mathématiques b30 - saskatchewan learning · 1.1 Épreuve ou expérience aléatoire ... dans les...

Mathématiques B30Probabilité

Module de l’élève

2002

Mathématiques B30

Probabilité

Module de l’élève

Bureau de la minorité de langue officielle

2002

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectifs généraux

L’élève sera capable de:• Démontrer l’habileté à établir et à calculer les probabilités d’événements liés

entre eux

• Appliquer le théorème du binôme au développement des binômes et à dessituations de la vie courante

Objectifs spécifiques

L’élève sera capable de:A.1 Définir les principes d'inclusion et d'exclusion lorsqu'on travaille avec deux

ensembles ou plus d'événements

A.2 Déterminer la probabilité d'événements s'excluant mutuellement

A.3 Déterminer la probabilité de deux événements indépendants ou plus

A.4 Déterminer la probabilité d'événements dépendants (probabilitésconditionnelles)

A.5 Organiser, analyser, estimer et résoudre des problèmes basés sur lesobjectifs 1 à 4

A.6 Déterminer les coefficients de termes dans un développement binomial àl'aide du théorème du binôme (recourir au triangle de Pascal ou auxcombinaisons pour présenter ce sujet)

A.7 Développer des expressions de la forme (a + b)n, à l'aide du théorème dubinôme

A.8 Résoudre des problèmes associés aux objectifs 6 et 7

RemerciementsCe module contient en partie des exercices et des exemples adaptés, avecpermission, du document de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon PublicSchool Division, 1999).

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 1

IntroductionDans cette unité, nous allons aborder les notions associées aux probabilités. Enmathématiques, nous sommes souvent justifiés de traiter les notions deprobabilités et de statistiques ensemble. Par exemple, si on répète un certainnombre de fois une expérience scientifique, on obtient habituellement desrésultats qui se regroupent autour d'une tendance. Il est évident qu'uneexpérience ne peut reproduire avec exactitude un résultat essai après essai. Toutefois, nous pouvons prédire avec une certaine confiance la probabilité deretrouver un résultat donné. Ainsi, si nous répétions une expérience visant àmesurer la température d’ébullition del’eau, nous obtiendrions probablementune série de résultats dont la moyennefluctuerait autour de 100�C.

Avant d'entreprendre l'étudeapprofondie des probabilités, il convient de définir la terminologie essentielle à lacompréhension de ce sujet.

1. Définitions fondamentales

1.1 Épreuve ou expérience aléatoireUn processus faisant intervenir le hasard et susceptible de donner un ouplusieurs résultats est connu sous le terme d'épreuve ou expériencealéatoire. On peut parfois en prévoir l'issue ou si vous voulez, l'ensemble detous les résultats possibles.

Par exemple, si vous tirez une carte d'un jeu de 52 cartes, vous effectuez uneépreuve aléatoire.

1.2 Espace échantillonnal (S)L'ensemble de tous les résultats possibles (résultats élémentaires) quipeuvent se produire lors d'une épreuve aléatoire.

Par exemple, si vous lancez une pièce de monnaie parfaitement équilibréedans les airs, vous avez deux résultats possibles: pile ou face. Dans ce cas,l'espace échantillonnal est le suivant:

S = {pile, face}

As-tu déjà estimé la probabilité degagner le gros lot de la 6-49?

P. 2 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

1.3 Cardinal d’un ensemble ( )� �n ALe nombre d'éléments distincts contenus dans un ensemble est appelé lecardinal de cet ensemble. Par exemple, si un espace échantillonnal Spossède cinq éléments, on pourrait écrire que .� �n S � 5

1.4 Événement (E)Partie de l'ensemble des résultats (donc un sous-ensemble de S) possible. Ilpeut contenir un ou plusieurs résultats élémentaires.Dans l'exemple portant sur la pièce de monnaie, nous aurions pu décider quel'événement E était d'obtenir face.

Exemple 1: Supposons qu'on vous demande d'observer quel pied est placésur la première marche lorsque plusieurs personnes montent unescalier. On sait qu'il y a deux événements possibles; le piedgauche ou le pied droit. On peut représenter ces deuxévénements de la façon suivante:

E1 : pied gaucheE2 : pied droit

L'espace échantillonnal est: S = {E1, E2} = {pied gauche, pied droit}

2. Définition classique de la probabilité

Revenons à l’exemple précédent. Comment peut-on obtenir la probabilité que cesoit le pied gauche qui se dépose sur la première marche de l’escalier? Onpourrait réaliser un très grand nombre d'observations et compter le nombre de foisque cet événement se réalise. On pourrait aussi déterminer cette probabilité enfonction d’une démarche plus « théorique ».

La notion de probabilité est le résultat d'un raisonnement dans lequel on évalue lenombre de fois qu’un événement se réalise. Dans notre vie quotidienne, nousutilisons la notion de probabilité lorsque nous jouons à la loterie ou lorsque nousfaisons des prévisions météorologiques. Le hasard est un élément étroitementassocié à la définition de la probabilité. En effet, lorsque nous jouons à la loterie,nous acceptons que les probabilités que nous gagnions dépendent du hasard.


� � � � 1�� EPEP

La probabilité qu'un événement E se produise est définie par le rapport entre lenombre de cas favorables ( ) à cet événement et le nombre total de cas� �n Epossibles ( ):� �n S

� ��

� �P E

n En S

�

Exemple 2: Lorsque vous lancez une pièce de monnaie (parfaitementéquilibrée) dans les airs, il existe deux événements possibleslorsqu'elle retombe sur une table. Elle peut tomber du côté pile oudu côté face. est donc égal à 2. Si vous voulez connaître la� �n Sprobabilité qu’elle tombe du côté pile, vous devez établir le nombred'événements favorables . Ce dernier est égal à 1. La� �n Eprobabilité P(E) que la pièce de monnaie tombe pile est:

� ��

� �P E

n En S

� � �

12

0 5,

Observons que:1. la probabilité d'un événement impossible est nulle;2. la probabilité d'un événement certain est égale à 1;3. entre ces deux extrêmes se situe toute une série d'événements probables: la

probabilité qu'un événement se réalise se situe donc entre 0 et 1, c'est-à-dire 0�P(E)�1;

4. la probabilité qu'un événement E ne se réalise pas est donnée par:où est nommé événement complémentaire de E. Par� � � �EPEP �� 1 E

exemple, en lançant un dé, la probabilité d’obtenir un 2 est donnée par

alors que la probabilité d’obtenir autre chose qu’un 2 est� ��

� �P E

n En S

� �

16

.� ��

� �P E

n S n En S

�

�

�

56

La dernière remarque estimportante et est souventrésumée en mathématiquespar l'équation ci-contre.


Exemple 3: Soit une épreuve aléatoire qui consiste à choisir au hasard unecarte dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de choisir:

a) une carte de couleur noire?b) un valet?c) une carte autre qu'un valet?

Solution: a) L’espace échantillonnal contient les 52 éléments du jeu decartes: � �n S � 52

La moitié des cartes sont noires de sorte que � �n E � 26

La probabilité de choisir une carte noire est donc donnée par

.� ��

� �P E

n En S

� � � �

2652

12

0 5,

b) Il y a 4 valets dans un jeu ordinaire de 52 cartes. La probabilité de choisir un valet se calcule de la manière suivante:

� ��

� �P E

n En S

� � � �

452

113

0 0769,

c) L’expression qui permet de calculer est:� �EP

� � � �P E P E� � � � � �1 11

131213

0 9231,


Certains problèmes peuvent exiger une représentation visuelle de l’espaceéchantillonnal et de l’événement désiré. L’exemple suivant démontre comment unsimple tableau peut aider à comprendre ce qui peut se produire lorsqu’on lancedeux dés.

Exemple 4: Quelle est la probabilité que la somme de deux dés lancés enmême temps soit 6?

Solution: On peut représenter visuellement la solution à ce problème enutilisant un tableau.

Dé 2

Dé 1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Le tableau montre qu’il existe 36 possibilités: . Seules 5� �n S � 36de ces possibilités correspondent à l’événement désiré, soit que lasomme des deux dés donne 6: . On peut calculer la� �n E � 5

probabilité de cet événement: .� ��

� �P E

n En S

� �

536


À toi de jouer! (1)

Bernard Siskin et Jerome Straller ont publié le livre What are the chances (NewYork: Crown Publishers, Inc. 1989) dans lequel ils discutent des possibilités quecertains événements se produisent dans la vie d’une personne. Le tableausuivant illustre quelques événements dans la colonne de gauche. Peux-tuassocier chaque événement avec une des probabilités de la colonne de droite?

Événement: Probabilité quel’événement seproduise

a) mourir en service commandé pour un policier ou une policière.b) qu’un couple ait trois enfants ou plus.c) que l’avion dans lequel vous vous trouvez s’écrase et qu’il y ait une victime.d) qu’une personne soit frappée par la foudre.e) que vous soyez vivant l’année prochaine.f) que vous soyez admis dans un hôpital pour soins psychiatriques.g) que vous soyez une personne qui se ronge les ongles.h) que vous devrez voyager 1 à 2 heures par jour pour rendre au travail et revenir.i) que vous serez insatisfait de votre emploi même si vous gagnez plus de

50000$ par année.j) que vous allez vous marier lorsque vous aurez 18 ans et plus.

