7.1 - - 7.4 - - 7.6 - - 7.9 - - 7.10flexion).pdf · la flexion pure est un état de charge tel que,...

CHAPITRE 7. FLEXION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.1 -7.1. Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.1 -

7.1.1. Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.1 -7.1.2. Glissement et cisaillement dans les pièces fléchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.1 -7.1.3. Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.3 -

7.2. Appuis et charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.4 -7.2.1 Types d’appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.4 -7.2.2. Charges supportées par les poutres et les planchers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.4 -

7.3. Diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.6 -7.3.1. Conventions de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.6 -7.3.2. Diagrammes des moments fléchissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.6 -7.3.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.8 -

A) Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.8 -B) Poutre sur deux appuis soumise à une charge uniformément répartie sur la partie

droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.9 -C) Poutre soumise à une charge ponctuelle et répartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.10 -

7.3.4. Relation entre le Mf, le V et le type de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.12 -A) Relations entre le moment fléchissant et l’effort tranchant . . . . . . . . . . . . - 7.12 -B) Relations entre le type de charges et l’allure des diagrammes des moments

fléchissants et des efforts tranchants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.12 -C) Relation entre le moment fléchissant et la déformée d’une poutre . . . . . . . - 7.12 -D) Relation entre le type de charge et la position du moment fléchissant maximum d’une

poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.13 -E) Trucs et astuces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.13 -

7.4. Distribution des contraintes normales dans une section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.14 -7.4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.14 -7.4.2. Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.14 -

7.5. Distribution des contraintes tangentielles dans une section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.16 -7.6. Choix de la forme de la section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.18 -

7.6.1. En flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.18 -A) Cas des matériaux ductiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.18 -B) Cas des matériaux fragiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.19 -

7.6.2. En cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.19 -7.6.3. Section(s) dangereuse(s) d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.20 -

7.7. Contraintes admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.20 -7.7.1. En flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.20 -7.7.2. En cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.20 -

7.8. Déformation de flexion des poutres isostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.24 -7.8.1. Calcul de la flèche en un point : “Méthode des aires” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.24 -

A) Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.24 -B) Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.25 -C) Récapitulatif - Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.27 -

7.8.2. Calcul de la flèche en un point : “Méthode différentielle” . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.28 -7.8.3. Flèche admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.29 -

7.9. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.30 -7.9.1. Calcul (simplifié) d’une dent de roue dentée (engrenage cylindrique) . . . . . . . - 7.30 -7.9.2. Calcul de poutres de plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.33 -7.9.3. Charges roulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.36 -

A) Charge roulante unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.36 -

Version du 4 mai 2012 (11h03)

La flexion pure est un état de charge tel que, dans toute section droite d’une pièce,il n’existe qu’un moment fléchissant Mf. Ce moment fléchissant doit être constant.

fig. 7.1. -

CHAPITRE 7. FLEXION

7.1. Définitions et exemples

7.1.1. Flexion pure

La figure ci-contre donne un exempled’une barre soumise à flexion pure. Les deuxcouples C agissent dans un plan de symétrielongitudinal de la poutre : dès lors, en effectuantune coupure suivant une section droitequelconque, on constate que tous les effortsinternes y sont nuls sauf le moment fléchissantautour de l’axe Oz (perpendiculaire au plan danslequel ce trouve la poutre) qui est constant et égalà C.

Par des considérations de symétrie, onpeut montrer que toute section droite de la barrele reste après déformation.

Le moment fléchissant étant, par définition, constant, la barre se déformera partout de façonidentique. Elle adoptera donc une courbure constante en prenant la forme d’un arc de cercle.

7.1.2. Glissement et cisaillement dans les pièces fléchies

La rupture par glissement et cisaillement se produit dans un corps quand, par suite des chargesqui agissent sur lui, une partie de ce corps glisse par rapport à l’autre partie, les efforts intérieurs que lamatière subit ayant dépassé la résistance à la rupture.

Ce genre d’effort intérieur se produit également dans les pièces fléchies.

Deux exemples simples permettent de s’en rendre compte.

Supposons qu’une poutre soit formée d’une série de blochets B juxtaposés et serrés l’un contrel’autre par un étau, comme le montre la première figure ci-dessous.

Plaçons cette poutre sur deux appuis C et D et chargeons-là d’une série de forces F.

La poutre étant ainsi sectionnée suivant les sections S, il est évident que les blochets B vontglisser les uns par rapport aux autres et, par exemple, vont se présenter à un moment donné dans lespositions données par la seconde figure ci-dessous.

