laboratoire d’astrophysique · • en 1859, j. c. maxwell (1831-1879) a établi une formule...

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Cours de physique généralePhysique II pour étudiants de première année

en section de mathématiques

Prof. Georges MeylanLaboratoire d’astrophysique

8 mai 2009cours de la semaine # 11b

Bienvenue au

Site web du laboratoire et du cours :

http://lastro.epfl.ch

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Un travail écrit : unique test, sans bonus• Date : vendredi 15 mai 2009 (attention : nouvelle date)• Heure : de 08:15 à 10:00• Lieu : dans l’auditoire CE 2

Ceux qui ne veulent pas faire le test mais simplement le considérercomme une série d’exercices vont dans la salle CE1 100

• Simulation des conditions d’examen :– Les données des problèmes à résoudre sont distribuées en début

de séance– Les solutions rédigées sont à rendre au plus tard à la fin de la

séance de 2 heures– Matériel autorisé : papier vierge, crayon/stylo, formulaire

personnel manuscrit (maximum : 2 feuilles A4 double face)– Aucun autre matériel n’est autorisé !– Travail individuel en silence– Aucune interaction autorisée entre les étudiants pendant le test

• Les travaux rendus sont corrigés et notés : échelle de 1(-) à 6(+)

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Surface des états d’un gaz parfait

• Définie dans l’espace à 3 dimensions p, V, T comme le lieu des points qui correspondent à des états d’équilibre du système• Donnée par l’équation d’état pV = nRT ( → paraboloïde hyperbolique )

p

T

droites

p

V

V

T

p hyperboleséquilatères

V1

V2

V1

V2

T4

T3T4

T2

T3T2

isothermes=

Attention :contrairement au gazparfait, tous les gazréels se liquéfient àbasse température

Démo : Modèles pression - volume - température # 430

Fig. (ii.4)

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Thermodynamique

Chapitre (iii)

Théorie cinétique des gaz

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Théorie cinétique des gaz

• Etude d’un gaz au niveau microscopique (molécules) :– interprétation de la pression et de la température à l’échelle non pas

macroscopique, mais microscopique

• Hypothèses (pour un gaz parfait) :– Nombre considérable N de molécules, considérées comme des points

matériels de masse m, de taille négligeable, se déplaçant à différentesvitesses sans direction précise, confinés dans une enceinte de volume V

– En moyenne, les molécules restent très éloignées les unes des autres,i.e. que la distance moyenne entre chacune d’elles est très supérieure àleur diamètre

– Elles obéissent aux lois de la mécanique classique et n’interagissent quelorsqu’elles entrent en collisions. Pas de forces à distance, pas d’énergiepotentielle d’interaction : même si elles exercent de forces d’attractionles unes sur les autres entre les collisions, l’énergie potentielle associéeà ces forces est très faible en comparaison de leur énergie cinétique

– Les collisions entre deux molécules ou entre une molécule et une desparois du contenant sont parfaitement élastiques et de très courtesdurée en comparaison du temps qui s’écoule entre chacune d’elles

– Les mouvements sont désordonnés, distribution isotrope des vitesses,pas de vitesse du centre de masse du gaz

Démo : Appareil pour l’étude de la théorie cinétique des gaz # 167

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Théorie cinétique des gaz : calcul de la pression d’un gaz

• Considérons les molécules contenues dans le cubed’arête l et de surface A.

• La force d’une molécule sur la paroi A est égale autaux de changement de sa quantité de mvt p , selonla deuxième loi de Newton :

F = dp/dt (avec des collisions supposées élastiques)

∆(mv) = mvx - (-mvx) = 2mvx (selon la direction x)

• Entre deux collisions de la molécule avec la paroi A,il s’écoule le temps :

∆t = 2l/vx ∆t << 1 ⇒ nombre de collisions par sec >> 1

• La force moyenne (sur beaucoup de collisions) =(force durant une collision)/(temps entre 2 collisions)

F = ∆(mv) / ∆t = (2mvx)/(2l/vx) = mvx2/l due à 1 molécule

Fig. (iii.1 a)

Fig. (iii.1 b)

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Théorie cinétique des gaz : calcul de la pression d’un gaz (suite)

