mathématiques b30

Mathématiques B30Fonctions exponentielles et logarithmiques

Module de l’élève

2002

-10 10

-10

10

x

y

y=6.( )23

x

y=6.( )23

x +1

-4,5 5,0

-5

5

x

y

Mathématiques B30

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Module de l’élève

Bureau de la minorité de langue officielle

2002

ii

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectifs généraux

L’élève sera capable de:• Acquérir des connaissances et des habiletés concernant les diverses

fonctions exponentielles et logarithmiques

• Démontrer l’habileté à appliquer la connaissance des fonctionsexponentielles et logarithmiques à des situations de la vie courante

Objectifs spécifiques

L’élève sera capable de:G.1 Définir les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques

G.2 Appliquer correctement les lois des exposants dans le cas des exposants ànombres entiers et des exposants rationnels

G.3 Travailler avec les logarithmes de nombres dont les bases sont autres que10

G.4 Construire des graphiques de fonctions exponentielles et de fonctionslogarithmiques, identifier les propriétés de ces graphiques et reconnaîtrequ'ils sont la réciproque l'un de l'autre

G.5 Tracer les graphiques de fonctions exponentielles et de fonctionslogarithmiques en choisissant un point qui convient pour la nouvelle origine

G.6 Résoudre des équations exponentielles et logarithmiques

G.7 Résoudre des problèmes comportant des fonctions exponentielles et desfonctions logarithmiques

RemerciementsCertains exercices et exemples ont été adaptés, avec permission, desdocuments de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public SchoolDivision, 1999) et d’Algèbre 30, BMLO, 1988.

P.1 - Math B30 - Fonctions expo. et log.

1. Les fonctions exponentiellesIllustrons la fonction exponentielle à partir de l'exemple suivant. Supposons qu'uneétude économique montre que le coût des aliments augmente annuellement. Letableau suivant indique cette augmentation en l'exprimant en fonction du coût quedevrait débourser chaque semaine un jeune couple au cours des prochainesannées.

Nombre d'années (x) Coût hebdomadaire en dollars (y)

0� �0 100,00y �

1� �1 105, 00y �

2 � �2 110, 25y �

3 � �3 115, 76y �

4 � �4 121,55y �

5 � �5 127,63y �

6 � �6 134,01y �

7 � �7 140,71y �

8 � �8 147, 75y �

9 � �9 155,13y �

10 � �10 162,89y �

11 � �11 171,03y �

12 � �12 179,59y �

13 � �13 188,56y �

14 � �14 197,99y �

15 � �15 207,89y �

20 � �20 256,33y �


Les responsables de l'étude voulaient obtenir une règle de correspondance d'unefonction afin de pouvoir prédire combien il en coûtera pour s'alimenter dans 21, 22ou même 25 ans. Ils cherchent donc un modèle. Ils ont commencé par établircertains quotients entre les données obtenues. Par exemple,

� �

� �

05,100,10000,105

0

1��

yy

Complète le tableau suivant en calculant les autres quotients pour les dix premièresannées.

Nombred'années

(x)

Coût hebdomadaire en dollars

(y)

Quotients

� �

� �x

x

yy 1�

0 100,00

1 105,00� �

� �

05,100,10000,105

0

1��

yy

2 110,25� �

� �

�

1

2

yy

3 115,76

4 121,55

5 127,63

6 134,01

7 140,71

8 147,75

9 155,13

10 162,89


Les résultats du tableau montrent que tous les quotients sont égaux et qu'ilsprennent tous la valeur de 1,05. En analysant les résultats, on observe que:

� �

� �� 01

0

1 05,105,1 yyyy

��

� �

� �� 12

1

2 05,105,1 yyyy

��

� �

� �� 23

2

3 05,105,1 yyyy

��

En examinant ces relations, on réalise que dépend du calcul d' qui à son(2)y� �1y

tour dépend du résultat . Donc,� �0y

� �

� �� 0

202

1

2 05,105,105,105,1 yyyyy

��

Le même genre de calcul nous permet aussi d'exprimer le rapport ci-dessous.

� �

� �� 0

30

23

2

3 05,105,105,105,1 yyyyy

��

À toi de jouer! (1) � � �4y

� � �5y

Il semble donc que � � � �005,1 yy xx �

Vérifions cette équation pour :� �9y � � � � 13,15510005,105,1 9

09

9 �� yy

À toi de jouer! (2)Vérifie l’équation pour � � �10y


Fonction exponentielle

� et �xy b� �b �

�� 1\ �x

où � représente l’ensemble des�

�

nombres réels strictement positifsou

� et �xbxf �)( �b �

�� 1\ �x

L'équation trouvée reproduit les valeurs obtenues par les responsables de l'étude.

Ce genre d'équation est dite exponentielle. Elle est de la forme où , laxby � bbase, est un nombre réel strictement positif différent de 1. On peut aussi définir lafonction exponentielle comme étant toute fonction répondant aux conditions del’encadré ci-dessous.

Exemple 1 : Une chaîne de lettres demande à la personne qui reçoit une lettrede la copier et de l'envoyer à deux autres personnes. a) Supposant que personne ne brise la chaîne, dresse un tableau

de valeurs qui montre le nombre de lettres dans la chaîne àchaque stade (pour six stades).

b) Trace le graphique de la relation.c) S'agit-il d'une fonction? Pourquoi?d) Rédige une équation représentant la situation.

Solutiona)

Stade (x) 1 2 3 4 5 6

Nombre de lettres (y) 2 4 8 16 32 64

b) Le graphique de cette fonction est le suivant.


-10 10

-10

10

x

y

c) Le test de la droite verticale nous confirme qu'il s'agit bien d'unefonction.

d) À partir des valeurs obtenues dans le tableau, on peut voir quel'équation qui représente cette fonction est la suivante:

ou � � 2xf x � 2xy �

Cette équation et le graphique qui en résulte nous permettent de voirqu'une petite augmentation du nombre de personnes dans la chaînepeut amener une augmentation considérable du nombre de lettres.


-10 10

-10

10

x

y

y=2x

y=3x

y=( )74

x

y=1.2x

Exemples de fonctions exponentielles qui ont une base supérieure à 1.

À quel point ces fonctions traversent-elles l'axe des y?

Quel est le domaine de chacune de ces fonctions?

Quelle est l'image de chacune de ces fonctions?

Ces fonctions possèdent-elles des zéros?


-10 10

-10

10

x

y

y=( )110

x

y=( )13

x

y=( )12

x

y=( )34

x

y=0.9x

Exemples de fonctions exponentielles de la forme , dont .xbxf �)( 10 �� b

À quel point ces fonctions traversent-elles l'axe des y?

Quel est le domaine de chacune de ces fonctions?

Quelle est l'image de chacune de ces fonctions?

Ces fonctions possèdent-elles des zéros?


� Le symbole � décrit un phénomèneet non un nombre réel.

� Le symbole +� veut dire plusl'infini; c'est-à-dire que les valeursde la variable deviennent de plusen plus grandes.

� Le symbole -� veut dire moinsl'infini; c'est-à-dire que les valeursde la variable deviennent de plusen plus petites.

Remarques1) Générales

� La base d'une fonction exponentielle ne peut égaler 1, car sinon onobtient , quel que soit x réel.� � 1 1xf x � �

� La base d'une fonction exponentielle ne peut être négative, sinon lafonction ne serait pas définie pour certaines valeurs de x. Par exemple,si la base était -5 et l'exposant x = ½, alors on aurait

, ce qui n'est pas défini dans l'ensemble des� � 5521

21

��

��

�f

nombres réels.� La base ne peut pas être 0.

2) Lorsque la base b>1� Le graphique de la fonction a

l'allure générale de .( ) 2xf x �

� Lorsque x�+� , alors y�+�. Autrement dit, plus x tend versplus l'infini, plus y tend vers plusl'infini.

� Lorsque x�-� , alors y�0. Autrement dit, plus x tend versmoins l'infini, plus y tend vers 0. L'asymptote horizontale a pouréquation y=0 (sur l'axe des x).

� La fonction est croissante.

3) Lorsque la base 0<b<1

� Le graphique de la fonction a l'allure générale de .1( )2

x

f x � ��

� Lorsque x�+� , alors y�0. L'asymptote horizontale a pour équation y =0 (sur l'axe des x).

