les fractions et les nombres décimaux

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Page 1: Les fractions et les nombres décimaux

1

Page 2: Les fractions et les nombres décimaux

Les fractions et les nombres

décimaux

Cycle 3: CM1-CM2

Mars 2016BW FR

2

Page 3: Les fractions et les nombres décimaux

L’objectif de la démarche

• Améliorer les apprentissages

mathématiques des élèves dans le domaine

des fractions et des nombres décimaux et

vaincre la permanence des difficultés des

élèves dans leur compréhension des

fractions et des nombres décimaux .

3

Page 4: Les fractions et les nombres décimaux

Quelle permanence des difficultés ?

• « Par rapport à 7, quel est le nombre

le plus proche : 6,9 ou 7, 08 ? »

Classe CM1 CM2 6e 5e

Réussite 22% 30% 27% 29%

4

Page 5: Les fractions et les nombres décimaux

La double problématique

• Comment faire surmonter aux élèves les difficultés rencontrées lors de la découverte des nombres décimaux ?

• Comment faire progresser les élèves dans leur conceptualisation des fractions et des nombres décimaux ?

5

Page 6: Les fractions et les nombres décimaux

Plan de l’animation

• I. Les difficultés

• II. Les contraintes

• III. Les réponses

6

Page 7: Les fractions et les nombres décimaux

I. Les difficultés

• 1. Les changements mathématiques.

• 2. Les obstacles liés aux représentations des

élèves.

• 3. Les connaissances antérieures nécessaires.

7

Page 8: Les fractions et les nombres décimaux

1. Les difficultés mathématiques

- La notion de successeur ou de prédécesseur n’a pas de

sens : entre deux décimaux on peut toujours en intercaler

autant que l’on veut.

- Les règles de comparaison, propres aux décimaux, ne

sont pas les mêmes que pour les entiers : il ne s’agit pas de

considérer la fraction ou le nombre décimal comme un

couple d’entiers.

- Le sens des opérations est à reconsidérer pour la

multiplication et de la division : l’utilisation du signe « x »

ne signifie pas l’agrandissement et l’utilisation du signe

« : » ne signifie pas que l’on est dans une situation de

réduction. De plus tout quotient peut être approché

d’aussi près que l’on veut.8

Page 9: Les fractions et les nombres décimaux

2. Les obstacles liés aux

représentations des élèves

9

Page 10: Les fractions et les nombres décimaux

- Les élèves confondent partage égalitaire et partage non égalitaire.

- Les élèves ne prennent pas en compte l’unité donnée pour écrire la

fraction d’une représentation géométrique donnée (le plus souvent

dans le cadre de fractions supérieures à 1).

- Les élèves confondent l’écriture fractionnaire et le nombre qu‘elle

représente.

- Les élèves ne prennent pas en compte l’échelle donnée pour lire la

graduation d’un point sur une droite graduée.

- Les élèves ne respectent pas la nécessité d’un partage à parts égales

pour placer un nombre sur une droite graduée.

- Les élèves ne savent pas lire une fraction.

- Les élèves ne savent pas écrire une fraction.

- Les élèves ne savent pas reconnaître l’égalité de deux fractions.

- Les élèves ne savent pas comparer deux fractions.

- Les élèves confondent l’écriture a/b et a,b.10

Page 11: Les fractions et les nombres décimaux

- Les élèves n’admettent pas qu’un nombre entier est un nombre décimal.

- Les élèves n’admettent pas qu’un nombre écrit sous forme de fractions décimales

est un nombre décimal.

- Les élèves n’appliquent pas le système de la numération de position aux chiffres

après la virgule (exemple : après 3,9 on trouve 3,10 puis 3,11 etc...

- Les élèves appliquent aux nombres décimaux les règles qui fonctionnent avec les

nombres entiers.

- Les élèves ne comprennent pas que les notions de prédécesseur et de successeur

n’ont aucun sens pour les nombres décimaux et qu’on toujours intercaler un

nouveau nombre entre deux nombres.

- Les élèves comparent les nombres décimaux en comparant la longueur de leur

écriture (leur nombre de chiffres).

- Les élèves croient qu’un nombre décimal est composé de deux parties distinctes

(disjointes) qu’ils peuvent traiter indépendamment.

- Les élèves confondent dizaine et dixième, centaine et centième.

- Les élèves ne font pas de relation entre la désignation orale et la désignation écrite

des nombres décimaux (4 unités et 5 centièmes est écrit 4,5).

- Les élèves ne prennent pas en compte des zéros situés entre la virgule et la partie

décimale (ils pensent que les zéros à droite de la virgule sont inutiles : 24,1 = 24,01

= 24,001).

