Des fractions aux nombres décimaux

C. Clanché – IEN La Tour du Pin16 novembre 2011

Introduction

La logique du plan de formations en circonscription

Constats � évaluations CM2

� C’est dans les domaines des nombres et du calcul que l’écart avec les résultats départementaux est le plus important : 4,5 points

Constats � des « petites » choses déjà entreprises

� Un simple rappel des attendus des programmes

� présentation de qqs outils (notamment Ste Blandine, M. Bec : CM2)

� Les difficultés persistent : un réel temps de formation est nécessaire

Pour apporter des réponses…

� Dans quel ordre aborder les fractions et les décimaux ? Pourquoi ?

� De quelle manière aborder les fractions ?

� A quoi sert un nombre décimal ?

� Quels sont les travaux jugés intéressants, facilitateurs, importants…?

� Quels sont les principaux obstacles repérés, les difficultés récurrentes constatées chez les élèves ? Les écueils à éviter pour l’enseignant ?

Une présentation en 5 rubriques

1. Les connaissances que l’enseignant doit maîtriser à son niveau

2. L’identification des connaissances à faire acquérir aux élèves

3. Les obstacles aux apprentissages

4. Des outils pour l’enseignant (séances, progressions, analyse de manuels…)

5. L’évaluation des acquis des élèves

Précision sur la notation

Pour des raisons « techniques »

13

sera notée 1/3 dans cette présentation

Mais avec les élèves il convient d’utiliser

Pourquoi de nouveaux nombres ?

Mise en situation : À vous de jouer !

Pourquoi de nouveaux nombres ?1. Pour répondre de manière

satisfaisante à des problèmes de partage– Partage de l’unité

Pourquoi de nouveaux nombres ?1. Pour répondre de manière

satisfaisante à des problèmes de partage– Partage de l’unité

Pourquoi de nouveaux nombres ?

1. Pour répondre de manière satisfaisante à des problèmes de partage– Partage de l’unité (2)

Pourquoi de nouveaux nombres ?

1. Pour répondre de manière satisfaisante à des problèmes de partage– Partage de l’unité (2)

Pourquoi de nouveaux nombres ?

Partage de la pluralité

Pourquoi de nouveaux nombres ?

Partage de la pluralité

Pourquoi de nouveaux nombres ?

2. Pour répondre de manière satisfaisante des problèmes de proportion

Pourquoi de nouveaux nombres ?

2. Pour répondre de manière satisfaisante des problèmes de proportion

Pourquoi de nouveaux nombres ?2. Pour répondre de manière

satisfaisante des problèmes de proportion

Pourquoi de nouveaux nombres ?2. Pour répondre de manière

satisfaisante des problèmes de proportion

Pourquoi de nouveaux nombres ?3. Pour repérer de manière précise un

point sur une droite

Pourquoi de nouveaux nombres ?3. Pour repérer de manière précise un

point sur une droite

Mettons les fractions au même dénominateur.1/5 = 12 / 601/3 = 20 /60

et 1 /4= 15 / 60.

L'écart entre 1/3 et 1/5 est égal à 8 / 60. Chaque graduation correspond donc à 1/60

La réponse est donc le b.

Un nouvel ensemble de nombres

Les résultats à tous ces problèmes peuvent s’exprimer sous la forme d’un quotient de 2 entiers.

� Un nouvel ensemble de nombres est créés :

les rationnels

Mais un ensemble de spécialistes

� Lourdeur des techniques de calcul

1/4 + 2/10 = ?

� Comparaison des nombres rationnels difficiles

5/7 ? 7/9

Une nouvelle forme d’écriture

Un fractionnement de l’unité en puissances de 10

� L’écriture à virgule Simon Stevin dit Simon de Bruges

1548 – 1620

Un système facilitateur…

� Lourdeur des techniques de calcul

1/4 + 2/10 = ?

0,25 + 0,2 = ?

Un système facilitateur…� Comparaison des nombres rationnels

difficiles5/7 ? 7/9

0,70 < 5/7 < 0,750,75 < 7/9 < 0,80

5/7 < 7/9

…mais pas généralisable

22/8 = 275/100 = 2,75mais

22/7 = 3,142857142857…

� Un ensemble « intermédiaire » de nombres

Les nombres décimaux

L’ensemble des décimaux

D’autres problèmes � d’autres nombres

Les pythagoriciens

� c’est un nombre incommensurable

Rationnel ?A = 0,7162162162162…

� Oui !Répétition de 3 décimales � x 10001000A = 716,216216216…

999 A � 716,216216216…- 0,7162162162162…

999A = 715,5Donc A = 7155 / 9990 = 53 / 74

D’autres problèmes � d’autres nombres

Johann Heinrich Lambert

en 1761 �

π n’est pas un rationnel

Des problèmes encore non résolus !

e n’est pas rationnel mais qu’en est-il deπ + e

?

32

33

Attention, tous les rationnels ne sont pas des décimaux…

En résumé

Les compétences à faire acquérir aux élèves

Et dans les progressions des programmes ?

Rien (ou presque) en CE2 mais un certain nombre d’approches ou de notions abordées au CE2 facilitent l’ introduction des fractions et des nombres décimaux dans la suite du cycle.

