Cours de mcaniqueM12-Chute libre avec frottements

1 IntroductionNous avons modlis au chapitre prcdent le corps qui chute dans le champ de pesanteur en

considrant que les frottements de lair taient ngligeables. Cette supposition nayant quuneutilit thorique, nous complexifions ici notre modle en tenant compte de ces frottements :comment ceux-ci vont modifier la trajectoire du corps qui chute ?Ce sera loccasion de voir que ces frottements peuvent tre de deux types, linaires ou quadra-tiques, nous avons alors rencontr deux types dquations diffrentielles : la rsolution de lapremire ne nous posera pas de problme ; mais la rsolution de la seconde est moins aise :nous en profiterons pour voir une mthode numrique itrative permettant dapprocher la formede la solution : la mthode dEuler.Enfin parmi les deux modles de forces de frottement, lequel se rvle le plus juste pour tudierle parachutisme ? Nous tenterons une rponse laide de la mcanique des fluides.

2 Problme 3Un parachutiste de masse 80 kg ralise un saut depuis un hlicoptre. La premire partie du

saut, celle qui nous intresse ici, est ralise sans parachute. Quelles sont les caractristiques decelle-ci sachant que les frottements de lair ne sont pas ngligeables ?

3 SystmeLe systme tudi est le sauteur considr ponctuel.

4 Rfrentiel et baseOn tudie son mouvement dans un rfrentiel terrestre li au sol ( son point de chute), ce

rfrentiel est considr galilen pendant la dure de la chute. On utilisera une base cartsienne une dimension pour suivre lvolution du sauteur : un axe Oz vertical ascendant avec origineau point de chute constituera le repre dtude.On considre en effet que le mouvement du parachutiste est strictement vertical.

5 Forces5.1 Bilan des forces

Le sauteur est soumis son poids not P , force distance exerce par la Terre sur lui. Il est soumis aux forces de frottements de lair, modlises par une force de contact note

f . Cette force peut aussi tre nomme rsistance de lair.

1

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 5.2 Deux types de forces de frottements

5.2 Deux types de forces de frottementsLa force de frottements de lair peut prendre deux formes :

Frottements linaires

Dans le cas dune vitesse faible, la force de frottement est proportionnelle la vitesse :f = kv (1)

On parle de frottements linaires. k est une constante qui dpend de la nature du fluide etdes caractristiques de lobjet.Par exemple pour une sphre de rayon r, on a k = 6pi r o est la viscosit du fluide.

Frottements quadratiques

Dans le cas dune vitesse importante, la force de frottement est proportionnelle au carr dela vitesse :

f = k vv (2)On parle de frottements quadratiques. k est aussi une constante qui dpend du fluide etdes caractristiques de lobjet mais elle prend une autre forme que k :Son expression est du type k = 12 Cx S avec la viscosit du fluide, S la surface frontale delobjet et Cx le coefficient de traine (appel dans le langage courant coefficient de pntrationdans lair) qui dpend de la gomtrie du corps. Par exemple, voici trois gomtries et troisvaleurs de Cx :

v

Cx = 1.32

v

Cx = 0.45

v

Cx = 0.04

Ce coefficient de traine peut se calculer pour une sphre lisse (sans rugosit) dans le casdcoulement faible vitesse ( faible nombre de Reynolds), il dpend alors du nombre deReynolds.

Pour des coulements turbulents ( grand nombre de Reynolds > 103), on mesure le Cx ensouerie. En sachant quil est constant pour un corps donn.

6 Utilisation de la 2me loi de Newton

F = ma P +f = ma (3)

7 Rsolution du problme dans le cas de frottements linaires7.1 Equation diffrentielle

Le PFD donne : mg kv = ma .

2

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 7.2 Solution de lquation diffrentielle

On projette maintenant cette relation sur laxe Oz vertical ascendant.

mg k vz = ma m dvzdt + k vz = mg (4)

dvzdt +k

mvz = g (5)

On obtient donc une quation diffrentielle en vz, linaire du premier ordre coefficientsconstants. On sait rsoudre cette quation mathmatiquement.Une fois lexpression de la vitesse vz obtenue, on en dduira la position par intgration.