11

Page 12: Les fractions et les nombres décimaux

3. Connaissances mathématiques

préalables à l’étude des fractions et

des nombres décimaux

12

Page 13: Les fractions et les nombres décimaux

ORGANISATION DE LA SEQUENCE 1 : ACTIVITES PREALABLES

Cette séquence doit permettre aux élèves de construire ou de

reconstruire l’ensemble des connaissances suivantes :

Dans le domaine « Nombres et calcul », il faut :

13

- maîtriser les tables de multiplication au moins par 2, 3, 5, 10 ;

- maîtriser la multiplication ou la division par des puissances de 10 ;

- être capable de trouver des multiples et des diviseurs d’un nombre donné ;

- connaître et utiliser les expressions comme « n fois plus » et

« n fois moins » ;

- savoir faire la différence entre partage égalitaire et non égalitaire ;

- connaître la notion de graduation ;

- savoir placer et repérer un nombre entier sur une droite graduée ;

- contrôler les écarts entre les nombres sur la droite numérique.

Page 14: Les fractions et les nombres décimaux

Dans le domaine « Géométrie », il faut :

- savoir partager un segment de longueur

donnée en plusieurs segments de même

longueur.

14

Page 15: Les fractions et les nombres décimaux

ORGANISATION DE LA SEQUENCE 6 : ENTRETIEN : Rationnel

mesure – Rationnel partage – Décimal abscisse

Cette séquence doit permettre aux élèves de reconstruire l’ensemble des connaissances

suivantes :

15

- connaître la notion de fraction ;

- connaître l’écriture fractionnaire d’une représentation

graphique ou géométrique ;

- nommer les fractions en utilisant le vocabulaire adéquat

(numérateur, dénominateur,

demi, tiers, quart, dixième, centième, etc..) ;

- savoir reconnaître des fractions égales ;

- savoir comparer des fractions ;

- savoir décomposer une fraction décimale en somme de fractions

décimales ou en somme d’un entier et d’une fraction décimale

inférieure à 1 ;

Page 16: Les fractions et les nombres décimaux

- trouver une fraction égale à une fraction donnée y compris dans le cas

des entiers naturels ;

- connaître la notion de graduation régulière (avec le choix d’une unité) ;

- savoir placer et repérer quelques fractions simples sur une droite

graduée ;

- connaître la notion de numération de position en base dix (savoir

effectuer des échanges et des groupements par dix) ;

- connaître la notion de nombre décimal et plus précisément le sens du

décimal abscisse ;

- savoir passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture à virgule d’un

nombre décimal et inversement ;

- savoir comparer, encadrer, intercaler des nombres décimaux

16

Durant cette séquence, des exercices d’entraînement seront également proposés

pour que les élèves sachent effectuer la somme de deux fractions (Programmes

2008).

Le maître pourra reprendre les séances de la séquence 1 et faire additionner

certaines fractions (les demis, quarts, dixièmes et centièmes).

Page 17: Les fractions et les nombres décimaux

II. Les contraintes

• 1. Les contraintes des programmes

• 2. Les contraintes didactiques

17

Page 18: Les fractions et les nombres décimaux

1. Les contraintes des programmes

Quid des nouveaux programmes?

Extraits…

18

Page 19: Les fractions et les nombres décimaux

Nombres et calculs

Au cycle 3, l’étude des grands nombres permet d’enrichir la compréhension

de notre système de numération (numération orale et numération écrite) et

de mobiliser ses propriétés lors de calculs.

Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux

nombres introduits pour pallier l’insuffisance des nombres entiers,

notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur

une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à

propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des

relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités,

dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes,

centièmes… Les caractéristiques communes entre le système de numération

et le système métrique sont mises en évidence. L’écriture à virgule est

présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou

d’une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour la nature

des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se

différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul.19

Page 20: Les fractions et les nombres décimaux

Attendus de fin de cycle

• Utiliser et représenter les grands nombres

entiers, des fractions simples, les nombres

décimaux.

• Calculer avec des nombres entiers et des

nombres décimaux.

• Résoudre des problèmes en utilisant des

fractions simples, les nombres décimaux et

le calcul.20

Page 21: Les fractions et les nombres décimaux

Connaissances et compétences associées Exemples de situations, d’activités et de

ressources pour l’élève

Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les

nombres décimaux

Comprendre et utiliser la notion de

fractions simples.

Écritures fractionnaires.

Diverses désignations des fractions

(orales, écrites et décompositions).

Repérer et placer des fractions sur une

demi-droite graduée adaptée.

Une première extension de la relation

d’ordre.

Encadrer une fraction par deux

nombres entiers consécutifs.

