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Gestion Financière 2

TD du cours du Professeur Jean-Paul LAURENT

Année 2015-2016 Document mis à jour par J-P. Laurent et P-A. Patard

Equipe pédagogique : Angela ARMAKOLA, Halima BAGHAD, Hanane DAKHLI, Nathaniel DANON, Michael SESTIER, Georgy SHORNIN, Idriss TCHAPDA

Investissements sur les marchés financiers Thème 1 p. 02 Rentabilité, diversification du risque (S1) Thème 2 p. 04 CML ("Capital Market Line") (S2) Thème 3 p. 06 Beta, SML ("Security Market Line"), droite caractéristique (S3) Thème 4 p. 09 Révisions (S4) Annexe 1 p. 10 Exercices complémentaires Financement des entreprises Thème 5 p. 13 Choix des investissements, VAN, TRI (S6) Thème 6 p. 15 Coût et structure du capital (S7) Thème 7 p. 17 Coût et structure du capital (S8) Thème 8 p. 19 Révisions et exercices complémentaires (S9) Annexe 2 p. 22 Etude de cas : la société SMTP Options Thème 9 p. 26 Options financières (S11) Annexe 3 p. 28 Fonction de répartition de la loi N(0,1) Annexe 4 p. 29 Prix d'un call Européen

Bibliographie· Goffin R. (2012). Principes de Finance Moderne, 6ème Edition, Economica. Laurent J-P, transparents du cours, http://laurent.jeanpaul.free.fr/Enseignement/enseignement.htm Dougherty C. (2007). Introduction to Econometrics, 3rd Edition, Oxford University Press

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Thème 1 - Théorie du portefeuille : rentabilité, diversification du risque Exercice 1 - Le concept de taux de rentabilité d'un titre financier pour une période donnée. Soient 𝑃𝑃0 le cours du titre en 𝑡𝑡0, 𝑃𝑃1 le cours du titre en 𝑡𝑡1 et 𝐷𝐷1 une rémunération procurée par le titre et perçue en 𝑡𝑡1. Donnez la formule indiquant le taux de rentabilité 𝑅𝑅 du titre pour la période s'étendant entre 𝑡𝑡0 et 𝑡𝑡1. Montrez que si 𝑅𝑅 est le taux d'actualisation, alors 𝑃𝑃0 est la valeur actuelle en 𝑡𝑡0 de 𝑃𝑃1 et 𝐷𝐷1. Exercice 2 - Rentabilités de portefeuille sur différents horizons 1. On considère un portefeuille de titres dont les valeurs de marché aux dates 0, 1, 2 sont égales à

100, 150, 200 Euros. Ce portefeuille ne distribue pas de dividendes. Calculer les rentabilités simples de ce portefeuille entre les dates 0 et 1, 1 et 2 et entre les dates 0 et 2. La rentabilité simple entre les dates 0 et 2 est-elle la somme des rentabilités simples sur les deux sous-périodes ?

2. On suppose maintenant que les valeurs de marché aux dates 0, 1, 2 sont égales à 100, 150, 100 Euros. Répondre aux mêmes questions que précédemment.

3. On suppose maintenant que la rentabilité simple sur chacune des sous-périodes (entre les dates 0 et 1, entre les dates 1 et 2) est égale à 100%. Quelle est la rentabilité simple de l’achat de titres entre les dates 0 et 2 ? Est-elle égale à la somme des rentabilités sur chacune de deux sous-périodes ?

Exercice 3 - Diversification du risque (deux actifs) Les taux de rentabilité annuels de deux titres A et B pendant une période de 10 ans sont reproduits ci-dessous :

Années A B 1991 7% 5% 1992 4% 0% 1993 1% −5% 1994 8% 6% 1995 12% 12% 1996 14% 16% 1997 6% 15% 1998 5% 10% 1999 10% 9% 2000 7% 10%

1. Calculez l'espérance du taux de rentabilité des deux titres ainsi que le risque mesuré par l’écart-

type et par la variance. 2. Calculez la covariance des taux de rentabilité des titres A et B sur la période de 10 ans, puis le

coefficient de corrélation. 3. Quelle rentabilité peut-on attendre d'un portefeuille investi selon les proportions 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 40% et

𝑋𝑋𝐵𝐵 = 60% ? Quel est le risque de ce portefeuille ? Commentez les résultats obtenus. Exercice 4 - Diversification du risque On considère des investissements dans des entreprises innovantes. Pour chaque entreprise, on envisage d’acheter pour 150 000 euros d’actions à la date 0. À la date 1, la valeur des actions achetées est égale à 600 000 euros en cas de succès et on perd la totalité de sa mise initiale en cas d’échec (faillite de l’entreprise). 1. Calculer les taux de rentabilité en cas de succès et d’échec

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2. La probabilité de succès est de ½. Calculer l’espérance du taux de rentabilité. 3. Calculer l’écart-type du taux de rentabilité. 4. On considère maintenant un portefeuille constitué de deux investissements de 75 000 euros

chacun dans des entreprises innovantes. Les caractéristiques de chacune des entreprises sont identiques et inchangées par rapport au début de l’exercice. Calculer les valeurs possibles du taux de rentabilité du portefeuille.

5. On suppose qu’il n’y a aucune corrélation entre les risques associés aux deux investissements (indépendance) ; le coefficient de corrélation entre les taux de rentabilité est égal à zéro. Calculer les probabilités associées aux différentes valeurs du taux de rentabilité du portefeuille.

6. Calculer l’espérance du taux de rentabilité du portefeuille. 7. Calculer l’écart-type du taux de rentabilité du portefeuille. 8. On considère maintenant un portefeuille constitué de 100 investissements d’un montant unitaire

de 1500 euros. Comme précédemment les taux de rentabilité ne sont pas corrélés. Calculer l’espérance du taux de rentabilité de ce portefeuille.

9. Calculer l’écart-type du taux de rentabilité du portefeuille. Exercice 5 - Éliminer le risque d’un portefeuille de deux titres parfaitement corrélés. La banque Greeneternity vient de créer des fonds pédagogiques pour l’éducation financière de ses clients fortunés. L’objectif est d’assurer une rentabilité supérieure au taux sans risque sur le marché (

6%FR = ) tout en prenant très peu de risque. Vous êtes chargé de réaliser les premiers investissements. Vous avez identifié deux actions, A et B, dont les rentabilités sont parfaitement corrélées positivement. Leurs caractéristiques sont 8%AE = , 10%Aσ = , 10%BE = , 20%Bσ = . On

notera Ax et Bx les proportions du fonds P investies dans les actifs A et B.

1. Écrire PE en fonction de Ax et Bx . 2. Écrire Pσ en fonction de Ax et Bx (vous pouvez omettre la valeur absolue) 3. Écrire PE en fonction de Pσ 4. Trouver la composition de portefeuille qui annule le risque. 5. Calculer la rentabilité attendue de ce portefeuille. 6. Les résultats que vous obtenez sont-ils compatibles avec un équilibre de marché ? 7. Vos premiers clients souhaitent que la volatilité du portefeuille reste inférieure à 1%. Quelle

espérance de rentabilité pouvez-vous leur proposer ?

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Thème 2 - Théorie du portefeuille (CML) Exercice 1 - Actif sans risque et actif risqué On considère un portefeuille d’actions dont la rentabilité attendue est de 14% et la volatilité (écart-type du taux de rentabilité) de 20%. Il existe un placement sans risque, le taux d’intérêt associé est de 6%. 1. On investit 140 000 € dans le portefeuille d’actions et 60 000 € dans le placement sans risque.

Quelle est la rentabilité attendue et le risque (écart-type du taux de rentabilité ou volatilité) de ce portefeuille ?

2. On note PE l’espérance de rentabilité d’un portefeuille composé d’actions et de placement sans risque et Pσ sa volatilité. Trouvez l’équation donnant la relation entre la rentabilité attendue et la proportion x investie en actions ? On se limitera au cas 0x ≥ .

3. À quoi correspondent les conditions 0x ≥ et 1x ≥ ? 4. Quelle devrait être l’allocation pour obtenir une rentabilité attendue de 10 % ? 5. Quelle devrait être l’allocation pour obtenir une rentabilité attendue de 20 % ? 6. Déterminer l’équation donnant la relation entre la volatilité du portefeuille et la proportion

investie en actions (on suppose toujours 0x ≥ ). 7. Quel est le risque du portefeuille trouvé à la question 5) ? 8. Déterminer l’équation reliant la rentabilité attendue du portefeuille et sa volatilité (on suppose

toujours 0x ≥ ). 9. Quel est le ratio de Sharpe des portefeuilles précédents ? 10. On suppose maintenant 0x ≤ . Interpréter cette condition. On restera dans ce cadre pour la suite

de l’exercice. 11. Donner la relation entre la rentabilité attendue et la proportion investie x en actions. 12. Déterminer l’équation donnant la relation entre la volatilité du portefeuille et la proportion

investie x en actions. 13. Déterminer l’équation reliant la rentabilité attendue du portefeuille et sa volatilité. Exercice 2 - Deux actions parfaitement corrélées On considère deux actions A et B dont les rentabilités sont parfaitement corrélées. Les rentabilités attendues sont respectivement de 8 % et 10 % et les volatilités correspondantes sont de 10 % et de 20%. On notera x la proportion de la richesse investie dans l’action A et on considérera des portefeuilles composés de A et de B. 1. Écrire la relation entre rentabilité attendue du portefeuille et x 2. Écrire la relation entre l’écart-type du taux de rentabilité du portefeuille et x . 3. Trouver une composition de portefeuille qui annule le risque. 4. Calculer l’espérance de rentabilité du portefeuille précédent. 5. Établir la relation entre la rentabilité attendue du portefeuille et son écart-type quand l’espérance

de rentabilité est supérieure à celle qui vient d’être calculée. 6. Même question quand l’espérance de rentabilité est inférieure. 7. Quel est alors le portefeuille préféré par les investisseurs ? 8. On suppose que le taux d’intérêt sans risque en vigueur sur le marché est égal à 5%. Quelle

stratégie peut être mise en œuvre par les investisseurs ? 9. Est-elle compatible avec un équilibre de marché ?

