determination ferraillage complet poutre en flexion simple

Initiation au bton arm.

Dtermination de ferraillage complet d'une poutre en flexion simple ( ltat limite ultime)

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1. Principe du bton arm1.1. Introduction et historiqueLe bton arm correspond un mariage judicieux de matriaux aux caractristiques complmentaires : lacier pour sa capacit rsister aux contraintes de traction et le bton pour sa capacit rsister la compression. Le bton tant lui-mme un mlange intelligent de granulats, de ciment et deau. Le ciment et lacier rsultent quant eux de processus de fabrication spcifiques. Les mthodes de composition de bton permettant dobtenir les performances voulues sont trs 3 labors. Nanmoins pour donner des ordres de grandeur disons que la "recette" pour obtenir 1 m de bton "courant" consiste malaxer environ 1200 kg de graviers, 600 kg de sable, 400 kg de ciment et 200 litres deau. Cela permet d'esprer, 28 jours d'ge du bton, une rsistance la compression de l'ordre de 30 MPa. Actuellement les btons courants contrls atteignent rgulirement 25 40 MPa, les btons haute performance (BHP) 50 100 MPa voire plus. La rsistance la traction des btons courants est de 8 12 fois plus faible et la rupture d'une pice sollicite est brutale. Le bton est un matriau fragile et peu rsistant la traction (comme la pierre). La pierre comme le bton ayant une trs faible rsistance la traction ne permet pas de rsoudre facilement le problme du franchissement qui pose la question de la rsistance aux efforts internes de traction. Les votes ou les arcs sont une rponse ce problme car leur forme permet de navoir que de la compression dans le matriau (reste nanmoins rsoudre la question des pousses horizontales en pied). Le bois et lacier rsistent aux efforts de compression et de traction. Mais pour que le bton rsiste aussi il faut larmer ou le prcontraindre. On trouvera ci-aprs un bref historique du bton arm

La dcouverte du cimentLe mlange de Chaux, d'argile, de sable et d'eau est trs ancien. Les er gyptiens l'utilisaient dj 2600 ans av. J.-C. Vers le I sicle, les Romains perfectionnrent ce liant en y ajoutant de la terre volcanique de Pouzzole, ce qui lui permettait de prendre sous l'eau, ou en y ajoutant de la tuile broye (tuileau), ce qui amliorait la prise et le durcissement. Un des premiers grands ouvrages en bton est le Panthon de Rome, construit sous Adrien en 128 ap.J-C avec une coupole hmisphrique de 43,20 m de diamtre base de bton de pouzzolane.

Coupole du Panthon de Rome

Pourtant, la dcouverte du ciment est attribue Louis Vicat, jeune ingnieur de l'cole nationale des ponts et chausses. En 1818, il fut le premier au monde fabriquer, de manire artificielle et contrle, des chaux hydrauliques dont il dtermina les composants ainsi que leur proportion. La rgion Grenobloise est au dbut du 20 sicle un hau t lieu de production de ciment avec une cinquantaine de cimenteries autour de Grenoble. Pendant l'anne 1908, Jules Bied, directeur du laboratoire de la socit Pavin de Lafarge, dcouvre le Ciment Fondu, fabriqu partir de calcaire et de bauxite, alors qu'il tait la recherche d'un liant hydraulique qui ne soit attaqu ni par l'eau de mer ni par les eaux sulfates.


Le 19 sicle. Bton moul et pierres factices de c iment moulLe bton de ciment est apparu en architecture grce aux btons mouls et aux pierres factices, imitation des pierres de taille coules en bton ; souvent du bton de ciment prompt naturel. La pratique du moulage dbuta au dbut du XIX sicle dans les rgions o l'on connaissait dj le banchage du pis et grce la rapidit de prise du ciment prompt naturel (dit aussi ciment romain). e Franois Cointeraux faisait dj des moulages Lyon et Grenoble la fin du XVIII sicle. Franois Coignet fut un des plus importants promoteur du bton moul. Industriel lyonnais, il btit son usine de Saint-Denis (Paris) en 1855 en bton-pis qu'il breveta. La pierre factice eut un vritable succs dans la rgion de Grenoble, grce aux ciments prompts naturels partir des annes 1840 (Ciment de la Porte de France par Dumolard et Viallet, Ciment d'Uriol par Berthelot et Ciment de la Prelle par la socit Vicat ; aujourd'hui, seuls La Porte de France et la Prelle, proprits de Vicat, produisent du ciment prompt naturel en Europe) . On moulait tout, canalisation d'gouts, vases, statues, balustrades, pierres d'angles, de claveaux, corniches, modillons, etc. Cette pratique s'est rpandue ensuite dans de nombreuses grandes villes d'Europe. Les villes du nord de l'Italie ont aussi utilis le ciment moul, grce au prompt import de Grenoble. Grenoble est non seulement le pays de la houille blanche mais aussi celui de l or gris : La Casamaures vers 1855 et La Tour Perret 1925 en tmoignent. En Isre, on btissait au 19 de nombreuses maisons et s surtout des glises avec des lments architectoniques de ciment moul comme l'glise de Cessieu qui date de 1850, celle de Champier de 1853 ou encore l'glise Saint-Bruno de Voiron (1857-1871), SaintBruno de Grenoble (1869-1875) qui sont entirement en pierres factices de ciment prompt moul.e

Fig 1.2 La Casamaures

La Tour Perret

Lapparition des armatures avec le mortier armL'armature de mtal dans les mortiers provient des techniques de moulage en sculpture et fut utilis d'abord par des jardiniers exprimentateurs. Joseph- Louis Lambot Miraval fabriqua en 1845 des caisses pour orangers et rservoirs avec du fil de fer et du mortier, en 1849 une barque arme par un quadrillage de barres de fer, et enfin en 1855 il posa un brevet : le "ferciment", une combinaison de fer et de mortier pour les constructions navales et les caisses fleur. Il construisit un canot en 1855 qui passa inaperu l'Exposition universelle de Paris. Joseph Monier dposa en 1867, Paris, une demande pour "un systme de caissesbassins mobiles en fer et ciment applicables Dessins de J.L.Lambot l'horticulture". Il ralisa un premier pont bipoutre de 13,80m de porte Chazelet. Aprs un long oubli, il fallut attendre lextrme fin du XIXe sicle pour quen France, Hennebique, fasse nouveau, usage du bton arm, lui donnant un vritable dpart.

La premire ralisation en bton arm : Barque de Joseph Louis Lambot 1849. Muse de Brignoles

Pont bi-poutre de Chazelet, 1875, Joseph Monier


L'invention du bton armEn Angleterre, des entrepreneurs comme Alexander Payne et Thaddeus Hyatt, tentrent dans les annes 1870 d'apprivoiser les armatures dans les btons mais furent dsavous par des contradicteurs et quelques infortunes. Aux tats-Unis les armatures mtalliques du bton furent dvoiles par William E. Ward et exploites par Ernest Leslie Ransome, avec ses fers Ransome dans les annes 1880. Il fallut attendre la matrise du bton arm, les rflexions techniques d'ingnieurs pour voir apparatre un vritable intrt cimentier. Franois Hennebique abandonna ainsi son mtier d'entrepreneur en 1892 et devint ingnieur consultant. Il eut un succs considrable. Cra une socit de franchises en construction et btit des dizaines de milliers d'difices. Il publia le magazine Bton arm partir de 1898 pour faire connatre ses travaux qui permirent la charpenterie monolithe d'liminer le ciment arm trop mince. Edmond Coignet et Napolon de Tedesco ont communiqu, les premiers en 1894, un mode de calcul rationnel des ouvrages en bton agglomr et en ciment arm. Les armatures, en fer, puis en acier, revtent des formes varies : barres cylindriques lis ses, mais aussi carres, torsades, crneles, crantes, canneles On a aussi utilis des chanes, des feuillards, des profils de construction mtallique. Les moules (ou "coffrages") seront longtemps en bois, en fonte parfois et aujourd'hui couramment mtalliques pour les ouvrages rptitifs, voire en carton (poteaux circulaires). Ils permettent une libert de forme et un cot par rapport la pierre qui expliquent le fort dveloppement du bton arm au dbut du sicle.

Le 20 sicleLa circulaire du 20 octobre 1906 pose les premiers fondements techniques du bton arm, admis figurer parmi les matriaux de construction classiques. De son ct, Charles Rabut, faisant ses premiers travaux thoriques sur le bton arm l'cole des Ponts et Chausses, l'avait intgr son programme ds 1897 (cest le premier cours de bton arm), alors qu'il n'existait encore aucun manuel traitant du sujet. Il fait ainsi dcouvrir cette technique de jeunes ingnieurs, dont Eugne Freyssinet, le pre du bton prcontraint. Son brevet est dpos en 1929. Mais, c'est seulement aprs la Seconde Guerre mondiale que la prcontrainte commence se dvelopper. On doit aussi Eugne Freyssinet l'ide de la vibration du bton.

Pont du Sautet (Sud de Grenoble). Albert Caquot, 1928

A partir des annes 30, Pier Luigi Nervi conoit des ouvrages en exploitant un procd constructif de son cru fond sur l'utilisation du ferro-ciment, reprise perfectionne du systme Monnier. Le principe : des doubles ranges d'arcs se coupent angle droit (nervures). L'allgement de structure ainsi obtenu permet de dvelopper des portes considrables. Tout comme Freyssinet, Albert Caquot a t sensibilis au bton arm. Il construisit en 1920 le premier pont en bow-string (arc tirants) Aulnoye et lance surtout le premier pont haubans Pierrelatte en 1952. Au cours du 20me sicle les applications vont se multiplier : ouvrages d'art, rservoirs, chteaux d'eau, tribunes, soutnements, planchers industriels,... Aujourdhui beaucoup de ces ouvrages se dgradent, do une rflexion et des recherches sur le matriau et sur la conception des ouvrages (durabilit, rsistance au gel, enrobage)

Fin du 20 sicle, la recherche de hautes performan cesLa fin des annes 80 voit l'arrive du Bton Hautes Performances (BHP), d'une rsistance la compression suprieure 50 MPa. Alli la prcontrainte, ce matriau rvolutionne la construction des ouvrages d'art qui deviennent plus fins, plus lancs et plus durables. Au dbut des annes 90, Bouygues, Lafarge et Rhodia explorent le domaine de l'ultra-haute rsistance, bien au-del des 150 MPa.


Historique des rgles dfinissant la conception et le calcul des ouvrages : Circulaire du Ministre des Travaux Publics de 1906 (qq pages) Circulaire Ministrielle de 1934 (30 pages) Rgles BA 45 (90 pages) Rgles BA 60 Circulaire Ministrielle de 1964 Rgles CC BA 68 Rgles BAEL 80 modifies en 83 Rgles BAEL 91 (145 pages) Eurocode 2 "Rgles unifies communes pour les structures en bton"

1.2. Un exemple douvrage lmentaireMembrure comprime

bc

b h L L/2

Membrure tendue

bt

Fig.1.3 Poutre en bton non arm, de section droite rectangulaire b x h, franchissant une porte de L mtres de nu nu des appuis. La poutre est sollicite par son seul "poids propre", g, densit de charge uniformment rpartie, exprime en daN, kN ou MN par "mtre linaire" de poutre. Elle "travaille" en flexion "simple". A mi porte, le moment de flexion est maximum, il a pour intensit : 2 Mmax = g.L /8 Si on admet une distribution plane des contraintes normales agissant sur le bton de la section droite mi2 porte, les contraintes maximales valent bc = - bt = Mmax.v/L = 6.Mmax/(bh ) Si l'intensit de bt reste infrieure la rsistance la traction du bton, note ftj , il n'y a pas risque de rupture.