� Lorsque x�-� , alors y�+�. � La fonction est décroissante.


Propriétés des fonctions exponentielles xbxf �)(� Le domaine d'une fonction exponentielle est l'ensemble des nombres

réels, donc �.� L'image d'une fonction exponentielle est f(x) >0, donc � .�

�

� Le graphique d'une fonction exponentielle passe par le point (0, 1), quelleque soit la base de cette fonction.

-2 2

-2

2

x

y

f .( )x =( )12

xf .( )x =2x

Certains nombres interviennent dans de nombreusesformules de plusieurs branches des mathématiques. C'est le cas du nombre irrationnel �, mais aussi dunombre d'Euler � qui possède la valeur approchée2,71828188284590... Comme on peut le voir, ce nombrea un nombre infini de décimales. Ce nombre est souventutilisé comme base pour des fonctions exponentielles etil est la base du système des logarithmes népériens. Tacalculatrice à affichage graphique possède une touchequi permet d'utiliser le nombre � (�x).

Fonction biunivoqueUne fonction biunivoque est une fonction pour laquelle à chaque valeur de x, il n'y aqu'une seule valeur de y ou de f (x) et chaque valeur de y ou f(x) est l'image d'un seulx. Le terme fonction biunivoque est synonyme de fonction bijective.Une fonction exponentielle représente-t-elle une fonction biunivoque?

La figure ci-contre résume les deuxfonctions exponentielles fondamentales.

Il est très important de distinguer unefonction exponentielle d’unexbxf �)(fonction puissance . Dans lanxxf �)(seconde, c’est la base qui varie et nonl’exposant comme dans le cas de la

fonction exponentielle.


Transformations élémentaires appliquées à la fonction exponentielle .xbxf �)(Certains graphiques de fonctions exponentielles sont un peu plus complexes queceux obtenus à partir de la forme générale . Nous allons explorer cesxbxf �)(graphiques à partir de règles de correspondance de la fonction .xxf 2)( �

Examinons ce qui se produit lorsqu'on modifie pour obtenirxxf 2)( �

. À partir des deux fonctions, nous pouvons obtenir le tableau des4( ) 2 1xg x �

� �

valeurs suivant.x xxf 2)( �

4( ) 2 1xg x �

� �

7 128 9

6 64 5

5 32 3

4 16 2

3 8 32

2 4 54

1 2 98

0 1 1716

La représentation graphique correspondante est la suivante.

La flèche sur le graphique montre la règle decorrespondance. On peut obtenir un point appartenant à lafonction en se déplaçant d’une unité vers la4( ) 2 1xg x �

� �

droite et d’une unité vers le haut à partir du pointcorrespondant de la fonction . Il en est de mêmexxf 2)( �

pour tous les points correspondants de ces deux fonctions. Donc, la fonction est aussi une fonction4( ) 2 1xg x �

� �

exponentielle, mais qui a subi une série de transformationsélémentaires par rapport à . xxf 2)( �


Les fonctions ayant la forme sont exponentielles, etpabxf dcx��

�)( dcba ,,,p sont des nombres réels et et b>0. Le graphique de 0�a

est obtenu à partir du graphique suite à unpabxf dcx��

�)( xabxf �)(déplacement horizontal de d unités et un déplacement vertical de p unités.

-10 10

-10

10

x

y

y=6.( )23

x

y=6.( )23

x +1

Comme nous le remarquons, il est possible d’effectuer des translations avec desfonctions exponentielles.

Exemple 2 : Construis un tableau des valeurs afin de tracer le graphique de

.12( ) 6

3

x

g x�

� ��

� �

Solution:x g(x)

2 16/9

1 8/3

0 4

-1 6

-2 9

-3 27/2

Le graphique représente une fonctionexponentielle décroissante. Le graphique montre

également . � �g xx

��

��6

23

On voit le déplacement horizontal de la fonction

par rapport à la fonction 1

326)(

�

��

��

��

x

xf

x

xf ��

��

��

326)(


Exercice 1

Parmi les équations suivantes, détermine lesquelles représentent des fonctionsexponentielles.

1. 2.x

y ��

��

��

103 10

3

xy �

3. 4.2)2( �� xy 22 �

�xy

5. 6.5�� xy 32

)5( �� xy

7. 8.x

y2

32��

��

�� xy 2)3(��

Pour chacune des équations ci-dessous, indique s’il s’agit d’une fonctionexponentielle croissante ou d’une fonction exponentielle décroissante.

9. 10.5 xy �

91 0

x

y � ��

� �

11. 12.(0 , 0 2 5) xy �

1 09

x

y � ��

� �

13. 14.1 0 0 (1, 0 2 5 ) xy �

31 0 0 0

x

y �

15. 16.1 0 0 (0 , 9 9 9 ) xy � � �16 25

xy �

�


-2 10

-2

10

x

y

Les équations ci-dessous représentent des fonctions exponentielles. Pourchacune, trace le graphique à partir d’un tableau des valeurs. Choisis uneéchelle appropriée pour les axes du graphique. Tu devras utiliser la calculatriceuniquement pour la question 20.

17. 4 xy �

18. 11

2

x

y�

� ��

19. 42 xy �

�

20. 1 0 0 ( 0 , 9 2 ) xy �

Le graphique de la fonction est montré ci-dessous.2

216)(

�

��

��

��

x

xf


Trace les graphiques des deux fonctions ci-dessous en effectuant lestranslations nécessaires.

21. 2216)(

1

��

��

��

�x

xf

22. 1216)(

2

��

��

��

�x

xf

23. Le nombre de lapins dans une population après t mois suit pour une courtepériode de temps le modèle . � �ty 220�

a) Détermine le nombre initial de lapins, c’est-à-dire le nombre de lapinsau temps t = 0.

b) Détermine le nombre de lapins après 4 mois.c) Détermine le nombre de lapins après 2 ans.d) Pourquoi cette fonction ne représente-t-elle pas un modèle adéquat

pour décrire l’accroissement de la population des lapins à long terme? Autrement dit, quels sont les facteurs qui peuvent empêcher unecroissance exponentielle?

24. La valeur d’une automobile après t années est déterminée selon la fonction. ty )85,0(25000�

a) Détermine la valeur initiale de l’automobile.b) Détermine la valeur de l’automobile.c) Quelle sera la valeur de l’automobile après 5 ans?d) Quelle sera la valeur de l’automobile après 30 ans?e) Quels facteurs peuvent faire en sorte que la fonction ne représente

pas un bon modèle pour déterminer la valeur de l’automobile à longterme?


2. Les lois des exposants et les équations exponentielles

2.1 Rappel des lois des exposants

Les lois des exposants ont été abordées lors du cours de Mathématiques A30. La présente section se contentera d’en faire un simple résumé. Ces lois nouspermettront de résoudre des équations exponentielles.

Résumé des caractéristiques des exposantsbaba xxx �

��

aa

xx 1

��

bab

aba x

xxxx �

��

� � aaa yxxy �

� � abba xx �

a

aa

xy

yx

��

��

��

a

aa

yx

yx

��

��

� nn xx �

1

10�x n mn

m

xx �

2.2 Utilisation des lois des exposants pour résoudre des équationsexponentielles.

On peut utiliser nos connaissances des lois des exposants pour représenterdes expressions d’une manière différente. Ces représentations peuventsouvent être utiles pour obtenir une simplification ou pour résoudre une

équation. Par exemple, on peut écrire que et que . 3327 � � � 18626 339 ��

Également, � � � � � ��

105

214

5

21

45

215

3338181 ��

�

��

��

��

��

��

��

��


Exemple 3 : À partir des lois des exposants, écris chacune des expressions dutableau ci-dessous de manière à ce que la base des nouvellesexpressions soit toujours égale à 3.

81

910

271,8

37

27

45

9�

4,0

91 �

��

��

�

4 243

� � 581

�

� � � � � ��

105

214

5

21

45

215

3338181 ��

�

��

��

��

��

��

��

��

� �� 3 927

��

��

�� 3 3 927

Ces représentations mettent en évidence une des propriétés des expressionscomportant des exposants.

Cette propriété sera très importante pour résoudre des équations comme le montrel’exemple suivant.

