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Chap VI Flexion simple
Cours de rsistance des matriaux K. GHENIA
FLEXION SIMPLE
1) Introduction exprimentale :
considrons une poutre reposant sur deux appuis soumise une charge concentre
verticale.
Aprs dformation, cette poutre accuse un flche ( dplacement vertical des diffrents
points, do le nom de flexion ) et on constate que les fibres situes en partie suprieure
sont sollicites en compression tandis que celles qui sont situes en partie infrieure sont
sollicites en traction.
Entre ces deux rgions, il existe une fibre qui nest ni tendue ni comprime : cest la fibre
neutre.
Hypothses :
On considrera dans cette tude des poutres plan moyen, cest--dire pour lesquelles y
est axe de symtrie de la section droite. En outre, toutes les forces sont appliques dans le
plan ( xoy). ( les couples et moments sont ports par z).
P
x
y
P
Zone comprime
Zone tendue Fibre neutre
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Les matriaux sont supposs homognes. La fibre neutre est donc confondue avec la ligne
moyenne ( cest--dire que la fibre neutre passe par le centre de gravit de toutes les
sections droites).
2) Diffrents types de flexion plane :
1-2) Flexion pure :
Cette flexion correspond au cas o les sollicitations dans une section quelconque se
rduisent au seul moment flchissant ( pas deffort tranchant ).
Remarquons que ce cas, bien que trs intressant dun point de vue thorique car il permet
de dissocier les effets du moment flchissant de ceux de leffort tranchant, napparat
pratiquement jamais dans la ralit.
Exprimentalement, on observe un comportement de flexion pure dans un cas comme
celui-ci :
x y
y
x P P
Zone o V =0
M = Cte
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1-2) Flexion simple :
Cest le cas o les sollicitations dans une section sexpriment sous la forme du torseur :
V(x)
M(x)
Dans ce cas, on mettra en vidence par le calcul leffet de leffort tranchant associ celui
du moment flchissant.
3) Etude de la flexion simple :
3-1)Ccontrainte normale due au moment flchissant :
Considrons une poutre sur deux appuis soumise une charge quelconque. Nous allons
examiner le comportement dune section ( xo) et reprendre lhypothse de Navier-
Bernoulli :
Pour que lhypothse de Navier-Bernoulli soit vrifie, il est ncessaire que lallongement
relatif de la fibre sur laquelle est situe le point M soit une fonction linaire des
coordonnes du point M dans la section (x). Daprs la loi de Hooke, il en est de mme
pour la contrainte, que nous crirons :
= a + b.y + c.z
comme nous lavons vu la fin du chapitre 3, les sollicitations scrivent :
N(xo) = (xo) z)dS(y, (1)
M(xo) = dS z)y,( y.(xo) (2)
x
y
M y
z
M
y
M y
z
x
y
z
Avant dformation Aprs dformation
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Dveloppons lexpression (1) en remarquant que leffort normal est nul :
(xo) a.dS + (xo)b.y.dS + (xo) c.z.dS = 0
les axes y et z passant par le centre de gravit G de la section, on a (daprs la dfinition
du centre de gravit ) :
(xo)y.dS = (xo) z.dS = 0
on en dduit donc :
a = 0
dveloppons de mme lexpression (2) :
(xo)a.y.dS + (xo)b.y.dS + (xo)c.y.z.dS = M(xo)
le troisime terme du premier membre est nul : (xo).y.z.dS tant le produit dinertie
dune section symtrique par rapport laxe y.
on reconnat en outre la quantit (xo) .dSy qu est le moment quadratique de la section
(xo) par rapport laxe z.
on dduit de cette quation lexpression de la constante b :
Iz
)M(x b
o=
en exprimant la nullit du moment flchissant port par y ( problme plan) on dduit trs
aisment :
c = 0
do lexpression de la contrainte normale en un point M(y,z) de la section (xo) :
y . Iz
)M(x y),(x
oo =
Exemple : Variation de la contrainte normale dans une section rectangulaire.
Considrons la section suivante (xo) dune poutre droite :
59

Le moment quadratique par rapport laxe z scrit : 12
bh Iz
3
=
faisons varier y de 2h
2h + . Les contraintes en fibres suprieure et infrieure
scrivent :
bh
)6.M(x -
o=s
bh
)6.M(x
o
i +=
le diagramme de rpartition des contraintes normales dans la section (xo) est donc :
b
h
y
z G
i = -s
s y
G(x0)
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4) Dformations :
Nous allons dans ce paragraphe tablir des relations entre la dformation de la poutre
et le moment flchissant qui la sollicite.
Considrons un tronon de longueur dx dune poutre avant et aprs dformation.
Considrons une fibre m1m2 situe la distance y de la fibre neutre.
Aprs dformation cette fibre est reprsente par m1m2.
La dformation relative scrit :
21
22
mm
mm' =
les dformations tant petites, on peut crire :
m2m2 = y.d
en outre : m1m2 = dx
la dformation scrit donc :
dxd y. =
et daprs la loi de Hooke, la contrainte a pour expression :
dxdE.y. =
exprimons prsent le rayon de courbure de la fibre neutre :
y
x y
dx
d
G1 G2
m1 m2 m2
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d
dx G. R 2 =
en remplaant dans lexpression de la contrainte, il vient : .y RE =
puis en galant la valeur de la contrainte normale en flexion pure, on obtient une relation
entre la courbure ( qui est linverse du rayon de courbure) et le moment flchissant :
E.Iz
M(x)
R1 ==
le terme E.Iz
1 est appel flexibilit de la poutre, inverse de la rigidit en flexion : EIz.
Nota : la courbure reprsente en outre la rotation de la section :
dxd =
dtermination de la configuration dforme de la poutre :
on dmontre, en gomtrie analytique, que le rayon de courbure dune courbe dquation
y = f(x) scrit :
''y
y') (1 R
3/2+=
et, les dformations tant faibles, y est ngligeable devant 1 . on peut donc exprimer R
sous la forme :
''y
1 R =
Si y = f(x) est lquation de lallure dforme de la poutre, nous pouvons crire :
E.Iz
M(x) 'y' =
cest lquation diffrentielle de la dforme .
* Processus dintgration :
En intgrant une premire fois lquation (1), on obtient la pente ou la rotation de la
dforme labscisse x qui est gale a :
tg dx
dy== [rd] (2) ( car est petit )
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de lquation (2) on peut crire :
EIM
dx
dy
dxd ==
do
.dx EIM d =
en intgrant une deuxime fois lquation (1), on obtient la flche y de la dforme
labscisse x
Exemple :
* On co

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