Exercice : Avec cette hypothse de distribution des contraintes, dterminer la porte maximum L dune poutre en 3 bton non arm ne supportant que son propre poids ( = 25 kN/m ). Application numrique : b = 30cm, h = 60cm, ftj = 2MPa, Solution : Charge linique uniforme g = bh 2 Moment flchissant maximum M = g.L /8 2 2 2 2 Contrainte maximum de traction bt = 6.M/(bh ) = 6.bh. L /(8 bh ) =3.. L /(4h) < ftj 1/2 1/2 Do L < (ftj .4h/(3..) = (2x4x0,6/(4x0,025) = 8m

On peut aussi reprsenter les forces rsultantes des compressions et des tractions Nbc et Nbt Leur intensit respective reprsente le volume des prismes de compression et de traction de la Fig.1.1. Soit Nbc = bc.(h/2).(b/2) = 2 Nbc = 6.Mmax/(bh ).(h.b/4) Nbc = 3 Mmax/(2h) = Nbt ou Mmax = Nbc (2/3).h = Nbt (2/3).h On parle de "couple des forces intrieures", de "bras de levier" Z = (2/3)h et de moment gal au moment de flexion maximum. Si on fait crotre le moment de flexion en appliquant la poutre non arme une charge dexploitation, note q, en daN, kN, ou MN par ml, la rupture brutale se produit si on atteint bt = ftj La rupture se produit dans la zone o rgne le moment de flexion maxi. Z = 2h/3

Fig.1.4 Couple de forces intrieures

Nbc

Nbt

q

Fig.1.5 Poutre non arme, charge

Exercice : 1. Dterminer la charge q que peut supporter la poutre si b = 30cm, h = 60cm, L=6m, ftj = 2MPa 2. Calculer ensuite les forces rsultantes des compressions et des tractions Nbc et Nbt

D'o l'ide de disposer, pralablement la mise en service, une (ou plusieurs) barres d'acier ("armatures") paralllement la direction et capable dquilibrer cet effort. On peut imaginer darmer ou de prcontraindre le bton.


Fig.1.6. Association darmature et de bton, mais larmature est dans un fourreau.

Il y a rupture par traction du bton, puis glissement de la barre d'acier l'intrieur du fourreau et ruine brutale.

Fig.1.7. Association darmature et de bton avec plaques dappui empchant le glissement de larmature et crous sur tige filete

La barre, initialement passive, devient active la mise en service. Les deux plaques d'appui interdisent le glissement relatif de l'acier par rapport au bton. Cette solution, mcanique, n'est pas utilise dans la pratique

Fig.1.8. Association darmature et de bton. Larmature adhre au bton.

La barre d'acier, sollicite en traction, est entoure par une "gaine" de bton. Un phnomne mcanique de frottement entre le bton et l'acier s'oppose au glissement de la barre. Cette solution est la plus conomique. On parle du phnomne, naturel, d'adhrence entre le bton et acier. Fig.1.9. Bton prcontraint

1. Lcrou est serr laide dune cl dynamomtrique de faon exercer un effort de traction dans la barre et par consquent un effort de compression dans le bton. Le bton est dit prcontraint

2. La poutre est ensuite charge. Le chargement a pour effet de dcomprimer la partie infrieure de la poutre et de comprimer la partie suprieure


Ce type de prcontrainte est dite par post-tension. Mais dans le domaine du btiment la prcontrainte par fils adhrents est plus couramment utilise. Il sagit de couler du bton autour de cbles initialement tendus par des vrins. Lorsque le bton atteint la rsistance voulue, les vrins sont relchs, et par adhrence les cbles vont prcontraindre le bton. Lors de l'tude d'une structure en bton arm, il va donc tre ncessaire de connatre l'origine et l'intensit des sollicitations de traction : un effort normal de traction, un moment de flexion, un moment de torsion, un effort tranchant, induisent des contraintes de traction dans le bton ; ce sont les plus faciles exprimer et quantifier l'aide des mthodes de la Rsistance des Matriaux adaptes au matriau bton arm, mixte et htrogne. les effets du retrait du bton, de la temprature (chocs thermiques, gradients de temprature), des tassements diffrentiels ventuels des sols de fondations, des chocs, des sismes, des explosions, de la grande hyperstaticit des ouvrages de btiment, sont connus mais difficiles quantifier. On s'en prmunit en respectant des dispositions constructives et en prvoyant des armatures minimales rglementaires.

1.3 Actions, Combinaisons, Etats LimitesLes diffrentes tapes d'un projet de bton arm sont les suivantes:

1. Analyse de la structure, modlisation 2. Dtermination des actions ou bilan des charges 3. Descente de charges et combinaisons d'actions 4. Sollicitations (N, V et M) 5. Dimensionnement 6. Plans de coffrage et plans de ferraillageCe paragraphe revient sur les points 2 et 4. Une structure en bton bien conue doit atteindre plusieurs objectifs: L'ossature ne doit pas s'effondrer L'ensemble doit rester en quilibre lorsque des charges sont appliques Le bton et l'acier ne doivent pas se rompre Les lments ne doivent pas flamber Limitation de l'ouverture de fissure Limitation des flches Fig 1.10 Etapes de ltudeM

La structure doit tre durable La structure ne doit pas se dformer excessivement

Les actions sont les charges appliques la structure, on distingue : Actions permanentes Actions variables G Q W S FA Poids propre des superstructures et des quipements fixes (cloisons, revtement de sol) Charge dexploitation Vent Neige Sismes NF P 06-004 NF P 06 001 NV 65 N 84 PS 92

Actions accidentelles


Les valeurs numriques de ces actions sont dfinies rglementairement. Ces valeurs caractristiques correspondent des valeurs dont la probabilit d'tre effectivement dpasses est fixe l'avance. Comme ces actions peuvent se cumuler, on parle de combinaison d'actions. On additionne les valeurs pondres des diffrentes actions (voir Annexe D du BAEL) La conception des ouvrages en bton se fait selon la thorie des Etats Limites. On distingue: Les Etats Limites de Service o E.L.S Ce sont les conditions qu'il faut respecter pour que l'exploitation normale et la durabilit de la construction soient assures. Les tats limites de service prsentent deux domaines: 1. Un domaine qui ncessite des calculs : par exemple, vrifier que des contraintes ou des dformations sont admissibles 2. Un domaine qui ne ncessite aucun calcul : c'est l'ensemble des dispositions constructives qui doivent tre assures. Les Etats Limites Ultimes ou E.L.U. Ils font rfrence aux conditions de rupture. Il s'agit de s'assurer que le risque de ruine est trs faible en prenant divers coefficients de scurit (sur les matriaux) et de pondration (sur les charges). En effet les sources d'erreur sont les suivantes : - Les matriaux peuvent tre moins rsistants que prvu. - Les charges appliques peuvent tre plus svres que prvu. - Les mthodes de calcul et les hypothses peuvent ne pas correspondre exactement la ralit.

Les diffrents tats limites en bton arm (selon BAEL) L'ensemble doit rester en quilibre lorsque des ELU dquilibre statique charges sont appliques Le bton et l'acier ne doivent pas se rompre ELU de rsistance des matriaux Les lments ne doivent pas flamber ELU de stabilit de forme Limitation de l'ouverture de fissure ELS de durabilit Limitation des flches ELS de conditions dexploitation

Perte dquilibre statique EQU

Rupture locale STR

Instabilit de forme STR

Fissuration ELS Dformation ELS Dfaillance du sol GEO

Fig.1.11 Diffrents tats limites

Vibrations ELS et charges dynamiques STR


1.4 Courbes enveloppesSelon que les diffrentes traves peuvent tre charges ou dcharges par la charge dexploitation, diffrents cas de charges doivent tre tudis. Dans le cas dune poutre sur deux appuis simples prolonge par un porte--faux on peut distinguer les 6 cas suivants :

1,5Q Cas 11,35G

1,5Q Cas 21,35G

Cas 31,35G

1,5Q

Cas 4G

1,5Q

Cas 5

1,5QG

Cas 60,9G

1,5QG

Ce cas est ventuellement dterminant pour lquilibre statique (risque de basculement). Le coefficient 0,9 est conforme larticle B.3.2,1 du BAEL. Ce sont les cas de charges 3 et 4 qui sont ventuellement dterminant pour le moment en trave et les cas 1 et 2 pour le moment sur appui.

Moments flchissant des diffrents cas de charges

Courbes enveloppes des moments flchissant


1.5. Application : Etude dune poutreCet exemple sera repris et poursuivi dans les chapitres 4 6 qui suivent Donnes du problme

Les charges appliques sont : 3 - le poids propre du bton arm 25kN/m 2 1,2 kN/m - le revtement de sol et les cloisons 2 - la charge dexploitation 1,5 kN/m La combinaison dtat limite ultime est 1,35G + 1,5Q

Modlisation

Poutre sur deux appuis : la liaison poteau poutre est une articulation ou un appui simple (aucun moment transmis)

Pu = 1,35G+1,5Q

G Bilan des charges G, Q

Q

poids propre de la dalle Poids propre retombe de poutre Revtement de sol et cloisons Total Charge dexploitation

0,18x2x25 0,20x0,32x25 1,2x2 G = 13 kN/m Q = 2x1,5 = 3 kN/m

1,35G + 1,5Q = 1,35x13 + 1,5x3 = 22,1 kN/m = 0,0221 MN/m

Vu (x) = 0,0221.X -0,0663 [MN] Sollicitations Vu M u Mu (x) = - 0,0221.X /2 + 0,0663.X [MN.m]2

Principe de ferraillage longitudinal


1.6 Application : Courbes enveloppes

Dalle paisseur 15cm

2,50

2,00 5,00

Poutre de section 20x50cm

Les seules charges considrer sont : G : poids propre du bton arm 2 Q = 4 kN/m

1. Vrifier que lquilibre statique de louvrage est assur pour la combinaison de charge suivante : G+1,5Q sur la partie en porte--faux de 2m et 0,9G sur la trave de 5m. 2. Dterminer les courbes enveloppes des moments flchissant pour chacune des deux poutres cidessus en considrant que la charge dexploitation Q peut se trouver indpendamment sur la trave de 5m ou sur la partie en porte--faux de 2m.

Solution : Chaque poutre supporte : G = poids propre de la dalle et de la poutre elle-mme 2 G =( 0,15x1,25 + 0,2x0,5)x25 = 7,19 kN/m 2 Q = 1,25x4 = 6 kN/m 1. Equilibre statique Ra Il suffit de vrifier que Ra et bien dirig vers le haut. Somme des moments par rapport lappui b gale 0. 0,9.G x5x2,5 - 5xRa - (G+1,5.Q)x2x1 = 0 Soit Ra = 9,7 kN dirig vers le haut. Lquilibre statique est assur. 2. Courbes enveloppes Les 5 cas de charges tudier sont ceux du 1.4.Moments en m.kN

1,25

Rb

48,8

37,4


1.7 Propositions de T.DA partir de ces quelques structures simples, donner : - la modlisation - le bilan des actions - les combinaisons ELS, ELU - les sollicitations M et V l'ELU (ventuellement l'ELS)

1

2

4 3

6 5

7

8


10 9 11

12

13

14

15 16

17 18 20 19


Annexe 1: Quelques personnages historiques...Daprs http://fr.structurae.de

Louis Vicat 1786- 1861

Joseph Louis Lambot 1814-1887

Joseph Monier 1823-1906

Franois Hennebique 1842-1921

Charles Rabut 1852- 1925

Eugne Freyssinet 1879- 1962

Albert Caquot 1881-1976

Pier Luigi Nervi 1891-1979

Louis Vicat 1856 Publication du livre "Trait pratique et thorique de la composition des mortiers, ciments et gangues pouzzolanes et de leur emploi dans toutes sortes de travaux, suivi des moyens d'en apprcier la dure dans les constructions la mer". Joseph Louis Lambot 1848 Barque en ciment arm de fer. 1851 Premier brevet pour une association ferciment. 1855 La barque est prsente l'Exposition universelle de Paris avec un grand succs. Joseph Monier 1867 Brevet sur des caisses en ciment arm de fer pour l'horticulture. 1868 Brevet pour des tuyaux et des bassins fixes en ciment arm. 1869 Brevet pour des panneaux en ciment arm servant la clture des maisons. 3 1872 Construction d'un rservoir en ciment arm de 130 m Bougival. 1873 Brevet pour la construction des ponts et des passerelles en ciment arm. 1875 Premier pont en ciment arm au chteau de Chazelet prs de Saint-Benot-du-Sault dans l'Indre: 13,80 m de porte et 4,25 m de largeur. 1878 Brevet sur des poutres en bton armes de fer. Franois Hennebique 1886 Suggre que les forces de tensions soient prise seulement par les armatures dans le bton 1894 Premier pont en bton arm Wiggen (Suisse) 1896 Publie le journal "Bton arm" Eugne Freyssinet 1910 Pont de Veurdre sur lAllier 1933 - 1935 Rnovation du port du Havre; premire utilisation du bton prcontraint 1941 - 1945 Plusieurs pont en bton prcontraint en France


