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Journée GéoAlgo 20107/05/2010

IREM

ALGOBOX

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX

1. L’auteur d’Algobox2. Les points forts d’Algobox3. Quelques exemples simples4. Des activités qui peuvent être faites par les élèves5. Conclusion

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX1. L’auteur

Pascal Brachet est professeur de maths au lycée Bernard Palissy d'Agen.

En dehors du travail, il s'intéresse aux logiciels libres, programme… est l'auteur de logiciels

Dès avril 2009, après la publication du projet de programme pour la seconde, il pense créer un logiciel dont le cahier des charges serait le suivant :

- installable facilement et gratuitement à la fois par les professeurs et les élèves- facile d'utilisation pour tous les débutants (élèves et professeurs) - logiciel qui se concentre sur l'apprentissage des structures de base de l'algorithmique - logiciel qui permettent de tester et d'exécuter les algorithmes - logiciel simple mais assez complet pour traiter tous les algorithmes de niveau lycée - logiciel qui puisse être modifié à loisir par d'autres

En juin 2009, il propose une première version limitée. Les réactions des utilisateurs furent favorables. Il poursuivit donc le développement d’Algobox ... Le tout sans aucune décharge horaire et gratuitement (Voilà un saint laïc!!!)

Des mises à jour sont depuis régulièrement disponibles, tenant compte des suggestions que nous pouvons lui faire. La dernière version (0.5) est disponible depuis avril 2010

http://www.xm1math.net/algobox/.

http://www.xm1math.net/algobox/changelog.html

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX2. Les points forts

· Obligation de déclarer les variables


· Obligation de déclarer les variables· 3 types de variables: nombre (flottant)

Liste (matrice n*1 ou n*2)Chaine




· Possibilité de commentaires, présentation




· Possibilité de commentaires, présentation· L’algorithme apparaît très structuré




· Possibilité de commentaires, présentation· L’algorithme apparaît très structuré · Erreurs de syntaxe très limité grâce à la rigidité de l’interface: utilisation de boutons, les textes tapés sont réduits à minima.

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX3. Exemples simples

Exemple 1 :

Afficher la liste des diviseurs d’un entier n strictement positif.

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX3. Exemples simples

Exemple 2 :Tracer (point par point) la courbe d’une fonction périodique.La fonction est x 1 - x² sur [-1;1]et de période 2. La courbe est à tracer dans [-2;5]


1. L’auteur d’Algobox2. Les points forts d’Algobox3. Quelques exemples simples4. Des activités qui peuvent être faites par les élèves5. Conclusions

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX4. Activités

Activité 1 (seconde)

Il faut tracer la parabole y=x² et la droite y=x, puis colorier la partie située entre les deux.

On peut colorier avec des segments ou avec des points


Activité 1 variante (seconde)

Il faut tracer la parabole y=x² et la droite y=x, puis hachurée la partie située entre les deux.

Pour hachurer, il faut trouver x1 et x2, solutions de -x+p=x et –x+p=x²

x1 = p/2 et x2 = -0,5 + racine(p+0.25)

P doit varier de 0 à 2…


Activité 2 suite logistique (terminal): Un+1 = k*Un (1-Un) U1[0;1] k [0;4]

Les cas où k [0 ;1] (U est décroissante, convergente vers 0) k]1 ;2] (U est monotone, convergente vers 1-1/k)k]2 ;3] (U est « en escargot », convergente vers 1-1/k)

sont très classiques, les conjectures sont faciles et les démonstrations sans problèmes… k ]2 ;1+ [ est beaucoup moins classique: il y a deux points d’accumulationdémonstrations très difficiles pour un élève de terminal..


Activité 2 suite logistique (terminal): Un+1 = k*Un (1-Un) U1[0;1] k [0;4]

Le cas k=4 et U1= sin²(p/17) est curieux: la suite est de cycle 4.

Mais à cause des erreurs de calculs de la machine, la suite devient chaotique

U2= 4*sin²(p/17)(1-sin²(p/17)) = 4sin²(p/17)cos²(p/17) = sin²(2p/17)U3= 4*sin²(2p/17)(1-sin²(2p/17)) = 4sin²(2p/17)cos²(2p/17) = sin²(4p/17)U4= 4*sin²(4p/17)(1-sin²(4p/17)) = sin²(8p/17) U5= sin²(16p/17) = sin²(p/17) = U1


Activité 3 Euler sur une équation différentielle (première): y’ = 2xy sur [0;1] y(0)=1

La solution de cette équation est sol(x) = exp(x²).


Activité 4 Monte – Carlo (seconde)

La méthode: On choisis au hasard n points de ]0;1[² . On compte le nombre k de points situés « sous la courbe » d’équation y=x².Le rapport k/n est une valeur approchée à 1/n près de la probabilité qu’un point pris au hasard dans le carré soit sous la courbe, avec un risque d’erreur de 5%.. En plus, on a: aire du carré * k / n est une valeur approchée de l’aire sous la courbe.

