II - 5Flexion pure

Philippe.Bouillard@ulb.ac.beversion 15 juillet 2011

II - 5 - 2Flexion pure

Aperçu� Définition � Sécurité des pièces fléchies

– calcul du moment d ’inertie– forme rationnelle

� Poutres composées de 2 matériaux– [Frey, T. II, Chap. 5]

II - 5 - 3Flexion pure

Flexion pure� définition : flexion pure ou circulaire

– poutre soumise à M constant– T=dM/dx ⇒ T = 0 (!)

Dispositif expérimental :flexion 4 points

d’après [Frey, 2000, Vol. 2]

-+

?

II - 5 - 4Flexion pure

Application pratique ?� Voyez-vous une application pratique à ce

schéma statique ?

M

II - 5 - 5Flexion pure

Un exercice intuitif

Solution : Feuille pliée ou ondulée

⇔ augmenter Iz/y

Réaliser un « pont » entre deux tables (e≈10cm) permettant de déposer un stylo en toute sécurité

à l’aide d’une feuille de papier A4

e

[CIM béton, 2000]

II - 5 - 6

Ryrayon du cercle

Flexion pure

Hypothèse (cinématique) de Bernoulli– « Les sections planes et normales à la fibre

moyenne avant la déformation restent planes et normales à la fibre moyenne après la déformation »

(reproduction Frey, 2000, Vol. 2)

II - 5 - 7Flexion pure

Bernoulli : mise en équations

yR

y

s

ds −=

s

dsx =ε

yx R

y−=ε

Ry est le rayon du cercle

fibre moyenne

II - 5 - 8Flexion pure

Méthode inverse� supposons le matériau élastique linéaire

(⇒ σx = E εx)� postulons

� équations d’équilibre de translation en volume– satisfaites avec fi=0

� équations de compatibilité satisfaites– car τij linéaire

−

=

00

0R

Ey

yijτ

0fiijj =+∂ τ

II - 5 - 9Flexion pure

Équilibre de translation en surface� équations d’équilibre de translation en surface

∫ =A GAyydAor,

N=0 ⇒ y=0 en G !

0dATA xyy == ∫ τ 0dAT

A xzz == ∫ τ

0ydAR

EdAN

Ay

A x =−== ∫∫ σ

Par ailleurs,

(Frey, 2000, Vol. 2)

II - 5 - 10Flexion pure

Équilibre de rotation en surface (1/2)

� équations d’équilibre de rotation en surface

Iz = moment d’inertie (géométrique) autour de l’axe z (m4)

zy

A

2

yA xz I

R

EdAy

R

EydAM −=−== ∫∫ σ

II - 5 - 11Flexion pure

� calcul de la courbure de 2 manières :

� on en déduit la contrainte normale

� σx = 0 en y = 0 : définition de l’axe neutre

Calcul des contraintes

z

zx

I

yM=σ (équation de Navier) ***

EyRR

Ey

R

y x

yy

x

y

x

σσε −=⇒

−=⇒

−=

1

z

z

y

z

y

zEI

M

RI

R

EM −=⇒−=

1

Bernoulli :

Équilibre :

II - 5 - 12Flexion pure

Équilibre de rotation en surface (2/2)� équations d’équilibre de rotation en surface

� Et,

( ) 0dAzyMA xyxzx =−= ∫ ττ

yzy

Ay

A xy IRE

yzdARE

zdAM ∫∫ ==−= σ

Iyz = produit d’inertie

II - 5 - 13Flexion pure

Flexion plane� Définition : My = 0

– flexion dans le plan Oxz uniquement

� Possible ssi Iyz = 0– càd si yz sont les axes principaux d’inertie– ce qui le cas dès qu’∃ un axe de symétrie– pas possible pour les sections :

II - 5 - 14Flexion pure

� contraintes extrémales aux fibres extrémales– (équation d’équarrissage)

� méthode des contraintes admissibles (déterministe)–

� méthode des états limites

� ATTENTION : fibres comprimées ⇒ déversement !!!

Sécurité des pièces fléchies

z

xI

My infsup/=σ

−+≤= /infsup/infsup/ adm

zI

Myσσ

dimsup/ inf

F e zd

IM M

y

γ σ≤ =

II - 5 - 15Flexion pure

Conception des pièces fléchies

Iz/ysup/inf est le module de résistance en flexion

EIz est le module de rigidité en flexion

infsup/yI

M

zx =σ

zy EI

M

R−=

1

II - 5 - 16Flexion pure

Moments d’inertie géométriques� la théorie de la flexion fait apparaître des

moments d’inertie géométriques(analogie des moments d’inertie du mouvement

du solide plan mais ne pas confondre)

� Iij est un tenseur d’ordre 2 (et en a les propriétés !)