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Exercice 3 - La droite de marché du capital (CML) Dans la suite, on note 𝐸𝐸𝑃𝑃 l'espérance mathématique et 𝜎𝜎𝑃𝑃 l'écart-type du taux de rentabilité d'un portefeuille 𝑃𝑃. Ces quantités sont supposées connues de tous les investisseurs. Considérons certains points caractéristiques de la frontière d'efficience des investisseurs en ce qui concerne les titres risqués. Cet ensemble de possibilités est composé de portefeuilles dont la rentabilité attendue et le risque sont donnés ci-dessous.

Portefeuille 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝑃𝑃3 𝑃𝑃4 𝑃𝑃5 𝑃𝑃6 𝐸𝐸𝑃𝑃𝑖𝑖 10,0% 12,5% 15,0% 16,0% 17,5% 18,0% 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑖𝑖 14,0% 15,0% 18,0% 20,0% 25,0% 30,0%

Le "taux d'intérêt pur" ou taux sans risque est donné par 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 5%. Chaque investisseur peut emprunter et prêter autant qu'il le désire au taux d'intérêt sans risque. 1. Tracez dans un système d'axes 𝜎𝜎𝑃𝑃 (abscisses) 𝐸𝐸𝑃𝑃 (ordonnées), la frontière d'efficience de

l'ensemble des portefeuilles risqués possibles. 2. Tracez la CML et donner son équation. Quelle est la signification de la CML ? 3. En situation d'équilibre, quel est le portefeuille de marché 𝑀𝑀 ? 4. Comment est exprimé le taux d'intérêt sans risque dans le système d'axes les axes (𝜎𝜎𝑃𝑃 ,𝐸𝐸𝑃𝑃) ? 5. Comment va être mesuré le "prix du risque" 𝑟𝑟𝑒𝑒 ? 6. Comment va varier le portefeuille de marché si le taux d’intérêt 𝑅𝑅𝑓𝑓 est modifié ? Considérez les cas

où 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 9% et 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 3%. Exercice 4 - Risque d’un portefeuille en fonction du coefficient de corrélation. On considère deux titres, notés 1 et 2, de rentabilités 1 2,R R , d’espérance de rentabilité

1 210%, 20%E E= = , d’écart-type 1 230%, 40%σ σ= = et un portefeuille investi à 50% dans le titre 1 et à 50% dans le titre 2. 1. Représenter graphiquement dans le plan ( ),P PEσ (écart-type des rentabilités en abscisse,

espérance des rentabilités en ordonnée), l’ensemble des portefeuilles précédents, quand le coefficient de corrélation entre les rentabilités des titres 1 et 2 varie entre -1 et +1.

2. Trouver le coefficient de corrélation tel que l’écart-type de la rentabilité du portefeuille est égal à l’écart-type de la rentabilité du titre 1.

Exercice 5 - Sélection de portefeuille Les actions de deux sociétés 𝑇𝑇1 et 𝑇𝑇2 ont pour la période future des taux de rentabilité aléatoires. On a : 𝐸𝐸1 = 20 %, 𝐸𝐸2 = 10 %, 𝜎𝜎1 = 𝜎𝜎2 = 20 % et 𝜌𝜌12 = 0,20. 1. Calculez le risque et l’espérance de rentabilité des portefeuilles suivants :

𝑋𝑋1 100% 80% 60% 50% 40% 20% 0% 𝑋𝑋2 0% 20% 40% 50% 60% 80% 100%

2. Portez les résultats sur un graphique 𝐸𝐸𝑃𝑃 en ordonnée, 𝜎𝜎𝑃𝑃 en abscisse. Déterminez le portefeuille optimal et expliquez le résultat.

3. On suppose qu'il existe un actif dont la rentabilité est certaine et égale à 6 %. Ce taux correspond à celui auquel l'investisseur peut emprunter ou prêter, sans limitation de montant. Montrez comment la présence d'un titre sans risque modifie le graphique.

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Thème 3 - Théorie du portefeuille Beta, SML, droite caractéristique

Exercice 1 - Betas Soit 𝑍𝑍 un portefeuille composé de deux titres 𝑇𝑇1 et 𝑇𝑇2 avec 𝑋𝑋1 = 70% et 𝑋𝑋2 = 30%. Soient 𝛽𝛽1 = 2 et 𝛽𝛽2 = 0,5 les Betas respectifs de chaque titre. Déterminez 𝛽𝛽𝑍𝑍, le Beta du portefeuille 𝑍𝑍. Considérons à présent un portefeuille 𝐿𝐿 composé de 7 titres 𝑇𝑇1 à 𝑇𝑇7 dont les Betas et les proportions sont données ci-dessous.

N° Titre 1 2 3 4 5 6 7 Beta 𝛽𝛽𝑖𝑖 2 0,5 1 0 0,5 2,5 0,1

Proportion 𝑋𝑋𝑖𝑖 10% 40% 10% 10% 10% 10% 10% Déterminez 𝛽𝛽𝐿𝐿, le Beta du portefeuille 𝐿𝐿. Exercice 2 - CML et SML La CML a pour équation 𝐸𝐸𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 + 𝑟𝑟𝑒𝑒𝜎𝜎𝑃𝑃 et exprime une relation simple entre le taux de rentabilité et

le risque pour les portefeuilles efficients. ( )e M f Mr E R σ= − où 𝑅𝑅𝑓𝑓 est le taux sans risque, 𝐸𝐸𝑀𝑀 la

rentabilité attendue du portefeuille de marché, 𝜎𝜎𝑀𝑀 son écart type, est connu comme étant le ratio de Sharpe du marché. L'équation de la SML concerne tous les titres (et les portefeuilles). Elle s'écrit 𝐸𝐸𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 + 𝑟𝑟𝑠𝑠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑅𝑅𝑖𝑖 ,𝑅𝑅𝑀𝑀) où 𝑅𝑅𝑖𝑖 désigne le taux de rentabilité de l'actif et 𝑅𝑅𝑀𝑀 le taux de rentabilité du portefeuille de marché et où 𝑟𝑟𝑠𝑠 est le prix du risque pour les titres. En appliquant les équations précédentes au portefeuille de marché, on vérifie que 𝑟𝑟𝑒𝑒 = 𝑟𝑟𝑠𝑠𝜎𝜎𝑀𝑀. Soit un marché où le taux d'intérêt sans risque est 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 5%, le prix de la réduction du risque pour les portefeuilles efficients est donné par 𝑟𝑟𝑒𝑒 = 0,2 et la pente de la SML dans un système d'axes (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶[𝑅𝑅𝑖𝑖 ,𝑅𝑅𝑀𝑀],𝐸𝐸𝑖𝑖) est 𝑟𝑟𝑠𝑠 = 0,4. 1. Déterminez l'espérance mathématique du taux de rentabilité du portefeuille de marché 𝑀𝑀 ainsi

que son risque mesuré par la volatilité. 2. Tracez la CML et expliquez sa signification (les hypothèses de la théorie du marché du capital

devront être rappelées). 3. Analysez ce que représente le portefeuille de marché 𝑀𝑀, ainsi que sa composition. 4. Exposez le théorème de la séparation. 5. Soit un portefeuille 𝑃𝑃 investi dans les titres A et B en proportions égales : 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 = 50%. Les

caractéristiques du titres A sont 𝜎𝜎𝐴𝐴 = 1,25 et 𝜌𝜌𝐴𝐴𝑀𝑀 = 0,8 ; celles de B sont 𝜎𝜎𝐵𝐵 = 0,5 et 𝜌𝜌𝐵𝐵𝑀𝑀 = 0,5. Calculez le Beta de chaque titre ainsi que le Beta du portefeuille 𝑃𝑃. Rappelez ce que qu'exprime le Beta d'un titre, en distinguant les titres agressifs des titres défensifs.

6. Tracez la SML dans un système d'axes (𝛽𝛽𝑖𝑖 ,𝐸𝐸𝑖𝑖) et commentez. 7. Analysez le type de risque dont il est tenu compte dans la CML et dans la SML. Montrez pourquoi

seul le risque systématique mérite rémunération sur un marché en équilibre. 8. Rappelez sous quelles conditions l'écart-type (la volatilité) est une bonne mesure du risque.

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Exercice 3 - Risques de titres On considère un marché en équilibre. 1. Soient deux titres 1 et 2 tels que 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 et 𝜎𝜎1 > 𝜎𝜎2. Quel titre a le risque diversifiable le plus

élevé ? 2. Considérons deux titres 3 et 4 tels que 𝐸𝐸3 > 𝐸𝐸4 et 𝜎𝜎3 = 𝜎𝜎4. Quel titre a le risque non diversifiable

le plus élevé ? 3. Soient deux titres 5 et 6 tels que 𝐸𝐸5 = 𝐸𝐸6. Peut-on conclure que 𝜎𝜎5 = 𝜎𝜎6 , que 𝛽𝛽5 = 𝛽𝛽6 ? 4. Soient deux titres 7 et 8 tels que 𝛽𝛽7 = 𝛽𝛽8 et 𝜎𝜎7 > 𝜎𝜎8. Lequel des deux titres a :

a. Le risque diversifiable le plus élevé ? b. La pente de la droite caractéristique la plus élevée ? c. L'espérance de rentabilité la plus élevée ? d. Le coefficient de corrélation avec la rentabilité du marché le plus élevé ?

