probabilités, ﬂuctuation d’une fréquence probabilités...

Probabilités, fluctuation d’une fréquence

Activité 1 : lancer de dé 2

Activité 2 : jeu de dé 3

Activité 3 : Simulation de dés 4

Activité 4 : dés pipés 6

Cours 8

Exercices 9

Analyse et algèbre! Probabilités, fluctuation d’une fréquence

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Activité 1 : lancer de dé1°) Quand on lance un dé, quelles issues sont possibles et quelle probabilité a-t-on d’obtenir chacune d’elles ? Compléter le tableau avec les réponses.

Issues possibles

ProbabilitéProbabilitéIssues

possibles En fraction En nombre décimal (arrondi à 10-4)

2°) Lancer un dé 40 fois et noter la valeur obtenue afin de compléter la colonne « effectif correspondant ». Recommencer pour une deuxième série de 40 lancers.

EvénementEffectif correspondant niEffectif correspondant ni

Fréquence de l’événementfi (arrondi à 10-4)

Fréquence de l’événementfi (arrondi à 10-4)Evénement

Série 1 Série 2 Série 1 Série 21

2

3

4

56

N = N =

3°) Calculer la fréquence de chaque événement pour chacune des séries.4°) Comparer : a) Les fréquences obtenues pour les deux séries.

...........................................................................................................................

b) Les fréquences obtenues par les séries avec les probabilités proposées dans le 1°)

...........................................................................................................................


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Activité 2 : jeu de déSituation : Dans le jeu «Colons de Catane», on récolte des ressources en fonction du score obtenu avec deux dés à 6 faces. Mais si l’on obtient 7, on tombe sur le «voleur», on est alors susceptible de perdre des ressources. Certaines variantes proposent de jouer avec un dé à 12 faces.

Quelle différence y a-t-il entre un dé à 12 faces et deux dé à 6 faces ? Aura-t-on alors la même probabilité de tomber sur le «voleur» ?

I. Le dé à 12 faces

On part du principe que toutes les faces ont la même chance de sortie. Il y a équiprobabilité. Quelle est la probabilité de sortie de chaque nombre ?

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Quelle est donc la probabilité d’obtenir le voleur ?

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II. Les deux dés à 6 faces

Étant donné qu’on étudie deux tirages simultanés, on peut calculer chacune des issues des deux tirages avec un tableau à double entrée. Compléter ce tableau :

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1. Quelle issue n’existe pas ? ........................................................

2. Combien d’issues y a-t-il au total ? ........................................................

3. Combien d’issues permettent d’obtenir 7 ? ..................................................

4. Répondre à la problématique.

...........................................................................................................................


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Activité 3 : Simulation de désSitutation : Une personne lance un dé à six faces en souhaitant obtenir un six. On souhaite simuler sur un tableur ce jeu de lancer afin d’étudier l’influence du nombre de lancers sur la possibilité d’obtenir un six.

I. Utilisation du tableur pour la simulation des lancers du dé

1°) Simulation :a) Ouvrir une feuille de calcul « Activité 3_Simulation de lancers ».b) Entrer en cellule A1 la formule suivante : «=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)»c) Recopier (en utilisant les poignées de la cellule) la formule de la cellule A1 jusqu’à la cellule E1.e) Recopier ensuite de la même manière vers le bas cette même formule :- Colonne A, jusqu’en cellule A100 (100 lancers)- Colonne B, jusqu’en cellule B500 (500 lancers)- Colonne C, jusqu’en cellule C1000 (1000 lancers)- Colonne D, jusqu’en cellule D5000 (5000 lancers)- Colonne E, jusqu’en cellule E10000 (10000 lancers)

4°) Programmation du tableau de résultats

Reproduire et compléter le tableau suivant dans le fichier du tableur. On pourra compter d’effectif du «6» pour 100 lancers avec la fonction «=NB.SI(A1:A100;6)».

Taille de l’échantillon N 100 500 1000 5000 10000

Effectif du «6» n6

Fréquence du «6» f6

- Maintenir appuyées les touches « Maj », « Ctrl » et éventuellement « Fn » du clavier et appuyer plusieurs fois sur la touche « F9 ».- Observer les résultats de la ligne 3. Les comparer avec le nombre 0,1667.

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II. Exploitation des résultats1°) En maintenant appuyées les touches « Maj », « Ctrl » et « Fn »du clavier, appuyer sur la touche « F9 ». Noter les valeurs des cinq fréquences obtenues dans le tableau du dessous. Recommencer l’opération 20 fois.2°) Alors à l’aide des résultats obtenus, compléter le tableau ci-dessous en repérant les valeurs des fréquences minimales et maximales repérées par l’ordinateur au cours de 20 essais précédents et pour chaque taille d’échantillon.3°) Calculer ensuite l’étendue des fréquences.

