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Mathématiques B30 Suites et séries Module de l’élève 2002

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Mathématiques B30Suites et séries

Module de l’élève

2002

Mathématiques B30

Suites et séries

Module de l’élève

Bureau de la minorité de langue officielle

2002

P.ii - Math B30 - Suites et séries

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectif général

L’élève sera capable de:• Démontrer l’habileté à appliquer la connaissance des fonctions

exponentielles et logarithmiques à des situations de la vie courante.

Objectifs spécifiques

L’élève sera capable de:G.8. Identifier une séquence géométrique.

G.9. Déterminer le ne terme d’une séquence géométrique

G.10. Calculer le nombre requis de moyennes géométriques entre les termesdonnés

G.11. Calculer la somme d’une série géométrique

G.12. Définir et illustrer les termes suivants : séquence géométrique, intérêtcomposé, valeur actualisée, annuité, moyenne géométrique

G.13. Déterminer la milite d’une séquence

G.14. Calculer la somme d’une série infinie

G.15. Résoudre des problèmes relatifs aux séries arithmétiques ougéométriques

G.16. Résoudre des problèmes se rapportant à l’intérêt composé ou à unevaleur actualisée

G.17. Résoudre des problèmes se rapportant à des annuités ou à deshypothèques

RemerciementsCe module puise la majeure partie de son contenu du document Algèbre 30,1988 Ministère de l’Éducation de la Saskatchewan. Également, des exempleset des exercices sont tirés du document de B. Thiessen (Mathematics B 30.Saskatoon Public School Division). Les droits de reproduction nécessaires ontété obtenus auprès des éditeurs de ces deux documents.

P.1 - Math B30 - Suites et séries

1. Introduction

Selon Statistique Canada, environ 46 % des diplômés du collégial et 50 % desbacheliers empruntent de l'argent dans le cadre des programmes gouvernementauxde prêts aux étudiants. À la fin de leurs études, les diplômés doivent rembourserune dette moyenne se situant entre 9 600 $ et 13 300 $ (Statistique Canada,http://www.statcan.ca/Daily/Francais/981208/q981208.htm#ART1). Pourquoi parler du tauxd’endettement des étudiants en guise d’introduction ? Simplement parce que lesconcepts de cette unité permettent les calculs qui deviennent importants pour lesconsommateurs et consommatrices. En effet, une bonne compréhension desnotions de suites et des séries peut nous aider à comprendre comment on calculele montant à rembourser à chaque mois sur des emprunts bancaires. Uninvestisseur peut aussi mieux apprécier le processus lui permettant de faire fructifierson argent. Mais avant d’en arriver à ces applications, il est nécessaire de définirquelques termes concernant les suites et les séries.

1.1 Notion de suite

Une suite (ou séquence) est une liste de nombres ou de termes séparés pardes virgules. Elles peuvent être aussi simples que celle indiquant les dates d’unmois (1, 2, 3, …, 31) ou aussi complexes que celle indiquant combien d’argentvous obtenez lorsque vous placez une certaine somme en banque à tous lesmois.

Les éléments d’une suite sont nommés des termes. Chaque terme d’une suitepossède une position. Par exemple, dans la suite 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …,le 5e terme est 25. On peut aussi représenter le cinquième terme par lanotation . Dans cette suite, le ne terme est indiqué par . 5 25t � nt

Une suite est dite finie si elle possède un dernier terme. Par exemple, la suite2, 10, 18, 26 est finie. Une suite infinie n’a pas de dernier terme. Parexemple, la suite infinie 2, 10, 18, 26, ...

1.2. Différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique

Les suites peuvent être de tout genre, mais celles qui ont le plus d’applicationssont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Dans une suitearithmétique (ou progression arithmétique), on retrouve une différencecommune (parfois appelée raison). Il s’agit du nombre qu’il faut ajouter à unterme de la suite pour obtenir le suivant. Par exemple, la séquence 2, 5, 8, 11,14, … est une suite arithmétique. La différence commune est . On obtient3d�

P.2 - Math B30 - Suites et séries

facilement la différence en soustrayant deux termes consécutifs d’une suitearithmétique.

Dans une suite géométrique (progression géométrique), chaque terme, àl’exception du premier, est obtenu en multipliant le terme précédent par unevaleur constante. Au lieu de parler d’une différence commune comme dans lecas d’une suite arithmétique, on parle plutôt d’un rapport commun (ou raison). Par exemple, la suite 64, 32, 16, 8, 4,… est une suite géométrique dont le

rapport .On obtient facilement le rapport d’une suite géométrique en12

r �

calculant le quotient entre deux termes consécutifs.

1.3 Comment trouver un terme dans une suite arithmétique ?

La définition d’une suite arithmétique de la section précédente nous permet deuxconstations qui sont résumées dans l’encadré suivant.

La formule suivante, qu’on nomme aussi terme général, permet de trouver un

terme quelconque dans une suite arithmétique : � �1nt a n d� � �

est le terme à trouvernt est le premier terme de la suitea est la position du terme dans la suiten est la différence commune ou la raisond

Constatations au sujet des suites arithmétiques 1. Un terme quelconque d’une suite arithmétique se trouve en ajoutant la

différence commune au terme précédent.2. La différence commune d’une suite arithmétique se trouve en faisant la

différence entre un terme quelconque et le terme précédent.

P.3 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 1 : Trouve le 20e terme de la suite 3, 7, 11, 15, …

Solution est le terme à trouvernt 3a� 20n� 4d�

� �1nt a n d� � �

� �20 3 20 1 4 79t � � � �

Exemple 2 : Trouve le premier terme d’une suite arithmétique pour laquelle et le 14e terme est -41.3d � �

Solution � �1nt a n d� � �

� � � �41 14 1 3a� � � � �

41 39a� � � �

2 a� �

Le premier terme est donc -2.

Les termes situés entre deux termes non consécutifs d’une suite arithmétiquesont nommés moyens arithmétiques. Par exemple, les moyens arithmétiquessitués entre 2 et 14 dans la suite 2, 5, 8, 11, 14,… sont 5, 8 et 11. Lorsqu’oncherche un seul terme situé entre deux termes non consécutifs, on parle alorsd’une moyenne arithmétique.

Il est assez facile de trouver une moyenne arithmétique : , où et2

p rq �� ,p q

sont des termes consécutifs dans une suite arithmétique. Par exemple, dansrla suite 2, 5, 8, 11, 14,…, on pourrait obtenir la moyenne entre 5 et 11 en

calculant .5 11 8

2�

P.4 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 3 : Trouve les 5 moyens arithmétiques entre 3 et 21.

Solution Commençons par une représentation de la suite: 3, , , , , , 21, et 3a � 7 21t � 7n �

Trouvons d à l’aide des informations fournies et de la formule duterme général: � �1nt a n d� � �

21 3 6d� �

18 6d�

3 d�

Exemple 4 : Trouve la moyenne arithmétique entre 9 et 25.

Solution2

p rq ��

9 25 172

q �� �

Exemple 5 : Trouve le premier terme d’une suite arithmétique dont le quatrièmeterme est 3 et le septième terme est 15.

Solution , , ,3, , ,15

Puisque alors 4 3a � 3 3a d� �

et alors 7 15a � 15 6a d� �

Nous avons alors un système d’équations linéaires à 2 variables. Larésolution de ce système nous permettra de trouver le premier terme.

� �

15 63 3

12 34

a da d

dou d

� �

� � �

P.5 - Math B30 - Suites et séries

En substituant dans la seconde équation, nous trouvons que:� �6 4 15

9aa� �

Le premier terme de la suite est donc 9.

Nos connaissances des suites arithmétiques nous permettent de résoudre desproblèmes de la vie courante comme en témoigne l’exemple suivant.

Exemple 6 : Marc, un étudiant de l’Université de Saskatoon, reçoit un salaire de12500 $ pendant sa première année de travail pour un emploi àtemps partiel. Il recevra une augmentation de 700 $ au début desa deuxième année et au début de chaque année subséquente. Quel sera son salaire à la fin de la 8e année s’il conserve cetemploi après ses études universitaires ?

Solution Les salaires forment une suite arithmétique dont les premierstermes sont: 12500, 13200, 13900,...

12500a �

700d �

8n �

� �1nt a n d� � �

� � � �8 12500 7 700 17400$t � � �

Marc recevra donc 17400 $ à la fin de la 8e année de travail.