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.1 -

fig. 7.2. -

fig. 7.3. -

Ces déplacements par glissement étaient à prévoir puisque la matière manque de continuitésuivant les plans S. Dans ces plans la résistance de la matière est nulle, seul le serrage des blochets parfrottement les uns contre les autres s’opposent à leur déplacement par glissement.

Dans la mesure du possible les poutres fléchies sont d’une seule pièce, cependant elles présententla même tendance au glissement transversal et si la résistance de la matière est insuffisante, les mêmesdéplacements verticaux auront tendance à se produire également.

Dans la grande majorité des cas ces efforts tranchants sont négligeables par rapport aux autresefforts sollicitant la poutre, il faudra cependant en tenir compte au moment de la conception des poutressoumises à flexion (raidisseurs aux appuis).

Supposons en second lieu que la poutre fléchie soit constituée d’une série de planches empiléeset posées sur les appuis C et D. Une charge F fait fléchir l’ensemble.

L’expérience très simple à réaliser, montre que chacune des planches fléchit et s’incurve pour sonpropre compte, ce qui les oblige à glisser les unes par rapport aux autres dans le sens longitudinal.

Les extrémités des planches qui, avant l’application de la charge F, se trouvaient en coïncidencedans un même plan AA et BB, ne le sont plus après déformation.

La seule résistance opposée à ce glissement longitudinal provient du frottement des planches lesunes sur les autres. En réalité, on ne tient compte de ce glissement que dans les calculs des soudures oudes rivets des poutres composées.


La flexion simple est un état de charge tel que dans toute section droite d’une pièceil n’existe qu’un moment fléchissant Mf et un effort tranchant V associé.

fig. 7.4. -

Une barre travaillant principalement à la flexion est appelée poutre.

fig. 7.5. -

7.1.3. Flexion simple

Il apparaît donc dans les sections transversales d’une barre, en même temps que les moments deflexion, des efforts tranchants, d’où :

La flexion simple entraîne sur toute la section perpendiculaire à la fibremoyenne de la pièce des contraintes normales et tangentielles. Ces dernièresprovoquent un gauchissement des sections droites.

Toutefois, la déformation du plan des sections transversales n’influepas d’une façon notable sur la grandeur des contraintes normales.

L’erreur que l’on commet en ne tenant pas compte de cette déformationdans le calcul des contraintes normales est faible (voir nulle si l’effort tranchant est constant).

Un exemple concret de poutre isostatique soumise à flexion simple est donné à la figure ci-dessous. Les charges sont toujours appliquées dans un plan longitudinal de symétrie. En effectuant unecoupure au droit de la charge P, on constate que comme efforts internes, il existe un moment fléchissantMf et un effort tranchant V.


fig. 7.6. -

Rappel : Si les réactions peuvent se déterminer à partir des équations de lastatique, la poutre est dite isostatique. Dans le cas contraire, elle esthyperstatique.

7.2. Appuis et charges

7.2.1 Types d’appuis

Si on se limite au cas plan, on rencontre trois types d’appuis :

1) l’encastrement : Degré de liberté : aucun.D’où l’encastrement interdit tout mouvement (horizontal, vertical, rotation). Il crée une forcede réaction (qui peut se décomposer en une composante verticale et une composantehorizontale) et un couple appelé moment d’encastrement.

2) l’appui fixe : Degré de liberté : un (rotation)(L’appui fixe est aussi appelé : appui à rotule ou appui articulé). D’où l’appui fixe permetuniquement la rotation. Il crée une force de réaction uniquement (qui peut se décomposer enune composante verticale et une composante horizontale).

3) l’appui mobile : Degré de liberté : deux (rotation, glissement)(L’appui mobile est aussi appelé : appui simple, appui à rouleau, appui glissant). D’où l’appuimobile empêche uniquement le déplacement suivant une perpendiculaire au chemin deroulement. Il crée une force de réaction perpendiculaire au chemin de roulement.Cet appui est largement utilisé afin de rendre possible les déplacements horizontaux etempêcher ainsi la naissance de contraintes thermiques éventuelles.

7.2.2. Charges supportées par les poutres et les planchers

Les charges que les poutres et planchers ont à supporter se divisent en deux catégories :

< le poids propre;< les charges proprement dites.

Le poids propre de la pièce s’évalue en Newton par mètre courant [N/m] pour les poutres, et en[N/m²] pour les planchers et les passerelles.

Les charges proprement dites sont les charges qui sollicitent les pièces.