(i) 0,00000016(ii) 0,0000017(iii) 0,00038(iv) 0,0055(v) 0,11(vi) 0,15(vii) 0,17(viii) 0,29(ix) 0,64(x) 0,998

Notion de chancesDans la vie quotidienne, on confond souvent les termes probabilités et chancesqu'un événement se produise. En mathématiques, les définitions des deuxtermes sont distinctes.

� �

� �chances

probabilité que l événement E se produiseprobabilité que l événement E ne se produise pas

P EP E

� �

''

Exemple 5: Quelles sont les chances qu'un as soit tiré d'un jeu de cartesordinaire (52 cartes)?

Solution: On peut calculer les chances qu’un as soit tiré du jeu de cartes à

partir de l’expression où = la probabilité que l’as soit� �� EPEP

� �EP

tiré et celle que la carte tirée ne soit pas un as.� �EP

La probabilité qu'un as soit tiré est de 1/13, alors que la probabilitéqu'une carte autre qu'un as soit tirée est de 12/13. Ainsi,


121

1312131

)( ��EChances

On peut donc dire que les chances sont 1 contre 12 d'obtenir un aslorsqu'un pige une carte du jeu de 52 cartes.


Si les chances qu’un événement ait lieu sont de 2 contre 5, quelle estla probabilité que :

a) l’événement ait lieu?b) que l’événement n’ait pas lieu?

3. Définition fréquentiste ou expérimentale de la probabilitéLe décompte des conditions favorables et des cas possibles n'est pas toujoursfacile à effectuer. Parfois, il faut se fier aux résultats d'une expérience pour obtenirla probabilité d'un événement.

Si on veut déterminer expérimentalement la probabilité qu’un événement seproduise, il est souhaitable de répéter l’expérience le plus souvent possible pourobtenir une meilleure approximation de . � �EP


Exemple 6: Une maison d'édition a effectué un sondage auprès de sa clientèle. Voici les résultats.

Âge en années Nombre de clients

15 x < 20� 44

20 x < 25� 67

25 x < 30� 82

30 x < 35� 187

35 x < 40� 179

40 x < 45� 102

45 x < 50� 95

50 x < 55� 33

55 x < 60� 9

60 x < 65� 2Quelle est la probabilité que l'âge d'un client soit supérieur ou égal à 45ans mais inférieur à 50 ans?

Solution: On peut calculer en additionnant les résultats de la colonne de� �n Sdroite: . La probabilité que l'âge d'un client soit supérieur� �n S � 800ou égal à 45 ans mais inférieur à 50 ans est obtenue en effectuant lecalcul suivant:

� � 1188,016019

800955045 �� xP

Quel pourrait êtrel’intérêt d’un telsondage?


4. Principes du dénombrement et calcul des probabilités d’unévénement

Lors du cours de mathématiques A30, nous avons appris à utiliser les concepts depermutations et de combinaisons pour résoudre des problèmes. Les problèmesportant sur les probabilités peuvent parfois se résoudre en incorporant cesprincipes du dénombrement comme l’illustre l’exemple suivant.

Exemple 7: Dans une école secondaire, on doit élire un comité de cinq élèvesparmi un groupe de 40 garçons et de 45 filles.

a) Quelle est la probabilité de choisir un comité composé de cinqfilles?

b) Quelle est la probabilité de choisir un comité composé de cinqgarçons?

c) Quelle est la probabilité de choisir un comité de deux garçonset trois filles?

Solution: a) Le nombre de choix possibles de cinq filles parmi les 45 quicomposent le groupe d’élèves est déterminé par . On45 5Cpeut dire que le cardinal de l’ensemble (l’événement deEchoisir 5 filles) est . De la même manière, on peut� �n E C� 45 5

dire que le nombre de choix possibles de cinq élèves parmi les85 élèves du groupe est déterminé par . Donc,85 5C

. Le calcul de la probabilité de choisir un comité de� �n S C� 85 5

six filles se résume à:

� ��

� �P E

n En S

CC

� � � �45 5

85 5

47312699

0 0372,

b) Le même raisonnement s’applique pour le calcul de laprobabilité de former un comité composé uniquement degarçons.

Un rappel: � �n rC

nn r r

�

�

!! !


� �P ECC

� �40 5

85 50 0201,

c) Le nombre de combinaisons de deux garçons et trois filles serésume à . La probabilité d’obtenir un comité de40 2 45 3C C�

deux garçons et trois filles est donc:

� �P EC C

C�

�

� �40 2 45 3

85 5

12298003644613

0 3374,


Lors d’un camp d’entraînement en badminton, l’entraîneur doit choisir 6personnes pour représenter l’école dans un tournoi. Si l’équipe est composéede 8 garçons et 6 filles, calcule la probabilité de:

a) choisir 2 garçons et 4 filles.

b) choisir au moins 1 fille.


Exercice 1

1. Lors d'une soirée casino, un des jeux exige de lancer un dé (régulier, à six faces). Si tu obtiens un nombre supérieur à 4, tu gagnes,sinon tu perds.

a) En utilisant la notation d’ensembleéchantillonnal et d'événement favorable, montrecomment on calcule la probabilité théoriqued'obtenir un 3?

b) En utilisant la notation d’ensembleéchantillonnal et d'événement favorable, montre comment on obtient laprobabilité que le joueur gagne à ce jeu.

c) En utilisant la notation d’ensemble échantillonnal et d'événement favorable,montre comment on obtient la probabilité que le joueur perde à ce jeu.

d) Le responsable du jeu décide de changer les règles et de laisser gagner lejoueur s'il obtient un nombre inférieur à 7 en utilisant un seul dé. Commentnomme-t-on ce genre d'événement et quelle est la probabilité qui lui estassociée?

e) Le responsable du jeu décide encore de changer les règles et de laissergagner le joueur s'il obtient un nombre supérieur à 6 en utilisant un seul dé. Comment nomme-t-on ce genre d'événement et quelle est la probabilité quilui est associée?

2. On tire une carte d'un jeu de cartes ordinaire (52 cartes). Quelle est la probabilitéque la carte tirée soit:

a) un as?

b) un valet de couleur rouge?

c) un six de pique?

d) un 4 ou une reine?

e) un 5 rouge ou 9 noir?


f) un coeur ou un carreau?

g) un 4, un 5, un 6 ou un 7?

3. À l'occasion de la période de Noël, M. Lacoursière invite 12 membres de sa familleà une réception: 3 oncles, 4 frères, 4 cousines et une nièce. Suppose que chaquemembre de sa famille ait des chances égales d'arriver en premier:

a) Quelle est la probabilité que la première personne à arriver chez M.Lacoursière soit un de ses oncles?

b) Quelle est la probabilité que la première personne à arriver soit une de sescousines?

c) Quelle est la probabilité que la première personne à arriver ne soit pas un deses frères?

d) Quelles sont les chances que la première personne à arriver soit la nièce?

4. Au canal météo, on annonce pour demain que les probabilités de précipitations sontde 33,3 % ou 1/3. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait pas de pluie demain?

5. La probabilité qu’il neige un certain jour est de .35

a) Quelle est la probabilité qu’il ne neige pas?

b) Quelles sont les chances qu’il neige?


6. Lors d’un jeu télévisé, les finalistes doiventtourner la roulette afin de déterminer la sommeen argent qu’ils remporteront. S’ils obtiennentun nombre pair, ils remportent 10000$, alorsque s’ils obtiennent un nombre impair, ilsremportent 2500$. Si la flèche s’arrête sur lenombre 11, ils remportent le gros lot de25000$. Si madame Brossard est une desfinalistes,

a) quelle est la probabilité qu’elle remporte10000$?

b) quelle est la probabilité qu’elle remporte aumoins 2500$?

c) quelle est la probabilité qu’elle remporte le gros lot de 25000$?

7. Un sac contient 2 billes blanches, 4 billes bleues et 6 billes rouges. Si on tire auhasard une bille du sac, quelle est la probabilité

a) qu’elle soit blanche?

b) qu’elle soit bleue?

c) qu’elle soit rouge?

d) qu’elle ne soit pas bleue?

8. Dans le numéro précédent, on tire à la fois 3 billes du sac. Quelle est la probabilité

a) qu’elles soient toutes blanches?

b) qu’elles soient toutes rouges?

c) qu’il n’y en ait pas de rouges?


9. On mêle 6 cartes, les 6, 7 et 8 de coeur et les 6, 7 et 8 de trèfle. On les place une àcôté de l’autre sur une table.

a) Combien d’arrangements sontpossibles?

b) Quelle est la probabilité que les 3trèfles soient suivis des 3 coeurs?

c) Quelle est la probabilité que chaque carte soit à côté d’une autre carte portant lemême numéro?

d) Quelle est la probabilité qu’elles soient dans l’ordre 6,7,8 de coeur suivis de6,7,8 de trèfle?

