à deux variables contient évidemment deux

Les symboles de la relation d’inégalité sont:< qui se lit ... est inférieur à ...> qui se lit ... est supérieur à ...

qui se lit ... est inférieur ou égal à ...�

qui se lit ... est supérieur ou égal à ...�

Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou desvariables mises en relation d’inégalité. Par exemple, ou .5x � 2 8x y� �


variables. Par exemple, est une inéquation à deux0x y� �

variables. Toutefois, nous pouvons aussi dire que est une2x �

inéquation à deux variables puisqu’elle peut être réécrite sous laforme .0 2x y� �

Exemple 1 : Écris l’inéquation sous la forme où est la6 0x � � x k� kconstante de l’inéquation.

Solution L’inéquation devient ou .0 6x � � 6x � �

Exemple 2 : Écris l’inéquation sous la forme .2 8 0y� � � x k�

Solution Il faut d’abord additionner 8 à chaque côté de l’inéquation:. Ensuite, nous divisons par -2, mais en tenant compte2 8y� �

que la division s’effectue avec un signe négatif. Ceci implique quenous devons inverser le sens de l’inégalité: .4y � �

Une des habiletés à développer est celle permettant de traduire le contenud’une phrase déclarative en inéquation (et vice versa). Les exemples suivantsillustrent cette habileté.

Les exemples précédents nous indiquent quelques propriétésimportantes des inéquations que nous résumons ici.• En ajoutant ou en retranchant une même quantité des deux

membres d’une inéquation, nous obtenons une inéquationéquivalente à celle de départ. Par exemple, et sont5 0x � � 5x �

équivalentes.• En divisant ou en multipliant les deux membres d’une inéquation

par une même quantité positive, nous obtenons une inéquationéquivalente. Par exemple, et sont équivalentes.2 6x � 3x �

• En divisant ou en multipliant les deux membres d’une inéquationpar une même quantité négative, nous devons changer le sens dusymbole d’inégalité afin d’obtenir une inéquation équivalente. Parexemple, devient .5 10x� � 2x � �


Exemple 3 : Traduis la phase suivante par une inéquation: la valeur de estxsupérieure ou égale à moins deux.y

Solution 2x y� �

Exemple 4 : Traduis la phase suivante par une inéquation: la quantité denouveaux livres achetés par la bibliothèque municipale estinférieure à 20% de la quantité de livres qui se trouvent déjà à labibliothèque.

Solution Soit , la quantité de nouveaux livres et , le nombre de livresn v

déjà à la bibliothèque: ou .0, 20n v�

15

n v�

Exemple 5 : Traduis la phase suivante par un système d’inéquations: le nombrede matchs remportés chaque année par cette équipe de football àest compris entre 12 et 16.

Solution Soit m, le nombre de matchs remportés par l’équipe. Ici, notrevariable sera située dans l’intervalle 12 à 16: 12 16m� �

À toi de jouer! (1)

Écris l’inéquation sous la forme .3 60z� � � x k�


Traduis la phrase suivante en inéquation: le taux d’intérêt accordé pour unprêt personnel n’est jamais inférieur ou égal à 7 % (à cette succursalebancaire).


Exercice 1

1. Écris chacune des inéquations suivantes sous la forme , oux k� x k� x k�

.x k�

a) 2 6 0x � �

b) 2 12 0x� � �

c)1 22

x �

d) � �2 3 6x x� �

e)12 6

3x �

� �

f)2 1 03 2

x � �

g) 17x� � �

h)2 2 4 5

3 5x x� �

� �

i) 9 18 0x � �

j)1 5 3

8x��

2. Traduis les phrases suivantes en inéquations en utilisant les variables indiquéesentre parenthèses.

a) Le nombre d’animaux ( ) dans ce cirque est supérieur à 24.ab) Le nombre de passagers ( ) dans cet autobus est au moins 45.pc) Ce couple de jeunes adultes veulent un maximum de quatre enfants (e).d) Le nombre de cadres féminins (f) dans cette entreprise est supérieur ou égal au

nombre de cadres masculins (m) plus 5 personnes.e) Le nombre d’heures (h) d’activités parascolaires de Miguel est compris entre

cinq et huit.f) La vitesse (v) maximale atteinte par cette voiture est de 150 km/h.


-10 10

-10

10

x

y

x=3

2.2 La représentation graphique dans le plan cartésien de l’ensemblesolution d’une inéquation à deux variables

La représentation graphique dans le plan cartésien d’une inéquation de typetient compte du fait que l’ensemble solution comprend tous les points3x �

du plan répondant aux conditions de l’inéquation. Ainsi, dans le cas de� �,x yl’inéquation , l’ensemble solution comprend tous les points situés sur la3x �

frontière délimitée par et tous les points à la droite de cette frontière3x �

(nommée droite-frontière), comme l’illustre la figure suivante.