Il en existe de deux sortes :< les charges concentrées;< les charges réparties.


fig. 7.7. -

fig. 7.8. -

A) Les charges concentrées sont celles qui sont ramassées sur une très petite surface, tel une poutres’appuyant sur une autre poutre qui lui est perpendiculaire, une colonne reposant sur une poutre, unecharge pendue ( cas d’un palan ) fixe ou roulante.

B) Au contraire un mur élevé sur la longueur d’une poutre ou une matière répartie sur la surface d’unplancher sont des charges réparties. Elles sont dites uniformément réparties quand elles ont une valeurconstante sur toute la longueur de la poutre ou sur toute la surface du plancher (le poids propre étant unexemple de charge répartie).

Suivant la position sur la poutre du point d’application d’une charge concentrée, la déformationet les efforts internes que la poutre subit varient beaucoup. Il en est de même, si à égalité de poids total,la charge est concentrée au lieu d’être répartie.

Conclusions :< Une poutre peut être capable de supporter une charge répartie de valeur donnée

et peut ne pas pouvoir supporter la même charge appliquée localement.< Une charge concentrée locale peut agir très différemment sur une poutre suivant

l’emplacement de son point d’application. A ce point de vue il y a toujours intérêtà reporter la charge aussi près que possible des appuis.

Nous verrons les différentes possibilités de charge d’une poutre aussi bien encastrées que surdeux appuis et de l’influence des celles-ci sur la manière dont elles sont sollicitées.


fig. 7.9. -

Le moment fléchissant est positif : s’il tend à mettre en traction les fibresinférieures longitudinales de la poutre.

L’effort tranchant associé est positif : s’il tend à faire tourner le petitélément dans le sens horlogique.

La charge (p(x)) est positive : si elle agit vers le bas.

Pour retrouver facilement le signe des moments fléchissants Mf , on peut se servirde la règle suivante :Si une force F ou p agit vers le bas, le Mf correspondant est : (!)Si une force F ou p agit vers le haut, le Mf correspondant est : (+)

Pour le signe des efforts tranchants V :Si une force F ou p agit vers le bas, le V correspondant est : (!)Si une force F ou p agit vers le haut, le V correspondant est : (+)Remarque :Ne fonctionne que si on établit le diagramme des efforts tranchants de la gauchevers la droite.

7.3. Diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants

7.3.1. Conventions de signes

Par convention :

7.3.2. Diagrammes des moments fléchissants

Ces diagrammes joueront un rôle très important dans la recherche des sections les plus sollicitéesainsi que dans la détermination des flèches. Ils remplissent donc une fonction primordiale dans ledimensionnement des poutres.

Pour construire les diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants, on effectueun certain nombre de coupures (entre les charges extérieures, entre une charge et une extrémité nonappuyée, dans les zones où agissent les charges réparties).

Pour chaque coupure on détermine l’expression de Mf et de V en équilibrant le tronçon


Effort tranchant dans une section :

Somme des forces (réactions comprises) situées soit à droite, soit à gauche de lasection considérée.

Moment fléchissant dans une section :

Somme des moments, de toutes les forces (réactions comprises) situées soit àdroite, soit à gauche de la section considérée.

compris entre une extrémité de la poutre et la coupure. Les diagrammes sont tracés à partir deséquations obtenues pour Mf et V. La convention de signe adoptée pour le dessin des diagrammes est celleexplicitée ci-dessus. Ce choix implique que le diagramme des moments soit orienté du coté de la fibretendue.


fig. 7.10. -

7.3.3. Applications

A) Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle

1) Recherche des réactions d’appuis.

:( ) f i = 0 R F RA B− + = 0

:( )

M B = 0 − + = =R l F l RF l

lA b Ab0

=RF l

lBa

2) Recherche des moments fléchissants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite)Coupure en A : M f A = 0

Entre A et C : M R xf AC A=

Coupure en C : M R lF l l

lf C A aa b= + =

Entre C et B : ( )M R x F x lf CB A a= − −

Coupure en B : M R l F lf B A b= + − = 0

3) Recherche des efforts tranchants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite)

Coupure (juste après) en A : T RF l

lA Ab= =

Coupure (juste après) en C : T R FF l

lC Aa= − = −


Remarque importante :Lorsqu’il existe une charge répartie, on la remplace par une charge ponctuelleau centre de gravité de la charge répartie.

