probabilités. utilisation dun diagramme pour dénombrer

Probabilités

Utilisation d’un diagramme pour dénombrer

Dans une classe de seconde, il y a 35 élèves. 16 élèves pratiquent le ski. 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent le ski et le surf.

Compléter le diagramme représentant cette situation

Exercice 1

Dans une classe de seconde, il y a 35 élèves. 16 élèves pratiquent le ski. 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent le ski et le surf.

On choisit un élève au hasard.A est l’événement « l’élève choisi pratique le surf ».B est l’événement « l’élève choisi pratique le ski ».Déterminer p(A), p(B), p(AB) et p(AB).

Exercice 1

Dans une classe de seconde, il y a 35 élèves. 16 élèves pratiquent le ski. 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent le ski et le surf.On choisit un élève au hasard.A est l’événement « l’élève choisi pratique le surf ».B est l’événement « l’élève choisi pratique le ski ».Déterminer p(A), p(B), p(AB) et p(AB).

P(A) = 11/35 p(B) =

Exercice 1


P(A) = 11/35 p(B) = 16/35 p(AB) =

Exercice 1


P(A) = 11/35 p(B) = 16/35 p(AB) = 23 / 35 p(AB) =

Exercice 1


P(A) = 11/35 p(B) = 16/35 p(AB) = 23 / 35 p(AB) = 4/35

Déterminer la probabilité des évènements suivants:C=« L’élève choisi ne pratique pas le ski » D=« L’élève choisi ne pratique ni le ski ni le surf »E= F =

Exercice 1

Dans une classe de seconde, il y a 35 élèves. 16 élèves pratiquent le ski. 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent le ski et le surf.On choisit un élève au hasard.A est l’événement « l’élève choisi pratique le surf ».B est l’événement « l’élève choisi pratique le ski ».Déterminer p(A), p(B), p(AB) et p(AB).P(A) = 11/35 p(B) = 16/35 p(AB) = 23 / 35 p(AB) = 4/35C=« L’élève choisi ne pratique pas le ski » p(C)= 19/35Déterminer la probabilité des évènements suivants:D=« L’élève choisi ne pratique ni le ski ni le surf » E= F =

Exercice 1

Dans une classe de seconde, il y a 35 élèves. 16 élèves pratiquent le ski. 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent le ski et le surf.On choisit un élève au hasard.A est l’événement « l’élève choisi pratique le surf ».B est l’événement « l’élève choisi pratique le ski ».Déterminer p(A), p(B), p(AB) et p(AB).P(A) = 11/35 p(B) = 16/35 p(AB) = 23 / 35 p(AB) = 4/35C=« L’élève choisi ne pratique pas le ski » p(C)= 19/35D=« L’élève choisi ne pratique ni le ski ni le surf » P(D) = 12/35Déterminer la probabilité des évènements suivants:E= F =

Exercice 1

Dans une classe de seconde, il y a 35 élèves. 16 élèves pratiquent le ski. 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent le ski et le surf.On choisit un élève au hasard.A est l’événement « l’élève choisi pratique le surf ».B est l’événement « l’élève choisi pratique le ski ».Déterminer p(A), p(B), p(AB) et p(AB).P(A) = 11/35 p(B) = 16/35 p(AB) = 23 / 35 p(AB) = 4/35C=« L’élève choisi ne pratique pas le ski » p(C)= 19/35D=« L’élève choisi ne pratique ni le ski ni le surf » P(D) = 12/35E= p(E) = 12/35 (du ski mais pas du surf)Déterminer la probabilité de:

F =

Exercice 1

Dans une classe de seconde, il y a 35 élèves. 16 élèves pratiquent le ski. 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent le ski et le surf.On choisit un élève au hasard.A est l’événement « l’élève choisi pratique le surf ».B est l’événement « l’élève choisi pratique le ski ».Déterminer p(A), p(B), p(AB) et p(AB).P(A) = 11/35 p(B) = 16/35 p(AB) = 23 / 35 p(AB) = 4/35C=« L’élève choisi ne pratique pas le ski » p(C)= 19/35D=« L’élève choisi ne pratique ni le ski ni le surf » P(D) = 12/35E= p(E) = 12/35 (du ski mais pas du surf)F = p(F) = p(D) = 12/35 (ni ski ni surf)