• Le traitement de la composante selon x seulement n’est pas restrictif• Les collisions entre molécules ne changent rien : il y a transfert de quantité

de mouvement p de l’une à l’autre et l’on somme sur un très grand nombre• La force due à toutes les molécules nécessite la somme de toutes les forces

individuelles :

F = (m/l) (vx12 + vx2

2 + vx32 + … + vxN

2)

On cherche la moyenne de la somme des carrés :

vx2 = (vx1

2 + vx22 + … + vxN

2) / N Eq. (iii.1)

d’où : F = (m/l) N vx2

• On a également que : v2 = vx2 + vy

2 + vz2

d’où : v2 = vx2 + vy

2 + vz2

et comme il n’y a pas de direction préférentielle, i.e., isotropie, on a :

vx2 = vy

2 = vz2

d’où : v2 = 3 vx2

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• On remplace dans l’équation de la force nette :

F = (m/l) N (v2/3)

La pression sur la paroi A est donc égale à :

P = F/A = (1/3)(Nmv2)/(lA) avec lA = V = volume ⇒

P = (1/3)(Nmv2)/V Eq. (iii.2)

Après quelques réarrangements, on obtient :

PV = (2/3) N ((1/2)mv2) Eq. (iii.3)

où (1/2)mv2 = énergie cinétique moyenne K des molécules constituant le gaz.Si l’on compare Eq. (iii.3) avec Eq. (ii.1) (PV = NkT) , on voit que :

(2/3) (1/2) mv2 = kT

K = (1/2) mv2 = (3/2) kT Eq. (iii.4) gaz parfait

Pression gazeuse, exprimée en fonction des propriétés microscopiques du gaz,

i.e., de ses molécules

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• Eq. (iii.4) ⇒ l’énergie cinétique moyenne de translation des molécules d’un gaz parfait est directement proportionnelle à sa température Plus la température est grande, plus les vitesses des molécules sont grandes

Eq. (iii.4) fournit la possibilité de calculer la vitesse des molécules.

Les deux Eqs. (iii.1) et (iii.4) sont des quantités utilisant les carrés desvitesses. On peut calculer la racine carrée de la moyenne des vitessesau carré :

vitesse quadratique moyenne Eq. (iii.5)(root mean square velocity)

v = moyenne des vitesses ≠


!

v2

= vrms

=3kT

m

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• Exemple. Vitesse moyenne et vitesse quadratique moyenne :

Huit particules possèdent les vitesses individuelles suivantes :1,0 , 6,0 , 4,0 , 2,0 , 6,0 , 3,0 , 2,0 , 5,0 m/s.

Calculer : et

= ( 1,0 + 6,0 + 4,0 + 2,0 + 6,0 + 3,0 + 2,0 + 5,0 ) / 8 = 3,6 m/s

= √ {[(1,0)2+(6,0)2+(4,0)2+(2,0)2+(6,0)2+(3,0)2+(2,0)2+(5,0)2]/8} = 4,0 m/s

⇒ ≠

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• Exemple. Vitesses des molécules d’air Quelle est la vrms des molécules d’air (O2 et N2) à la température de 20 C ?

• On applique Eq. (iii.5) à l’oxygène et à l’azote séparément car elles ont desmasses individuelles différentes. Sachant que 1 u = 1,66 10-27 kg, la massed’une molécule de O2 (masse moléculaire = 32 u) et la masse d’une moléculede N2 (masse moléculaire = 28 u) sont égales à :

m(O2) = 32 × 1,66 10-27 kg = 5,3 10-26 kgm(N2) = 28 × 1,66 10-27 kg = 4,7 10-26 kg

Pour l’oxygène :

Pour l’azote :

• Remarque. Avec T → 0, la physique classique laisse supposer que v → 0. La physiquequantique ⇒ les mvts des molécules ne cessent pas totalement, même au zéro absolu.

!

vrms =3kT

m=

3(1,3810"23J /K)(293K)

5,310"26kg

= 480 ms"1

!

vrms =3kT

m=

3(1,3810"23J /K)(293K)

4,710"26kg

= 510 ms"1

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Théorie cinétique des gaz : la distribution des vitesses moléculaires

Fig. (iii.2)

• Les molécules dans un gaz possèdent des vitesses aléatoires, donc beaucoupd’entre elles ont des vitesses v < vrms et v > vrms .