B) Poutre sur deux appuis soumise à une charge uniformément répartie sur la partie droite

1) Recherche des réactions d’appuis.On pose : F p lp=

:( ) f i = 0 R F RA B− + = 0

:( )

M B = 0 − + = = =R l F l RF l

l

p l l

lA b Ab p b0

= =RF l

l

p l l

lBa p a


Entre A et C : M R xf AC A=

Coupure en C : ( ) ( )x l M R l lF l

ll lC f C A p

bp= = + − = −

Entre C et B :( )

( )

M R x x l px l

M R x x lp

f CB A CC

f CB A C

= − −−

= − −

2

2

2

Coupure en G : x l M R lF l

Fl l

a f G A ap b p= = + − = −

2 4 2 8

Coupure en B : M R l F lf B A a b= + − = 0


Coupure (juste après) en A : T RF l

lA Ab= =

Coupure (juste après) en C : T RF l

lC Ab= =

Coupure (juste avant) en B : T R p lF l

lB A pa= − = −


fig. 7.11. -

Remarque importante :Si dans la zone où agit une charge répartie existe en outre des forces ponctuelles(actives ou réactives), il faut diviser la zone de charge répartie en tronçons limitéspar les lignes d’actions des charges ponctuelles.

C) Poutre soumise à une charge ponctuelle et répartie

1) Recherche des réactions d’appuis.On pose : F p l=

:( ) f i = 0 R F F RA B− − + =1 0

:( )

M B = 0 + − − = = +R l Fl

F l RF

Fl

lA b Ab

20

21 1

= +RF

Fl

lBa

2 1


Coupure en C : ( ) ( )M R l p ll F l F l l

lp l

lf C A a a

a a a ba

a= + − = + −2 2 2

1

Coupure en B : M R l Fl F

lf B Ab

= + − − =2

01


Coupure (juste après) en A : T RF

Fl

lA Ab= = +

2 1

Coupure (juste avant) en C : T R p lF

Fl

lp lC avant A a

ba= − = + −

2 1

Coupure (juste après) en C : T T FC après C avant= − 1


fig. 7.12. -

Coupure (juste avant) en B : T RF

Fl

lB Ba= − = − +

2 1


7.3.4. Relation entre le Mf, le V et le type de charge

A) Relations entre le moment fléchissant et l’effort tranchant

< Le moment fléchissant Mf est maximum là où l’effort tranchant V s’annule.

< Le moment fléchissant Mf croît dans une zone où l’effort tranchant V est positif.

< Le moment fléchissant Mf décroît dans une zone où l’effort tranchant V est négatif.

< A chaque ressaut du diagramme des efforts tranchants correspond un pointd’inflexion (cassure) dans le diagramme des moments fléchissants.

< Le moment fléchissant est nul (Mf = 0) au droit des appuis d’extrémités et auxextrémités libres d’une poutre. Le moment fléchissant n’est jamais nul à unencastrement.

< Le moment fléchissant en un point P d’une poutre est égal à la surface dudiagramme des efforts tranchants d’une extrémité de cette poutre à ce point P.

B) Relations entre le type de charges et l’allure des diagrammes des moments fléchissants et des effortstranchants

< Sur une zone de poutre sans charge :V : constant ou V : nul (= 0)Mf : évolue linéairement Mf : constant

< Sur une zone de poutre soumise à une charge uniformément répartie constante :V : évolue linéairementMf : évolue paraboliquement

< Au droit d’une force concentrée (action ou réaction)V : subit un ressaut ou une chuteMf : montre un point d’inflexion (cassure)

C) Relation entre le moment fléchissant et la déformée d’une poutre

Les conventions dans le signe des moments fléchissants que nous avons adopté est tel que lediagramme des moments fléchissants est positionné du côté de la fibre tendue (en traction). Enrésumé :

< Si le diagramme des moments fléchissants est positif, la déformée présente uneconcavité vers le haut.

< Si le diagramme des moments fléchissants est négatif, la déformée présente uneconcavité vers le bas.

< Dans la section où le moment fléchissant est nul (Mf = 0), il y a changement desens de courbure de la déformée; celle-ci présente en cette section un pointd’inflexion.


fig. 7.13. -

D) Relation entre le type de charge et la position du moment fléchissant maximum d’une poutre

Pour trouver la position du moment fléchissant maximum voir (A) 1) ).

< Charge(s) ponctuelle(s) uniquement : Au droit d’une des charges ponctuelles.

< Charge répartie : Position dR

pA: =

Remarque importante :1) Ne fonctionne que si la charge répartie est telle qu’elle agit de manière continue entre

l’appui et l’endroit du moment fléchissant maximum.2) et sans charge ponctuelle en superposition.