10. Au début de l’unité, nous t’avons demandé d’estimer les probabilités de remporterle gros lot de la Lotto 6/49. Dans ce jeu, on doit choisir 6 nombres entiers parmiles 49 entiers disponibles dans un boulier. Si les 6 nombres choisis correspondentà ceux sélectionnés lors du tirage, on remporte le gros lot. Des prix moins élevéssont aussi remportés lorsque 5, 4 ou 3 nombres correspondent. À partir de tesconnaissances acquises, reproduis et complète le tableau des probabilités suivant.

Nombre d’entiers correspondants 6 5 4 3 2 1 0

Probabilité

Un rappel: � �

!!n r

nPn r

�

�


A

U

B1

2

34 5

67

8

9

S

A B

C

RichardManon

JulieAnnie

Martin

JoséeHélène

Marc

Pierre

5. Diagramme de Venn

Nous allons utiliser les diagrammes de Venn pour illustrer schématiquement lesrègles fondamentales associées aux probabilités. Le diagramme de Venn nouspermettra de mieux visualiser certaines opérations sur les ensembles commel’intersection ou l’union. Dans un diagramme deVenn, les éléments dechaque ensemble sontreprésentés par des pointscomme le montre la figure ci-contre. Notons que chaqueensemble est identifié parune lettre.

5.1 L'appartenance et l'inclusionOn utilise un symbolisme particulier pour signifier qu'un élément appartient à unensemble ou qu'un ensemble est inclus dans un autre. Avant de fournir desexemples de ce symbolisme, il convient de définir ce qu'est un élément, ainsique les termes inclusion et appartenance.

Soit le diagramme de Venn suivant:

La notation à utiliser pour représenter les ensembles de ce diagramme de Venn


est la suivante:A = {Annie, Julie, Manon, Richard, Marc}B = {Pierre, Martin, Julie, Manon, Richard}C = {Hélène, Josée, Manon, Richard, Martin, Marc}S = {Annie, Julie, Manon, Richard, Marc, Pierre, Martin, Josée, Hélène}

Tous les noms représentés dans le diagramme de Venn sont des éléments.

Le terme appartenir est utilisé uniquement lorsqu'on parle d'éléments. Poursignifier qu'un élément appartient à un ensemble d'un diagramme de Venn, onutilise un symbole particulier: � . Par exemple, on peut dire que l'élément Annieappartient à l'ensemble A ou utiliser la notation:

Annie � A

Lorsqu'un élément n'appartient pas à un ensemble, il faut utiliser le symbole �. Par exemple,

Pierre � A

Le terme inclusion est utilisé uniquement lorsqu'on parle d'ensembles. Parexemple, on peut dire que l'ensemble A est inclus dans l'ensemble S. Lesymbole utilisé est �. Par exemple,

A � S

Pour symboliser qu'un ensemble n'est pas inclus dans un autre, on utilise lesymbole �. Par exemple,

S � A


Exemple 8: Soit le diagramme de Venn ci-dessous.

Détermine quels énoncés sont vrais. a) b) c) d)7 B� 2 A� B A� A � �

Solution: b) et d) sont vrais

L’exemple suivant nous montre comment utile ce diagramme peut être.

Exemple 9: Soit un groupe de 100 athlètes lors d'une compétition internationaleen athlétisme. On assigne à chaque athlète un numéro de 1 à 100. Le comité organisateur des jeux effectue deux tests pour vérifier laprésence de drogues dans le système métabolique des athlètes. On sait que 55 de ces personnes ont été testées pour déterminer laprésence de la drogue A et que de ce groupe, 12 ont obtenu unrésultat positif, indiquant la consommation de la drogue A par cesathlètes. On sait également que les 45 autres athlètes qui ont subile test pour déterminer la présence de la drogue B, 25 ont obtenuun résultat positif. Dessine le diagramme de Venn qui permettraitde visualiser cette situation.

Solution: Nous allons commencer par définir ce que chaque ensemble dudiagramme de Venn devrait contenir.S = espace échantillonnal: athlètes numérotés de 1 à100={1,2,3,...100} � � 100n S �

A = ensemble des athlètes ayant subi le test A � � 55n A �


S

A D B

43 202512

B = ensemble des athlètes ayant subi le test B � � 45n B �

D = ensemble des athlètes pour lesquels on a détecté la présence de drogues� � 37n D �

Comme le montre l’exemple précédent, certains éléments peuvent appartenir à plusd’un ensemble. Le diagramme de Venn met en évidence le nombre d’élémentscontenus dans chaque ensemble.

À toi de jouer! (4)Monsieur Muri est responsable du programme sportif de son école. Au débutde l’année, il demande aux élèves de la 11e et de la 12e année de choisir lessports auxquels ils voudront s’inscrire durant l’année scolaire. Voici lesrésultats: 13 élèves veulent jouer au badminton

22 élèves veulent s’inscrire au volley-ball17 élèves veulent s’inscrire au curling10 veulent s’inscrire à la fois au curling et au badminton3 élèves veulent participer aux trois sports

a) Construis un diagramme de Venn qui permet de représenter cettesituation.

b) Combien d’élèves ne veulent que participer au badminton?c) Combien d’élèves veulent s’inscrire aux activités sportives de cette école?

On observe que nousn’avons pas accompagnéles nombres dans les troisensembles par des pointspuisqu’il s’agit ici d’identifierle nombre d’éléments danschaque ensemble et non leséléments comme tels.


5.2 Opérations sur les ensemblesLorsqu'un diagramme de Venn contient plus d'un ensemble, on peut trouverl'union des ensembles, l'intersection des ensembles ou la différence.

Union: en mathématiques, union est synonyme du terme ou. On utilise lesymbole pour symboliser l'union. On peut représenter l'union entre�

deux ensembles A et B de la façon suivante.

A B�

Tousles éléments qui appartiennent soit à l’ensemble A, soit à l’ensemble Breprésentent A B.�


S

BA

C

a

dc

b

g t

u

h

Intersection: en mathématiques, intersection est synonyme du terme et. Onutilise le symbole pour symboliser l'intersection. On peut�

représenter l'intersection entre deux ensembles A et B de lafaçon suivante: A B �

Uniquement les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B sontcompris dans A B.�

Exemple 10: Soit le diagramme de Venn ci-dessous.

a) Exprime A B à l’aide de la notation ensembliste.�

b) Exprime A B C à l’aide de la notation ensembliste.� �


Solution: a) A B={a, h}�

b) A B C={a}� �

Différence: en mathématiques, différence est synonyme du terme sans. Onutilise le symbole pour symboliser la différence. On peutreprésenter la différence entre deux ensembles A et B de la façonsuivante: A B

Les éléments qui appartiennent uniquement à A répondent à lacondition A B.

Complément: le complément d'un ensemble est l'ensemble des éléments quin'appartiennent pas à cet ensemble. On peut représenter lecomplément d'un ensemble A de la façon suivante: A


Exemple 11: La figure suivante montre l'espace échantillonnal S pour uneexpérience visant à choisir un nombre parmi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}.

Les événements A et B sont aussi montrés; l'événement A étant le choixd'un nombre inférieur à 4 et l'événement B étant le choix d'un nombre pair. Donc: A = {1, 2, 3} et B = {2, 4, 6, 8}

a) Détermine A B.�

b) Détermine A B.�

c) Détermine B A

d) Détermine .B

e) Quelle est la probabilité que l'événement A se réalise?

f) Quelle est la probabilité que A B se réalise?�

g) Quelle est la probabilité que A B se réalise?�


Solution: a) L'union de A et de B implique que tous les éléments qui sontcompris dans les deux ensembles seront énumérés. Ainsi,

A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}�

b) L'intersection de A et de B implique que seuls les éléments qui sontcompris à la fois dans A et B seront énumérés. Ainsi,

A B = {2}�

c) La différence B A implique que seuls les éléments quiappartiennent uniquement à B seront énumérés. Ainsi,

B A = {4, 6, 8}

d) Le complément de B comporte tous les éléments qui ne sont pasdans l'ensemble B. Ainsi,

= {1, 3, 5, 7}B

e) On peut résumer la probabilité que A se réalise par:

P(A) = et celle de B par P(B) = = .38

38

12

f) Cette probabilité se résume à P(A B). �

Puisque A�B ={1, 2, 3, 4, 6, 8},

P(A B)= = .�68

34

g) Cette probabilité est de .18


Exercice 2

1. Étant donné les ensembles A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} et B = {1, 3, 5, 7, 9}.

a) Énumère les éléments communs à ces deux ensembles.

b) Représente ces deux ensembles à l'aide de diagrammes de Venn.

c) Exprime A B en extension (A B = { ? })� �

d) Énumère les éléments présents dans A et B.

e) Exprime A B en extension.�

2. Étant donné le diagramme de Venn qui suit, identifie les nombres représentés parchacune des expressions suivantes.

a) A B�

b) A C�

c) B C�

d) A B�

e) A C�

f) B C�

g) A B C� �


3. Trace un diagramme de Venn pour illustrer la situation suivante, puis résous leproblème.Madame Tremblay est directrice adjointe d'une école secondaire en Saskatchewan. Une de ses tâches est d'établir l'horaire des classes. D'après les formulaires dedemande de cours remis par les élèves de 12e année, elle sait que 163 élèves ontdemandé un cours de mathématiques, 95 un cours de physique et 124 un cours dechimie, tandis que 17 élèves n'ont demandé aucune de ces matières. De plus, elleconstate que 61 élèves ont demandé mathématiques et physique, 67mathématiques et chimie, 49 chimie et physique et 27 les trois.

a) Combien ont demandé seulement des mathématiques?

b) Combien ont demandé seulement la physique?

c) Combien ont demandé seulement la chimie?

d) Combien de formulaires de demande de cours (élèves) y avait-il?

e) Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionnerun élève qui désire choisir uniquement des mathématiques?

f) Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionnerun élève qui désire choisir la physique ou la chimie?

g) Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionnerun élève qui désire choisir des mathématiques ou de la physique ou de lachimie?

