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LOIS À DENSITÉ

I. Loi de probabilité

1. Rappel

Exemple Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat."

L'ensemble de toutes les issues possibles = {1; 2; 3; 4; 5; 6} s'appelle l'univers des possibles. On considère l'événement A : "On obtient un résultat pair." On a donc : A = {2; 4; 6}. On considère l'événement élémentaire E : "On obtient un 5". On a donc : 𝐸 = {5}. On considère le jeu suivant :

- Si le résultat est pair, on gagne 1€. - Si le résultat est 1, on gagne 5€. - Si le résultat est 3 ou 5, on perd 2€.

On a défini ainsi une variable aléatoire X sur = {1; 2; 3; 4; 5; 6} qui peut prendre les valeurs 1, 5 ou -2. On a donc : 𝑋(1) = 5, 𝑋(2) = 1, 𝑋(3) = −2, 𝑋(4) = 1, 𝑋(5) = −2, 𝑋(6) = 1. Pour une variable aléatoire discrète, la loi de probabilité peut être résumée dans un tableau :

x

i −2 1 5

P( X = x

i)

1

3

1

2

1

6

Remarque La variable aléatoire ne prend qu'un nombre fini de valeurs, elle est dite discrète. Sa loi est représentable par un tableau. Nous avons vu d’autres lois discrètes que vous avez appris à utiliser : la loi de Bernoulli et la loi binomiale. Il existe des variables aléatoires qui prennent non pas un nombre fini de valeurs mais n'importe quelles valeurs réelles dans un intervalle de ℝ, c’est-à-dire une nombre infini de valeurs. Donnons-en un exemple :

Exemple n°1 de variable aléatoire continue Dans un seau vide de contenance 3,5 litres, on verse une quantité au hasard d’eau. On considère la variable aléatoire 𝑋 égale à ce volume d’eau en litres. Cette quantité peut être égale à n’importe quel nombre réel de l’intervalle [0 ; 3,5]. Cela signifie que 𝑋 prend ses valeurs dans [0 ; 3,5]. 𝑋 est une variable aléatoire dite CONTINUE ou À DENSITÉ .

2. Variable aléatoire continue (ou « à densité »)

Exemple n°2 de variable aléatoire continue Une entreprise fabrique des disques durs. On définit une variable aléatoire égale à la durée de vie d’un disque dur en heures. Cette durée n'est pas nécessairement un nombre entier et peut prendre toutes les valeurs réelles (une infinité) de l'intervalle [0; +∞[. Une telle variable aléatoire est dite « CONTINUE » ou « À DENSITÉ ».

2

Exercice 1 (source : Sésamath) Parmi les exemples, donner ceux que l’on peut modéliser à l’aide d’une variable aléatoire pouvant prendre pour valeurs tous les réels d’un intervalle, et, le cas échéant, indiquer cet intervalle. 1. On étudie le temps d’attente à l’accueil d’un standard téléphonique. 2. On lance un dé à 12 faces et on gagne 5€ si l’on obtient un nombre supérieur à 10, on perd 2€ sinon. On étudie le gain obtenu. 3. En Europe, on estime qu’il y a 30 % de personnes myopes. On choisit au hasard un groupe de 50 personnes. On étudie le nombre de personnes myopes dans ce groupe. 4. Une retenue d’eau en montagne se remplit et se vide au gré des averses et de la fonte des neiges. Le niveau varie entre 0 et 4,5 mètres. On étudie ce niveau. 5. On étudie la taille des élèves d’un collège. 6. On étudie la durée que met une voiture pour traverser un carrefour.

3. Fonction de densité

Commentaire

Soit 𝑋 une variable aléatoire sur un intervalle [0 ; 3,5]. Contrairement aux lois discrètes : 𝑃(𝑋 = 𝑎) = 0 pour tout 𝑎 ∈ [0 ; 3,5]. Autrement dit, la probabilité que la variable aléatoire continue ne prenne qu’UNE valeur est égale 0, et ce, quelle que soit la variable aléatoire continue.

Comprenons-le INTUITIVEMENT : Comme une variable aléatoire continue prend une infinité de valeurs, la

probabilité qu’elle en prenne UNE SEULE est égale 0 (penser à la 1

∞).

Ainsi, pour ne pas rechercher que des probabilités égales à 0 (ce qui n’est pas très intéressant), on calcule la probabilité qu’une variable aléatoire continue prennent ses valeurs dans un intervalle non réduit à un seul nombre. Pour ce faire, on calculera des intégrales de fonctions. Ces fonctions seront appelées FONCTIONS DE DENSITÉ ou DENSITÉS.