E) Trucs et astuces

Dans le cas d’un dimensionnement de poutre à la contrainte, il s’agira de déterminer d’abord lediagramme des efforts tranchants. Le moment fléchissant maximum se situe à l’endroit ou l’efforttranchant s’annule. Le calcul s’effectuera pour cette position uniquement.


fig. 7.14. -

fig. 7.15. -

Définition :Le lieu géométrique des points d’une section vérifiant la condition estσ = 0appelé : ligne (ou fibre) neutre de la section.

fig. 7.16. -

7.4. Distribution des contraintes normales dans une section droite

7.4.1. Généralités

Si on considère une barre sur appuis simples, possédant unplan de symétrie longitudinal, dans lequel s’exerce une force F, celle-ci va se déformer comme indiqué à la figure ci-contre.

Vu la courbure de la barre, lesfibres longitudinales inférieures vonts’allonger et les fibres longitudinalessupérieures se raccourcir. Dès lors onpeut montrer, par la loi de Hooke[contrainte proportionnelle audéplacement], que lors de la flexion d’une poutre, les contraintes dans unesection transversale varie selon une loi linéaire (figure ci-contre). Ce sontdonc bien des contraintes normales (c’est-à-dire perpendiculaires à la

section).

Si les fibres inférieures s’allongent et les fibres supérieures se raccourcissent, il doit donclogiquement exister des fibres qui vont conserver leur longueur. D’où la définition :

Et dans le cas de la flexion pure et de la flexion simple, onpeut montrer, par ailleurs, que la fibre neutre se confond toujoursavec le centre de gravité de la section (sauf dans le cas particulierdes pièces à fortes courbures).

7.4.2. Relation fondamentale

Explicitons maintenant le lien existant entre la contrainte σet le moment fléchissant Mf dans une section droite. L. Navier (1) àdémontrer que toute fibre longitudinale située à une distance y del’axe neutre est le siège d’une contrainte donnée par la formule suivante :

[N/mm2]σ = =M

I y

M y

If f (éq. 7.42)

Notations : Mf

Iy

moment fléchissantmoment d’inertie de la sectiondistance à partir de la fibre neutre

Nmmmm4

mm

(1) Navier Louis : ingénieur français des Ponts et Chaussées (1785 - 1836)


fig. 7.17. -

Démonstration de la formule de Navier pour la flexion

L’allongement relatif d’une fibrese trouvant à une distance y de la fibreneutre peut être établi, pour le cas deflexion pure (la déformée dans ce cas estun arc de cercle), en analysant ladéformation d’une longueur élémentaire dzde la barre :

(1)

( )

( )ε

ρ θ

ρ θ ρ θρ θ ρ

=+ −

=+ −

=

y d dz

dzy d d

d

y

Si on introduit cette dernièreéquation dans l’équation physique de la loi

de Hooke , on obtient : ε σ=E

σρ

= Ey

(2) ( ) étant la courbure.1

ρ

Si on se rappelle la définitiond’une contrainte en un point :

Sur un petit élément dA (appelé facette) appartenant à la surface de la coupure etentourant le point B, agit une force dF. Par définition, la contrainte s’exerçant sur la

coupure au point B vaut : (3)σ B

dF

dA=

Si, de plus, on utilise la condition d’équilibre qui lie les contraintes et les efforts internes dansune section transversale d’une poutre qui peut s’écrire sous la forme :

(4)( )y dF M y dA Mf

A

f

A

= = σ

et si on introduit (2) dans (4), on obtient :

(5)yE

y dA MM

E y dA

M

E If

A

f

A

f

ρ ρ

= = =

1

2

et si l’on introduit cette dernière équation dans (2), on établit la formule pour le calcul de la contraintenormale dans une couche quelconque de la section de la barre à une distance y de l’axe Ox :

σ =M

Iy

f

Remarque :Dans le cas d’une flexion simple l’expression ci-dessus est approchée, maissuffisamment exacte que pour une utilisation dans la pratique courante.


fig. 7.18. -

On remarque que les contraintes maximales en flexion apparaissent aux points les plus éloignésde la fibre neutre et donc :

[N/mm2]σ max = =M

I v

M

Wf f

x

(éq. 7.51)

avec : v : la distance entre la fibre neutre et le point, de la section, le plus éloigné [mm]v y= max

De plus :I/v : est appelé module de résistance à la flexion et est noté : Wx [mm3]

Remarque :La formule de la contrainte maximum en flexion est à rapprocher de celle de la contraintetangentielle maximum en torsion.