Sur le graphique précédent la région ombréeest aussi nommée demi-plan fermé. Undemi-plan est dit ouvert si la droite-frontièreest pointillée. Une telle situation se produitlorsque le symbole d’inégalité est < ou >. Parexemple, dans le cas de l’inégalité , les3x �

points appartenant à la droite ne font3x �

pas partie de l’ensemble solution. Legraphique prend alors l’allure ci-contre.


-10 10

-10

10

x

y

-10 10

-10

10

x

y

De la même manière, nousreprésenterons l’ensemblesolution d’une inéquationtelle par le demi-plan fermé3y �

dont la droite-frontière est située à. Tous les points qui3y � � �,x y

satisfont les exigences de cetteinéquation feront partie del’ensemble solution.

Exemple 6 : Représente l’ensemble solution de l’inéquation sur le plan1x � �

cartésien.

Solution Puisque le symboled’inégalité est inférieur ouégal, les points quiappartiennent à la droite-frontière feront1x � �

partie intégrante del’ensemble solution. Legraphique suivant montreque le plan fermécomprend également larégion à la gauche de ladroite-frontière.


Représente l’ensemble solution de l’inéquation sur le plan cartésien.1y � �


Une inéquation qui comporte plus d’une variable, telle que ouax by c� �

peut aussi être représentée dans le plan cartésien. Les exemplesax by c� �

suivants illustrent la démarche à suivre pour obtenir une telle représentationgraphique.

Exemple 7 : Soit l’inéquation . Représente graphiquement l’ensemble2x y� �

solution.

Solution • Isolons : y 2y x� � �

• Trouvons deux points appartenant à la droite-frontière afin detracer celle-ci. La droite-frontière est représentée par l’équation

. Nous pouvons utiliser un tableau des valeurs afin2y x� � �

de trouver deux points appartenant à cette droite. Par exemple, ilest relativement facile de trouver l’ordonnée à l’origine etl’abscisse à l’origine de cette droite en remplaçant par 0 etxensuite par 0. y

x y

0 0 2 2y � � �

0 2 2x x� � � � � 0

Nous plaçons ensuite cesdeux points sur le graphiqueet nous traçons la droite-frontière.


-10 10

-10

10

x

y

• Il faut par la suite déterminer de quel côté de la droite-frontière setrouve le restant des points appartenant à l’ensemble� �,x ysolution. Nous pouvons déterminer ceci en utilisant un pointquelconque du plan cartésien et en vérifiant si celui-ci répond auxexigences de l’inéquation. Par exemple, le graphique montre quele point est situé sous la droite-frontière. Vérifions� �0,0

si satisfait aux exigences de l’inéquation en remplaçant les� �0,0variables et de l’inéquation . Ainsi, , cex y 2x y� � 0 0 2� �

qui est vrai. La région qui correspond à l’ensemble solutioncomprend non seulement la droite-frontière, mais également lapartie située sous cette dernière. Nous devons ombrer cettepartie du plan cartésien.


-10 10

-10

10

x

y

Exemple 8 : Soit l’inéquation . Représente graphiquement2 1x y� � �

l’ensemble solution.

Solution • Isolons : y 2 1x y� � �

Soustraire 2 1y x� � � � 2x

Diviser par -1 et changer le sens du2 1

1 1y x� � ��

� �

symbole d’inégalité2 1y x� �

• Trouvons deux points appartenant à la droite-frontière afin detracer celle-ci. La droite-frontière est représentée par l’équation

. Nous pouvons utiliser un tableau des valeurs afin2 1y x� �

de trouver deux points appartenant à cette droite. x y

0 2(0) 1 1y � � �

10 2 12

x x� � � � �

0

Nous plaçons ensuite ces deux points sur le graphique et noustraçons la droite-frontière.


-10 10

-10

10

x

y

• Pour déterminer de quel côté de la droite-frontière se trouve lerestant des points appartenant à l’ensemble solution, nous� �,x yallons encore une fois utiliser un point du plan cartésien et vérifier si celui-ci répond aux exigences de l’inéquation. Par

exemple, le graphique montre que le point est situé au-� �3, 2�

dessus de la droite-frontière. Vérifions si satisfait aux� �3,2�

exigences de l’inéquation en remplaçant les variables et dex yl’inéquation . Ainsi, ? Puisque ce2 1x y� � � � � � �2 3 2 1� � � �

n’est pas vrai, nous devons conclure que la région quicorrespond à l’ensemble-solution comprend la droite-frontière etla partie située sous cette dernière. Nous devons ombrer cettepartie du plan cartésien.