Définition : On appelle fonction de densité (ou densité) toute fonction 𝒇 définie, continue et positive sur un intervalle 𝑰 de ℝ telle que l'intégrale de 𝒇 sur 𝑰 soit égale à 𝟏.

MÉTHODE :

Démontrer qu’une fonction 𝒇 définie sur un intervalle [𝒂 ; 𝒃] est une fonction de densité Il s’agit de vérifier les trois conditions suivantes : 1re condition : Démontrer que la fonction 𝑓 est continue sur [𝑎 ; 𝑏] (il suffit de le dire en terminale, on ne vous présentera que des fonctions continues sur leur ensemble de définition). 2e condition : Démontrer que la fonction 𝑓 est positive, i.e. pour tout 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) ≥ 0.

3e condition : Démontrer que : ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1𝑏

𝑎.

Exemple

Montrons que la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼1

2𝑥 est une fonction de densité sur l’intervalle [0 ; 2].

1re condition : 𝑓 est une fonction continue puisque c’est une fonction linéaire. 2e condition : 𝑓 ne prend que des valeurs positives sur [0 ; 2]. C’est donc une fonction positive sur [0 ; 2].

3e condition : ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫1

2𝑡. 𝑑𝑡 = [

1

2×

𝑡²

2]

0

2

=2

0

2

0

1

2×

2²

2−

1

2×

02

2= 1

La fonction 𝑓 est bien définie, continue et positive sur [0 ; 2]. Son intégrale sur cet intervalle vaut 1. 𝑓 est donc une fonction de densité.

3

Exercice 2

On considère la fonction 𝑓 définie sur [−1 ; 1] par : 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 𝑠𝑢𝑟 [−1 ; 0]−𝑥 + 1 𝑠𝑢𝑟 ]0 ; 1]

.

Démontrer qu’il s’agit d’une fonction de densité. Plutôt que de calculer l’intégrale en utilisant l’expression d’une primitive, on préférera ici déterminer l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations 𝑥 =−1 et 𝑥 = 1.

Exercice 3

On considère la fonction 𝑓 définie sur [−1 ; 1] par : 𝑓(𝑥) =3

4−

3

4𝑥².

Démontrer qu’il s’agit d’une fonction de densité.

Exercice 4 (Avec un nouvel élément à comprendre dans le calcul de l’intégral !) On considère la fonction 𝑓 définie sur [0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥. Démontrer qu’il s’agit d’une fonction de densité. Corrigé La fonction exponentielle est positive sur [0 ; +∞[ ainsi que 𝑓. 𝑓 est en outre continue.

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑡𝑑𝑡

𝑥

0

= [−𝑒−𝑡]0𝑥 = (−𝑒−𝑥) − (−𝑒0) = −𝑒−𝑥 − (−1) = −𝑒−𝑥 + 1 = 1 − 𝑒−𝑥

𝑥

0

Ainsi, lim𝑥→+∞

∫ 𝑒−𝑡𝑑𝑡 = lim𝑥→+∞

(1 − 𝑒−𝑥) = 1𝑥

0 par somme.

La fonction 𝑓 est donc bien une fonction de densité.

Commentaire

Si on souhaite calculer une intégrale du type ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡+∞

0, on commence par calculer l’intégrale avec une variable (𝑥

par exemple) à la place de +∞. Ensuite, on fait tendre cette variable vers +∞. La limite obtenue est la valeur de l’intégrale cherchée.

Définition : Soit f une fonction de densité sur un intervalle 𝑰.

Dire que la variable aléatoire 𝑿 suit la loi de densité 𝒇 signifie que, pour tout intervalle [𝒄 ; 𝒅] inclus dans 𝑰, on a 𝑷(𝒄 ≤ 𝑿 ≤ 𝒅) = 𝑨𝒊𝒓𝒆 (𝑫), avec 𝑫 l’aire du domaine compris entre la courbe de 𝒇, l’axe des abscisses et les droites d’équations 𝒙 = 𝒄 et 𝒙 = 𝒅.

