Introduction au logiciel GAMSIntroduction au logiciel GAMS

NouakchottNouakchott 20032003

I. IntroductionI. Introduction

Le logiciel GAMS (General Algebraic ModelingSystem) a été à l’origine développé par un groupe d’économistes de la Banque Mondiale avec pour objectif de faciliter la résolution de grands modèles complexes et souvent non-linéaires à partir d’un ordinateur personnel. GAMS permet donc de résoudre un système d’équation simultanées non-linéaires avec ou sans fonction objectif à optimiser.

(i) Simplicité (dans l’implémentation)

(ii) Facilité des mises à jour technique (grâce à de nouveaux alogorithmes régulièrement)

grands avantages du logiciel GAMS.

Dans le logiciel initial, le programme devait être crée en format ASCII dans un éditeur de texte traditionnel et tournait avec une commande dos.

Le développement récent de l’interface GAMS-IDE rend le logiciel d’utilisation plus facile. GAMS-IDE possède son propre éditeur de texte (compatible avec windows 95) avec la possibilité de lancer et de suivre la compilation et l’exécution du programme à l’écran.

Un sous-module GAMS a récemment été développé pour faciliter les transferts avec Excel ou d’autres tableurs.

II. II. Architecture de la programmation Architecture de la programmation dans GAMSdans GAMS

1. Structure du code GAMS 1. Structure du code GAMS

Un MEGC programmé dans GAMS peut se décomposer en 3 modules : – Entrée des données (Étape 1), – Spécification du modèle (Étape 2) – Procédure de résolution (Étape 3).

Le graphique suivant donne une illustration d’ensemble de la structure du logiciel GAMS (les mots-clés sont indiqués en gras).

Etape 3 : Résolution

Solve : résolutionprésentation des résultats

Etape 2 : Modèle

Variables : déclaration des variables

Equations : définition etdéclaration des équations

Model : definitiondu modèle

Etape 1 : données

set : déclaration et définitionsdes ensembles

Parameter : declaration et définition des paramètres

Assignation des donnéesdisplay : présente les

données intermédiares

Quelques rQuelques rèègles ggles géénnéérales doivent rales doivent êêtre respecttre respectéées dans la es dans la programmation GAMS :programmation GAMS :

Il faut toujours déclarer chaque élément avant de les utiliser. Les ensembles et les paramètres doivent toujours être déclarés au tout début du programme.

Même si ce n’est pas toujours nécessaire, une bonne habitude est de toujours mettre un « ; » à la fin d’une commande afin d’éviter des erreurs de compilation.

GAMS permets de mettre sur la même ligne plusieurscommande ou de mettre une commande sur chaqueligne. Cette procédure peut aider à réduire la longueurdu code ou faciliter l’impression.

GAMS ne distingue pas les lettres minuscules des lettres capitales.

Les noms donnés à Set, Parameters, Variable, Equationou Model doivent commencer par une lettre et nedoivent pas avoir plus de 9 caractères. Les mots-clésne doivent pas être utilisés pour déclarer un élément..

Les principales fonctions mathématiques sont les suivantes :

Multiplication * Égalité dans une opération = Logarithme LOG(.)

Soustraction - Sommation SUM(set domain, element) Maximum MAX(.,.)

Addition + Produit PROD(set domain, element) Minimum MIN(.,.)

Division / Valeur absolue ABS(.) Puissance ** Exponentielle EXP(.)

2.2. ProcProcééduredure de de rréésolutionsolution et et prpréésentationsentation des des rréésultatssultats

Après avoir écrit le code GAMS, il sera sauvegarder avec l’extention‘.gms’. Le nom du fichier doit respecter les contraintes dos standards (8 caractères max sans symbole).

La commande RUN dans le menu de GAMS-IDE (F9) peut être utilisée.