4. Un sondage effectué auprès de 100 personnes qui se sont procurées de nouveauxdisques compacts au cours du dernier mois a donné les résultats suivants: 36 ontacheté de la musique rock, 27 étaient des adolescents et 21 étaient desadolescents qui se sont achetés de la musique rock.

a) Construis un diagramme de Venn avec les ensembles R (musique rock) et A(adolescents).

b) Quelle est la probabilité qu’une des personnes interrogées soit un adolescentqui n’a pas acheté de la musique rock?

c) Quelle est la probabilité que la personne sondée ne soit pas un adolescent?

d) Quelle est la probabilité que la personne interrogée n’ait pas acheté de lamusique rock?


e) Quelle est la probabilité que la personne interrogée ait acheté de la musiquerock sans pour autant être un adolescent ?

f) Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne soit ni un adolescent, niune personne qui ait acheté de la musique rock?

5. Soixante personnes d’une communauté de la Saskatchewan à prédominancefrancophone sont interrogées lors d’un sondage visant à déterminer la languequ’elles parlent. Les résultats montrent que 45 personnes maîtrisent le français, 20parlent l’anglais et 15 maîtrisent le français et l’anglais.

a) Trace un diagramme de Venn qui illustre cette situation.

b) Quelle est la probabilité qu’une des personnes interrogées maîtrise le françaiset l’anglais?

c) Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne parle ni l’anglais ni lefrançais?

d) Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne parle qu’une de deuxlangues officielles?


Probabilité d’événements compatiblesLa probabilité que l’événement A ou l’événement B se produiseest calculée de la manière suivante:

� � � � � � � �P A B P A P B P A B� � � � �

6. Probabilités d’événements compatibles (qui ne sont pasmutuellement exclusifs) et d’événements incompatibles(mutuellement exclusifs)

6.1 Probabilités d’événements compatiblesParfois la réalisation d'un événement n'empêche pas la réalisation d'un second. C'est le cas lorsqu'on vous demande de calculer la probabilité qu'une carte tiréed'un jeu de 52 cartes ordinaire soit un as ou une carte de couleur noire.

Dans le cas d'événements qui ne s'excluent pas, il faut tenir compte de ce quiest commun aux deux événements. Dans ce cas-ci, il est possible que la cartetirée soit à la fois un as et une carte de couleur noire. Ce ne sont pas deuxévénements qui s'excluent mutuellement. Il faut alors employer la formulesuivante:

Le diagramme de Venn ci-dessous illustre le cas où on souhaite tirer un as ouune carte noire d’un paquet ordinaire de 52 cartes.

L'ensemble A, les as, compte 4 éléments, alors que l'ensemble N, les cartesnoires, compte 26 éléments. Les 24 autres cartes (qui ne sont pas des as ou


des cartes noires) du jeu sont dans l'espace échantillonnal. On réalise que 2éléments sont partagés par A et N. Si on calculait la probabilité sans tenircompte des éléments qui sont partagés par les deux ensembles, on obtiendrait:

� � � �4 26 30 15

52 52 52 26P A P N� � � � �

Cette expression nous demande de calculer les éléments de l'intersection àdeux reprises. Pour contrer ceci, il faut soustraire la probabilité d'avoir à la foisA et N de la somme des probabilités de A et de N. Ainsi,

� � � � � � � �P A B P A P B P A B� � � � �

Dans notre exemple, la probabilité devient:� � � � � � � �

� �

P A N P A P N P A N

P A N

� � � � �

� � � � � �

452

2652

252

2852

713

Exemple 12: Quelle est la probabilité de tirer un roi ou une carte rouge

supérieure à 10 lorsqu’on tire une carte d’un jeu ordinaire?

Solution: Voilà bien une situation d’événements qui ne sont pasmutuellement exclusifs, donc compatibles.

Soit les deux événements, R=un roi et S=une carte rougesupérieure à 10, alors la probabilité de tirer un roi ou une carterouge supérieure à 10 est:

� � � � � � � �

� �4 6 2 8 2

52 52 52 52 13

P R S P R P S P R S

P R S

� � � � �

� � � � � �


Le diagramme ci-contre montre la solution de l’exemple précédent.

On remarque qu’en traçant un encadréautour des solutions possibles, deux cartespeuvent être choisies deux fois (le roi decarreau et le roi de coeur). Il faut doncs’assurer que le calcul de la probabilitétienne compte de l’intersection entrel’ensemble « Roi » et l’ensemble « carterouge supérieure à 10 ».

Exemple 13: On lance deux dés à six faces,un rouge et un bleu. Détermine:

a) la probabilité qu’un des dés montre un 3 ou que la somme des deuxdés indique 8.

b) la probabilité que le dé rouge indique un nombre plus grand que 4 ouque le dé bleu montre un nombre inférieur ou égal à 2.

Solution: a) L’utilisation d’un diagramme nous permettra de mieuxvisualiser la solution à cette question.


Comme le montre le diagramme, il y a 36 possibilités au total,mais 11 d’entre elles correspondent à l’événement que l’un desdés indique 3. Il y a 5 possibilités d’obtenir une somme de 8 àpartir des deux dés. On remarque que l’intersection des deuxensembles compte 2 éléments (points noirs). Si T=un des deuxdés indique 3 et H=la somme des deux dés donne 8 alors,

� � � � � � � �

� �11 5 2 14 736 36 36 36 18

P T H P T P H P T H

P T H

� � � � �

� � � � � �

b) Le diagramme suivant résume les deux événements.

Si R=le dé rouge indique unnombre supérieur à 4 etB=le dé bleu indique unnombre inférieur ou égal à2, alors

� � � � � � � �

� �12 12 4 20 536 36 36 36 9

P R B P R P B P R B

P R B

� � � � �

� � � � � �


Probabilité d’événements incompatiblesLa probabilité que l’événement A ou l’événement B se produiselorsque ces deux événements s’excluent mutuellement estcalculée de la manière suivante:

� � � � � �P A B P A P B� � �

Exemple 14: On tire une carte d'un jeu de 52 cartes. Trouve la probabilité dechoisir soit un valet soit un pique.

Solution: Il s'agit d'événements qui ne sont pas mutuellement exclusifspuisqu'il existe une possibilité de choisir un valet de pique, cecorrespondrait aux deux conditions. Si V=valet et P=pique, alors

� � � � � � � �

� �4 13 1 16 4

52 52 52 52 13

P V P P V P P P V P

P V P

� � � � �

� � � � � �

6.2 Événements incompatibles (mutuellement exclusifs)Deux événements sont dits incompatibles si la réalisation d'un de cesévénements empêche la réalisation du second. On dit alors que lesévénements sont mutuellement exclusifs.

On remarque que cette relation est une condition particulière de la relation pourles événements compatibles où . En effet, lorsque� �A B� � �

, on dit que les événements n'ont pas de résultats en commun et� �A B� � �

qu'ils sont mutuellement exclusifs. Puisque , la relation devient:� � 0P � �

� � � � � � 0P A B P A P B� � � �


Exemple 15: Quelle est la probabilité de choisir un valet ou un as lorsqu'on tireune carte d'un jeu de cartes ordinaire?

Solution: Cette situation représente un cas d'événements mutuellementexclusifs. La réalisation d'un des événements empêche laréalisation de l'autre.

Soit A = choisir un valet, B = choisir un as, alors

� � � � � �4 4 8 2

52 52 52 13P A B P A P B� � � � � � �

Exemple 16: Le tableau suivant montre la répartition des âges des joueursd'une équipe de hockey.

Événement Âge du joueur (années)

Proportion desjoueurs (%)

A1 moins de 21 5

A2 21 x <24 25�

A3 24 x <27 40�

A4 27 x <30 20�

A5 30 et plus 10

Quelle est la probabilité que l'âge d'un joueur soit de 21 ans etplus?

Solution: Soit S, l'espace échantillonnal = {A1, A2, A3, A4, A5}L'événement E « le joueur a 21 ans et plus » � E = {A2 � A3 � A4� A5}

Puisque A2 , A3 , A4 , A5 sont des événements incompatibles deuxà deux, on peut trouver la probabilité comme suit:

� � � � � � � � � � � �

� �

2 3 4 5 2 3 4 5

25 40 20 10 95 19100 100 100 100 100 20

P E P A A A A P A P A P A P A

P E

� � � � � � � �

� � � � � �


Exemple 17: Pour gagner à un jeu de société, tu dois obtenir, en lançant le dé,un 1 ou un 2. Quelle est la probabilité que tu gagnes?