Ces contraintes maxima sont de signes opposés : l’une est une contrainte de traction, l’autre unecontrainte de compression. Et si le profil est symétrique (par rapport à l’axe neutre), on obtient :

σ σ σ σmax min max min= − =ou

Remarques : 1) La flexion simple entraîne sur toute section perpendiculaire à la fibre moyenne de

la pièce des contraintes normales et tangentielles. Ces dernières provoquent ungauchissement des sections droites (voir § 7.1.3.).Toutefois, la déformation du plan des sections transversales n’influe pas d’unefaçon notable sur la grandeur des contraintes normales.L’erreur que l’on commet en ne tenant pas compte de cette déformation dans lecalcul des contraintes normales est faible (voire nulle si l’effort tranchant estconstant).

2) Sous l’action des contraintes de traction s’exerçant dans lapartie inférieure de la barre, un rétrécissement latéral de lasection droite, dû au coefficient de Poisson, se produit. Pour laraison contraire, la partie supérieure de la barre est soumise àun gonflement latéral.En pratique, on ne tiendra pas compte de cette modification dela forme des sections transversales de la barre.

7.5. Distribution des contraintes tangentielles dans une section droite

L’objet de ce paragraphe est de rechercher la distribution des contraintes tangentielles (ou decisaillement) agissant sur les facettes contenues dans une section droite.

On peut montrer que la distribution des contraintes tangentielles est telle que ces contraintessont nulles au bord supérieur et inférieur de la section et maximales vers le centre (maximales aucentre de gravité pour les sections symétriques (axe de symétrie perpendiculaire à la force)).


fig. 7.19. -

fig. 7.20. -

fig. 7.21. -

fig. 7.22. -

Réciprocité des cisaillements

Justifions la non-uniformité des contraintes tangentielles dans une section d’une poutre fléchie.

Si dans une section existe un effort tranchant V, celui-ci induit une contrainte tangentielle (τy) dans la “petite” surface(Ay). Cette contrainte se situe “dans” la section et est parallèleà l’axe des (y). Comme la section est statique, la sommationdes forces (fi) et la sommation des moments (M) doit être nulle.

Examinons un petit “cube” de matière.

Par rapport au pont P, il

faut que : , et donc :M P = 0

.τ τy xl l× = ×Il y aura donc une contrainte réciproque (τx) dans le sens longitudinal quisera égal, en grandeur, au cisaillement transversal (τy).

Par contre si nous prenons un “cube” dont une des faces est lasurface extérieure de la poutre, il sera impossible d’équilibrer celle-ci, car,

longitudinalement il n’y a plus de matière et par conséquent (τx) n’existera pas !

C’est pourquoi, la répartition des contraintes transversales nesera pas uniforme. Le maximum se situera au niveau de la fibreneutre et le contraintes tangentielles seront nulles aux extrémités(surfaces supérieure et inférieure) de la poutre.

La formule permettant d’exprimer les contraintes tangentielles maximales τmax pour les sectionstransversales de formes quelconques peut être formulée de la manière suivante :

[N/mm2]τ τmax = kV

A(éq. 7.56)

avec : T : effort tranchant [N]A : surface de la section soumise à l’effort tranchant [mm2]kτ : coefficient dépendant de la forme de la section [-]


Coefficient de forme (kτ )(Cisaillement)

Section rectangulaire 3/2

Section carrée 3/2

Section circulaire 4/3

Section annulairemince

2

Section triangulaire 3/2

Remarque :Dans certains cas il est difficile de calculer la contrainte maximale τmax, on a alors recoursà la contrainte tangentielle moyenne τmoy. C’est-à-dire que l’on prend dans lakt = 1

formule précédente. Exemple : dans le cas des profils en “I” ou en “U”, nous avons :

[N/mm2]τ moyame

V

A=

(éq. 7.58)

avec : Aâme : uniquement la section de l’âme que l’on peut assimiler à :(hauteur du profilé - 2 × épaisseur semelle) × épaisseur de l’âme

7.6. Choix de la forme de la section droite

7.6.1. En flexion

A) Cas des matériaux ductiles

Puisque les résistances à la traction et à la compression de ce type de matériaux sont du mêmeordre de grandeur, on a tout intérêt à utiliser des sections symétriques (par rapport à l’axe autour duquels’effectue la flexion).

Afin de rendre le dimensionnement économique, il faudra, non seulement vérifier la conditionde résistance :

σ σmax

max max= = ≤M

I v

M

W

f f

xadm (éq. 7.59)

avec : σmax : la contrainte normale maximale.(Pour un tronçon de pièce de section constante dans la section où le moment fléchissant est leplus important.)

mais aussi à veiller à réduire au minimum le poids de la barre.

Pour satisfaire cette double condition, il faut, à section égale, augmenter au maximum le modulede résistance à la flexion. Pour ce faire, il est indispensable de rejeter la matière dans les zones les pluséloignées de l’axe neutre.

Pour comparer différentes sections, on a défini le rapport sans dimensions (wf) :


wW

Af

x=3

(éq. 7.60)

avec : A : la surface de la section

Ce rapport doit être aussi grand que possible (voir tableau A.20). Il en ressort que les profilés en“I” sont particulièrement économiques, ce qui explique l’usage fréquent de ce type de sections enconstruction métallique.

B) Cas des matériaux fragiles

Dans ce cas il faut vérifier que la contrainte maximum est inférieure, non seulement à lacontrainte admissible de compression du matériau, mais aussi que la contrainte maximum soit inférieureà la contrainte de traction du matériau.

Vu le comportement différent de ces matériaux à la traction et à la compression, la forme de lasection droite sera non symétrique si l’on souhaite un dimensionnement économique.

On peut par exemple choisir des profils “I” dissymétriques ou des profils “T”. Les dimensionsde l’(des) aile(s) seront telles que les distances de la ligne neutre aux fibres supérieures et inférieures dela barre soient dans le même rapport que la contrainte admissible en traction et en compression (prisesen valeur absolue) du matériau utilisé.

7.6.2. En cisaillement

En général, dans une section droite les contraintes longitudinales σ sont maximales aux pointsoù les contraintes tangentielles τ sont nulles, inversement σ est maximal aux points pour lesquels τ est nul.

De plus, dans la plupart des cas, on constate que les contraintes tangentielles sont plus faibles queles contraintes normales. Dès lors, les contraintes maximales apparaîtront le plus souvent dans la sectiondroite soumise aux moments fléchissants les plus importants. C’est seulement dans le cas de pièces defaibles longueurs que les contraintes tangentielles seront du même ordre de grandeur (ou supérieures) queles contraintes normales (voir chapitre “Cisaillement”).

Classiquement, le calcul de la résistance d’une pièce soumise à flexion simple se fera enconsidérant séparément l’action des contraintes normales σ et tangentielles τ.

On vérifiera donc, en plus de la condition donnée par l’équation (éq. 7.59), la condition :

[N/mm2]τ ττmax = ≤kT

Aadm cisail (éq. 7.61)

avec : τmax : la contrainte tangentielle maximale.

(Pour un tronçon de pièce de section constante dans la section où l’effort tranchant estle plus important.)

Il faut remarquer que cette méthode ne tient pas compte de l’état réel des contraintes en un pointcaractérisé par (σ, τ) (voir chapitre “Sollicitations composées”).


Section dangereuse pour une poutre en acier ou en bois :celle où agit le moment fléchissant, absolu, maximum.

Sections dangereuses pour une poutre en béton :celles où agissent le moment fléchissant positif (traction) et négatif(compression) maximum.

7.6.3. Section(s) dangereuse(s) d’une poutre

Par définition, et en toute généralité, une section de poutre est dite “dangereuse” lorsque lesmoments fléchissants et les efforts tranchants qui y agissent ont des valeurs telles que la matière de cettesection est plus sollicitée qu’en toute autre section de la même poutre.

Selon cette définition, il est donc certain que sont “dangereuses” les sections qui “souffrent” leplus.

Dans la pratique, c’est le moment fléchissant qui détermine, et de loin, la sollicitation principalede la matière d’une poutre fléchie. D’où la règle générale :

7.7. Contraintes admissibles

7.7.1. En flexion

La flexion engendre des contraintes normales de traction et de compression. Dès lors, pour lescontraintes admissibles on se reportera au chapitre “Traction - Compression”.

1) Dans le cas d’un matériau ductile, la contrainte admissible (σadm) en flexion est obtenue entenant compte d’un coefficient de sécurité (S) par rapport à la limite d’élasticité (Re) :

σ admeR

S= (éq. 7.62)

2) Si le matériau est fragile, la contrainte admissible (σadm) se déterminera à partir de larésistance à la rupture (Rm) et non plus à partir de (Re) :

σ admmR

S= (éq. 7.63)

7.7.2. En cisaillement

La flexion engendre des contraintes tangentielles (de cisaillement). Dès lors, pour les contraintesadmissibles on se reportera au chapitre “Torsion”.