Principe des puissances et des bases égalesSi est un nombre réel différent de 1, 0 et -1, ainsi que , alorsa nm aa �

.nm �


Exemple 4 : Résous 273 5�

�x

Solution: 273 5�

�x

5 33 3x��

5 3x� � �

8x �

Exemple 5 : Résous x

x�

�

��

��

��

412

2719

Solution:4

2 1 1927

xx

�

� � ��

� � � �2 1 42 33 3

x x� ��

�

4 2 12 33 3x x� � �

�

4 2 12 3x x� � � � �

14x � �


�x

Solution: 339 2�

�x

� �1

22 1 23 3 3x� � �

� � ��

112 4 23 3x ��

�

32 4 23 3x�

�

32 42

x� � �

4 8 3x � �

114

x �


Exercice 2

Transforme chacune des expressions ci-dessous afin d’obtenir une expression ayantune base 2.

1. 16

2. 256

3. 81

4. 104

5.3

87

6. 1132 �

7.6

41��

��

�

8.40

21 �

��

��

�

9. 3,24

10. 28

11.8

210

12.� ��

4

95

321664

13.� ��

2,0

4,53,1

64168

14. � �� 3 22

15. 5 2

16. � �� 45 84

17. 3 16

18.3

7

416

19. 5 128

20.52

52

31

2

48 ��

��

��

��

�


Simplifie chacune des expressions ci-dessous en donnant une réponse sous formeexponentielle lorsque c’est nécessaire.

21. 6,24,07,2 999 ��

22. 6,08,03,1 444 ��

23. � �21

22 54 ��

�

24.51

254

3

32

49 ��

��

��

��

��

�

25. � �� 25 2 xx

26. � �� 15 2 �xx

27. ��

��

��

�� 10 45 4 xx

28. � �43 927 ��

��

29. � � 225

30. � �12

33

214 ��

��

�

31.200

50

39

32. � �225 52 �


Résous chacune des équations exponentielles ci-dessous. Montre ton travail.

33. 322 �x

34. 31255 �x

35. 5223 77 ��

�xx

36. 82 22 �x

37. 9314 55 ��

�xx

38. 42 84 ��x

39. 12 525 �

�x

40. 652 279 ��

�xx

41. 23 84 �

�tt

42. 121 48 ��

�xx

43. 42 5�

�x

44. 12 2

77 �

�mm

45.14

1

214

�

�

��

��

��

xx

46. mm 625125 12�

�

47. cc 279 1�

�

48. xx 842

1�

�

49. � �� xxx 2162 12�

�

50. 2792�

x

51. 113 42

��x

52. 16225�

� xx

53. Dans le monde du sport professionnel, il y a souvent des rumeurs de transactionqui impliquent des joueurs d’équipes différentes. Supposons que pour unecertaine rumeur d’échange impliquant deux gardiens de but, personnesy

apprennent une rumeur en heures, selon l’équation . Combienx ��

��

��

�121

264x

y

d’heures s’écouleront avant que 1024 personnes soient mises au courant de cetterumeur?

Discussion54. Explique pourquoi la statégie utilisée pour résoudre les exercices 33 à 52 ne

pourraient pas fonctionner pour résoudre .652 94 ��

�xx


3 Les fonctions logarithmiques

3.1 Pourquoi étudier les fonctions logarithmiques?Dans le dernier exercice, nous avons développé nos habiletés à résoudre deséquations exponentielles telles que . Lorsque les bases des9314 55 ��

�xx

deux termes de l’équation sont identiques, la résolution devient assezévidente. Mais qu’arrive-t-il lorsqu’une équation exponentielle comporte destermes dont les bases sont différentes? Par exemple, comment résoudrel’équation exponentielle ? Nous pouvons résoudre cette équation de52 �

x

manière approximative, mais il est souvent nécessaire d’obtenir une valeurexacte pour la variable de l’équation. Ce genre de problème est une desraisons d’être des logarithmes. Dans les prochaines sections, nous allonsintroduire la fonction logarithmique, mais auparavant, débutons par unexamen de la réciproque d’une fonction exponentielle.

3.2 Réciproque de la fonction exponentielle ( de la fonction )1( )xf � ( ) xf x a�

Supposons la fonction définie par l’équation . À partir du)(xf xy 2�

tableau des valeurs ci-dessous, on peut tracer le graphique de cette fonction.

x ( ) 2xf x �

-2 0,25

-1 0,5

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

Le graphique de cette fonction est le suivant.


-10 10

-10

10

x

y

Pour trouver la réciproque de cette fonction, on peut simplement inverser lespoints du tableau des valeurs trouvées précédemment. Nous obtenons:

x 1( )xf �

0,25 -2

0,5 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

En ajoutant la réciproque de la fonction définie par l’équation , nousxy 2�

obtenons le graphique suivant.


-10 10

-10

10

x

y

f(x)

f -1

Le graphique montreaussi la droite d’équation

. Cette droite est laxy �

droite de réflexion. Cettedroite est bissectrice desquadrants I et III.

Propriétés )(xf 1( )xf �

Allure de la fonction croissante croissante

Domaine � ��

�

Image ��

�

�

Asymptote horizontale verticale 0�y 0�x

On remarque que le domaine de la fonction devient l’image de . )(xf 1( )xf �

Également, l’image de devient le domaine de . Aussi, le graphique )(xf 1( )xf �

de passe par le point (0,1) alors que celui de passe par le point)(xf 1( )xf �

(1,0).


Fonction logarithmique

� et �xy blog� �b �

�� 1\ �x

ou� et �xxf blog)( � �b �

�� 1\ �x

si et seulement si logb x y�yb x�

La réciproque d’une fonction exponentielle est une fonction logarithmique,telle que définie dans l’encadré ci-dessous.

3.3 Relation entre la forme exponentielle et la forme logarithmiqueVoici une expression contenant un logarithme: . Tu remarques que lex2log2 est placé en indice. On lit cette expression de la manière suivante:logarithme de base 2 de x ou logarithme dans la base 2 de x.

Note: Lorsqu'on travaille avec des logarithmes de base 10, on omet souventle 10 et on simplifie l'expression. Par exemple, s'écrit souventx10log

. D’ailleurs, nos calculatrices sont programmées pour calculerxlogles logarithmes de base 10. Par exemple, si tu désires calculer le

, tu dois entres la séquence de touches suivantes sur ta1000log10

calculatrice à affichage graphique « »1000 .̧ La réponse est 3.

Exemple 7 : À l’aide de la calculatrice, trouve les logarithmes suivants, à 5décimales près.

Logarithme Valeur

a 400log 2,60206

b 44log 1,64345

c 07,0log -1,1549

d��

��

�

75log

-0,14613

e � �7log �non défini

1Cantin, J. et al. (1999). Mathématique 003 et 004. Lidec, Montréal, page 209


La relation réciproque entre la forme exponentielle et la forme logarithmiquepeut se résumer comme-ci: le logarithme de x dans la base b est l’exposant yqu’il faut donner à la base b pour obtenir y1. Ainsi, est l’exposant y tel2log 8que . Donc, .2 8y

� 2log 8 3�

Les exemples ci-dessous illustrent cette relation réciproque.25log2255 5

2�� 81log4813 3

4��

��

��

��

641log3

6414 4

3

4194304log4log1141943044 411

411

��

Certains logarithmes sont faciles à évaluer comme le montre le tableau suivant.Expression logarithmique Valeur Justification

a 8log 23 823

�

b 100log102 10010 2

�

c 27log 33 2733

�

d 1log 70 17 0

�

e��

��

�

51log 5

-1

515 1

��

f 3log 9

21

39 21

�

g��

��

�

1625log

45

2

1625

45 2

��

��

�

h 12log121 12121

�

i )9(log 3 �non défini seuls les logarithmes des nombres

positifs peuvent être évalués


j 38 8log 3 33 88 �

k 196 6log � -19 1919 66 ��

�

À toi de jouer! (3)

Complète le tableau suivant à partir de tes connaissances de la relation entreles expressions exponentielles et logarithmiques.

Expression logarithmique Valeur Justification

a 64log8

b 1000log10

c��

��

�

161log 4

d��

��

�

1251log 5

e � �5log 5

f 43 3log

g��

��

�

271log

31

h 10011 11log

i 1log100

j � �16log 4 �


Exemple 8 : Selon le cas, trouve l’expression logarithmique ou exponentielleéquivalente à l’expression initiale.