• En 1859, J. C. Maxwell (1831-1879) a établi une formule décrivant ladistribution la plus probable des vitesses d’un gaz contenant N molécules.

• Attention :f(v) ne donne pas le nombre de molécules à la vitesse vf(v)dv donne le nombre de molécules avec vitesses entre v et v+dv

avec : m = masse d’une moléculeT = température absoluek = cte de Boltzmann

!

f (v) = 4" Nm

2" kT

#

$ %

&

' (

3 / 2

v2exp )

1

2

mv2

kT

#

$ %

&

' (

une démonstration

ardue⇒ Eq. (iii.6)

distribution maxwellienne des vitesses

maxwellienne ≠ gaussienne

!

" f (v)dv = N0

#

$

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Théorie cinétique des gaz : la distribution des vitesses moléculaires (suite)

• Exemple. Déterminer v et vp

Déterminer les formules exprimant :(a) la vitesse moyenne v

La valeur moyenne d’une quantité = d’où :

Par intégration par parties [f = v2 et dg = v exp(-av2) avec a = (m/(2kT))]

-

!

Niv

i

i

"

Ni

i

"= v

!

v =v f (v)dv

0

"

#f (v)dv

0

"

#=

v f (v)dv0

"

#N

= 4$m

2$ kT

%

& '

(

) *

3 / 2

v3exp +

1

2

mv2

kT

%

& '

(

) * dv

0

"

#

!

v = 4"m

2" kT

#

$ %

&

' (

3 / 2

2k2T2

m2

= 16" 2 m3

(2" kT)3

4k4T4

m4

=8

"

kT

m)1,60

kT

m

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• Exemple. Déterminer v et vp

Déterminer les formules exprimant :(b) la vitesse la plus probable vp des molécules dans un gaz parfait

à température T

La vitesse la plus probable se définit comme la vitesse la plus fréquemmentobservée, i.e., celle pour laquelle f(v) atteint sa valeur maximum. Etantdonné df(v)/dv = 0 à ce point maximum, on trouve que :

En résolvant en fonction de v on trouve :

Une autre solution existe pour v=0, mais cela correspond à un minimum etnon un maximum de f(v).

-

!

df (v)

dv= 4"

m

2" kT

#

$ %

&

' (

3 / 2

2v exp )1

2

mv2

kT

#

$ %

&

' ( )2

2

mv3

kTexp )

1

2

mv2

kT

#

$ %

&

' (

*

+ ,

-

. / = 0

!

2v =mv

3

kT" vp =

2kT

m#1,41

kT

m

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• Résumé.

Eq. (iii.7a) vitesse la plus probable

Eq. (iii.7b) vitesse moyenne

Eq. (iii.7c) vitesse quadratique moyenne

avec : vp < v < vrms

Fig. (iii.3)

!

vp =2kT

m"1,41

kT

m

!

v =8

"

kT

m#1,60

kT

m

!

vrms

=3kT

m"1,73

kT

m

Ces trois vitesses ne dépendent que d’une seule variable d’état :

la température

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• Remarque. Illustration de comment la théoriecinétique des gaz peut expliquer la

présence ou non de réactions chimiques, y compris dans des cellules vivantes, dans des solutions liquides.

Il existe une énergie minimale EA d’activation de la réaction.

Le nombre de molécules possédantune énergie E > EA

augmente très fortement avec la température.

La vitesse de déroulement d’une réaction chimique dépend du nombre de moléculesavec E > EA , dépend de la température.

Cette aile de distribution de particules à grandes vitesses permet d’expliquer en cosmologie pourquoi l’univers était ionisé alors que

la température moyenne était déjà inférieure à la température d’ionisation

Fig. (iii.4)

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• Utilisation de f(v).• Soit un échantillon de gaz d’hélium à T = 300 K contenant N = 106 atomes,

chacun de masse mHe = 6,65 10-27 kg. Trois questions :

(a) Quelle est la vitesse la plus probable vp d’un atome d’He de cet échantillon ?

(b) Estimer combien d’atomes dans cet échantillon ont une vitesse dans l’intervalle entre vp et vp + 40 m/s .

(c) Soit v = 10 vp ; calculer le nombre d’atomes avec des vitesses entre vp et vp + 40 m/s .

Fig. (iii.5)

laboratoire d’astrophysique · • en 1859, j. c. maxwell (1831-1879) a établi une formule...

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