Annexe 2. Autres matriaux compositesUn des problmes constructif majeur est dutiliser des matriaux locaux, largement disponibles, bon march et performants mcaniquement. Mais la plupart des lments de structure doivent rsister des contraintes de compression et de traction. Hlas la terre, la pierre, le bton rsistent bien la compression mais mal la traction. Depuis des sicles on cherche marier le mieux possible ces matriaux dautres qui eux, rsistent bien la traction. Tels lacier, les fibres vgtales ou synthtiques Les solutions techniques peuvent tre classes en deux grandes familles que lon pourrait appeler matriaux composites et systme constructifs Matriaux composites Bton arm par des armatures Mtalliques en barre (acier lisse, haute adhrence, acier inox) Mtalliques en fibre Synthtiques en fibres (polymre) Synthtique en barre (fibre de verre) Fibre de carbone (plaque ou tissu) Fibres vgtales (bambou, chanvre) Bton prcontraint Par fils adhrents : poutrelles, poutres, prdalles, dalles alvolaires Par post contrainte (interne, externe) : poutres, voussoirs Adabe, pis, gobton arm de : Fibres vgtales (bambou, chanvre) Acier Terre arm (renforcement de sol) Lanire mtallique en acier galvanis Lanire polyester Gosynthtique Systmes constructifs Maonnerie chane Chanages verticaux et horizontaux par de lacier, du bambou Chanages dans les joints Plancher bac acier collaborant Plancher mixte bois- bton (avec connecteurs acier) Poutres mixte acier- bton (avec connecteurs acier)


2. Les Matriaux du Bton Arm2.1 Le Bton (A.2.1)Le bton est un mlange de ciment, de granulats, deau et ventuellement dadjuvants dfini par des normes (y compris pour leau).

CimentsLa production annuelle est en France denviron 20 millions de tonnes (www.infociments.fr) On distingue diffrents types de ciment et diffrentes classes de rsistance. Classes CEM I CEM II CEM III CEM IV CEM V Dfinition Ciment Portland Ciment Portland compos (au laitier, fume de silice, pouzzolane, cendres volantes, schistes calcins, calcaire) Ciment de haut fourneau Ciment pouzzolanique Ciment compos (laitier, cendres) Normal (N) A 2 jours A 28 jours / 32,5 10 42,5 20 52,5 Rapide (R) A 2 jours A 28 jours 10 32,5 20 42,5 30 52,5

Rsistance minimale Classe 32,5 Classe 42,5 Classe 52,5

BtonsUn bton est dfini par un certain nombre de critres et sera caractris par des performances dont la rsistance nest quun des aspects. La norme EN 206-1 sapplique tous les btons de structure, y compris ceux raliss sur chantier, contrairement la norme NF-P-18.305 qui ne sappliquait quaux btons prts lemploi. Les Bton prts lemploi (B.P.E) sont fabriqus industriellement avec les avantages que cela comporte (matriaux stocks correctement, dosages prcis (l'ajout d'eau dpend de la teneur en eau des granulats), contrles systmatiques des composants, rgularit des caractristiques du produit)

On voit sur la march, au travers du rseau des usines de Bton Prt l'Emploi, des btons de rsistance trs leve, regroups sous le terme de Btons Hautes Performances. En fait ils recouvrent une vaste gamme de btons; une classification est propose en fonction de leur rsistance, mais ne pas perdre de vue que le mot "performance" englobe des caractristiques diverses : densit porosit permabilit ou rsistance la pntration de l'eau rsistance aux agents agressifs extrieurs (chimiques notamment) rsistance aux cycles gel- dgel et au sels de dverglaage rsistance l'abrasion tenue au feu dformabilit retrait, fluage maniabilit dveloppement acclr de la rsistance hydratation retarde teneur en air (air entran et occlus) rsistance la compression (qui nest que l'une d'entre elles).


Il existe au sens de la norme, trois types de bton : - Les BCP- Btons Composition Prescrite - Les BPS- Btons Proprits Spcifis - Les BCPN- Bton Composition Prescrite dans une Norme Pour les BCP Btons Composition Prescrite, la composition et les constituants utiliser sont spcifis au producteur par le client prescripteur. Le fournisseur nest responsable que du respect de la formulation donne par lutilisateur. Ils ne doivent donc tre commands que par des prescripteurs rellement comptents dans la formulation des btons. Pour les BPS Btons Proprits Spcifis, les spcifications sont les suivantes : o Exigence de conformit la norme EN 206-1 o Classe de rsistance o Classe dexposition o Dimension maximum des granulats o Classe de consistance o Classe de teneur en chlorures o Exigences complmentaires (Prise retarde, rsistance labrasion, au gel dgel, aspect) Exemple : Bton proprits spcifies 25MPa sur prouvette 16-32 Dimension maxi du granulat en mm Classe de consistance (ou daffaissement au cne) S3 : bton plastique (100 150mm)

BPS - NF EN206-1 C25/30 XC1(F)Norme de rfrence Classe dexposition (France) Sec ou humide en permanence (intrieur des btiments ou immersion permanente dans leau)

Dmax16 S3 CL0,40Classe de chlorure 0-40 : bton contenant des armatures en acier ou des pices mtalliques noyes

Critres de spcification des BPSClasses de rsistance Note par exemple C25/30 , (C comme Concrete), 25 reprsente la rsistance en compression en MPa 28 jours sur cylindre 16/32 et 30 celle sur cube 15/15/15. Il existe de nombreuses classes allant de C8/10 C100/115. Les plus courantes tant C20/25 et C25/30 Xo = Absence de risque de corrosion ou dattaques Xc = Corrosion par carbonatation XD = Risque de corrosion par chlorures autres que sel de mer (Sels de dverglaage, piscines ) Xs = Corrosion par chlorures provenant de la mer XA = Attaques chimiques XF = Attaques gel dgel S1 : De 10 40 mm ( 10 mm) S2 : De 50 90 mm ( 20 mm) S3 : De 100 150 mm ( 30 mm) S4 : De 160 210 mm ( 30 mm) S5 : > 220 mm ( 30 mm) CL0,20 = Pour le bton prcontraint (un peu trop permissive), CL0,40 = Pour le bton arm courant, CL0,65 = Pour le bton avec ciment CEM III, CL1,00 = Pour le bton non arm. O 0,20 correspond au % de chlorures autoriss par rapport au poids de ciment

Classes dexposition

Classes de consistance

Classes de teneur en chlores


Caractristiques mcaniques.Le bton est caractris par une bonne rsistance la compression fcj et une rsistance mdiocre en traction ftj. Un module d'Young qui prend deux valeurs selon que l'on considre des dformations instantanes Eij ou des dformations long terme, dformations diffres, Evj.

Essais de laboratoireExprimentalement la rsistance la compression se mesure le plus souvent sur des prouvettes cylindriques de diamtre 16cm et de hauteur 32cm. La rsistance la traction sobtient soit par essai de traction par fendage (dit essai Brsilien) soit par un essai de flexion sur prouvette prismatique.

Fig.2.1 Essais de compression et de traction sur prouvettes 16x32

Rsistance la compression (A.2.1,1)Dans les cas courants, un bton est dfini par une valeur de sa rsistance la compression, l'ge de 28 jours, dite "valeur caractristique requise". Cette rsistance se mesure par des essais de 2 compression simple sur prouvettes cylindriques de section 200 cm et de hauteur double de leur diamtre (les prouvettes sont dites "16-32"). Elle est note fc28 et s'exprime en MPa et correspond dans la norme la valeur de la rsistance au dessous de laquelle peuvent se situer au plus 5% de la population de tous les rsultats des essais sur prouvette 16x32. Cette rsistance caractristique est donc bien infrieure la valeur moyenne des rsultats dessai. Cette rsistance varie en fonction de l'ge du bton et le rglement donne des lois d'volution de fcj (rsistance en compression j jours) en fonction de l'ge "j" en jours. fcj fc28 Fig.2.1.b Evolution de la rsistance en compression dun bton en fonction de son ge 28 Pour des btons non traits thermiquement, on admet (BAEL): J 28 J = 28 28 < J < 60 J > 60 fc28 40 MPa fc28 > 40 MPa fc28 40 MPa fcj = j.fc28/(4,76+0,83j) fcj = j.fc28/(1,40+0,95j) fcj = fc28 fcj = j.fc28/(4,76+0,83j) fcj = 1,1.fc28 Age (jours) rsistance en compression

pour les calcul de rsistance pour les calculs de dformation pour les calculs de dformation


Rsistance la traction du bton (A.2.1,12)La rsistance la traction du bton j jours, note ftj et exprimes en MPa est dfinie conventionnellement par la relation

ftj = 0,6 + 0,06. fcjQuelques valeurs

si fc28 < 60MPa et ftj fc28 [MPa] ft28 [MPa] 20 1,8

= 0,275.fcj2/325 2,1 30 2,4

si 60< fc28 < 80MPa 40 3 60 4,2 80 5,1

Dformations longitudinales du bton (A.2.1,2)Un essai de compression simple sur prouvette 16x32 permet d'obtenir le diagramme exprimental "contrainte - dformation" du bton ci-dessous. Rglementairement, on applique des coefficients de scurit sur la rsistance du bton et le diagramme qui sera utilis pour les calculs l'ELU (Etats Limites Ultimes) sera le diagramme dit "de calcul" (voir chapitre 4, 4.1). La rsistance de calcul la traction sera nglige. Le bton est un matriau fragile (par opposition ductile), il se dforme peu avant rupture. La loi de comportement fait apparatre une zone lastique (quasiment linaire) et une zone plastique.

bcfcj fbu= 0,85.fcj/(.b) Diagramme rel

Diagramme rglementaire de calcul lELU

Faible rsistance en traction

ftj

2.10

-3

bc2

bc

bc2 = 3,5.10-3 si fcj < 40MPa et bc2 = (4,5 0,025.fcj).10-3 si fcj > 40MPaFig.2.2 Diagramme exprimental et diagramme de calcul du bton

fbu = 0,85.fcj/(.b) est la rsistance en compression pour le calcul lELU avec : = 1 pour les charges appliques plus de 24h (0,9 entre 1 et 24h et 0,85 si < 1h) b = 1,5 lELU normal et 1,15 lELU accidentel. Un lment de bton comprim admet ds l'application de la charge une dformation instantane. Mais au cours du temps, cette dformation va continuer crotre du fait du fluage (dformation dans le temps, sous charge constante) et sera mme trois fois plus importante que la dformation instantane.


bcDformation de fluage Dformation instantane 3 Retour lastique Retour de fluage 1 Temps Fig.2.3 Dformations instantane et diffre (due au fluage) Dformation permanente

Dformations instantanes Sous des contraintes normales d'une dure d'application infrieure 24 heures, on admet l'ge de j jours, un module de dformation instantane du bton de:

Dformations diffres Les dformations diffres du bton comprennent le retrait et le fluage. Le module de dformation diffre correspondant des charges de longue dure d'application (rglementairement plus de 24 heures) est:

Eij = 11000.fcj1/3

Evj = 3700.fcj1/3 si fcj < 60MPa Evj = 4400.fcj1/3 si 60< fc28< 80MPa, sans fume de silice Evj = 6100.fcj1/3 si 60< fc28< 80MPa, avec fume de silice

avec fcj en MPa et pour les btons haute rsistance, sous rserve que la proportion volumique de granulat soit suprieure 66%.