Expression initiale Équivalence Solution

a 62554� � 4625log 5 �

b 3216log 6 � � 21663�

c 532log21 ��

3221 5

��

��

��

d swr� � rsw �log

e gcd �log � cd g�

f xy 2log� �yx 2�


Trouve l’expression logarithmique ou exponentielle équivalente à l’expressioninitiale.

Expression initiale Équivalence Solution

a 576480178� �

b 327log 3 � �

c4

25681log

34 ��

�

��

� �

d

16625

52 4

��

��

��

�

e wz 10log� �


Les exemples précédents illustrent la relation entre les formes exponentielleset logarithmiques. Cette correspondance, , est utilexybx b

y log��

pour calculer la valeur des expressions logarithmiques comme le montrent lesexemples suivants.

Exemple 9 : Pour chacune des expressions suivantes, trouve la valeur enmontrant la démarche menant à la réponse.

a) 10000log10

b) 32log21

c) 23

5 125log

Solution:

a) Soit x�10000log10

alors, 1000010 �x

410000log4

1010

10

4

��

�

��

x

x

b) Soit 12

log 32 x�

alors, 3221

��

��

�x

� �

532log5522

22

21

5

51

��

��

��

�

��

�

�

xx

x

x


c) Soit x�23

5 125log

alors, � � 23

1255 �

x

� �

9125log

929

21

55

55

23

5

29

21

23

321

��

�

�

�

��

��

��

x

x

x

x

En utilisant les mêmes techniques, on peut aussi résoudre des équationslogarithmiques. Il s’agit donc de trouver l’inconnue d’une équation log enutilisant l’équivalence entre la forme exponentielle et la forme logarithmique. L’exemple ci-dessous nous permet de visualiser cette démarche.

Exemple 10: Résous chacune des équations ci-dessous.a) b)264log �x 2)4(log 3 ��x

Solution:a) 264log �x

8,8642

��

�

xxx

Puisque la base d’unlog ne peut êtrenégative, on doitéliminer comme8��xsolution possible.

8�� x

b) 2)4(log 3 ��x

549

432

��

��

��

xx

x



Résous l’équation 1252log3

x �

Logarithme népérienComme nous l’avons déjà mentionné, la base � est unedes plus importantes en mathématique contemporaine.La valeur du nombre � est obtenue à partir

de ou Sa1lim 1

n

ne

n��

� ��

� �

1 1 1 1 ...1! 2! 3! 4!

e � � � � �

valeur approximative est 2,718281828.

Le logarithme naturel ou népérien est représentée parl’expression ou ce qu’on retrouve souvent dans leselogtextes mathématiques ln. Cette fonction se trouveaussi sur ta calculatrice.


Exercice 3

Trouve la valeur de chaque logarithme.

1. 36log 6

2. 125log 5

3. 10000log10

4. 50log 50

5. 1log 7

6. ��

��

�

111log11

7. 64log 2

8. ��

��

�

811log3

9. 154 4log

10. ��

��

�

251log5

11. 8log 8

12. 1313 13log �

À partir de l’équivalence , écris chacune des expressions ci-xybx by log��

dessous sous forme logarithmique.

13. 14.932� 62554

�

15. 16.6432 56

� 278143

�

À partir de l’équivalence , écris chacune des expressionsxybx by log��

suivantes sous forme exponentielle.17. 18.38log 2 � 15log 5 � 19.

438log16 �

20. abc �log

Évalue chacun des logarithmes ci-dessous. Montre ta démarche.21. 1000log10

22. 243log 3

23. 625log 5

24. ��

��

�

41log

21

25. ��

��

�

1258log

52

26. 12log144

27. 27log81

28. ��

��

�

51log 5

29. ��

��

�

641log 2

30. 37 7log

31. 100log101

32. 53 81log

33. � �328log 2

34. 001,0log100

35. 57

32 4log

36. 243log 81


Détermine la valeur de chaque logarithme à l’aide de la calculatrice.37. 38. 39.279log 88888log 00987,0log 40. 115log

Résous les équations suivantes. Montre les étapes de ton travail.41. 5log 3 �x42. 4log 7 �x

43.25log 4 �x

44.43log16 �x

45. 2log 6 ��x

46.32log8 ��x

47. 281log �x

48. 4256log �x

49.538log �x

50.3225log �x

51. 132log ��

��

�x

52. 201,0log ��x

53. x�1log10

54. 3log 4 ��x55. 216log 36�x56. 4log 2 �x

57.213log �x

58. x�8log 2

59. � � 236log 210 ��x

60. � � 27log 23 ��x

Dans les questions suivantes, c et d représentent des entiers consécutifs. Détermineleur valeur à partir des informations contenues dans les énoncés.

61. Le est supérieur à c, mais inférieur à d.200log 5

62. Le est supérieur à c, mais inférieur à d.50log 7

63. Le est supérieur à c, mais inférieur à d.��

��

�

501log3

64. Le est supérieur à c, mais inférieur à d��

��

�

21log 7


Discussion65. Explique pourquoi il est impossible de trouver la valeur des expressions ci-dessous:

a) 0log 4

b) )1(log 4 �

c) (Est-ce une fonction logarithmique?)4log1


-5 5

-5,0

4,5

x

y

-4,5 5,0

-5

5

x

y

4 Les graphiques des fonctions logarithmiques

Nous avons introduit les fonctions logarithmiques comme étant les réciproques desfonctions exponentielles. L’examen du graphique d’une fonction logarithmique peutnous aider à résoudre certains problèmes. Revoyons les graphiques de base desfonctions logarithmiques.

Le graphique ci-contre est celui de la fonctiondéfinie par l’équation . Lexy 10log�

domaine de cette fonction est {x:x>0} alors quel’image est {y:y��}. De plus, la fonction estcroissante.

Le graphique ci-contre est celui de la fonctiondéfinie par l’équation . Encore unexy

21log�

fois, le domaine de la fonction est {x:x>0}alorsque l’image est {y:y��}. Toutefois,contrairement au graphique précédent, lafonction est décroissante.

Si une fonction logarithmique possèdeune base b, telle que b>1, alors elle eststrictement croissante.

Si, au contraire, 0<b<1, alors la fonctionlogarithmique est strictementdécroissante.


La calculatrice est un outil utile lorsque la base d’une fonction logarithmique est 10. L’exemple suivant montre une application de la fonction logarithmique.

Exemple 11 : L’intensité d’un tremblement de terre est mesurée selon l’échellede Richter. La fonction permettant de calculer l’indice d’intensité

est , où R est l’indice d’intensité, I0 est l’intensité��

��

��

0

logIIR

minimale détectable. Le tableau suivant indique les indicesd’intensité selon Richter et leur impact respectif.

Indice de Richter Impact

4 les secousses sont généralementressenties par quelques personnes

5 les secousses sont ressenties par tous,mais ne causent aucun dommage

6 les secousses provoquent une certainepeur chez la plupart des gens et il peut seproduire des dommages

7 et plus les secousses provoquent une panique etdes dommages structuraux sont possibles

a) Détermine l’indice de l’échelle deRichter d’un tremblement de terredont l’intensité est de 1000I0.

b) Trouve l’indice de l’échelle deRichter d’un tremblement de terredont l’intensité est de 1000000I0.

c) Exprime l’intensité par rapport à I0 d’un tremblement de terre dontl’indice de Richter est de 5,7.

d) L’intensité de deux tremblementsde terre est mesurée par dessismologues. L’intensité dupremier, selon l’échelle de Richterest de 5,5 alors que celle dusecond est de 7,5. Combien defois plus intense le secondtremblement de terre est-il parrapport au premier?

Des tremblements de terre peuvent seproduire dans presque toutes les régions duCanada.Les sismologues estiment que plus de 2 500tremblements de terre sont enregistréschaque année au pays. En fait, de toutes lescatastrophes naturelles qui risquent defrapper notre pays, la plus destructrice seraitindéniablement un fort tremblement de terrequi toucherait l'une des grandes villes duCanada.