Taille del’échantillon n

Taille del’échantillon n 100 500 1000 5000 10000

Fréquence minimalefmin

Fréquence minimalefmin

Fréquence maximalefmax

Fréquence maximalefmax

Fluctuation

Étendue des

fréquences fmax - fmin

4°) La probabilité p(6) qu’un dé tombe sur un « 6 » est de 1/6 = 0,1667 .

a) Que constate-t-on sur la fréquence du « 6 » lorsque la taille n de l’échantillon augmente ?

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...........................................................................................................................

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b) Est-il vrai alors qu’on a une chance sur six d’obtenir un « six » au dé ? Expliquer.

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Activité 4 : dés pipésSituation : On dispose d’un lot de 100 dés à six faces numérotées de 1 à 6 et on cherche à savoir si ce lot contient des dés truqués. Pour cela, chaque dé est lancé 400 fois et on observe la fréquence de sortie de la face 6.1) Le premier dé testé a donné les résultats suivants :

Face n° 1 2 3 4 5 6Nombre de

sorties 76 66 50 70 70 68

Calculer, pour ce premier test, la fréquence f de sortie de la face 6 lors des 400 lancers.

...........................................................................................................................

2) Les 100 dés ayant été testés, on a représenté graphiquement la fréquence de sortie de la face 6 de chaque dé lancé 400 fois.

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Devoir sur les fluctuations d’une fréquence 1/2

DDEEVVOOIIRR SSUURR LLEESS FFLLUUCCTTUUAATTIIOONNSS DD’’UUNNEE FFRRÉÉQQUUEENNCCEE

On dispose d’un lot de 100 dés à six faces numérotées de 1 à 6 et on cherche à savoir si ce lot contient des dés truqués. Pour cela, chaque dé est lancé 400 fois et on observe la fréquence de sortie de la face 6.

1) Le premier dé testé a donné les résultats suivants :

Face n° 1 2 3 4 5 6

Nombre de sorties 76 66 50 70 70 68

Calculer, pour ce premier test, la fréquence f de sortie de la face 6 lors des 400 lancers. …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 2) Les 100 dés ayant été testés, on a représenté graphiquement la fréquence de sortie de la face 6 de chaque dé lancé 400 fois.

fréquence de sortie de la face 6 pour 400 lancers

n° de l’échantillon

Entourer les nombres exacts dans la phrase ci-dessous.

On dispose de 100 / 400 échantillons de taille n = 100 / 400.

3) La fréquence de sortie de la face 6 fluctue-t-elle d’un échantillon à l’autre ? ................

4) En utilisant le graphique de la page précédente, indiquer :

- la fréquence de sortie de la face 6 obtenue dans l’échantillon n° 10 : ………

- la fréquence de sortie de la face 6 obtenue dans l’échantillon n° 15 : ………

5) Déterminer, avec la précision permise par le graphique, l’étendue e des fréquences de cette série d’échantillons. Présenter le calcul effectué.


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6) Avec un dé équilibré, la probabilité de sortie de la face 6 est p=1/6 a) Pour cette série déchantillons de taille 400, calculer les bornes de

l’intervalle de fluctuation I = p − 1n; p + 1

n⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

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b) Tracer sur le graphique précédent les droites représentant les bornes de l’intervalle de fluctuation.

c) En admettant qu’un dé non truqué fournisse une fréquence de sortie de la « face 6 » comprise dans l’intervalle de fluctuation, peut-on suspecter d’avoir des dés truqués dans le lot testé ? Justifier la réponse. Si oui, indiquer combien de dés semblent truqués.

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CoursI) Population – Échantillon

La population est l’ensemble des individus sur lesquels porte l’étude statistique.

L’échantillon constitue une partie de cette population obtenue par prélèvement aléatoire.

On constitue un échantillon aléatoire de taille n par un tirage au hasard et avec remise de n éléments dans la population. En veillant à ce que l’effectif (N) de la population reste suffisamment grand devant la taille n de l’échantillon, le prélèvement d’un échantillon pourra être assimilé à un tirage avec remise.

II) Distribution d’échantillonnage d’une fréquence

Dans une population d’effectif N où la fréquence d’un caractère est p et dans laquelle on prélève k échantillons de taille n, la liste des fréquences f1, f2,…, fk du caractère, obtenue sur les k échantillons, constitue une distribution d’échantillonnage de la fréquence étudiée.