Le fichier de résultat créé par cette procédure a le mêmenom que le programme initial mais avec l’extention ‘.lst’. Ce fichier contient soit le programme initial avec l’identification des erreurs compilées s’il y en a, soit les résultats par défaut décrits ci-après :

Output dans le fichier ‘nom.lst’

rappel du programme initialliste des équationsla liste des colonnesles statistiques du modèlele résumé de la résolutionles résultats

III. III. Ecrire Ecrire un programme GAMSun programme GAMS

1.La 1.La calibrationcalibration

La première étape du processus de modélisation consiste à entrer les données, définies comme de référence et évaluer les paramètres cohérents avec les données. Il s’agit du processus de calibration. Dans le cas de la modélisation en EGC, les données de référence sont généralement tirées de la MCS. Les paramètres pouvant être calibrés seront déterminés avec ces données.

i) Option i) Option TitleTitle

Sans être nécessaire, cette option permet d’obtenir des résultats compréhensibles. Le texte à la suite de la commande $TITLE$TITLE apparaitra en t^te de page sur chaquenouvelle page de l’output. Un sous-titre peut être égalementajouté avec la commande $STITLE$STITLE..

$TITLE Modèle théorique $STITLE Capital immobile entre les secteurs *Modèle d’une économie fermée produisant 2 biens avec 2 facteurs*Nouakchott - Janvier 2003

GAMS ne lit pas les lignes précédées d’une astérisque (*).

Une autre manière est de mettre le texte entre les commandessuivantes : $ONTEXT$ONTEXT et $OFFTEXT.$OFFTEXT.

ii) Définition des ensembles

Ceci est très utile pour les variables multidimentionnelles. Ceci correspond à l’indexe dans les représentationsmathématiques des modèles.

SET I secteurs /BIEN agriculture et industrie

SER services/

LA commande SETSET définit l’ensemble des secteurs II, dont les éléments sont BIEN et SER. Après chaque symbole (I, GOOD and SER) il est possible de rajouter une légende.

iii) Définition des paramètres

Les paramètres sont les éléments du modèle qui ne changentpas après simulation telles les élasticités, les taux de taxe, les paramètres d’échelle,….

An plus de ces paramètres, les variables de référence sontdéfinis avec leur valeur à l’année de base et resterontinvariables après simulation. Une manière pratique de définirces variables est d’ajouter un "OO" après le nom de la variable pour ne pas la confondre avec la vraie variable.

La définition des paramètres et des variables de référence commence avec le mot-clé PARAMETERPARAMETER et se termine par un “;”.

PARAMETER A(I) Coefficient d’échelle (fonction de production Cobb-Dougla alpha(I) parts (fonction de production Cobb-Douglas) delta parts (fonction d’utilité CES) sigma Elasticité de substitution (fonction d’utilité CES) *Prix wo Taux de salaire ro(I) Taux de rendement du capital dans le secteur I PO(I) Prix du bien I *Production XSO(I) Production du secteur I *Facteurs KDO(I) demande de capital du Sector I LSO Offre totale de travail LDO(I) Demande de travail du secteur I *Demande CO(I) Consommation de bien I *Revenu YHO Revenu du ménage ;

iv) Les données

A présent, il faut entrer les données. Ceci se fait avec la commande TTABLEABLE command très utile pour les variables multidimentionnelle. Le syntaxe est la suivante : TABLETABLEnom(ensemble en nom(ensemble en ligneligne, ensemble en , ensemble en colonnecolonne) description) description.