On a alors : 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕𝒃

𝒂

Remarque

X suit la loi de densité 𝑓 définie sur l’intervalle [𝑎 ; 𝑏].

a. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 ∈ [𝑎 ; 𝑏]). Ces deux notations signifient la même chose.

b. 𝑃(𝑋 = 𝑐) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑐

𝑐= 0. Eh oui… l’aire du domaine compris entre la courbe de 𝑓, l’axe des abscisses et les

droites d’équations 𝒙 = 𝒄 et 𝒙 = 𝒄 est nulle. À rapprocher du commentaire « intuitif » du début du paragraphe 3.

c. 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 < 3) + 𝑃(𝑋 = 3) = 𝑃(𝑋 < 3) + 0 = 𝑃(𝑋 < 3). Ou encore 𝑃(1 < 𝑋 ≤ 5) = 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 5). Ainsi, pour une loi à densité, les inégalités strictes peuvent être remplacées par des inégalités larges.

d. Attention ! La dernière remarque est fausse pour une loi discrète, puisque 𝑃(𝑌 = 𝑢𝑛𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟) n’est généralement pas égal à 0. Souvenons-nous : par exemple, si 𝑌suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0,2 (loi discrète), alors 𝑃(𝑌 =2) ≠ 0. De même, 𝑃(𝑌 < 3) ≠ 𝑃(𝑌 ≤ 3).

4

Exemple La fonction de densité 𝑓 permet de déterminer la probabilité de durée de vie d’un disque dur. On peut par exemple calculer 𝑃(5 000 ≤ 𝑋 ≤ 20 000). Cette probabilité correspond à la probabilité que la durée de vie d'un disque dur soit comprise entre 5 000 heures et 20 000 heures. La probabilité 𝑃(5 000 ≤ 𝑋 ≤ 20 000) est l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction de densité et les droites d'équations 𝑥 = 5 000 et 𝑥 = 20 000.

Autrement dit : 𝑃(5 000 ≤ 𝑋 ≤ 20 000) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡20000

5000.

Exercice 5 On considère la fonction de densité 𝑓 définie sur [0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥. La variable aléatoire 𝑇 suit la loi de densité 𝑓. 1. Déterminer la probabilité de l’événement {𝑇 ∈ [10 ; 20]} 2. Déterminer la probabilité de l’événement {𝑇 < 10}. 3. Déterminer la probabilité de l’événement {𝑇 ≥ 100}. 4. Déterminer la probabilité de l’événement {𝑇 < 100}.

Exercice 6 Soit a un réel strictement positif. On considère la fonction 𝑓 définie sur [0 ; 1] par : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥². 1. Déterminer la valeur de a telle que 𝑓 soit une fonction de densité sur [0 ; 1]. 2. Soit 𝑋 la variable aléatoire qui suit la loi de densité 𝑓 pour la valeur de 𝑎 trouvée à la question précédente. Calculer les probabilités suivantes :

a. 𝑃(0,1 ≤ 𝑋 ≤ 0,5) b. 𝑃(𝑋 > 0,5) c. 𝑃(𝑋 < 0,1) d. 𝑃(𝑋≥0,5)(𝑋 ≥ 0,1)

Exercice 7 On considère une variable aléatoire 𝑋 dont la fonction de densité, définie sur [0 ; 5], est représentée par la courbe ci-contre. 1. Vérifier que la fonction 𝑓 est bien une fonction de densité. 2. a. Déterminer graphiquement 𝑃(𝑋 ∈ [0 ; 1]). b. Déterminer graphiquement 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4). c. Déterminer graphiquement 𝑃(𝑋 < 4).

Exercice 8 On considère la variable aléatoire 𝑋 dont la fonction de densité définie sur ]−∞ ; +∞[est représentée par la courbe ci-contre. On admet que la courbe de cette fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et que 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 0,04) = 0,155. 1. Déterminer 𝑃(−0,04 ≤ 𝑋 ≤ 0). 2. Déterminer 𝑃(−0,04 ≤ 𝑋 ≤ 0,04). 3. Déterminer 𝑃(𝑋 ≤ 0). 4. Déterminer 𝑃(𝑋 > 0,04).

Commentaire

Pour les lois à densité, vous chercherez des probabilités en déterminant des intégrales par le calcul (primitives) ou par les aires. Dans le second cas, il s’agira souvent d’utiliser des arguments de symétrie pour déterminer des aires, en se rappelant que sur l’intervalle de définition de la fonction de densité, l’aire du domaine est égale à 1.

5

4. Espérance

Définition : Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur un intervalle [𝒂 ; 𝒃].