Pourquoi: X est la variable aléatoire qui, à chaque point M(x,y) du carré ]0;1[ associe 1 si le point M est sous la courbe (y<x²) et 0 sinon.

X suit une loi de Bernouilli avec p=aire sous la courbe = 1/3

Quand on réalise n expériences indépendantes (on choisit au hasard n points M), la variable aléatoire Yn = somme (Xi) suit une loi binomiale B(n,p) d’espérance np =n/3, variance npq=2n/9



Quand n « devient grand », B(n,p) est « proche» de la loi normale d’espérance np et variance npq. Ci-dessous: n=100, p=1/3

Si Zn = Yn / n, Zn suit une loi proche de la loi normale

d’espérance p et de variance pq/n, d’écart type s=(p(1-p))/(n).Or (p(1-p)) 0,5 quand p est dans [0;1], on a donc s 0,5/n .

Pour une loi normale, 95% de l’effectif est entre E-2 s et E+2 s ,Donc, on a environ 95% de l’effectif entre p - 1/n et p+1/n.

Il en résulte que la méthode de Monte-Carlo, pour un calcul d’aire, donne (pour un nombre de points de 10 000) une valeur approchée de l’aire (erreur relative de 1%) avec un risque d’erreur de 5%.



Activité: Calcul d’aireEn utilisant la méthode de Monte Carlo, donner une approximation (à 0,1 près) de l’aire de la surface colorée comprise entre la parabole (y=x²) et la droite (y=2x+1,25).

Les coordonnées des points d’intersection sont :(0,5 ; 0,25) et (2,5 ; 6,25).

L’aire du rectangle est 18,75.L’erreur de l’approximation de l’aire cherchée par la méthode de Monte-Carlo est 18,75/n doit être inférieur à 0,1, Donc n doit être supérieur à 187,5²Soit n > 36 000



Résultats: Calcul d’aireRésultat exact : 4,5


Activité 5 Zoomer avec des fonctions affines (seconde)

Dans un premier temps, on trace les ensembles {M(x,x), x[0;1]} et {M( x,x²), x[0;1]} Ensuite on trace les ensembles {M(f(x),f(x)), x[0;1]} et {M( f(x),f(x²)), x[0;1]}avec f : x 2x+2.

On peut ensuite faire trouver la fonction affine f qui réalise le dessin ci-dessous par exemple.



Même question en un peu plus compliqué (avec 2 fonctions affines f sur les abscisses et g sur les ordonnées)



encore un peu plus compliqué (avec une fonction usuelle f sur les abscisses et une fonction affine sur les ordonnées)


Activité 6 une rosace et une frise (seconde)

A partir d’un arc de parabole {M(x,x²), x[0;1]}, en utilisant les symétries, on trace une rosace:{M1(x²,x), M2(-x,x²), M3(-x²,x), M4(-x,-x²), M5(-x²,-x), M6(x,-x²), M7(x²,-x), x[0;1]}


Activité 6 une frise (seconde)

Puis à l’aide de translations, on créé la rosace

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX4. ActivitésActivité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde)

Dans un repère orthonormé (O,I,J):On trace le cercle de centre O(0;0) et rayon 100 et le carré [-100;100]².On choisit au hasard un point à coordonnées entières situé à l’intérieur du carré (sens large). Quelle est la probabilité que ce point soit à l’intérieur du carré (sens large)?On trouve que la proba est 31417 / 40401


Activité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde)

On réalise un échantillonnage de 1600 essaisd’un point à coordonnées entières choisi au hasard dans le carré; on veut connaître la fréquence de l’événement « le point est à l’intérieur du disque ».

Comparer avec la probabilité du même événement (p = 31417 / 40401) :Est-il dans l’intervalle [p-1/1600; p+1/1600] ?


Activité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde)

On réalise 200 échantillonnages de 1600 essais chacun en s’intéressant à la fréquence de l’événement « le point est dans le disque ».

Représenter graphiquement la fluctuation d’échantillonnage avec l’intervalle de confiance.

Combien d’échantillons sont hors de l’intervalle? Quelle pourcentage cela représente-t-il?


Activité 8 Evolution d’une population (délire personnel)

La population est découpée en 5 tranches d’âge:[0;20[ : « les enfants » [20;40[ : « les reproducteurs »[40;60[ : « les mûrs »[60;80[ : « les retraités »[80;100[ : « les chrysanthèmes »

Chaque tranche a son taux de natalité et de mortalité, ainsi que son effectif:TM = [0.6 ; 0.2 ; 0.3 ; 0.4 ; 1]TN = [0 ; 2.4 ; 0.2 ; 0 ; 0]A chaque période k (une génération = 20 ans),chaque tranche d’âge q (q variant de 1 à 5) a son effectif POP[k,q]. On a ainsi:

Il ne reste plus qu’à programmer l’évolution de la population totale et la répartition entre génération


Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel)

Notes et fréquences:Ajouter une octave c’est multiplier la fréquence par 2:Toutes les notes entre D01 et D02 sont dans l’octave 1 etc.