P.6 - Math B30 - Suites et séries

Exercice 1

2. Trouve les 4 premiers termes des suites arithmétiques dont nous connaissons lepremier terme et la différence commune.

a) 2; 7a d� �

b) 20; 6a d� �

c) 8; 2a d�� ��

d) 0,5; 0,3a d� � �

e) 2 ; 1a m d m� � �

f) 1, 02; 0, 02a d� � �

2. Détermine lesquelles des suites suivantes sont arithmétiques. Donne la valeur de ddes suites qui le sont.

a) 5, 7, 9, 11, ...b) 1, 4, 9, ...c) 7, 2, -3, ...d) 2, 4, 8, 16, ...

e) 15, 17, 20, 22, ...f) -10, 5, 20, ...g) -5, -1, 3, 7, ...h) 2, 1,5, 1, 0,5, ...

3. Dans chacune des suites arithmétiques suivantes trouve d et le prochain terme.

a) 4, 7, 10, 13, ...b) 15, 11, 7, 3, ...c) 1, -1, -3, -5, ...d) -5, -2, 1, 4, ...

e)5 7 4,1, , ,...6 6 3

f)1 1 5 1, , , ,...4 3 12 2

g) a, a+2b, a+4bh) 3x-2, 3x-5, 3x-8, ...

4. Trouve le ne terme de chaque suite arithmétique dont on donne les valeurs a, d et n.

a)17; ; 223

a d n� � �

b) 3; 3; 14a d n� � �

c)110; ; 312

a d n� � � �

d) 3; 3; 8a d n� � � � �

e) 0; 0,5; 101a d n� � � �

f) 3; 2; 11a d n� � � �

g) 2 ; 5 ; 12a i d i n� � � �

h)3 5; ; 134 4

a d n� � � �

P.7 - Math B30 - Suites et séries

5. Trouve le terme spécifié pour chacune des suites arithmétiques suivantes.

a) 12 ; 17, 13, 9,...t � � �

b) 20 ;10,7, 4,...t

c) 451 1; 3, 3 , 3 ,...4 2

t

d) 991; 5, 3 , 2,...2

t � � �

e) 10 ; 8, 3, 2,...t �

f) 20 ; 4, 7,10,...t

g) 123 3 9; , , ,...4 2 4

t

h) 105 7 3; , , ,...6 6 2

t

i) 8; 3 , 3 2 , 3 3 ,...t x y x y x y� � �

j) 165 7 3; , , ,...6 6 2

t

6. Trouve le nombre de termes dans chaque suite.

a) -5, -2, 1, ..., 28b) -2, -4, -6, ..., -24c) x, x+2y, x+4y, ..., x+18y

d) 5a-3b, 4a-2b, 3a-b, ..., -5a+7be) -2, 5, 12, ...,124f) 7, 2, -3, ..., -28

7. Quel est le rang du terme indiqué dans la suite donnée ?

a) 138 dans la suite -9, -2, 5, ...b) -142 dans la suite 3, -2, -7, ...c) 89 dans la suite 3, 5, 7, ...d) -13 dans la suite, 15, 13, 11, ...e) x+242 dans la suite x+2, x+7, x+12, ...f) m+18d dans la suite m, m+3d, m+6d, ...

8. Trouve le nombre indiqué de moyens arithmétiques entre les nombres donnés.

a) Trois entre 6 et -12b) Cinq entre 3 et 21c) Trois entre 1 et -1d) Six entre -6 et 6

e) Deux entre 18 et 54f) Trois entre 18 et 54g) Deux entre 2x-4y et 5x+5yh) Quatre entre 5a-3b et 15a+2b

P.8 - Math B30 - Suites et séries

9. Trouve et d’une suite arithmétique pour laquelle les termes suivants sonta ddonnés.

a) 10 1429; 41t t� �

b) 9 126; 12t t� � � �

c) 8 1523; 54t t� � � �

d) 7 1037; 22t t� �

e) 5 1620; 53t t� � � �

f) 7 113 15 ; 3 23t k t k� � � �

10.Une balle qui tombe en chute libre parcourt 4,9 m la première seconde, 14,7 m ladeuxième seconde, 24,5 m la troisième seconde et ainsi de suite. Quelle distanceparcourt-elle pendant la septième seconde?

11.Léon Généreux dépose 500 $ dans un compte d’épargne le jour du 5e anniversairede son fils Joseph. À chacun des anniversaires suivants, il verse 75 $ de plus quel’année précédente. Combien déposera-t-il le jour du 18e anniversaire de Joseph?

12.Marianne se trouve un emploi qui lui donne un salaire de 650 $ par mois. Ellerecevra une augmentation mensuelle de 5 $. Quel sera son salaire mensuel à la find’une année de travail?

13.Un charpentier construit un escalier entre le premier et le deuxième étage d’unemaison. Le deuxième étage est 3,3 m au-dessus du premier étage. Chaquecontremarche de l’escalier mesure 22 cm. Combien de marches y aura-t-il entre les2 étages?

14.Une pile de briques contient 85 briques dans la rangée du bas, 79 dans la rangéesuivante, 73 dans la troisième et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il n’y ait qu’une briquedans la dernière rangée. Combien y a-t-il de briques dans la treizième rangée? Combien de rangées y a-t-il?

15.Une employée de magasin touche un salaire de 15500 $. Elle reçoit annuellementune augmentation de 1100 $. Après combien d’années de travail son salaire sera-t-il de 21000 $ ?

16.Pour défrayer les études ultérieures de sa fille, M. Raymond dépose 1000 $ dansun compte d’épargne au moment où celle-ci est en sixième année. Il augmente sondépôt de 125 $ chaque année jusqu’à ce que celle-ci soit en douzième année. Quelest le montant du dernier dépôt?

P.9 - Math B30 - Suites et séries

1.4 Comment trouver un terme spécifique dans une suite géométrique ?

La formule permet de trouver le terme d’une suite géométrique où 1n

nt ar �

�en

est le terme à trouver, nt est le premier terme de la séquence,a est le rapport (ou raison) entre deux termes d’une suite géométrique,r est la position du terme dans la suite.n

Exemple 7 : Trouve le 10e terme de la suite 1, 3, 9, 27, ….

Solution 10 ?t �

1a �

10n �

3r �

� �� �10 1

10 1 3 19683t �

� �

Exemple 8 : Trouve le premier terme d’une suite géométrique pour laquelle et le 9e terme est 324.3r � �

Solution 1nnt ar �

� �8324 3

324 6561324 46561 81

aa

a

� �

� �

Comme ce fut le cas pour les suites arithmétiques, nous pouvons calculer lesmoyens d’une suite géométrique à l’aide d’une relation: où et2q pr� ,q p rsont des termes consécutifs dans une suite géométrique. Par exemple, dansune suite où 2 et 1250 sont des termes non consécutifs, on peut calculer troismoyens géométriques en commençant par celui du centre :

2q pr�

P.10 - Math B30 - Suites et séries

� � � �2 2 1250 2500

2500 50

q

q

� �

� � � �

On réalise que seul le terme positif peut répondre aux exigences de cette suitede sorte que nous avons maintenant :

. 2, ,50, ,1250

En répétant la même démarche avec 2 et 50 et ensuite avec 50 et 1250, ontrouve les deux moyens manquants : 2, 10, 50, 250, 1250 si le rapport est positifet 2, -10, 50, -250, 1250 si le rapport est négatif

Exemple 9 : Trouve 3 moyens géométriques entre 3 et 48.

Solution La représentation schématique de cette suite est 3, , , , 48

53, 48, 5a t n� � �

On trouve en utilisant la formule du terme général d’une suitergéométrique.

1

4

4

14

48 316

16

2

nnt ar

rr

r

r

��

� �� �� �� �

� �

Les moyens sont: 6, 12 et 24 lorsque r =2 et -2, -6 et -24 lorsque r = -2.

P.11 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 10: Trouve la moyenne géométrique positive entre 3 et 27.

Solution Soit q, la moyenne géométrique positive entre 3 et 27. Alors,

� � � �3 27 81 9q � � �

Nos connaissances des suites géométriques peuvent aussi s’appliquer àrésoudre des problèmes de la vie courante.

Exemple 11: Un club composé de 250 membres espère augmenter le nombrede ses membres de 25 % par année durant les 3 prochainesannées. S’il réussit, quel sera le nombre de membres du clubdans 3 ans?

Solution Ces données représentent une suite géométrique dans laquelleet .250, 1, 25a r� � 4n �

� �

� �

1

34

4

4

250 1, 25

250 1,953488, 28

nnt ar

t

tt

Nous pouvons dire que le nombre de membres dans 3 ans serad’environ 488 personnes.

Exemple 12 : Une maison achetée il y a trois ans au prix de 100 000 $ se vendaujourd’hui 133 100 $. En supposant que la valeur del’immeuble ait augmenté en progression géométrique, trouve letaux annuel moyen de l’augmentation de sa valeur.