Représente graphiquement l’ensemble solution de chacune des inéquationssuivantes.

a) b)3 4x y� � 6 2 4x y� �


Exercice 2

1. Dans chacun des cas suivants, représente le demi-plan correspondant àl’inéquation donnée.a) 2x � �

b) 2y �

c) 2 8x �

d) 4x �

e) 2x y� � �

f) 2 3 3x y� � �

g) 4 3y x� � �

h) 2 3 12 0x y� � �

i) 9 6 3x y� �

j) 1x y� � � �

2. Détermine si les points font partie de l’ensemble solution de chacune desinéquations suivantes.a) � �5, 2 ; 4 2 19x y� �

b) � �6,3 ; 2 14x y� � � �

c) � �10, 8 ; 18x y� � �

d)12, ; 2 32

x y� ��

�

e) � �3,5 ; 8x y� � �

3. Détermine l’inéquation qui correspond au graphique ci-dessous.


2.3 Graphiques de systèmes d’inéquations

Les problèmes d’optimisation que nous allons résoudre à l’aide de laprogrammation linéaire vont compter plus d’une inéquation. Autrement dit,nous devrons solutionner des systèmes d’inéquations. L’exemple suivantmontre comment on trouve l’ensemble solution d’un système d’inéquations.

Exemple 9 : Détermine graphiquement l’ensemble solution du systèmed’inéquations suivant.

21

xx y�

� � �

Solution Dans un premier temps, nous allons représenter graphiquement lasolution de la première inéquation: 2x �

Ensuite, nous allons tracer la droite-frontière de la secondeinéquation et identifier de quel côté de cette droite se trouve lerestant de l’ensemble solution pour cette inéquation. La droite-frontière correspond à l’équation .1x y� � �

x y

0 (0) 1 1y � � ��

0 1 1x x� � � � � �0

Après avoir placé ces deux points et tracé la droite-frontière, nousreprésentons le restant de l’ensemble solution.


La région hachurée correspond à l’ensemble solution du systèmed’inéquations

21

xx y�

� � �

Pour simplifier la représentation de l’ensemble solution dessystèmes d’inéquations, nous allons ombrer uniquement la régionqui correspond à cet ensemble solution. Ainsi, pour le systèmeprécédent, le graphique prend l’allure suivante.


Exemple 10 : Trouve l’ensemble solution du système d’inéquations suivant:2 63 000

y xx yxy

� �

� �

�

�

Solution Ce système comprend quatre inéquations. En prenant la premièrede ces inéquations, on trouve deux points permettant de tracer ladroite-frontière:

x y

0 2(0) 6 6y� � ��

0 6 32

x x��

0

En remplaçant et par un point dans le plan cartésien, tel quex y, nous pouvons déterminer de quel côté de la droite-frontière� �0,1

se situe l’ensemble solution. Le résultat est montré sur legraphique suivant:

L’ajout du second système fournit le graphique suivant qui montreles solutions pour chaque inéquation.


En ajoutant les contraintes imposées par et , la région0x � 0y �

représentant l’ensemble solution devient:


Représente l’ensemble solution du système d’inéquations suivant: 041

72 8

yyxx y

x y

�

�

�

� �

� �


L’exemple précédent illustre ce qui se produit lorsque plusieurs contraintes,toutes représentées par des inéquations, sont contenues dans un problème. Larégion qui tient compte de ces contraintes, c’est-à-dire l’ensemble solution dusystèmes d’inéquations, forme un polygone de contraintes.

Il peut parfois s’avérer utile d’identifier les coordonnées du polygone decontraintes formé par l’ensemble solution d’un système d’inéquations. En serappelant qu’un sommet de ce polygone est formé par le croisement de deuxdroites frontières, il est possible de résoudre un système d’équations linéairespour trouver le point d’intersection de ces deux droites. Les techniques derésolution peuvent varier de la substitution à l’élimination en passant par lesméthodes utilisant les matrices. L’exemple suivant montre comment trouver lescoordonnées des sommets d’un polygone de contraintes.

Exemple 11 : Représente graphiquement l’ensemble solution du systèmed’inéquations suivant et détermine les coordonnées du polygonede contraintes formé.

002 8

2

xyx yx y

�

�

� �

� �

Solution Les solutions pour les deux premières inéquations sont faciles àdéterminer puisque les droites-frontières sont directement situéessur les axes du plan cartésien. Pour l’inéquation ,2 8x y� �

commençons par trouver deux points permettant de tracer ladroite-frontière:

x y

0 8 0 42

y �

� �

� �2 0 8 8x x� � � �0

Polygone de contraintesUn polygone de contraintes est un polygone convexe, qui peut être ouvert oufermé, représentant graphiquement l’ensemble solution du systèmed’inéquations d’un problème d’optimisation.