L'espérance mathématique de X est le réel 𝑬(𝑿) = ∫ 𝒕𝒇(𝒕)𝒅𝒕.𝒃

𝒂

Exercice 9 Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire continue 𝑋 qui prend ses valeurs (en tonnes) dans l'intervalle [0 ; 20] avec une densité de probabilité 𝑓 définie par :

𝑓(𝑥) = 0,015𝑥 − 0,00075𝑥2. a. Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20]. b. Calculer la probabilité de l'événement E : "La production quotidienne est supérieure ou égale à 12 tonnes". c. Calculer l'espérance mathématique de 𝑋.

Solution sur maths-et-tiques.fr : https://youtu.be/0Ry-2yLsANA et https://youtu.be/oI-tbf9sP6M

II. Loi uniforme

1. Introduction Exercice 10

On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle [10 ; 100]. 1. Quelle est la probabilité de choisir 25 ? 2. Quelle est la probabilité de choisir un nombre compris entre 10 et 40 ? 3. Quelle est la probabilité de choisir un nombre supérieur ou égal à 85 ? 4. Quelle est la probabilité de choisir un nombre inférieur ou égal à 100 ?

Commentaire

On modélise la situation précédente grâce à une loi à densité : la loi uniforme 𝑈([10 ; 100]). Si une variable aléatoire suit la loi uniforme de densité 𝑓 définie sur [10 ; 100], cela signifie que 𝑓 est la fonction

constante telle que : ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1.100

10

Exercice 11 À partir du commentaire précédent, déterminer la fonction de densité de la loi uniforme 𝑈([10 ; 100]).

2. Définition et propriété

Définition : Soit a et b deux réels tels que 𝒂 < 𝒃.

La loi uniforme sur [𝒂 ; 𝒃], notée 𝑼([𝒂 ; 𝒃], est la loi ayant pour densité

de probabilité la fonction constante 𝒇 définie sur [𝒂 ; 𝒃] par : 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒃−𝒂.

Propriété : Soit 𝑿 une variable aléatoire qui suit une loi uniforme

𝑼([𝒂 ; 𝒃]).

Alors, pour tout intervalle [𝑐 ; 𝑑] inclus dans [𝒂 ; 𝒃], on a : 𝑷(𝒄 ≤ 𝑿 ≤ 𝒅) =𝒅−𝒄

𝒃−𝒂.

Exercice 12 1. Démontrer la propriété précédente.

2. En reprenant la variable aléatoire de la propriété précédente, démontrer que, 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒙) =𝒙−𝒂

𝒃−𝒂.

(Remarque : Comme l’intervalle de la loi uniforme a pour borne inférieure 𝑎, on aurait pu écrire 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) au lieu de 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥).)

6

Corrigé 1. 𝑋 est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme 𝑈([𝑎 ; 𝑏]). La fonction de densité est la fonction constante 𝑓

définie sur [𝑎 ; 𝑏] par : 𝑓(𝑥) =1

𝑏−𝑎 . La primitive de 𝑓 a pour expression : 𝐹(𝑡) =

1

𝑏−𝑎× 𝑡 =

𝑡

𝑏−𝑎 .

Ainsi, 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫1

𝑏−𝑎𝑑𝑡 = [

𝑡

𝑏−𝑎]

𝑐

𝑑=

𝑑

𝑏−𝑎−

𝑐

𝑏−𝑎=

𝒅−𝒄

𝒃−𝒂

𝑑

𝑐

𝑑

𝑐

2. 𝑋 est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme 𝑈([𝑎 ; 𝑏]). La fonction de densité est la fonction constante 𝑓

définie sur [𝑎 ; 𝑏] par : 𝑓(𝑥) =1

𝑏−𝑎 . La primitive de 𝑓 a pour expression : 𝐹(𝑡) =

1

𝑏−𝑎× 𝑡 =

𝑡

𝑏−𝑎 .

Ainsi, 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫1

𝑏−𝑎𝑑𝑡 = [

𝑡

𝑏−𝑎]

𝑎

𝑥=

𝑥

𝑏−𝑎−

𝑎

𝑏−𝑎=

𝒙−𝒂

𝒃−𝒂

𝑥

𝑎

𝑥

𝑎

Ou encore : on aurait pu utiliser directement le résultat de la propriété précédente : l’intervalle [𝑎 ; 𝑥] est inclus

dans [𝑎 ; 𝑏]. Ainsi, 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) =𝒙−𝒂

𝒃−𝒂 .