Établir des égalités entre des

fractions simples.

Utiliser des fractions pour :

» rendre compte de partage de

grandeurs ou de mesure de grandeurs

dans des cas simples,

» exprimer un quotient. Situation

permettant de relier les formulations la

moitié, le tiers, le quart et 1/2 de, 1/3 de,

1/4 de, etc. (fractions vues comme

opérateurs).

Par exemple, en utilisant une demi-

droite graduée, les élèves établissent que

5/10 = 1/2, que 10/100 = 1/10, etc.

Écrire une fraction sous forme de

somme d’un entier et d’une fraction

inférieure à 1. 21

Page 22: Les fractions et les nombres décimaux

Connaissances et compétences associées Exemples de situations, d’activités et de

ressources pour l’élève

Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres

décimaux

Comprendre et utiliser la notion de nombre

décimal.

» Spécificités des nombres décimaux.

Associer diverses désignations d’un nombre

décimal (fractions décimales, écritures à virgule

et décompositions).

» Règles et fonctionnement des systèmes de

numération dans le champ des nombres

décimaux, relations entre unités de numération

(point de vue décimal), valeurs des chiffres en

fonction de leur rang dans l’écriture à virgule

d’un nombre décimal (point de vue positionnel).

Repérer et placer des décimaux sur une demi-

droite graduée adaptée.

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des

nombres décimaux.

» Ordre sur les nombres décimaux..

Situations nécessitant

» d’utiliser des nombres décimaux pour

rendre compte de partage de grandeurs ou

de mesure de grandeurs dans des cas

simples.

» d’utiliser différentes représentations :

mesures de longueurs et aires, une unité

étant choisie,

» de faire le lien entre les unités de

numération et les unités de mesure

(dixième/dm/dg/dL,

centième/cm/cg/cL/centimes d’euros, etc.).

La demi-droite numérique graduée est

l’occasion de mettre en évidence des

agrandissements successifs de la graduation

du 1/10 au 1/1000.

22

Page 23: Les fractions et les nombres décimaux

Repères de progressivité

Fractions et décimaux : Les fractions sont à la fois objet

d’étude et support pour l’introduction et l’apprentissage des

nombres décimaux. Pour cette raison, on commence dès le

CM1 l’étude des fractions simples (comme 2 _ 3 ; 1 _ 4 ; 5 _ 2

) et des fractions décimales. Du CM1 à la 6e, on aborde

différentes conceptions possibles de la fraction, du partage de

grandeurs jusqu’au quotient de deux nombres entiers, qui sera

étudié en 6e. Pour les nombres décimaux, les activités peuvent

se limiter aux centièmes en début de cycle pour s’étendre aux

dix-millièmes en 6e.

23

Page 24: Les fractions et les nombres décimaux

Proposition de progression pour

la rentrée 2016

• a. La progression CM1

• b. La progression CM2

24

Page 25: Les fractions et les nombres décimaux

a. La progression CM1

25

Fractions

- Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le

vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième.

- Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de

codage de mesures de grandeurs.

Nombres décimaux

- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale

en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème).

- Savoir :

. les repérer, les placer sur une droite graduée,

. les comparer, les ranger,

. les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,

. passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et

réciproquement.

Page 26: Les fractions et les nombres décimaux

Calcul

- Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10,

100, 1 000.

- Addition et soustraction de deux nombres décimaux.

- Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier.

26

Page 27: Les fractions et les nombres décimaux

b. La progression CM2

27

Fractions

- Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs.

- Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction

inférieure à 1.

- Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions.

Nombres décimaux

- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en

fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000ème).

- Savoir :

. les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence,

. les comparer, les ranger,

. produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant

10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001...

- Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième

près.

Page 28: Les fractions et les nombres décimaux

Calcul

- Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les

nombres entiers et décimaux.

- Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000.

- Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers

ou décimaux.

- Division d’un nombre décimal par un nombre entier.

28

Page 29: Les fractions et les nombres décimaux

2. Les contraintes didactiques

• a. L’écriture sous forme de quotient.

• b. L’écriture sous forme d’une somme.

• c. L’écriture sous forme d’un produit.

29

Page 30: Les fractions et les nombres décimaux

a. L’écriture sous forme d’un

quotient

30

14

5

Page 31: Les fractions et les nombres décimaux

5 sens de la fraction

• Rapport ou division-quotition

• Fractionnement de l’unité

• La proportion

• Rationnel

• Division-partition de la pluralité

31

Page 32: Les fractions et les nombres décimaux

i – La proportion

• Les nombres 14 et 5 renvoient à des grandeurs

différentes. La fraction désigne une proportion,

elle est souvent définie par la formulation « 14

pour 5 ».