Solution: Soit A, l’événement d’obtenir un 1 et B, l’événement d’obtenir un 2.Les deux événements sont mutuellement exclusifs, c'est-à-direque:

� �1 1 2 16 6 6 3

P A B� � � � �

Le diagramme de Venn suivant résume une situation où deux événements sont mutuellement exclusifs:

Les deux événements sont incompatibles, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent passe réaliser simultanément. On note alors que et que la� �A B� � �

pour des événements mutuellement exclusifs est nulle.� �P A B�


Exemple 18: Les élèves d’une école désirent mettre sur pied un comité detrois personnes afin d’organiser les activités entourant lecarnaval. Cinq filles et trois garçons montrent de l’intérêt. Quelle est la probabilité que le comité soit composé d’au moinsun garçon?

Solution: Puisque le comité doit être formé d’au moins un garçon, il existetrois possibilités de représentation: (2F,1G), (1F, 2G) ou (0F, 3G). Le calcul de la probabilité d’avoir un comité comptant au moins ungarçon se résume à:� � � � � � � �1 , 2 2 ,1 0 ,3P au moins un G P F G P F G P F G� � �

� � 5 2 3 1 5 1 3 2 5 0 3 3

8 3 8 3 8 3

23128

C C C C C CP au moins GC C C� � �

� � � �


Suppose qu’on te demande de tirer une carte d’un jeu ordinaire et qu’on espèrequ’il s’agisse d’un 2 ou d’un 3. a) S’agit-il d’événements compatibles ou incompatibles?

b) Quelle est la probabilité de tirer un 2 ou un 3?


Exercice 3

1. Si les événements A et B sont mutuellement exclusifs, trouve pour� �P A B�

chaque expression.

a) P(A) = 1/4 P(B) = 1/10

b) P(A) = 1/2P(B) = 1/5

c) P(B) = 0,9P(A) = 0,6

d) La réponse en c) est-elle raisonnable? Pourquoi?

2. On tire une carte d’un jeu ordinaire de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer:

a) un 6 ou un 7?b) une carte noire ou un 4?c) un 8 ou un 5 noir?d) une carte de trèfle ou une carte rouge?e) une carte de coeur ou un 6? f) une carte rouge ou un roi?g) une carte de carreau ou un valet?

1. Parmi les énoncés de la question 2, lesquels représentent des événementsmutuellement exclusifs?

2. Un sac contient 3 cubes bleus, 4 cubes verts, 5 sphères rouges, 2 sphères vertes et1 sphère bleu. On te demande de tirer une des pièces.

a) Quelle est la probabilité de choisir une sphère?b) Quelle est la probabilité de choisir une sphère ou un cube?c) Quelle est la probabilité de choisir une sphère ou une pièce verte?


3. On lance deux dés. Quelle est la probabilité que:a) la somme des deux dés donne 4?b) au moins un des dés indique un 5?c) la somme des nombres soit 4 ou un des dés indique 5?

4. Madame Préfontaine invite 10 membres de sa famille à une réception: son père, 3tantes, 2 oncles, une soeur, 2 cousins et sa cousine. Si tous les invités possèdentdes chances égales d’arriver en dernier, quelle est la probabilité que la dernièrepersonne à se présenter chez Madame Préfontaine soit:a) une soeur ou une tante?b) une soeur ou un cousin ou une cousine?c) une soeur ou son père?d) une tante ou un cousin ou une cousine?e) une femme ou un cousin ou une cousine?f) un homme ou un cousin ou une cousine?

5. Dans un groupe de 4 hommes et 6 femmes, on choisit un comité de 4. Trouve lesprobabilités que le comité comprenne:a) seulement des hommes ou seulement des femmes.b) 3 hommes ou 3 femmes.

6. Jean a 5 pièces de 5 cents, 3 pièces de 10 cents et 7 pièces de 1 cent dans sapoche. S’il choisit 3 de ces pièces, calcule la probabilité que les pièces soient:a) toutes des pièces de 5 cents ou toutes des pièces de 1 cent.b) toutes des pièces de 5 cents ou toutes des pièces de 10 cents.c) toutes des pièces de 10 cents ou toutes des pièces de 1 cent.d) 2 pièces de 10 cents ou 2 pièces de 5 cents.e) au moins 2 pièces de 10 cents.f) au moins 2 pièces de 5 cents.g) au moins une pièce de 1 cent.

7. On lance une pièce de monnaie à trois reprises et on note le résultat à chaquefois. Montre l’espace échantillonnal pour cette situation et détermine laprobabilité:a) que le premier résultat soit face ou que le second soit face.b) qu’au moins deux des résultats soient face ou que le dernier résultat soit pile.

8. Un couple décide d’avoir trois enfants. Quelle est la probabilité que le plus âgé oule plus jeune de ces enfants soit une fille?


7. Probabilités d’événements indépendants et dépendants

7.1 Probabilités d’événements indépendantsPour comprendre le calcul des probabilités d’événements indépendants, nousallons supposer qu’on lance deux dés à six faces, un rouge et un bleu et qu’onsouhaite connaître la probabilité que le dé rouge indique un résultat inférieur à3 et que le dé bleu indique un résultat égal à 1. Le diagramme suivant montrel’espace échantillonnal et les deux événements.

Si A représente l’événementd’obtenir un nombre inférieur à3 avec le dé rouge et B celuid’obtenir un nombre égal à 1avec le dé bleu, alors nousremarquons que le cardinal de

. Il s’agit de2A B� �

l’événement qui nous intéressepuisque l’énoncé précise queles deux événements doiventavoir lieu. La probabilitéassociée à l’événement A est

alors que celle� �12 136 3

P A � �

de B est . � �6 1

36 6P B � �

La probabilité que les deux événements se produisent est

. Quel lien existe entre , et ? � �2 1

36 18P A B� � � � �P A � �P B � �P A B�

En examinant notre démarche, nous remarquons que

. � � � � � �1 1 13 6 18

P A B P A P B � � � ��

� �

Il est à noter que dans le cas d’événements indépendants, la réalisation dusecond événement n’est pas affectée par la réalisation du premier, et viceversa. Dans notre exemple, le fait d’obtenir un nombre inférieur à 3 avec le dérouge n’a aucune influence sur le fait d’obtenir un nombre égal à 1 avec le débleu. L’inverse est aussi vrai. Ces deux événements sont indépendants.


Probabilité d’événements indépendantsLa probabilité que l’événement A et l’événement B se produisentlorsque A et B sont indépendants est calculée de la manièresuivante:

� � � � � �P A B P A P B� � �

Exemple 19: Lors d'un tirage, on demande de choisir deux cartes au hasarddans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de choisir unvalet lors de la première fois et un as, la seconde, si on remet lapremière carte choisie dans le paquet avant de tirer la seconde?

Solution: Soit V, un valet et A, un as. Puisqu’on remet la première cartedans le paquet avant de tirer la seconde, il s’agit d’événementsindépendants.

� � � � � �4 4 1

52 52 169P V A P V P A � � � �

� � � � ��

Exemple 20: Suppose qu'on lance un dé et une pièce de 25¢ dans les airs. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre inférieur à 3 et quela pièce tombe du côté pile?

Solution: Il s'agit d'événements indépendants puisque pour obtenir pile avecla pièce de 25¢, il ne faut pas tenir compte du nombre obtenu avecle dé.

Le diagramme ci-contre illustre lasolution du problème. Si T estl’événement d’obtenir un nombreinférieur à 3 avec le dé et P,l’événement d’obtenir pile avec lapièce de monnaie, alors

� �4 6 1

12 12 6P T P � � � �

� � ��


Exemple 21: Un sac contient 4 boules rouges, 3 boules blanches et 5 boulesjaunes. On tire trois boules, l’une après l’autre. Chaque bouletirée est replacée dans le sac avant le tirage suivant. Quelle estla probabilité que les tirages donnent dans l’ordre une boulerouge, une boule blanche et une boule jaune?

Solution: Il s’agit d’événements indépendants puisque les boules sontremises dans le sac avant le tirage suivant. On peut calculer laprobabilité de trois événements indépendants de la mêmemanière que s’il s’agissait de deux événements. Soit R=boulerouge, B=boule blanche et J=boule jaune, alors

� � � � � � � �

� �4 3 5 5

12 12 12 144

P R B J P R P B P J

P R B J

� � � � �

� � � � � ��

� � �

Exemple 22: La moyenne au bâton d’un joueur des Expos de Montréal est de0,300. C’est donc dire que la probabilité d’obtenir un coup sûrlorsqu’il se présente au bâton est de 0,300. Au cours d’un matchoù le joueur obtient 4 apparitions au bâton, quelle est laprobabilité:

1. que le joueur obtienne 4 coups sûrs.2. que le joueur n’obtienne pas de coup sûr.3. que le joueur obtienne au moins 1 coup sûr.4. que le joueur obtienne exactement 1 coup sûr.