Quelques valeurs en MPa fc28 Eij 25 32160 30 34180 40 37620 60 43060 80 47400

Evj10820 11500 12650 17220 18960

RetraitLe raccourcissement unitaire () du au retrait, dans le cas de pices non massives l'air libre est estim : (ces valeurs tiennent compte d'un pourcentage moyen d'armatures). 1,5.10 -4 2.10 -4 3.10 -4 4.10 -4 5.10-4

Dans les climats trs humides Dans les climats humides (France sauf quart Sud Est) Dans les climats temprs secs (quart Sud Est de la France) En climat chaud et sec En climat trs sec ou dsertique

Remarque 1. Pour limiter les effets du retrait dans les dalles de grandes dimensions la phase de btonnage seffectue parfois en laissant des lacunes de coulage qui seront coul plusieurs semaines plus tard, une fois lessentiel du retrait effectu. Remarque 2. Dans les dallages des joints (parfois scis) sont raliss pour que les fissures de retrait se trouvent localiss en fond de joint, et donc invisibles.


2.2 L'Acier (A.2.2)Au cours des premires dcennies de lhistoire du bton arm, les armatures taient constitues de barres dacier doux, lisses, de section circulaire dont la limite dlasticit tait habituellement comprise entre 215 et 235 MPa. Ce type dacier nest pratiquement plus utilis. On utilise dsormais des aciers de limite dlasticit plus leve afin de rduire les sections darmatures. Pour amliorer ladhrence des armatures au bton on cre la fabrication des asprits en saillie ou en creux. Les asprits en saillie inclines par rapport laxe de la barre sont appeles verrous . Les asprits en creux sont appeles empreintes . Ces aciers sont dits Haute Adhrence (HA) et ont couramment une limite lastique de 500MPa.

Production des aciers pour btonLa haute limite dlasticit peut tre obtenue par diffrents moyens : en jouant sur la composition chimique, en particulier en augmentant la teneur en carbone. Ce type dacier prsente des inconvnients notamment dans les domaines de laptitude au faonnage et au soudage. Il est maintenant abandonn en Europe; par crouissage, par tirage et ou laminage froid de barres ou fils dacier doux ; par traitement thermique (trempe et autorevenu) de barres ou fils dacier doux. Les aciers se prsentent sous forme de barres de grande longueur (souvent 12 m) ou de fils en couronnes. Les cycles de productions utiliss aujourdhui sont en annexe. Les diamtres commerciaux des barres indpendantes sont (en mm)

6 8 10 12 14 16 20 25 32 40En barres droites, les longueurs courantes de livraison sont comprises entre 12 et 18 m. Les treillis souds sont livrs sous forme de panneaux de dimensions 2,40x6,00 pour la plupart. (voir annexe). Pour les barres de diamtre 6, 8, 10 et 12 mm, la livraison est galement possible en couronne. Dans ce cas les armatures sont redresses l'aide d'une machine appele "redresseuse".

Normes et documents de dfinitionLes produits en acier pour bton arm sont essentiellement dfinis par des normes. Les nuances dfinies dans ces normes sont dsignes par des lettres Fe E, Fe TE (acier trfil), TLE (acier trs haute limite lastique) suivies d'un nombre indiquant la valeur spcifie de limite d'lasticit exprime en MPa. Exemples : Fe E 235 ou Fe E 500. De plus les barres et fils haute adhrence, bnficiant d'une homologation font l'objet d'une fiche d'identification.

Caractristiques mcaniquesLes caractristiques mcaniques servant de base aux calculs des lments de bton arm sont: La limite lastique garantie note fe : Fe E 500 pour fe = 500 MPa Suivant les types d'acier, cette limite peut tre apparente (acier doux, naturellement durs) ou -3 fixe conventionnellement 2.10 d'allongement rmanent (fils trfils lisses). Le module dlasticit de lacier est pris gal Es = 200.000 MPa


Le diagramme contrainte dformation de l'acier. Comme pour le bton, il faut distinguer le diagramme contrainte - dformation rel du diagramme conventionnel de calcul l'ELU qui sera utilis pour le dimensionnement des lments de bton arm.

sfe fe/s

Diagramme rel

s = Es. s do s = s /Es soit pour la limite L L = [fe/s]/Es do pour fe = 500MPa L = [500/1,15]/200000 = 2,17.10-3

Diagramme rglementaire de calcul lELU

L

10.10

-3

s

A lELU normal s = 1,15 et lELUU accidentel s = 1 Fig.2.5 Diagramme exprimental contraintes dformations en traction simple et diagramme conventionnel de calcul.

2.3. Application. Dformation dun poteau en compression.Un poteau en bton arm de section 30x40 supporte une charge verticale de 0,7 MN. Sa hauteur est de 2,50m. La rsistance du bton est prise gale fc28 = 25 MPa. Quel sera le raccourcissement long terme de ce poteau (situ Grenoble et dont le bton a plus de trois mois) ?

Fig 2.4

Solution : La rsistance du bton j > 60 est prise, pour le calcul des dformations, gale fcj = 1,1x 25 = 27,5 MPa Le module d'Young considrer est le module de dformation diffre 1/3 1/3 Evj = 3700.fcj = 3700x27,5 = 11168 MPa On applique la loi de Hooke (sans tenir compte de la prsence des aciers) bc = Evj.bc avec bc = 0,7/(0,3x0,4) et bc = dh/2,50 -3 d'o dh = 1,3.10 m soit 1,3 mm de dformation due la charge. Pour le retrait, le raccourcissement sera -4 -4 3.10 = dh/2,50 d'o dh = 7,5.10 m = 0,75 mm Le raccourcissement global est donc de 1,3 + 0,75 = 2,05 mm


Annexe 1Tableau des sections des barres indpendantes

1HA 6 HA 8 HA 10 HA 12 HA 14 HA 16 HA 20 HA 25 HA 32 HA 400,28 0,50 0,79 1,13 1,54 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57

20,57 1,01 1,57 2,26 3,08 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13

30,85 1,51 2,36 3,39 4,62 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70

41,13 2,01 3,14 4,52 6,16 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27

51,41 2,51 3,93 5,65 7,70 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83

61,70 3,02 4,71 6,79 9,24 12,06 18,85 29,45 48,25 75,40

71,98 3,52 5,50 7,92 10,78 14,07 21,99 34,36 56,30 87,96

82,26 4,02 6,28 9,05 12,32 16,08 25,13 39,27 64,34 100,53

92,54 4,52 7,07 10,18 13,85 18,10 28,27 44,18 72,38 113,10

La masse volumique de lacier est 7800kg/m

3


Annexe 2. Treillis soudsL : Longueur du panneau l : Largeur du panneau D : Diamtre du fil de chane d : Diamtre du fil de trame E : Espacement fil de chane e : Espacement fil de trame AR : About arrire AV : About avant ad = ag : About de rive

(doc. ADETS)


Annexe 3Longueurs dveloppes des cadres, triers, pingles et ULongueurs dveloppes pour des longueurs hors tout a, b, c, d, e, f en mm

HAd Cadre avec retour 90 Cadre avec retour 135 b ae a f

632 92 113 72 103 72 44 191 72 44 175 28

840 108 124 78 102 78 56 214 78 56 195 37

1050 135 156 85 103 85 70 243 85 70 218 46

1263 164 187 104 125 104 87 299 107 87 269 56

1480 194 217 124 151 124 108 367 124 108 327 68

1680 216 249 136 164 136 112 388 136 112 350 73

20160 300 307 200 248 200 200 648 200 200 565 117

Diam. mandrin d= L = 2(a+b)+ e=

b

L = 2(a+b)+ f= c= L = 2b + f= c= L=b+ L = 2a + b

Etrier

c c b

b Epingle f b U a

Les crochets normaliss ont des retours droits de 10 pour un angle 90 et de 5 pour un angle 135

Longueurs dveloppes des barres avec crochetsLongueurs dveloppes L (en mm) pour un retour droit de 5 (minimum normalis) HA Mandrin d=e=f= c d a L=a+ 6 63 65 75 47 8 80 84 96 61 10 100 105 120 76 12 125 129 149 93 14 160 157 188 113 16 160 168 192 122 20 200 210 240 153 25 250 263 300 191 32 320 336 384 244 40 400 420 480 306

e f c d

a a a

L=a+

74

96

120

147

181

191

239

299

383

478

L=a+

101

130

163

201

249

260

326

407

521

651

L=a+

93

122

153

186

225

244

306

382

489

611

e f

a a

L=a+

148

191

239

294

362

383

478

598

765

957

c

L=a+

202

260

326

401

499

521

651

814

1042

1302


Annexe 4Faonnage et assemblage des armaturesImages Cimbton

Cintreuse 3 galets

Dresseuse Cadreuse Cintreuse 2 ttes

Faonnage des aciers transversaux

Faonnage des aciers longitudinaux

Plieuse en cours de faonnage

Assemblage et soudage


Annexe 5Armatures de bton armImages CimbtonAciers coups et faonns

Acier en barres

Acier en couronnes

Armatures sur plans faonnes et assembles

Acier en treillis souds Armatures sur catalogue

Bote dattente (acier dplier)

Manchons (Coupleurs)

Cales et distanciers


Annexe 6Fabrication des aciersFerrailles de rcupration

Fusion 1600 (four coule continue)

Billettes

Rchauffage 1200 (four)

Laminage chaud

Demi-produit : Fil machine lisse et en couronnes Trempe et autorevenu Laminage froid

Demi-produit : Ebauche pour tirage en couronnes Etirage froid

Acier pour bton arm FeE500-3 en barres et en couronnes

Acier pour bton arm FeE500-2 en couronnes

Acier pour bton arm FeE500-3 en barres et en couronnes

Dressage et coupe (dresseuse)

Barres dresses Soudage par rsistance (machine souder) Treillis souds FeE500-2 ou FeE500-3


3. Adhrence Acier- Bton3.1 Contrainte dadhrence (A.6)L'adhrence est un phnomne de liaison tangentielle l'interface acier bton due au frottement et l'arcboutement des bielles de bton. Les rgles respecter sont relatives l'Etat Limite Ultime. Supposons une barre scelle dans un massif en bton. Si on exerce un effort d'arrachement suivant l'axe de la barre, on peut avoir trois modes de rupture :

s

F

s

F

F

btGlissement relatif de l'acier par rapport au bton (extraction de la barre dans une gaine de bton) Rupture par traction de l'acier (scellement parfait)

Destruction du bton par arrachement d'un cne de bton

Fig.3.1 Essai darrachement dune barre scelle dans un massif en bton

Dans le premier cas l'action du bton sur l'acier peut se dcomposer en : Un effort perpendiculaire la barre. Une composante tangentielle : la contrainte d'adhrence note

s.

Dans le premier cas, si l'on suppose une rpartition uniforme des contraintes tangente s le long de la barre, lquation dquilibre scrit : F = s ...L La valeur limite ultime rglementaire de la contrainte d'adhrence est note su et vaut daprs le BAEL 91 A 6.1,21

su = 0,6.s2.ftj

avec ftj = 0,6+0,06.fcj et ftj et fcj exprims en MPa s est le coefficient de scellement relatif lacier, selon sa nature lisse ou HA s = 1 pour les aciers lisse s = 1,5 pour les aciers HA

Exemple: Pour une barre HA dans du bton de fc28 = 25 MPa, calculer ftj = 0,6+0,06x25 = 2,1 MPa su = 0,6.1,52.2,1 = 2,84 MPa

su .


