Chapitre 4: Pices soumises la flexion simpleVM Calcul lELU: Au Sections rectangulaires Sans aciers comprims Avec aciers comprims Sections en T Calcul lELS: As Sections rectangulaires Sans aciers comprims Avec aciers comprims Sections en TPlan du CoursM(x)Mmax(L/2)=ql2/8xPoutre isostatique sur deux appuis simplesAEn pratique, pour amliorer ladhrence acier-btonPoutre isostatique sur deux appuis en console Il faut justifier, quaucun tat-limite, ultime ou deservice, nest atteint. Dans de nombreux cas, il est possible de connatre lavance ltat-limite qui sera dterminant, ce qui rendinutile toute vrification ultrieure vis--vis dautres tats-limites. Dans le cas de la flexion simple, ltat-limite dterminant est :lELU, si la fissuration est peu prjudiciable ;lELS (douverture des fissures), si la fissuration est prjudiciable ou trs prjudiciable.Dimensionnementcalcul de la section A daciers longitudinaux Calcul lELU dune section rectangulairedy= obc28bu f0,85 f =b d 0,8 f b y0,8 f Fbu bu bo = =A.N.cbfbuFbb0,8 ycsosyhdosFs=Au osAuZMuMu: moment sollicitant la section lELU ) 0,4 - d(1 d 0,4 - d 0,4y - d20,8y- d Z o = o = = ==o =Z F MA Fquilibre d' Equationsb us u b)] 0,4 - b)[d(1 d 0,8 f ( Mbu uo o =)] 0,4 - (1 )[0,8 bd f ( M2bu uo o =rduit Moment) 0,4 - (1 0,8bd fM2buu=> o o = = ZMAsuuo=) 2 1 - (1 25 , 1 = o) 0,4 - d(1 Z o =Rgle de Trois pivots: Moments frontiresFlexion Simple0hhdA3,510AB0120,259dCalcul autour du Pivot A (Rgion 1): Mu s MABCalcul autour du Pivot B (Rgion 2):MABs Mu s MBCC 2Mu s MABMABs Mu s MBCMoments Frontires3,5B0d186 , 0259 , 0 d 259 , 0 yABAB AB= =>= o => =493 , 01 , 1 1,1d h yBCBC BC= =>= o => = =Moment frontire MABMoment frontire MBC10A0hMu< MAB20,259dCMABs Mu s MBC21Dimensionnement Rglement BAEL limite la hauteur du bton comprim en flexion simple (pour limiter la contrainte de compression du bton) En gnral, ylu ~ 0,4h, olu ~0,3 (Fe 400) et olu ~0,27 (Fe 500) - Si o s olu=> s luet M sMlu=> Pas besoin darmatures comprimes- Si o > olu=> > luet M > Mlu=> on a besoindarmatures comprimesDimensionnement= => >= => s=>= => => s = = => => s =su s es s es2buusesu s s2buuf siE si- 1 5 , 3 B Pivot bd fM186 , 0ff 10 A Pivot186 , 0bd fMo c cc o c cooc o c ssluE = 200 GPacosef10-10cesee Ef= cExemple 135 cm60 cm8 m11 1-154 cmExemple1 Poutre uniformment charge Charges permanentes y compris poids propre: p=12,5 kN/ml Charges dexploitation: q = 17,2 kN/ml Dure dapplication des charges > 24h Bton: fc28= 25 MPa Acier: FeE 400 HAlu= 0,3Calculer la section dacier lELU au niveau de la section mdiane de la poutre dans le cas dune combinaison fondamentaleExemple1 Mp= pl2/8 =100 kN.m Mq= pl2/8 =137,6 kN.m Mu= 1,35 Mp + 1,5Mq = 341,4 kN.m= 0,3414 MN.m fbu= 0,85 (25)/1,5 = 14,17 MPa fsu= 400/1,15 = 348 MPa Exemple1 Moment rduit = = Mu/(bd2fbu) = 0,235 < lu=> Pas besoin darmatures comprimes > 0,186 => Pivot Bo = 0,34 => cs= 3,5 (1-o)/o = 6,8cs> ce= 348/200000 = 