probabilités loi de probabilité à densité exercices corrigés · sont abordés dans cette fiche...

Probabilités – Loi de probabilité à densité – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : densité de probabilité (fonction définie sur un intervalle)

Exercice 2 : densité de probabilité (fonction définie sur une réunion d’intervalles)

Exercice 3 : loi de probabilité à densité

Exercice 4 : variable aléatoire continue et calculs de probabilités

Exercice 5 : variable aléatoire continue et calcul de probabilité conditionnelle

Exercice 6 : espérance d'une variable aléatoire continue

Probabilités – Loi de probabilité à densité

Exercices corrigés



2

Montrer que la fonction définie sur [ ] par ( ) est une densité de probabilité sur [ ].

Rappel : Densité de probabilité

Soit un intervalle. On appelle densité de probabilité sur toute fonction continue et positive sur telle que :

∫ ( )

Remarque : Pour tous réels et tels que , on a :

Si [ ], alors ∫ ( )

∫ ( )

Si [ [, alors ∫ ( )

∫ ( )

Si ] ], alors ∫ ( )

∫ ( )

Soit la fonction définie sur [ ] par ( ) .

1) Etudions la continuité de la fonction sur [ ].

est le produit du réel par la fonction carré, continue sur , donc continue sur [ ]. Par conséquent, est

continue sur [ ].

2) Etudions le signe de la fonction sur [ ].

Pour tout [ ], . Par conséquent, est positive sur [ ], comme étant le produit de deux

nombres positifs.

3) Vérifions que ∫ ( )

∫ ( )

∫

∫

[

]

(

)

De ces trois résultats, il découle que une densité de probabilité sur [ ].

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

Préciser si la fonction définie par ( ) { [

]

] ]

est une densité de probabilité sur [ ].

1) Etudions la continuité de la fonction sur [ ].

D’une part, sur [ [, ( ) . Sur cet intervalle, est une fonction affine ; elle est donc continue.

D’autre part, sur ] ], ( ) . Sur cet intervalle, est une fonction affine ; elle est donc continue.

Par conséquent, est continue sur [ [ ]

].

Rappel : Continuité d’une fonction en un point

Soit une fonction définie sur et soit .

est continue en si et seulement si a une limite en égale à ( ), c’est-à-dire si et seulement si

( ) ( ). En particulier est continue en si et seulement si

( )

( ) ( ).

Remarque :

On note indifféremment la limite à gauche de la fonction en :

( ) ou

( ).

On note indifféremment la limite à droite de la fonction en :

( ) ou

( ).

Enfin,

( )

( )

et

( )

( )

.

Par conséquent,

( )

( ). Autrement dit, est continue en

.

En définitive, est continue sur [ ].

2) Etudions le signe de la fonction sur [ ].

D’une part, sur [ ], est une fonction affine de taux d’accroissement positif. Elle est donc croissante.

Ainsi, , c’est-à-dire ( ).

Exercice 2 (1 question) Niveau : moyen




4

D’autre part, sur ] ], est une fonction affine de taux d’accroissement négatif. Elle est donc décroissante.

Ainsi, , c’est-à-dire ( ).

En définitive, est positive sur [ ].

3) Vérifions si ∫ ( )

Rappel : Relation de Chasles

Soit une fonction continue sur un intervalle . Pour tous nombres réels , et de tels que ,

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

En utilisant la relation de Chasles, on a :

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

[ ]

[

]

(

)

( ) (

) (

( )

)

Autrement dit, ∫ ( )

En tenant compte de ce dernier résultat, la fonction ne peut pas être une densité de probabilité sur [ ].

Remarque importante :

On pouvait également représenter la fonction dans un repère orthonormé ( ) et observer que l’aire du

domaine situé entre la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation et

était supérieure à une unité d’aire.

Etape 1 :

Etape 2 :



5

Etape 3 :

Etape 4 :



6

Indiquer, pour chacune des quatre fonctions représentées ci-dessous, si elle peut être une fonction de densité

de probabilité sur l’intervalle donné.

1) [ ]

2) [ ]

3) [ ]

4) [ ]

Rappel : Loi de probabilité à densité

Soit une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle et soit une densité de probabilité sur .

Dire que est la loi de probabilité de densité de signifie que, pour tout intervalle , la probabilité

( ) est égale à l’aire du domaine { ( ) ( )}.

Remarque : Pour tous réels et tels que , on a :

Si [ ], alors ( ) ∫ ( )

Si [ [, alors ( )

∫ ( )

Si ] ], alors ( )

∫ ( )

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile




7

1)

La fonction représentée peut être une densité

de probabilité sur [ ] car :

est continue sur [ ] est positive sur [ ]

∫ ( )

Remarque : La fonction représentée est définie sur [ ] par ( ) { [ ] [ ]

.