3.2 Longueur de scellement droitsu

(A.6.1,221)

F

su

fe

Ls Fig.3.2 Ancrage droit et rpartition des contraintes

La longueur de scellement droit, note Ls, est la longueur sur laquelle il faut associer l'acier et le bton pour qu' la sortie de l'ancrage, l'acier puisse travailler en traction sa limite lastique fe. F = section x contrainte = [. /4].fe L'effort de traction dans la barre en traction simple est : Les contraintes d'adhrence supposes maximum et constantes le long de la barre ont pour rsultante : F = ..Ls.su 2 Lquilibre de la barre se traduit par ..Ls.su = [. /4].fe Soit2

Ls = fe / 4su

Exemple : Calculer la longueur de scellement droit d'une barre HA de limite lastique fe = 500 MPa dans un bton de rsistance fc28 = 25 MPa. Pour une barre HA dans un tel bton su = 2,84 MPa do Ls = 500 / 4.2,84 = 44 Soit pour une barre HA20, un scellement de 88cm Ls = 50 est une valeur forfaitaire adopte gnralement pour les aciers HA dfaut de calculs plus prcis (A.6.1,221)

Longueur de scellement droit dans le cas de PAQUET de BARRESUne barre doit toujours tre ancre individuellement (A 6.1.21)

Ls

Ls

1,5.Ls

Ls

Ls

Fig.3.3 Disposition dancrage droit dans le cas de paquet de 2 ou 3 barres


3.3. Longueur de recouvrement des armatures tendues (A.6.1,223)Dans certains cas, pour assurer la continuit de la transmission des efforts, il faut raliser une jonction par recouvrement entre deux barres identiques sur une certaine longueur appele "longueur de recouvrement" et note "Lr".

EffortSi les barres sont espaces d'une distance c infrieure 5 fois leur diamtre, la longueur de recouvrement est gale la longueur de scellement droit. Lr longueur de recouvrement Ls longueur de scellement droit Si c < 5 Lr = Ls Si c > 5 Lr = Ls+c

Effort repris par lensemble des deux barres

Effort repris par la barre de gauche

Effort repris par la barre de droite

LrFig 3.4 Recouvrement de barres

c

Si les barres sont espaces de plus de 5 fois leur diamtre, la transmission de l'effort d'une barre l'autre se fait travers des bielles de bton 45 situes d ans le plan des deux barres. La longueur de recouvrement est gale la longueur de scellement droit plus la distance "c" entre les deux barres : Lr = Ls + c

Fissures 45 Bielle de bton comprim

Armatures de couture des fissures Analyse des contraintes sur les 3 faces dun prisme de bton

Fig.3.5 Couture des fissures dans le cas de barres espaces

L'quilibre dun prisme de bton 3 faces montre qu'il y a un effort de cisaillement longitudinalement. Que cet effort est lorigine de traction 45 et do nc dune distribution de bielle de bton comprim 45 quil , faut coudre entre elles par des armatures capables de rsister un effort F (A.6.1,23). Exception : pas de couture dans les poutres si l'on recouvre moins d'un quart des aciers sur la longueur de scellement droit et si la longueur d'ancrage est gale Ls.


Ancrage des treillis souds haute adhrenceLa longueur de l'ancrage rectiligne dun treillis soud constitu de fils ou de barres HA sobtient soit par calcul de la longueur de scellement droit soit en considrant l"obstacle" des fils transversaux. Chaque soudure peut quilibrer un effort gal au plus au tiers de l'effort maximal de calcul s'exerant sur un fil porteur et la moiti pour un fil de rpartition. L'ancrage total rectiligne est donc assur par trois soudures pour un fil porteur et deux soudures pour un fil de rpartition Recouvrement des fils porteurs Solution A Solution B Solution C Fig 3.6 Recouvrement des panneaux de treillis souds Recouvrement des fils de rpartition associs

3.4 Ancrage par courbure (A.6.1,25)Si on exerce un effort de traction sur un lment de barre courbe scell dans le bton, la courbure de la barre donne naissance un effort de frottement, fonction de la courbure de la barre et du coefficient de frottement acier sur bton, pris gal 0,4. Cet effet est connu sous le nom "d'effet de courroie". Fig.3.7 Equilibre d'un petit lment

L1

xd/2

r F dNd/2 d

F2

Fig.3.8 Ancrage par courbure

F1

dTL2

y

F+dFd/2

r L1 L2 F1 F2

Angle au centre diamtre de la barre rayon de la fibre moyenne longueur rectiligne effort lentre de la courbure effort la sortie de la courbure contrainte dadhrence

Si l'on isole un petit lment (voir Fig.3.6 et 3.7), le bilan des actions qu'il subit est le suivant: F+dF F dN et dT .. r.d.su un effort axial de traction un effort axial de traction les composantes normale et tangente de l'action de contact du bton sur l'acier, incline de tel que tg = 0,4 = dT/dN l'effet d'adhrence acier bton, de contrainte su et qui sexerce le long de l'lment sur une aire gale .. r.d

L'quilibre du petit lment donne le systme d'quation suivant: Equilibre sur X .. r.d.su + 0,4.dN + F.cos d/2 (F+dF).cos d/2 = 0 Equilibre sur Y dN F.sin d/2 (F+dF).sin d/2 = 0


d tant trs petit, les cosinus sont approxims 1 et les sinus la valeur de l'angle en radian, do .. r.d.su + 0,4.dN + F (F+dF) = 0 dN F.d/2 (F+dF).d/2 = 0 dF.d est un infiniment petit du second ordre que lon nglige devant les autres termes, do .. r.d.su + 0,4.dN = dF dN F.d = 0 Soit dN = Fd .. r.d.su + 0,4.Fd = dF dF/d 0,4F = .. r.su Equation diffrentielle linaire du premier ordre avec second membre dont les conditions aux limites sont F=F1 l'entre de la courbure et F=F2 la sortie de la courbure. La solution de cette quation est:

F2 = F1.e-0,4 - .. r.su [1- e-0,4 ]/0,4F2 F1 r su effort de traction la sortie de lancrage courbe effort de traction lentre de lancrage courbe angle au centre de la zone courbe de leffort rayon de courbure laxe de la barre diamtre de la barre contrainte dadhrence acier-bton lELU

avec

Pour les valeurs courantes de on donne les valeurs suivantes : 90 /2 0,53 1,17 120 2/3 0,43 1,42 135 3 /4 0,39 1,53 180 0,28 1,79

e-0,4 (1- e-0,4 )/0,4 Application: Crochet 135

Dterminer la longueur droite CD pour que la barre soit totalement ancre au point A = 135 r = 5,5. , Barre HA16, AB = 6cm , fe = 500 MPa; fc28 = 25 MPa; su = 2,84 MPa Solution : Il y aura ancrage total si en A l'acier travaille en traction fe. L'effort reprendre sera donc de 2 2 FA = [. /4].fe = .0,016 .500 /4 = 0,100 MN

D C 135

Fig.3.9 Crochet 135

HA16 B A

L'effort en B sera plus faible du fait de l'adhrence le long de AB FB = FA - . .LAB. su = 0,100 - . 0,016. 0,06. 2,84 = 0,092 MN L'effort en C est dtermin par l'quation de l'ancrage courbe -0,4 -0,4 ]/0,4 = 0,092. 0,39 - . 0,016. 5,5. 0,016. 2,84. 1,53 = 0,0166 MN FC = FB.e - .. r.su [1- e La longueur droite CD doit donc permettre d'ancrer cet effort . . LCD. su = . 0,016. LCD . 2,84 = 0,0166 soit LCD = 0,12 m = 12 cm La longueur dveloppe de l'ancrage courbe est 6 + 5,5. 1,6. 3. /4 + 12 = 39 cm

A comparer la longueur ncessaire un scellement droit 44 = 44. 1,6 = 70 cm. Cette conomie est due l'effet de courroie.


Rayons de courbure minimaux. (A.6.1,251)Le rayon de courbure des ancrages courbes ne doit pas tre infrieur une valeur minimum pour deux raisons : dune part ne pas avoir un allongement plastique trop important de la fibre la plus tendue de l'acier et dautre part limiter la compression sur le bton dans la partie intrieure du crochet (composante dN prcdente).

Valeurs des diamtres minimaux des mandrins de faonnage HA Cadre, triers, pingles Ancrages Coudes 4 20 40 5 20 50 6 7 8 30 30 30 70 70 70 Sans objet 9 40 100 10 40 100 150 12 50 100 200 14 70 150 200 16 100 150 250 20 150 200 300 25 32 40 Sans objet 250 300 400 400 500 500

Fig.3.10 Coudes et ancrages

Mandrin de cintrage de diamtre dfini dans le tableau ci-dessus)

Coudes = Faonnage en partie courante dun lment darmature permettant la transmission intgrale de leffort de traction entre les deux parties droites adjacentes

Ancrage : Extrmit dun lment darmature comportant un faonnage prolong dune partie droite de longueur rglementaire et dans laquelle leffort de traction dcrot progressivement

Les angles courants sont 90 (crochet dit retour d'querre), 120 ,135 et 180 . Il existe ce que l'on appelle le crochet normal qui par dfinition comporte une partie en demi-cercle suivie d'un retour rectiligne d'une longueur gale deux fois le diamtre de la barre (voir Fig.3.9). A dfaut de calculs plus prcis, on peut admettre que l'ancrage d'une barre rectiligne termine par un crochet normal est assur lorsque la longueur de la partie ancre, mesure hors crochet est au moins gale : - 0,6.Ls pour une barre lisse de classe Fe E 215 ou 235 - 0,4.Ls pour une barre haute adhrence de classe Fe E 500

2. R=5,5.

0,4.Ls Fig.3.11 Le crochet normal

Lencombrement dun ancrage 180 pour une barre H A 20 en Fe E 500 est : 0,4. 50. 2 = 40 cm.

Dimensions des barres faonnes.Rayon de courbure laxe de la barre : R Longueur dveloppe de l'ancrage ( en rad) Ld = L1 + R. + L2 Longueur d'appui D2 = L2 + R + /2

L1 R D2 L2

Fig.3.12 Dimensions des barres faonnes


Ancrage des Cadres, Etriers, Epingles (A.6.1,255)On admet que les ancrages des extrmits de barres faonnes en cadres, triers, pingles sont assurs par courbure suivant le rayon minimal, si les parties courbes sont prolonges par des parties rectilignes au moins gales : 5. la suite d'un arc de 180 10. la suite d'un arc de 135 15. la suite d'un arc de 90 10. 135

5.

15.

Fig.3.13 Ancrage des aciers transversaux

3.5. Cas des constructions en zone sismiquePS92 art.11.312 Lemploi de coudes ou crochets dans les pices comprimes ou les parties comprimes des pices flchies est interdit. Toutefois en cas de ncessit (liaison avec une semelle de fondation, voisinage dune surface libre, etc.), les ancrages dextrmit peuvent tre assurs au moyen de coudes 90 . PS92, art 11.313 Toutes les longueurs de recouvrement ou dancrage sont majorer de 30% pour la part situe hors zone critique et de 50% pour la part situe dans la zone critique. Rq : Les zones critiques sont le plus souvent les zones prs des appuis (voir dtails dans PS92).

Fig 3.14 Ancrages en zone sismique

3.6. Problme de mise en oeuvre

Ancrage difficile

Enrobage et adhrence trs difficile Images Victor Davidovici


3.7. Applications1. Ferraillage d'un tirant

0,88

0,88

0,88

Fig 3.15 Tirant Cette section de bton (fc28 = 25MPa) est ferraille par 10 barres HA20 disposes comme indiqu sur le schma. Justifier quelle est capable de rsister un effort de traction de 2 2 9.[. /4].fe/ s = 9x.0,02 /4.500/1,15 = 1,23MN Solution : A la traction seul lacier travaille. A la jonction des barres disposes bout bout, leffort transite dune barre sa voisine sur une longueur de recouvrement. Les recouvrements sont dcals, pour que dans une section donne de llment il ny ait quun recouvrement . Le recouvrement est bien de 44 fois le diamtre de la barre. Il y a donc dans chaque section de llment toujours lquivalent de 9 barres qui travaillent.