Exercice 13 À la suite d’un problème de réseau, un client contacte le service après-vente de son opérateur. Un conseiller l’informe qu'un technicien le contactera pour une intervention à distance entre 14 heures et 15 heures. Sachant que ce technicien appelle de manière aléatoire sur le créneau donné, on souhaite calculer la probabilité que le client patiente entre 15 et 40 minutes.

Solution sur http://www.maths-et-tiques.fr : Vidéo https://youtu.be/yk4ni_iqxKk

3. Espérance mathématique

Propriété : Soit 𝑿 une variable aléatoire qui suit une loi uniforme 𝑼([𝒂 ; 𝒃]). Alors 𝑬(𝑿) =𝒂+𝒃

𝟐.

Exercice 14 Démontrer la propriété précédente. Corrigé 𝑋 une variable aléatoire qui suit une loi uniforme 𝑈([𝑎 ; 𝑏]). La fonction de densité est la fonction constante 𝑓

définie sur [𝑎 ; 𝑏] par : 𝑓(𝑥) =1

𝑏−𝑎 . Une primitive de la fonction 𝑡 ⟼ 𝑡 ×

1

𝑏−𝑎 est :

𝑡2

2

1

𝑏−𝑎 (=

𝑡2

2(𝑏−𝑎)) .

Ainsi, 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫𝑡

𝑏−𝑎𝑑𝑡 = [

𝑡²

2(𝑏−𝑎)]

𝑎

𝑏

=𝑏²

2(𝑏−𝑎)−

𝑎2

2(𝑏−𝑎)=

𝑏2−𝑎2

2(𝑏−𝑎)=

(𝑏−𝑎)(𝑏+𝑎)

2(𝑏−𝑎)=

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑎+𝑏

2

Exercice 15 (Sésamath) Armand et Lise rentrent de l’école à pied. Leurs parents savent qu’ils doivent arriver entre 17ℎ et 18ℎ à la maison. On peut modéliser leur heure d’arrivée par une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur [17 ; 18]. 1. Quelle est la probabilité qu’ils arrivent entre 17h et 17h15 ? 2. À quelle heure leurs parents peuvent-ils « espérer » les voir arriver ?

Exercice 16 (Sésamath) On considère une variable aléatoire 𝑋 suivant la loi 𝑈 ([0 ; 20]). 1. Quelle est la fonction de densité associée à cette variable aléatoire ? 2. Que vaut l’espérance de 𝑋 ? 3. Soit 𝑡 un réel de l’intervalle [0 ; 20]. Déterminer l’expression de 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡) en fonction de 𝑡.

Exercice 17 Une variable aléatoire 𝑋 suit une loi uniforme sur [0 ; 𝑎] (où 𝑎 est un nombre réel strictement positif) dont la fonction densité est donnée par 𝑓(𝑥) = 0,02. 1. Déterminer la valeur de 𝑎. 2. Calculer les probabilités : a. 𝑃(𝑋 ∈ [0 ; 𝜋]) c. 𝑃(𝑋² + 2𝑋 = 0) b. 𝑃(1 ≤ 𝑋 < 12,2) d. 𝑃(𝑋² < 9)

7

III. Loi exponentielle

1. Définition et propriétés

Exercice 18 Soit 𝜆 un réel strictement positif. Démontrer que la fonction 𝑓 définie sur

[0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒−𝜆𝑥 est une fonction de densité.

Corrigé

𝜆 > 0 et 𝑒−𝜆𝑥 > 0 pour tout 𝑥 ∈ [0 ; +∞[ 𝑒𝑡 𝜆 > 0. Ainsi 𝑓 est une fonction positive sur [0 ; +∞[. De plus, 𝑓 est continue sur [0 ; +∞[.

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = [−𝑒−𝜆𝑡]0

𝑥= −𝑒−𝜆𝑥 − 𝑒0 = 1 − 𝑒−𝜆𝑥

𝑥

0

Ainsi, lim𝑥→+∞

(1 − 𝑒−𝜆𝑥) = 1 par somme. Donc ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1+∞

0 .

Définition : Soit 𝝀 un réel strictement positif. La loi exponentielle de

paramètre 𝝀 est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction f

définie sur [𝟎 ; +∞[ par 𝒇(𝒙) = 𝝀𝒆−𝝀𝒙.

Notation 𝑋 suit la loi exponentielle de paramètre 𝝀 s’écrit aussi « 𝑋 ↝E(𝜆) ».