• On peut ainsi interpréter 14/5 comme :

- le fait de faire 14 kilomètres en 5 minutes (une

vitesse) ou de prendre 14 cuillères de sucre pour

5 cuillères de farine (proportion).

32

Page 33: Les fractions et les nombres décimaux

ii – La division-groupement ou le

rapport

- Les nombres 14 et 5 renvoient à des grandeurs de

même nature. La fraction désigne un rapport, elle est

souvent définie par la formulation « en 14 combien

de fois 5 ? ». Il est lu « 14 divisé par 5 ».

On peut ainsi interpréter 14/5 comme :

- la solution de l’équation 5x ? = 14.

- le quotient décimal de la division de 14 par 5 (ou

14 divisé par 5).

33

Page 34: Les fractions et les nombres décimaux

• Le nombre 14 renvoie à une grandeur alors que le

nombre 5 est sans dimension. La fraction désigne

une division-partage de la pluralité, elle est

souvent définie par la formulation « 14 partagé en

5 parts égales » et est lu « le cinquième de 14 ».

• On peut ainsi interpréter 14/5 comme :

- le fait de prendre 14 fois la grandeur-unité et de

réaliser ensuite un partage en 5 parts égales.

iii – La division-partage

34

Page 35: Les fractions et les nombres décimaux

iv – Le fractionnement de l’unité

Le nombre 14 est sans dimension et il opère sur 1/5. La

fraction désigne un fractionnement de l’unité et est

souvent définie par la formulation « 14 cinquièmes ».

- On peut ainsi interpréter 14/5 comme :

- le fait de partager une grandeur-unité en 5 parties

égales et d’en prendre 14 morceaux (14 fois 1/5 de l’unité)

35

Page 36: Les fractions et les nombres décimaux

v – Le rationnel

• Le nombre rationnel compris en 2 et 3 qui peut

s’écrire 2,8.

36

Page 37: Les fractions et les nombres décimaux

Au cycle 3

• Deux situations de référence conduisent à une utilisation de la fraction telle qu’elle est définie dans le fractionnement de l’unité :

– des situations de comparaison conduisant à la mesure de longueur dans lesquelles la fraction prendra un sens que nous désignerons par rationnel-mesure.

– des situations de fractionnement conduisant à la mesure d’aire dans lesquelles la fraction prendra un sens que nous désignerons par rationnel-partage.

37

Page 38: Les fractions et les nombres décimaux

b. L’écriture sous forme d’une

somme

Le nombre décimal peut également s’écrire sous

la forme d’une somme explicite (n = 2 + 8/10 +

5/100) ou implicite (n = 2,85 et dans ce cas 8 est

considéré comme 8 dixièmes et 5 comme 5

centièmes). Le nombre décimal est alors présenté

sous la forme d’une somme (de fractions

décimales) ou sous celle d’une écriture à virgule.

38

Page 39: Les fractions et les nombres décimaux

Au cycle 3

Deux situations de référence conduisent à une utilisation du nombre décimal sous cette forme de somme :

• des situations d’approximation de repérage de points sur la droite numérique dans lesquelles le décimal prendra un sens que nous désignerons par décimal-abscisse.

• des situations d’approximation de mesure de longueur de segment dans lesquelles le décimal prendra un sens que nous désignerons par décimal-mesure et qui engendrent les subdivisions successives de l’unité de mesure.

39

Page 40: Les fractions et les nombres décimaux

c. L’écriture sous forme d’un

produit

Le nombre décimal peut également s’écrire sous la forme d’un

produit. Ce produit est implicite puisque la puissance de dix est

éliminée par le choix de l’unité (n= 2,85 m = 285 x 10-2 m = 285

cm) Le nombre décimal ainsi exprimé permet la mesure d’une

longueur en référence au système métrique. La situation de

référence qui correspond à cette utilisation du nombre décimal est

la situation de mesure des grandeurs familières dans lesquelles le

décimal prendra un sens que nous désignerons par décimal-

système métrique.

40

Page 41: Les fractions et les nombres décimaux

III Les réponses

La découverte des concepts de fractions et de nombres

décimaux par les élèves va suivre la même chronologie que la

découverte de ces nouveaux nombres par l’Homme.

41

Page 42: Les fractions et les nombres décimaux

Un peu d’histoire• C’est vers 3000 avant J.-C que l’on trouve chez les scribes égyptiens la

symbolisation de fractions unitaires c’est-à-dire des « fractions de numérateur

1 ».

