PCSI - Lycée CARNOT Pendule de torsion

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PENDULE DE TORSION Le but de ce TP est de mesurer différentes grandeurs caractéristiques d’un pendule de torsion (constante de torsion, moment d’inertie). I Présentation du dispositif et réglage préalable

Le pendule est constitué d’une barre métallique rappelée à sa position d’équilibre par un fil métallique de torsion fixé en ses deux extrémités à un bâti. Un rapporteur permet de plus de faire les mesures de la position angulaire de la barre. Le but du réglage préliminaire est d’obtenir le 0 du rapporteur à la position d’équilibre du pendule. Protocole :

• Placer le dispositif en position horizontale (fil de torsion horizontal). • Desserrer les deux molettes placées de part et d’autre du rapporteur, et enlever la goupille. • Placer la tige de réglage (tige métallique munie de deux taquets en position verticale). • Faire tourner les molettes afin que la barre du pendule soit comprise entre les deux taquets de la tige de réglage, sans les

toucher. • Mettre la goupille dans le rapporteur et visser les deux molettes sans perdre l’équilibre du pendule. Le zéro pour les

angles est alors réglé. • Retirer la goupille.

II Détermination de la constante de torsion C du fil (méthode statique)

On rappelle que le couple résistif exercé par le fil de torsion est de la forme M = - Cθ, où θ est l’angle fait par le pendule avec sa position d’équilibre (donc indiqué par le rapporteur), et C la constante de torsion du fil exprimée en N.m.rad-1. On se propose de faire une première estimation de C à l’aide d’un dynamomètre (mesure peu précise étant donné la faible indication de ce dernier par rapport à la pleine échelle) : Protocole (le fil de torsion étant toujours horizontal) :

Goupille

Rapporteur

Molettes Barre du pendule

Fil de torsion

Tige de réglage (avec ses 2 taquets)

Rapporteur

Pendule

Bâti

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• Fixer une masse étalonnée d’une valeur m = 40 g sur la barre du pendule (côté opposé à la tige de réglage) à l’aide d’une petite boucle de ficelle à la distance d = 8 cm de l’axe du pendule matérialisé par le fil de torsion (la barre est graduée tous les cm à partir de 2cm et jusqu’à 14 cm). Le pendule est alors déséquilibré.

• Tourner l’ensemble {molettes + rapporteur} qui est solidaire pour revenir à la position initiale du pendule entre les deux taquets.

• Retirer la surcharge : le pendule est à nouveau déséquilibré. • Fixer à l’aide de la boucle de ficelle le dynamomètre à l’extrémité de la barre du côté de la tige de réglage (d = 14 cm). • Exercer une traction avec le dynamomètre perpendiculairement à la barre jusqu’à retrouver l’équilibre initial. • Relever l’angle θ indiqué par le rapporteur et en déduire une première valeur de C !. • Placer le point d’accroche du dynamomètre au milieu de la barre (d = 7 cm) et relever la valeur de la force indiquée.

Était-ce prévisible ? On cherche ensuite à affiner la valeur de C : Protocole :

• Retirer le dynamomètre et relever l’angle de torsion θ nécessaire pour assurer l’équilibre du pendule en plaçant une masse m allant de 40 à 0 g par pas de 10 g à sa position précédente d = 8 cm (la première mesure étant celle obtenue dans l’expérience précédente). Consigner les valeurs de θ dans le tableau :

m (g) 0 10 20 30 40 θ (°) θ (rad)

• Après avoir trouvé le lien entre C et m !, et en utilisant une représentation graphique, déterminer précisément C. • Evaluer l’incertitude sur C (voir annexe page 3/3).

Hypothèses : - La valeur des masses étalonnées étant connue très précisément, on ne tiendra compte que de l’incertitude sur la

détermination de l’angle. - On prendra en considération le fait que la droite passe théoriquement par l’origine.