En utilisant un point du plan cartésien tel que , nous� �0,0trouvons que l’ensemble solution pour l’inéquation

inclut la droite-frontière déterminée par et la2 8x y� �8

2xy �

�

région sous cette droite. En effectuant la même démarche avecl’inéquation , nous obtenons le graphique suivant.2x y� �

Les sommets du polygone de contraintes sont représentés par leslettres A, B, C et D. Nous trouvons que les coordonnées de cessommets sont: , , et . Nous� �0,0A � �0, 4B � �4, 2C � �2,0aurions pu trouver les coordonnées des sommets en utilisant lestechniques de résolution d’équations. Par exemple, le point Creprésente l’intersection entre les droites représentées par leséquations et . Ce système d’équations peut2 8x y� � 2x y� �

être résolu par substitution: � �

� �

1 2 8

2 2

x y

x y

� �

� �


Dans (1), nous pouvons isoler x: . On remplace ensuite8 2x y� �

dans l’équation (2) pour déterminer y.x

� � � �1 8 2 28 3 2

3 62

y yy

yy

� � �

� �

� � �

�

Une fois cette valeur déterminée, on peut remplacer y dans unedes deux équations pour déterminer la coordonnée en x du pointd’intersection: � �2 2 2

4xx� �

�

Le point d’intersection C, un des sommets du polygone decontraintes, est donc .� �4, 2


Exercice 3

1. Représente graphiquement l’ensemble solution des systèmes d’inéquationssuivants.

a) 2

2xy x�

� �

b)

42

yy x�

� �

c) 2 0

3x y

x y� �

� �

d) 1 12

1 24

y x

y x

� �

� � �

e) 3 3

3 3y xy x� �

� � �

f)

3 2 33 6

y xx y

� �

� � �

g) 3

22 3 6

xyx y

� �

�

� �

h) 2 4

2 3 02

x yx y

x y

� �

� � �

� � �

2. Pour chacun des systèmes d’inéquations suivants, détermine les coordonnées dessommets du polygone de contraintes.

a) b) 00

2 22 6

xy

y xy x

�

�

� �

� �

42

4 122 6

xy

y xy x

�

� �

� �

� � �


3. Résolution de problèmes d’optimisation

Nous avons jusqu’à maintenant établi comment représenter graphiquementl’ensemble solution d’inéquations linéaires. Nous avons également défini ce qu’étaitun polygone de contraintes en plus de montrer comment déterminer lescoordonnées des sommets d’un tel polygone. Il nous reste maintenant à identifierle cheminement qui nous permettra de résoudre des problèmes où il faut optimiserune fonction en respectant certaines contraintes. À travers les prochains exemples,nous allons expliquer les étapes de ce cheminement.

3.1 Traduire symboliquement une fonction à optimiser

Les problèmes d’optimisation exigent de mettre sous forme d’équations oud’inéquations les informations fournies dans l’énoncé de départ.

Exemple 12 : Traduis l’énoncé suivant en équation.

Le restaurant Pizzarama réalise un profit de 3,50 $ sur chaquepizza Deluxe et 1,50 $ sur chaque pizza Régulière. Exprime leprofit (P) réalisé par Pizzarama lorsqu’elle vend x pizzas Deluxe ety pizzas Régulières.

Solution Puisque chaque pizza Deluxe rapporte 3,50$, nous pouvonsexprimer le profit réalisé pour x pizzas Deluxe comme étant

. Pour y pizzas Régulières, nous aurons . 3,50x 1,50 yL’équation qui établit le profit réalisé lors de la vente de ces pizzasest donc:

3,50 1,50P x y� �

Cette fonction prend une valeur lorsque des données sontsubstituées à x et y. Par exemple, si Pizzarama vend 30 pizzasDeluxe et 42 pizzas Régulières lors d’une journée, alors le profitréalisé sera .� � � �3,50 30 1,50 42 168$P � � �


Exemple 13 : La compagnie AutoPlus loue deux voitures à ses clients. Lavoiture compacte lui rapporte un profit de 12 $ par jour alors quela voiture berline lui rapporte 19 $ par jour.

a) Exprime la fonction d’optimisation d’AutoPlus pour chaque jour.b) Si AutoPlus loue, en moyenne, six voitures compactes et huit

berlines par jour, quel est son profit moyen quotidien?