• Et dès 2000 avant J.-C, les Babyloniens utilisaient une écriture mathématique

qui leur permettait de représenter des grands nombres et certaines fractions

(1/120 ; 1/60 ; 1/30 ; 1/10 ; 1/5 ). L’utilisation de ces fractions particulières

découle du fait que leur système de numération n’était pas décimal comme le

nôtre mais sexagésimal c’est-à-dire en base 60.

• La notation fractionnaire avec la barre est un héritage des Arabes. Le Perse

Abu l-Wafa (940 - 998) a donné un statut de nombre à tout rapport de

grandeurs.

• Jamshid al Kashi (1380 - 1429) a été le premier à donner une définition des

fractions décimales. Il a montré comment décomposer toute fraction en somme

de fractions décimales.

• Et plus tard, le Belge Simon Stevin (1548 - 1620) a donné naissance aux

nombres décimaux dont l’écriture en ligne a grandement facilité les calculs.

42

Page 43: Les fractions et les nombres décimaux

43

Pour construire les chemins d’apprentissage, il s’agira donc

de répondre: - à des situations de comparaison conduisant à la mesure de

longueur,

- à des situations de fractionnement conduisant à des

mesures d’aire,

- à des situations d’approximation de repérage de points,

- à des situations d’approximations de mesure de longueur,

- à des problèmes de division-partage

- à des problèmes de division-groupement.

- Par ailleurs, la découverte dans un cadre géométrique

d’un concept sera suivie par son utilisation dans un cadre

numérique puis son réinvestissement dans un cadre

graphique ou inversement.

Page 44: Les fractions et les nombres décimaux

• Sept situations de référence :

• - Le jeu des segments

• – La droite graduée

• – Les feuilles et enveloppes

• – Les détectives

• – Le carré d’aire donnée

• – Les feuilles blanches

• – L’agrandissement et la réduction d’un

puzzle

44

Page 45: Les fractions et les nombres décimaux

Programmation proposée

45

Page 46: Les fractions et les nombres décimaux

46

Situations de

référence

Techniques

opératoiresP

RO

GR

AM

MA

TIO

N

CM

1Période 1

Séquence 1 : Activités préalables

Période 2

Séquence 2 :

La fraction: un nombre pour comparer des longueurs (Rationnel

mesure)

La fraction: un nombre pour fractionner l’unité en parts égales

(Rationnel partage)

Le jeu des segments

La droite graduée

Les feuilles

(enveloppes)

Période 3 Séquence 3 :

La fraction décimale: un nombre pour approximer un point sur la

droite graduée ( Décimal abscisse)Les détectives 1 et 2

Période 4

Séquence 4 :

Le nombre décimal: un nombre pour approximer un point sur la

droite graduée (Décimal abscisse), construction l’intérêt de l’écriture à

virgule

Les détectives 3Addition et

soustraction de 2

nombres décimaux

Période 5 Séquence 5 :

Comparer – Encadrer – Intercaler des nombres décimaux

Multiplication d’un

décimal et d’un entier

et division décimale de

2 entiers

CM

2

Période 1Séquence 6 :

Entretien : Rationnel mesure – Rationnel partage – Décimal abscisse

(sens découverts lors des séquences 2, 3 et 4)

Entretien

Périodes

2 à 4

Séquence 7 :

Le nombre décimal pour approximer la mesure de longueur de

segment (Décimal mesure)

Le carré d’aire

donnée

Multiplication de 2

nombres décimaux et

division d’un nombre

décimal par un entier

Période 5Séquence 8 :

Vers la 6ème : la division partage

et la division groupements comme autres sens de la fraction.

Les feuilles blanches

Agrandissements d’un

puzzle

Page 47: Les fractions et les nombres décimaux

Séquence 2: La fraction: un nombre

pour comparer des longueurs

(Rationnel mesure)

dans le cadre géométrique

47

• Objectif de séquence : Construire deux des sens de la fraction :

– le « rationnel mesure », un nombre pour comparer des grandeurs et conduisant à la mesure

• 1 situation de référence :

- Le jeu des segments

Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)

Page 48: Les fractions et les nombres décimaux

Suite de la Séquence 2: La fraction: un nombre

pour comparer des longueurs (Rationnel mesure)

dans le cadre graphique

• Objectif de séquence : Construire un premier sens de la fraction: le rationnel-mesure, un nombre pour se repérer sur la demi-droite graduée et conduisant à la mesure

• 1 situation de référence :

-La droite graduée

Changement de cadre : Géométrique ► Graphique

48

Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)

Page 49: Les fractions et les nombres décimaux

Suite de la Séquence 2 : La fraction:

un nombre pour fractionner l’unité en

parts égales (Rationnel-partage)

• Objectifs de séquence :

• - Construire un des sens de la fraction : le « rationnel-partage », un nombre conduisant à fractionner l’unité en parts égales et conduisant au partage

• 1 situation de référence :

- Les feuilles (enveloppes)

49

Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)

Page 50: Les fractions et les nombres décimaux

Séquence 3 : La fraction décimale: un

nombre pour approximer un point sur la

droite graduée ( Décimal abscisse)

• Objectifs de séquence :

• - Construire un des sens de la fraction : le « décimal-abscisse », un nombre conduisant à l’approximation aussi précise que souhaitée d’un point sur la droite graduée.