Une notation particulire

Souvent ce type dquation sera crite ainsi :

dvzdt +

vz

= g avec = mk

La notation fait rfrence un temps. En effet, la grandeur = mk

est un temps caractristiquede la fonction v = f(t), comme nous allons le voir par la suite.

7.2 Solution de lquation diffrentielle7.2.1 Principe

Une quation diffrentielle linaire avec second membre se rsout en deux temps : on cherche dabord la solution sh de lquation homogne, cest dire lquation

sans second membre ; on cherche une solution particulire sp, cest dire une solution qui a mme forme

que le second membre (si le second membre est constant, la solution particulirerecherche sera une constante).

La solution de lquation diffrentielle avec second membre est la somme de la solutionhomogne et de la solution particulire : s = sh + sp.

Attention, dans la solution de lquation homogne apparaissent souvent des constantes(une si lquation est du premier ordre, deux si elle est du deuxime ordre). Ladtermination de ces constantes laide des conditions initiales doit tre mene en tenantcompte de la solution particulire.

7.2.2 Pour notre problme

On recherche la solution de lquation complte (5), qui est une vitesse.

Solution de lquation homogne

Equation homogne : dvdt +v

= 0 = Solution : vh = A exp

( t

)avec A une constante

On peut vrifier en drivant une fois vh que cette solution vrifie lquation homogne.

3

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 7.3 Courbe |vz | = f(t)

Solution particulire

Le second membre tant constant (gal g), on cherche une solution particulire vp = cste.Alors dvpdt = 0 et on obtient vp = g .

Solution globale

On a donc :vz = A exp

( t

)+g (6)

On peut maintenant dterminer A laide des conditions initiales :

A t = 0 : v(t = 0) = 0 = A g A = g (7)

Et finalement :vz = g

(exp

( t

) 1

)(8)

Attention, rappelons que cette vitesse est ngative puisque le corps qui chute se dirigesuivant laxe Oz descendant.

7.3 Courbe |vz| = f(t) et caractristiques7.3.1 Courbe

On souhaite visualiser la norme de la vitesse en fonction du temps. Son expression est donc :

|vz| = g (

1 exp( t

))(9)

Voici la courbe obtenue :

0 10 20 30 400

20

40

60

69.5vlim

Cas des frotte-ments linaires

t(s)

|v z|(m

.s1 )

Figure 1 Vitesse du parachutiste dans le cas de frottements linaires

La vitesse augmente dabord fortement, puis de plus en plus faiblement pour atteindre unevaleur limite.

4

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 7.3 Courbe |vz | = f(t)

7.3.2 Vitesse limite

La valeur de la vitesse limite peut tre obtenue en calculant la limite de |vz(t)| quand letemps tend vers linfini :

limt |vz(t)| = limt g

(1 exp

( t

))= g (10)

On peut galement la trouver partir de lquation diffrentielle (5). En effet, la vitesselimite est constante, on a ainsi :

dvz limdt +

vz lim

= g 0 + vz lim

= g (11) vz lim = g (12) |vz lim| = g (13)

7.3.3 Temps caractristique

La grandeur = mk

est caractristique de lvolution de la vitesse dans le temps. Dans cetype dvolution, on parle de rgime transitoire et de rgime permanent :

le rgime est transitoire tant que la vitesse volue ; le rgime est permanent lorsque la vitesse limite est atteinte.

Le temps est un bon indicateur pour savoir quand on passe dun rgime lautre : onconsidre quau bout de 5 , le rgime permanent est atteint.

Dtermination de

On peut obtenir la valeur de graphiquement : on cherche labscisse du point dintersectionentre la tangente la courbe en t = 0 et lasymptote quand t de la courbe |vz| = f(t).On obtient ainsi la limite entre rgime transitoire et rgime permanent :

0 10 20 30 40 500

20

40

60

5

69.5vlim

Rgime transitoire Rgime permanent

t(s)

|v z|(m

.s1 )

Figure 2 Diffrents rgimes lors de la chute avec frottements

5

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 7.4 Obtention de la position

7.4 Obtention de la positionLa fonction z = f(t) sobtient en intgrant la fonction vz = f(t) :

vz = g (

exp( t

) 1

)= g exp

( t

) g (14)

=z(t) = g 2 exp( t

) g t+ cste (15)

La constante est obtenue laide de la condition initiale de position :A t = 0, z = h donc g 2 + cste = h cste = h+ g 2

On a finalement :z(t) = g 2

(1 exp

( t

)) g t+ h (16)

On prend comme altitude de dpart h = 4000 m.

