EPFL - GM 1

Cours de physique généralePhysique I pour étudiants de première année

en section de mathématiques

Prof. Georges MeylanLaboratoire d’astrophysique

7 novembre 2008cours de la semaine # 8

Bienvenue au

Site web du laboratoire et du cours :

http://lastro.epfl.ch

EPFL - GM 2

Cinématiqueétude du mouvement

Dynamiqueétude des causes et des lois du mouvement

La création de cette nouvelle science (dynamique) :commence avec Galilée (1638),

se poursuit avec Descartes (1644) et Huygens (1673),et culmine avec Newton (1686).

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Masse - quantité de mouvement - forces

• Descartes énonce ses trois lois du mouvement :

• 1 « La première est : que chaque partie de la matière, en particulier, continue toujours d'être en unmême état, pendant que la rencontre des autres ne la contraint point de le changer. » (AT, XI, 38)

• 2 « Je suppose pour seconde règle : que, quand un corps en pousse un autre, il ne saurait lui donneraucun mouvement, qu'il n'en perde en même temps autant du sien ; ni lui en ôter, que le sien nes'augmente d'autant. » (Ibid., 41)

• 3 « J'ajouterai pour la troisième : que, lorsqu'un corps se meut, encore que son mouvement se fassele plus souvent en ligne courbe, et qu'il ne s'en puisse jamais faire aucun, qui ne soit en quelque façoncirculaire, […], toutefois chacune de ses parties en particulier tend toujours à continuer le sien enligne droite. » (Ibid., 44)

• « De tous les mouvements, il n'y a que le droit, qui soit entièrement simple, et dont toute la naturesoit comprise en un instant. »

• Descartes, outre le principe d'inertie, affirme donc le caractère rectiligne du mouvement, illustré parle mouvement à tout moment possible de la pierre d'une fronde. « Donc suivant cette règle, il fautdire que Dieu seul est l'auteur de tous les mouvements qui sont au monde, en tant qu'ils sont, et entant qu'ils sont droits ; mais que ce sont les diverses dispositions de la matière, qui les rendentirréguliers et courbes. Ainsi que les Théologiens nous apprennent, que Dieu est aussi l'auteur detoutes nos actions, en tant qu'elles sont, et en tant qu'elles ont quelques bontés; mais que ce sont lesdiverses dispositions de nos volontés, qui peuvent les rendre vicieuses. »

EPFL - GM 4

Introduction à l’astrophysique:Structure et dynamique de la Voie Lactée

Orbite d’une étoile autour du centre galactique SgrA

EPFL - GM 5

Introduction à l’astrophysique:Structure et dynamique de la Voie Lactée

Masse de l’objet central SgrA dans notre Galaxie :un très probable trou noir de 3.6 millions de masses solaires

Trous noirs stellaires de 5 à 30 masses solairesTrous noirs supermassifs de 105 à 1011 masses solaires

EPFL - GM 6

Les trois lois de la mécanique newtonienne

• Lex prima : de Newton « Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement

rectiligne uniforme à moins que quelque force n’agisse sur lui etne le contraigne à changer d’état »

• Lex secunda : de Newton « Les changements qui arrivent dans le mvt sont proportionnels

à la force motrice et se font dans la ligne droite dans laquellecette force a été imprimée »

• Lex tertia : de Newton « L’action est toujours égale et opposée à la réaction, i.e., que

les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales etde direction opposées »

EPFL - GM 7

Champ de gravitation• Une masse ponctuelle M produit

un champ gravitationnel g(r) à la position r :Force subie par une masse m à cette position :

• Quel est le champ gravitationnel produit par une masse Mnon ponctuelle, par exemple la Terre (supposée sphériqueet homogène) de rayon R ?

Terre M

m

gr = R + h

R

h

!

r g (

r r ) = "GM

r2 r r r

!

r F = m

r g (

r r )

Réponse : si r ≥ R, le même champ queproduirait une masse M ponctuellesituée au centre le la Terre(conséquence de la forme en 1/r2)

EPFL - GM 8

Flux du champ de gravitation• Définition du flux d’un champ g à travers une

surface dA :

• Flux total à travers une surface ferméequelconque entourant une masse ponctuelle M :

!

d" = r g # d

r A = g dA cos$

aire dA

normaleg

α dA

φ

!