Déterminer la probabilité des évènements suivants:G = H =

Exercice 1

Dans une classe de seconde, il y a 35 élèves. 16 élèves pratiquent le ski. 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent le ski et le surf.On choisit un élève au hasard.A est l’événement « l’élève choisi pratique le surf ».B est l’événement « l’élève choisi pratique le ski ».Déterminer p(A), p(B), p(AB) et p(AB).P(A) = 11/35 p(B) = 16/35 p(AB) = 23 / 35 p(AB) = 4/35C=« L’élève choisi ne pratique pas le ski » p(C)= 19/35D=« L’élève choisi ne pratique ni le ski ni le surf » P(D) = 12/35E= p(E) = 12/35 (du ski mais pas du surf)F = p(F) = p(D) = 12/35 (ni ski ni du surf)

G = p(G) = 28/35 (du ski ou pas du surf) Déterminer la probabilité de:

H =

Exercice 1


G = p(G) = 28/35 (du ski ou pas du surf) H = p(H) = 31/35 (pas de ski ou pas du surf)

Déterminer la probabilité des évènements suivants:I = J =

Exercice 1



I = p(I) = 12/35 (pas de (ski ou surf) ) Déterminer la probabilité de: J =

Exercice 1



I = p(I) = 12/35 (pas de (ski ou surf) ) J = p(J) = 31/35 (pas de (ski et surf) )

On peut remarquer que : = et =

Exercice 1

Utilisation d’un arbre pour dénombrer

On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie et on note les résultats. Exemple d’une éventualité de cette expérience: Face, Face, Pile ( FFP )

1. Faire un arbre correspondant à cette expérience.

Exercice 2

On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie et on note les résultats. Par exemple: Face, Face, Pile : « FFP »

1. Faire un arbre correspondant à cette expérience.2. Quelle est la probabilité d’obtenir «FFF»?

Exercice 2


1. Faire un arbre correspondant à cette expérience.2. Quelle est la probabilité d’obtenir «FFF»? 1 / 83. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 F (et 1P)?

Exercice 2


1. Faire un arbre correspondant à cette expérience.2. Quelle est la probabilité d’obtenir «FFF»? 1/83. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 F (et 1P)? 3/8 4. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 1 F?

Exercice 2


1. Faire un arbre correspondant à cette expérience.2. Quelle est la probabilité d’obtenir «FFF»? 1/83. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 F (et 1P)? 3/8 4. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 1 F? 7/8 Evènement contraire: « obtenir aucun F » = « PPP » : p(« PPP ») = 1/8Donc la probabilité d’obtenir au moins 1 F = 7/85. Quelle est la probabilité d’obtenir le même résultat au 1er lancer et au 3ème lancer?

Exercice 2


1. Faire un arbre correspondant à cette expérience.2. Quelle est la probabilité d’obtenir «FFF»? 1/83. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 F (et 1P)? 3/8 4. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 1 F? 7/8 5. Quelle est la probabilité d’obtenir le même résultat au 1er lancer et au 3ème lancer? 4/8

Exercice 2

Utilisation d’un arbre de probabilité

pour dénombrer

On tire successivement et sans remise 2 cartes au hasard d’un jeu de 12 cartes composée des 4 as, 4 rois et 4 dames: {A;A;A;A; R;R;R;R; D;D;D;D}.On note la hauteur des cartes. Par exemple: (R;R) : « RR»

1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités.p(« AA »)=4/12*3/11 = 3/44 ; p(« AR »)= 4/12*4/11 = 4/44 = 1/11etc … (probabilités indiquées sur l’arbre) 3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités.3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/33p({AR;AD;RA;DA}) = 4/33+4/33+4/33+4/33 = 16/33 4. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités.3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/334. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as. 14/33p({RR;RD;DR;DD}) = 3/33+4/33+4/33+3/33 = 14/335. Calculer la probabilité d’obtenir aucun roi.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités. 3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/334. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as. 14/33 5. Calculer la probabilité d’obtenir aucun roi. 14/33 Même chose que précédemment; Dames, Rois et As sont interchangeables6. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hauteurs identiques.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités. 3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/334. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as. 14/33 5. Calculer la probabilité d’obtenir aucun roi. 14/336. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hauteurs identiques. 3/11 p({AA;RR;DD}) = 3*3/33 = 9/33 = 3/117. Calculer la probabilité d’obtenir 2 cartes consécutives ( par exemple RD, RA,..).