0 10 20 30 400

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

t(s)

z(m

)

0 10 20 30 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t(s)

1

exp( t

)

Figure 3 Position du parachutiste dans le cas de frottements linaires

La forme de la courbe z = f(t) montre que la position varie quasi linairement par rapportau temps, cest--dire quon a pratiquement z = a t+ b avec a la pente ngative.En effet, nous pouvons voir que lexpression 1 exp

( t

)est trs petite et que lexpression

de z(t) crite lquation (16) tend vers :

z(t) = g t+ h (17)

Il sagit bien dune droite de pente g ngative.

8 Rsolution dans le cas de frottements quadratiques8.1 Equation diffrentielle

Le PFD donne : mg k vv = ma .

Dans loptique dutiliser la mthode dEuler, nous allons utiliser un axe Oz vertical descen-dant afin de travailler avec une vitesse positive.

mg k v2z = ma mdvzdt + k

v2z = mg (18)

dvzdt +k

mv2z = g (19)

6

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 8.2 Vitesse limite

On pourra galement introduire le temps caractristique = mk. Cette quation diffrentielle

nest pas linaire, nous ne pouvons pas la rsoudre facilement.

8.2 Vitesse limitePar contre, nous pouvons dores et dj connatre la vitesse limite :

Lorsque dvzdt = 0 alors vz lim =gm

k=g .

Cette quation diffrentielle, complexe rsoudre, va tre loccasion dutiliser une mthodede rsolution numrique itrative : la mthode dEuler.

8.3 Rsolution par la mthode dEuler8.3.1 Ce quest la mthode dEuler

La mthode dEuler est une mthode numrique itrative qui permet dobtenir une solutionapproche dune quation diffrentielle partir des conditions initiales.

Rappels mathmatiques Drive = cfficient directeur de la tangente la courbe. Calcul dune drive en un point aise :

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

t = tB tA

v = vB vA

t(s)

v(m.s

1 )

Figure 4 Calcul de la drive dune courbe en un point

Daprs la dfinition mathmatique de la drive :(dvdt

)t=10 s

= vt (20)

Si on ralise un zoom sur la courbe :

7

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 8.3 Rsolution par la mthode dEuler

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

t = tB tA

v = vB vA

t(s)

v(m.s

1 )A

B

t

v

Figure 5 Drive et temps infinitsimal

On peut alors crire, en considrant un intervalle de temps t suffisamment petit :(dvdt

)t

= vt

(21)

On peut alors exprimer la petite variation de vitesse v qui se produit pendant le petit intervallede temps t grce lquation diffrentielle :

Si dvdt = Av2 +B alors v = (Av2 +B) t lorsque t 0 (22)

Mise en uvre

On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ; on choisit le pas de calcul, soit la valeur de t ; on calcule :

v1 = v0 + v = v0 + (Av20 +B) t (23) et ainsi de suite :

vi+1 = vi + (Av2i +B) t (24) un tableur viendra nous assister dans la rptition des calculs. le choix du pas de calcul t doit tre judicieux : il faut prendre un intervalle suffisamment

petit pour que lapproximation soit valable, mais pas trop petit afin que les calculs nesoient pas trop longs.