Solution 100 000, , ,133100

4100 000; 133100; 4a t n� � �

� �

� �

3

13

133100 100 000

1,331 1,1

r

r

� �

Le taux moyen d’augmentation a été de 10 % par année.

P.12 - Math B30 - Suites et séries

Exercice 2

1. Trouve les quatre premiers termes d’une suite géométrique ayant lescaractéristiques indiquées.

a)3 ; 22

a r� �

b)112;

2a r �

� �

c)348;2

a r� �

d) 5; 2a r� � � �

e)2 ; 3

27a r�

� � �

f)254;3

a r� � �

2. Détermine lesquelles des suites suivantes sont arithmétiques (A), géométriques (G)ou ni l’une ni l’autre (N). Si une suite est arithmétique ou géométrique donne lavaleur de d ou de r. a) 4, 8, 16, 32, ...b) 1,4, 9, 16, ...c) -5, -7, -9, -11, ...d) 64, -32, 16, -8, ...e) 3, 24, 202, 1616,...

f) 24, 8, ,...8 8,3 9

g) 3 5, , , ...ay ay ay

h) x, 3x, 5x, 7x,i) ... 3, 3, 3 3, 9,...� �

j)3 9 27 81, , , ,...2 4 8 16

� �

k) 5, 6, 7, 8,...l) 6 4 2, , , ...c c c

3. Trouve le ne terme de chaque suite géométrique dont les valeurs suivantes sontfournies.a) 3 4 5a r n� � � �

b)11 6

5a r n�

� � �

c)316 54

a r n� � �

d)1128 82

a r n� � �

P.13 - Math B30 - Suites et séries

4. Trouve le terme spécifié pour chacune des suites géométriques suivantes.a) 7 ; 5, 10, 20,...t �

b) 8; 54, 18, 6,...t �

c) 71 1 2; , , ,...

6 3 3t � �

d)2 3 4

10 ; , , ,...2 4

p p ptq q q

e) 9 ; 3, 6, 2 3,...tf) 6 ; 27,18,12,...t

5. Trouve le nombre de termes dans chacune des suites géométriques suivantes.a) 5 5 3125na r t� � � �

b)1 1273 27na r t� � �

c)1 1642 2na r t �

� � � �

d)1 9362 128na r t� � �

6. a) Quel est le rang du terme 162 de la suite 2, -6, 18, ... ?

b) Quel est le rang du terme dans la suite 243, -81, 27, ... ?19

3. Étant donné l’information qui suit, trouve la raison (r) des suites géométriquessuivantes. Donne toutes les réponses possibles.a) 45 135a t� �

b) 64 972a t� � � �

c) 33 75a t� �

d) 57 112a t� � � �

8. a) Trouve deux moyens géométriques entre 1 et 729.b) Trouve trois moyens géométriques entre -3 et -768.c) Trouve une moyenne géométrique négative entre -3 et -48.d) Trouve quatre moyens géométriques entre 3 et 96.e) Trouve une moyenne géométrique positive entre 3 et 75.

6. Trouve a et r d’une suite géométrique lorsque:a) 3 718 1458t t� �

b) 4 83 38 128

t t� �

P.14 - Math B30 - Suites et séries

10. La population d’une ville de 300 000 augmente de 2 % par année. Trouve lapopulation de cette ville dans 5 ans.

11. Un père donne 5 $ à son fils à l’occasion de son 10e anniversaire et décide qu’ildoublera cette somme à chaque anniversaire subséquent. Quelle somme le filsrecevra-t-il de son père à son 20e anniversaire ?

12. Combien d’ancêtres comptes-tu dans la 9e génération qui te précède, supposantqu’il n’y ait pas de duplication ?

13. Le premier billet gagnant d’une loterie vaut 10 000 $. Chaque billet tiré par la suitevaut la moitié du montant précédent. Quelle est la valeur du 5e billet tiré?

14. Une cloche de verre contient 1000 cm3 d’air. Au premier coup de piston, unepompe retire 20 % de cet air, laissant alors 80 % de l’air sous la cloche. Audeuxième coup, la pompe retire encore 20 % du volume d’air qui reste, et ainsi desuite. Quel volume d’air restera-t-il après le 5e coup du piston ?

15. Un côté d’un triangle équilatéral mesure 30 cm. On construit un deuxième triangleéquilatéral inscrit dans le premier en joignant le milieu des côtés. On construit untroisième triangle, et ainsi de suite, en répétant ce procédé. Trouve le périmètredu quatrième triangle inscrit (le cinquième triangle).

16. Un côté d’un carré mesure 10 cm. On construit un deuxième carré en joignant lespoints-milieux des côtés du premier carré. Si on continue d’inscrire des carrés dela même façon, quel est le périmètre du quatrième carré inscrit (le cinquièmecarré) ?

17. Une voiture évaluée à 7500 $ se déprécie de 15 % par année. Trouve la valeur dela voiture à la fin de 4 ans.

18. Une maison vaut 89 000 $. On s’attend à ce que sa valeur s’apprécie à un taux de8 % par année. Quelle sera la valeur de cette maison après 5 ans ?

19. Un club de tennis comptant 400 membres veut augmenter le nombre de sesmembres de 20 % par année. Combien de membres ce club aura-t-il dans 5 ans ?

20. Pour réduire les polluants de la fumée qui s’échappe de ses cheminées, une usineinstalle 6 filtres dont chacun élimine 18 % des polluants de la fumée qui y passe. Quel pourcentage de polluant reste après le sixième filtre ?

P.15 - Math B30 - Suites et séries

2. Séries arithmétiques

Une série est une expression obtenue à partir d’une suite, mais dans laquelle lavirgule est remplacée par un signe +. Par exemple, la suite arithmétique 3, 5, 7, 9,11, … devient une série lorsque nous avons 3+5+7+9+11+…

La plupart du temps, ce qui nous intéresse dans une série, c’est sa somme. Onutilise le terme pour représenter la somme des termes d’une sérienS narithmétique. Ainsi, où est le premier terme de la série et2 3 ...n nS a t t t� � � � a

, le ne terme de celle-ci.nt

Exemple 13 : Calcule la somme des trois premiers termes d’une sériearithmétique dont le premier terme est 2 et le troisième 8.

Solution La représentation de cette série est: . En utilisant le2 8� �

concept de moyenne arithmétique, nous trouvons que le termemanquant est 5. Alors, .3 2 5 8 15S � � � �

Le calcul de la somme d’une série avec peu de termes est relativement facile. Toutefois, la tâche devient beaucoup plus ardue lorsque la série comporteplusieurs termes. C’est pourquoi des formules existent pour calculer la sommed’une série arithmétique.

Somme des n premiers termes d’une série arithmétique 1) Lorsque le premier ( ) et le dernier terme ( ) d’une série arithmétiquea nt

sont connus: � �

2n

n

n a tS

2) Lorsque le premier terme ( ) et la différence commune ( ) d’une sériea d

arithmétique sont connus: � �2 12n

n a n dS

� �� �� ��

P.16 - Math B30 - Suites et séries

Nous utilisons le symbole grec sigma pour simplifier la notation d’une série�arithmétique lorsque nous désirons obtenir sa somme. Pour spécifier les

paramètres de la sommation, le symbole prend l’allure générale où i est1

n

ii

t�

appelé l’indice de sommation, n représente le nombre de termes dans la série et est le terme général de la série. On lit ce symbole comme suit : calcule lait

somme des termes 1 jusqu’à n d’une série arithmétique dont le terme général est.it

Par exemple, pour représenter la somme des 6 premiers termes de la sériearithmétique 11+8+5+2-1-4, nous pourrions commencer par déterminer le termegénéral de la série. Ainsi, et � �1nt a n d� � �

� � � �11 1 311 3 314 36

n

n

n

t nt nt nn

� � � �

� � �

� �

La notation de sommation devient alors . La somme est calculée à6

114 3

nn

��

l’aide d’une des deux formules précédentes. � �

2n

n

n a tS

� �� �6

6 11 421

2S

� �

� �

P.17 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 14 : Détermine � �51

1100 3

nn

��

Solution Commence par écrire quelques termes de cette série afin dedéterminer a.