Pour en savoir plus:http://www.sauvegarde.ca/earthquakes/fr_quake.html


Solution:

a) � � 31000log1000

log0

0 ��

��

��

IIR

b) � � 61000000log1000000

log0

0 ��

��

��

IIR

c) ��

��

��

0

logIIR

0

07,5

0

7,5

0

50118710

10

log7,5

IIIIIIII

�

�

��

��

��

��

d) Soit IG, l’indice du tremblement le plus grand et IP, celui du plus petit. Alors,

05,70

5,7

0

10

10

log5,7

IIIIII

G

G

G

��

��

��

��

��

05,50

5,5

0

10

10

log5,5

IIIIII

P

P

P

��

��

��

��

��

Établissons le rapport entre IG et IP

100101010 2

05,5

05,7

��

II

II

P

G

Le plus grand tremblement de terre est donc 100 fois plus intense que dele plus petit. Une différence de 2 sur l’échelle de Richter implique quel’intensité du plus grand des deux tremblements de terre est de 102 plusimportante que celle du plus petit.


Exercice 4

1. Soit trois fonctions définies par les équations , etxy 2log� xy 3log�

. Copie et complète le tableau suivant. Trace ensuite les troisxy 4log�

graphiques sur le système d’axes. x xy 2log�

x xy 3log�x xy 4log�

8 27 64

4 9 16

2 3 4

1 1 1

21

31

41

41

91

161

81

271

641

a) Ces fonctions sont-elles croissantes ou décroissantes?b) Examine ces graphiques par rapport à la valeur de la base. Quel est l’effet

d’une augmentation de b dans sur la valeur y lorsque b>1?xy blog�

c) Donne le domaine et l’image de chaque fonction.


2. Soit trois fonctions définies par les équations , etxy21log� xy

31log�

. Copie et complète le tableau suivant. Trace ensuite les troisxy41log�

graphiques sur le système d’axes. x xy

21log�

x xy31log�

x xy41log�

8 27 64

4 9 16

2 3 4

1 1 1

21

31

41

41

91

161

81

271

641

a) Ces fonctions sont-elles croissantes ou décroissantes?b) Examine ces graphiques par rapport à la valeur de la base. Quel est l’effet

d’une diminution de b dans sur la valeur y lorsque 0<b<1?xy blog�

c) Donne le domaine et l’image de chaque fonction.


3. En sciences, on utilise souvent l’échelle du pH pour déterminer le niveau d’aciditéd’une solution. Le pH est un nombre situé entre 0 et 14. Un pH de 7 indique unesolution neutre, c’est-à-dire une solution qui n’est ni acide, ni alcaline. Un pHinférieur à 7 indique une solution acide. Plus le pH est bas, plus la solution estacide. Un pH supérieur à 7 indique une solution alcaline. Plus le pH est près de14, plus la solution est alcaline. La formule du pH est où� ��

�� HpH log � ��Hest la concentration en ions hydrogène (en g/L). Le tableau ci-dessous montre lesconcentrations en ions hydrogène de quelques substances. Calcule le pH de

chaque substance et détermine laquelle dessolutions est la plus acide et laquelle est la plusalcaline.

Solution (g/L)� ��H

a eau distillée 1,00×10-7

b jus d’orange 6,31×10-5

c vinaigre 1,58×10-3

d jus de citron 6,31×10-3

e acide d’une batterie 5,01×10-1

f eau salée 1,00×10-8

g ammonium 3,16×10-12

4. Les écologistes utilisent les mathématiques pour prédire les changements dunombre d’individus à l’intérieur d’une population donnée. Par exemple, lorsqu’onintroduit une nouvelle espèce dans une région, la population va connaître unecroissance rapide au début, mais qui va diminuer par la suite. Une fonctionlogarithmique permet de prédire les changement de nombre à l’intérieur de lapopulation. Supposons que des coyotes sont introduits dans une région donnée etqu’on s’intéresse à leur nombre, y, après x mois selon l’équation

.� �23log200 �� xya) À l’aide de la calculatrice à affichage graphique, trace le graphique de la

fonction pour les 24 premiers mois après l’introduction des coyotes dans larégion.

b) Utilise le tableau des valeurs de la calculatrice (2s¸) pour compléter le tableau ci-dessous.

x 0 4 8 12 16 20 24

y

Source: Environnement Canadahttp://www.ec.gc.ca/water/fr/manage/qual/f_ph.htm


c) À l’aide de la calculatrice, détermine, au dixième près, après combien de moisle nombre de coyotes aura atteint 300. Indice: trace le graphique de la fonctiony = 300 et celui de . Ensuite détermine les coordonnées� �23log200 �� xydu point d’intersection des deux graphiques en utilisant la fonction CALC enappuyant sur les touches: 2r 5 et en suivant les instructions).

5. Le tremblement de terre le plus important enregistré au Canada au cours des 100dernières années a eu lieu dans les Maritimes en 1949. Son indice sur l’échelle deRichter était de 8,1. Plus récemment, un tremblement de terre d’indice 5,9 futenregistré dans la région du Saguenay au Québec en 1988. Combien de fois plusintense le tremblement de 1949 était-il comparativement à celui du Québec en

1988? Un rappel: .��

��

��

0

logIIR


5. Propriétés des logarithmes

La démonstration suivante va nous permettre de présenter la première de quatrepropriétés particulières aux logarithmes.

Complète le tableau suivant.m n nm 1010 loglog � )(log10 mn

2 3 0,301+0,477=0,778

5,4 6,5

31

52 -0,875

Que remarques-tu?

Preuve: � Soit , et pMb �log qNb �log rMNb �log� Suite à la définition du logarithme, on sait que ,Mb p

�

et que Nb q� MNb r

�

� Puisque MN=(M)(N)� ��

NMMNqpr

bbbbb

bbb

qpr

qpr

loglog)(log ��

��

��

��

�

Loi du produit pour les logarithmesLe logarithme d’un produit MN est égal à la somme des logarithmes de sesfacteurs M et N.

NbMbMNb logloglog ��


Exemple 12 : Rédige l'expression sous la forme d’un logarithme6log9log �

simple.

Solution: La loi du produit des log dit que NbMbMNb logloglog ��

Donc, � � 73,154log69log6log9log ��

Pour illustrer la seconde propriété des logarithmes, nous allons commencer parcompléter le tableau qui suit.

m n nm 1010 loglog �

��

��

�

nm

10log

2 3 -0,176

8,8 2,2

31

51 0,222

Que remarques-tu?

Loi du quotient pour les logarithmesLe logarithme d’un quotient M/N est égal à la différence des logarithmes dudividende M et du diviseur N .

NbMbNM

b logloglog ��

��

�


Preuve: � Soit , et pMb �log qNb �log rMNb �log� Suite à la définition du logarithme, on sait que ,Mb p

�

et que Nb q� MNb r

�

� Puisque M/N=(M)/(N)

� ��

NMNM

qprbbbbb

bbb

qpr

q

pr

loglog)(log ��

��

��

��

�

Exemple 13 : Rédige l'expression sous la forme d’un9log144log 22 �

logarithme simple.

Solution: La loi du quotient des log dit que NbMbNM

b logloglog ��

��

�

Donc, 42log16log9

144log9log144log 422222 ��

�

��

��


Reprenons la même démarche pour montrer la troisième loi des logarithmes. Complète le tableau ci-dessous.

m n nmlog mn log

2 3 0,903

8,8 2,2

31

51 -0,095

Que remarques-tu?

Preuve: � Soit . pMb �log� Suite à la définition du logarithme, on sait que ,Mb p

�

Donc, MNM bN

b loglog �

De la propriété précédente découle celle impliquant les racines:

Loi de la puissance pour les logarithmesLe logarithme d’une puissance MN est égal au produit du logarithme M dansla base b par l’exposant N.

MbNNMb loglog �

Loi de la racine pour les logarithmesLe logarithme d’une racine est égal au logarithme du nombre N dontM Non cherche la racine divisé par l’exposant M.

NM

N bM

b log1log �


Exemple 14 : Rédige l'expression suivante sous la forme de logarithmesimple et trouve ensuite sa valeur.

410 1000log

Solution: La loi du log pour les racines stipule que NM

N bM

b log1log �

Donc, � �41

104

10 1000log1000log �

43)3(

411000log

1000log411000log

410

104

10

��

�

Exemple15 : Rédige l'expression suivante sous la forme de logarithmesimple et trouve ensuite sa valeur.