Exemple:TABLE DP(*,I) Données par secteur BIEN SER XSO 26100.0 21260.0 LDO 13320.0 15540.0 KDO 12780.0 5720.0 CO 26100.0 21260.0 PO 1.0 0.85 ro 1.25 1.25 ;

Les valeurs associées aux variables et paramètres avec neseule dimension peuvent être entrées avec la commandeSCALAR : SCALAR :

SCALAR YHO / 47360.0/ wo / 0.75/ sigma / 0.8 / ;

TABLE DID(I,J) Consommation intermédiaire par secteur AGR IND SER AGR 120.0 2526.9 275.5 IND 1544.0 21709.1 5815.5 SER 136.0 11264.0 3349.0

Exemple de déclaration de matrice :

Lorsque les données sont entrées avec un tableau, il estnécessaire de faire un lien entre le tableau et la variable. Dans l’exemple ci-dessous, la valeur de XSO(I) sera trouvée dans le tableau DP à l’intersection de la ligne ayantle nom XSO et de la colonne I.

XSO(I) = DP("XSO",I);LDO(I) = DP("LDO",I); KDO(I) = DP("KDO",I); CO(I) = DP("CO",I); PO(I) = DP("PO",I);

ro(I) = DP("ro",I);

v) Calcul de variables et calibration

D’autres variables et paramètres peuvent être calculés oucalibrés à partir d’autres variables ou paramètres entrésprécédemment. A la fin de chaque calcul, il faut mettre un “;”. L’ordre dans lequel ces variables et paramètres sontcalculés est très important car GAMS utilisera la dernièrevaleur assignée à cette variable ou ce paramètre.

*Calcul des Volumes LDO(I) = LDO(I)/wo; KDO(I) = KDO(I)/ro(I); XSO(I) = XSO(I)/PO(I); LSO = SUM(I,LDO(I)); CO(I) = CO(I)/PO(I) ; *Production (Cobb-Douglas) alpha(I) = wo*LDO(I)/(PO(I)*XSO(I));

A(I) = XSO(I)/((LDO(I)**alpha(I))*(KDO(I)**(1-alpha(I))));

vi) Présentation des paramètres et variables

Dans la feuille de résultats, les valeurs des paramètres nesont pas automatiquement données. L’option DISPLAYDISPLAY vapermettre de présenter ces variables. Le nom des paramètres et des variables de référence sera entré sans dimension.

DISPLAY sigma,delta,alpha,A;

2. Le modèlei) Déclaration des variables

Toutes les variables qui apparaitront dans les équationsdoivent être déclarées au préalable. La commandeVARIABLESVARIABLES commence cette procédure qui se termine par un “;”.VARIABLES *Prix w Taux de salaire r(I) Taux de rendement du capital dans le secteur I P(I) Prix du bien I *Production XS(I) Production du secteur I *Facteurs KD(I) demande de capital du Secteur I LD(I) demande de travail du secteur I LS Offre totale de travail ;

ii) Déclaration des équations

Cette étape commence avec la commande EQUATIONSEQUATIONSsuivie nom et de la description (optionnelle). Quand toutesles équations sont déclarées, un “;” indique la fin.

EQUATIONS *Production SUPPLY(I) Fonction de production pour le secteur I LDEM(I) demande de travail pour le secteur I *Revenu INCH Revenu du ménage *Demande DGOOD Demande de biens DSERV Demande de services *Prix RETK(I) remuneration du capital du secteur I

;

iii) Assignement des équations

La ligne commence par le nom et la dimension suivis par “....”. Ensuite l’équation est définie et se termine par un “;”Le terme =E==E= entre les termes de gauche et de droite de l’équation signifie “égal à” à l’opposé de =G==G= or =L==L=

SUPPLY(I).. XS(I) =E= A(I)*LD(I)**alpha(I)*KD(I)**(1-alpha(I)) LDEM(I).. LD(I) =E= P(I)*alpha(I)*XS(I)/w; INCH.. YH =E= SUM(I,w*LD(I))+SUM(I,r(I)*KD(I)); DGOOD.. C("SER")=E= YH/(P("SER")+P("GOOD")*(P("SER")/ P("GOOD")*delta/(1-delta))**sigma); DSERV.. C("GOOD")=E= YH/(P("GOOD")+P("SER")*(P("GOOD")/ P("SER")*(1-delta)/delta)**sigma); RETK(I).. r(I ) =E= (P(I)*XS(I)-w*LD(I))/KD(I);