8.3.2 Utilisation de cette mthode dans notre cas

Obtention de la vitesse en fonction du temps

Pour utiliser cette mthode, il nous faut la valeur des cfficients A et B qui apparaissentdans lquation diffrentielle :

dvzdt +

k

mv2z = g (25)

dvzdt = k

mv2z + g = Av2z +B avec A =

k

met B = g (26)

La valeur de B est donc connu, on peut valuer la valeur de A partir de la vitesse limiteatteinte par un parachutiste. Celle-ci, qui dpend de la position (group ou droit comme un i)du sauteur lors de la chute, est de 69,5 m.s1. Donc :

vzlim =gm

k=

g

A = A = g

|vzlim |2= 9,8169,52 = 2,0 10

2 SI (27)

8

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 8.3 Rsolution par la mthode dEuler

On connat galement la vitesse initiale : vz(t = 0) = 0. On peut donc appliquer la mthodeen choisissant un pas t judicieux. On prendra par exemple t = 0,3 s. Alors :

v1 = v0 + (Av20 +B) t = B t = 2,94 m.s1v2 = v1 + (Av21 +B) t = 5,87 m.s1

...

A laide dun tableur, on rpte les calculs jusquau temps voulu. On peut ensuite tracer lacourbe vz = f(t).

Ci-dessous, on a trac les courbes pour des pas de calculs diffrents. On remarque quil nya pas de diffrences entre nos trois tests.

9

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 9. Quel type de frottements choisir ?

0 10 20 30 400

20

40

60

69.5

Cas des frottementsquadratiques

vlim

t(s)

v z(m.s

1 )t = 0.3t = 0.7t = 0.1

Figure 6 Mthode dEuler applique aux cas des frottements quadratiques

Quen est-il de la position en fonction du temps ?

Pour obtenir la courbe de position en fonction du temps, on part de la donne de vitesse eton calcule la distance parcourue par la formule classique v = d

t. On utilise cette formule pour

chaque ligne du tableur dans lequel on a exploit la mthode dEuler.

On a ensuite chang lorigine pour prendre le point de dpart du parachutiste 4000 m.

0 10 20 30 400

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

t(s)

z+

4000

()m

)

Figure 7 Position en fonction du temps dans le cas de frottements quadratiques

9 Quel type de frottements est le plus appropri pour ltudedu mouvement dun parachutiste ?

Il faut faire appel la mcanique des fluides pour rpondre cette question. En effet, onpeut changer de point de vue, et plutt que de considrer la chute du parachutiste dans lair,on tudie lcoulement de lair autour du parachutiste fixe.Cest coulement est souvent complexe, il nest pas seulement caractris par la vitesse relativev du fluide, mais par un nombre sans dimension appel nombre de Reynolds :

10

Mcanique M12-Chute libre avec frottements 9. Quel type de frottements choisir ?

Re =v d

(28)

Re : nombre de Reynolds sans dimension.v : vitesse relative de fluide en m.s1.d : taille caractristique de lcoulement en m. : masse volumique du fluide en kg.m3. : viscosit du fluide en Pa.s.

On distingue alors plusieurs types dcoulement : si Re < 1, lcoulement est dit laminaire. Dans ce cas, la force de frottements fluides est

proportionnel la vitesse : frottements linaires, f = kv ; si Re > 103, lcoulement est dit turbulent. Alors la force de frottements fluides est

quadratique : f = k vv .Dans le cas de la chute du parachutiste, le fluide est lair, sa viscosit est denviron

= 1,7 105Pa.s ; le nombre de Reynolds a de grande chance dtre suprieur 103 :lcoulement est turbulent et les frottements quadratiques.

Rfrences "Physique Tout-en-un MPSI PCSI PTSI" - Marie-Nolle Sanz / Anne-Emmanuelle Badel

/ Franois Clausset - Editions Dunod 2008 ; Le site Culture Sciences Physiques de lENS de Lyon. : http ://owl-ge.ch/IMG/pdf/frottement.pdf

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IntroductionProblme 3SystmeRfrentiel et baseForcesBilan des forcesDeux types de forces de frottements

Utilisation de la 2me loi de NewtonRsolution du problme dans le cas de frottements linairesEquation diffrentielleSolution de l'quation diffrentiellePrincipePour notre problme

Courbe |vz|=f(t)CourbeVitesse limiteTemps caractristique

Obtention de la position

Cas des frottements quadratiquesEquation diffrentielleVitesse limiteRsolution par la mthode d'EulerCe qu'est la mthode d'EulerUtilisation de cette mthode dans notre cas

Quel type de frottements choisir?