En calculant la moyenne de ces fréquences : f1 + f2 + ...+ fk

k, on constate

qu’en augmentant la taille n des échantillons, la moyenne de ces fréquences tend vers la valeur p (probabilité).

III) Intervalle de fluctuation

Les fréquences des échatillons ne sont pas identiques. On parle alors de fluctuation d’échantillonnage.

Si n est assez grand, p ni très petit, ni très grand, la probabilité pour qu’un échantillon de taille n conduise à une fréquence dans l’intervalle de

fluctuation I = p − 1n; p + 1

n⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

est au moins 0,95 (95%).

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Cours sur la fluctuation d’une fréquence 1/1

FFLLUUCCTTUUAATTIIOONNSS DD’’UUNNEE FFRRÉÉQQUUEENNCCEE

I) Population – Échantillon La population est l’ensemble des individus sur lesquels porte l’étude statistique. L’échantillon constitue une partie de cette population obtenue par prélèvement aléatoire. On constitue un échantillon aléatoire de taille n par un tirage au hasard et avec remise de n éléments dans la population. En veillant à ce que l’effectif (N) de la population reste suffisamment grand devant la taille n de l’échantillon, le prélèvement d’un échantillon pourra être assimilé à un tirage avec remise. II) Distribution d’échantillonnage d’une fréquence Dans une population d’effectif N où la fréquence d’un caractère est p et dans laquelle on prélève k échantillons de taille n, la liste des fréquences f1, f2, …, fk du caractère, obtenue sur les k échantillons, constitue une distribution d’échantillonnage de la fréquence étudiée.

En calculant la moyenne de ces fréquences : 1 2 ... kf f fk

� � � , on constate qu’en augmentant

la taille n des échantillons, la moyenne de ces fréquences tend vers la valeur p. III) Intervalle de fluctuation Les fréquences des échantillons ne sont pas identiques. On parle alors de fluctuation d’échantillonnage. Si n est assez grand, p ni très petit, ni très grand, la probabilité pour qu’un échantillon de taille

n conduise à une fréquence dans l’intervalle de fluctuation 1 1;p pn n

ª º� �« »

¬ ¼est au moins

0,95.

Population d’effectif N

Échantillon de taille n

12

14

16

18

20

0 20 40 60 80 100

←1pn

�

← 1pn

�


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Exercices

Maths Sciences LP Saint Aubin La Salle 12

Exercices

Exercice 1 : Le bulletin météo prévoit que la probabilité de pluie demain après-midi est 52 = 0,4.

Laquelle des affirmations suivantes est-elle la meilleure interprétation de ce bulletin ?

1°) Il va pleuvoir sur 40 % de la zone concernée par les prévisions. 2°) Dans cette zone, 40 personnes sur 100 auront de la pluie. 3°) Si la même prévision est faite pour 100 jours, il pleuvrait à peu près 40 jours sur 100. 4°) Demain après-midi, il va pleuvoir pendant 40 % du temps.

Exercice 2 : Dans une compagnie d’assurance, à partir des fiches de 1000 assurés, on a dressé le tableau d’effectifs suivant :

Age Homme Femme

[18 ; 25[ 121 79

[25 ; 35[ 83 88

[35 ; 45[ 82 84

[45 ; 55[ 80 83

[55 ; 65[ 81 85

65 ans ou plus 70 64

On tire au hasard une des 1 000 fiches. Toutes les fiches ont la même probabilité d’être tirées.

1°) Quelle est la probabilité que la fiche tirée soit celle d’un homme ?

2°) Quelle est la probabilité que la fiche tirée soit celle d’une femme ?

3°) Quelle est la probabilité que la fiche tirée soit celle d’une personne de moins de 65 ans ?

Exercice 3 : On dispose de 10 cartes. On tire une carte au hasard parmi ces 10 cartes.

1°) Cette expérience est-elle une expérience aléatoire ? Justifier.


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2°) Quelle est la probabilité d’obtenir un pique ?

3°) Quelle est la probabilité d’obtenir un carreau ?

4°) Quelle est la probabilité d’obtenir une carte rouge ?

5°) On répète l’expérience ci-dessus un très grand nombre de fois en remettant chaque fois la carte tirée dans le paquet et en mélangeant. On détermine la fréquence d’apparition de la carte trèfle. Donner une valeur approchée de cette fréquence.

Exercice 4 : Lors de certains contrôles de qualité dans l’industrie, on prélève régulièrement des échantillons aléatoires en fin de fabrication, pour lesquels on calcule la moyenne de la cote surveillée. Si l’on constate une série de sept moyennes consécutives du même côté de la norme visée, on considère ce résultat comme suspect et on surveille le processus. Cet exercice permet de comprendre pourquoi le choix de 7.