Solution a) Soit x, le nombre de voitures compactes et y, le nombre devoitures berlines. Si P est le profit réalisé par jour, alors lafonction d’optimisation devient: .12 19P x y� �

2. � � � �12 6 19 8 224$P � � �


Une employée d’une compagnie d’entretien ménager peut compter surune rémunération de 20 $ pour chaque espace bureau nettoyé, alorsqu’elle gagne 10 $ lorsqu’elle fait son travail dans une résidencefamiliale. Exprime la fonction d’optimisation de cette employée.

3.2 Mathématiser les contraintes

Les contraintes d’un problème de programmation linéaire doivent être traduitessous forme d’inéquations. Les exemples suivants montrent comment faire.

Exemple 14 : Dans un atelier de menuiserie, on fabrique des armoires décoratives. Chaque armoire exige d’utiliser la scie radiale 2 heures par jour. Danscet atelier, on fabrique aussi des tables de cuisine. Chaque table exigela scie radiale pendant 1,5 heure par jour. Mathématise la contrainte entenant compte que la scie radiale n’est disponible que pendant huitheures par jour.


Solution Soit x le nombre d’armoires fabriquées par jour et y, le nombre detables construites par jour dans cet atelier. Le tableau suivantrésume les données du problème.

x y Maximum

heures d’utilisation de la scie 2 1,5 8

L’inéquation représentant cette contrainte est : 2 1,5 8x y� �

Exemple 15 : La compagnie Montrex se spécialise dans la fabrication de deuxtypes de montres: un modèle A (automatique) et un modèle F(fluorescent). Durant une journée, il y a 3 heures de disponiblespour l’utilisation de la machinerie et 7 heures de disponibles pourla bijouterie. Le modèle A exige 1,5 heure de machinerie et 1heure de bijouterie, alors que le modèle F exige 0,5 heure demachinerie et 2 heures de bijouterie. Mathématise cescontraintes.

SolutionA F Maximum

machinerie 1,5 0,5 3

bijouterie 1 2 7

Les inéquations représentant ces contraintes sont donc: 1,5 0,5 3A F� �

et 2 7A F� �


Mathématise les contraintes de la manufacture dechapeaux de golf Jiji. Le chapeau Divôt exige 4minutes de découpage et 3 minutes de couture,alors que le chapeau Oiselet exige 3 minutes dedécoupage et 1 minute de couture. La machine quidécoupe n’est disponible que 2 heures par jour,alors que la machine qui effectue la couture n’estdisponible qu’une heure par jour.


3.3 Théorème des sommets d’un polygone de contraintes et résolution deproblèmes

Selon le théorème des sommets d’un polygone de contraintes, l’un des sommetsd’un tel polygone représente le maximum ou le minimum d’une fonctiond’optimisation. Cela laisse supposer que le polygone de contraintes est fermé. Dans le cas d’un polygone ouvert, la fonction peut ne pas avoir de maximum oude minimum.

Comment ce théorème devient-il important dans notre cheminement? Lepolygone de contraintes contient un certain nombre de solutions possibles pourun système d’inéquations linéaires. Toutefois, seul un point de ce polygonecorrespond à une valeur maximale ou minimale d’une fonction d’optimisation. Pour illustrer ceci, reprenons les données de l’exemple 15 en ajoutant lesinformations suivantes: la compagnie doit vendre aucune montre de chaquemodèle ou plus et le profit réalisé lors de la vente de chaque montre A est de 25$ et celui de la montre F est de 18 $.

Les inéquations des contraintes sont donc: 1,5 0,5 3A F� �

2 7A F� �

0A �

0F �

Pour représenter graphiquement ce systèmes d’inéquations, nous allonsremplacer A par x et F par y . Le résultat est le suivant.

Le graphique montre les


sommets du polygone de contraintes. Les coordonnées du sommet A sont (0,0). Pourdéterminer les coordonnées du sommet B, nous n’avons qu’à déterminer l’ordonnée à

l’origine de l’équation de la droite-frontière . Ainsi, lorsque , . 2 7x y� � 0x �

72

y �

Les coordonnées du sommet B sont donc . 70,2

� ��

Le sommet C représente le point d’intersection entre les droites et . La résolution de ce systèmes d’équations1, 5 0, 5 3x y� � 2 7x y� �

peut s’effectuer en utilisant l’élimination, la substitution ou la méthode utilisantles matrices. Ainsi, le système peut être représenté à l’aide des matrices

suivantes: 1,5 0,5 31 2 7

xy

� � � � � ��

� � � � � �

Le déterminant de la matrice est ou . 1,5 0,51 2

� ��

� � � �1,5 2 1 0,5 2,5� � � �

52

La matrice adjointe est . Puisque l’inverse d’une matrice est2 0,51 1,5

��

déterminée par , nous obtenons la matrice inverse1 1A adjAdétA

�

�

4 12 0,52 5 51 1,5 2 35

5 5

� ��

� � ��

Pour trouver le point d’intersection, il ne reste qu’à effectuer le produit matricielsuivant.