Exercice 4 - Droite caractéristique, risque spécifique, risque systématique Considérons le portefeuille de marché 𝑀𝑀 dont le taux de rentabilité est exprimé par la variable aléatoire 𝑅𝑅𝑀𝑀. Les variations du taux de rentabilité de l'action de Cie Trouille (notée 𝑖𝑖) en fonction du taux de rentabilité du portefeuille de marché 𝑀𝑀 ont été observées pour les valeurs suivantes :

Probabilité 𝑅𝑅𝑀𝑀 𝑅𝑅𝑖𝑖 0,2 10% 7% 0,1 20% 9% 0,4 30% 17% 0,3 40% 23%

1. Rappelez ce qu'est la droite caractéristique du titre 𝑖𝑖 et représentez-la graphiquement. 2. A partir de l'équation précédente, établissez l'expression de 𝛽𝛽𝑖𝑖, le Beta du titre Cie Trouille. 3. Déterminez la valeur de 𝛽𝛽𝑖𝑖 avec les données de l'énoncé. 4. A partir de cet exemple, analysez ce que représente le Beta d'un titre. En particulier, analysez

quelles sont les conséquences pour un investisseur d'un Beta 𝛽𝛽𝑖𝑖 = 1, 𝛽𝛽𝑖𝑖 > 1 et 𝛽𝛽𝑖𝑖 < 1 : • dans le cas d'une baisse du taux de rentabilité du portefeuille de marché, • dans le cas d'une hausse du taux de rentabilité du portefeuille de marché. Distinguez par suite de cette analyse, les titres "agressifs" des titres "défensifs".

5. Qu'appelle-t-on risque systématique et risque non-systématique d'un titre ? • Calculez les risques systématiques et non-systématiques de l'action Cie Trouille. • Quelle est la relation entre risque systématique et volatilité ?

6. Soit 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 5%, le taux d'intérêt sans risque. • Donnez l'équation de la SML en fonction du Beta du titre puis tracez la SML dans un

système d'axes (𝛽𝛽𝑖𝑖,𝐸𝐸𝑖𝑖) avec 𝐸𝐸𝑖𝑖 en ordonnée, le risque étant alors mesuré par le Beta. • Repérez sur le graphique, le taux sans risque, le portefeuille de marché et l'action Cie

Trouille.

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Exercice 5 - Choisir parmi un ensemble de portefeuilles (mutuellement) exclusifs Tante Gaga est soumise à un choix cornélien : dans quelle sicav va-t-elle investir son épargne ? Elle a reçu des offres de trois banques (A, B et C) ayant des caractéristiques très différentes : 5%AE = ,

6%Aσ = , 10%BE = , 10%Bσ = , 13%CE = , 20%Cσ = . Le taux sans risque FR est égal à 3%. Supposons d’abord que l’objectif de tante Gaga est d’obtenir une espérance de rentabilité de 9 %. 1. Quelle allocation d’actifs devrait-elle réaliser selon la sicav choisie et quel serait le risque

correspondant ? 2. Que devrait-elle choisir ? Tante Gaga est maintenant prête à accepter que le risque de son portefeuille soit de 15 %. 3. Quelle allocation d’actifs devrait-elle réaliser selon la sicav choisie et quelle serait l’espérance de

rentabilité correspondante ? 4. Que devrait-elle choisir ? 5. Le choix de la sicav dépend-il de son objectif ?

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Thème 4 - Investissements sur les marchés financiers Révisions

Exercice 1 - Risque de portefeuilles Un portefeuille 𝑃𝑃 est constitué pour moitié de bons du trésor (placement sans risque dans notre contexte) et pour moitié de portefeuille de marché 𝑀𝑀. On sait que 𝜎𝜎𝑀𝑀 = 18%. 1. Quelle est la pente de la droite caractéristique du portefeuille 𝑃𝑃 ? 2. Quel est son risque spécifique (ou non-systématique, diversifiable) ? 3. Quel est la volatilité (i.e. l'écart-type) 𝜎𝜎𝑃𝑃 de son taux de rentabilité ? Exercice 2 - La droite de marché du titre (SML) et CML 1. Donnez l'équation de la SML et expliquez ce qu'elle représente ? 2. Exprimez également la SML en fonction de 𝜎𝜎𝑖𝑖,𝑀𝑀 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑅𝑅𝑀𝑀) puis de 𝜌𝜌𝑖𝑖,𝑀𝑀 × 𝜎𝜎𝑖𝑖 où 𝜌𝜌𝑖𝑖,𝑀𝑀 est le

coefficient de corrélation linéaire entre 𝑅𝑅𝑖𝑖 et 𝑅𝑅𝑀𝑀 . 3. Comparez la SML avec la CML quant à leur objet et quant à la signification du risque. 4. Montrez que la CML est un cas particulier de la SML. 5. On donne le taux d'intérêt sans risque 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 2,5% et la rentabilité attendue du portefeuille de

marché 𝐸𝐸𝑀𝑀 = 6%. Tracez la SML dans un système d'axes avec 𝐸𝐸𝑖𝑖 en ordonnée et 𝛽𝛽𝑖𝑖 =𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑅𝑅𝑀𝑀) 𝜎𝜎𝑀𝑀2⁄ en abscisse, représentez le portefeuille de marché et l'actif sans risque sur le graphique.

Exercice 3 - MEDAF La rentabilité espérée d'une action présentant un Beta de 0,75 est de 15% et la rentabilité espérée d'une action ayant un Beta de 1,5 est de 20%. Utilisez le MEDAF pour déterminer le taux d'intérêt sans risque 𝑅𝑅𝑓𝑓 ainsi que la rentabilité espérée du portefeuille de marché 𝐸𝐸𝑀𝑀. Exercice 4 - MEDAF et investissement On suppose que le taux sans risque est de 10% et la rentabilité attendue du portefeuille de marché de 15%. Les rentabilités espérées et les Betas de 4 titres sont donnés ci-dessous.

Action 1 2 3 4 𝐸𝐸𝑖𝑖 17,0% 14,5% 15,5% 18,0% 𝛽𝛽𝑖𝑖 1,3 0,8 1,1 1,7

1. Identifiez les titres surévalués et les titres sous-évalués en vous basant sur ces prévisions. 2. Si le taux sans risque augmente pour valoir 12% et que la rentabilité attendue du portefeuille de

marché augmente pour valoir 16%. En supposant que les rentabilités attendues des actions et les Betas des actions restent inchangés, identifiez à nouveau les titres surévalués et les titres sous-évalués.

Exercice 5 - SML Un portefeuille 𝑃𝑃 est constitué par la combinaison de bons du trésor (placement sans risque dans notre contexte) et du portefeuille de marché 𝑀𝑀. Son espérance de rentabilité est 𝐸𝐸𝑃𝑃 = 25% et sa volatilité 𝜎𝜎𝑃𝑃 = 4%. On nous donne 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 5%, 𝐸𝐸𝑀𝑀 = 20%. Dans cet environnement, quelle serait l'espérance de rentabilité d'une action 𝑖𝑖 caractérisée par 𝜎𝜎𝑖𝑖 = 2% et 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑀𝑀 = 0,5 ?

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Annexe 1 - Exercices complémentaires

Exercice 1 - Taux de rentabilité aléatoire pour la période future Si 𝑡𝑡0 désigne l'instant présent, 𝑡𝑡1 désigne l'instant futur, 𝑃𝑃0 a une valeur connue, 𝑃𝑃1 et 𝐷𝐷1 sont des variables aléatoires, 𝑅𝑅 le taux de rentabilité est donc aussi une variable aléatoire (la valeur de 𝑅𝑅 n’est pas connue en 𝑡𝑡0). L'action ABC vaut aujourd'hui 90 €. Le dividende qui sera payé au cours des 12 prochains mois et le cours du titre dans un an sont deux variables aléatoires qui ne sont pas indépendantes.

Dividende Probabilité Cours du titre Probabilité conditionnelle

0€ 0,3 95 € 1/3 105 € 2/3

5€ 0,4 115€ 1

10 € 0,3 125 € 2/3 135 € 1/3

1. Calculez l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type du taux de rentabilité. 2. En supposant que le taux de rentabilité distribué selon une loi normale, quelle est la probabilité

de gagner moins de 15% ? 3. L'écart-type (ou la variance) constitue-t-il toujours une bonne mesure du risque ? Exercice 2 - Diversification du risque La volatilité du taux de rentabilité du portefeuille de marché est 𝜎𝜎𝑀𝑀 = 22%. On considère les deux entreprises suivantes :

Entreprise Big Steel Macromega Beta 𝛽𝛽 1,24 2,17

Volatilité 𝜎𝜎 28,8% 49,7% 1. Supposons que le coefficient de corrélation entre le taux de rentabilité de Big Steel et celui de

Macromega est de 0,40. Quelle est la volatilité d'un portefeuille dont une moitié est investie dans Big Steel et l'autre moitié dans Macromega ?

2. Quelle est la volatilité d'un portefeuille dont un tiers serait investi dans Big Steel, un autre tiers dans Macromega et un dernier tiers dans un placement sans risque ?

3. Quelle est la volatilité du taux de rentabilité d'un portefeuille également divisé entre Big Steel et Macromega et financé à 50% sur marge, c'est-à-dire si l'investisseur engage uniquement 50% du montant total et emprunte le solde auprès de sa banque ?

4. Quelle est la volatilité du taux de rentabilité d'un portefeuille composé de 100 actions ayant un Beta de 1,24 comme Big Steel ? Que serait-elle pour 100 actions semblables à Macromega ? (Pour cette question, n'utilisez que des calculs arithmétiques simples)

Exercice 3 - Combinaison de titres : rentabilité et risque d'un portefeuille On considère un portefeuille 𝑃𝑃 composé de 𝑁𝑁 titres. On note : 𝑅𝑅𝑖𝑖 le taux de rentabilité du titre 𝑖𝑖 (aléatoire), 𝐸𝐸𝑖𝑖 et 𝜎𝜎𝑖𝑖 le taux de rentabilité espéré et l'écart-type de 𝑅𝑅𝑖𝑖, 𝑋𝑋𝑖𝑖 la proportion de titre 𝑖𝑖 dans le fonds de sorte que ∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑁𝑁

𝑖𝑖=1 = 1. On désigne par 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑅𝑅𝑖𝑖� et par 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖 le coefficient de corrélation entre 𝑅𝑅𝑖𝑖 et 𝑅𝑅𝑖𝑖. On indice par 𝑃𝑃 les caractéristiques du portefeuille 𝑅𝑅𝑃𝑃 (rentabilité) 𝐸𝐸𝑃𝑃 (rentabilité espéré) 𝜎𝜎𝑃𝑃 (écart-type des rentabilités).

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1. Dans le cas d'un portefeuille de 2 titres, calculez 𝐸𝐸𝑃𝑃 et 𝜎𝜎𝑃𝑃2.

a. Analysez l'effet de diversification. b. A quoi est due la diminution du risque par la diversification ? c. Quelle est l'utilité de la diversification ? d. La diversification est-elle utile si les deux titres constitutifs du portefeuille ont des

rentabilités qui sont des variables aléatoires indépendantes ? 2. Dans le cas d'un portefeuille de 3 titres, calculez 𝐸𝐸𝑃𝑃 et 𝜎𝜎𝑃𝑃2. 3. Lorsque le nombre de titres augmente, le nombre de grandeurs à évaluer augmente très

rapidement. Quel est le nombre de covariances (ou de coefficient de corrélation) nécessaire pour calculer la variance du taux de rentabilité d'un portefeuille de 𝑁𝑁 titres ?

Exercice 4 - Diversification du risque Durant les dernières années, les taux de rentabilité des 4 titres A, B, Cet D ont été les suivants :

Années A B C D 1991 5,0% 17,5% 5,0% −5,0% 1992 15,0% 12,5% −20,0% 15,0% 1993 10,0% 15,0% 15,0% 35,0% 1994 20,0% 10,0% 5,0% −20,0% 1995 15,0% 12,5% 25,0% 35,0% 1996 10,0% 15,0% 50,0% 15,0% 1997 20,0% 10,0% 15,0% 50,0% 1998 25,0% 7,5% 15,0% −5,0% 1999 15,0% 12,5% 25,0% 15,0% 2000 15,0% 12,5% 15,0% 15,0%

1. Rappelez la définition du taux de rentabilité d'un titre 2. En supposant que le futur soit à l'image du passé, calculez l'espérance mathématique du taux de

rentabilité ainsi que l'écart-type correspondant pour chacun des titres. 3. Un investisseur disposant de 1000 € désire investir dans les deux titres A et B. On suppose que le

coefficient de corrélation entre les taux de rentabilité des deux titres est : 𝜌𝜌𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝜌𝜌𝐵𝐵𝐴𝐴 = −0,5. a. Dans quelle proportion devra-t-il choisir ses titres s'il désire minimiser le risque ? b. Quelle rentabilité pourra-t-il attendre d'un tel portefeuille ? A quel niveau de risque ?

4. Analysez, par suite, le mécanisme de la diversification. Exercice 5 - CML et SML On considère un marché parfait. Le taux d'intérêt sans risque est donné par 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 2,5%, le prix de la réduction du risque pour les portefeuilles efficients est donné par 𝑟𝑟𝑒𝑒 = 0,2 et la prime de risque du marché est 4,8%. 1. Rappelez les principales hypothèses qui définissent un marché parfait. 2. Déterminez 𝐸𝐸𝑀𝑀 le rendement attendu du portefeuille de marché ainsi que sa volatilité 𝜎𝜎𝑀𝑀. 3. Expliquez sa signification de la CML et représentez-la dans un système d'axe adapté. 4. Expliquez sa signification de la SML et représentez-la dans un système d'axe adapté 5. Analysez le type de risque dont il est tenu compte dans la CML et dans la SML.

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Exercice 6 - MEDAF et investissement L'action de Nofun Ltd présente un Beta de 1 est un risque spécifique très élevé. Si la rentabilité espérée du marché est de 20%, la rentabilité espérée de Nofun Ltd sera : a. de 10% si le taux d'intérêt sans risque est de 10% b. de 20% c. supérieur à 20% en raison du risque spécifique élevé d. indéterminé à moins qu'on ne connaisse aussi le taux d'intérêt sans risque. Laquelle de ces réponses est correcte ? Dites brièvement pourquoi. Exercice 7 - Choix d’investissement Une action a un Beta de 0,9. Le taux sans risque est de 8% et la prime de risque du portefeuille de marché de 6%. Un analyste financier lui attribue une espérance de rentabilité de 13%. Est-il optimiste ou pessimiste ? Exercice 8 - Choix d’investissement Le fonds Pandora est investi dans 5 titres pour un montant total de 200 millions de dollars (200 M$ en abrégé). La composition du portefeuille est donnée ci-dessous.

Titre A B C D E Montant Investi (M$) 60 50 30 40 20

𝛽𝛽𝑖𝑖 0,5 2 4 1 3 On suppose que 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 5% et que la rentabilité du portefeuille de marché, notée 𝑅𝑅𝑀𝑀, est une variable aléatoire qui possède la distribution de probabilité suivante :

Probabilité 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 Rentabilité 6% 8% 10% 12% 14%

1. Etablir l'équation de la SML. 2. Déterminer le taux de rentabilité exigé par les investisseurs pour le fonds Pandora. 3. Supposons que le gérant du fonds reçoive de la part d'un courtier une proposition pour un nouveau

titre dont la rentabilité attendue est 15% et le Beta estimé est 2,5. Le montant exigé pour investir dans le titre est 50 M$.

a. Faut-il acheter le titre ? b. A partir de quel taux de rentabilité attendu le gérant sera-t-il indifférent au fait d'acquérir

ce titre ? Exercice 9 - MEDAF et investissement En s'appuyant sur une analyse de l'évolution des rentabilités passées, un analyste pense raisonnable de dire que la rentabilité attendue du portefeuille de marché est de 14%. Le taux d'intérêt sans risque est actuellement de 8%. L'analyste s'intéresse à la société Boxxon Electronics Corporation (BEC). Il a construit la droite caractéristique de l'action BEC en régressant les rentabilités mensuelles de l'action BEC sur les rentabilités mensuelles de l'indice Standard & Poor's 500 (SP500), sur les 5 dernières années. Il trouve une pente de 1,67. Quelle rentabilité peut-il attendre de la société BEC si l'on suppose les marchés efficients ?

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Thème 5 - Financement des entreprises Choix des investissements, VAN, TRI

Exercice 1 - VAN et TRI Une entreprise a le choix entre deux projets d'investissement A et B. L'investissement initial s'élève à 100 K€ dans les deux cas. La durée de vie de ces investissements est de 4 ans. Les cash-flows nets attendus de ces deux projets figurent dans le tableau suivant (en K€) :

Année 1 2 3 4 Projet A 60 40 30 20 Projet B 10 30 60 80

La valeur résiduelle des deux matériels est supposée nulle. 1. Calculez la VAN Valeur Actuelle Nette de chacun des projets pour un taux d'actualisation de 10%. 2. Calculez le Taux de Rentabilité Interne (TRI) pour chaque projet. 3. Quel projet choisissez-vous ? Pourquoi ? Exercice 2 - VAN et TRI Deux projets incompatibles exigent chacun un investissement initial de 3000 K€. Les cash-flows nets sont respectivement de 2000 K€ par an et pendant 2 ans pour le projet Alpha et de 1000 K€ par an et pendant 6 ans pour le projet Beta. 1. Calculez la VAN et le TRI de chaque projet sachant que le taux d'actualisation est de 20%. 2. Quel est le projet le plus rentable ? Exercice 3 - VAN de projets risqués La société XYZ met à l'étude deux projets d'investissement exclusifs l'un de l'autre : le lancement d'un produit nouveau (projet A) ou l'amélioration d'un produit rentable existant (projet B). Le taux de placement sans risque est de 10 %. La dépense initiale est la même pour chacun des projets ; elle se monte à 4 000 K€. Les prévisions de cash-flows nets sont les suivantes (en K€) :

Années Projet A Projet B 1 2000 3000 2 4000 3000 3 4000 3000

1. Calculez la VAN de chaque projet, en les supposant sans risque. 2. Le produit dont il est question pour le projet A est nouveau à la fois par sa conception et son mode

d'utilisation. Son acceptation par le marché est plausible, mais il subsiste un risque important d'erreur dans les prévisions de cash-flows, malgré les essais effectués. La direction se propose alors de retenir pour le calcul d'actualisation du projet A un taux majoré de 18%, en vue de tenir compte du risque particulier de cette proposition d'investissement.

a. Calculez la nouvelle VAN du projet A. b. Déterminez le taux majoré relatif du projet A pour lequel les deux projets auraient été

équivalents. c. Discutez les fondements objectifs de la décision de la direction quant à l'estimation

chiffrée du taux majoré.

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Exercice 4 - Emission d’actions Une société est sur le point de décider si elle doit procéder à une émission d'actions pour financer un projet d'investissement comportant le même risque que le marché et dont la rentabilité espérée est de 20%. Le taux d'intérêt sans risque est de 10% et la rentabilité espérée du portefeuille de marché est de 15% ; la société devrait mettre son plan à exécution : a. A moins que le Beta de la société ne soit supérieur à 2 ; b. A moins que le Beta de la société ne soit inférieur à 2 ; c. Quel que soit le Beta de la société. Laquelle de ces réponses est correcte ? Dites brièvement pourquoi. Exercice 5 - Investissements et marchés financiers Une entreprise fait des prévisions concernant le marché financier. Elle utilise pour cela des séries chronologiques relatives aux 20 dernières années. Le taux d'intérêt sans risque a été de 10% ; le taux de rentabilité du portefeuille de marché a été de 15% sur 5 ans, 20% sur 10 ans et 25% sur 5 ans. 1. Déterminer l'équation de la SML prévisionnelle. 2. Calculez le taux d'actualisation pour un projet d'investissement dont le Beta est de 2, l'entreprise

étant financée uniquement par fonds propres. 3. Déterminez dans quel sens va varier le cours d'un titre qui a un Beta de 0,5 et une espérance de

taux de rentabilité de 20%.

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Thème 6 - Finance d'entreprise Coût et structure du capital

Exercice 1 - Coût du capital, ROE, risque des actifs et structure financière La valeur marchande totale des actions Bric-à-Brac s'élève à 6 000 000 € et la valeur totale de sa dette s'élève à 4 000 000 €.Le trésorier estime que le Beta de l'action est actuellement de 1,5 et que la prime du risque du marché est de 10 %. Le taux sans risque est de 8 %. Il est fait abstraction du taux d'impôt sur les sociétés. 1. Quel est le niveau de rentabilité requis pour l'action Bric-à-Brac ? 2. Quel est le Beta du portefeuille d'actifs actuels de la société ? 3. Estimez le coût du capital de la société. 4. Estimez le taux d'actualisation applicable à un développement de l'exploitation actuelle de la

société. 5. Supposez que la société rembourse 3 000 000 € de dettes et les remplace par des fonds propres.

Quel serait le Beta de son action ? 6. Et quel serait le coût du capital de la société ? Et le niveau de rentabilité requis pour l’action ? 7. Supposez que la société veuille diversifier ses activités en se lançant dans la fabrication de lunettes

de soleil. Le Beta des fabricants d'optique non endettés est de 1,2. Estimez la rentabilité requise du nouveau projet de Bric-à-Brac.

Exercice 2 - Modification de la structure financière et rentabilité des actions (pas d’IS) Les actions et les dettes de Lolita Inc. sont évaluées à 50 000 000 € et à 30 000 000 € respectivement. Les investisseurs exigent généralement une rentabilité de 16 % sur les actions et de 8 % sur les dettes comparables. Si Lolita Inc. émet 10 000 000 € additionnels d'actions et utilise ces fonds en remplacement des dettes, qu'arrivera-t-il à la rentabilité attendue des actions ? Supposons que le changement dans la structure du capital n'influence pas le risque des titres d'emprunt et qu'il n'y ait pas d'impôt. Si le risque des titres d'emprunt avait changé, est-ce que votre réponse surestimerait ou sous-estimerait la rentabilité attendue des actions ? Exercice 3 - Avantage fiscal de la dette selon la durée de l’emprunt Calculez la valeur actualisée de l'avantage fiscal généré par les trois émissions suivantes de titres d'emprunt. Le taux d'imposition est de 33,33 %. On se place dans le cadre de Modigliani et Miller. 1. Un emprunt de 1000 K€ à 8 % sur 1 an. 2. Un emprunt de 1000 K€ à 8 %, remboursable in fine la cinquième année. 3. Un emprunt de 1000 K€ à 8 % à perpétuité. Exercice 4 - Avantage fiscal de l’endettement et taux de la dette On se place toujours dans le cadre de Modigliani et Miller. Supposons que Chrysler Corporation emprunte à un taux d'intérêt plus élevé que General Motors. Cela veut dire que l'avantage fiscal par dollar emprunté est plus élevé pour Chrysler que pour GM. Néanmoins, la valeur actualisée de l'avantage fiscal par dollar emprunté est la même. Expliquez.

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Exercice 5 - VAN et VAR, projet perpétuel Un projet perpétuel requiert un investissement initial de 1 000 000 € et les rentrées de fonds prévues sont de 100 000 € par an à perpétuité. Le projet permet à la société de contracter un emprunt additionnel de 300 000 € à un taux de 8 %. Cet emprunt est perpétuel. Le risque d'exploitation du projet exige un taux d'actualisation (coût d'opportunité du capital) de 10%. Le taux d'imposition est de 50 %. 1. Calculez la VAN de base du projet et sa VAR. 2. Quelle est la VAN de base minimale acceptable ? 3. Quel est le coût du capital rajusté ? 4. Montrez que la formule de Modigliani et Miller aurait donné une réponse correcte pour le coût du

capital rajusté. 5. En utilisant le coût du capital rajusté, calculez la VAN du projet. Exercice 6 - VAN, VAR et horizon d’investissement Un projet qui requiert un investissement initial de 1000 K€ doit procurer une rentrée de fonds de 1190 K€ pendant une année. Le coût d'opportunité du capital de ce projet est de 20 %. La direction estime que le projet ajoutera 300 K€ à la capacité d'emprunt de la firme. Sachant que le taux d'intérêt de la dette est de 10 % et que le taux d'imposition de 50 % : 1. Calculez la VAN de base du projet et sa VAR. 2. Quelle est la VAN de base minimale acceptable ? 3. Quel est le coût du capital rajusté ? 4. Montrez que la formule de Modigliani et Miller n'aurait pas permis d'arriver à une réponse correcte

pour le coût du capital rajusté. 5. En utilisant le bon coût du capital rajusté, calculez la VAN du projet.

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Thème 7 - Financement des entreprises Coût et structure du capital

Exercice 1 - Beta et CMPC Dans ce problème, on suppose qu’il n’y a pas d’IS. On considère une entreprise qui a émis 100 millions d’actions, le cours par action est de 20 € ; le beta de l’action est de 0,70. La valeur de marché de la dette, considérée comme sans risque est de 500 millions d’euros. Le taux sans risque est de 4%, la prime de risque de marché de 5%. On se place dans le cadre de MM. 1. Calculer la valeur de l’entreprise. 2. Quelle est la rentabilité attendue des actions ? 3. Déterminer le coût moyen pondéré du capital. 4. Calculer le beta des actifs de l’entreprise. On suppose que la société emprunte 500 millions d’euros et distribue le produit de l’emprunt pour servir un dividende exceptionnel aux actionnaires. 5. Quelles seront les valeurs des actions, de la dette et de l’entreprise à l’issue de cette opération ? 6. Quelle sera la rentabilité attendue des actions à l’issue de cette opération ? 7. Que devient le beta des actions ? Exercice 2 - Valeur d’une entreprise endettée en présence d’IS La Française du Schiste Bitumineux (FSB) va prochainement être introduite en Bourse. Vous êtes chargé de déterminer le prix auquel les actions seront vendues. Vous avez rassemblé les données suivantes : résultat d’exploitation attendu 60AF = millions d’€ (perpétuité), dette : 120D = millions d’euros (perpétuité), taux d’IS 40%CT = , rentabilité exigée en l’absence d’endettement 10%r = , taux d’intérêt sans risque 4%FR = 1. Calculez la valeur de l’entreprise non endettée UA . 2. Déterminez l’économie fiscale annuelle résultant de l’endettement. 3. Déterminer la valeur actuelle de l’avantage fiscal. 4. Quelles sont les valeurs de l’entreprise 𝑽𝑽 et des actions 𝑬𝑬. 5. Quelle est la rentabilité attendue des actions EE R

?

6. Calculer EE R par une autre méthode.

7. Calculez le coût moyen pondéré du capital. 8. Calculez le coût moyen pondéré du capital par une autre méthode.

Exercice 3 - Calculer la valeur d’une entreprise endettée sur la base du coût moyen pondéré Vous venez de recevoir des informations concernant la Société Éolienne de Bretagne (SEB) dont vous aimeriez déterminer la valeur : résultat d’exploitation attendu 90AF = millions d’€ (perpétuité), taux d’IS 40%CT = , rentabilité exigée en l’absence d’endettement 10%r = , taux d’intérêt sans risque

4%FR = . Le conseil d’administration vient de déterminer le taux d’endettement : 25%L D V= = . L’objectif est de maintenir le niveau de la dette constant. 1. Calculez le coût moyen pondéré du capital. 2. Calculez le coût moyen pondéré du capital par une autre méthode. 3. Déterminer la valeur de l’entreprise. 4. Quelles sont les valeurs de la dette et des actions. 5. Quelle est la valeur actuelle de l’avantage fiscal de la dette ?

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6. Calculer la valeur actuelle de l’avantage fiscal par une autre méthode.

Exercice 4 - Taux d’actualisation On notera respectivement , ,E D V les valeurs de marché des actions, de la dette et de l’entreprise endettée. On notera cT , le taux d’imposition sur les bénéfices des sociétés. On se placera dans la suite dans le cadre de Modigliani et Miller. La dette est supposée non risqué de taux Fr . Le taux de rentabilité attendu sur les actions est noté Er . 1. En fonction des éléments précédents, donner le taux d’actualisation des flux de l’entreprise non

endettée pour obtenir la valeur de l’entreprise non endettée. 2. Donner le taux d’actualisation des flux de l’entreprise endettée pour obtenir la valeur de

l’entreprise endettée. 3. Donner le taux d’actualisation des flux de l’entreprise non endettée pour obtenir la valeur de

l’entreprise endettée.

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Thème 8 - Révisions et exercices complémentaires

Exercice 1 - VAN et TRI Une entreprise a le choix entre deux projets d'investissement incompatibles : • le projet A qui exige une dépense initiale de 30.000 € permettant d'obtenir un cash-flow net de

10.000 € par an pendant 5 ans, • le projet B qui exige une dépense initiale de 30.000 € permettant d'obtenir un cash-flow net de

60.000 € au bout de 5 ans. Le taux d'actualisation est de 5%. 1. Déterminez la VAN et le TRI de chaque projet. 2. Lequel choisissez-vous ? Pourquoi ? Exercice 2 - VAN de projets risqués Une entreprise a le choix entre 2 projets d'investissement incompatibles et risqués A et B. La dépense initiale est la même pour les deux projets (1000 K€), la durée de vie est la même (5 ans). L'espérance mathématique des cash-flows nets prévisionnels est de 400 K€ pour le projet A et de 500 K€ pour le projet B. Le taux d'intérêt sans risque est de 10%, l'espérance mathématique du taux de rentabilité du marché est de 15%. Le Beta prévisionnel du projet A est de 0,8 et celui du projet B est de 1,2. Les projets sont-ils acceptables ? Lequel doit être préféré ? Exercice 3 - VAN de projets risqués Le taux sans risque est de 4% et la rentabilité espérée du portefeuille de marché est de 12%. On se place dans le cadre du modèle d'équilibre des actifs financiers : 1. Dessinez un graphique qui montre comment la rentabilité espérée varie avec le Beta. 2. Quelle est la prime de risque ? 3. Quelle est la rentabilité requise d'un investissement avec 𝛽𝛽 = 1,5 ? 4. Si un investissement ayant un 𝛽𝛽 = 0,8 offre une rentabilité espérée de 9,8%, cet investissement

présente-il une VAN positive ? 5. Si la rentabilité attendue est de 11,2% pour l'action A, quel est son Beta ? Exercice 4 - VAN et VAR La Nouvelle Société Industrielle Multibranche (NSIM) étudie deux projets d'investissement. Le premier consiste à investir dans une brasserie, ce qui implique une dépense initiale de 1 000 000 € et doit permettre d'obtenir un flux net de liquidités perpétuel dont le montant annuel après impôt est de 210 000 €. Le second projet consiste à investir dans une aciérie, ce qui implique une dépense initiale de 1 000 000 € et doit permettre d'obtenir un flux net de liquidités perpétuel dont le montant annuel après impôt est de 240 000 €. Le taux d'intérêt sans risque est de 5% et la prime de risque du portefeuille de marché est de 10%. On dispose par ailleurs d'un certain nombre de renseignements sur des sociétés dont toute l'activité est consacrée à la brasserie et sur d'autres sociétés dont toute l'activité consiste à produire de l'acier.

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Société Capitaux Propres Dette β de l'action Brasseries Réunies 5.000.000 5.000.000 0,9 Brasseries de l'Est 10.000.000 10.000.000 1,1 Brasseries du Sud 20.000.000 20.000.000 1,1

Brasseries du Nord 15.000.000 15.000.000 0,9 Brasseries de l'Ouest 25.000.000 25.000.000 1,0 Brasseries Modernes 10.000.000 10.000.000 1,0

Aciéries du Nord 10.000.000 5.000.000 3,3

Aciéries de l'Ouest 15.000.000 7.500.000 3,0 Aciéries Réunies 20.000.000 10.000.000 2.7 Aciéries de l'Est 30.000.000 15.000.000 2,7 Aciéries du Sud 10 000.000 5.000.000 3,3

Aciéries Modernes 40.000.000 20.000.000 3,0 La NSIM constate qu'il existe un taux d'endettement cible de 0,5 pour la brasserie et de 1/3 pour la production d'acier. Les deux projets, s'ils sont acceptés, seront financés pour partie par fonds propres et pour partie par endettement selon le taux d'endettement approprié à chacun d'eux. Il est à noter que le taux d'endettement des projets est calculé par rapport à la dépense initiale qu'ils impliquent. Les dettes qui financent pour partie ces projets perpétuels sont également perpétuelles et rémunérées au taux d'intérêt sans risque. Le taux d'impôt sur les sociétés est de 50%. 1. Utilisez la méthode de la Valeur Actuelle Rajustée (VAR) pour déterminer si les deux projets sont

rentables. 2. Déterminez le coût du capital rajusté de chaque projet en appliquant la formule de Modigliani et

Miller. 3. Pour chacun des projets, calculez le montant annuel du flux net de liquidités perpétuel pour lequel

la VAR est égale à zéro. Si chaque projet rapporte un tel flux annuel, vérifiez que sa VAN obtenue directement par le coût du capital rajusté (calculé dans la 2ème question) est égale à zéro.

Exercice 5 - Choix d’investissement L'entreprise Alpha désire faire un investissement dans le secteur des cosmétiques, la dépense totale s'élève à 300 millions d'euros. Il est prévu que cet investissement génère un flux perpétuel annuel de 45 millions d'euros après impôts. La dette est sans risque. Le Beta des actions du secteur des cosmétiques pour les entreprises non endettées est de 0,8. Le taux sans risque est de 7 % et le taux de rentabilité espéré du portefeuille de marché est de 18%. 1. Déterminez la VAN de ce projet s'il n'est financé que par fonds propres. 2. En fait, l'entreprise a un ratio d'endettement cible de 50 %. De plus, on suppose que le projet est

financé de la même façon que l'entreprise et que la dette est perpétuelle. Le taux d'imposition sur les sociétés est de 50 %.

a. Déterminez si le projet est acceptable par la méthode de la VAR. b. Interprétez votre résultat.

3. Déterminez le coût du capital rajusté en appliquant la formule de Modigliani et Miller. Interprétez votre résultat.

4. Calculez la VAN du projet et commentez le résultat. 5. En l'absence d'imposition, quelle aurait été la VAN du projet ?

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6. Si le ratio d'endettement cible était supérieur à 50% : a. Le coût du capital rajusté serait-il inférieur ou supérieur à ce que vous avez trouvé ?

Pourquoi ? b. La VAR serait-elle plus ou moins importante ? c. La VAN serait-elle plus ou moins importante ?

Exercice 6 - Choix d’investissement L'entreprise Omega désire faire un investissement dans le secteur des jouets. La dépense totale s'élève à 250 millions d'euros. Cet investissement doit générer un flux perpétuel annuel de 40 millions d'euros. La dette est sans risque. Le Beta des actions du secteur du jouet pour les entreprises ayant un ratio d'endettement cible de 0,5 est de 1,3. Le taux sans risque est de 7 % et le taux de rentabilité espéré du marché est de 18 %. Il n'y a pas de fiscalité. 1. Si le projet n'est financé que par fonds propres, le projet est-il acceptable ? 2. En fait, l'entreprise a un ratio d'endettement cible de 0,5. De plus, on suppose que le projet est

financé de la même façon que l'entreprise et que la dette est perpétuelle. Le projet est-il acceptable ?

3. Si l'on suppose que l'entreprise décide de faire passer son ratio d'endettement cible à 0,4 et que cela ne change en rien le risque de la dette :

a. Quel est le taux de rentabilité requis par les actionnaires ? b. Le projet est-il acceptable ?

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Annexe 2 Etude de cas : la société SMTP

Certaines grandes entreprises, à la suite d'une histoire mouvementée vécue au cours de ces deux dernières décennies, (fusions-acquisitions, cessions d'actifs…) ont aujourd'hui plusieurs divisions opérationnelles appartenant à des branches d'activités très différentes. Chaque division jouit d'une large autonomie et prépare ses propres projets d'investissement. Mais les décisions finales d'acceptation ou de rejet concernant les grands projets ainsi que le financement général de l'entreprise sont du ressort de la direction générale. Celle-ci éprouve quelque difficulté à établir cohérence et équilibre : cohérence dans le choix de projets appartenant à des branches d'activité très différentes; équilibre dans le financement général de l'entreprise. Le cas de la Société SMTP présenté ici illustre tout à fait le problème de ces grandes sociétés constituées de plusieurs divisions appartenant à des branches d'activité différentes. La Société SMTP a trois divisions : alimentaire, chimique et électronique. L'importance relative de chaque division est indiquée par le pourcentage de sa valeur de marché dans la valeur de marché totale de la Société SMTP.

