Atelier Fractions et décimaux Christine Caux – Christine Mangiante - Stéphanie Montigny - Séverine Warzée

Apports didactiques Nous reprenons ci-dessous un extrait des programmes de cycle 3 (paragraphe introductif de « nombres et calculs ») que nous commentons.

1. Les nombres décimaux, de nouveaux nombres ?« Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l'insuffisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. »

Les nombres décimaux sont de nouveaux nombres puisqu’ils permettent de résoudre de nouveaux problèmes. De plus, ils présentent de "nouvelles propriétés". Par exemple, l’intercalation est toujours possible entre deux nombres décimaux donnés, ce n’est pas le cas pour les nombres entiers ; un nombre entier (non nul) possède toujours un (seul) « successeur » et un (seul) « prédécesseur », ce qui n’est pas vrai pour les nombres décimaux…

Ne pas oublier toutefois que les nombres entiers sont des nombres décimaux (l’ensemble des nombres entiers est inclus dans l’ensemble des décimaux). Il convient par conséquent de faire des liens entre ces "nouveaux nombres" et les nombres entiers.

2. Importance du lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers

« Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes... Les caractéristiques communes entre le système de numération et le système métrique sont mises en évidence. »

Notre système de numération présente deux aspects.

Il s’agit de comprendre que la valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans le nombre.

Il s’agit de comprendre les liens entre les unités de numération.

(D’après les travaux de Frédérick Tempier)Ce qui est dit ici à propos des nombres entiers est vrai aussi à propos des nombres décimaux : Dans l’écriture décimale des nombres décimaux, la valeur des chiffres dépend de leur position et les différentes unités sont liées entre elles par des « relations » décimales : dix unités d’un certain ordre sont égales à une unité de l’ordre immédiatement supérieur : dix millièmes, c’est un centième, dix centièmes, c’est un dixième et dix dixièmes, c’est une unité !Ainsi, des connaissances à propos du fonctionnement de notre système de numération acquises à propos des nombres entiers sont à étendre aux nombres décimaux.

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3. Convention d’écriture « L'écriture à virgule est présentée comme une convention d'écriture d'une fraction décimale ou d'une somme de fractions décimales. »

Les décimaux écrits avec une virgule : ça ressemble à des entiers alors certains élèves pourraient penser que cela se manipule comme des entiers, mais ce ne sont pas des entiers.

D’un point de vue conceptuel, ce sont des fractions. L’écriture à virgule est un système économique de notation des décimaux qui facilite les calculs mais qui masque leur véritable nature.

Le travail sur les unités de numération permet de faire le lien entre les différentes écritures d’un nombre décimal. 37,254 c’est 3 dizaines, 7 unités, 2 dixièmes, 5 centièmes, 4 millièmes mais c’est aussi 37 unités et 254 millièmes ou encore 37 254 millièmes…etc…

4. Des règles qui changent ? « Cela permet de mettre à jour la nature des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul. »

Par exemple, la règle de comparaison « dans une série de nombres, celui qui s’écrit avec le plus de chiffres est le plus grand » est valide lorsqu’on l’utilise pour les nombres entiers mais n’est plus le cas si on l’utilise pour les nombres décimaux. Se pose alors la question de la mise en cohérence des règles établies à propos des nombres entiers et de celles qui vont être établies pour les nombres décimaux. Cette cohérence n’est possible que si l’enseignant amène les élèves à recourir à l’écriture fractionnaire et aux unités de numération.

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ANNEXE 1Extraits du document « Fractions et nombres décimaux au cycle 3 », EDUSCOL

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ANNEXE 2Tous les textes de cette partie sont extraits du document « Fractions et nombres décimaux au cycle 3 », EDUSCOL

a) Au moment de l’introduction des nombres décimaux

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b) Comparaison de nombres décimaux et demi-droite graduée

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c) Calculs avec des nombres décimaux : cas de l’addition