4 13 15 5

2 3 7 35 5

� ��

��

� ��


Les coordonnées de C sont donc (1,3). Pour D, nous identifierons lescoordonnées en trouvant l’abscisse à l’origine de la droite . 1, 5 0, 5 3x y� �

Les coordonnées de D sont (2,0).

Selon le théorème des sommets d’un polygone de contraintes, l’un des sommetsdevrait maximiser la fonction d’optimisation. Nous avons mentionné que le profitréalisé lors de la vente de chaque montre A est de 25 $ et celui de la montre Fest de 18 $. En remplaçant A par x et F par y, la fonction d’optimisation est donc

. Le tableau suivant montre comment on détermine quel sommet25 18P x y� �

maximise cette fonction.

Sommet Profit 25 18P x y� �

A(0,0) � � � �25 0 18 0 0$P � � �

B70,2

� ��

� �725 0 18 63$2

P � ��

� �

C(1,3) � � � �25 1 18 3 79$P � � �

D(2,0) � � � �25 2 18 0 50$P � � �

Le sommet C est celui qui maximise cette fonction. Il faut donc que Montrexfabrique 1 modèle A et 3 modèles F par jour pour réaliser le maximum de profitsen tenant compte des contraintes.

L’exemple de la compagnie Montrex illustre parfaitement comment laprogrammation linéaire peut aider à résoudre des problèmes économiques. Pour simplifier notre travail, nous allons suivre les étapes de l’encadré ci-dessous lors de la résolution de problèmes semblables.

Résolution de problèmes en utilisant la programmation linéaire1. Mathématiser les contraintes.2. Tracer le polygone de contraintes.3. Trouver les coordonnées des sommets du polygone de contraintes.4. Mathématiser la fonction d’optimisation.5. Évaluer la fonction à optimiser pour chaque sommet du polygone de

contraintes.6. Déterminer les valeurs qui maximisent ou minimisent la fonction.


Exemple 16 : La compagnie Bomo fabrique deux types de cartes de hockey. Le premier modèle, la carte Sélecte, demande 1 minute demontage photographique et 1 minute de montage d’édition. Ledeuxième modèle, la carte Recrue, demande 4 minutes demontage photographique et 1 minute d’édition. L’appareil quieffectue le montage photographique n’est disponible que 2heures par jour alors que l’appareil qui fait l’édition n’estdisponible qu’un maximum de 4 heures par jour. Si le profit surchaque carte Sélecte est de 1 $ et celui de la carte Recrue est de0,60 $, quelle devrait être la production quotidienne de lacompagnie Bomo?

Solution 1. Mathématiser les contraintes.Soit x, le nombre de cartes Sélecte et y, le nombre de cartesRecrue. Les contraintes sont résumées dans le tableau suivant.

x y Maximum (minutes)

montage photo 1 1 � �2 60 120�

édition 4 1 � �4 60 240�

Les inéquations correspondant à ces contraintes sont ensuitedéterminées: 120x y� �

4 240x y� �

Il faut aussi ajouter lesinéquations et . 0x � 0y �

2. Tracer le polygone decontraintes.

Le graphique montre lepolygone de contrainteset les sommets de cepolygone.


3. Trouver les coordonnées des sommets du polygone decontraintes.

Les coordonnées du sommet A sont (0,0) puisqu’il s’agit del’origine du plan cartésien. Le sommet B est obtenu endéterminant l’ordonnée à l’origine de la droite . On120x y� �

trouve B(0,120). Le sommet D est déterminé en calculant l’abscisse à l’origine dela droite représentée par . On trouve que D (60, 0).4 240x y� �

Pour trouver les coordonnées du sommet C, nous allons utiliserl’élimination comme méthode de résolution du systèmed’équations 120x y� �

4 240x y� �

Nous pouvons alors soustraire la première équation de laseconde afin d’isoler x.

1204 240

3 120

40

x yx y

x

x

� � � �

� �

�

�

Puisque , . Les coordonnées de C40x � 120 40 80y � � �

sont donc (40, 80).

4. Mathématiser la fonction d’optimisation.

La fonction à optimiser est . 1 0, 60P x y� �


5. Évaluer la fonction à optimiser pour chaque sommet dupolygone de contraintes.

Le tableau qui suit permet d’identifier quel sommet fournit leprofit maximal.

Sommet Profit 1 0, 60P x y� �

A(0,0) 0P �

B(0,120 � �(0) 0,60 120 72$P � � �

C(40,80) � � � �40 0,60 80 88$P � � �

D(60,0) � � � �60 0, 60 0 60$P � � �

6. Déterminer les valeurs qui maximisent ouminimisent la fonction.

Le profit maximal est réalisé lorsque 40 cartes Sélecteet 80 cartes Recrue sont fabriquées.

