La longue histoire des outils pour « dénombrer » et pour

communiquer de « la quantité »

L’histoire des systèmes de numération

Cette histoire s’étale sur plus de 30 000 ans

… avec une accélération des avancées les 5000 dernières années, c’est à dire à partir

de 3000 ans avant notre ère

3000 ans avant

notre ère

Début de notre ère

30 000 avant notre ère, fin de l’ère paléolithique qui a commencé 2 millions

avant notre ère.

- 30 000 L’an 1

2009

30 000 avant notre ère, l’ère paléolithique

• Durant les 2000000 d’années qu’a duré le paléolithique l’homme s’est organisé progressivement en groupes en groupe organisé, pratiquant la pêche et la cueillette. C’est vers la fin de cette période 30000 ans avant notre ère, du fait de cette évolution, que le besoin de désigner, de comparer, de communiquer des quantités, de dire combien est apparu.

• Aussi, pour mémoriser les quantités : les hommes faisaient des entailles dans du bois ou de l’os à l’aide de silex. Ils utilisaient également des objets, comme des cailloux, des nœuds sur des cordes… avec la mise au point de premiers systèmes de codage : chaque caillou vaut « un », et un tas de cailloux est remplacé par un caillou de nature ou de forme différente (calculi).

Un tas de cailloux est

remplacé par un cailloux

plus gros

Dès 3300 avant notre ère en Mésopotamie première numération de position

• Suivant la place qu'il occupe dans l’écriture, le symbole correspond soit à une unité (1), soit à une soixantaine (60), selon la place qu’il occupe.

• De 1 à 9 les nombres sont écrits par répétitions du clous vertical (), le nombre 10 est représenté par le chevron (). De 11 à 59, on répète les symboles autant de fois que nécessaire (principe additif).

• Le nombre 60 est représenté aussi par un clou vertical mais décalé (principe de position).

14 32 63

Vers 2500 avant notre ère, à Babylone, l’écriture de tous les nombres se fait à l’aide de deux symboles le « clou vertical » () et le « chevron" » () sur des tablettes de terre cuite

De 3000 ans avant notre ère à son apogée 1700 ans avant aujourd’hui la numération maya.

• La numération maya est une numération de position à base 20. C’est à dire qu’il y a 19 chiffres écrits avec pour 1 et — pour 5. Le nombre vingt s’écrit avec mais position décalée vers le haut.

20 14x20x20x20

6 0x20x20

17x20

2x5x20

14 16

Vingt six

Trois cent cinquante quatre

112216 À noter le signe

pour indiquer

la position

vide

&é »

3000 avant notre ère la numération égyptienne

• Les nombres sont écrits sur des papyrus : du fait de la fragilité du support, on a moins de traces de cette numération que pour les numérations de Mésopotamie.

• Leur système de numération ne repose que sur le principe additif, de ce point de vue il est moins performant que celui des mésopotamiens.

Représentation de

nombres jusqu’au

MILLIONIl savent

ADDITIONNER

SOUSTRAIRE

MULTIPLIER

DIVISER

Il peuvent écrire

des

nombres jusqu’au

MILLIONIls sont le

s premiers à

utiliser des FRACTIONS

de dénominateur 1

Les fractions égyptiennes • Toutes les fractions égyptiennes par souci de précision

sont exprimées comme somme de fractions différentes dont le numérateur est 1. Ils utilisent une seule fraction dont le numérateur n’est pas 1, c’est la fraction 2/3.

• 10/7 = 1 + 1/7 + 1/7 + 1/7

7

1

7

1

14

1

14

11

7

1

7

1

7

11

7

10

7

1

7

1

14

1

28

1

28

11

Pour écrire en somme de fractions différentes, la multiplication par 2 joue un rôle important. Comment ferais-tu pour

3/5 ?

7

1

7

1

14

1

28

1

28

11

4

1

7

1

28

11

7

1

4

1

28

11

3

10

La multiplication égyptienne

• Exemple : calcul de 43 x 18• Préparer deux colonnes :• Colonne I : écrire la suite des

doubles à partir de 1.• Colonne II : en « face » écrire la

suite des doubles du plus grand des deux nombres du produit.

• Repérer les nombres de la colonne I dont la somme égale 18

• Additionner les nombres correspondants de la colonne II : c’est le résultat du produit.