Contextes d'utilisation Durée de vie de composants électroniques, tremblement de terre, désintégration d'un noyau radioactif, …

Propriété : Soit 𝑿 une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 𝝀. Alors, pour tout 𝒙 de

[𝟎 ; +∞[, on a : 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = 𝟏 − 𝒆−𝝀𝒙.

Exercice 19 Démontrer la propriété précédente. Corrigé

Soit 𝑥 ∈ [𝟎 ; +∞[, 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = [−𝑒−𝜆𝑡]0

𝑥= −𝑒−𝜆𝑥 − 𝑒0 = 1 − 𝑒−𝜆𝑥𝑥

0

Exercice 20 Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant la loi E(𝜆) et a, b et c trois réels positifs. Montrer que :

1. 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) = 𝑒−𝜆𝑐 − 𝑒−𝜆𝑑 2. 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 𝑒−𝜆𝑎

Exercice 21 𝑋 une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,1. Déterminer 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3). Corrigé 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) − 𝑃(𝑋 < 1) = 1 − 𝑒−0,1×3 − (1 − 𝑒−0,1×1) = 𝑒−0,1 − 𝑒−0,3 ≈ 0,164.

Solution sur http://www.maths-et-tiques.fr : Vidéo https://youtu.be/tL8-UTORSLM

2. Espérance mathématique

Propriété : Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 𝝀.

Alors 𝑬(𝑿) =𝟏

𝝀.

Démonstration de la propriété III.2 (Exigible BAC)

8

Exemple Une variable aléatoire 𝑋 suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆 = 0,04. Détermine 𝐸(𝑋).

3. Durée de vie sans vieillissement

Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 𝝀.

Alors, pour tout réel t et h positifs, on a : 𝑷𝑿≥𝒕(𝑿 ≥ 𝒕 + 𝒉) = 𝑷(𝑿 ≥ 𝒉). Démonstration de la propriété III.3

Remarque Cette propriété porte le nom de "durée de vie sans vieillissement" car elle montre que la durée de vie sur une période h ne dépend pas de l'âge t à partir duquel on considère cet événement.

Méthode : Utiliser la durée de vie sans vieillissement La durée de vie, exprimée en heures, d'un petit composant électronique d'une carte d'anniversaire musicale est une

variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre = 0,0035 .

Sachant qu'un composant testé a fonctionné plus de 200 heures, calculer la probabilité qu'il tombe en panne avant 300 heures.

Solution sur http://www.maths-et-tiques.fr : Vidéo https://youtu.be/ZS_sW8yq-94

IV. Loi normale centrée réduite : 𝑵(𝟎 ; 𝟏)

1. Définition et propriétés

Contextes d'utilisation : Taille d'un individu, fréquence cardiaque, taux de cholestérol, quotient intellectuel…

Définition : La loi normale centrée réduite, notée 𝑵(𝟎 ; 𝟏), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction f

définie sur ℝ par 𝒇(𝒙) =𝟏

√𝟐𝝅𝒆−

𝒙²

𝟐 .

Remarque Il n'est pas possible de déterminer une forme explicite de primitives de la fonction densité de la loi normale centrée réduite. La représentation graphique de la fonction densité de la loi 𝑁(0 ; 1) est appelée courbe en cloche.

Propriété (admise) : a. Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction densité 𝒇 de la loi normale centrée

réduite est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

b. L’aire sous la courbe de 𝒇 est égale à 1. Soit 𝑷(𝑿 ∈] − ∞ ; +∞[) = 𝟏.

9

Conséquences de la propriété de symétrie 1. 𝑃(𝑋 ≤ 0) = 𝑃(𝑋 ≥ 0) = 0,5. 2. Pour tout réel 𝑢 ≥ 0, 𝑃(𝑋 ≤ −𝑢) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑢) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑢), et, 𝑃(−𝑢 ≤ 𝑋 ≤ 𝑢) = 1 − 2𝑃(𝑋 ≥ 𝑢) = 2𝑃(𝑋 ≤ 𝑢) − 1.

Cas particuliers importants : 𝑢0,05 ≈ 1,96 et 𝑢0,01 ≈ 2,58.

2. Espérance mathématique

Propriété : 𝑿 est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite 𝑵(𝟎 ; 𝟏). Alors 𝑬(𝑿) = 𝟎.