2. Chercher la longueur minimum dencombrement du crochet 180 quivalent un scellement droit.Barre HA et fc28 = 25MPa. ? Fig 3.16 Ancrage 180 Solution : Contrainte de scellement droit su = 0,6.1,52.(0,6+0,06x25) = 2,84 MPa Efforts au point A, B, C et D : FD = 0 (extrmit libre de la barre) FC = = ..X.su (ancrage droit entre D et C) 2 FA = [. /4].fe (effort de traction = section x contrainte) FB = FA - ..X.su (ancrage droit entre A et B) Relation entre leffort la sortie et leffort lentre de la courbure: -0,4 -0,4 FC = FB.e - ..r.su [1- e ]/0,4 FC = FB.0,28 - .. r.su .1,79 2 ..X. su = 0,28.([. /4].fe - . .X.su) - .. 5,5.su .1,79 2 ..X .2,84 = 0,28.. .500/4 0,28...X.2,84 - .. 5,5.2,84.1,79 en simplifiant par . X .2,84 = 0,28..500/4 0,28.X.2,84 - 5,5.2,84.1,79 X (2,84 + 0,28.2,84) = 0,28..500/4 - 5,5.2,84.1,79 X = 2 Encombrement = (6+2). = 8 Longueur dveloppe = (2+2+5,5). = 21 < 44 C X D

R=5,5.

R=5,5. A

B X+6


3. Scellement d'une barre la rsineOn veut sceller une barre HA32 dans un massif en bton tel que fc28 = 25MPa. Pour cela on fore avec une caroteuse un trou de diamtre 40mm et de profondeur 30cm. La barre y est ensuite scelle avec de la rsine. Le fournisseur de la rsine indique qu ltat limite ultime la contrainte dadhrence entre lacier haute adhrence et la rsine est de 5MPa et entre la rsine et ce bton de 3MPa.

30cm 40mmFig 3.17

HA32

F

Fig.3.18 Photo dune caroteuse

Quels sont les diffrents modes de rupture possible ? Dterminer la force maximum applicable la barre.

Solution :

fe/sF

F1

Rupture par traction de l'acier. Lquilibre de la barre scrit : 2 F1 = [. /4].fe/ s 2 F1 = [.0,032 /4].500/1,15 = 0,350 MN

Fig 3.19 Rupture de lacier

s rsine bton

F2

Glissement relatif de la rsine par rapport au bton. Equation dquilibre F2 = .rsine.L.su rsine bton F2 = . 0,040. 0,30. 3 = 0,113 MN

Fig 3.20 Glissement bton- rsine Glissement relatif de l'acier par rapport au bton. Equation dquilibre F3 = .acier.L.su acier rsine F3 = . 0,032. 0,30. 5 = 0,151 MN

s rsine acier HA

F3

Fig 3.21 Glissement acier - rsine

F4

Destruction du bton par arrachement d'un cne de bton. F4 = surface du cne x projection horizontale de bt Daprs le cours la fissure est 45 . 1/2 2 1/2 F4 = 2 . . 0,3 . [2,1/1,5].[ 2 /2] =0,396 MN Remarque : Surface dun cne 45 de rayon R = 21/2

bt

. . R

2

Fig 3.22 Rupture du bton


4. Appui dabout de poutreSachant que le poteau fait une largeur de 30cm, et que chaque barre HA20 arrivant sur lappui doit y ancrer un effort de 100kN, et que le bton est tel que fc28=30MPa, lancrage droit est il satisfaisant ? Solution : ftj = 0,6+0,06.fcj = 0,6+0,06. 30 = 2,4 MPa 2 2 su = 0,6.s .ftj = 0,6. 1,5 . 2,4 = 3,24 MPa Soit L la longueur ncessaire pour ancrer 0,100MN F = . . L. su 0,100 = . 0,02. L.. 3,24 L = 0,49m > 0,30-0,03 donc un ancrage courbe est ncessaire

3cm

L

5. QCM

Fig 3.23 Appui dabout de poutre

La longueur dveloppe dun ancrage courbe qui assure un ancrage total est comparativement la longueur de scellement droit: - Suprieur Infrieur Egale Le diamtre du mandrin de faonnage est suprieur une valeur minimum pour : - limiter le risque de fissuration de lacier - limiter la dformation plastique de lacier - limiter la compression du bton dans la courbure de la barre Lordre de grandeur de la longueur de scellement droit dune barre de diamtre 20mm est : 10cm 50cm 1m 2m La valeur ultime de la contrainte dadhrence rglementaire dpend de : La nature lisse ou HA de lacier La rsistance du bton en traction La limite lastique de lacier Pour assurer la continuit mcanique du ferraillage ci-dessous, on peut recouvrir les barres sur un longueur de : L1 < Lscellement droit L1 = Lscellement droit L1 = 2xLscellement droit L1 L2 < Lscellement droit L2 = Lscellement droit L2 = 2.Lscellement droit L2 Fig 3.24 Recouvrement de barres


6. Abou Simbel. EgypteDans les annes 60 le dplacement du temple dAbou Simbel en haute Egypte ncessita le dmontage et remontage dlments en grs. Le risque dendommagement du parement na pas permis le soulvement des blocs avec des sangles (voir fig. Solution A). Il est alors envisag de forer le grs un diamtre lgrement suprieur celui dune barre de scellement haute adhrence (acier crant). Puis de sceller la barre avec de la rsine. Des essais sur la rsine ont permis de dfinir les valeurs de contrainte limite dadhrence ltat limite ultime suivantes : - entre lacier haute adhrence et la rsine : 4 MPa - entre le grs et la rsine : 2,5 MPa Autres donnes du problme : 3 - Volume du bloc 6,5 m 3 2 tonnes par m - Masse volumique du gr - Diamtre de la barre en acier 40mm - Diamtre du trou 50mm - Longueur du scellement 50 cm - Limite lastique de lacier 400 MPa (valeur courante dans les annes 60)

Fig 3.24 Abou Simbel Egypte

Risque dendommagement

Barre HA

Rsine

Fig 3.25 Dplacement des blocs

Bloc de gr Solution B Solution C

50 cm

Solution A

1. Expliquer pourquoi la faible rsistance du grs en traction ne permet pas de retenir la solution B. La solution C, finalement adopte, consiste forer un trou sur pratiquement toute la hauteur du bloc et de ne sceller la barre que sur les 50 premiers cm au fond du trou. 2. Vrifier que lon peut ainsi effectivement soulever le bloc, en prenant un coefficient de scurit de 1,5 sur la charge et 1,15 sur la limite lastique de lacier (les coefficients de scurit sur ladhrence tant dj intgrs dans les valeurs 1,5 et 5 MPa). Solutions : 1. Il peut y avoir arrachement dun cne de bton (voir figure ci contre)). 2. Vrification Poids du bloc de bton -6 1,5x Poids du bloc = 1,5.6,5.2000.9,81.10 = 0,191 MN Effort maximum de traction dans la barre 2 2 F1 = [. /4].fe/ s = [.0,04 /4].400/1,15 = 0,437 MN Glissement entre rsine et bton F2 = .rsine.L.su rsine bton = . 0,050. 0,5. 2,5 = 0,196 MN Glissement entre acier et bton F3 = .acier.L.su acier bton = . 0,04. 0,50. 4 = 0,251 MN On vrifie que 0,191 est infrieur la plus petite des 3 valeurs F1 , F2 et F3

F3

F2

F1


4. Calcul des Aciers Longitudinaux lELU en Flexion Simple4.1 Hypothses de calcul(A.4.3,2)

Nous nous intresserons une poutre de section rectangulaire, sollicite en flexion simple et l'ELU. L'ELU est dans notre cas, l'tat limite ultime de rsistance des matriaux acier et bton.

bc fbu = 0,85.fcj/(.b)Diagramme rglementaire-3 -3

1. Hypothse de Navier-Bernoulli (les sections droites restent planes pendant la dformation) 2. Pas de glissement relatif entre acier et bton 3. Rsistance du bton en traction nglige 4. Diagramme contrainte -dformation du bton (A.4.3,41) La limite de la rsistance des matriaux est dtermine partir d'un critre de ruine minore par des coefficients de scurit s pour lacier et b pour le bton. fbu= 0,85.fcj/(.b). L'origine de b vient des dispersions des rsistances relles par rapport fcj, ainsi que des dfauts localiss. dpend de la dure d'application des charges. Lorsque celles-ci sont appliques plus de 24h, est gal 1. 5. Diagramme contrainte -dformation de l'acier La valeur de Es module d'lasticit longitudinale est 200000 MPa. L'origine de s est la prise en compte du mauvais positionnement des barres dans le coffrage et des dispersions possibles entre les essais de laboratoire et la ralit. 6. Concentration de la section d'acier au centre de gravit 7. Diagrammes des dformations limites de la section (A4.3,3) Les diagrammes possibles rsultent des dformations limites fixes pour le bton et l'acier, dfinis partir de " 3 pivots": A, B et C. Pivot A : Traction simple puis flexion simple ou compose Pivot B : Flexion simple ou compose Pivot C : Flexion compose avec compression puis compression simple s

2.10

3,5.10

bc

fe/sDiagramme rglementaire

L

10.10

-3

s

As

d h

As

b

3,5.10

-3

B C A10.10-3

2.10

-3

Diagramme dit "des 3 pivots" Fig 4.1 4.4 Hypothses de calculs


Fig. 4.5 Diffrentes dformations dune section de poutre selon le diagramme des trois pivots

3,5.10

-3

B

C A10.10-3

2.10

-3

Traction simple Flexion compose avec traction Flexion en pivot A ou B

S = 10.10-3

10.10-3

10.10-3 3,5.10-3

Flexion compose avec compression Compression simple

bc = 3,5.10-3

10.10-3 3,5.10-3

10.10-3 3,5.10-3

< 10.10-3

L

2.10-3


4.2. Essais de poutres. Modes de ruptureCas 1. Surcompression du bton

Cas 2. Rupture ou allongement excessif de l'acier

Cas 3. Rupture du bton sous sollicitation d'effort tranchant Cas 4. Vrification des appuis Fig.4.6 Modes de rupture dune poutre sur 2 appuis sollicite en flexion

Si l'on mne des essais jusqu' rupture de poutres armes sollicites en flexion simple, on constate trois modes de rupture principaux. Deux sous l'effet du moment flchissant et un sous l'effet de leffort tranchant. Cas 1. C'est une rupture par excs de compression du bton sur les fibres suprieures de la poutre. C'est le cas le plus frquent. Il y a puisement de la rsistance en compression du bton. Cas 2. Il s'agit d'une rupture par puisement de la rsistance de l'acier dans la partie tendue de la poutre, sur les fibres infrieures. Il y a allongement excessif de l'acier, voire rupture complte. me Cas 3. Le 3 mode de rupture que l'on rencontre concerne l'effet de l'effort tranchant V. C'est une rupture par cisaillement au voisinage d'un appui, avec fissure voisine de 45. Ce cas sera tudi dans le chapitre 5 (Calcul des aciers transversaux) Cas 4. Dans le chapitre 6 seront abords les problmes de lappui dabout de poutre o lon peut avoir un ferraillage insuffisant ou insuffisamment ancr et une bielle de bton sur-comprim L'E.L.U est un tat fictif reprsentatif de ces modes de rupture (critre de ruine) par rapport auxquels on prend une scurit - au niveau des sollicitations par des coefficients de pondration sur les charges. - au niveau des matriaux par les coefficients partiels de scurit. Si cette scurit n'existait pas, l'E.L.U sous l'effet des charges appliques, la section serait thoriquement dans un tat de rupture. Dans la suite de ce chapitre, nous nous intresserons au cas de rupture 1 et 2 et nous verrons comment construire les diagrammes "Contraintes - Dformations" correspondants, pour les matriaux acier et bton. Surcompression du bton

Fissures verticales dues au moment Fig.4.6b Essai de laboratoire sur une poutre Fissures 45 dues leffort tranchant