Les différentes notes de la gamme de Pythagore s’obtiennent par ajout de quintes.Ajouter une quinte, c’est multiplier la fréquence par 1,5:



Gammes:Et on continue ce cycle des quintes.On construit ainsi à partir de DO, à l’aide de 5 quintes ascendantes et 1 quinte descendante, les 7 notes : FA - DO – SOL - RE – LA – MI - SI (notes blanches du piano)C’est la gamme diatonique.

Si on ajoute encore des quintes, on obtient 5 autres notes, proches de notes déjà créées:FA# - DO# - SOL# - RE# - LA# - C’est la gamme chromatique de 12 notes

Le problème mathématique est de savoir si, en ajoutant des quintes, on peut retomber sur une note déjà créée (voir si le cycle des quintes « boucle »).Ou encore s’il existe q et n entiers non nuls tels que q quintes = n octavesOu encore si 1,5q = 2n ou encore 3q = 2n+q .

Il n’y a évidemment pas de solution (une puissance de 2 ne peut être égale à une puissance de 3)

Mais on peut chercher les meilleures solutions approchées pour déterminer le nombre de notes des gammes les plus efficaces .



Les meilleures gammes:Pour chaque octave n variant de 2 à (60 par exemple), on cherche le nombre de quintes q qui est le plus proche: 1,5q 2n . Puis on affichera l’erreur relative Abs(2n - 1,5q)/2n .

Meilleurs résultats:5 quintes: (gamme pentatonique dite »chinoise) DO – SOL – RE – LA – MI (– SI)(SI et DO sont confondus) ou FA# – DO # – SOL # – RE # – LA #

ou SOLb – REb – LAb – MIb – SI b

(notes noires du piano)

7 quintes: (gamme diatonique) FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI (–FA#) (FA et FA# sont confondus: erreur = 1 dièse)

12 quintes: (gamme chromatique) FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI – FA# – DO # – SOL # – RE # – LA # (–MI #) (FA et MI # sont confondus; erreur = 1 comma) ou SOLb – REb – LAb – MIb – SI b

– FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI

17 quintes: SOLb – REb – LAb – MIb – SI b – FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI – FA# – DO # – SOL # – RE # – LA # ( – MI #)



Une autre méthode: les fractions continuéesRésoudre 1,5q 2n revient à q Ln(1,5) n Ln(2) ou encore q/n Ln(2) /Ln(1,5)Il faut trouver les meilleurs rationnels q/n approximant x = Ln(2) /Ln(1,5).On trouve :

Cela donne les meilleurs rationnels approximant x:

On retrouve: 5 quintes 3 octaves gamme pentatonique 12 quintes 7 octaves gamme chromatique 53 quintes 31 octaves


Activité 10 Des générateurs de loi : loi normale, loi exponentielle (outils)

Loi exponentielleLa formule « - m ln( random() ) » où random() est le loi uniforme du logiciel, permet de simuler la loi exponentielle de paramètre 1/m (m est l’espérance de la loi)On peut le vérifier sur l’exemple suivant...

Loi exponentielle de paramètre 1/3( m=3)


Activité 10 Des générateurs de loi : loi normale, loi exponentielle (outils)

Loi normale d’espérance m et écart type sLa formule « m + (-2 Ln(random) ) * cos(2p*random) » permet de simuler la loi normale N(m,s) - Méthode de Box-Muller. On peut le vérifier sur l’exemple suivant : 10 000 notes entières au hasard suivant la loi normale N(10,2)...


Activité 10 Des générateurs de loi

Loi normale d’espérance m et écart type s2 autres exemples: 1000 pts M(x,y) au hasard, x et y suivent N(0,1) 1000 pts M(r,q) au hasard, r: N(0,1) et q: uniforme sur[0;2p]


1. L’auteur d’Algobox2. Les points forts d’Algobox3. Quelques exemples simples4. Des activités qui peuvent être faites par les élèves5. Conclusions

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX5. Conclusion

ConclusionAlgobox permet à l’évidence de traiter complètement les algorithmes de seconde et de 1ère.

Mais:

Quelques manquements pour la classe de Terminale: pas de sous programmes

pas de récursivité

écran graphique limité: Peu de couleurs, pas de gomme…Modification de la fenêtre graphique dans l’algorithme

Pas de tortue logo

Sinon on peut quasiment tout faire avec Algobox ….

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