Démonstration de la propriété II.2

Propriété (admise) : Si 𝑿 est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite 𝑵(𝟎 ; 𝟏) alors la variance

𝑽(𝑿) est égale à 1, donc l'écart-type 𝝈(𝑿) est égal à 1.

Méthode : Utiliser une calculatrice

pour calculer une probabilité avec une loi normale centrée réduite TI : https://youtu.be/kZVL8AR-1ug ; Casio : https://youtu.be/qD1Nt5fkQa4 ; HP : https://youtu.be/sp6zdgZcrvI. a. Calculer 𝑃(𝑋 ≤ 0,6). b. En déduire 𝑃(𝑋 ≥ 0,6) et 𝑃(𝑋 ≤ −0,6). a. Avec une TI-83 Plus : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRéq(-10^99,0.6,0,1) Avec une TI-84 Plus : Taper sur les touches "2ND" et "VARS/Distrib" puis saisir normalcdf(-10^99,0.6,0,1) Avec une Casio Graph 35+ : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis saisir NormCD(-10^99,0.6,1,0)

On a ainsi : ( )0,6 0,726P X

b. ( )0,6 1 0,726 0,274P X − = (événement contraire) et ( )0,6 0,274P X − (par symétrie).

V. Loi normale

1. Définition

10

Définition : Soit un nombre réel 𝝁 et un nombre réel strictement positif 𝝈.

Dire qu'une variable aléatoire continue X suit la loi normale d'espérance 𝝁 et d'écart-type 𝝈, notée 𝑵(𝝁 ; 𝝈𝟐), signifie

que la variable aléatoire 𝑿−𝝁

𝝈 suit la loi normale centrée réduite 𝑵(𝟎 ; 𝟏).

Courbe représentative de la fonction densité de la loi 𝑵(𝝁 ; 𝝈)

Remarques - La courbe représentative de la fonction densité de la loi 𝑁(𝜇 ; 𝜎2) est une courbe en cloche symétrique par rapport à la droite d'équation 𝑥 = 𝜇. - La courbe est d'autant plus "resserrée" autour de son axe de symétrie que l'écart-type 𝜎 est petit. L'écart-type (ou la variance) est un caractère de dispersion autour de l'espérance qui est un caractère de position.

Vidéo https://youtu.be/ZCicmYQsl2Q

Méthode IV.1 : Utiliser une calculatrice ou un logiciel

pour calculer une probabilité avec une loi normale Une compagnie de transport possède un parc de 200 cars. On appelle 𝑋 la variable aléatoire qui a un car choisi au hasard associe la distance journalière parcourue. On suppose que X suit la loi normale 𝑁(80 ; 142). a. Quelle est la probabilité, à 10-3 près, qu'un car parcourt entre 70 et 100 𝑘𝑚 par jour ? b. Déterminer le réel 𝑡 tel que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡) = 0,9. Interpréter. https://youtu.be/obbgLyTmgsY ; TI https://youtu.be/aipNt2M-c80 ; Casio https://youtu.be/cZwInvxgGas HP https://youtu.be/yXWtHFkTa1c a. Avec GeoGebra : Aller dans le menu "Calculs probabilités" et saisir les paramètres dans la fenêtre qui s'ouvre. Avec une TI-83 Plus : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRéq(70,100,80,14) Avec une TI-84 Plus : Taper sur les touches "2ND" et "VARS/Distrib" puis saisir normalcdf(70,100,80,14) Avec une Casio Graph 35+ : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis saisir NormCD(70,100,14,80) On a ainsi : 𝑃(70 ≤ 𝑋 ≤ 100) ≈ 0,686. La probabilité qu'un car parcourt entre 70 et 100 𝑘𝑚 par jour est d'environ 68,6%. b. Avec une TI-83 Plus : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir FracNormale(0.9,80,14) Avec une TI-84 Plus : Taper sur les touches "2ND" et "VARS/Distrib" puis saisir invNorm(0.9,80,14) Avec une Casio Graph 35+ : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "InvN" puis saisir InvNormCD(0.9,14,80)

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On trouve 𝒕 ≈ 𝟗𝟖. 90% des cars parcourent moins de 98 𝑘𝑚 par jour.

Méthode V.2 : Déterminer une espérance ou un écart-type a. 𝑋 est une variable aléatoire qui suit la loi normale 𝑁(3 ; 𝜎2). Déterminer 𝜎 tel que 𝑃(𝑋 < 2) = 0,4. b. 𝑋 est une variable aléatoire qui suit la loi normale 𝑁(𝜇 ; 102). Déterminer 𝜇 tel que 𝑃(𝑋 < 30) = 0,7.