� � � �� � � �� � � �� � � �� �51

1100 3 100 3 1 100 3 2 100 3 3 ... 100 3 51

nn

� � � � � � � � � ��

97 94 91 ... ( 53)� � � � � �

Donc, et . Puisque le rang du premier terme97a � 53r � �

dans le symbole de sommation est 1, nous pouvons dire qu’il yaura 51 termes dans la série: . En utilisant la formule51n �

, nous calculons . � �

2n

n

n a tS

� �� �51

51 97 531122

2S

� �

� �

Exemple 15 : Trouve les 3 premiers termes d’une série arithmétique pourlaquelle , et .32nS � 10a � � 8n �

Solution Trouvons la valeur de la différence commune en utilisant la

formule .� �2 12n

n a n dS

� �� �� ��

� � � �

� �

8 2 10 8 132

232 4 20 7112 284

d

dd

d

� � �� �� ��

� � �

�Une fois la différence commune connue, nous trouvons que les 3premiers termes de cette série sont -10, -6 et -2.

P.18 - Math B30 - Suites et séries

Exercice 3

1. Trouve pour chaque série arithmétique à partir des informations suivantes.nSa) 5 3 12a d n� � �

b) 5 100 20na t n� � �

c) 85 25 21na t n� � �

d) 9 6 14a d n� � � �

e)15 132

a d n� � �

f) 3 38 8na t n� � � �

2. a) Calcule et pour la série 5+11+17+23+...20t 20Sb) Calcule et pour la série 10+7+4+1+...10t 10S

3. Calcule la somme des séries suivantes.a) 7+14+21+28+...+98b) 10+4-2-8-...-44c) 15+11+7+3+...-37

d)1 1 1 5...6 3 2 3� � � �

4. Calcule pour les séries suivantes.nSa) 4 9 27nd n t� � � �

b) 89 4 13na d t� � � �

c)12 52 na d t� � � �

d) 6 9 14nd n t� � � � �

5. Trouve les trois premiers termes de chaque série arithmétique à partir desinformations suivantes.a) 8 408 2288n na t S� � �

b) 14 53 378n nn t S� � �

c) 3 12 300na n S� � �

d) 6 306 1716n na t S� � �

e) 17 67 459n nn t S� � � � �

P.19 - Math B30 - Suites et séries

6. Développe les séries suivantes. Il n’est pas nécessaire de calculer la somme.

a)5

2

2nn

b) � �4

12 1

ii

��

c)10

1

2j

j�

d) � �7

43 16

kk

��

e) � �5

1ii

��

7. Écris les séries arithmétiques suivantes en utilisant la notation sigma.a) 4+8+12+16+20+24b) 20+18+16+14+12+10+8c) -20-15-10-5+0+5+10+15d) 57+60+63+...+354e) 1+3+5+...+1111f) 6+11+16+...+1111

8. Calcule la somme des séries suivantes.

a) � �70

12 1

nn

��

b) � �101

13 2

ii

��

c) � �45

11 7

kk

��

d) � �60

1

4 5j

j�

��

e)36

1

2 15n

n�

�� �� �� �

P.20 - Math B30 - Suites et séries

9. Le magasin Méfietoi veut t’embaucher pour faire un certain travail une heure parjour. Il t’offre deux choix de rémunération: soit 6,75 $ le premier jour, 7,00 $ ledeuxième jour, 7,25 $ le troisième et ainsi de suite pour 20 jours ou soit un salaireglobal de 185 $ pour les 20 jours. Quel choix serait le plus avantageux pour toi?

10. Une pile de bûches contient 21 bûches dans la rangée du bas. Chaque rangéecontient une bûche de moins, jusqu’à ce qu’il n’y ait qu’une bûche dans la rangéedu haut. Combien de bûches y a-t-il dans la pile?

11. Un théâtre contient 21 places dans la première rangée. Chaque rangéesubséquente contient une place de plus. S’il y a 30 rangées de places, quelle estla capacité du théâtre?

12. Les coûts de réparation d’une automobile augmentent de 90 $ chaque année. Siles coûts de réparation s’élevaient à 160 $ la première année, quelles seraient lescoûts de réparation de la 7e année ? Quel montant total aura été déboursé pourles réparations de cette automobile pendant 7 ans?

13. Un examen comporte 10 questions. La première vaut 1 point et chaque questionsubséquente vaut 2 points de plus que la précédente. Quelle est la note maximaled’un élève qui termine cet examen?

P.21 - Math B30 - Suites et séries

3. Séries géométriques

3.1 Somme d’une série géométriqueLa somme des premiers termes d’une série géométrique est obtenue ànpartir des formules de l’encadré ci-dessous.

Exemple 16 : Trouve la somme des six premiers termes de la série

412 4 ...3

� � �

Solution

� �� �

11

n

n

a rS

r�

6

6

112 13 1456

1 8113

S

� �� ��� �� �� �� �� �� �

� ��� �

� �

Formules de la somme des n premiers termes du série géométrique1) Le premier terme et la raison sont connus:

� �� �

11

n

n

a rS

r�

2) Le premier terme, la raison et le dernier terme sont connus:

1n

na rtS

r�

Dans les deux cas, .1r �

P.22 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 17 : Exprime la série géométrique représentée par dans� �7

1

12 3 n

n

sa forme développée et calcule sa somme.

Solution � � � � � � � �17

1 1 2 1 7 1

12 3 2 3 2 3 ... 2 3

n

n

� � �

� � � ��

� � � � � � � � � � � � � �0 1 2 3 4 5 62 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

2 6 18 54 162 486 1458� � � � � � �

� � � � � � �

La somme de cette série est 2186.

Exemple 18 : Trouve la somme des termes de la série 48-24+12-...+ .34

Solution 1 348

2 4na r t�

� � �

1n

na rtS

r�

1 3481292 4

1 412

nS

� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� �� �� �

P.23 - Math B30 - Suites et séries

Exercice 4

1. Trouve la somme de la série géométrique décrite par les informations suivantes.a) 7 2 4a r n� � �

b)3256 54

a r n� � �

c)116 62

a r n� � � �

d)2243 53

a r n� � � �

e)3625 815 na r t� � �

2. Trouve la somme des 7 premiers termes de la série 5-10+20-....

3. Trouve la somme des 6 premiers termes de la série 81+27+9+....

4. Trouve la somme des 6 premiers termes de la série 24-18+ -....272

5. Trouve la somme de la série 6-12+24-48+...1536

6. Trouve la somme de la série 4800+2400+1200+...+75

7. Trouve la somme suivante: 6

15n

n��

8. Trouve la somme suivante: 9

14n

n��

9. Trouve la somme suivante: � �11

1

17 2 n

n

10. Trouve la somme suivante: 16

1

193

n

n

� �� �� �

11. Utilise la notation sigma pour écrire la série 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512

P.24 - Math B30 - Suites et séries

12. Utilise la notation sigma pour écrire la série 800+600+450+ +675

22025

813. À l’âge de 66 ans M. Retraité commence à recevoir un revenu annuel (d’un plan de

retraite qu’il a établi). Le plan est tel qu’à chacun de ses anniversairessubséquents, il reçoit deux fois plus que l’année précédente. Si, jusqu’à son 70e

anniversaire inclusivement, il a reçu un revenu total de 30 380 $, combien d’argenta-t-il reçu la première année?

14. Un syndicat a développé un système pour avertir tous ses membres en casd’urgence. La présidente téléphone à 3 membres (niveau 1) qui à leur tourtéléphonent à 3 autres membres chacun (niveau 2), et ainsi de suite. Combien demembres auront été avertis après le 8e niveau d’appels?

15. Une entreprise fait des profits de 500 000 $ pendant sa première annéed’opération. Elle projette d’augmenter ses profits de 10 % par année. Calcule sesprofits pendant la 6e année, ainsi que les profits totaux pendant ses 6 premièresannées d’opération.

P.25 - Math B30 - Suites et séries

3.2 Séries géométriques infinies

Le concept de limite revient souvent dans l’étude des mathématiques et faitpartie intégrante d’un domaine des mathématiques appelé le Calcul intégral. Nous allons nous initier à ce concept en explorant ce qui se produit lorsqu’unesérie géométrique est infinie.

Examine attentivement ce qui se produit dans les deux suites géométriques suivantes, numérotées 1 et 2 pour les besoins de la cause:

1) 2, 4, 8, 16, ..., 2n

2) 1, , , , ..., 12

13

14

1n

Dans la suite 1), la valeur du terme général 2n devient de plus en plus grandau fur et à mesure que n augmente. À la limite, on pourrait penser que la suitedevient infiniment grande lorsque n augmente. La limite de cette suite estdonc infiniment grande.

Dans la suite 2), c’est plutôt le contraire, alors que le terme général devient deplus en plus petit au fur et à mesure que n augmente. D’ailleurs si onremplaçait n par un très grand nombre, on trouverait que la limite de cette suiteest très près de 0. Par exemple, lorsque n =100000, la valeur du termegénéral est 0,00001. Lorsqu’on remplace n par 1000 000, cette valeur devient0,000001, ce qui encore plus près de 0. Donc, la limite de la suite 2) est 0.