34 16log

Solution: Selon la loi des logs pour les puissances, MbNNMb loglog �

6)2(34log316log316log 244

34 ��

Tu as sûrement remarqué qu'il est impossible de tracer la fonction àxy 2log�

l'aide de ta calculatrice à affichage graphique. En effet, les deux seules fonctionslog qui peuvent être tracées directement avec la calculatrice TI-82 ou la TI-83 sontcelles définies par les équations:

xy 10log�

xy ln�


Toutefois, il est possible de contourner cette difficulté en employant une formulepermettant de changer la base d'une fonction log en une nouvelle base. Ainsi, il estpossible de transformer une expression du genre en une expressionxy 2log�

log ayant une base 10.

Preuve: � Soit logb n p�

�pb n�

� log logpc cb n�

� log logc cp b a�

�

loglog

c

c

npb

�

� puisque , nous avons que logb n p�

logloglog

cb

c

nnb

�

L'exemple suivant te permettra de comprendre l’utilité de cette formule.

Exemple 16 : Convertis l'expression en une expression logarithmiquex5logayant une base 10:

Solution: Utilisons la formule de changement de base.

bnn

c

cb log

loglog �

5logloglog

10

105

xx �

Formule pour changer la base d’un logarithme

bnn

c

cb log

loglog �


Il est aussi possible d'utiliser cette approche pour tracer le graphique d'une fonctioncomme celle définie par l’équation à l'aide de la calculatrice à affichage5log xgraphique en entrant la nouvelle formule trouvée auparavant comme équation.

1) Dans le menu (, entrer la fonction en tapant:

Y1 = (log x)/(log 5)

2) Appuie sur , pour voir le résultat.

Résumé des propriétés des logarithmes1. Loi du produit pour les

logarithmesNbMbMNb logloglog ��

2. Loi du quotient pour leslogarithmes NbMbN

Mb logloglog ��

�

��

�

3. Loi de la puissance pour leslogarithmes MbNNMb loglog �

4. Loi de la racine pour leslogarithmes N

MN b

Mb log1log �

5. Loi du changement de base

bnn

c

cb log

loglog �

Une caractéristique des logarithmes va nous permettre de résoudre des équations dansla prochaine section: si , alors .BA bb loglog � BA �


Exercice 5

Utilise les propriétés des logarithmes pour obtenir une expression logarithmique simple.1. 11log3log 88 �

2. 6log5log3log 222 ��

3. zyx aaa logloglog ��

4. � � � �3log1log �� xx bb

5. 10log20log 44 �

6. 16log160log 55 �

7. � � � �1log1log �� hh vv

8. 4log3 6

9. 11log2 7

10. 25log31

3

11. 4log1 6�

12. 3log5 8

13. qp log14. � � wa 2log8�

15. 25log5log20log ��

16. 12log2log8log6log ��

17. 5log3log2log60log ��

18. 4log32log2 33 �

19. 8log22log4 77 �

20. zyx logloglog ��

21. zy logloglog ��

22. zyx logloglog ��

23. zyx 111111 log4log3log2 ��

24. yx 33 log32log

21

�

25. � � � �yxyx kk �� loglog 22

26. cba log4log3log2 ��

27. � � � �aaaa ��3log1loglog

Utilise les propriétés des logarithmes pour écrire chacune des expressions ci-dessoussous la forme d’un logarithme d’un seul nombre. Ensuite, évalue ces logarithmes sansutiliser la calculatrice.

28. 5log80log 22 �

29. 2log5log50log 555 ��

30. 50log2log 1010 �

31. 2log32log 44 �

32. 103 9log

33. 135 125log �

34. � �33 33log

35. 2log9log8log 121212 ��

36. 2log450log 1515 �

37. 8log24log3 77 �

38. ��

��

��

32log8log48log 444

39. 3log4log24log 222 ��

40. 24log18log36log 333 ��

41. 8log5log20log 222 ��


42. log log5 510252

�

Utilise les propriétés des logarithmes pour développer chaque expression ci-dessous. Suppose que tous les logarithmes sont définis.

43. ��

��

�

74log 5

44. � �a8log 3

45. � �xy9log 2

46. ��

��

�

th

35log 6

47. � �37log t

48. � �768 4log hs

49. ��

��

�2

312logba

w

50. ��

��

�

1136log3

51. � �12log 2�� xxa

52. ��

��

�23

1logbat

53. � �2510log 24 �� xx

54. ��

��

�

��

��

145183log 2

2

mmmm

s

Utilise la formule du changement de base pour évaluer chacun des logarithmes à 5décimales.55. 12log 6

56. 40log 4

57. 5log 22

58. 0125,0log 6

59. 20log 9,0

60. 8log 06,0

61. 3,0log 4,0

62. 31,7log 2,0


6. Résolution d’équations logarithmiques et exponentielles

À l’aide des propriétés des logarithmes, il est possible de transformer uneexpression logarithmique ou de modifier une expression exponentielle pourrésoudre des équations complexes. Voici quelques exemples qui illustrent l’utilitéde ces propriétés.

Exemple 17 : Résous 16log2log)23(log 777 ��x

Solution: Commençons par regrouper les termes semblables du même côtéde l'égalité.

2log16log)23(log 777 ��x

��

��

��

216log)23(log 77 x

On peut donc tirer de l'expression précédente que:

3x + 2 = 8

3x = 6

x = 2

Ensemble solution ={2}

Il faut s’assurer de vérifier les réponses obtenues afin de ne pas obtenirdes logarithmes de valeurs non positives.

Vérification: 16log2log)2)2(3(log 777 ��

42,142,1

16log2log8log 777

�

��

Une caractéristique deslogarithmes dit que si

,BA bb loglog �

alors BA �


Exemple 18 : Résous 45loglog 22 ��x

Solution: Soit 45loglog 22 ��x

45

log 2 ��

��

��

x

� �8080

516

524

�

�

�

��

Solutionx

x

x

À ton tour de vérifier

Exemple19 : Résous )44(log)3(log)2(log 222 �� xxx

Solution: Soit: )44(log)3(log)2(log 222 �� xxxÀ partir de la loi des produits, on trouve

� �� 44log32log 22 �� xxxEn développant le binôme, on obtient:

� � � �44log6log 22

2 �� xxx

� ��

25

0250103

4462

2

��

�

��

��

��

xx

xxxx

xxx

Suite à une vérification, tu te rendras compte que x=-2 n’est pas unesolution qui satisfait l’équation de départ. L’ensemble solution est donc {5}


Parfois les logarithmes et leurs propriétés peuvent aussi résoudre deséquations qui sont exponentielles, comme l’illustre l’exemple suivant.


�x

Solution: Utilisons les logarithmes décimaux afin de transformer les deux côtésde l’équation:

� �2 5log 9 log 2x ��

En utilisant la propriété de puissance, on obtient:� �

34,22

59log2log

59log2log2

9log2log52

2log9log52

��

��

��

��

�

��

�

�

x

x

x

x

x


Exercice 6

Résous les équations logarithmiques suivantes.

1. 15loglog ��x2. 24loglog 33 ��x3. xx 5

35 log2log ��

4. 4log9log �� xx5. � � 3log1loglog 666 �� xx6. � � 4loglog1log 888 �� xx7. � � � � 15log1log 77 �� xx8. � � 12log)3(log 66 �� xx9. � � � � 21log59log 2

22 �� xx

10. � � � � 244log52log 233 �� xxx

11. x�� 9log72log 44

12. 7loglog6log 555 �� x13. x�� 5,3log98log 77

14. 2log7log63log 333 �� x

15. x�125,0log 8

16. � � 2032log4log 55 �� x17. � � 3)53(log2log2log 222 �� xx18. � � � � 213log12log 55 �� xx

Résous chacune des équations en donnant des réponses à 5 décimales.