Solution sur www.maths-et-tiques.fr : Vidéo https://youtu.be/OSqcC7jGmRg

2. Intervalles à "1, 2 ou 3 sigmas"

Propriété : 𝑿 est une variable aléatoire qui suit la loi

normale centrée réduite 𝑵(𝟎 ; 𝟏).

Pour tout 𝜶 ∈]𝟎 ; 𝟏[, il existe un unique réel positif 𝒖𝜶 tel que 𝑷(−𝒖𝜶 ≤ 𝑿 ≤ 𝒖𝜶) = 𝟏 − 𝜶. Démonstration de la propriété II.2

Conséquences : a. 𝑷(𝝁 − 𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝝈) ≈ 𝟎, 𝟔𝟖 b. 𝑷(𝝁 − 𝟐𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝟐𝝈) ≈ 𝟎, 𝟗𝟓 c. 𝑷(𝝁 − 𝟑𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝟑𝝈) ≈ 𝟎, 𝟗𝟗𝟕

Démonstration dans le cas « 1 sigma »

( ) ( ) ( )1 1 1 1X

P X P X P P Y

− − + = − − + = − = −

avec Y variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite (0;1)N .

On ne connaît pas de formule explicite d'une primitive de la fonction densité de la loi (0;1)N .

A l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, on peut cependant obtenir une valeur approchée de la probabilité :

( )2

12

1

11 1 0,683

2

x

P Y e dx

−

−− = .

Exemple

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale 2(60;5 )N . Déterminer a et b tel que ( ) 0,954P a X b = .

Solution sur www.maths-et-tiques.fr : Vidéo https://youtu.be/w9-0G60l6XQ Alors : 𝑎 = 60 – 2 × 5 = 50 et 𝑏 = 60 + 2 × 5 = 70.

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On a ainsi : 𝑃(50 ≤ 𝑋 ≤ 70) = 0,954.

3. Théorème de Moivre-Laplace

Rappel Soit une variable aléatoire 𝑿 qui suit la loi binomiale 𝑩(𝒏 ; 𝒑). Alors 𝑿 associe le nombre de succès lors de 𝒏 répétitions d'une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝒑. On a dans

ce cas : 𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑 et 𝝈(𝑿) = √𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑).

Théorème : n est un entier naturel non nul et 𝒑 ∈]𝟎 ; 𝟏[.

Soit 𝑿𝒏 une variable aléatoire qui suit la loi binomiale 𝑩(𝒏 ; 𝒑).

Soit 𝒁𝒏 =𝑿𝒏−𝑬(𝑿𝒏)

𝝈(𝑿𝒏) la variable centrée réduite associée à 𝑿𝒏.

Alors pour tous réels a et b tels que 𝒂 < 𝒃, on a : 𝒍𝒊𝒎𝒏⟶+∞

𝑷(𝒂 < 𝒁𝒏 < 𝒃) = ∫𝟏

√𝟐𝝅𝒆−

𝒙²

𝟐 𝒅𝒙.𝒃

𝒂

Démonstration admise

Remarque Ce théorème traduit le fait que la probabilité d'un événement associé à une loi binomiale peut être approchée pas une probabilité d'un événement associé à la loi normale centrée réduite.

Méthode : Appliquer le théorème de Moivre-Laplace Soit 𝑋 une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre 𝑛 = 1000 et 𝑝 = 0,3. Calculer 𝑃(𝑋 ≤ 320).

Solution sur www.maths-et-tiques.fr : https://youtu.be/m9zYSm_NJiw https://youtu.be/4Y12jMMYyVM

Solution

𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 = 1000 × 0,3 = 300. 𝜎(𝑋) = √𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) = √1 000 × 0,3 × 0,7 ≈ 14,5.

D’après le théorème de Moivre-Laplace, la loi de 𝑍 =𝑋−𝐸(𝑋)

𝜎(𝑋)=

𝑋−𝐸(𝑋)

𝜎(𝑋)≈

𝑋−300

14,5 peut être approchée par une loi

normale centrée réduite.

Ainsi, à l’aide de la calculatrice, on a : 𝑃(𝑋 ≤ 320) = 𝑃(𝑋−300

14,5≤

320−300

14,5) ≈ 𝑃(𝑍 ≤ 1,38) ≈ 0,916.