Symboliquement, on peut écrire que . Cette expression se lit la1lim 0

n n��

limite de lorsque n tend vers l’infini est égale à 0. Cette suite est dite1n

convergente puisqu’elle possède une limite.

Par contre, 2n n’a pas de limite puisqu’il n’y a aucune valeur précise verslaquelle celle-ci tend. On dit alors que la suite est divergente parce qu’elle nepossède pas de limite.

Exemple 19 : Détermine si la suite dont le terme général est est2 3nt n� �

convergente ou divergente.

Solution Cette suite est divergente puisqu’elle n’a pas de limite.

P.26 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 20 : Détermine si la suite dont le terme général est est2 35 2n

ntn�

convergente ou divergente.

Solution Une méthode visant à déterminer la limite d’une telle suiteconsiste à diviser chaque terme par n. Ainsi,

2 3 322 35 2 25 2 5

nn n n

nnn n

��

�� �

���

Au fur et à mesure que n devient de plus en plus grand, et 3n

2n

deviennent de plus en plus près de 0. Ces deux valeursdeviennent alors négligeables de sorte que

.2 3 2 0 2lim5 2 5 0 5n

nn��

� �� �

� �

Cette suite est donc convergente.

Exemple 21 : Détermine si la suite 2, est convergente.1 2 12 , 2 ,...22 3

nn�

Solution

1 1112 2 21n

nn n nt nn

n

��

�� � � � � �

Puisque , nous pouvons réduire à1lim 0

n n��

� �1lim 2 2 1 0 3

n

nn��

�� � � � �

La suite converge donc vers 3.

P.27 - Math B30 - Suites et séries

Une série géométrique infinie est une série géométrique pour laquelle le

nombre de termes est infini. Par exemple, la série 16+8+4+2+1+ + +... La12

14

somme des n premiers termes de cette série est donnée par la formule

� �� �

11

n

n

a rS

r�

116 12 132 11 21

2

n

n

nS

� �� ��� �� �� � � �� � � �� �� � � �� �� �� �� �� ��

Lorsque , le terme . On peut dire que oun � �

1 02

n� �

�� �� �

� �32 0 1nS � � �

32. Nous interprétons alors cette somme comme étant la limite vers laquellenous nous approchons lorsque nous augmentons le nombre de termes dans lasérie. Autrement dit, plus n est grand, plus la somme des termes de la séries’approche de 32.

Pour simplifier notre travail, nous allons définir une formule permettantd’obtenir la somme d’une série géométrique infinie.

Exemple 22 : Quelle est la somme de la série 80, -60, 45, ... ?

Solution80 80 320 545731 7 71

44

aSr�

� � � � �� � �

� �� �� �

Somme d’une série géométrique infinie

1

aSr�

si 1r �

P.28 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 23 : Utilise la formule de la somme d’une série géométrique infiniepour convertir le nombre décimal en fraction réduite.5,36

Solution 5,36 5,36363636...�

5 0,36 0,0036 0,000036 ...� � � � �

5 S�

� �

0,36 0,36 36 45 5 5 51 0,01 0,99 99 11

� � � � � � � �

5911

P.29 - Math B30 - Suites et séries

Exercice 5

1. Détermine si chaque suite est convergente ou divergente. Si elle converge, donnesa limite.

a)23n

ntn

��

b) 4, 1 1 13 ,3 ,...,32 3 n

c) 2, 4, 6, ..., 2n

d)1 1 1 1, , ,...2 4 8 2n

e) 1, 2, 4, ..., 2n

f) 2

1 1 11, , ,...,4 9 n

g)1

2nt n�

h)3

4 1nnt

n�

i)4 26 7n

ntn�

j)2

2

4 4n

n ntn n� �

2. Détermine lesquelles des séries infinies suivantes sont convergentes. Trouve lasomme de celles qui le sont.

a)1 1 2 ...2 3 9� � �

b) 2-1+ -...12

c) 3-9+27-...

d) 12+4+43

e)3 9 27 ...2 4 8� � �

f) 48+16+ +...163

g)5 510 ...2 8

� � �

P.30 - Math B30 - Suites et séries

3. Utilise la formule de la somme d’une série géométrique infinie pour convertir enfractions irréductibles les nombres décimaux suivants.a) 0, 7

b) 0,18

c) 0,93

d) 4,35

e) 3,87

4. Une balle est échappée d’une hauteur de 10 m et elle rebondit à la moitié de sahauteur précédente à chaque rebond. Calcule la distance totale parcourue parcette balle à partir de la première fois qu’elle touche le plancher jusqu’à sonimmobilisation.

5. Une balle de caoutchouc est échappée d’une hauteur de 40 m. Elle remonte 2/5de sa hauteur précédente à chaque rebond. Quelle distance parcourra-t-elle avantde s’immobiliser?

6. Le côté d’un triangle équilatéral mesure 16 cm. On construit un triangle équilatéralinscrit dans le premier en joignant le point-milieu des côtés du premier triangle. Sion répète ce même procédé sans fin, quelle sera la somme des périmètres destriangles? Quelle sera la somme des superficies de ces triangles ?

7. Le côté d’un carré mesure 10 cm. On construit un carré inscrit en joignant le point-milieu de chaque côté du premier carré. Si on répète ce même procédé sans fin,quelle sera la somme des périmètres de ces carrés? Quelle sera la somme dessuperficies de ces carrés ?

P.31 - Math B30 - Suites et séries

4. L’intérêt composé

Lorsque Philippe a ouvert son premier compte en banque, on lui a indiqué quel’argent qui y serait déposé accumulerait de l’intérêt à un taux spécifique. Autrement dit, la banque allait lui donner un certain montant d’argent à despériodes fixes. L’intérêt est un frais payé à quelqu’un pour l’utilisation de sonargent. Dans le cas de Philippe, la banque lui remet une somme pour l’argent qu’ily dépose. Dans le cas de Mélanie, qui possède un emprunt bancaire pour l’achatd’une voiture, elle doit payer des frais pour l’argent emprunté à la banque sousforme d’intérêt.

Dans cette section, nous allons examiner l’intérêt composé. L’intérêt est ditcomposé lorsque des frais sont payés non seulement sur la somme d’argentinvestie ou déposée, mais également sur l’intérêt qui est déjà accumulé. L’intérêtcomposé présente donc un avantage sur l’intérêt simple, puisque ce dernier n’estcalculé que sur la somme d’argent déposée ou investie. Avant de présenter desexemples de calculs de l’intérêt composé, commençons par préciser les symbolesqui seront utilisés dans cette section.

Capital (C): Somme d’argent empruntée ou déposée.

Taux d’intérêt (i): Taux à partir duquel les frais d’intérêt sont calculés.

Temps (t): Temps pour lequel l’argent est remboursé ou déposé.

Nombre de périodes (n): Nombre de fois que les paiements ou dépôts s’effectuent.

Montant (M): Montant d’argent accumulé ou qui est dû après une certainepériode de temps.

4.1 Intérêt simple

Comme nous l’avons mentionné, l’intérêt simple se calcule uniquement sur lecapital investi. Ce type d’intérêt est habituellement utilisé sur des emprunts demoins d’une année. La formule de l’intérêt simple est où I est l’intérêtI Cit�

simple, C est le capital, i est le taux d’intérêt et t, le temps. Par exemple, siMagalie emprunte 1000 $ à un taux annuel de 8 % remboursable en trois ans,l’intérêt sera de pour la période de trois ans. � � � � � �1000 0,08 3 240$I � �

C’est donc dire que Magalie aura remboursé, au bout de trois ans, les 1000 $emprunté en plus des 240 $ en intérêt, pour une somme totale de 1240 $.

P.32 - Math B30 - Suites et séries

4.2 Intérêt composé

Supposons que Magalie aurait emprunté l’argent avec un intérêt composé. Letableau suivant montre comment on calcule le montant à rembourser.

Capital Intérêt payé après lapremière année

Intérêt payé après ladeuxième année

Intérêt payé après latroisième année

1000 $ (1000)(0,08)=80 $ (1080)(0,08)=86,40 (1166,40)(0,08)=93,31 $

Le capital utilisé à chaque période de remboursement tient compte de l’intérêtaccumulé lors de la période précédente. Ainsi, lorsque vient le temps depayer à la fin de la seconde année, Magalie doit calculer l’intérêt de l’intérêtaccumulé lors de la première. Il en est de même pour la période suivante. Lasomme totale remboursée par Magalie sera donc de 1259,71 $. Elle doit doncpayer 19,71 $ de plus lorsque l’intérêt est composé que lorsque l’intérêt estsimple. L’intérêt composé est habituellement utilisé lorsque le remboursementd’un emprunt s’effectue sur plus d’une année.