∫==A

2zyy dAyII ∫==

A

2yzz dAzII ∫=

Ayz yzdAI

II - 5 - 17Flexion pure

Moments d’inertie des figures planes� moment d’inertie par rapport aux axes x et y

(toujours > 0)� produit d’inertie

(nul si axe de symétrie)� moment d’inertie polaire

∫=A

2x dAyI ∫=

A

2y dAxI

∫=Axy xydAI

∫=A

2p dArI yxp III +=

(Frey, 1990, Vol. 1)

II - 5 - 18Flexion pure

Moment d’inertie d’un rectangle

3

bhbdyydAyI

3h

0

2

A

2basex === ∫∫

12

bhbdyydAyI

32h

2h

2

A

2centralx === ∫∫

−

(Frey, 1990, Vol. 1)

II - 5 - 19Flexion pure

Formule de Huygens/Steiner

Ix et Iy sont donc minimaux au centre

abAII

AaII

AbII

CC

C

C

yxxy

2yy

2xx

+=

+=

+=

(Frey, 1990, Vol. 1)

II - 5 - 20Flexion pure

Calcul par décomposition� décomposition en somme algébrique

( )∑ += i2ixx AbII

Ci

(Frey, 1990, Vol. 1)

II - 5 - 21Flexion pure

Axes principaux d’inertie� moments d’inertie Ix et Iy

extrémaux

� produit d’inertie Ixy nul– si un axe (au moins) de

symétrie

� détermination des axes principaux par loi de changement d’axes (cercle de Mohr) (Frey, 1990, Vol. 1)

II - 5 - 22Flexion pure

Forme rationnelle� diminuer σx ⇒ augmenter Iz /y� or, augmenter Iz ⇒ augmenter y

� profil ‘idéal’

zx I

My=σ

∫=A

2z dAyI

2

th 2

h

2

A2I

=

2

hA

y

I

thinfsup/

th =

II - 5 - 23Flexion pure

Rendement géométrique

( )thinfsup/

infsup/e y/I

y/I=η

ηe=2/3 ηe≈1/2 ηe=1/3 ηe=1/4 ηe=1/6

II - 5 - 24Flexion pure

Remarques (1/3)� limitations du profil en I

– progrès du laminage– encombrement transversal des sections– largeur efficace– résistance au cisaillement– corrosion

� facilité de mise en œuvre du profil rectangulaire– matériaux peu onéreux (bois, béton)

II - 5 - 25Flexion pure

Remarques (2/3)� position de l’axe neutre

– sections dissymétriques– σe égaux en traction/compression ⇒ section

symétrique optimale– σe différents ⇒ calcul de la section optimale

� axe fort - axe faible d’une poutre fléchie � aucun axe de symétrie : attention à la flexion

gauche (rappel)

II - 5 - 26Flexion pure

Remarques (3/3)� Bernoulli : valable

même si non homogène transversal (béton armé, bois, fibres)

� déformation transversale : effet de Poisson

(Frey, 2000, Vol. 2)

II - 5 - 27Flexion pure

Poutres composées de 2 matériaux

n

bb~ b

a =aay I

~E

M

R

1−=

aa I

~My

=σn

ab

σσ =

II - 5 - 28Flexion pure

Illustrations des poutres fléchies� revêtements routiers sous poids des essieux

[CIM béton, 2000]

II - 5 - 29Flexion pure

Effets thermiques� un gradient de température fait apparaître une

déformation de flexion

[CIM béton, 2000]

II - 5 - 30Flexion pure

Poutre en béton armé

Mz armatures principales de flexion[TGC???, 2000]

II - 5 - 31Flexion pure

Poutre à inertie variable

Éléments porteurs d’un mur rideau.Photo en phase de construction

[références manquantes]

+

Mz Inertie variable

II - 5 - 32Flexion pure

Poutre ajourée

[http://oikos.com/products/metals/smisteel/]

II - 5 - 33Flexion pure

Flexion d’un arbre mécanique

d’après [Burr, 1982]

Mz +

II - 5 - 34Flexion pure

Evolution de la conception des ponts

arcarc en encorbellement

poutreponts suspendus

ponts haubanésLa technologie dépend de la portée

[réf. manquantes]

II - 5 - 35Flexion pure

La jambe du nageur

[Fung, 1990]

II - 5 - 36Flexion pure

Flexion de la colonne vertébrale

http://www.1backpain.com/