1,74 => os= 348 MPa Z =d (1-0,4o) = 0,54*(1-0,4*0,34)=0,4666 m Au= Mu/ (Z os) = 0,002102 m2= 21 cm2Exemple13 HA163 HA203 HA163 HA10Cadre + trier HA8=> A = 21,4cm2Exemple 1 1erlit dl1= 60 3 - 0,8 - 1 = 55,2 cm 2emelitdl2= 55,2 - 1 - 0,8 = 53,4 cm 3emelitdl3= 53,4 - 0,8 2,5 0,8 = 49,3 cmSd Sdd S S dii iGAi i i GA ==53cm03 , 6 03 , 6 42 , 93 , 49 03 , 6 4 , 53 03 , 6 2 , 55 42 , 9dGA=+ + + + =53cm d 4cm 5 dreel calcul= > =54-53/100= 1% < 5%Au=Acalcul*1,01=21,21 cm2< Arelle =21,4cm2OK.Sections rectangulaires avec armatures comprimesA.N.0,8 oludcb=3,5csoludhdosfbuAubAudcscFbFs1=Au1 osZ+Fsc=AuoscFs2=Au2 osd-doscMuM1M2=Mu-M1MuDimensionnement Mu= M1+ M2 M1= lub d2fbu M2= Mu- M1) 2 1 - (1 25 , 1lu lu o =) 0.4 - d(1MAs lu1u1o o=) d - (dMAs'2u2o=scsu2'uA Aoo=u2 u1 uA A A + ===Z F MA Fquilibre d' Equationsb 1s u1 bo==) d' - (d F MA FEtsc 2s u2 scoDimensionnement conomie => M2 0,4 Mu Flambement des armatures comprimes => maintenir les armatures comprimes par des armatures transversales dont lespacement st 15 ucExemple b = 70cm h = 110cm d = 101cm d = 9cm Bton: fc28= 27 MPa Acier: FeE 400 HA Mu= 3,8 MN.mlu= 0,3 Calculer la section dacier lELUExemple fbu= 0,85 (27)/1,5 = 15,3 MPa fsu= 400/1,15 = 348 MPa Moment rduit = = Mu/(bd2fbu) = 0,34785 > lu=> armatures comprimes ncessaires olu= 0,4594 > 0,259=> calcul autour du pivot B=> cs= 3,5 (1-olu)/olu= 4,12 cs> ce= 348/200000 = 1,74 => os= 348 MPa csc= 3,5 (olud-d)/(olud) = 2,82 > ce= 1,74 => osc= 348 MPa M1= lub d2fbu = 3,2776 MN.m M2= Mu- M1= 0,5224 MN.m ysh0=> Section rectangulaire (b, d) Mu> MTu=> y> h0 => Section en TDimensionnementA.N.Mu>MTubMu MT,uDimensionnementbM2Mu= M1+ M2Au= Au1+ Au2h0b0Au=+Au1Au2M1Dimensionnement| | ]2h- [d )h b - (b f M00 0 bu 2 =s02u2)2h- (dMAo=2 u 1M - M M =) 0.4 - d(1MAs 11u1o o=Au= Au1+ Au2Exemple1,2m0,8m4,8m1,65m110,4m0,21mCoupe 1-1 Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml Charges dexploitation: q = 0,8T/ml Charge concentre Permanente: G=79T Exploitation: Q=23T Bton: fc28= 20 MPa Acier: FeE 400 HA Fissuration peu prjudiciable CalculerAu lELU au niveau de la section o sapplique la charge concentreExemplea bPLM(a) = Pab/LxLM(x) = pLx/2 px2/2p++a bPLp=Exemple Mg1: 3x4,8x1,65/2 3x1,652/2=7,79625T.m Mg2: 79x1,65x3,15/4,8 = 85,54218 T.m Mq1: 0,8x4,8x1,65/2 0,8x1,652/2=2,079T.m Mq2: 23x1,65x3,15/4,8 = 24,90468 T.m Mu= 1,35x(7,79625 + 85,54218) +1,5x(2,079 + 24,90468) = 166,48T.m = 1,6648MN.m fbu= 0,85 (20)/1,5 = 11,33MPa fsu= 400/1,15 = 348 MPa Exemple1,89T.m ]2h- )[d bh f ( M00 bu Tu= = Mu MTu=> Section rectangulaire (b=0,8m;d= 1.1m) Moment rduit = = Mu/(bd2fbu) = 0,152 < lu=> Pas besoin darmatures comprimes < 0,186 => Pivot A =>cs= 10 =>os= 348 MPao = 0,207 Z =d (1-0,4o) = 1,00892 m Au= Mu/ (Z os) = 0,004742 m2= 47,4 cm2Exemple10 HA205 HA16 + 5 HA14=> A=48,9cm2drel=(114,2*31,42+ 108,9*10,05+107,4*7,70)/48,9drel=112,051 > dcalcul=1,1 => OKSchma de ferraillage propos: