Fractions et décimauxNovembre 2017

Histoirea. Besoins économiques et commerciaux (intérêts, mesures de grandeurs...)

Les sumériens découvrent les fractions vers 3000 avant J.C. : 1/120 ;1/60 ; 1/30 ;1/10 ; 1/5 ;puis vers – 2000 : 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/12, 1/15, 1/20. Les égyptiens, 2500 av. JC utilisentdes fractions unitaires, plus précises que l’unité dont le 1/10 et le 1/100 pour plus de précision lors desmesures ou dans le calcul des intérêts d’emprunt !

b. Les savants arabes.Vers 952, Ibrahim al Uqlidisi invente les fractions décimales pour écrire les nombres. Ex : 89,532 se note89°532. En1427, Jemshid al Kashi donne une définition des fractions décimales et des opérations. En 1579,François Viète incite à l’usage des fractions décimales plutôt que des fractions sexagésimalesc. avant 1970

Une fraction désigne une division ⅜ c’est l’action de diviser 3 par 8.Ceci permet de disposer d’un nombre décimal .

La fraction n’est alors pas un nombre mais une procédure qui permet d’opérer par approximationsdécimales

Les attendus au cycle 3

Nombres et calculs : Attendus de fin de cycle 3

Utiliser et représenter les grands nombres entiers,

des fractions simples, les nombres décimaux.

Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombresdécimaux et le calcul

Définir la fraction

Différentes significations de l’écriture fractionnaire :Fraction-partage et fraction-quotient (Cf. Roland Charnay)

A l’école primaire, une première signification est donnée à 5/3, reliée au partagede l’unité que nous appellerons fraction-partage. Une unité étant donnée, ondéfinit d’abord le tiers de l’unité en la partageant en 3 parties égales, puis cinq tiersde l’unité en reportant 5 fois l’une des parties obtenues.

Différentes significations de l’écriture fractionnaire : Fraction-partage etfraction-quotient(Cf. Roland Charnay)

Au collège, en classe de sixième, une seconde signification est introduite, souvent appeléefraction-quotient. 5/3 est introduit comme solution de l’équation 3 x … = 5, c’est-à-direcomme quotient de 5 par 3. Il s’agit de réaliser que 5/3 + 5/3 + 5/3 = 3 x 5/3 = 5.

…Comprendre que " 1 partagé en 3, pris 5 fois " est égal à " 5 partagé en 3 "ou encore que " 5 fois le tiers de 1 " est égal au " tiers de 5 ".

Schématiser la fractionPlusieurs entrées possibles :- les partagesle repérageles mesures- les unités de mesure- les fonctions numériques(les représentations sur TBI)

La bande

Approches privilégiant une relation avec la mesure1

La notion de fraction est souvent illustrée par le partage d’une surface,généralement en forme de rectangle ou de disque (figuration du partage

d’une tarte ronde ou d’une pizza tout aussi ronde ).

Cette approche facilite les comparaisons de fractions de mêmedénominateur, les sommes de fractions de même dénominateur

Elle n’est pas opérante en ce qui concerne les comparaisonsde fractions quelconques et le produit d’une fraction par un entier, etne facilitera pas le passage de la fraction au quotient en classe desixième.

Approches privilégiant une relation avecla mesure

Définir fractions et décimaux par un système demesure. A l’aide des principes de la numération.(Voir lacollection ERMEL et les manuels de la collection « CapMath », chez Hatier).

On dispose d’un objet L à mesurer, et une unité delongueur U, subdivisée en 10 sous-unités V (fig. 11).

Le processus peut se poursuivre. On définit ainsi un système (U, V, W, …), laposition de l’unitéprincipale U est marquée par une virgule. Par exemple : 18V = 1U 8V = 1,8U.

Les sauts

Les automates (d’après ERMEL et les travaux de R.NEYRET). sur une piste constituée d'une demi-droiterégulièrement graduée avec les entiers naturels, unautomate se déplace en partant du point 0 et enfaisant des sauts réguliers, de telle manière qu'il passepar au moins un entier n après un certain nombre s desauts ».

Un automate, partant du zéro d’une graduation, arrive au point 7 en 3 sauts (fig. 6 ci-

dessous)

Partage d’un segment Cette approche présente l’avantage de permettre rapidement descomparaisons empiriques, et de donner une interprétation très accessible del’addition. Une difficulté est alors due à la confusion entre le « nombre-mesure »(on travaille avec les « deux –tiers » d’une grandeur) et le « nombre-repère » ouabscisse sur une droite graduée (on dira le nombre « deux – tiers ») (fig. 12).

Intérêt du partage de segment

favorise le passage de la fraction au quotient

7/3 passage de la fraction lue 7 tiers soit 7x 1/3 au quotient 7/3 lu « tiers de7 » qui est donc le nombre qui multiplié par 3 donne 7

Bilan en ce qui concerne lareprésentation Ne pas focaliser l’apprentissage sur les fractions inférieures à l’unité

S’appuyer sur les grandeurs et les mesures

Fractions décimales: fraction particulièrecorrespondant à un partage de l’unité en 10,100..Eduscol Fractions et nombres décimaux au cycle3 Annexe 2: De la fraction simple à la fractiondécimale

Les fractions décimalesLes fractions décimales

Une fraction est dite décimale lorsque son dénominateur est unepuissance de 10.

Certaines fractions non décimales sont égales à des fractions décimales :

D’autres fractions ne sont pas égales à des fractions décimales.

L’intérêt des fractions décimales réside principalement dans le fait que lescalculs avec ces fractions sont plus simples qu’avec d’autres fractions, carla réduction au même dénominateur est facilitée.

Les écritures à virgule de nombres décimaux sont issues de leursdécompositions sous forme de sommes de fractions décimales.

LA PROGRESSIVITE DES APPRENTISSAGES

http://eduscol.education.fr/cid101461/ressources-maths-cycle-3.html

Des fractions aux décimaux: Dans les programmes officiels de l’école élémentaire il est

recommandé de commencer par travailler les fractions avantles nombres décimaux.Justification de ce choix :

parce que toutes les compétences travaillées sur les fractionspeuvent être utilisées lors de l’apprentissage des nombresdécimaux. Les passages d’un des ensembles à l’autre sont ainsiplus faciles.L’écriture à virgule des nombres décimaux peut être présentéecomme une simplification d’écriture. Là encore les textesofficiels sont explicites.

Les documents d’accompagnement des programmesajoutent : « Les écritures à virgule prennent du sens en étantmises en relation avec les fractions décimales, ce quicorrespond à l’introduction historique des décimaux. Celapermet de comprendre que la valeur d’un chiffre est dix foisplus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sagauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écritimmédiatement à sa droite (ce qui est vrai aussi bien pour lapartie entière que pour la partie décimale. »

LES DÉCIMAUX

« En mathématiques, un nombre décimal est un nombre rationnelparticulier : c’est un nombre rationnel qui possède une écriturefractionnaire décimale ou encore un nombre rationnel qui possède uneécriture décimale dont la partie décimale est finie.

On peut montrer que ces deux conditions sont équivalentes.

Exemples :

1/2 est un nombre décimal car il peut aussi s’écrire 5/10 (une fractiondécimale) ou 0,5 (écriture décimale finie) ;

22/7 est un nombre rationnel non décimal car il ne possède pas d’écriturefractionnaire décimale ou car son écriture à virgule a une partie décimaleinfinie avec une périodicité des chiffres ; 22 7 = 3,142857142857142875… »

(Le nombre au cycle 3)

Les décimaux

.

En cours moyen 1 les élèves doivent : Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa

position Savoir : les repérer, les placer sur une droite graduée,…. passer d’une écriture fractionnaire

à une écriture à virgule et réciproquement.En cours moyen 2 les élèves doivent : Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa

position Savoir : les repérer, les placer sur une droite graduée…, produire des décompositions liées

à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001... Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près.

CM2 :addition etsoustraction pour lesnombres décimaux dès leCM1 ;- multiplication d'unnombre décimal par unnombre entier au CM2, dedeux nombres décimauxen 6e ;

.

Les nombres décimaux : Des rationnels particuliers

Définition :On définit un nombre décimal comme nombre pouvant être exprimésous forme de fraction décimale.

15 3,24

15=150/10 3/5= 6/10 3,24 = 324/100

⅓

0,333…

Écritures à l’aide de fractions décimales

Un nombre décimal peut être exprimé de plusieurs façons à l’aide de fractionsdécimales. 1/ La somme de fractions décimales de numérateurs inférieurs à 10

permet de mettre en évidence la valeur de chaque chiffre de l’écriture àvirgule du nombre.

4,708 = 4 + + met en évidence que 4,708 comporte 4 unités, 7 dixièmes et 8 millièmes.

2/ La deuxième sous forme d’une seule fraction décimale permet de préparer le lien avec la fractionquotient.Ainsi 4,708 = met en évidence que 4,708 est le résultat de la division de 4 708 par 1 000.