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités.3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/334. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as. 14/33 5. Calculer la probabilité d’obtenir aucun roi. 14/336. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hauteurs identiques. 3/117. Calculer la probabilité d’obtenir 2 cartes consécutives. 16/33 p({AR;RA;RD;DR}) = 4*4/33 = 16/338. E est l’événement « La première carte est un roi ».F est l’événement « la deuxième carte est un roi ». Calculer les probabilités de E et F.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités.3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/334. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as. 14/33 5. Calculer la probabilité d’obtenir aucun roi. 14/336. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hauteurs identiques. 3/117. Calculer la probabilité d’obtenir 2 cartes consécutives. 16/33 8. E est l’événement « La première carte est un roi ».F est l’événement « la deuxième carte est un roi ». Calculer les probabilités de E et F. p(E)=1/3 p(E) = p({RA;RR;RD}) = 4/12 = 1/3

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités.3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/334. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as. 14/33 5. Calculer la probabilité d’obtenir aucun roi. 14/336. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hauteurs identiques. 3/117. Calculer la probabilité d’obtenir 2 cartes consécutives. 16/33 8. E est l’événement « La première carte est un roi ».F est l’événement « la deuxième carte est un roi ». Calculer les probabilités de E et F. p(E)=1/3 p(F)=1/3 p(F) = p({AR;RR;DR}) = 4/33+3/33+4/33 = 11/33 =1/3 9. Calculer la probabilités de EF.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités.3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/334. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as. 14/33 5. Calculer la probabilité d’obtenir aucun roi. 14/336. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hauteurs identiques. 3/117. Calculer la probabilité d’obtenir 2 cartes consécutives. 16/33 8. E est l’événement « La première carte est un roi ».F est l’événement « la deuxième carte est un roi ». Calculer les probabilités de E et F. p(E)=1/3 p(F)=1/3 9. Calculer la probabilités de EF. p(EF) = 1/11 p(EF) = p({RR}) = 3/33 = 1/1110. Calculer la probabilités de EF.

Exercice 3


1. Faire un arbre de probabilité correspondant à cette expérience.2. Calculer les probabilités de ces 9 éventualités. 3. Calculer la probabilité d’obtenir un as exactement. 16/334. Calculer la probabilité d’obtenir aucun as. 14/33 5. Calculer la probabilité d’obtenir aucun roi. 14/336. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hauteurs identiques. 3/117. Calculer la probabilité d’obtenir 2 cartes consécutives. 16/33 8. E est l’événement « La première carte est un roi ».F est l’événement « la deuxième carte est un roi ». Calculer les probabilités de E et F. p(E)=1/3 p(F)=1/3 9. Calculer la probabilités de EF. p(EF) = 1/11 10. Calculer la probabilités de EF. p(EF) = 19/33 p(EF) = p(E) + p(F) - p(EF) = 1/3 + 1/3 - 1/11 = 19/33ou p(EF)=p({RA;RR;RD;AR;DR}) = 4/33+3/33+4/33+4/33+4/33 = 19/33

Exercice 3

Utilisation de la techniquedes « cases vides »

pour dénombrer

Un QCM (Questions à Choix Multiple) possède 4 questions; pour chacune des questions, il est proposé 3 réponses (notée 1-2-3) dont une seule est juste.

La grille de réponses justes est :

Chaque réponse juste est récompensée de 5 points. Chaque réponse fausse est sanctionnée de -2 point. JB qui n’a rien appris, répond au hasard aux 4 questions.

1. Combien y a-t-il de grilles de résultats possibles?

Exercice 4




1. Combien y a-t-il de grilles de résultats possibles? 812. Quelle est la probabilité que JB ait 20/20?

Exercice 4




1. Combien y a-t-il de grilles de résultats possibles? 812. Quelle est la probabilité que JB ait 20/20? 1/81 1,2%3. Quelle est la probabilité que JB ait 3 réponses justes et 1 réponse fausse (13/20)?

Exercice 4




1. Combien y a-t-il de grilles de résultats possibles? 812. Quelle est la probabilité que JB ait 20/20? 1/81 1,2%3. Quelle est la probabilité que JB ait 13/20? 8/81 9,9%Il y a 4 possibilités suivant la position de la réponse fausse:

Pour chacune de ces possibilités, il y a 2*1*1*1 = 2 grilles possibles.Donc il y a 4*2 = 8 grilles ayant 3 réponses justes et 1 réponse fausse. La probabilité que JB ait une note de 13/20 est 8/81 9,9%.4. Quelle est la probabilité que JB ait 1 réponse juste et 3 réponses fausses (1/20)?