- Construire l’intérêt de l’écriture d’une fraction en fraction décimale: la simplification des calculs

• 1 situation de référence :

- Les détectives 1 & 2

50

Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)

Page 51: Les fractions et les nombres décimaux

Séquence 4 : Le nombre décimal: un nombre

pour approximer un point sur la droite

graduée (Décimal abscisse), construction

l’intérêt de l’écriture à virgule

• Objectifs de séquence :

- Construire un des sens du nombre décimal : le « décimal abscisse », un nombre conduisant à l’approximation aussi précise que souhaitée d’un point sur la droite graduée.

- Construire l’intérêt de l’écriture à virgule : la simplification des écritures et plus particulièrement de l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal.

• 1 situation de référence :

- Les détectives 3

51

Page 52: Les fractions et les nombres décimaux

Les détectives 3

• Présentation :

Le jeu des détectives 2 est repris avec les élèves avec un

affinement de la graduation. Il ne s’agit plus de trouver un

encadrement le plus précis possible de cette fraction mais

de déterminer un encadrement au centième près. Il s’agira

d’un jeu à plusieurs équipes de détectives (questionneurs)

contre une équipe adverse qui aura choisi la fraction à

approximer et qui devra répondre aux questions.

Objectifs :

• - Connaître l’écriture à virgule d’un nombre décimal.

• - Construire l’équivalence entre l’écriture fractionnaire et

l’écriture à virgule d’un nombre décimal. 52

Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)

Page 53: Les fractions et les nombres décimaux

Séquence 5 : Comparer, encadrer

et intercaler des nombres

décimaux• Objectifs de séquence :

• - Savoir comparer deux nombres décimaux ;

• - Savoir encadrer un nombre décimal par deux nombres, entiers ou décimaux.

• Pas de situation de référence.

53

Exemples de situations (cliquer sur le lien)

Lors de cette séquence les éléments de structurations

se porteront sur les règles de comparaison de 2 nombres

décimaux écrits avec une virgule.

Page 54: Les fractions et les nombres décimaux

Séquence 7 : Le nombre décimal pour

approximer la mesure de longueur de

segment (Décimal mesure)

• Objectifs de séquence :

• - Construire un des sens du nombre décimal: le décimal-mesure, un nombre conduisant à l’approximation aussi précise que souhaitée de mesure de longueur de segment et qui engendre les subdivisions successives de l’unité de mesure

• Pas de situation de référence.

54

Exemples de situations (cliquer sur le lien)

Lors de cette séquence les éléments de structurations

se porteront sur les règles de comparaison de 2 nombres

décimaux écrits avec une virgule.

Page 55: Les fractions et les nombres décimaux

Séquence 8 : Liens entre les

fractions et la division• Objectifs de séquence :

• - Savoir que la barre de fraction correspond aux deux grands sens de la division : la division-partage et la division-groupement.

• 2 situations de référence :

- Les feuilles blanches (activités de construction d’équivalence de surfaces)

- Agrandissement et réduction d’un puzzle (problème de proportionnalité)

55

Exemples de situations (cliquer sur le lien)

Page 56: Les fractions et les nombres décimaux

Les feuilles blanches• Présentation :

C’est une situation où les élèves auront à comprendre que 3 divisé par 4 c’est un quart de trois mais c’est aussi trois quarts c’est-à-dire de mettre en œuvre une première équivalence entre la fraction et la division partition.

Objectifs :

• - Faire acquérir à la barre de fraction l’un des deux grands sens de la division : la division-partition.

• - Donner du sens à a/b dans un contexte de partition de la pluralité : a/b désigne un bième de a.

• - Construire l’équivalence entre la partition de la pluralité et le fractionnement de l’unité : un bième de a = a bième.

56

Page 57: Les fractions et les nombres décimaux

Un quart de trois

Trois divisé par 4

Trois quarts

57

Page 58: Les fractions et les nombres décimaux

Agrandissement et réduction d’un

puzzle

• Présentation :

Elle va permettre aux élèves de construire une

première équivalence entre la fraction et la

division groupement.