" = d"surface

# = g cos$surface

# dA = %=0

&

#'=0

2&

# GMr2

g{

r2sin% d% d'

cos$ dA1 2 4 3 4

= 4& GM

dA

M

dA cosαα

rg

x

Mθ r

r dθ

r sinθ dφ

y

z⇓

Ainsi le flux estindépendant de lasurface fermée !

(théorème de Gauss)

analogie : ampoule lumineuse

EPFL - GM 9

Champ de gravitation d’une distribution de masse

• Flux total à travers une surface ferméequelconque entourant 3 masses ponctuelles :

• Boule de rayon R de masse M de densité constante(distribution de masse uniforme) :– Le champ g(r) doit être radial (symétrie sphérique) :

– On applique le théorème de Gauss sur la sphèrede rayon r = R+h :

dA

M1

g1

M2

g2M3

g3

!

r g =

r g 1 +

r g 2 +

r g 3 " # = #1 + #2 + #3

!

= 4" G (M1+ M2 + M3)

!

r g (

r r ) = "g(r) ˆ e r

!

" = g 4# r2 = 4# G M

TerreM

m

g

R

h

r

!

" g = GMr2

EPFL - GM 10

Masse d’inertie et masse gravitationnelle• Deux définitions différentes de la masse : - masse d’inertie, apparaissant dans la 2ème loi de Newton : F = mia - masse gravitationnelle, apparaissant dans la loi de la gravitation : F = mgg

• Observations expérimentales conduisant à l’hypothèse mi = mg :

• Principe d’équivalence d’Einstein (1911) :

Galilée (1590?) 10−1 accélération des corps en chute libre indépendante de mNewton (1686) 10−3 période d’un pendule indépendante de mBessel (1832) 10−4 période d’un pendule indépendante de mEötvös (1922) 10−8 pendule de torsion (test parallélisme poids de deux corps)Dicke (1961) 10−11

Braginskii+Parov (1972) 10−12

mi ≡ mgOn ne peut pas distinguer

un champ de pesanteurd’une accélération

Poids apparent = force gravitationnelle +force d’inertie due à la rotation de la Terre

Expérience d’Eötvös:

Pendule de torsion avecdeux boules de mêmes poids,mais de substances différentes

L’expérience est répétéetournée de 180 degrés

Si on mesure une torsion différente,alors mi/mg n’est pas le même pour les deux boules

2 1

1 2

précision relative

EPFL - GM 11

Masse d’inertie et masse gravitationnelleExpérience d’Eötvös:

Pendule de torsion avecdeux boules de mêmes poids,mais de substances différentes

L’expérience est répétéetournée de 180 degrés

Si on mesure une torsion différente,alors mi/mg n’est pas le même pour les deux boules

2 1

1 2

Prononciation de Eötvös (hongrois): « eutveuche »

- le poids apparent d’un objet sur Terre est la sommede la force gravifique (proportionnelle à mg)

et de la force centrifuge due à la rotation de la Terre (proportionnelle à mi)- si le rapport mi/mg n’est pas le même pour les deux boules,

leurs poids apparents ne sont pas parallèles entre eux (ni parallèles au fil du pendule)

⇓il en résulte un couple de torsion

- Ce couple est modifié lorsque les positions des masses sont échangées,car la distance entre chaque masse et l’axe de rotation de la Terre a changé

EPFL - GM 12

Masse d’inertie et masse gravitationnelle

Ascenseur en chute libre qui «annule» la pesanteur :on ne peut pas savoir si nous sommes dans un endroit sans champ de gravitation (apesanteur)

ou bien s’il y a un champ de gravitation dans lequel nous tombons en chute libre.Ascenseur accélérant vers le haut qui «augmente la pesanteur» :

on pourrait croire que nous sommes à l’«arrêt» et que le champ de gravitation a augmenté !

Démonstration rail à air incliné :dans des référentiels en mouvement uniformément accéléré,

tout se passe comme si g était modifié par l’adjonction de l’opposé de l’accélération du référentiel.On observe ainsi que la position d’équilibre d’un pendule n’est plus la verticale,

mais une direction perpendiculaire au rail incliné.De même la surface d’un liquide au repos est parallèle au plan incliné

(donc différente de l’horizontale).