Division Alimentaire Chimique Electronique Pourcentage de la valeur de marché de SMTP 40% 20% 40%

La Société SMTP dans son ensemble est financée pour les 2/3 par capitaux propres et pour 1/3 par

dettes. On a donc 𝐷𝐷𝐷𝐷+𝐸𝐸

= 13 où 𝐸𝐸 désigne la valeur de marché des capitaux propres et 𝐷𝐷 la valeur de

marché des dettes. Sa dette peut être considérée comme sans risque et perpétuelle au taux fixe de 5%. Alors que le dernier exercice vient de se terminer, le directeur financier de chacune des trois divisions présente un gros projet d'investissement à la Direction Générale. Cette dernière doit décider de l'acceptation (ou du rejet) des projets et de leur financement. Les trois projets sont perpétuels et présentent les caractéristiques suivantes (montants exprimés en millions d'euros).

Projet Alimentaire Chimique Electronique Dépense Initiale 1000 1000 1000

CF Annuel Prévisionnel 300 300 150 Les cash-flows prévisionnels sont évalués en supposant les projets financés entièrement par fonds propres et nets d'impôt sur les sociétés (dont le taux est de 40% ). Il a été possible d'identifier, sur le marché, des entreprises monoproductrices qui sont des concurrents de chacune des trois divisions. Ces entreprises extérieures que la Société SMTP observe pour en déduire des informations financières, ont, chacune dans leur domaine, les caractéristiques suivantes. • Leur activité économique est exactement la même que celle de la division de SMTP dont elles sont

les concurrentes.

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• Leur structure de financement a atteint son équilibre et est égale à la moyenne de la branche (définie de façon très étroite) à laquelle elles appartiennent. En d'autres termes, leur taux d'endettement effectif est égal à leur taux d'endettement cible.

Des informations financières concernant ces entreprises extérieures ont été fournies à la Direction Générale de SMTP par une firme spécialisée et figurent en annexe. La Direction Générale considère qu'il est possible de financer les projets nouveaux par autofinancement jusqu'à concurrence de 2000. Au-delà de ce montant, il est envisagé de financer les projets par emprunt. La Direction Générale examine les trois projets dans l'ordre chronologique suivant : 1. projet de la division alimentaire, 2. projet de la division chimique, 3. projet de la division électronique. Au cours de leur examen, le projet de la division alimentaire et celui de la division chimique sont considérés comme financés par autofinancement. Si ces deux projets sont acceptés, ils épuisent les possibilités d'autofinancement. Le projet de la division électronique (dont l'examen ne commence qu'une fois prise la décision concernant les deux premiers projets) est alors considéré, par la Direction Générale de SMTP, comme financé par emprunt. II s'agit d'un emprunt assimilable à un emprunt perpétuel sans risque au taux de 5%. La Direction Générale se propose d'évaluer les trois projets selon la méthode qui est décrite ci-après. 1. Pour les projets des divisions alimentaire et chimique que la DG considère comme financés par

fonds propres : • La DG calcule d'abord le Beta de l'action SMTP • Puis elle calcule le taux de rentabilité que l'on peut obtenir sur le marché financier dans

cette classe de risque. Ce taux est considéré comme le coût du capital (ou des fonds propres).

• On utilise alors ce taux comme taux d'actualisation appliqué aux cash-flows annuels perpétuels pour calculer la VAN. Celle-ci sert de critère de décision.

2. Pour le projet de la division électronique que la DG considère comme financé par une dette perpétuelle au taux sans risque de 5% (dans le cas vraisemblable où les projets des divisions alimentaire et chimique seraient acceptés).

• La DG utilise le taux d'intérêt sans risque de 5% comme coût du capital. Ce taux est pris comme taux d'actualisation et permet d'obtenir une VAN de base du projet.

• Par mesure de sécurité, on vérifie, dans le cas où la VAN de base serait positive, que le TRl du projet est supérieur au taux d'intérêt de 5%.

• On calcule la valeur actualisée de l'économie d'impôt annuelle procurée par le financement par dette du projet. Cette valeur actualisée de l'avantage fiscal est ajoutée à la VAN de base pour obtenir une VAN ajustée qui sert de critère de décision.

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Annexes (étude de cas SMTP) Branche industrie alimentaire

Taux d'endettement

Beta Action

Ecart-Type du Beta R2

Nombre d'observations

Société A1 50% 1,11 0,18 0,54 60 Société A2 50% 1,05 0,21 0,59 60 Société A3 50% 0,92 0,17 0,61 60 Société A4 50% 0,95 0,19 0,63 60 Société A5 50% 0,34 0,74 0,14 7 Société A6 50% 0,28 0,81 0,11 7

Portefeuille 50% 1,00 0,06 0,72 60 Branche industrie chimique

Taux d'endettement

Beta Action

Ecart-Type du Beta R2

Nombre d'observations

Société C1 1/3 1,43 0,22 0,62 60 Société C2 1/3 2,11 1,94 0,06 7 Société C3 1/3 1,61 0,19 0,59 60 Société C4 1/3 1,55 0,17 0,61 60 Société C5 1/3 0,42 1,07 0,17 7 Société C6 1/3 1,39 0,12 0,65 60

Portefeuille 1/3 1,5 0,04 0,74 60 Branche industrie électronique :

Taux d'endettement

Beta Action

Ecart-Type du Beta R2

Nombre d'observations

Société E1 25% 1,91 0,16 0,51 60 Société E2 25% 0,36 1,79 0,06 7 Société E3 25% 2,08 0,09 0,58 60 Société E4 25% 0,41 2,01 0,11 7 Société E5 25% 2,03 0,12 0,61 60 Société E6 25% 1,99 0,14 0,63 60

Portefeuille 25% 2,00 0,04 0,69 60 N.B. 1. Les Betas actions figurant dans le tableau ont été calculés par régression linéaire en utilisant des

observations mensuelles qui appartiennent aux cinq dernières années. 2. Les taux d'endettement ont été calculés d'après les valeurs de marché. 3. Les entreprises de référence indiquées A1 à A6 (industrie alimentaire), C1 à C6 (industrie

chimique), E1 à E6 (industrie électronique) présentent les caractéristiques suivantes : • elles sont monoproductrices, • elles exercent exactement le même type d'activité économique que la division de SMTP

qui les prend comme firme de référence, • leur taux d'endettement est égal au taux d'endettement moyen des entreprises de la

branche et peut être considéré comme taux d'endettement cible.

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4. Dans chaque branche figure un portefeuille qui présente les caractéristiques suivantes : • il est composé de 10 entreprises de référence de la, branche, observées chacune pendant

60 mois, et ayant chacune le même taux d'endettement pendant toute cette période (égal au taux d'endettement cible de la branche)

• l'importance relative de chacune des 10 sociétés, au sein du portefeuille, est proportionnelle à sa capitalisation boursière,

• la rentabilité mensuelle du portefeuille est égale à la moyenne pondérée des rentabilités mensuelles des actions qui le composent.

5. La société qui a fourni les informations financières concernant les entreprises extérieures auxquelles SMTP se réfère émet une recommandation : "dans l'utilisation des résultats de régressions, certaines sociétés sont à éliminer purement et simplement. Il s'agit des sociétés pour lesquelles les résultats de la régression n'ont aucune signification statistique".

6. Les agences de rating ont attribué la note maximale à la société SMTP ainsi qu'à toutes les entreprises de référence. Il est raisonnable de considérer que le Beta de leur dette est nul.

7. On peut considérer que le taux d'intérêt annuel sans risque à long terme est de 5% et que l'espérance de la prime de risque du marché est de 10%. Il apparaît raisonnable de supposer que ces deux données expriment valablement l'équilibre ex-ante du marché financier.

Travail à faire Le travail à faire consiste à commenter les décisions de la Direction Générale de SMTP et les méthodes utilisées par cette société. Ce commentaire mettra en lumière le concept de coût du capital d'un projet ainsi que les interactions entre les décisions d'investissement et les décisions de financement. Une attention particulière sera apportée au problème de la contribution d'un projet à la capacité d'endettement de la firme et à son corollaire constitué par l'avantage fiscal dû à l'endettement imputable à un projet. Les valeurs numériques relatives au cas de la Société SMTP permettront d'illustrer, de préciser et de juger la méthode utilisée par la Société SMTP et la solution qui en découle. Ces valeurs numériques pourront être utilisées pour effectuer d'autres calculs et proposer une autre solution que celle à laquelle conduit la méthode employée par SMTP. En particulier, il est demandé de calculer : 1. le Beta de l'action SMTP et l'espérance du taux de rentabilité de cette action, 2. le taux d'actualisation correct à appliquer à chacun des trois projets de la Société SMTP, 3. la valeur actuelle de l'avantage fiscal dû à l'endettement imputable à chaque projet et la VAN

ajustée correspondante, le montant de l'espérance du cash-flow annuel qui rend chaque projet neutre, c'est-à-dire sans gain ni perte.

26/29

Thème 9 - Options financières Exercice 1 - Paiements associés aux options Reportez-vous au graphique. Complétez chacune des parties (a et b) avec l'une des expressions suivantes : (a) Acheteur d'une option d'achat. (b) Vendeur d'une option d'achat. (c) Acheteur d'une option de vente. (d) Vendeur d'une option de vente.