19. 183 �x

20. 258 �x

21. 9042�

x

22. 6353�

x

23. 7629 21

�

x

24. 7316 53

�

x

25. 12 34 �

�xx

26. 323 26 �

�xx

27. � � 332 42 �

�xx

28. � � xx ��

�431 23

29. � � � � 56,24,1 �

�

xx

30. � � � �xx 1,4393,1 2�


7. Les applications des fonctions exponentielles etlogarithmiques7.1 La croissance exponentielle

La mitose est le processus biologique responsable de la reproduction descellules somatiques du corps humain. En résumé, chaque cellule se divise endeux pour ainsi produire deux cellules filles identiques à la cellule mère. Lesbactéries et les algues microscopiques se divisent elles aussi par la mitose. Ledécompte des populations de cellules suite à la mitose nous fournit unereprésentation exponentielle. Dans l’exemple suivant, on illustre la fonctionexponentielle qui décrit la division cellulaire.

Exemple 21 Chaque cellule de la salmonelle, une bactérie souvent retrouvéedans le poulet qui n’est pas cuit, se subdivise pour doubler sapopulation approximativement toutes les 20 minutes si lesconditions sont favorables à la mitose. Supposons qu’unbiologiste compte 150 salmonelles au départ. Combien desalmonelles comptera-t-il 2 heures plus tard?

Solution: Le tableau ci-dessous montre l’accroissement de la population decellules en fonction du temps.

Temps (minutes) Nombre de salmonelles

0 150

20 150(2)=300

40 150(2)2=600

60 150(2)3=1200

80 150(2)4=2400

100 150(2)5=4800

120 150(2)6=9600

On peut formuler l’équation qui décrit le changement de population

bactérienne par la formule où N est le nombre de��

��

�� d

t

NN 20

cellules à la fin de la période donnée, t , N0, le nombre initial decellules et d, le temps nécessaire pour doubler la population. Cetteformule est utile dans toutes les situations où on double le nombrede choses dans une période de temps donné.


Lorsqu’il s’agit de la croissance d’une population qui ne double pasnécessairement à chaque période de croissance, on utilise encore

, où N représente la population après un temps donné, t , N0, la��

��

�� d

t

NN 20

population initiale et représente la période de dédoublement.td

Exemple 22 : Suppose que la population d’une ville était de 115 000 habitantsle premier janvier 1990. Le 1er janvier 1995, on comptait 130 000personnes vivant dans cette même ville. a) Si on prend pour acquis que la croissance de la population est

exponentielle, quelle était la population de cette ville au 1erjanvier 2000?

b) À quel moment, la population atteint-elle 200 000 personnes?

Solution: a) Si on prend pour acquis que la population suit une courbe decroissance exponentielle, alors nous pouvons utiliser la

formule . Nous savons que N0=115 000,��

��

�� d

t

NN 20

N=130 000 et que t=5 ans. Par substitution, nous obtenons

. Le seul paramètre qui reste à5

130000 115000 2d� �

� � ��

déterminer est d. En utilisant nos connaissances deslogarithmes, il est possible d’isoler d dans cette équation.

Dans certaines ressources demathématiques, on utilise la formulesuivante pour déterminer la croissanceexponentielle de la population:

ktNN 100�


5

5

130000 2115000

130000log log 2115000

5log130000 log115000 log 2

log130000 log115000 15log 2

1 0,0353755524

28, 2681098

d

d

d

d

dd

�

� ��

� � � �

� �

��

�

�

Puisque nous connaissons maintenant la valeur de d, il estpossible de connaître la population au 1er janvier 2000.

personnes10

28,2681098115000 2 146956N� �

� ��

b) Si on veut connaître à quel moment la population atteindra 200000, il faut isoler t de notre formule de croissance. Donc,

� �

� �

28,26810980

0,03538

0,03538

0,03538

2

200000 115000 2

200000 2115000

200000log log 2115000200000log 0,03538 log 2115000log 200000 log115000

22,570,03538log 2

t

t

t

t

N N

t

t années

� ��

� �

�

�

� ��

� �

� ��

� �

��


En ajoutant 22,57 années au 1er janvier 1990, nous obtiendronsune population se chiffrant à 200000 vers la fin du mois de juin2012.

7.2 La décroissance exponentielleLes éléments radioactifs se décomposent avec le temps de manière à ce queleur radioactivité devient négligeable avec le temps. Cette perte deradioactivité suit une courbe de décroissance exponentielle. Le taux deradioactivité, ou ce qu’on nomme la demi-vie d’un élément, correspond autemps nécessaire pour que l’élément se désintègre jusqu’à la moitié de samasse initiale, N0. En général, on utilise la formule suivante pour prédire lamasse N d’un élément radioactif à un temps donné, t, et selon sa demi-vie d:

.0 2tdN N

��

� �

Exemple 23 : La demi-vie du sodium 24 est de 15 heures. Quelle fraction d’unéchantillon restera-t-il après 45 heures?

Solution: On sait que d=15 heures et que t=45 heures. Ce qu’oncherche à obtenir, c’est un rapport entre N et N0.

0 2tdN N

��

� �

0

2tdN

N�

�

45315

0

12 28

NN

�

�

� � �

Il restera donc 1/8 de l’échantillon de sodium de départ après 45heures.

Exemple 24 : Dans un laboratoire scientifique, un chercheur a évalué qu’il nerestait que 5 mg d’un échantillon I131 au bout de 40 jours. Lamasse initiale de cet échantillon d’iode radioactif était de 160 mg. Le chercheur veut connaître la demi-vie de l’iode 131. Quelle est-elle?


Solution: On sait que N0=160 mg, N=5 et t=40 jours. En utilisant la formulede décroissance et en manipulant les logarithmes, on obtient:

0 2tdN N

��

� �

0

2tdN

N�

�

405 2160

d�

�

1 40log log 232 d

� �

40 log 2 81log32

d � � �

La demi-vie est donc de 8 jours.

7.3 L’intérêt composéLorsqu’une somme d’argent, C, est déposée dans un compte offrant un tauxd’intérêt, i, composé (calculé) n fois par année pour une période de t années,alors la somme totale M est obtenue à l’aide de la

formule .1ntiM C

n� �

� ��

Exemple 25 : Une enseignante qui prépare saretraite place 10000$ dans un compteà intérêt composé dont le taux d’intérêtest de 12% calculé tous les 6 mois. Combien d’argent aura-t-elle dans 25ans?

Période n

annuellement 1

semi-annuellement(semestré)

ou biannuellement

2

trimestriellement 3

mensuellement 12


Solution: Par substitution, on obtient:

� �2 25

1

0,1210000 1 184201,54$2

ntiM Cn

M

� ��

� �

� ��

� �

Exemple 26 : Quelle période de temps sera nécessaire pour que 1000 $investis à 8 % composé deux fois par année atteignent une valeurde 1500 $?

Solution: L’énoncé nous informe que C=1000, i=0,08, n=2 et M =1500. Oncherche donc t.

� �

2

2

2

1

0,081500 1000 12

1500 0,0811000 2

log1,5 log 1,04log1,5 2 log1,04

log1,52 log1,04

5, 2

nt

t

t

t

iM Cn

t

t

t ans

� ��

� �

� ��

� �

� ��

�

�

�

�

Il faudra donc 5,2 années ou 62,4 mois pour obtenir la sommedésirée selon ces conditions.


Exemple 27 : On investit 200 $ à un taux d’intérêt de 11 % composéannuellement. Calcule le montant accumulé après 5 ans.

Solution: 1ntiM C

n� �

� ��

50,11200 11

M � ��

� �337,01$M �


Un dépôt à terme de 5000 $ investi il y a trois ans vaut maintenant 8000 $. Quel était le taux d’intérêt annuel si l’intérêt était calculé mensuellement?


Exercice 7

Pour les questions suivantes, donne tes réponses à deux décimales près.

1. Un échantillon de Fe-59 possède une masse de 200 g. Si la demi-vie du Fe-59 estde 45 jours: a) quelle masse de l’échantillon restera-t-il après 100 jours?b) combien de temps sera nécessaire pour que la masse de l’échantillon soit de 10

grammes?

2. Quelle est la demi-vie du Br-82 si un échantillon possédant une masse initiale de40,00 mg se désintègre pour ne former que 25,03 mg après 24 heures?

3. On place 525g de sel dans un récipient rempli d’eau. Après une minute, une partiedu sel n’est toujours pas dissoute: il en reste115 g pour être exact. Combien detemps faudra-t-il pour que la masse de sel non dissoute soit de 20 g? Suppose unedécroissance exponentielle.