Colonne II Colonne I

43 1

86 2

172 4

344 8

688 16

774 18

Pour multiplier il suffit de savoir la table de 2

La division égyptienne

• Exemple : calcul de 325 : 28• Préparer deux colonnes :• Colonne I : écrire la suite des

doubles à partir de 1.• Colonne II : en « face » écrire la

suite des doubles du diviseur.• Retrancher le plus grand double

au dividende : 325 – 224 = 101• Retrancher le plus grand double

au résultat : 101 – 56 = 45• Retrancher le plus grand double

au résultat : 45 – 28 = 17.• 17 est plus petit que le diviseur.

Colonne II Colonne I

28 1

56 2

112 4

224 8

448 16

Pour diviser il suffit de savoir la table de 2

Ainsi le quotient de 325 par 28 est (1+2+8) c’est à dire 11 et le reste est 17

En 1300 avant notre ère : Numération chinoise

• En 1300 avant notre ère les chinois exprimaient les nombres dans un système à base dix où les principes de position et d’addition se combinent.

• Le système dispose d’un symbole pour chaque chiffre de 1 à 10 ainsi que des symboles pour 100 et 1000.

• Aujourd’hui la Chine a adopté la numération indo-arabe mais la numération de cette époque est encore dans les usages.

• Les chinois avaient une technique de la multiplication très astucieuse.

La multiplication chinoiseExemple : calcul de 28 x 45

1. Ecrire 45 décalé d’un rang

2. On calcule 4x2 = 8 centaines.

3. On calcule 5x2 = 10 dizaines.

4. Dix dizaines + 1 centaine = 9 centaines, on efface le 2 utilisé

5. On calcule 8x4 = 32 dizaines

6. 32 dizaines et 9 centaines = 122 dizaines.

7. On calcule 8 x 5 = 40 soit 4 dizaines.

8. 122 dizaines + 40 dizaines = 162 dizaines, on efface le 8 et c’est fini

2a8

4a5aà

2n8

8nnnn

4n5nn

2n8

1n0nn

8nnnn

4n5nn

8

9nnnn

4n5nn

83n2nn

9nnnn

4n5nn

8

1n2n2nn

4n5nn

84n0nn

1n2n2nn

4n5nn

1n6n2n0

4n5nn

1 2 3

654

7 8

Résultat

1620

Vers 500 avant notre ère la numération romaine

1 2 3 4 5 6 9

I II III IV V VI IX

10 19 20 50 100 500 1000

X IXX XX L C D M

Vers 500 avant notre ère les romaines utilisent une numération additive.

Aujourd’hui on l’utilise pour désigner des paragraphes, ou des siècles (XXIième siècle), pour nommer des rois (Louis XIV), même si les symboles ont évolué.

La numération romaine exige beaucoup de signes les calculs étaient bien moins faciles qu’avec la numération égyptienne mais l’usage d’abaques ou de bouliers remédiait au problème.

L’usage du boulier

• Les boules du haut valent 5, celles du bas valent 1. De droite à gauche, on lit les unités, les dizaines, etc

• J’affiche 63 (3 + 10 + 50)• J’ajoute 59

– 7– 2– 30– 20

1 2 2

Vers 400 avant notre ère, la numération grecque …

• Les grecs utilisaient un système de numération à principe additif. • Vers 400 avant notre ère, les grecs mettent au point un nouveau

système qui représente une nette avancée. C’est une numération de base 10. Les signes pour écrire les nombres (chiffres), à l'exception de celui pour 1, sont la première lettre du nom du nombre dans l'alphabet local.

1 5 10 100 1000 10000

ENTE EKA HEKATON XIIOI MYPIOI

I H X M

La notation selon le principe additif (i.e. chiffres romains).

3 ΙΙΙ 9 ΓΙΙΙΙ 400 ΗΗΗΗ  ....

Notre système de numération actuel • Au VIIième, Bagdad est un riche pole scientifique, les arabes, ont

de nombreux contacts avec la civilisation indienne. Ils ont besoin d’améliorer leur système de numération, aussi ils empruntent celui des Indes.

• C'est le perse Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (790 ; 850) qui contribue à la propagation du système de numération indien. Aujourd’hui ce système est adopté par de nombreux pays en utilisant les chiffres dits arabes alors que certains pays arabes on conservés les chiffres hindi

Peut-on retrouver les 10 chiffres

hindi ?

Système binaire• C’est le système d'écriture des nombres conçu par le

savant allemand Gottfried Leibniz (1646-1716). Il comprend deux chiffres : 0 et 1. La base est alors 2.

• Utilisé dans la résolution de certains problèmes de stratégie (0 / 1 OUI / NON) comme les « tour de Hanoï ».

• Aujourd’hui la numération binaire est la base de fonctionnement de l'ordinateur.

17 10001 18 10010 20 10100

25 10?00