Pourquoi parler de l’intérêt composé dans le cadre du module sur les suites etséries. Simplement parce que le concept d’intérêt composé permet decalculer des montants qui représentent une suite géométrique. Par exemple,suppose qu’un investissement de 200 $ est fait à un taux d’intérêt de 11 %composé annuellement. Quel sera le montant accumulé après cinq ans. Leschéma suivant montre la progression de l’investissement pendant les cinqannées. Au début, il n’y a que les 200 $ investis, mais après une année, lecalcul de l’intérêt est (200)(0,11) = 22 $. Le capital pour la prochaine périodeest donc de 222 $. On réalise qu’il est possible de calculer en une seule étapecette somme en effectuant l’opération (200)(1,11) = 222 $. Comme l’indique leschéma, la somme accumulée après cinq ans sera de (200)(1,11)5 = 337,01 $.Chaque montant représente un des termes d’une suite géométrique définie par

. Dans ce cas-ci, et :1nnt ar �

� 200, 1,11a r� � 6n �

.� �6 1

5 200 1,11 337,01$t �

� �

Pour simplifier le travail, une formule de l’intérêt composé a été développée.

P.33 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 24 : 800 $ sont investis dans unplacement à un taux d’intérêtcomposé de 6 % calculétrimestriellement pendant 5ans. Quel sera le montantaccumulé à la fin de cettepériode?

Solution Utilisons la formule de l’intérêt

composé: . � �1 nM C i� �

C = 800 n = (3 périodes par année)(5ans) = 15Pour déterminer i , il fautdiviser le taux d’intérêt par lenombre de périodes decapitalisation par année.

Ainsi .0,06 0,02

3i � �

� �15800 1 0,02 1076,69$M � � �

Formule de l’intérêt composé

� �1 nM C i� �

où M est le montant accumulé, C est le capital investi ou emprunté, i estle taux d’intérêt par période de capitalisation et n le nombre de périodesde capitalisation.

Périodes de capitalisationL’intérêt peut être calculé plus d’unefois par année. Les termes suivantssont habituellement utilisés pourpréciser le nombre de périodes decapitalisation.

Annuellement: 1 fois par annéeSemestriellement: 2 fois par annéeTrimestriellement: 3 fois par annéeQuotidiennement: 365 fois par annéeMensuellement: 12 fois par année

Il faut réajuster le taux d’intérêt enfonction de ces périodes. Parexemple si le taux d’intérêt est de 12% capitalisé mensuellement, lenouveau taux d’intérêt est donc

. Il en va de0,12 0,0112

i � �

même pour n . Par exemple sil’intérêt est capitalisé mensuellementpendant 3 ans, n = (12)(3)=36.

P.34 - Math B30 - Suites et séries

4.3 Valeur actuelle (actualisée)

La valeur actuelle d’une somme d’argent est le montant qu’il faut investiraujourd’hui à un taux d’intérêt donné pour obtenir une certaine sommed’argent plus tard. La formule de l’intérêt composé permet d’obtenir cettevaleur actuelle puisqu’elle représente en quelque sorte la valeur de C. L’exemple suivant illustre ce concept.

Exemple 25 : Quelle somme d’argent doit être investie maintenant à 8 %capitalisé annuellement pour produire 900 $ dans 3 ans.

Solution L’énoncé du problème nous indique que , et3n � 0, 08i �. Nous tenterons d’obtenir la valeur actuelle qui est900M �

véritablement le capital à investir : . En réarrangeant lesCtermes de la formule de l’intérêt composé, nous obtenons que:

� � � �3

900 714, 45$1 1,08n

MCi

� � �

Il faut donc investir 714,45 $ maintenant afin d’obtenir 900 $ dans3 ans selon les conditions d’intérêt mentionnées.

L’exemple 25 nous permet de préciser une formule lorsque le problèmedemande de calculer la valeur actuelle.

Valeur actuelle VA

� �1 nMVA

i�

P.35 - Math B30 - Suites et séries

4.4 Utilisation de la calculatrice à affichage graphique pour le calculde l’intérêt composé

La calculatrice TI-83 permet d’obtenir rapidement les calculs financiers telsque celui de l’intérêt composé. Bien que l’utilisation de la calculatrice soithabituellement très appréciée des élèves, il ne faut pas oublier qu’il s’agitseulement d’un outil permettant de vérifier des réponses, et non d’uneméthode de remplacement à la bonne compréhension des concepts décritsprécédemment.

Supposons que nous nous intéressions à calculer le montant obtenu aprèsqu’un dépôt de 800 $ à 6 % d’intérêt composé 4 fois par année pendant 10ans. Les étapes suivantes expliquent les opérations avec la calculatrice.

• Appuie sur 3899 ̧de sorte que toutes lesréponses seront arrondies à deuxdécimales près.

• Appuie sur y V ¨ pour ouvrir leprogramme TVM Solver. La figure suivante montre l’écran. Les valeursseront fort probablement différentes surton écran.

• Pour N, entre le nombre de périodes decapitalisation qui est de 40 (4 périodes parannée multipliées par 10 ans).

• I % représente le taux d’intérêt en pourcentage. Celui-ci est de 6.• PV représente la valeur actuelle. Celle-ci est de 800 $. Nous allons

mettre un signe négatif devant cette valeur pour préciser qu’il s’agitd’argent qui a été investi. Si l’argent avait été reçu, comme dans le casd’un emprunt, le signe serait positif. Donc, entre la valeur -800.

• Il n’y aura pas de paiements et c’est pourquoi nous allons entrer 0 pourPMT.

• FV est la valeur que nous tentons d’obtenir. Nous allons passer pardessus pour l’instant et nous rendre à P/Y.

P.36 - Math B30 - Suites et séries

• P/Y représente le nombre de paiements par année. Celui-ci est de 4.• C/Y représente le nombre de périodes de capitalisation; même valeur que

P/Y. Ainsi C/Y=4.• Laisse END scintillant. Voici à quoi devrait ressembler ton écran.

• Déplace le curseur de manière à ceque ce dernier soit sur FV.

• Appuie sur w? ¸%afin de trouver le montant accumulé.

P.37 - Math B30 - Suites et séries

Exercice 6

1. Trouve la valeur acquise d’un investissement de 600 $ à 10 % pour 4 ans composé:a) annuellement.b) semestriellement.c) tous les 4 mois.d) mensuellement.

2. Trouve la valeur finale des investissements suivants:a) 500 $ à 6 % par année composé semestriellement pendant 7 ans.b) 1000 $ à 9 % par année composé tous les 4 mois pendant 9 ans.c) 5000 $ à 6 % par année composé mensuellement pendant 3 ans.

3. Un père investit 1000 $ le jour de la naissance de son enfant à un taux de 6 %capitalisé semestriellement. Combien recevra l’enfant le jour de son 18e

anniversaire ?

4. Le produit national brut (PNB) d’un pays augmente en moyenne de 5 % par année. Sachant que le PNB cette année est de 230 407 000 $, calcule le PNB projeté dans7 ans.

5. En vue de t’acheter une maison dans 5 ans, tu investis 2000 $ dans un placementà dépôt garanti à 10 % par année capitalisé tous les 4 mois. Quel sera ton capitalde cette source au moment de l’achat?

6. Quel montant faut-il pour rembourser un prêt de 5000 $ après 3 ans s’il a étéconsenti à 12 % par année composé tous les 4 mois?

7. Jean a acheté une obligation d’épargne du Canada de 1000 $. Le taux d’intérêtétait de 13 % composé annuellement. Quelle a été la durée de l’obligation si lavaleur acquise se chiffre à 3004 $ ?

8. Quel capital investi maintenant donnera 500 $ dans les conditions suivantes:a) en 4 ans à un taux de 16 % composé annuellement.b) en 2 ans à un taux de 14 % composé semestriellement.c) en 6 ans à un taux de 15 % composé tous les 4 mois.d) en 2 ans à un taux de 12 % composé mensuellement.

P.38 - Math B30 - Suites et séries

9. Jeanne a acheté une police d’assurance qui vaudra 35 000 $ dans 18 ans. Si letaux d’investissement est de 16 % capitalisé semestriellement, quelle est la valeuractuelle de cette assurance ?

10. Justin estime qu’il lui faudra 12 000 $ pour faire son cours de génie qui débuteradans 4 ans. Combien d’argent devrait-il investir aujourd’hui à 13 % composéannuellement pour accumuler ce montant ?

11. M. et Mme Brezinski planifient un voyage d’ici 8 ans, qui leur coûtera 10 000 $. Quel montant investi maintenant à 15 % capitalisé semestriellement leur permettrad’accumuler ce montant ?