4. Le 1er janvier 1986, la population mondiale était de 5 milliards, alors que celle du1er janvier 1997 était de 6 milliards. Si on suppose une croissance exponentielle, àquel moment la population mondiale atteindra-t-elle 10 milliards?

5. La population de Saskatoon était de 186 000 le 1er janvier 1991. Elle est passée à206000 le 1er janvier 1998. Si on suppose une croissance exponentielle, quand lapopulation atteindra-t-elle le cap des 250 000?

6. Une population de souris double tous les 3 mois. Combien de temps seranécessaire pour que cette même population triple?

7. Un avocat dépose 1000 $ dans un compte dont le taux d’intérêt est de 10 %composé semi-annuellement. Combien d’argent aura-t-il dans 30 ans?

8. L’avocat de la question précédente veut savoir combien d’argent il obtiendrait sil’intérêt était calculé mensuellement. À combien se chiffrera la différence?

9. Combien de temps est nécessaire pour qu’un dépôt initial de 1000 $ atteigne 5000$ si le taux d’intérêt annuel est de 8 % composé quatre fois par année?

10. Quelle somme d’argent devrait être investie dans un compte dont le taux d’intérêtcomposé est de 6 %, calculé annuellement pour obtenir 25 000 $ après 10 ans?

11. Une institution financière se vante d’être en mesure de doubler les sommesinvesties après 10 ans. Si le taux d’intérêt garanti par cette institution est calculé bi-


annuellement, quel taux d’intérêt est offert?


-10 10

-10

10

x

y

-10 10

-10

10

x

y

-80 80

-80

80

x

y

-10 10

-10

10

x

y

Réponses aux exercices

Exercice 11. Oui 19.2. Non3. Non4. Oui5. Non6. Non7. Oui8. Non9. Croissante10. Décroissante11. Décroissante12. Croissante13. Croissante14. Croissante15. Décroissante16. Croissante 20.17.

18.


23. a) 20 b) 320 c) 335 544 320d) Une augmentation de la population peut provoquer une pénurie de

nourriture, une plus grande incidence de maladies et un plus grandnombre de prédateurs. Tous ces facteurs peuvent empêcher unecroissance exponentielle.

24 a) 25000 $ b) 21250 $ c) 11092,63 $ d) 190,77 $e) Si l’automobile a été conservée aussi longtemps, il est possible qu’elle

devienne une pièce de collection. Ainsi, sa valeur pourrait dépasser leprix payé par l’acheteur initial.


Exercice 2

1. 422. 823. 32 �

4. 202

5. 57

26. 552�

7. 122�

8. 4029. 6,4210. 23211. 7212. 46213. 3,242

14. 65

2

15. 51

2

16. 2023

2

17. 34

2

18. 212

2�

19. 57

2

20. 57

221. 311,4

22. 25,4

23.203

24. 5

25. 57

x

26. 101

�

x

27. 161

x28. 329. 25

30. 34231. 132. � �� 2 2 5 52 5 1 5 2 2 2

� ��

33. {5}34. {5}35. {3}36. {4}37. {8}38. {8}

39. {5}40. {28}41. {-2}42. {5}43. {7}

44. { , 1}21

�

45. { }21

46.��

��

23

47. {-2}

48.��

��2,

21

49. {1, 4}

50.��

��

83

51. {2, -2}

52.��

��

25,0

53. 6 heures54.


Exercice 3

1. 22. 33. 44. 15. 06. -17. 68. -49. 1510. -211. 112. -1313. 29log 3 �

14. 4625log 5 �

15.5664log 32 �

16.4327log 81 �

17. 823�

18. 551�

19. 816 43

�

20. bc a�

21. 322. 523. 424. 225. 3

26.21

27.43

28. -129. -6

30.31

31. -2

32.54

33.2

11

34.23

�

35.2514

36.85

37. 2,4456038. 4,9488439. -2,0056840. 7,6886741. � �24342. � �240143. � �3244. � �8

45.��

��

361

46.��

��

41

47. � �948. � �449. � �3250. � �125

51.��

��

23

52. � �1053. � �0

54.��

��

641

55.��

��

23

56. � �457. � �358. � �659. � �8,8 �

60. � �4,4 �

61. c=3, d=462. c=2, d=363. c=-4, d=-364. c=-1, d=065. matière à discussion


-10 10

-10

10

x

y

y=log x2y=log x3

y=log x4

Exercice 4

1.

xxy 2log�

xxy 3log�

xxy 4log�

8 3 27 3 64 3

4 2 9 2 16 2

2 1 3 1 4 1

1 0 1 0 1 0

2

1-1 1/3 -1 1/4 -1

4

1-2 1/9 -2 1/16 -2

8

1-3 1/27 -3 1/64 -3

a) croissantesb) plus b est grand, moins

la fonction croîtrapidement pour b>1

c) domaine={x:x>0} l’image est {y:y��}


-5 5

-5

5

x

y

y=log x14

y=log x13

y=log x12

2.x xy

21log�

x xy31log�

x xy41log�

8 -3 27 -3 64 -3

4 -2 9 -2 16 -2

2 -1 3 -1 4 -1

1 0 1 0 1 0

21 1

31 1

41 1

41 2

91 2

161 2

81 3

271 3

641 3

a) décroissantesb) Plus b est petit, moins les valeurs de y

diminuent rapidement lorsque 0<b<1.c) domaine={x:x>0}

l’image={y:y��}


-20 5010

450

x

y

3.Solution pH

a eau distillée 7

b jus d’orange 4,2

c vinaigre 2,8

d jus de citron 2,2

e acide d’une batterie 0,3

f eau salée 8

g ammonium 11,5le contenu de la batterie est le plus acide alors que l’ammonium est le plusalcalin

4.x 0 4 8 12 16 20 24

y 60,21 229,2 282,99 316 339,8 358,5 373,85

c) 9,9 mois


5. Le tremblement de terre des Maritimes était 158 fois plus intense que celui duQuébec.

Exercice 51. 33log8

2. 90log 2

3. � �xyzalog4. � �32log 2

�� xxb

5. 2log 4

6. 10log 5

7. ��

��

�

�

�

11log

hh

v

8. 64log 6

9. 121log 7

10. 33 25log

11.41log 6

12. 243log 8

13. pqlog14. 8

2log �aw15. 4log16. 2log17. 2log18. 108log 3

19.41log 7

20. ��

��

�

zxylog

21. ��

��

�

yzxlog

22. ��

��

�

xyz1log

23. � �43211log zyx

24. ��

��

�32

21

3log yx

25. � �yxk �log

26. ��

��

�32

4

logba

c

27. ��

��

�

�11

a28. 429. 330. 231. 332. 2033. -39

34.34

35. 236. 237. 038. 439. 540. 341. 5

42.23

43. 7log4log 55 �

44. a33 log8log �

45. yx 222 loglog9log ��

46.th 6666 log3loglog5log ��

47. t7log348. hs 888 log7log64log ��

49. ba www log2log312log ��

50. 11log3log216log 333 ��

51. � � � �3log4log �� xx aa

52. ba tt log2log3 ��

53. )5(log2 4 �x54.

� � � �

� � � �2log7log3log6log

��

��

mmmm

ss

ss

55. 1,3868556. 2,6609657. 0,5206858. -2,4456659. -28,4331660. -0,7391261. 1,3139662. -1,23599


Exercice 61. {2}2. {36}3. {5}

4.��

��

3100

5.��

��

23

6.��

��

31

7. {6}8. {4}9. {3}10. {7}

11.��

��

23

12. {42}13. {3}

14.��

��

29

15.��

��

21

16.��

��

812520

17. {2}18. {2}19. {2,63093}20. {1,54795}21. {1,62296}22. {0,85809}23. {2,57223}24. {2,57909}25. {-0,65629}26. {-0,52130}27. {1,50000}28. {-0,13117}29. {-7,71770}30. {-11,45020}31. {0,70951}32. {-0,47667}

Exercice 71. a) 42,86 g b) 194,49 jours2. 35,49 heures3. h=0,45648 en 2,15 minutes4. k=0,023912 vers la fin septembre 20275. k=0,021049 début avril 20116. 4,75 mois7. 18679,19 $8. 1158,21 $9. 20,32 ans10. 13959,87 $ 11. 7,05 %

mathématiques b30

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