Démo : Accéléromètres : rail à air # 754

EPFL - GM 13

Constantes du mouvement de Képler

!

r r = r ˆ e r

r v = ˙ r ˆ e r + r˙ " ˆ e "

r a = ˙ ̇ r # r˙ " 2( ) ˆ e r + r˙ ̇ " + 2˙ r ̇ " ( )

ˆ e "

$

% & &

' & &

Coordonnéespolaires (r, θ)

!

r L =

r r " m

r v = mr ˆ e r " ˙ r ˆ e r + r˙ # ˆ e #( ) = mr2˙ # ˆ e z

O

y

x

!

ˆ e r

!

ˆ e "

!

ˆ e z = ˆ e r " ˆ e #

θr m

!

m˙ ̇ r " L

2

mr3 = "K

r2 # m˙ r ̇ ̇ r " ˙ r

L 2

mr3 + ˙ r K

r2 = 0 # d

dt

m˙ r 2

2 +

L 2

2mr2 " K

r

$

% &

'

( )

= constante E

1 2 4 4 4 3 4 4 4

= 0

!

E

{ = 1

2m ˙ r 2 + r2˙ " 2( ) # Kr

= 12mv

2

Ecin

{ # K

r

+ Epot

{= cte

Energie mécanique =

!

r F = "K

r2 ˆ e r = m

r a #

m r˙ ̇ $ + 2˙ r ̇ $ ( ) = 0 % dr L

dt = 0 % L = mr2˙ $ = cte

m˙ ̇ r " r˙ $ 2( ) = "K

r2 % m˙ ̇ r " L

2

mr3 = "K

r2

&

' (

) (

Deux constantes: L et E

Point matériel soumis àune force centrale en 1/r2

EPFL - GM 14

Energie potentielle gravifique

• Energie potentielle :

• Approximation à la surface de la Terre (h « R) :

Terre M

m

gr = R+h

R

h

!

V (r) = "GMm

r

!

" V(r) = #GMmr

$ #GMmR

constante1 2 3

+ GM

R2mh

mg h1 2 3 4

!

1

r = 1

R+h = 1

R 1

1+h/R( ) " 1

R 1#h

R( ) = 1

R # h

R2

!

Fx = "#V#x

= "dVdr

#r#x

= "GMm

r2

##x

x2

+ y2

+z2( ) = "GMm

r2 xr

!

r F = "GMm

r2

r r

r

• La force dérive de l’énergie potentielle :

… et de même pour Fy et Fz

EPFL - GM 15

Système de deux masses en interaction• (3ème loi)

•• 2ème loi :

– appliquée à m1 : (1)– appliquée à m2 : (2)

• 6 fonctions de t à trouver :

!

r F 1"2 +

r F 2"1 = 0

!

r F 1"2 = m2

r ˙ ̇ r 2

z

Ox y

r1(t)

r2(t)F1→2

F2→1

m2

m1

!

r F 2"1 = m1

r ˙ ̇ r 1

!

F1"2 = F2"1 = G m1m2

(r r 1

#r r 2

)2

!

r r 1

(t), r r 2

(t)

!

r r 1

(t), r r 2

(t)( ) " r R (t),

r r (t)( )

!

r R (t) =

m1 r r 1

(t) + m2 r r 2

(t)m1

+ m2

= coord. du centre de masser r (t) =

r r 1

(t) " r r 2

(t) = coord. relatives

!

r F

2"1+

r F

1"2= (m

1+m

2)r ˙ ̇ R = 0

!

r F 2"1 = #

G m1

m2

r 2

r r

r = µ

r ˙ ̇ r

Equation du mouvementde la «particule relative»

!

m2

r F 2"1 # m1

r F 1"2 = m1m2

r ˙ ̇ r $

r F 2"1 =

m1m2

m1+m2

µ

1 2 3 r ˙ ̇ r

Masse réduite µ

• «Changement de fonctions» :

– (1)+(2) ⇒– (1)×m2−(2)×m1 ⇒

EPFL - GM 16

Mouvement de Képler

!

r F 2"1 = #K

r 2 r r r

= µ r ˙ ̇ r avec K = Gm1m2 , µ =

m1m2

m1+m2

⇒ mouvement central !→ on passe aux coord. polaires (r, θ)

dans le plan du mouvement

!

Moment cinétique (relatif) constant: L = µr2˙ "

Equation du mouvement radiale: µ˙ ̇ r # L2

µr3 = #K

r2

z

Ox

yr(t)

F2→1

m2

m1

θ(t)

!