4.3 Dformations, tat de contraintes

Fig.4.7 Gomtrie de la section droite Le long de la poutre, l'abscisse "x", au centre de gravit d'une "coupure" plane, perpendiculaire l'axe longitudinal de la poutre, on a valu partir d'une combinaison des actions (1,35.G +1,5.Q le plus souvent), un moment flchissant ultime d'intensit Mu (exprim en m.MN). b h d As est la largeur de la section droite est la hauteur de coffrage de la poutre est la hauteur utile de la section droite (du CdG des aciers tendus la fibre de bton la plus comprim) est laire totale dacier du groupe de plusieurs barres

a. Si le moment flchissant Mu a une intensit "faible". Pivot A bc y = .d Mu sFig.4.8

bc

s

Dforme et contraintes d'une section droite

La membrure comprime de la poutre va subir des raccourcissements relatifs, les fibres suprieures du -3 bton, les plus sollicites, vont subir un raccourcissement relatif bc valant au plus 3,5.10 . La hauteur de bton comprim vaut y = .d La membrure tendue de la poutre va subir des allongements relatifs. La rsistance du bton la traction tant nglige, on l'arme avec des aciers longitudinaux, de section globale As, qui vont donc subir un -3 allongement relatif limit la valeur 10.10 . Si le bton est faiblement sollicit, il supporte des raccourcissements relatifs bc faibles et infrieurs 2.10 . Le coefficient est donc aussi "faible". Pour dduire l'tat de contrainte de la membrure comprime du bton, il faut tablir la relation dformation -contrainte. (voir "diagramme de calcul du bton"). - Au niveau de l'axe neutre, pas de dformation donc les contraintes normales sont nulles. - Puis les raccourcissements croissent linairement, il leur correspond donc une variation parabolique des -3 contraintes bc tant que bc est infrieur 2.10 . Dans la membrure tendue, on souhaite disposer une section dacier As minimale, il faut donc que lacier travaille au mieux de ses possibilits. On admet quil subit un allongement relatif de 10.10-3 et que sa contrainte de traction vaut s = fe/s-3


Si lon fait crotre lintensit de Mu, la hauteur de bton comprim crot, le raccourcissement relatif du bton crot, le diagramme des contraintes de compression du bton devient "parabole -rectangle". La contrainte maximum plafonne la valeur fbu.

b. Cas particulier : La droite des dformations passe par les pivots A et B bc = 3,5.10-3 y = 0,259.d Mu bc = fbuFig 4.9 Dformations et contraintes dune section droite

s= 10.10-3

s = fe/s

Dans ce cas la membrure comprime a une hauteur "y" telle que :

bc s + bc bc 3,5.10 3 soit y = .d = d = 0,259d = .d = bc + s y d 3,5.10 3 + 10.10 3 Do la valeur particulire = 0,259

c. Si l'on fait crotre de nouveau l'intensit de Mu. Pivot B bc = 3,5.10-3 y > 0,259.d Mu s < 10.10-3 s = fe/s bc = fbuFig 4.10 Dformations et contraintes

La hauteur de la membrure comprime continue crotre. L'allongement relatif de l'acier suprieur L (voir diagramme de calcul des aciers) entrane une contrainte de traction dans l'acier toujours gale fe/ s.

d. Cas particulier et limite suprieure de lintensit du moment. bc = 3,5.10-3 y = L.d Mu s = L s = fe/s http://topographi.blogspot.com/ bc = fbuFig 4.11 Dformations et contraintes

Dans ce cas la membrure comprime a une hauteur Dans le cas particulier o fe = 500MPa on obtient

y = L .d =

f / 3,5.10 3 d avec L = e s Es 3,5.10 3 + L

L =

500 / 1,15 3,5.10 3 = 2,17.10 3 et L = = 0,616 200000 3,5.10 3 + 2,17.10 3

Vouloir augmenter encore l'intensit du moment ultime Mu conduirait une aberration conomique: En effet si s < L la contrainte de traction des aciers va valoir s = Es.s < fe/s, (on est alors sur la "droite de Hooke") et cela conduira une section d'acier norme que l'on ne pourra, raisonnablement disposer dans la poutre (Voir Fig.4.17).

Fig 4.12 Rappel du diagramme "Contraintes f / e s -Dformations" de l'acier

s

sL10.10-3

s = Es. s do s = s /Es soit pour la limite L L = [fe/s]/Es do pour fe = 500MPa L = [500/1,15]/200000 = 2,17.10-3

4.4 Mthode de calcul simplifie, diagramme rectangulaire des contraintesOn admet, pour justifier la section d'acier As ncessaire pour quilibrer un moment ultime Mu, de remplacer les diagrammes "rels" (fraction de parabole ou parabole -rectangle) par un diagramme "rectangulaire" de hauteur 0,8.y = 0,8..d et d'intensit fbu.

bc 3,5.10-3 y = .d Mu L s 10.10-30,8..d

fbu

0,4..d

z

Nbc

d

Ns s = fe/s

Fig 4.13 Dformations, contraintes, rsultantes Le vecteur effort normal rsultant des compressions Nbc = 0,8..d.b.fbu passe donc par le centre de gravit du volume des contraintes, soit la distance 0,4..d des fibres suprieures du bton. Le vecteur effort normal rsultant des tractions Ns = As.fe/s passe lui par le centre de gravit du groupe des barres disposes dans la membrure tendue. Le moment ultime Mu appliqu la section quivaut donc au couple (Nbc, Ns) prsentant un bras de levier z = (1-0,4.).d Lquation de moment par rapport aux aciers tendus permet dcrire : Nbc.z = Mu (0,8..d.b.fbu).(d 0,4. .d) = Mu 2 0,8. .(1 - 0,4. ) = Mu/(b.d .fbu)


0,8. - 0,32. - = 0 en posant = Mu/(b.d .fbu) moment rduit 2 0,32. - 0,8. + = 0 2 0,4. - + /0,8 = 0 quation du second degr en = 1 4x0,4. /0,8 = 1 2. 1/2 La racine ( 1 ou < 0 dans les cas de flexion compose (voir A 5.1,23)

La valeur de st est limite rglementairement:

st Min [0,9.d ; 40cm]

(A 5.1,23)

Un pourcentage minimum est exig pour les poutres : la section dacier par unit de longueur At/st doit tre telle que : At/st 0,4.b0/ fe avec At en m2, st en m, b0 en m et fe en MPa Cette condition de pourcentage minimal ne concerne pas les dalles. Voir pour cela le chapitre traitant des dalles. Il existe des drogations aussi pour les poutres secondaires de planchers. Voir le paragraphe B.6.7,1.


5.4 Dtermination pratique des armatures transversales :

Gomtrie b h d Matriaux : acier fe bton ftj armatures longitudinales L, nombre Effort tranchant Vu

Il faut la courbe enveloppe des efforts tranchant lELU

Choix du diamtre des aciers transversaux dans la pratique prendre t = L/3

Le BAEL indique pour le diamtre des aciers transversaux (A7.2.2) t St max diminuer At Rpter ensuite lespacement n fois (avec n nombre de mtres dans la 1/2 porte par ex.) Continuer par lune des deux mthodes suivantes

-

Mthode analytique calculer leffort tranchant pour cette nouvelle abscisse x = st0/2 + n.st0 Calculer le nouvel espacement st pour ce nouveau Vu Rpter lopration jusqu atteindre Vu = 0 ou stmax

-

Mthode de Caquot Applicable seulement pour les poutres uniformment charges, de section transversale constante Aprs avoir rpter n fois st0 , se raccorder la suite des valeurs suivantes sans dpasser Stmax

-

7- 8- 9- 10- 11- 13- 16- 20- 25- 35- 40 [cm]


5.5 Application : Suite de la poutre tudie aux chapitres 1 et 4Dterminer le ferraillage transversal de la poutre tudie aux chapitres 1 et 4. P = 1,35G+1,5Q = 0, 0221 MN/m

Vu (x) = 0,0221.X -0,0663 MN

Solution. Gomtrie : b = 0,20m h = 0,50m d = 0,9h = 0,45m Matriaux : fe = 500MPa fc28 = 25 MPa ft28 = 0,6+0,06x25 = 2,1MPa armatures longitudinales 4HA14 Fissuration peu prjudiciableChoix du diamtre des aciers transversaux t = L/3 = 14/3 on choisit un cadre vertical HA6

Pour un cadre il y a 2 brins pour coudre la fissure deffort tranchant 2 At = 2HA6 = 0,57 cm

Vrification de la contrainte de cisaillement. Cadre verticaux, fissuration peu prjudiciable max = Vu/bd u limite = Min[0,2fc28/b ;5MPa] 0,663/(0,20x0,45) Min[0,2x25/1,5 ;5MPa] 0,731 MPa 3,33MPa OK

Calcul de lcartement maxi St max = Min[0,9d ; 0,40m ; At.fe /(0,4b)] -4 St max = Min [0,9x0,45; 0,40; 0,57.10 x500/(0,4x0,2) = 0,35m

st

0,9.fe .A t .(cos + sin ) V b0 . s .[ u 0,3.ftj .k ] b0 .d

k = 0 car on considre une reprise de btonnage entre retombe de poutre et dalle. Cadre verticaux, do St = 0,9.fe.At.d/[s .Vu ] -4 St 0,9x500x0,57.10 x0,45/(1,15.Vu) = 0,0100/Vu St 0,0100/Vu 0,151 0,183 0,234 0,36 > st max St retenu [m] 0,15 0,18 0,23 0,35 nombre

X [m] 0 0,15/2+3x0,15 = 0,52 0,52+3x0,18 = 1,06 1,06+3x0,23 = 1,75

Vu [MN] 0,0663 0,0548 0,0429 0,0276

3 3 /


Le premier cadre est plac st0/2 pour coudre la premire fissure. Pour simplifier le calcul et la mise en uvre, on garde n fois le mme espacement (en gnral 3 ou 4 fois). Mais pour la mthode de Caquot n est le nombre entier de mtres dans la demi porte.

Rpartition des armatures transversales :Les calculs conduisent la rpartition thorique suivante des cours successifs d'armatures transversales. L'intervalle "x", auquel on parvient ici, vaut 40 cm. On peut le partager en 2 x 20 cm et laisser la rpartition ainsi.

Cependant, il est plus judicieux de revoir l'ensemble de la rpartition et de partager l'intervalle x de chaque cot de manire l'intgrer la suite des espacements.

5.6 Mthode de CaquotReprendre lexercice prcdent, mais dterminer les espacements de cadre par la mthode de Caquot. Solution. Cette mthode ne permet que dobtenir rapidement la rpartition des espacements le long de la poutre aprs avoir calcul st0. Dans notre cas la mthode de Caquot sapplique car la poutre est uniformment charge et de section constante. On a calcul st0 = 15cm. Les autres espacements sont daprs la srie de Caquot 16, 20, 25 et 35 (car stmax = 35cm). Ces espacements seront rpts n fois, avec n nombre de mtre dans la demi porte. Ici n = 3. Do le plan de ferraillage suivant. Dans la partie centrale, on ne peut mettre nx 35cm, donc on rpartit par exemple les cadres comme indiqu. On remarque que cette mthode simplifie consomme dans notre cas deux cadres de plus que la mthode analytique.

9


5.7 Si aucune reprise de btonnageReprendre lexercice prcdent, mais en considrant quil na pas de reprise de btonnage Solution. Dans ce cas k = 1. Do s t

0,9.fe .A t .(cos + sin ) 0,9x500x0,57.10 4 = 104m > 0,35m , soit s t Vu 0,0663 0,20.115.[ , 0,3x2,1x1] b0 . s .[ 0,3.ftj .k] 0,20x0,45 b0 .d

Lespacement calcul est important du fait de la capacit du bton rsister la traction. Les cadres seront donc espacs de 35cm au maximum avec des premiers cadres 35/2 = 17cm du nu de lappui. Soit le schma de ferraillage suivant compte tenu des dimensions de la poutre.