12. M. Lejeune veut pouvoir débourser 30 000 $ pour l’achat d’un chalet à sa retraitedans 15 ans. Combien d’argent devrait-il investir maintenant à 14 % composé tousles 4 mois pour atteindre ce but ?

13. Quel montant faut-il investir à 9 % composé annuellement afin de remplacer unemachine de 9000 $ dont on estime la durée de vie à 4 ans encore ?

P.39 - Math B30 - Suites et séries

5. Les annuités

Une annuité est un montant d’argent payable de façon régulière par desversements égaux. Ce montant est calculé en tenant compte de l’intérêt accumulésur le montant initial ainsi que de l’ensemble de tous les paiements effectués. Parexemple, lorsqu’une personne signe un emprunt bancaire en vue de l’achat d’unemaison, ses paiements mensuels sont tels qu’elle rembourse le même montant àchaque mois. Il en est de même pour certains types de placements oùl’investisseur dépose un montant fixe à chaque mois. Prenons l’exemple d’uneannuité de six paiements semi-annuels de 400 $ à 7 % par année composésemestriellement. Le diagramme ci-dessous illustre ces paiements.

L’intérêt calculé est de 0,035 puisque . À la fin des trois années, le0,07 0,035

2�

montant accumulé sera 2 5400 400(1,035) 400(1,035) ... 400(1,035)M � � � � �

ou . Nous remarquons que l’addition précédente représente la2620,11$M �

somme d’une série géométrique, , qui peut être simplifiée à� �11

n

n

a rS

r�

. � �61 1,035

2620,11$1 0,035n

aS

� �

L’encadré ci-dessous montre la formule d’annuité qui peut être utilisée pour desproblèmes semblables.

P.40 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 26 : Un joueur de la LNH estime que sa carrière se poursuivrapendant 12 ans. Pour créer un fonds de retraite, il dépose300000 $ à la fin de chaque année pendant 12 ans dans uncompte rapportant 8 % en intérêt par année composéannuellement. Combien d’argent aura-t-il après ces 12 années?

Solution� �� �1 1nR i

Si

� �

� �� �12300000 1 0,08 15693137,94$

0,08S

� �

� �

Parfois, c’est le montant à investir ou la valeur des paiements qui nous intéresse. Nous cherchons alors la valeur actuelle de l’annuité. Supposons que nousdésirions connaître le montant d’argent à investir maintenant à 10 % d’intérêtcapitalisée annuellement pour maintenir une annuité de 4 paiements annuels de800 $ , si le premier paiement est à faire dans un an d’ici.

Le diagramme qui suit montre le déroulement des paiements.

Formule d’une annuité ordinaire

� �� �1 1nR iS

i

� �

où S est le montant futur de l’annuité ordinaire, n le nombre de périodes decapitalisation, R le paiement effectué à chaque période et i l’intérêt.

P.41 - Math B30 - Suites et séries

La valeur actuelle de chacun des paiements est indiquée à gauche. Pourtrouver la réponse à ce problème, il faut déterminer la somme de toutes lesvaleurs actuelles qui forment une série géométrique.

8001,1

a �

11,1

r � 4n �

ou � �11

n

n

a rS

r�

4800 111,1 1,1 2536,17$11

1,1

nS

� ��� �

� �� �

La formule habituellement utilisée pour obtenir la valeur actuelle d’une annuitéest présentée dans l’encadré suivant.

Exemple 27 : Quelle somme d’argent déposée aujourd’hui à 5,6 % d’intérêtcomposé 4 fois par année va générer le même montant que despaiements de 525 $ effectués à la fin de chaque période de 3mois pendant 6 ans dont l’intérêt est de 5,6 % composé 4 fois parannée?

Solution Le problème nous demande de trouver la valeur actuelle d’uneannuité de 525 $ , quatre fois par année pendant 6 ans à unintérêt de 5,6 % capitalisé 4 fois par année. Dans ce cas, 24n �

et et0,056 0,014

4i � �

Formule de la valeur actuelle d’une annuité

� �� �1 1 nR iVA

i

� �

où VA est la valeur actuelle de l’annuité, R est le montant de chaquepaiement, i est l’intérêt et n, le nombre de périodes consécutives decapitalisation.

P.42 - Math B30 - Suites et séries

.� �� �24525 1 1 0,014

10639,11$0,014

VA�

� �

� �

Il est également possible de trouver cette valeur en utilisant lacalculatrice TI-83 et en complétant les écrans de manière à avoirce qui suit et résolvant pour trouver FV:

Une des applications des annuités les plus utilisées est celle du calcul dumontant des paiements lors d’un emprunt. Comme l’illustre l’exemple suivant,il s’agit de travailler avec la formule de la valeur actuelle d’une annuité.

Exemple 28 : J’emprunte 8000 $ pour m’acheter une voiture à un taux d’intérêtde 12 % par année. Je dois rembourser cet emprunt dans 4 anspar des paiements mensuels égaux. Trouve le montant dechaque paiement mensuel.

Solution Dans ce problème, , et8000VA � (12)(4) 48n � �

. Nous cherchons R.0,12 0,0112

i � �

et� �� �1 1 nR i

VAi

� �

� �� �� � � �

� �� �48

8000 0,01( )( ) 210,67$1 1 1 1,01n

VA iRi � �

� � �

� � �

P.43 - Math B30 - Suites et séries

Exercice 7

Détermine la valeur acquise pour les annuités ordinaires suivantes.

1. Des paiements de 1000 $ sont effectués chaque mois pendant 3 ans à un tauxd’intérêt de 12 % capitalisé mensuellement.

2. Des paiements de 650 $ sont effectués chaque 4 mois pendant 5 ans à un tauxd’intérêt de 8 % capitalisé tous les 4 mois.

3. Des paiements de 5500 $ sont effectués chaque année pendant 20 ans à un tauxd’intérêt de 7 % capitalisé annuellement.

4. Des paiements de 10000 $ sont effectués semestriellement pendant 9 ans à untaux d’intérêt de 9 % capitalisé semestriellement.

Quel sera le paiement à effectuer R qui donnera la somme donnée selon lesconditions indiquées?

5. La somme désirée est de 2500 $. Les paiements sont effectués tous les 4 moispendant 4 ans. Le taux d’intérêt est de 6 % par année capitalisé tous les 4 mois.

6. La somme désirée est de 100 000 $. Les paiements sont effectuéssemestriellement pendant 11 ans. Le taux d’intérêt est de 7 % par année capitalisésemestriellement.

7. La somme désirée est de 54000 $. Les paiements sont effectués annuellementpendant 25 ans. Le taux d’intérêt est de 6 % par année capitalisé annuellement.

8. La somme désirée est de 6525 $. Les paiements sont effectués mensuellementpendant 3 ans. Le taux d’intérêt est de 10 % par année capitalisé mensuellement.

Résous les problèmes suivants.

9. Abid dépose 1000 $ à la fin de chaque année pendant 10 ans dans un compterapportant 8 % en intérêt capitalisé annuellement.a) Combien d’argent sera dans le compte d’Abid après le dépôt final?b) Quel sera le montant en intérêt accumulé?

P.44 - Math B30 - Suites et séries

10. Helena dépose 500 $ semestriellement pendant 10 ans dans un compte rapportant8 % capitalisé semestriellement . Combien Helena aura-t-elle d’argent après 10ans ?

11. Fred dépose 250 $ à tous les 4 mois pendant 10 ans dans un compte rapportant 8% d’intérêt capitalisé à tous les 4 mois. Combien Fred aura-t-il d’argent après 10ans ?

12. Éric sait que c’est important de placer de l’argent afin d’avoir un fonds de retraitedès un jeune âge. Il dépose 1000 $ chaque jour d’anniversaire à partir du jour deses 16 ans jusqu’à son 25e anniversaire inclusivement. Le compte dans lequel ildépose son argent rapporte 10 % en intérêt capitalisé annuellement.a) Combien d’argent Éric aura-t-il le lendemain de son 25e anniversaire?b) Si Éric laisse ce montant (a) dans le compte pendant 35 autres années, sans y

faire d’autres dépôts, combien d’argent aura-t-il lorsqu’il aura 60 ans (indice:utilise la formule de l’intérêt composé).

Détermine la valeur actuelle de chacune des annuités ordinaires qui suivent.

13. Des paiements de 2500 $ sont effectués annuellement 15 ans à un taux d’intérêt de7,5 % capitalisé annuellement.

14. Des paiements de 4000 $ sont effectués semestriellement pendant 12 ans à untaux d’intérêt de 8,2 % capitalisé semestriellement.