Les pré-requisLe partage égalitaire

La droite gradu ée

La multiplication

Avoir des connaissances sur les fractions « sociales »

Les fractions

Les difficultés des élèves par rapport aux fractions

a / b ���� a,b

5 / 45 / 85

Les difficultés des élèves par rapport aux fractions

6

Les difficultés des élèves par rapport aux fractions

Attention à ne pas brûler les étapes : 2/3 = 2:3 � programme du collège

À l’école, 2/3 c’est 2 fois 1/3

ou 2 unités partagées en 3 parts égales

Deux situations déclenchantes

1 - Les bandes � vidéo

Le lancement de l’activité

La nécessité d’utiliser de nouveaux nombres

Des découvertes à consolider

Des problèmes de lexique

Vers l’abstraction

Un enseignement qui véhicule des représentations…

Toute pratique enseignante s’accompagne de représentations spécifiques : c’est de la responsabilité du maître de les repérer pour proposer des activités correctives .

Deux situations déclenchantes

2 – Les robots � déroulé de séquence

La situation

Découvertes des propriétés

LES DECIMAUX

64

Difficult és d’apprentissage

LES DECIMAUX

Evaluation CM2 - 2010

Dix-huit unités et trois centièmes� 18,03� 18,003� 18,3� 318� 3018� 18,300� 018 003� 300,18� 0,18 …

67

LES OBSTACLES À L’APPRENTISSAGE

DUS AU CONTENU MATHÉMATIQUE LUI-MÊME

68

I- DIFFICULTÉS LIÉES À LA RUPTURE AVEC LES NOMBRES ENTIERS

1. Passage du discret au continu

2. Un même nombre peut avoir plusieurs écritures / plusieurs écritures peuvent désigner un même nombre

3. Les nombres décimaux ne se comptent pas dans l’ordre

4. Adaptation de certaines techniques opératoires

69

II-DIFFICULTÉS LIÉES À L’ÉCRITURE ET À LA LECTURE DES NOMBRES

Pas de parallélisme !

324,58

unité unitième

dixième

Problème de lecture de la partie décimale

324,582

Cinq centquatre-vingt- deux

Pourtant il y ahuit centièmes

71

LES OBSTACLES À L’APPRENTISSAGE

DUS AUX MÉTHODES D’APPRENTISSAGE

72

RECOLLEMENT DE DEUX ENTIERS

Pour certains élèves:

32,48 c’est 32 et 48

32,48 + 16,87 = 48,135et

32,48 >32,7 car 48>7

73

NOTION DE PARTIE DÉCIMALE

La partie décimale de 32,48 ?

La partie décimale de 32,048 ?

la « partie décimale » de 32,48 48 48 centièmes

LES CONCEPTIONS DES ELEVES

� Les « théorèmes » élèves� Des règles d’action

75

LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVESQUELQUES THÉORÈMES « ÉLÈVES »

Le suivant de 3,6 est 3,7

Entre 5,12 et 5,13 il n’y a aucun nombre

Quand on multiplie, cela augmenteQuand on divise, cela diminue

76

LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVESQUELQUES RÈGLES D’ACTION

0,4 x 0,3 = 0,12 (juste)

mais

0,3 x 0,3 = 0,9 (faux)

Ordre sur les décimaux

Les erreurs des élèves

21,5 < 4,01 car 215 < 401

4,15 < 3,21 car 15 < 21

5,043 > 5,15 car 043 � 3 chiffres15 � 2 chiffres

5,15 > 5,8 car 15 > 8

Les procédures à envisager et …à systématiser

2,70

comparaison par normalisation des parties décimales

2,7 ? 2,13

Les " 0 inutiles " deviennent " utiles " !

Les procédures à envisager et …à systématiser

comparaison de gauche à droite

2 ,2 7 5 ? 2 ,2 7 3 7

Les procédures à envisager et …à systématiser

la mise au point

la justification de l’une ou l’autre

permet aux élèves d’en contrôler l’utilisation

donne l’occasion d’un travail intéressant sur la compréhension de l’écriture décimale.

La droite graduée : un support privilégié

Mais attention aux réussites trompeuses

Mais attention aux réussites trompeuses

Les droites graduées

Nombres à placer : 2,7 1,5 1,95 2,03 2,3 2,15 2,20

Réinvestir des outils utilisés pour les entiers

Pour montrer qu’en comptant de 0,1 en 0,1 après 0,9 vient 1 et non 0,10 :

� Les abaques :� Les groupements par 10, les échanges

� La calculatrice :� Compteur mécanique

http://www.scalpa.info/logiciels_news.php

Opérations et décimaux

Addition et soustraction

Technique acquise sur les entiers mais…

37,8 + 12,2

Peu de problèmes

3,785 + 12,2

plus de problèmes

Connaissances instables sur les décimaux

Faut-il aligner par la droite comme on le leur a répété depuis

le CE1?

Addition et soustraction

Mêmes difficultés d’alignement

Technique instable même sur les entiers

Pour poser 12,6 – 5,73 � 12,6 = 12,60

Techniques instables même sur les entiers

+

+

+

Multiplication

Les limites de l’addition réitérée

8 x 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8

Mais 8,2 x 1,7 = ???