Exercice 2 - Assurance de portefeuille Supposons que vous déteniez une action et une option de vente sur ce titre. Quelle est l'indemnisation à l'échéance de l'option lorsque : (a) le cours du sous-jacent est inférieur au prix d'exercice ? (b) le cours du sous-jacent est supérieur au prix d'exercice ? Exercice 3 - Assurance de portefeuille Il existe une autre stratégie que celle consistant à acheter des options d'achat et emprunter ou prêter qui procure le même résultat que celle décrite à la question précédente. Quelle est cette stratégie ? Exercice 4 - Conversion Supposons que vous achetiez une option d'achat européenne à un an sur l'action Carrefour au prix d'exercice de 110 et que vous vendiez une option de vente européenne à un an au même prix d'exercice. Le cours actuel de l'action est de 100 et le taux d'intérêt est de 10%. 1. Faites un graphique de position représentant les résultats de vos investissements. 2. Combien cette combinaison vous coûte-t-elle ? Expliquez. Exercice 5 - Borne inférieure des prix des calls, opportunité d’arbitrage Le cours actuel de l'action Hermès International est de 200 €. Un call européen 1 an, de strike 50 € est évalué à 75 €. Comment pourriez-vous tirer avantage de cette opportunité ? Exercice 6 - Bornes pour les primes de calls Quelle est la limite inférieure du prix d'une option d'achat ? Quelle est la limite supérieure ?

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Exercice 7 : Relation de parité call - put On note 1A la valeur de l’actif à échéance, 0A sa valeur aujourd’hui, K , le prix d’exercice de l’option et r le taux d’intérêt sans risque entre aujourd’hui et la date d’exercice. ( )C K est la prime de l’option d’achat, ( )P K la prime de l’option de vente. 1. Représenter algébriquement et graphiquement le paiement d’une option d’achat à échéance. 2. Représenter algébriquement et graphiquement le paiement d’une option de vente à échéance. 3. On suppose que l’on constitue un portefeuille où l’on achète une option d’achat et l’on vend une

option de vente. Représenter algébriquement et graphiquement le profil de paiement associé à ce portefeuille.

4. Quel est le montant à investir pour constituer ce portefeuille. 5. On constitue maintenant un portefeuille où l’on achète l’actif et on emprunte au taux sans risque.

Déterminer le montant à emprunter au taux sans risque pour obtenir le même profil de paiement que précédemment

6. En déduire la relation de parité call-put.

Exercice 8 - Relation de parité call-put : application On considère des options européennes. Laquelle des propositions suivantes est correcte ? (a) Valeur Put + Valeur actuelle Strike = Valeur Call + Cours de l'Action (b) Valeur Put + Cours de l'Action = Valeur Call + Valeur actuelle Strike (c) Valeur Put - Cours de l'Action = Valeur actuelle Strike - Valeur Call (d) Valeur Put + Valeur Call = Cours de l'Action - Valeur actuelle Strike La proposition correcte met en équation deux stratégies d'investissement. Représentez les résultats de chacune des stratégies en fonction du cours de l'action. Montrez que ces deux stratégies fournissent des résultats identiques. Exercice 9 - Relation de parité call-put : application L'action ordinaire de l'entreprise Air Liquide se négocie à 90 euros. Un Call sur l'action de maturité 26 semaines et de Strike 100 euros est vendu 8 euros. Le taux d'intérêt sans risque annuel est de 10%. 1. Supposons que vous désiriez en acheter un Put (européen) sur Air Liquide, mais que celui-ci ne soit

pas traité dans le marché. Comment faudrait-il faire ? 2. Supposons que les options de vente soient négociées. Quel serait le prix d'une telle option de

maturité 26 semaines et de prix d'exercice 100 euros ? Exercice 10 - "Asset substitution" En tant que dirigeant d’Hermes, vous possédez un nombre important d'options sur actions. Cela vous donne le droit d'acheter les actions de l'entreprise pendant les cinq prochaines années au prix de 100 euros par titre. Deux propositions alternatives sont envisagées pour le développement de l’entreprise. Les deux propositions ont la même valeur actuelle, mais l'une est beaucoup plus risquée que l'autre. Dans un premier temps, vous ne saviez pas laquelle choisir, mais vous vous êtes souvenu de vos options sur actions. Comment cela pourrait-il influer sur votre choix ?

Annexe 1

28/29

Fonction de répartition de la loi 𝐍𝐍(𝟎𝟎,𝟏𝟏)

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511966 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903 0,531881 0,535856 0,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,551717 0,555670 0,559618 0,563559 0,567495 0,571424 0,575345 0,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420 0,610261 0,614092 0,3 0,617911 0,621720 0,625516 0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309 0,648027 0,651732 0,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822 0,684386 0,687933 0,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,701944 0,705401 0,708840 0,712260 0,715661 0,719043 0,722405 0,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571 0,751748 0,754903 0,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350 0,782305 0,785236 0,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,796731 0,799546 0,802337 0,805105 0,807850 0,810570 0,813267 0,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977 0,836457 0,838913 1,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690 0,859929 0,862143 1,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,879000 0,881000 0,882977 1,2 0,884930 0,886861 0,888768 0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958 0,899727 0,901475 1,3 0,903200 0,904902 0,906582 0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,914657 0,916207 0,917736 1,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219 0,930563 0,931888 1,5 0,933193 0,934478 0,935745 0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792 0,942947 0,944083 1,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540 0,953521 0,954486 1,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,958185 0,959070 0,959941 0,960796 0,961636 0,962462 0,963273 1,8 0,964070 0,964852 0,965620 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258 0,969946 0,970621 1,9 0,971283 0,971933 0,972571 0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581 0,976148 0,976705 2,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774 0,981237 0,981691 2,1 0,982136 0,982571 0,982997 0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,984997 0,985371 0,985738 2,2 0,986097 0,986447 0,986791 0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,988396 0,988696 0,988989 2,3 0,989276 0,989556 0,989830 0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,991106 0,991344 0,991576 2,4 0,991802 0,992024 0,992240 0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,993244 0,993431 0,993613 2,5 0,993790 0,993963 0,994132 0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,994915 0,995060 0,995201 2,6 0,995339 0,995473 0,995604 0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,996207 0,996319 0,996427 2,7 0,996533 0,996636 0,996736 0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,997197 0,997282 0,997365 2,8 0,997445 0,997523 0,997599 0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,997948 0,998012 0,998074 2,9 0,998134 0,998193 0,998250 0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,998511 0,998559 0,998605 3,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930 0,998965 0,998999 3,1 0,999032 0,999065 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238 0,999264 0,999289 3,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462 0,999481 0,999499 3,3 0,999517 0,999534 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624 0,999638 0,999651 3,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740 0,999749 0,999758 3,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999822 0,999828 0,999835 3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 0,999883 0,999888 3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918 0,999922 0,999925 3,8 0,999928 0,999931 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946 0,999948 0,999950 3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964 0,999966 0,999967 4,0 0,999968 0,999970 0,999971 0,999972 0,999973 0,999974 0,999975 0,999976 0,999977 0,999978

La table permet de lire les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale standard pour 𝑥𝑥 ≥ 0 avec une précision de 6 décimales. Elle est définie par la relation :

Φ(𝑥𝑥) = �𝑒𝑒−𝑡𝑡2/2

√2𝜋𝜋

𝑥𝑥

−∞𝑑𝑑𝑡𝑡

Pour 𝑥𝑥 < 0, il faut utiliser l'identité Φ(𝑥𝑥) = 1 −Φ(−𝑥𝑥) et déterminer Φ(−𝑥𝑥) avec la table. Soit à déterminer Φ(1,34) = Φ(1,30 + 0,04). Les deux premiers chiffres significatifs de 𝑥𝑥 correspondent aux en-têtes de chaque ligne ; Le second chiffre après la virgule correspond aux en-têtes de chaque colonne. La valeur cherchée se trouve donc dans la cellule de la matrice située à l'intersection de la ligne commençant par 1,30 et de la colonne commençant par 0,04. En appliquant ce principe, on trouve Φ(1,34) = 0,909877.

Annexe 2

29/29

Prix Black-Scholes d'un Call Européen, exprimé en % du prix du sous-jacent

NPV

= (U

nder

lyin

g as

set v

alue

) / P

V (E

xerc

ise p

rice)

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,82

0,84

0,86

0,88

0,90

0,92

0,94

0,96

0,98

1,00

1,02

1,04

1,06

1,08

1,10

1,12

1,14

1,16

1,18

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

1,50

1,75

2,00

2,50

Sigma * Sqrt(T)

0,05

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,3

0,6

1,2

2,0

3,1

4,5

6,0

7,5

9,1

10,7

12,3

13,8

15,3

16,7

20,0

23,1

25,9

28,6

31,0

33,3

42,9

50,0

60,0

0,10

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,5

0,8

1,2

1,7

2,3

3,1

4,0

5,0

6,1

7,3

8,6

10,0

11,3

12,7

14,1

15,4

16,8

20,0

23,1

25,9

28,6

31,0

33,3

42,9

50,0

60,0

0,15

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,5

0,7

1,0

1,3

1,7

2,2

2,8

3,5

4,2

5,1

6,0

7,0

8,0

9,1

10,2

11,4

12,6

13,8

15,0

16,2

17,4

20,4

23,3

26,0

28,6

31,1

33,3

42,9

50,0

60,0

0,20

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,4

0,8

1,5

1,9

2,3

2,8

3,4

4,0

4,7

5,4

6,2

7,1

8,0

8,9

9,9

10,9

11,9

13,0

14,1

15,2

16,3

17,4

18,5

21,2

23,9

26,4

28,9

31,2

33,5

42,9

50,0

60,0

0,25

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,5

1,0

1,8

2,8

3,3

3,9

4,5

5,2

5,9

6,6

7,4

8,2

9,1

9,9

10,9

11,8

12,8

13,7

14,7

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