2)

La fonction représentée peut être une densité

de probabilité sur [ ] car :

est continue sur [ ] est positive sur [ ]

∫ ( )

Remarque : La fonction représentée est définie sur [ ] par ( ) .

3)

La fonction représentée ne peut pas être une

densité de probabilité sur [ ] car :

Même si est continue sur [ ] Et même si est positive sur [ ]

∫ ( )




8

4)

La fonction représentée ne peut pas être une

densité de probabilité sur [ ] car :

Même si est continue sur [ ] n’est pas positive sur [ ]

∫ ( )




9

Soit la fonction définie sur [ [ par ( )

.

1) Montrer que est une densité de probabilité sur [ [.

Soit une variable aléatoire telle que ( ) [ [ et dont la loi de probabilité admet comme densité.

2) Calculer ( ).

3) Calculer ( ).

1) Montrons que est une densité de probabilité sur [ [.

Rappel : Limite de la composée de deux fonctions

, et désignent des réels, ou . et sont deux fonctions.

Si

( ) et si

( ) , alors on a :

( )( )

( ) .

La fonction est la composée de la fonction , continue sur [ [, par la fonction

,

continue sur ([ [) [ [. Par conséquent, est continue sur [ [.

Par ailleurs, pour tout [ [, . est donc le quotient de deux nombres positifs. Par conséquent,

est positive sur [ [.

Enfin, on a :

∫ ( )

∫

[

]

(

(

))

(

)

Or,

et

( ) donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux

fonctions,

( )

( ) . Par conséquent, par somme des limites,

(

) ,

c’est-à-dire :

∫ ( )

De ces trois résultats, il vient que est une densité de probabilité sur [ [.

Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen


( ) ( )

( ( ))

( )



10

2) Calculons ( ).

( ) ∫ ( )

∫

[

]

(

)

3) Calculons ( ).

Les événements ( ) et ( ) sont deux événements contraires. Par conséquent, il vient que :

( ) ( ) ∫ ( )

∫

[

]

[

]

Remarque : On pouvait également utiliser la méthode suivante.

( )

∫ ( )

∫

[

]

(

(

))

(

)

Or,

et

( ) donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux

fonctions,

( )

( ) . Par conséquent, par somme des limites,

(

)

,

c’est-à-dire ( )

.



11

est une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité définie sur [ ] par ( )

.

1) Déterminer la valeur du réel .

2) Montrer que ( ) est un nombre rationnel.

3) Calculer ( )( ).

1) Déterminons la valeur du réel .

Tout d’abord, remarquons que est une fonction continue sur [ ] comme étant le produit du réel par la

fonction inverse, continue sur [ ]. Remarquons par ailleurs que est positive sur [ ] si et

seulement si . Enfin, la variable aléatoire suit une loi de probabilité de densité définie sur [ ] si

et seulement si :

∫ ( )

∫

∫

[ ]

( )

( ) ( ( ))

Finalement, suit une loi de probabilité de densité définie par ( )

sur [ ].

2) Montrons que ( ) est un nombre rationnel.

( ) ∫ ( )

∫

∫

[ ]

( )

( )

( ) est bien un nombre rationnel.

3) Calculons ( )( ).

Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement)

Soit une loi de probabilité définie sur un ensemble . Soient et deux événements tels que ( ) .

La probabilité de l’événement sachant l’événement , notée ( ), est définie par :

( ) ( )

( )

( )( ) (( ) ( ))

( ) ( )

( ) ∫

∫

∫

∫

[ ]

[ ]

( )





12

Soit un réel et soit la fonction définie sur [ ] par ( ) ( ).

1) Déterminer de sorte que soit une densité de probabilité sur [ ].

est une variable aléatoire qui suit la loi de densité de probabilité .

2) Calculer l’espérance de .

1) Déterminons de sorte que la fonction , définie sur [ ] par ( ) ( ), soit une densité

de probabilité sur [ ].

Tout d’abord, notons que la fonction est continue sur [ ] comme étant la composée de la fonction carré

, continue sur , par la fonction affine ( ), continue sur ( ) .

Par ailleurs, pour tout [ ], . D’où . Ainsi, ( ) si et seulement si

.

Enfin, est une densité de probabilité sur [ ] si et seulement si :

∫ ( )

∫ ( )

[

]

(

(

( )

))

(

)

Par conséquent, est une densité de probabilité sur [ ] si et seulement si ( ) ( ).

2) Calculons l’espérance de .

Rappel : Espérance d’une variable aléatoire continue

L’espérance d’une variable aléatoire continue de densité sur un intervalle est le nombre réel :

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

∫ (

( ))

∫ ( )

∫ ( )

[

]

(

(

( )

( )

))

(

)



probabilités loi de probabilité à densité exercices corrigés · sont abordés dans cette fiche...

Documents