Alors que …

� 5,4 x 6,3

� Et même… ¾ x 4/5 =

Rappel

� CM1 � multiplication d’un décimal par un entier

� CM2 � multiplication de 2 nombres décimaux

Multiplication Technique opératoire

Multiplication d’un nombre décimal par un entier

Partir d’une courte situation problèmeUn croissant coûte 0,85 €. Quel est le prix de 6 cr oissants ?

Une explication possible de la technique (je fais lje fais l ’’opop éération sans tenir ration sans tenir compte de la virgule et je la positionne au rcompte de la virgule et je la positionne au r éésultatsultat) tient au fait que le résultat de 0,85 x 6 peut être obtenu en calculant d’abord 85 x 6, puis en divisant le résultat par 100, car 0,85 c’est 85 div isé par 100.

Le travail sur cette technique suppose donc une bon ne compréhension des nombres décimaux (valeur des chiffres en foncti on de leur position dans l’écriture à virgule), ainsi que celle de la mu ltiplication et de la division par 10, 100, 1000. L’appui sur la monnaie et le calcul « en centimes » se ront facilitateurs.

Multiplication de nombres décimaux

Calcul de 12,7 12,7 ×× 35,235,2

1 2 , 71 2 , 7

××

3 5 , 23 5 , 2

2 5 42 5 4 2 2 ×× 127127

6 3 5 6 3 5 00 5500 ×× 127127

3 8 1 3 8 1 0 00 0 330000 ×× 127127

4 4 7 0 44 4 7 0 4,,

Multiplication Technique opératoire

Tout se déroule comme dans l’exemple précédentJe fais l’opération sans tenir compte de la virgule et je la positionne au résultat.

En fait, je vais multiplier 127 dixièmes par 352 dixièmes

Le résultat doit donc être exrpimé en centièmes

On pourra aussi s’appuyer sur les fractions décimales et les aires

1/10 x 1/10 = 1/100

1/10

1/10

Multiplication Aide m émoire

Un relevé des erreurs éventuelles ?

Exemple 1 : 1,54x1000

Application à tort de la règle des entiers : 1,54000 Multiplication de la partie entière : 1000,54 et/ou de la partie décimale 1000,54000

Exemple 2 : multiplication d’un décimal par un entier 7 x 0,3 ≠ 0,21

Exemple 4 : des résultats où seule la virgule est fautive. On peut se demander si l'alignement des virgules des deux nombres donnés n'induit pas un alignement de la virgule pour le résultat.

Exemple 3 : multiplication d’un décimal par un entier ou de deux décimauxLe résultat (le produit) ne semble pas possible car inférieur. Ex : Tu achètes un morceau de comté du Jura pesant 0,5 kg. Le kg de fromage coûte 10,60 €. Combien vas-tu payer ?

Le jeu de l’oie

La division

4 2 3 7 2 3

12 3

-

1 9 3

8

-

9 7

4

9 2

5

1 8 4

-

Quotient de la division de 4237 par 23 est 184 et il reste 5.

On peut écrire :

4237 = 23 × 184 + 5

Division décimale de deux entiers (au programme du CM1)

4237 : 23 = 184 reste 5

4 2 3 7 2 3

12 3

-

1 9 3

8

-

9 7

4

9 2

5

1 8 4

Sommaire

05 c’est 50

dixièmes

0,

, 2

4 6

-

-

4

0

0

4 dixièmes c’est

40 centièmes

1

2 3-

1 7

Quotient décimal approché au centième : 184,21

On peut écrire :

4237 = 23 × 184,21 + 0,17

Division décimale de deux entiers (au programme du CM1)

Une recherche importanteLe nombre de chiffres de la partie entière du quotient

23 x 1 < 4237 < 23 x 10 � NON23 x 10 < 4237 < 23 x 100 � NON23 x 100 < 4237 < 23 x 1000 � OUI

Donc la partie entière du quotient sera comprise entre 100 et 1000

� 3 chiffres

4 2 , 3 7 2 3

2 3-

1 9 3

-

9 7

9 2

5

1 8 4

Sommaire

Division d’un décimal par un entier (au programme du CM2)

1 , 8 4

-

Quotient décimal approché au centième : 1,84

On peut écrire :42,37 = 23 × 1,84 + 0,05

Pour synthétiser

Quoi ? Quand ?

Progression « synthétique»

Progression « complète»

Cf. documents

Et dans les manuels ?

� Porter un regard d’expert pour choisir les manuels en connaissance de cause

� Compléter le manuel si nécessaire

L’évaluation

Quelques outils

Un outil oublié� banqoutils

Cycle 3 ou collège

Fraction ou décimal

Un exemple

http://www.crem.be/DL/Decimaux/fasc4_Decival.pdf

prof

Le travail à conduire en équipe

� Compléter sa formation :Téléformation mathématiques

� Analyser le manuel en usage� Adapter, modifier sa progression� Fabriquer des jeux, construire des

séances,…� Proposer des activités

Le travail à conduire en équipe