III Détermination de la constante C de torsion du fil et du moment d’inertie J du pendule (méthode dynamique) Hypothèse : l’amortissement des oscillations étant très faible, on confondra la valeur de la pseudo-période des oscillations avec la période propre de l’oscillateur. 1) Moment d’inertie J de la barre du pendule de torsion par rapport à l’axe de rotation

Protocole :

• Placer dorénavant le pendule de torsion verticalement (fil de torsion vertical). • En l’absence de surcharges sur la barre du pendule, mesurer la période des oscillations du pendule à vide (pour une

détermination précise, on mesurera la durée d’un nombre suffisant de périodes). • À partir de l’expression de la période T du pendule en fonction de J et C !, et à partir de la valeur de C déterminée

précédemment, calculer la valeur numérique de J. • On écrit J sous la forme J = kmL2, où m = 53,4 g est la masse de la barre, L sa longueur, et k une constante sans unité.

Déterminer la valeur de k. • Le moment d’inertie d’une barre de masse m, de longueur L et de diamètre négligeable (par rapport à L) est mL2/12.

Quelle serait alors la valeur de k ? Comparer à la valeur précédemment obtenue et commenter. 2) Constante de torsion C du fil

Protocole : • On détermine maintenant la période des oscillations après avoir placé deux surcharges (cylindres rouge et jaune) de

même masse M = 345 g symétriquement par rapport à l’axe de rotation, de telle façon que le centre des masses soit à la distance d de l’axe de rotation du système (confondu avec le fil de torsion). Remplir le tableau ci-dessous :

d (cm) 14 10 8 4 Τ (s)

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• D’après le théorème d’Huygens, l’expression théorique du moment d’inertie de la barre avec les deux masses M placées symétriquement à la distance d de son axe de rotation est J + 2Md2. Réaliser une première estimation de C en utilisant les deux colonnes extrêmes du tableau précédent !. A l’aide du logiciel GUM_MC, déterminer l’incertitude élargie U(C) sur la valeur de C avec un taux de confiance de 95%. On pourra prendre u(M) = 1 g, u(di) = 1 mm avec i = 1 ou 2 et u(Ti) = 0,2 s correspondant approximativement à une incertitude d’un quart de période sur la mesure d’une demi-douzaine de périodes. Proposer un encadrement de C.

• Déterminer plus précisément C à partir du tracé du graphe donnant T2 en fonction de d2 !. Comment peut-on aussi retrouver la valeur de J ?

! (lecture) Annexe : Incertitude sur la pente d’une droite Lorsqu’une valeur expérimentale doit être déterminée à partir de la valeur de la pente d’une droite sur un graphique, l’incertitude sur cette valeur est liée à l’incertitude sur la pente elle-même. La position des points sur le graphique ayant une incertitude, la pente de la droite de tendance présentera elle aussi un domaine d’incertitude. Soit une série de données quelconque, composée des coordonnées de points, saisie sous Excel. On commence par effectuer une régression linéaire pour obtenir la droite passant au plus près de tous les points (clic-droit sur l’un des points d’une série, « Ajouter une courbe de tendance »). Il est possible de faire apparaître sur le graphique les domaines d’incertitude de chaque point. On peut alors définir pour chaque point un « rectangle d’incertitude », dont la hauteur et la largeur sont indiquées par les barres d’incertitude. La droite de tendance devrait généralement toucher au rectangle d’incertitude de tous les points, sans quoi un point peut être considéré comme erratique et il serait alors pertinent de confirmer les mesures de ce point si possible ou à défaut de ne pas en tenir compte et donc l’ôter. On utilise ensuite uniquement les premier et dernier points. Étant donné que ces points pourraient ne pas coïncider avec la droite, la première étape consiste à transposer ces points verticalement vers la droite obtenue par régression. On recréer ensuite autour des nouveaux points les rectangles d’incertitude correspondant aux premier et dernier points. Seuls les coins supérieurs gauches et inférieurs droits de ces deux rectangles seront utilisés (pour une droite de pente positive). On trace les droites extrêmes correspondant à de ces deux paires de points. Les valeurs de pente de ces deux nouvelles droites sont alors les valeurs extrêmes de la pente qui serviront à calculer l’incertitude. Dans l’éventualité où la fonction représentée passe théoriquement par l’origine, les pentes minimale et maximale doivent également passer par l’origine. Dans ce cas, le traitement est simplifié et seul le point le plus éloigné de l’origine doit être utilisé pour déterminer les droites extrêmes (toujours en transposant verticalement le point sur la droite).

Droite de régression

Deux barres d’incertitude = rectangle d’incertitude

Transposition Droites extrêmes