Exercice 4




1. Combien y a-t-il de grilles de résultats possibles? 812. Quelle est la probabilité que JB ait 20/20? 1/81 1,2%3. Quelle est la probabilité que JB ait 13/20? 8/81 9,9%4. Quelle est la probabilité que JB ait 1/20? 32/81 39,5% Il y a 4 possibilités suivant la position de la réponse juste:

Pour chacune de ces possibilités, il y a 2*2*2*1 = 8 grilles possibles.Donc il y a 4*8 = 32 grilles ayant 3 réponses fausses et 1 réponse juste. La probabilité que JB ait une note de 1/20 est 32/81 39,5%.5. Quelle est la probabilité que JB ait tout faux (-8/20)?

Exercice 4




1. Combien y a-t-il de grilles de résultats possibles? 812. Quelle est la probabilité que JB ait 20/20? 1/81 1,2%3. Quelle est la probabilité que JB ait 13/20? 8/81 9,9%4. Quelle est la probabilité que JB ait 1/20? 32/81 39,5% 5. Quelle est la probabilité que JB ait -8/20? 16/81 19,8% Il y a 2*2*2*2 = 16 grilles correspondant à « tout faux »La probabilité d’avoir tout faux est donc 16/81 19,8%

6. Enfin, quelle est la probabilité que JB ait 6/20 (2 juste et 2 fausses)?

Exercice 4




1. Combien y a-t-il de grilles de résultats possibles? 812. Quelle est la probabilité que JB ait 20/20 (0 faute)? 1/81 1,2%3. Quelle est la probabilité que JB ait 13/20 (1 faute)? 8/81 9,9%4. Quelle est la probabilité que JB ait 1/20 (3 fautes)? 32/81 39,5% 5. Quelle est la probabilité que JB ait -8/20 (4 fautes)? 16/81 19,8% 6. Enfin, quelle est la probabilité que JB ait 6/20 (2 justes et 2 fausses)? 24/81 29,6% 1ère méthode:Sur les 81 grilles, il y a : 1 grille avec 0 faute, 8 grilles avec 1 faute, 32 grilles avec 3 fautes et 16 grilles avec 4 fautes.Il y a donc 81 – (1+8+32+16) = 24 grilles avec 2 fautes.La probabilité d’avoir 6/20 est donc 24/81 29,6%

Exercice 4




1. Combien y a-t-il de grilles de résultats possibles? 812. Quelle est la probabilité que JB ait 20/20 (0 faute)? 1/81 1,2%3. Quelle est la probabilité que JB ait 13/20 (1 faute)? 8/81 9,9%4. Quelle est la probabilité que JB ait 1/20 (3 fautes)? 32/81 39,5% 5. Quelle est la probabilité que JB ait -8/20 (4 fautes)? 16/81 19,8% 6. Enfin, quelle est la probabilité que JB ait 6/20 (2 justes et 2 fausses)? 24/81 29,6% 2ème méthode: Il y a 4 possibilités suivant les position des réponses justes:Il y a donc 6*2*2*1*1 = 24 grilles Qui ont 2 juste et 2 faux.La probabilité 2 justes et 2 fausses = 24/81 29,6%

Exercice 4

Utilisation des tableaux à double entréespour dénombrer

Dans un lycée, 10% des élèves pratiquent un sport et joue d’un instrument de musique.35% des élèves pratiquent un sport seulement (sans pratiquer un instrument de musique).40% des élèves ne pratiquent ni sport ni musique.On choisit un élève au hasard et on note:

S l’événement « l’élève pratique un sport » M l’événement « l’élève joue d’un instrument de musique »

1. Compléter le tableau ci-contre.

Exercice 5



1. Compléter le tableau ci-contre.2. Calculer la probabilité que l’élève ne pratiquepas de sport mais joue d’un instrument de musique.

Exercice 5



1. Compléter le tableau ci-contre.2. Calculer la probabilité que l’élève ne pratiquepas de sport mais joue d’un instrument de musique. 0,15

3. Calculer la probabilité que l’élève pratique un sport.

Exercice 5



1. Compléter le tableau ci-contre.2. Calculer la probabilité que l’élève ne pratiquepas de sport mais joue d’un instrument de musique. 0,153. Calculer la probabilité que l’élève pratique un sport. 0,45

4. Calculer la probabilité que l’élève joue d’un instrument.

Exercice 5



1. Compléter le tableau ci-contre.2. Calculer la probabilité que l’élève ne pratiquepas de sport mais joue d’un instrument de musique. 0,153. Calculer la probabilité que l’élève pratique un sport. 0,45 4. Calculer la probabilité que l’élève joue d’un instrument. 0,25