On lance 7 fois une pièce de monnaie équilibrée et on s’intéresse à l’événement A : « la pièce est tombée 7 fois sur pile ».

Le graphique indique l’évolution, sur 10 000 simulations, de la fréquence de l’événement A depuis la première simulation.

1°) Vers quelle valeur approximative tend à se stabiliser la fréquence ?

2°) A combien évaluez-vous la probabilité de l’événement A ?

Exercice 5 : Une enquête a été menée dans la ville d’Ufa (Russie) auprès de personnes ayant été exposées à des pesticides contenant de la dioxine, dans une usine agrochimique, active de 1961 à 1988.

1°) A Ufa, comme ailleurs, il naît habituellement 105 garçons pour 100 filles, « en moyenne ». Quelle est la fréquence p des garçons qui correspond à ces valeurs ?


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Maths Sciences LP Saint Aubin La Salle

14

2°) Les personnes exposées ont donné naissance à 227 enfants. On simule le prélèvement aléatoire d’échantillons de taille 227 dans une population d’enfants où la fréquence des garçons est 0,512. Les fréquences des garçons sur 1 000 échantillons simulés sont présentées sur le graphique suivant :

Indiquer s’il est « habituel », « rare » ou « très rare », d’obtenir dans ces conditions, sur un échantillon de taille 227, une fréquence de garçons f telle que :

a) f | 0,48

b) f | 0,6

c) f | 0,56

3°) a) Parmi les 227 enfants des personnes

exposées aux pesticides à Ufa, 91 sont des garçons et 136 sont des filles. Quelle est dans ce cas, la fréquence des garçons ?

b) b) La fréquence obtenue à la question précédente est-elle inquiétante ? Justifier.

Exercice 6 : Une expérience a été réalisée à la Duke University pour mettre en évidence la perception extra sensorielle (en anglais E.S.P). Pour cela on a utilisé un jeu de 25 cartes comportant cinq séries identiques de cinq cartes aux motifs ci-dessous :

Le principe général de ces expériences réalisées avec ces cartes est le suivant : un élève prend les cartes avec lui pendant que le deuxième se concentre, sans voir la carte, sur le symbole choisi au hasard par son camarade. Un tableau a été préparé à l'avance pour noter les résultats au fur et à mesure de l'expérience.

Pour un sujet prétendant disposer de dons de perception, on obtient le tableau suivant :


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1°) Calculer son taux de réussite

2°) Peut-on penser que ce sujet possède réellement des dons de perception ?

3°) Que faire pour en être certain ?

4°) On réalise cette expérience avec ce sujet en augmentant le nombre de cartes à chaque fois afin de vérifier ses capacités extra sensorielles. On mesure son taux de réussite qu’on représente dans le graphique ci-dessous :

Décrire le graphique précédent et expliquer pourquoi on est face à un imposteur.

Exercice 7 : On rappelle qu’un jeu de 32 cartes dispose de quatre séries de huit cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as) dans quatre familles (pique, cœur, trèfle, carreau). Lors d’une partie de carte, le joueur qui commence est le joueur qui tire une figure (valet, dame ou roi) dans le jeu de 32 cartes. Chaque carte tirée est remise dans le jeu qui est mélangé.

1°) Dire si cette épreuve est aléatoire. Donner le nombre d’issues possibles.

2°) Donner la probabilité de tirer une figure.

3°) Dans le cas où deux joueurs tireraient une figure, c’est le rang (valet, dame ou roi) de la carte tirée qui départage.

a) Donner la probabilité de tirer un roi.


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b) Donner la probabilité de tirer une figure autre qu’un roi.

c) Quel lien peut-on établir entre les résultats précédents et celui de la question 2.

4°) Dans le cas où deux joueurs tireraient une figure de même rang, on les départage en attribuant la priorité « pique – cœur – trèfle – carreau ». On s’intéresse donc à la probabilité de tirer le roi de pique. Pour cela on simule à l’ordinateur 10 000 tirages.

a) Au bout de 200 tirages, le roi de pique est sorti 2 fois. Calculer la fréquence.

b) La plus grande fréquence obtenue au fur et à mesure des tirages est environ 0,33. La plus petite est 0. Calculer l’étendue des fréquences.

5°) En observant le graphique ci-dessous, que constate-t-on au bout de 2 000 tirages ?

6°) Donner, par un calcul, la valeur vers laquelle tend la fréquence.


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