Une carte de hockey deBobby Hull de 1958-59 enexcellente condition sevend à environ 1300 $ .


Exercice 4

1. Détermine les valeurs maximum et minimum de la fonction à optimiser si les contraintes suivantes s’appliquent:20 25Q x y� �

0607

10

xxyyx y

�

�

�

�

� �

2. Détermine les valeurs maximum et minimum de la fonction à optimiser si les contraintes suivantes s’appliquent:20 25Q x y� �

83

2 3 02 16

xy

y xx y

�

�

� �

� �

3. Un artisan fabrique bols et y chandeliers par semaine. Fabriquer unxbol lui demande 3 heures, dont 2 heures de tour, alors que lafabrication d’un chandelier exige 1 heure de travail dont une demiheure de tour. Traduis en inéquations les contraintes suivantes:a) l’artisan ne peut pas fabriquer un nombre négatif de bols;b) l’artisan doit fabriquer au moins 20 chandeliers par semaine;c) le tour ne peut fonctionner que pour un maximum de 40 heures par

semaine;d) l’artisan ne travaille pas plus de 48 heures par semaine.


4. Victor mange oranges et y pamplemousses chaque jour afin d’obtenir sa ration dexvitamine C de 20 unités par jour. Une orange fournit 4 unités de vitamine C alorsqu’un pamplemousse en fournit 5 unités. Les oranges coûtent 20 ¢ chacune et lespamplemousses se vendent 30 ¢ chacun. Traduis en inéquations les contraintessuivantes:a) Victor ne peut pas consommer un nombre négatif de chaque fruit.b) Victor ne mange jamais plus de 6 de ces fruits par jour.c) Victor doit obtenir au moins 20 unités de vitamine C par jour.d) Victor ne veut pas dépenser plus de 1,00 $ par jour en fruits.

5. Quatre heures de découpage et 4 heures de finition sontnécessaires pour construire un berceau pour enfant. Pourconstruire un coffre à jouets, il faut 3 heures de découpage et2 heures de finition. Durant la semaine, Evelyne, quiconstruit ces objets, peut travailler pour un maximum de 24heures en découpage et 20 heures en finition. Evelyneréalise un profit de 150 $ pour chaque berceau vendu, alorsque chaque coffre à jouets lui rapporte 100 $. Quellequantité de chaque objet devrait-elle fabriquer afin d’optimiserses profits? Quel est le profit maximum?

6. Un test, dont la durée est de 80 minutes, comprend 8 questions de type A et 5questions de type B. Chaque question de type A prend 5 minutes à faire et donne 6points. Chaque question de type B prend 10 minutes et donne 14 points. L’élèvedoit répondre à au moins deux questions de type B. À combien de questions dechaque type l’élève devrait-elle répondre afin d’obtenir le total de points le plusélevé? Quel est le résultat maximum que peut obtenir cette élève? ( Suppose quel’élève répond aux questions parfaitement)

7. Marc élève des bergers allemands et des labradors de la naissance jusqu’à l’âge de12 semaines. La pièce dans laquelle l’élevage s’effectue peut accommoder 15chiens, dont au moins 3 doivent être des bergers allemands. Il dépense 60 $ pourélever un berger allemand et 180 $ pour élever un labrador. Après 12 semaines,Marc réalise un profit de 100 $ par berger allemand vendu et 200 $ pour chaquelabrador vendu. S’il ne peut dépenser plus de 1620 $ pour l’élevage, combien dechiens de chaque race devrait-il élever pour optimiser ses revenus? Quel sera leprofit maximum?


8. Un pays en développement décide d’acheter une flotte composée de deux types denavires. Le navire A coûte 30 millions de dollars et peut transporter 10 charsd’assaut et 1000 soldats. Le navire B coûte 50 millions de dollars et peuttransporter 20 chars d’assaut et 400 soldats. Les stratèges du ministère de laDéfense estiment qu’en situation de guerre, il faudra transporter au moins 600chars d’assaut et au moins 20000 soldats. Combien de navires de chaque type cepays doit-il acheter en tenant compte des contraintes afin de dépenser le moinsd’argent possible? Quel sera ce coût d’achat?