Solution: Si l’événement est celui de frapper un coup sûr, alors estC C

celui de ne pas obtenir de coup sûr. Si alors� � 0,300P C �

� � 0,700P C �

a) Dans le cas où il obtient 4 coups sûrs en 4 présences aubâton, alors� � � � � � � � � �

� � � �40,300 0,0081

P C C C C P C P C P C P C

P C C C C

� � � � � � �

� � � � �


b) La probabilité d’être blanchi durant le match se calcule de lamanière ci-dessous:

� � � � � � � � � �

� � � �40,700 0, 2401

P C C C C P C P C P C P C

P C C C C

� � � � � � �

� � � � �

c) Dans la partie b), nous avons déterminé que la probabilité den’obtenir aucun coup sûr était de 0,2401. L’événement « obtenir au moins un coup sûr » est complémentaire à celui « d’obtenir aucun coup sûr ». Donc, la probabilité d’obtenir aumoins un coup sûr est de 1-0,2401=0,7599.

d) Le joueur pourrait obtenir son unique coup sûr lors de sapremière présence au bâton et ensuite être blanchi de la cartede pointage. Il pourrait aussi l’obtenir lors de sa secondeprésence et être tenu en échec lors de ses autres présencesau bâton. Son coup sûr pourrait aussi se produire lors de satroisième ou quatrième présence. Le problème revient donc àtrouver le nombre d’arrangements possibles des lettres etC

(par exemple, ). Puisqu’il y a au total 4C C C C C� � �

lettres et qu’une d’entre elles se répète trois fois, le nombre de

permutations de ces lettres est ( ou4! 43!

� C C C C� � �

ou ou ). SiC C C C� � � C C C C� � � C C C C� � �

on calcule la probabilité d’obtenir le coup sûr lors de lapremière présence au bâton, on obtient:

ou� � � � � � � � � �P C C C C P C P C P C P C� � � � � � �

. On� � � � � � � �3 30,300 0,700 0,1029P C P C� � � ��

comprend que ce résultat sera le même pour les trois autresarrangements. Puisque ces arrangements sont desévénements mutuellement exclusifs, on doit additionnerchacune des probabilités ou multiplier 0,1029 par 4. Laprobabilité d’obtenir au moins un coup sûr est donc

.� �4 0,1029 0, 4116�



Dans l’exemple précédent, quelle est la probabilité que le joueur obtienneexactement 2 coups sûrs?


Lors d’un examen, il y a 10 questions à choix multiples, chacune des questionsayant 4 choix de réponses. Si le choix de la bonne réponse se fait uniquementen devinant,

a) quelle est la probabilité d’obtenir de mauvaises réponses pour chacunedes 10 questions? (Exprime ta réponse avec 5 décimales)

b) quelle est la probabilité d’obtenir au moins une réponse correcte?(Exprime ta réponse avec 5 décimales)

7.2 Probabilités d’événements dépendants (probabilités conditionnelles)Parfois, la probabilité d’un événement dépend d’un autre événement. Dans cecas, il s’agit d’événements dépendants et la probabilité est conditionnelle. Pourcomprendre cette situation, nous allons reprendre l’exemple 19 sur le calcul dela probabilité de tirer un valet et un as d’un paquet de 52 cartes, mais cette fois-ci, nous n’allons pas remettre la première carte tirée dans le paquet avant detirer une carte la seconde fois. Dans ce cas, les deux événements sontconsidérés dépendants, puisque la réalisation du premier événement influencela probabilité du second événement. Ainsi, si on retire une carte du jeu suite aupremier événement, le nombre de cartes passe de 52 à 51. C'est donc dire que

la probabilité de choisir un as lors de la seconde pige devient au lieu de451

. Si V est l’événement de piger un valet et A celui de piger un as alors le4

52calcul de la probabilité de choisir un valet et ensuite un as sans remise de lapremière carte est donné par l'énoncé suivant:

où indique la probabilité que� � � � � �|P V A P V P A V� � � � �|P A Vl’événement A se réalise en tenant compte de la réalisation de l’événement V.

Cette probabilité devient .� �4 4 4

52 51 663P V A � � � �

� � ��


Probabilité d’événements dépendantsLa probabilité associée à deux événements dépendants A et B estcalculée de la manière suivante:

� � � � � �|P A B P A P B A� � �

où B | A veut dire que B se réalise en tenant compte de la réalisationde A.

Les exemples qui suivent illustrent l’interaction entre événements dépendants.

Exemple 23: Quelle est la probabilité de choisir un valet et un pique lors dedeux piges successives lorsque la première carte n'est pasremise dans le paquet?

Solution: Il s'agit d'événements dépendants puisque la probabilité de choisirla deuxième carte dépend du premier événement. Soit V,l’événement de choisir un valet et P, celui de choisir un pique.

� � � � � �4 13 1|

52 51 51P V P P V P P V � ��

� � � � ��

Exemple 24: Un pot contient 8 billes rouges et 7 billes bleues. On tire du potdeux ensembles de 3 billes par ensemble. Le premier ensemblede billes n’est pas remis dans le pot avant le second tirage. Quelle est la probabilité que les billes du second ensemble soienttoutes rouges?

Solution: La probabilité que les trois billes du second tirage soient toutesrouges dépend du résultat du premier tirage. Ce sont donc desévénements dépendants. Il existe quatre cas à considérer dansce problème. En effet, le premier tirage, qu’on identifiera par T1,peut donner 3 billes rouges, 2 billes rouges et une bille bleue, 1bille rouge et 2 billes bleues ou 3 billes bleues. Alors les résultatsdu second tirage (T2) dépendront du nombre de billes de chaquecouleur qui demeureront dans le pot après le premier tirage.


Cas 1: Les trois billes de T1 sont toutes rouges.La probabilité de choisir trois billes rouges dans le secondensemble est donc:� � � � � �1 2 1 2 | 1P T T P T P T T� � �

� � 8 3 5 3

15 3 12 3

560 41 2100100 715

C CP T TC C

� � � ��

� � � �

Cas 2: Les deux premières billes de T1 sont rouges mais l’autreest bleue.

� � 8 2 7 1 6 3

15 3 12 3

3920 281 2100100 715

C C CP T TC C

� � � ��

� �

Cas 3: Une seule bille est rouge lors du premier tirage alors queles deux autres billes sont bleues.

� � 8 1 7 2 7 3

15 3 12 3

5880 421 2100100 715

C C CP T TC C

� � � ��

� �

Cas 4: Toutes les billes de T1 sont bleues.

� � 7 3 8 3

15 3 12 3

1960 141 2100100 715

C CP T TC C

� � � � �

Puisque chacun des événements décrits par les quatre cas sontmutuellement exclusifs, la somme des probabilités individuellesdétermine la probabilité d’obtenir trois billes rouges lors du second

tirage: .4 28 42 14 88 8

715 715 715 715 715 65� � � � �


Trouve la probabilité de choisir au hasard le 3 de coeur et le 6 de piquedans un jeu de cartes contenant 52 cartes si la première carte n'est pasremise dans le jeu.


Exercice 4

1. Un porte-monnaie contient 5 pièces de 5 cents, 7 pièces de 10 cents et 9 pièces de1 cent. Si 2 de ces pièces sont choisies au hasard sans remise entre les deuxchoix, quelle est la probabilité:a) de choisir une pièce de 1 cent suivie d’une pièce de 10 cents?b) de choisir une pièce de 1 cent et une pièce de 10 cents peu importe l’ordre?c) de choisir une pièce de 10 cents suivie d’une pièce de 5 cents?d) de choisir une pièce de 10 cents et une pièce de 5 cents peu importe l’ordre?

2. Dans un sac, on place 4 billes rouges et 5 billes vertes. a) Quelle est la probabilité de choisir successivement une bille rouge et une bille

verte si le tirage est exhaustif (sans remise)?b) Quelle est la probabilité de choisir successivement une bille rouge et une bille

verte si le tirage s'effectue avec remise?c) Lors d'un tirage exhaustif, quelle est la probabilité de choisir 4 billes vertes

successivement?

3. Soit une épreuve aléatoire qui consiste à choisir exhaustivement (sans remise) 2cartes d'un jeu de 52 cartes. a) Quelle est la probabilité de choisir successivement un as et un 10?b) Quelle est la probabilité de choisir successivement un valet, un as et une

dame?

4. Si on lance une pièce de monnaie deux fois, quelle est la probabilité d'obtenir deuxfaces de suite?

5. Suppose que tu lances une pièce de monnaie et un dé.a) Fais la liste des éléments qui composent l'espace échantillonnal (P=pile;

F=face).b) Trouve la probabilité d’obtenir pile et un 3.c) Trouve la probabilité d’obtenir face et un nombre inférieur à 4.

6. On lance une paire de dés 2 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:a) une somme de 7 à chaque fois?b) une somme de 3 à chaque fois?


7. Suppose que la probabilité que tu réussisses un examen de Mathématiques est de0,95 alors que celle de réussir l’examen de Chimie est 0,92. Si ces deuxévénements sont indépendants, trouve la probabilité, sous forme décimale, que turéussisses:a) Mathématiques et Chimieb) Mathématiques ou Chimie

8. Un jeune couple prévoit avoir trois enfants. Détermine la probabilité que la famillesoit composée:a) d’exactement deux filles en tenant compte du fait que le premier enfant sera

une fille.b) d’exactement un garçon en tenant compte que le second enfant sera un

garçon.c) d’aucun garçon en tenant compte que les deux premiers enfants seront des

filles.