15. Des paiements de 575 $ sont effectués chaque mois pendant 6 ans à un tauxd’intérêt de 6 % capitalisé mensuellement.

16. Des paiements de 900 $ sont effectués chaque mois pendant 20 ans à un tauxd’intérêt de 7,2 % capitalisé mensuellement.

Détermine le montant du paiement nécessaire pour rembourser (amortir) chacundes emprunts suivants.

17. 16000$: 9 paiements annuels à 6 %.

18. 25000$: 20 paiements semestriels à 9,4 % capitalisés semestriellement.

19. 4800$: 6 paiements à tous les 4 mois à 8 % capitalisés trois fois par année.

20. 120000$: 360 paiements mensuels à 7,2 % capitalisés mensuellement.

P.45 - Math B30 - Suites et séries

Résous chacun des problèmes suivants.

21. Lorsqu’on achète une maison, il est parfois difficile d’obtenir un taux d’intérêt surl’emprunt hypothécaire jugé raisonnable. Les taux varient constamment et ilspeuvent être bas pendant une certaine période ou très élevé pendant d’autres,selon l’économie. Parfois les gens prennent un emprunt hypothécaire qu’ilspeuvent difficilement rembourser. Lorsque les taux d’intérêt augmentent, ilspeuvent se retrouver dans une situation financière précaire. Détermine lespaiements mensuels nécessaires pour amortir un emprunt hypothécaire de 100000$ pendant 25 ans, si le taux d’intérêt capitalisé mensuellement change selon lesconditions suivantes:

a) 6 %b) 8 %c) 10 %d) 12 %e) 14 %f) 16 %g) 18 % (les taux d’intérêt étaient à ce niveau au début des années 1980)

22. Tu veux acheter une voiture de 25 000 $. Tu peux soit économiser les 25 000 $soit faire un emprunt de 25 000 $ remboursable mensuellement.a) Suppose que tu décides de faire des paiements mensuels fixes dans un compte

d’épargne dont l’intérêt annuel est de 6 % capitalisé mensuellement. Quel serale montant de tes dépôts afin d’accumuler 25 000 $ en 5 ans?

b) Combien d’argent au total auras-tu besoin de mettre dans le compte afin d’enarriver à 25 000 $ en 5 ans?

c) Suppose que tu décides d’emprunter 25 000 $ à un taux de 9 % capitalisémensuellement. Quel sera le montant du paiement mensuel si tu veuxrembourser 25 000 $ en 5 ans?

d) Combien d’argent au total auras-tu payé pour rembourser les 25 000 $empruntés de la question c) ?

e) Compare les réponses de d) et de b). Quelle différence y a-t-il entreéconomiser à l’avance en vue d’un achat et emprunter de l’argent afin d’obtenirle produit tout de suite?

P.46 - Math B30 - Suites et séries

Réponses

Exercice 11. a) -2, 5, 12, 19, ...

b) 20, 26, 32, 38,...c) -8, -10, -12, -14, ...

d) 0,5, 0,2, -0,1, -0,4, ...e) 2m, 3m-1, 4m-2, 5m-3, ...f) 1,02, 1, 0,98, 0,96, ...

2. a) 2 c) -5 f) 15 g) 4 h) -0,53. a) 3, 16

b) -4, -1c) -2, -7d) 3, 7

e)1 1,6 3

f)1 7,

12 12g) 2b, a+6bh) -3, 3x-11

9. a) 14b) 42c) 5d) -24e) -50

f) 3 10 2�

g) -53i

h)574

9. a) 27b) -47c) 14d) 142e) -37f) 94

g) 9

h)236

i) 3x+8yj) 25/6

11. a) 12 b) 12 c) 10 d) 11 e) 19 f) 812. a) 22 b) 30 c) 44 d) 15 e) 49 f) 28

13. a)3 15, 3,2 2

b) 6, 9, 12, 15, 18

c)1 1, 0 ,2 2

d)30 18 6 6 18 30, , , , ,7 7 7 7 7 7

� � �

e) 30, 42f) 27, 36, 45g) 3x-y, 4x+2yh) 7a-2b, 9a-b, 11a, 13a+b

P.47 - Math B30 - Suites et séries

9. a) 2, 3 b) 10, -2 c) 8, -31/7 d) 67, -5 e) -8, -3 f) 3+3k, 2k10. 63,7 m11. 1475 $12. 705 $13. 1414. 13,1515. 516. 1750 $

Exercice 2

1. a) , 3, 6, 1232

b) 12, -6, 3, 32

c) 48, 72, 108, 162

d) -5, 10, -20, 40

e)2 2 2, , , 2

27 9 3� �

f) -54, -36, -24, -16

2. a) G, 2b) Nc) A, -2

d) G, 12

e) N

f) G, 13

g) G, 2yh) A, 2xi) G, 3�

j) G, 32

k) Nl) G, 2c�

13. a) -768 b) c) d) 11

3125�

8116

14. a) 320 b) c) d) e) f)281

323

11

512p

q16 3 32

915. a) 5 b) 7 c) 8 d) 1016. a) 5 b) 817. a) 3 b) 3 c) d)5� 2�18. a) 9, 81 b) -12, -48, -192 ou 12, -48, 192 c) -12

d) 6, 12, 24, 48 e) 15

19. a) 2, b) 3 et ou -3 et 3� 12

12

20. 331 22421. 5120 $

P.48 - Math B30 - Suites et séries

22. 51223. 62524. 327,6825. 5,62526. 1027. 3915,05 $28. 130 800 $29. 99530. 30,4 %

Exercice 31. a) 258 b) 1050 c) 1155 d) -420 e) 104 f) -1402. a) 119, 1240 b) -17, -353. a) 735 b) -220 c) -154 d) 55/64. a) 387 b) 1020 c) 45/2 d) 905. a) 8, 48, 88 b) 1, 5, 9 c) 3, 7, 11 d) 6, 36, 66 e) 13, 8, 36. a) 4+9+16+25

b) 1+3+5+7c) 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20d) -4-1+2+5e) -1-2-3-4-5

7. a)6

14

nn

b) � �7

122 2

nn

��

c) � �8

15 25

nn

��

d) � �100

13 54

nn

��

e) � �556

12 1

nn

��

f) � �222

15 1

nn

��

7. a) 5040 b) 15251 c) -7200 d) 76201368

58. Salaire global9. 231

P.49 - Math B30 - Suites et séries

10. 106511. 700 $, 3010 $12. 100

Exercice 41. a) 105 b) 781 c) 21/2 d) 165 e) 1441 f) 3002. 2153. 121

4.3511

1285. 10266. 95257. 19 530 $8. 349 5249. 14 329

10. 36427

11. 10

1

12n

n

12. 15

1

38004

n

n

� �� �� �

13. 980 $14. 984015. 805 255 $, 3 857 800$

Exercice 51. a) converge, 1

b) converge, 3c) diverged) converge, 0e) diverge

f) converge, 0g) converge, 0h) converge, 3/4i) converge, 2/3j) converge, 1

2. a) 3/4 b) 4/3 c) divergente d) 18 e) divergentef) 72 g)8

3. a) 7/9 b) 2/11 c) 31/33 d) 431/99e) 349/904. 20

5.1933

P.50 - Math B30 - Suites et séries

6.256 396,

37. 80 40 2, 200�

Exercice 61. a) 878,46 b) 886,47 c) 889,24 d) 893,602. a) 756,29 b) 2221,29 c) 5984,403. 2898,284. 324 205 790, 005. 3270,516. 7116,567. 98. a) 276,15 b) 381,45 c) 207,76 d) 393,789. 2191,8610. 7359,8211. 3143,8712. 3852,5113. 6375,83

Exercice 71. 43076,88 $2. 15793,29 $3. 225475,21 $4. 268550,84 $5. 139,41 $6. 3093,21 $7. 984,24 $8. 156,17 $9. a) 14486,56 $ b) 4486,56 $10. 14889,04 $11. 15100,50 $12. a) 15937,42 $ b) 447880,34 $13. 22067,80 $14. 60368,20 $15. 34695,22 $16. 114307,59 $17. 2352,36 $18. 1955,35 $19. 856,92 $20. 814,55 $21. a) 644,30 $ b) 771,82 $ c) 908,70 $ d) 1053,22 $ e) 1203,76$

P.51 - Math B30 - Suites et séries

f) 1358,89 $ g) 1517,43 $22. a) 358,32 $ b) 21499,20 $ c) 518,96 $ d) 31137,60$

e) En économisant au fur et à mesure, tu payeras 9638,40 $ de moins que si tuprends un emprunt. Toutefois, tu devras attendre 5 ans avant d’avoir l’auto...