;

iv) Procédure d’initialisation

Pour toutes les variables déclarées précédemment, une valeurdoit etre assignée. Pour résoudre les équation GAMS commence à partir des valeurs de référence. Pour les variables endogènes (celles don’t la valeur changera après simulation) le suffixe .L.L (pour level) est utilisé :

XS.L(I) = XSO(I); LD.L(I) = LDO(I); KD.L(I) = KDO(I); w.L = wo; P.L(I) = PO(I); r.L(I) = ro(I); YH.L = YHO; C.L(I) = CO(I);

Pour les variables exogènes le suffixe .FX.FX (pour fixed) estutilisé :

*P(GOOD) est le numeraire, le capital est suppose immobile entre les secteurs * L’offre total de travail est exogène P.FX("GOOD") = PO("GOOD"); LS.FX = LSO; KD.FX("GOOD") =KDO("GOOD"); KD.FX("SER")=KDO("SER");

Dans les deux cas, la syntaxe est : le nom de la variable, le suffixe, la dimension de la variable, le signe égal (=), la valeur de référence définie dans le processus de calibration et le “:”.

Finalement deux lignes doivent être ajoutée pour la résolution du système. La première pour définir le modèlecommençant par la commande MODELMODEL suivie par un nomnom(THEORY dans l’exemple), une brbrèèveve descriptiondescription (MODELE THEORIQUE), la liste des équations qui doivent être résoluesentre slashes et un “;”. Quand toutes les équations déclarées sont à résoudre, le mot-clé est ALLALL à la place de le liste complète des équations.

MODEL THEORY MODELE THEORIQUE /ALL/; SOLVE THEORY USING MCP;

IV. Lecture IV. Lecture du fichier ddu fichier d’’output output GAMSGAMS

1. Echo print

S’il y a des erreurs dans le programme, seule cette partie sera présentée. Exemple : Il y a une parenthèse manquante à la fin du calculdu paramètre alphaalpha. Dans le echo print du programmeinitial, GAMS mettra 4 astérisques (********) sous la ligne ayantl’erreur suivis d’un signe dollar ($$) et d’un nombrenombrecorrespondant à une erreur spécifique.

A cause de cette erreur GAMS est incapable de résoudre le modèle d’où la présence de l’erreur suivante dans les dernières lignes du programme :

95 alpha(I) = wo*LDO(I)/(PO(I)*XSO(I); **** $8

96 A(I) = XSO(I)/((LDO(I)**alpha(I))*(KDO(I)**(1-alpha(I))));

230231 MODEL THEORY THEORITICAL MODEL /ALL/; 232 SOLVE THEORY USING MCP;

**** $257

A la fin de l’echo print une description des codes des erreur est donnée dans l’ordre de manière à facilliter la correction :

Error Messages8 ')' expected 257 Solve statement not checked because of previous errors

2. Présentation des paramètres

Dans le procéssus de calibration, la commande DISPLAYDISPLAYest utilisée pour présenter la valeur de certains paramètresdans l’output. Les valeurs apparaissent à la fin de l’echoprint :

---- 105 PARAMETER SIGMA = 0.800 Elasticité de Substitution (CES utifunction) PARAMETER DELTA = 0.554 Part (CES utility function) ---- 105 PARAMETER ALPHA Part (Cobb-Douglas production function) Bien 0.510, SER 0.731

3. Listes des équations

Cette section présente pour chaque équation sa formespécifique prenant en considération les valeurs des paramètres et les ensembles. A la fin de chaque équation le terme à gauche de l’équation est calculé et présenté par LHS= " "LHS= " ".. Lorsque la valeur a gauche diffère de celle àdroite, GAMS ajoute 3 astérisques (******).