9. Deux entraîneurs décident d’organiser une école de hockey durant l’été pour lesdéfenseurs et les attaquants. L’attrait de cette école de hockey repose sur le tempsaccordé à chaque individu par les entraîneurs. Chaque attaquant recevra 10

minutes par jour de leçons de l’entraîneur A et 20 minutes parjour de leçons de l’entraîneur B. Chaque défenseur recevra 20minutes par jour de l’entraîneur A et 10 minutes par jour del’entraîneur B. L’entraîneur A peut accorder au plus 400 minutespar jour pour les leçons alors que pour l’entraîneur B, ce tempsest de 380 minutes par jour. Quel est le nombre maximum dejoueurs que cette école peut accepter en tenant compte desconditions énumérées? Combien de défenseurs et combiend’attaquants peuvent s’inscrire?

10. a) L’entraîneur de l’équipe de basket-ball estime que son équipen’obtient jamais plus de 40 chances de marquer dans unepartie. Il estime aussi que le maximum d’ occasions d’obtenirun lancer de 3 points est de 16 et que le nombre d’occasionsd’obtenir un lancer de 2 points est au plus de 30. Si lenombre d’occasions d’obtenir un lancer de 2 points ne doitpas être inférieur au nombre d’occasions d’obtenir un lancerde 3 points, combien d’occasions de chaque type de lancerscette équipe doit-elle obtenir afin d’atteindre le total de pointsle plus élevé? Quel serait alors le pointage final pour cetteéquipe?

b) Si cette équipe ne réussit que 20 % des lancers de 3 points et 75 % des lancers de2 points, combien de lancers de chaque type doivent être tentés pour maximiser lepointage? Quel serait alors le pointage final pour cette équipe?


11. Lors de la période des examens finaux, tu dois passer unexamen de mathématiques et un examen de physique. Tupossèdes seulement 12 heures de temps d’étude pour ces deuxexamens. Tu crois qu’au moins 2 heures d’étude serontnécessaires pour l’examen de mathématiques et au moins 1heure pour celui de physique. De plus, tu estimes qu’au moinsla moitié du temps d’étude pris pour physique sera nécessairepour étudier les mathématiques. Tu détermines que pourchaque heure d’étude en physique, ton rendement augmenterade 2 % alors que pour les mathématiques, chaque heure devrait augmenter la notefinale de 1 %. Combien d’heures d’étude devrais-tu investir dans chaque matière demanière à optimiser ta moyenne générale (combinée pour les deux matières). Quellesera l’augmentation maximale de ta note combinée pour ces deux matières?

12. Un fermier possède 200 acres de terre pour la culture des légumes A et B. Afin deconserver une subvention gouvernementale, le fermier doit semer au moins 150acres de terre. Le fermier a à sa disposition un maximum de 90 heures de tempspour semer au printemps et au plus 36 heures pour la récolte à l’automne. Combien d’acres de terre devrait-il semer pour le légume A etcombien d’acres de terre devrait servir à semer le légume Bafin d’optimiser ses profits? Utilise les données du tableausuivant afin d’exprimer les inéquations de contraintes et lafonction à optimiser.

Temps pour les semences par acre

Temps pour lesrécoltes par acre

Profit par acre

Légume A 0,5 heure 0,1 heure 40 $

Légume B 0,4 heure 0,2 heure 36 $


Réponses

Exercice 1

1 a) 3x �

b) 6x � �

c) 4x �

d)32

x �

e) 6x � �

f)34

x �

g) 17x �

h) x �537

i) 2x �

j) 5x �

2. a) 24a �

b) 45p �

c) 4e �

d) 5f m� �

e) 5 8h� �

f) 150v �

Exercice 21. a)

b)

c)

d)


e)

f)

g)

h)

i)

j)

2.

a) ouib) nonc) ouid) ouie) non

3. 1x �


Exercice 31.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. a) Sommets: (0,0), (0,1), (2,2), (6,0)b) Sommets: (-2,-2), (-4,2), (4,4), (4,-2)


Exercice 4

1. max: 235; min: 02. max: 260; min: 115

3. a) b) c) d)0x � 20y �12 402

x y� � 3 48x y� �

4. a) b) c) d)0; 0x y� � 6x y� � 4 5 20x y� � 20 30 100x y� �

5. 3 berceaux et 4 coffres à jouets; Profit max = 850 $6. 6 questions de type A et 5 questions de type B; Note max = 1067. 9 bergers allemands et 6 labradors; P=2100 $8. 10 navires A et 25 navires B pour un coût total de 1,55 milliards de dollars9. 12 attaquants et 14 défenseurs pour un total de 26 joueurs10. a) 16 lancers de 3 points et 24 lancers de 2 points pour un pointage maximum de

96 pointsb) 10 lancers de 3 points et 30 lancers de 2 points pour un total de 51 points

11. 8 heures pour la physique et 4 heures pour les mathématiques; augmentationcombinée de 20 %.

12. 100 acres pour A et 100 aces pour B; Profit maximum = 7600 $

mathématiques b30 - government of saskatchewan

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