9 9

9


6. Epure dArrt de barre et Vrification des appuis6.1 Treillis de Ritter MrschAfin de mieux comprendre le fonctionnement d'une poutre en bton arm, commenons par tudier la nature et l'intensit des efforts sollicitant les barres d'une poutre en treillis dont les diagonales sont 45 . Soit analyser le cas de figure ci-dessous, en ngligeant le poids propre:

P/2

P

P

P

P

P

P/2

Fig.6.1 Poutre treillis La mise en quilibre des noeuds conduit la dtermination des efforts axiaux sollicitant chacune des diffrentes barres avec la convention suivante : + compression et traction.

P/2 0 0 +3,53P

P +3,53P - 2,12P +2,12P

P +4P - 0,5P +0,71P

P +4P

-0,71P

- 3,53P

- 4P

- 4,5PFig.6.2 Analyse des efforts dans les barres

Les graphes des efforts tranchants et des moments flchissant le long de la poutre sont les suivants :

Vu 0,5P - 1,5P - 0,5P 4,5Pz 1,5P

2,5P

- 2,5P Mu

4Pz 2,5Pz

Fig.6.3

Sollicitations V (effort tranchant) et M (moment flchissant) dans la poutre


Dans le cas d'une poutre en bton arm, il est possible de faire l'analogie avec la poutre en treillis prcdente. Aprs fissuration d'effort tranchant la poutre peut tre reprsente comme ci-aprs :

bielle d'about de bton comprim

membrure horizontale de bton comprim

suspente (cadre, trier) sollicite en traction

zone sollicite par un effort de traction d'intensit Vappui

membrure horizontale dacier tendu

Fig.6.4 Treillis quivalent de Ritter-Mrsch

6.2 Vrification pour un appui simple dabout (A.5.1,31)Vu.21/2Fig.6.5 Equilibre de la bielle dabout soumise trois forces

Vueffort de traction dans la section dacier sur appui

Vu/n Vu Vu/nn nombre de barres (supposes identiques) lappui Vu effort tranchant lappui

VuRaction dappui

Vu.21/2Compression dans la bielle de bton

Lanalyse prcdente montre que la bielle dappui dabout de poutre incline 45, est soumise lac tion de trois forces : la raction dappui Vu appui, leffort de la section dacier ancre lappui et la circulation des efforts 45 Lquation dquilibre de la bielle (somme de ces trois forces = 0) montre que : . 1/2 a. Le bton de la bielle doit rsister un effort de compression Vu.2 b. Lacier doit rsister un effort de traction Vu. La section dacier sur appui doit tre suffisante. c. Les aciers doivent tre ancrs pour rsister cet effort. Lancrage droit ne suffit pas toujours. article A.5.1,31, "on doit prolonger au-del du bord de l'appui y ancrer une section d'armatures longitudinales infrieures suffisante pour quilibrer l'effort tranchant Vu". a.

Vu.2

1/2

Compression dans la bielle1/2 Leffort est Vu.2 . La section de bielle perpendiculaire leffort inclin de 45 a/2 1/2 est b.a/ 2 . La vrification rglementaire exige : enrobage a Contrainte dans le bton = Effort / Section < 0,8.fcj/b. Soit 2 1/2

bc =

Vuappui . 2 2 a. b 2

=

2.Vuappui a.b

do

2.Vuappui a.b

0,8.

fcj b

avec a 0,9.d

Fig.6.5b Bielle comprime


Dans la pratique, cette condition est gnralement vrifie, except lorsque l'appui est peu long : appui d'une poutre sur un mur de refend par exemple.

b.

Effort Vu dans la section As sur appuiLa section dacier As doit rsister leffort Vu. Soit As > Vu/ (fe/s) En pratique, la moiti des aciers ncessaires en trave est prolonge jusqu'aux appuis (on prolonge en gnral le premier lit infrieur).

fe/s

As

Vu

Fig.6.6 Vrification de la section dacier

c.

AncrageLancrage droit suffit il pour que n barres (n le nombre de barres lappui) puissent ancrer leffort Vu appui. La contrainte de scellement droit vaut lELU : 2 su = 0,6.s .ftj Vu/ n < ..L.su do

su

Vu

L = Vu/[n ..su] < a

enrobage

a

2Fig.6.7 Ancrage

Si cette condition nest pas respecte, il est ncessaire de faire un ancrage courbe.

6.3 Vrification dappui intermdiaire (art 5.1,31)De mme dans le cas dun appui de continuit entre deux traves de poutres, il convient de vrifier la compression dans la bielle, la section darmature et son ancrage de chaque cot de lappui. Vu gauche. 2 a. Vrification de la compression dans le bton1/2

Vu droite. 2

1/2

Ru/(ab) 1,3.fcj/b avec a 0,9d

Vu gauche a

Vu droite

2 cm b. Vrification de la section dacier gauche et droite de lappui.

2 cm

R = Vu gauche+ Vu droite Le moment sur appui cre gnralement une traction en partie haute de la poutre do les Fig.6.7bis Appui intermdiaire aciers en chapeau et une compression dans le bton en partie infrieure. Leffort de compression Nbc vaut, de chaque cot de lappui, Mu/z et soppose aux efforts de traction Vu gauche ou droite dans lacier. Si Vu gauche ou droite < Mu/z (avec z = 0,9d), il nest thoriquement pas ncessaire de prolonger les aciers sur appui, mais il est de bonne construction de le faire.

A s _ gauche _ droite

Vu _ gauche _ ou _ droite fe s

Mu _ appui 0,9d

c.

Vrification de lancrage La vrification se fait se fait comme pour lappui dabout de poutre mais avec leffort Vu gauche ou droite - Mu/0,9d


6.4 Organigramme rsumVrifications dappui

Appui dextrmit

Appui intermdiaire

Vu a enrobage 2 cm

Vu gauche a 2 cm Ru 2 cm

Vu droite

Vu est leffort tranchant lappui

f cj 2.Vu 0,8. a.b b

Vrification de la compression dans la bielle de largeur a (vrifier a 0,9d)

Ru/(ab) 1,3.fcj/b

As > Vu/ (fe/s)

Vrification de la section dacier sur appui

A s _ gauche _ droite

Vu _ gauche _ ou _ droite fe s

Mu _ appui 0,9d

L = Vu/[n ..su]

Vrification de lancrage droit : Si cette condition nest pas vrifie faire un ancrage courbe. - n nombre de barres lappui - diamtre des barres - L longueur de lancrage droit ncessaire

L=

Vu _ gauche _ ou _ droite n su

Mu _ appui 0,9d


6.5 Epure darrts de barres

F

F

Fig.6.8 Traction dans les aciers longitudinaux de la poutre

La fissuration d'effort tranchant a une influence sur l'intensit de la traction sollicitant les armatures longitudinales de la membrure tendue. Dans le cas d'un treillis simple, l'effort F de traction qui sollicite la membrure longitudinale l'abscisse "x", a mme intensit l'abscisse "x + z ". Cette particularit conduit l'article A.4.1,5., "Sollicitation des membrures tendues :pour valuer l'effort agissant sur une membrure tendue, on prend en compte le moment flchissant agissant une distance 0,8.h de la section considre dans la direction o le moment augmente en valeur absolue. Cette rgle conduit dcaler de 0,8.h, dans le sens dfavorable, les courbes enveloppes des moments flchissant". Cette rgle, dite du "dcalage des moments", ne majore pas le moment maximum. Elle va essentiellement s'appliquer aux arrts du second (voire du troisime) lit d'armatures. Dans le cas d'une poutre sur deux appuis et uniformment charge, on obtient :

Ls du 2 MU

me

lit

Ls du 2

me

lit

0,8h

0,8h 0,8h

MRU du me 2 lit 0,8h MRU des 2 lits MRU du er 1 lit

Courbe dcale de 0,8h Courbe enveloppe des moments

Fig.6.9 Epure darrt de barres


Pour obtenir lpure darrt de barres ci-dessus lordre des oprations est le suivant : 1. 2. 3. 4. Dterminer la courbe enveloppe des moments flchissant Dcaler de 0,8h cette courbe des moments Calculer les moments rsistant de chaque lit darmature Tracer la courbe des moments rsistant en tenant compte de la longueur de scellement droit des lits darmatures et en ayant toujours des moments rsistant suprieur aux moments dcals. 5. En dduire la longueur du ou des lits darmatures qui ne vont pas jusquaux appuis.

6.6 Application : Suite de la poutre tudie aux chapitres 1, 4 et 5Suite de lapplication traite au chapitre prcdent. P = 1,35G+1,5Q = 0, 0221 MN/m

Vu (x) = 0,0221.X -0,0663 MN

Vrifications des appuisLa poutre reposant sur deux appuis en bton de largeur 30cm. L'article A 5.1,313 conduit, avec un enrobage de 3 cm en bout du premier lit, une longueur d'appui de la bielle d'about : a = 25 cm. a. Vrification de la contrainte de compression du bton dans la bielle:

2.Vu _ appui a.b

=

fcj 2x0,0663 25 = 2,65 0,8. = 0,8. = 13,3MPa 0,25 x0,20 b 1,5

b. Vrification de la section dacier sur appui. As Vu/ (fe/s) soit 2 HA14 = 3,08 cm2 0,0663/(500/1,15) m2 = 1,53 cm2 c. Lancrage droit suffit il ? Pour un barre HA avec et fc28 = 25MPa su = 2,84 MPa (voir chapitre 3) Chaque barre HA14 reprend un effort Vu/ n = 0,0663/2 MN Lancrage droit ncessaire pour longueur L telle que : Vu/ n = 0,0663/2 < ..L.su = .0,014.L.2,84 soit L > 0,265 m Ce qui est lgrement suprieur au 25 cm disponible. Il est donc ncessaire de faire un ancrage courbe.


Epure d'arrts de barres.a. La courbe des moments flchissant est donne par lquation Mu(x) = 0,0663.X - 0,0221X /2 b. Cette courbe des moments est dcale de 0,8h = 0,8x50 = 40cm c. Calcul des moments rsistant de chaque lit darmature (voir dtails chap 4) er Pour le 1 lit (jusquaux appuis) -4 = [As fe/s] / [0,8bd fbu] = 3,08.10 x(500/1,15)/[0,8x0,2x0,457x14,17] = 0,129 < L = 0,616 z = [1-0,4].d = 0,433m Mru = z.As fe/ s = 0,058 m.MN Pour les 2 lits -4 = [As fe/s] / [0,8bd fbu] = 6,16.10 x(500/1,15)/[0,8x0,2x0,45x14,17] = 0,263 < L = 0,616 z = [1-0,4].d = 0,402m Mru = z.As fe/ s = 0,108 m.MN d. Tracer la courbe des moments rsistant La longueur de scellement droit des HA14 est 44x1,4 = 62cm . e. On en dduit graphiquement ou analytiquement la longueur du lit darmatures qui sarrte2

0,66MU m.MN

Ls = 0,62

0,62

0,108 0,099 0,40 = 0,8h 0,058 0,40 0,40 MRU du me 2 lit 0,40 MRU des 2 lits MRU du er 1 lit

Courbe dcale de 0,40 Courbe des moments

Epure darrt de barres Analytiquement le calcul est le suivant : On exprime l'quation de la courbe des moments dcale de 0,8.h valable dans la zone droite de l'appui de rive gauche: 2 2 Mu(x) = 0,0663.(x+0,40) - 0,0221.(x+0,40) /2 = - 0,01105.x + 0,0575.x + 0,0247 Le point dintersection entre les deux courbes de moments dcals et rsistant sobtient en galant : 2 0,0580 = - 0,01105.x + 0,0575.x + 0,0247 soit me x = 0,66m abscisse partir de laquelle doit dbuter le 2 lit de 2 HA 14. On remarque la monte linaire en rsistance du second lit d'armatures: le moment rsistant de 0,108 m.MN est atteint lorsque le second lit est ancr par scellement

determination ferraillage complet poutre en flexion simple

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