9. Les numéros 1 à 25 sont inscrits sur des morceaux de papier et mis dans un sac. Les numéros 21 à 40 sont inscrits sur d’autres morceaux de papier est mis dans unsecond sac. On tire un numéro au hasard dans chaque sac. Calcule la probabilitédes événements suivants:a) les 2 numéros sont des 20.b) les 2 numéros sont supérieurs à 10.c) ni l’un, ni l’autre ne sont des 20.d) au moins 1 des deux numéros est un 23.e) les deux numéros sont entre 20 et 25 inclusivement.

10. Lors d’un jeu télévisé, une participante doit déterminer le prix d’une automobile àpartir des boules numérotées dans un sac. Il y a une boule numérotée 2, un autrenumérotée 3, une autre numérotée1, la quatrième numérotée 7 et la dernièrenumérotée 0. En plus des cinq boules numérotées, il y a trois boules rougesmarquées d’un X. Le but du jeu consiste à déterminer le prix de la voiture enplaçant chaque boule numérotée pigée dans le bon ordre avant de choisir les troisboules marquées d’un X. Lorsqu’une boule numérotée est pigée, celle-ci doit êtreplacée dans le bon ordre sinon elle retourne dans le sac. Madame Leconte quiparticipe à ce jeu en est déjà à choisir sa quatrième boule. Elle a déjà choisi laboule 2 et la boule 7 qu’elle a placées correctement. Elle a aussi déjà sorti uneboule rouge du sac. Quelle est la probabilité qu’elle choisisse les trois autresboules numérotées avant de choisir une autre boule marquée d’un X (ensupposant qu’elle place chaque boule numérotée dans le bon ordre)?


AutoévaluationRéponds aux questions suivantes dans ton cahier d’exercices.

1. Ai-je bien assimilé les deux grandes catégories d’événements?2. Suis-je en mesure de différencier un événement compatible d’un événement

incompatible?3. Suis-je en mesure de distinguer un événement indépendant d’un événement

dépendant? 4. Quelles sont les notions que je dois approfondir avant de continuer? 5. Quel aide ou quelles précisions dois-je obtenir de l’enseignant.e avant de

continuer? 6. Pour les quatre problèmes suivants, détermine s'il s'agit d'événements

incompatibles, compatibles, indépendants ou dépendants, puis résous.a) Quelle est la probabilité de recevoir successivement deux as si la première

carte n'est pas remise dans le jeu?b) Lorsqu'on lance un dé ainsi qu'une pièce de monnaie, quelle est la probabilité

d'obtenir un nombre plus grand que 4 ou d'obtenir « face »?c) Quelle est la probabilité d'obtenir successivement deux coeurs, si la première

carte est remise dans le paquet avant de tirer la seconde?d) Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 ou un 3 si on lance le dé une fois?

Probabilités compatibles, indépendantes, incompatibles et dépendantes. Comment s’y reconnaître?

À ce point-ci de notre étude des probabilités, tu dois commencer à te demandercomment faire pour savoir si un problème te demande de calculer la probabilitéd’événements mutuellement exclusifs, compatibles, indépendants ou dépendants. Nous avons traité ces types d’événements en deux catégories de manière à éviterla confusion. Toutefois, il faut savoir les reconnaître afin de bien résoudre. Tu assans doute remarqué que lorsqu’on te demande de calculer la probabilité qu’unévénement A ou un événement B se produise, le symbole est impliqué dans la�

formule: . Il s’agit d’événements compatibles ou incompatibles (qui� �P A B�

s’excluent mutuellement). Lorsqu’on demande de trouver la probabilité que lesévénements A et B se produisent, le symbole intervient dans la formule de la�

probabilité: . Il s’agit alors d’événements qui sont soit indépendants ou� �P A B�

dépendants. Toutefois, une certaine mise en garde s’impose au sujet de cesgénéralisations. L’exemple 24 montre qu’il faut parfois être prudent lorsqu’onapplique cette règle. À ce point-ci, il serait bon de faire un résumé contenantquelques exemples pertinents des différents types d’événements


8. Le théorème du binôme

8.1 Triangle de Pascal

Examine l'expression suivante:(a + b)0 = 1(a + b)1 = 1a + 1b(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

Lorsqu'on s'attarde uniquement aux coefficients, on obtient le schéma suivant.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

Il s'agit d'un triangle de nombres proposé par Blaise Pascal (1623-1662),mathématicien et philosophe français. Les nombres dans ce trianglecorrespondent aux coefficients des développements des puissances successivesde a + b, c'est-à-dire de (a + b)0, (a + b)1, (a + b)2, etc.

Si on voulait développer ce tableau davantage, c'est-à-dire, si on voulait fairel’expansion de cette équation en ajoutant la prochaine ligne, on obtiendrait:

(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

Le triangle devient donc: 1

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

On remarque qu’à l’exception des 1 situés en bordure du triangle, chaquecoefficient est obtenu en faisant la somme des deux termes de la ligne précédentesitués à gauche et à droite de celui-ci.


Quels seraient les termes de la ligne suivante?

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

Quelle est l'utilité de ce triangle dans le calcul des probabilités? La sectionsuivante présente le théorème qui permet d'obtenir le développement du termebinomial. Ce théorème permet de calculer les probabilités lorsqu'on a plusieursrépétitions de deux événements qui ont des probabilités égales de se produire (parexemple, jeu de pile ou face).


Utilise le triangle de Pascal pour trouver les coefficients des termes de

l’expansion de .� �10a b�


8.2 Théorème du binômeLes diagrammes en arbre peuvent être utiles pour obtenir la probabilité decertains événements qui ont des probabilités à peu près égales de se réaliser. Toutefois, ces diagrammes peuvent être difficiles à tracer lorsque lesévénements se produisent à plusieurs reprises. Par exemple, suppose qu'unepersonne participe à une épreuve aléatoire où la probabilté de gagner (G) estidentique à celle de perdre (P). Quelle est la probabilité de gagner à 2 repriseset de perdre à 2 reprises si elle répète l'épreuve 4 fois. Le diagramme suivantmontre cette situation où G = gagner et P=perdre.

En examinant les résultats fournis par ce diagramme, on voit que la probabilitéde gagner à deux reprises et de perdre à deux reprises est de 6/16 ou 3/8.

Pour éliminer les diagrammes en arbre qui seraient trop imposants, lesmathématiciens ont développé des méthodes qui simplifient la tâche de celui oucelle qui tente d'obtenir ce genre de probabilité. Cette méthode s'appuie sur ledéveloppement de l'expression binomiale. Par exemple, si nous voulons obtenirla probabilité de gagner à deux reprises et de perdre à deux reprises, nouspourions faire l’expansion du terme binomial de la façon suivante:

(G + P)4 = 1G4 + 4G3P + 6G2P2 + 4GP3 + 1P4

On remarque que la somme des coefficients correspond au nombre depossibilités (24) et que le coefficient du terme 6G2P2 représente le nombre defois l’événement gagner 2 fois et perdre 2 fois se produit. La probabilité est doncde 6/16 ou 3/8. On voit donc l’utilité du triangle de Pascal pour trouver lescoefficients lors du développement d’une telle expression.


Toutefois, trouver le coefficient de a17b2 dans le développement du binôme(a+b)n peut être long si on se fie uniquement au triangle de Pascal. Poursimplifier ce problème, on utilise le théorème du binôme.

Exemple 25: À l’aide du théorème du binôme, trouve les termes de .� �6a b�

Solution: Puisque n=6, l’expansion du binôme est:

� �6 6 6 1 1 6 2 2 6 3 3

6 0 6 1 6 2 6 3

6 4 4 6 5 5 66 4 6 5 6 6

a b C a C a b C a b C a b

C a b C a b C b

� � �

� �

� � � � �

� � �

� �6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 66 15 20 15 6a b a a b a b a b a b ab b� � � � � � � �

Exemple 26: Développe � �43 2x y�

Solution: Dans ce cas, a=3x, b=2y, n=4 et le signe est négatif, ce qui veut dire que les termes de rang pair seront négatifs.

Théorème du binôme

� � 1 1 2 2 3 30 1 2 3 ...n n n n n n

n n n n n na b C a C a b C a b C a b C b� � �

� � � � � � �

où n est la somme des exposants de a et de b

Pour , les termes de rang pair sont négatifs.� �na b�

Terme général de � �na b�

Si r est le rang du terme, le r ième terme du développement

de est � �na b�

� �1 11

n r rn rC a b� � �

�


� � � � � � � � � � � �

� � � � � �

4 4 3 2 24 0 4 1 4 2

3 44 3 4 4

3 2 3 3 2 3 2

3 2 2

x y C x C x y C x y

C x y C y

� � � �

� �

� � � � � ��

� ��

� �

4 4 3 2 2

3 4

4 4 3 2 2 3 4

3 2 1 81 4 27 2 6 9 4

4 3 8 1 16

3 2 81 216 216 96 16

x y x x y x y

x y y

x y x x y x y xy y

� � � �

� �

� � � � � �

Exemple 27: Trouve le sixième terme de .23 2x y� ��

� �

Solution: r = 6, n = 9, et 23xa �

2yb �

Puisque r est pair et que le signe du binôme est négatif, le termeque nous tentons d’obtenir sera négatif.- � �1 1

1n r r

n rC a b� � �

�

Le 6ième terme = 4 5 4 5

9 52 161263 2 81 32x y x yC

� ��

� � � � � ��

Le 6ième terme = 4 579

x y�


Utilise le théorème du binôme pour trouver les termes de . � �10a b�


Détermine le 7ième terme de l’expansion de . 11

52

1xx

� ��

� �


Quel est le terme central du développement de ?� �93 2x �


Le théorème du binôme peut être utilisé pour résoudre des problèmes deprobabilités ayant les caractéristiques suivantes:

- il y a deux possibilités de résultats (par exemple avec succès et sans succès);- les événements sont indépendants;- la probabilité de chaque événement est égale à celle de l'autre.