5. Calculer la probabilité que l’élève joue d’un instrument ou pratique un sport.

Exercice 5



1. Compléter le tableau ci-contre.2. Calculer la probabilité que l’élève ne pratiquepas de sport mais joue d’un instrument de musique. 0,153. Calculer la probabilité que l’élève pratique un sport. 0,45 4. Calculer la probabilité que l’élève joue d’un instrument. 0,25

5. Calculer la probabilité que l’élève joue d’un instrument ou pratique un sport. 0,60

Exercice 5

Utilisation d’un tableaupour dénombrer

Un portefeuille contient 1 billet de 20€, 2 billets de 10€ et 2 billets de 5€. On prend au hasard, successivement et sans remise, 2 billets dans ce portefeuille. On s’intéresse à la somme d’argent obtenue.

1. Faire un tableau correspondant à la situation.

Exercice 6

Un portefeuille contient 1 billet de 20€, 2 billets de 10€ et 2 billets de 5€.On prend au hasard 2 billets dans ce portefeuille.On s’intéresse à la somme d’argent obtenue.

1. Faire un tableau correspondant à la situation.2. Quelle est la probabilité de:

La somme obtenue est 15€.

Exercice 6

Un portefeuille contient 1 billet de 20€, 2 billets de 10€ et 2 billets de 5€.On prend au hasard 2 billets dans ce portefeuille.On s’intéresse à la somme d’argent obtenue.


La somme obtenue est 15€. 8/20 La somme obtenue est > 20€ .

Exercice 6

Un portefeuille contient 1 billet de 20€, 2 billets de 10€ et 2 billets de 5€.On prend au hasard, successivement et sans remise, 2 billets dans ce portefeuille.On s’intéresse à la somme d’argent obtenue.


La somme obtenue est 15€. 8/20 La somme obtenue est > 20€ . 8/20 Les deux billets ont la même valeur .

Exercice 6



La somme obtenue est 15€. 8/20 La somme obtenue est > 20€ . 8/20 Les deux billets ont la même valeur . 4/20 Les deux billets ont des valeurs différentes .

Exercice 6



La somme obtenue est 15€. 8/20 La somme obtenue est > 20€ . 8/20 Les deux billets ont la même valeur . 4/20 Les deux billets ont des valeurs différentes.16/20 Les deux billets ont des valeurs différentes et la somme obtenue est >20€.

Exercice 6



La somme obtenue est 15€. 8/20 La somme obtenue est > 20€ . 8/20 Les deux billets ont la même valeur . 4/20 Les deux billets ont des valeurs différentes.16/20 Les deux billets ont des valeurs différentes et la somme obtenue est > 20€. 8/20 Les deux billets ont des valeurs différentes ou la somme obtenue est > 20€.

Exercice 6



La somme obtenue est 15€. 8/20 La somme obtenue est > 20€ . 8/20 Les deux billets ont la même valeur . 4/20 Les deux billets ont des valeurs différentes.16/20 Les deux billets ont des valeurs différentes et la somme obtenue est > 20€. 8/20 Les deux billets ont des valeurs différentes ou la somme obtenue est > 20€. 16/2016/20 + 8/20 – 8/20 = 16/20 Il n’y a pas de billet de 10€

Exercice 6



La somme obtenue est 15€. 8/20 La somme obtenue est > 20€ . 8/20 Les deux billets ont la même valeur . 4/20 Les deux billets ont des valeurs différentes.16/20 Les deux billets ont des valeurs différentes et la somme obtenue est > 20€. 8/20 Les deux billets ont des valeurs différentes ou la somme obtenue est > 20€. 16/2016/20 + 8/20 – 8/20 = 16/20 Il n’y a pas de billet de 10€. 6/20 Il y a au moins un billet de 10€.

Exercice 6



La somme obtenue est 15€. 8/20 La somme obtenue est > 20€ . 8/20 Les deux billets ont la même valeur . 4/20 Les deux billets ont des valeurs différentes.16/20 Les deux billets ont des valeurs différentes et la somme obtenue est > 20€. 8/20 Les deux billets ont des valeurs différentes ou la somme obtenue est > 20€. 16/2016/20 + 8/20 – 8/20 = 16/20 Il n’y a pas de billet de 10€. 6/20 Il y a au moins un billet de 10€. 14/20 C’est l’événement contraire du précédent: 1 - 6/20 = 14/20

Exercice 6

probabilités. utilisation dun diagramme pour dénombrer

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