3/ La troisième sous forme de somme d’un entier et d’une fraction décimale met enévidence la partie entière et la partie décimale du nombre.Ainsi 4,708 = 4 + permet de reconnaître la partie entière (4) et la partiedécimale (0,708 qui est égal à ).

CM2 : Écrire une fraction sousforme de somme d’un entieret d’une fraction inférieure à

1.

TRAVAILLER RÉGULIEREMENT LES DIFFÉRENTESÉCRITURES AVEC UNE PHASE ORALE

Des difficultés traditionnelles

26 % Eure

61,7 %Eure

52,3 %Eure

2013

41,7Meurthe

etMoselle

Des pistes de travail

http://circo89-avallon.ac-dijon.fr/IMG/pdf/fractions_decimaux.pdf

Page 14 +jeux

Manipuler tout le long du cycle

Passer de la manipulation (réglettes Cuisenaire) pour « matérialiser » l’unitéet manipuler des fractions supérieures à 1

ExLa réglette rose vaut « quatre cinquièmes »ou « la moitié de huit cinquièmes » ou« une unité moins un cinquièmeLa réglette noire vaut :- 8 cinquièmes- Une unité et 3 cinquièmes de l’unité- deux unités moins deux cinquièmes de l’unité

Utilisation TBI et tablettes

Faire le lien avec des activités de calculréfléchi: annexe eduscol calcul en ligne

Avec les fractions au début, puis les décimaux

Vocabulaire et calculLors des premières séances, faire travailler les notions de double, moitié, quart,

triple …Prévoir des activités orales régulières de type :« Donne-moi une autre écriture de 60 dixièmes. »« Combien y-a-t-il d’unités dans 4 dizaines et 40 dixièmes ?»« Y-a-t-il un nombre entier entre 328/100et 43 dixièmes ? »« Encadre 562/100 entre deux nombres entiers »La décomposition de 328/100 = 3+28/100 sous la forme de la somme d’un

nombre entier et une fraction comprise entre 0 et 1 n’est pas suffisant

Importance de la verbalisation

Activités : petits problèmes à résoudre mentalementJeu de l’autobus

Il s’agit d’un problème faisant intervenir deux transformations additives sur des états.Commencer par proposer des calculs dont le résultat est inférieur à l’unité, par exemple :« Je mange une demie tarte, puis un quart de tarte. Quelle part ai-je mangée au total ? ».Puis on peut poursuivre en allant au-delà de l’unité :« Je mange une demie tarte, puis deux quarts et enfin 1 tarte entière. Qu’ai-je mangé ? ».

Jeux de portrait Le maître fait le portrait d’un nombre. Les élèves doivent le trouver ; il peut y avoir plusieurs solutions

possibles.Exemple : je suis entre 3 et 5 ; mon chiffre des dixièmes est 8 ; mon chiffre des unités est la moitié de mon

chiffre des dixièmes.

A partir d’une liste de nombres écrite au tableau, le maître fait le portrait d’un des nombres. Les élèvesdoivent le trouver à partir des informations données.

Jeu du nombre cachéLe maître choisit un nombre. Les élèves doivent le trouver en proposant des nombres. Le maître répond «

trop grand » ou « trop petit ». (on peut proposer au départ un intervalle dans lequel le nombre est choisi)Le jeu peut se poursuivre en mettant les enfants par binômes, ils sont tour à tour maître du jeu et joueur.

Le guide âne et les sites en ligne

le guide-âne ; il concerne plus particulièrement la dernière année du cycle 3,

où l’utilisation d’un guide-âne peut se montrer utile pour diviser un segment en un

nombre de parties qui n’est pas une puissance de 2.

http://pepit.be/exercices/primaire3/mathematiques/fractionspom2/FRACAS01.html

https://phet.colorado.edu/sims/html/fraction-matcher/latest/fraction-matcher_en.html

(différents niveaux de jeu)

Des outils / LE GLISSE NOMBRE LE GUIDEANE (outil Eduscol)

Des vidéos qui reprennent l’idée dedéplacement des chiffres et non de lavirgule (multiplier par 10, 100, 100/diviser par10, 100, 1000

Des référents construits progressivement dans lecycle 3 (Fractions et nombres décimaux au cycle 3Annexe 2: De la fraction simple à la fractiondécimale situation 2)

Jouer et s’entraîner Le triomino Jeux de mariages Jeu de bataille

Observations

Le T.B.I.