Objectif :

• - Interpréter a/b comme quotient de

l’entier a par l’entier b, c’est-à-dire

comme le nombre qui multiplié par b

donne a (programme de 6ème). 58

Page 59: Les fractions et les nombres décimaux

8

16

6 12

59

Page 60: Les fractions et les nombres décimaux

Séquences de calcul possibles

• Objectifs de séquence :

• - Savoir additionner, soustraire et multiplier

deux nombres décimaux.

• - Savoir diviser un nombre décimal par un

entier.

• Pas de situation de référence.

60

Page 61: Les fractions et les nombres décimaux

Progressi

on des

étapes →

ETAPE 1 ETAPE 2 ETAPE 3 ETAPE 4 ETAPE 4 ETAPE 5 ETAPE 6 ETAPE 7

Descriptif

de la

situation

Addition

de deux

nombres

décimaux

Soustracti

on de

deux

nombres

décimaux

Multiplica

tion par

10, 100,

1000.

Multiplica

tion d’un

nombre

décimal et

d’un

entier

Divion

décimale

de deux

entiers

Entretien

Multiplica

tion de

deux

nombres

décimaux

Division

d’un

nombre

décimal et

d’un

entier

Activité

de l’élève

4,28 + 3,6

15,43 +

2,16

38,70 +

9,60

23,64 +

35,45

7,46 –

3,25

9 – 6,4

14,7 –

3,65

7 – 6,82

12,09 –

3,2

0,1 x 10

0,01 x 10

0,1 x 100

0,01 x 100

0,1 x 1000

0,01 x

1000

0,3 x 10

0,05 x 10

0,3 x 100

0,05 x 100

0,3 x 1000

0,05 x

1000

7,3 x 10

4,27 x 10

7,3 x 100

4,27 x 100

7,3 x 1000

4,27 x

1000

43,9 x 5

56,87 x 9

5,06 x 6

32,74 x 4

234,7 x 8

302,8 x 4

23,9 x 3

0,9 x 5

0,87 x 9

0,06 x 6

52,74 x 14

234,7 x 38

302,8 x 25

23,9 x 432

36 : 5

233 : 2

38 : 4

3 : 4

78 : 10

84 : 5

300 : 16

20 : 80

63,9 x 5,1

50,87 x

9,5

5,06 x 6,7

65,24 x

4,8

213,7 x

0,8

32,8 x 0,4

23,91 x

3,6

0,9 x 5,6

0,87 x

9,87

0,06 x 0,6

43,2 : 9

40,6 : 7

73,5 : 6

71,6 : 5

96,48 : 4

165,55 : 7

287,16 : 6

430,74 : 9

61

Page 62: Les fractions et les nombres décimaux

62

Page 63: Les fractions et les nombres décimaux

63

Séquence 2

Séance 1

Le jeu des

segments

Page 64: Les fractions et les nombres décimaux

64

Séquence 2 Séance 2

Le jeu des segments

Obj: Construire un 1er ensemble de fractions

élémentaires et des écritures additives pour

exprimer des mesures de longueur obtenues

en reportant une bande-unité: ½; ¼; 1/8

Structuration:

Les fractions sont des nombres qui permettent

de mesurer des longueurs qui ne peuvent pas

l’être par des nombres entiers.

Les fractions peuvent s’écrire ½; ¼; ¾…

Elles sont constituées d’un numérateur et

d’un dénominateur. Pour la fraction 3/8, 3 est

le N et 8 le D.

Certaines fractions ont un vocabulaire

spécifique: un demi (1/2), un quart (1/4), trois

quarts (3/4).

Page 65: Les fractions et les nombres décimaux

65

Séquence 2 Séance 4

Le jeu des segments

Obj: Poursuivre la construction du

1er ensemble de fractions

élémentaires et des écritures

additives pour exprimer des mesures

de longueur obtenues en reportant

une bande-unité: 1/3; 1/6.

Page 66: Les fractions et les nombres décimaux

66

Séquence 2 Séance 5

Le jeu des segments

Obj: Même objectif que les séances

précédentes pour 1/5; 1/10.

Structuration (suite à celle de la séance 2):

Certaines fractions ont un vocabulaire

spécifique: un tiers (1/3), deux tiers (2/3).

Les autres se lisent en utilisant le suffixe –

ième: un dixième (1/10), un cinquième (1/5),

un sixième (1/6), sept dixièmes (7/10)…

Page 67: Les fractions et les nombres décimaux

67

Séquence 2 Séance 6

Le jeu des segments -

Entraînement

Présentation de la situation:

(écrit-individuel)

Chaque élève s’entraîne à mesurer

des segments en utilisant les

écritures fractionnaires.