On peut donc dire que dans la vie quotidienne, la plupart des développements debinômes ont trait à deux événements ayant des probabilités à peu près égales dese produire, tels que le résultat obtenu en lançant une pièce de monnaie, lanaissance de garçons et de filles dans la famille, l'ouverture ou la fermeture d'uncircuit électrique, ainsi de suite.

Exemple 28: Trouve la probabilité qu'une famille avec 3 enfants ait 2 filles et 1garçon.

Solution: Soit f, une fille et g, un garçon. Alors, f= ½ et g = ½

� �3 3 2 2 3

3 0 3 1 3 2 3 3f g C f C f g C fg C g� � � � �

L'expression recherchée est 23 1C f g

22

3 11 1 332 2 8

C f g � � � ��

� � � �

Exemple 29: On lance une pièce de monnaie 6 fois. Calcule la probabilitéd’obtenir 3 piles et 3 faces.

Solution: Soit p=pile et f=face. Le terme recherché est . Puisqu’il3 36 3C p f

s’agit d’une pièce de monnaie à deux faces, les probabilités de p

et de f sont toutes deux égales à . La probabilité d’obtenir 312

piles et 3 faces est:3 3

6 31 1 1 5202 2 64 16

C � � � � � ��

� � � � � �À toi de jouer! (13)

Dans l’exemple précédent, quelle est la probabilité d’obtenir 5 faces et 1 pile?


Exercice 5

1. Calcule chacune des expression suivantes.

a) b) c)2 3

5 31 23 3

C � � � ��

3

4 11 56 6

C � ��

3 3

6 31 12 2

C � � � ��

2. Développe chacune des expressions suivantes.

a) (x + y)5 b) (x - y)4 c) (a + b)3

d) (3x - 1)3 e) (2x - y)6

3. Quel est le coefficient de x2y3 dans chacune des expressions suivantes?

a) (x + y)5 b) (2x + y)5 c) (x - 2y)5

4. Dans le développement de (a + b)25, un des termes est akb10.

a) Quelle est la valeur de k?

b) Quelle est la valeur numérique du coefficient de ce terme?

5. Chaque terme ci-dessous est compris dans l’expansion de . Quelle est la� �na b�

valeur de n dans chaque cas?

a) b) c) d) e)7 236a b 4 470a b 2 521a b 4243a b 8 63003a b

6. Sans développer le binôme complètement, trouve le terme indiqué.

a) le 7ième terme de d) le 10ième terme de � �10a b� � �

132x y�

b) le 6ième terme de e) le 15ième terme de � �14a b� � �

20x y�

c) le 4ième terme de f) le 7ième terme de � �83x y� � �

103x �


7. Une enseignante demande à un de ses élèves de développer le binôme

. Voici le travail présenté par l’élève:� �42 3x y�

� �

� � � � � � � � � � � � � � � �

4 4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 42 2 3 2 3 2 3 3

8 6 3 4 6 2 9 12

a b a a b a b ab b

x x y x y x y y

x x y x y x y y

� � � � � �

� � � � �

� � � � �

Quelle erreur l’élève a-t-il commis dans le développement du binôme?

8. Trouve la probabilité d'obtenir 4 faces et 2 piles en lançant une pièce de monnaiesix fois.

9. Un sac contient 25 billes rouges et 25 billes vertes. On y choisit, aléatoirement, 15billes lors de quinze tirages avec remise. En utilisant le théorème binomial, trouvela probabilité d'obtenir 11 billes rouges et 4 billes vertes.

10. Quelle est la probabilité d'obtenir cinq fois la face 1 en lançant le dé 10 fois?

11. Dans une famille de 5 enfants, calcule la probabilité d’avoir:a) 3 garçons et 2 filles.b) 3 filles et 2 garçons.c) 4 garçons et 1 fille.d) 5 filles.e) des enfants tous du même sexe.f) au moins 3 filles.g) au moins 1 garçon.

12. On lance une pièce de monnaie 3 fois. Calcule la probabilité des événementssuivants:a) 3 faces.b) exactement 2 faces.c) au moins 2 faces.d) pas plus de 2 faces.


Réponses aux exercices

Exercice 11. a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6� �n S

E = { 3} = 1� �n E

� ��

� �16

n EP E

n S� �

b) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6� �n SE= { 5, 6} = 2� �n E

� �13

P E �

c) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6� �n SE = { 1, 2, 3, 4} = 4� �n E

� �23

P E �

d) événement certain P = 1

e) événement impossible P = 0

2. a) d) g)1

13 132

134

b) e)126 13

1

c) f)1

52 21

3. a) b) c) d) Chances 1 contre 1114

13

23


4. � �23

P E �

5. a) b) 3 contre 225

6. a) b) 1 c)1 0, 254�

18

7. a) b) c) d)16

13

12

23

8. a) 0 b) c)1

111

11

9. a) 720 b) c) d) 120

115

1720

10. Pour choisir les 6 entiers parmi les 49 disponibles, il y a 49 6 13983816C �

combinaisons, mais il n’y a qu’une seule possibilité de choisir une combinaisonidentique à celle du tirage: . La probabilité de choisir la bonne6 6 1C �

combinaison de six entiers est donc: . � � 6 6

49 6

16 0,000000113983816

CPC

� � �

La probabilité d’obtenir 5 des six entiers se calcule de la manière suivante:

. On calcule les autres� � 6 5 43 1

49 6

2585 0,000018413983816

C CPC�

� � �

probabilités d’une manière analogue: ; ;� �4 0,0009686P � � �3 0,0176504P �

; et� �2 0,1323780P � � �1 0, 4130195P �

.� � 6 0 43 6

49 6

60964540 0, 435965013983816

C CPC�

� � �


Exercice 21. a) {3, 5, 7}

b)

c) A B = { 3, 5, 7}�

d) dans A et B = { 3, 5, 7}e) A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}�

2. a) A B = { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20}�

b) A C = { 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 20}�

c) B C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 20}�

d) A B = { 2, 7, 9, 12}�

e) A C = { 3, 7, 12, 17, 20}�

f) B C = { 5, 7,12}�

g) A B C = { 7, 12}� �

3.

a) 62b) 12c) 35d) 249e) 62/249f) 170/249g) 232/249


4. a)

b) c) d) e)6 3

100 50�

73100

64 16100 25

�

15 3100 20

�

f)58 29

100 50�

5. a)

b) c) d)15 160 4

�

10 160 6

�

35 760 12

�


Exercice 31. a) 7/20 b) 9/10 c) 1,5

d) Non. La probabilité est supérieure à 1.

2. a) b) c) d) e) f)2

137

133

2634

413

713

g)4

133. a), c) et d) sont mutuellement exclusifs

4. a) b) 1 c)8

1545

5. a) b) c)1

121136

718

6. a) b) c) d) e) f)25

25

15

35

5 3 1 710 10 10 10

� � �35

7. a) b)8

10552

105

8. a) b) c) d) e) f) g)991

11455

36455

136455

37455

2291

5765

9. a) b)34

78

10. 34

Exercice 4.

1. a) b) c) d)3

203

101

1216

2. a) b) c)5

182081

5126

3. a) b)4

6638

165754 1/45. a) S = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, F1, F2, F3, F4, F5, F6}

b) 1/12 c) 1/4


6. a) b)1

361

3247. a) (0,95)(0,92)=0,874 b) 0.996

8. S = {GGG, GGF, GFG, GFF, FFF, FFG, FGF, FGG} a) b) c)41 1

4 81

9. a) b) c) d) e)1

52525

3235

335

12175

10. 1

10

Exercice 51. a) 80/243 b) 125/324 c) 5/162. a) x5 + 4x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

b) x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4

c) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

d) 27x3 - 27x2 + 9x - 1e) 64x6 - 192x5y + 240x4y2 - 160x3y3 + 60x2y4 - 12xy5 + y6

3. a) 10b) 40c) -80

4. a) 15b) 3268760

5. a) 9 b) 8 c) 7 d) 43 e) 146. a) 210a4b6

b) -2002a9b5

c) 1512x5y3

d) -11440x4y9

e) 38760x6y14

f) 153090x4

7. À discuter8. 15/649. 1365/3276810. 21875/1679616

11. a) b) c) d) e) f) g)5

165

16532

132

116

12

3132

12. a) b) c) d)18

38

12

78

mathématiques b30 - saskatchewan learning · 1.1 Épreuve ou expérience aléatoire ... dans les...

Documents