On pose r = 1q: ˙ r = d

dt1q

" # $ % & ' = d

dq1q

" # $ % & ' dq

d( d(dt

= ) 1q2

dqd(

˙ ( = )r2˙ ( dqd(

= )Lµ

dqd(

˙ ̇ r = )Lµ

d2q

d(2 ˙ ( = )L

µ d2q

d(2 Lµr2

= )L 2

µ2 q2

d2q

d(2

!

Equ. du mvt " d2q

d#2 + q =

KµL2

" q(#) = 1r =

KµL2

1 + e cos(#$#0)( )

NB: on a passé de 6 à 2 coordonnées !

e, θ0 = constantes d’intégration

EPFL - GM 17

Coniques

!

POPQ

= e = rd " r cos#

Conique : lieu géométrique des points P du plan dont le rapportdes distances à un point fixe O (foyer) et une droitefixe D (directrice) est une constante e (excentricité)

!

1r = 1

p (1 + e cos")

Equation conique en coordonnées polairesdéfinie par les paramètres e et p

r, θ = coord. polaires par rapport à Od = distance foyer-directricea

ab

Oae θ

r

d

Δ

P Q

e< 1: ellipse

ab

O

ae

θr

d

Δ

PQ

e>1:hyperbole

avec p = ed

!

demi-grand axe: a = p

1 " e 2

demi-petit axe: b = p

1 " e 2

!

" ed = r 1+ e cos#( )

EPFL - GM 18

ConiquesCalcul des demi-axes a et b dans le cas de l’ellipse :

1) calculer d’abord rmin = p/(1+e) et rmax = p/(1-e), poser 2a = rmin+rmax etrésoudre par rapport à a, d’où a = p/(1-e2)

2) calculer la distance x entre O et le centre de l’ellipse : par définitionon a a/(d+x)=e, ce qui permet de trouver que x = ae

3) b se trouve par le théorème de Pythagore4) on peut facilement vérifier que (x/a)2 + (y/b)2 = 1, où x et y sont

les coordonnées cartésiennes par rapport au centre de l’ellipse

Calcul des demi-axes a et b dans le cas de l’hyperbole :1) calculer d’abord rmin = p/(1+e)1bis) comment obtient-on a ?

2) calculer la distance x entre O et le centre de l’hyperbole (pointentre les deux nappes) : on a x = rmin+a

3) b se trouve en considérant un point P à l’infini : de l’équation de laconique on a sqrt(a2+b2)/a = e, d’où on peut tirer b = a sqrt(e2-1)

EPFL - GM 19

Orbites de Képler

!

Orbite: 1r =

KµL2

1 + e cos("#"0)( ) $ 1rmin

= KµL2

(1+e)

• si énergie E < 0 : orbite elliptique, donc bornée→ système lié (par exemple Soleil+planète)

• si énergie E > 0 : orbite hyperbolique, donc non bornée→ système non lié

!

Energie totale: E = µ˙ r 2

2 + L

2

2µr2 " K

r = L

2

2µrmin2

" Krmin

Conique d’excentricité e

!

1r =

KµL

2 1 + e cos("#"0)( )

e = 0 : cercle0 < e < 1 : ellipsee = 1 : parabolee > 1 : hyperbole

!

e = 1 + 2L

2

K 2µ

E

!

" 1

rmin

= KµL

2 1 + 1 +

2L 2

K 2µ

E#

$ %

&

' (

(la particule peut aller à l’infini où Epo t= 0 et avoir Ecin > 0)

EPFL - GM 20

2ème loi et théorème du moment cinétique

• Résultante (somme) des forcesappliquées au point matériel P :

• Quantité de mouvement du pointmatériel de masse m :

• Deuxième loi de Newton :

• Moment de la force résultante Fpar rapport à un point O du référentiel :

• Moment cinétique du point matérielpar rapport au point O :

• Théorème du moment cinétique :

!

r p = m

r v

!

dr p

dt =

r F

!

r F =

r F i"

z

Ox

ym

F

r p

équivalente à F=ma, si m constante

!

d

r L Odt

= ddt

r r "

r p ( ) =

r v "

r p

= 0{ +

r r "

dr p

dt =

r r "

r F =

r M O

= 0 si force centrale

= 0 si force centrale

(pour un point matériel P)

P

!

r L O =

r r "

r p =

r r " m

r v

!

r M O =

r r "

r F =

r r "

r F i#

!

d

r L O

dt =

r M O

z

Ox

ym

F

r pM

L

P

r = OP