Page 68: Les fractions et les nombres décimaux

68

Séquence 2 Séance 8 (dernière de la séquence)

Le jeu des segments

Présentation de la situation: 1er

changement de cadre (géométrique à

numérique)

2 temps:

- Mesurer une série de segments pour

les ranger

- Ordonner une série de nombres

fractionnaires

Compétences travaillées:

- Utiliser des mesures de longueur

pour comparer et ranger des

segments.

- Comparer des fractions

Retour

Page 69: Les fractions et les nombres décimaux

69

Séquence 2

La droite graduée

Présentation de la situation: 2ème changement

de cadre (géométrique à graphique)

Suite de séances de communication (émetteur-

récepteur) au cours desquelles les élèves vont

réinvestir leurs connaissances de la fraction-

mesure dans un nouveau cadre (graphique) et

établir une correspondance longueurs-nombres

qui va contribuer à assurer un statut de nombres

à ces mesures formulées en écriture

fractionnaire.

Structuration :

Une droite graduée avec différents points sert

de trace écrite.

Ils placent sur cette droite toutes les fractions

déjà construites jusqu’alors dans la progression.

Page 70: Les fractions et les nombres décimaux

70

Séquence 2: Séance 5 (dernière de la séquence: de réinvestissement)

La droite graduée

Présentation de la situation:

changement de cadre (graphique à

numérique)

2 temps:

- Placer une série de points sur une ½

droite graduée

- Comparer les nombres

fractionnaires

Retour

Page 71: Les fractions et les nombres décimaux

71Retour

Séquence 2: 5 séances

Les feuilles

(enveloppes)

Présentation de la situation: les élèves ont à

découvrir un 2ème sens de la fraction, le

rationnel-partage qui permet de répondre à

des situations de fractionnement conduisant

à une mesure d’aire ou de longueur

Objectifs :

-Utiliser les fractions pour coder l’aire de

portions de feuilles de papier

-Donner un statut de nombres aux fractions

Page 72: Les fractions et les nombres décimaux

72

Autre type d’enveloppes, ici la n°2

Structuration (elle sera progressive au

fil des séances et de la reprise de la

situation):

1/6 + 1/6+1/6 = 3/6= ½ ½+1/2 = 1

1/2 = 5/10 = 4/8

Elle permet également de ranger les fractions

et d’en déduire que quand le numérateur =1,

alors plus le dénominateur est grand plus la

fraction est petite:

1/12<1/6<1/4<1/3<1/2<1

Retour

Page 73: Les fractions et les nombres décimaux

73

Séquence 3 (7 séances):

• Présentation de la situation des détectives:

- Détective 1 : C’est une nouvelle situation de communication où une équipe de deux élèves jouent contre toute la classe. Il faut que la classe arrive à encadrer au plus près la fraction choisie par les deux élèves. Cette situation oblige les élèves à expliciter et à justifier leurs calculs. L’obligation de communiquer leurs calculs est le moyen utilisé pour que les élèves réfléchissent à la manière de faciliter leurs calculs et se rendent compte de l’économie cognitive faite lorsqu’ils choisissent des puissances de 10. Il s’agit de faire apparaître la fraction comme un nombre et non pas comme un couple d’entiers.

- Détective 2 : Le jeu des détectives est repris avec les élèvesavec un affinement de la graduation. Il ne s’agit plus detrouver un encadrement entre deux entiers de la fractioncherchée mais de trouver un encadrement le plus précispossible de cette fraction.

Page 74: Les fractions et les nombres décimaux

74

Page 75: Les fractions et les nombres décimaux

75

Structuration

possible:

Page 76: Les fractions et les nombres décimaux

76

Exemple

d’exercices

d’entraînement:

Retour

Page 77: Les fractions et les nombres décimaux

Exemples de situations proposées lors de la séquence 4

77

Points remarquables de structurations:

L’écriture fractionnaire ou l’écriture à virgule sont

2 écritures possibles pour des nombres décimaux

que l’on appelle Nombres décimaux.

Un nombre est un nombre décimal s’il peut écrire

sous les 2 formes: 947/100 = 9,47

Un nombre décimal est composé de la partie

entière et de la partie décimale: 9 est la partie

entière de 9,47 et 47 est la partie décimale de 9,47

Introduction du tableau de numération.

Retour

Page 78: Les fractions et les nombres décimaux

78

Exemples de situations

proposées lors de la

séquence 6

Page 79: Les fractions et les nombres décimaux

79

Exemples de situations proposées lors de la séquence 6

Retour

Page 80: Les fractions et les nombres décimaux

80

Page 81: Les fractions et les nombres décimaux

81

Exemples de situations proposées lors de la séquence 8

Retour

Page 82: Les fractions et les nombres décimaux

82

Exemples de situations proposées lors de la séquence 7

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