---- SUPPLY =E= Production function for sector I SUPPLY(GOOD).. XS(GOOD) - (1.25)*KD(GOOD) - (0.75)*LD(GOOD) =E= 0 ; (LHS = 0) SUPPLY(SER).. XS(SER) - (1.4706)*KD(SER) - (0.8824)*LD(SER) =E= 0 ; (LHS = 0)

4. Liste des colonnes

GAMS imprime pour chaque variable, les bornes inférieureset supérieures (lower) and (upper), le niveau calculé par le solveur et la valeur du coefficient affectant la variable actuelledans chaque équation. Si le coefficient est non-linéaire, il est mis entre parenthèses. Ainsi dans l’exemple, la variable apparait dans 5 équations LDEM(I), INCH and RETK(I) et est non-linéaire et donc la valeur du coefficient affectant w est mise entre parenthèses.Column Listing SOLVE THEORY USING MCP FROM LINE 231 ---- W Taux de salaire W (.LO, .L, .UP = -INF, 0.75, +INF) (23680) LDEM(BIENS) (27626.6667) LDEM(SER) (-38480) INCH (1.7371) RETK(BIENS)

(4.528) RETK(SER)

5. Modèle Statistiques

Cette section donne de l’information sur la taille et la non-linéarité du modèle. BLOCKBLOCK donne le nombre d’équations et de variables dans le modèle.SINGLESINGLE donne le nombre de lignes et de colonnes générées par le solveurs. NONNON--ZERO ELEMENTSZERO ELEMENTS fait référence au nombre de coefficients non nuls. NON LINEAR NNON LINEAR N--ZZ indique le nombre de matrices non-linéaires dans le modèle.CODE LENGHCODE LENGH et CONSTANT POOLCONSTANT POOL donnent le niveau de la complexité sur la non-linéarité. GENERATION TIMEGENERATION TIME indique le temps mis pour générer la solution du modèle.

MODEL STATISTICS BLOCKS OF EQUATIONS 9 SINGLE EQUATIONS 12 BLOCKS OF VARIABLES 10 SINGLE VARIABLES 16 NON ZERO ELEMENTS 50 NON LINEAR N-Z 33 DERIVATIVE POOL 10 CONSTANT POOL 17 CODE LENGTH 530

GENERATION TIME = 0.000 SECONDS 1.4 Mb WIN-18-100

6. Résumé du « solve »

S O L V E S U M M A R Y MODEL THEORY TYPE MCP SOLVER MILES FROM LINE 231 **** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION **** MODEL STATUS 1 OPTIMAL RESOURCE USAGE, LIMIT 0.000 1000.000 ITERATION COUNT, LIMIT 0 10000 EVALUATION ERRORS 0 0

7. Solution

Dans cette section, GAMS donne la solution trouvée par le solveur ligne par ligne et colonne par colonne. Pour chaque équation et chque variable, GAMS nous donne les bornes (lowerlower et upper)upper), le niveau (levellevel) et la marge (marginalmarginal). Le point ".""." signifie 0.

---- EQU SUPPLY Production function for sector I LOWER LEVEL UPPER MARGINAL GOOD . . . . SER . . . .

And here is an example of the variable listing:

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR W -INF 0.750 +INF .

W Wage rate

8. Résumé du rapport

Cette section indique le nobre de lignes ou colonnes que GAMS a considéré ainsi que le nombre d’erreurs :

**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT 0 INFEASIBLE 0 UNBOUNDED 0 REDEFINED 0 ERRORS

9. Résumé du fichier

Cette dernière section indique le nom des fichiers input et output. Dansnotre exemple : le fichier d’input est 0KIMM.GMS0KIMM.GMS et celui d’output0KIMM.LST0KIMM.LST avec leur localisation.

**** FILE SUMMARY INPUT C:\MY DOCUMENTS\MIMAP\FORMATION Dakar\0KIMM.GMS

OUTPUT C:\WINDOWS\GAMSDIR\0KIMM.LST

http://www.http://www.gamsgams.com.com