1) Dans le cas d’un matériau ductile, la contrainte tangentielle admissible en cisaillement (τadm)est obtenue en tenant compte d’un coefficient de sécurité (S) par rapport à la limite d’élasticitéen cisaillement (τe), sachant que :

; nous prendrons :( ) ( )τ e eR= 05 0577 0 6. ... . ... . τ admeR

S= 058. (éq. 7.65)

2) Si le matériau est fragile, la contrainte tangentielle admissible (τadm) se déterminera à partir


de la résistance à la rupture (Rm) et non plus à partir de (τe) :

τ admmR

S= (éq. 7.66)

Remarque :Dans le cas de poutrelles et de poutres “longues”, les contraintes de cisaillement seronttoujours négligeables par rapport aux contraintes de flexion.


Application 7.1. Cas de la poutre encastrée à une extrémité (Une seule charge à l’extrémité)Rechercher le moment fléchissant maximum afin de dimensionner cette poutrelle “I” PN sachant que :l = 3 m F = 10000 N σadm = 100 N/mm2

fig. 7.23. -

Solution :Recherche des réactions d’appuis

L’équilibre suivant la verticale donne :R F NA = = 10000

Recherche des moments fléchissantsL’équilibre de rotation autour de (A) donne :

M F l Nmf A = = 30000

Le moment fléchissant maximum se trouve audroit de l’encastrement.

Calcul du module de flexion minimum

σ σσmax

max max max= = ≤ ≥M

I v

M

WW

Mf f

xadm x

f

adm

WM F l

mm cmx

f

adm adm

≥ = =×

= =max

σ σ10000 3000

100300000 3003 3

Dans un catalogue de poutrelles nous avons un “I” PN 240 au minimum (Wx = 354 cm3)

Vérification de la contrainte de cisaillementDans le catalogue, on trouve : e mm hauteur de l ame mm= =8 7 192 5. ; ' .

A hauteur de l ame épaisseur de l ame

mmame ' '

. . .

= ×= × =192 5 8 7 1674 7 2

τ moyame

T

AN mm négligeable car N mm= = = ≤ × =

.. / . /

10000

1674 759 058 100 582 2


Application 7.2. Cas de la poutre encastrée à une extrémité (Charge uniformément répartie sur unepartie de poutrelle)Rechercher le moment fléchissant maximum afin de dimensionner cette poutrelle “H” HEB à âmeverticale sachant que :l = 3 m l : la distance du centre de gravité de la charge à l’appui.lp = 1.5 m lp : la longueur de la partie chargée.p = 10000 N/m p : la charge par mètre courant.σadm = 100 N/mm2

fig. 7.24. -

Solution :Recherche des réactions d’appuis

L’équilibre suivant la verticale donne :R p l F NA p= = = 15000

Recherche des moments fléchissantsEquilibre de rotation autour de A :

( )M p l F l Nmf A p= = = 45000

Le moment fléchissant maximum se trouve audroit de l’encastrement.

Calcul du module de flexion minimum

σ σσmax

max max max= = ≤ ≥M

I v

M

WW

Mf f

xadm x

f

adm

( ) ( )W

M p l lmm cmx

f

adm

p

adm

≥ = =× ×

= =max .

σ σ10000 15 3000

100450000 4503 3

Dans un catalogue de poutrelles nous avons un “H” HEB 200 au minimum (Wx = 570 cm3)

Vérification de la contrainte de cisaillementDans le catalogue, on trouve : e mm hauteur de l ame mm= =9 170; '

A hauteur de l ame épaisseur de l ame

mmame ' ' = ×

= × =170 9 1530 2

τ moy

ame

T

AN mm= = =

. /10000

15309 8 2

négligeable par rapport à 58 N/mm2 (0.58 x 100 N/mm2).


La flèche en un point P est donnée par le moment par rapport à ce point P de lasurface du diagramme des moments fléchissants se situant entre l’encastrement etle point P considéré le tout divisé par le module de rigidité à la flexion EI.

La flèche en un point P est donnée par le moment par rapport à ce point P de lasurface du diagramme des moments fléchissants se situant entre l’appuis et le pointP considéré, augmenter du moment de la réaction, due au chargement par lamoment fléchissant, au point P, le tout divisé par le module de rigidité à la flexion(EI).

7.8. Déformation de flexion des poutres isostatiques

7.8.1. Calcul de la flèche en un point : “Méthode des aires”

Une manière relativement simple de trouver la flèche en un point P d’une poutre isostatiquesoumise à flexion est de partir du diagramme des moments fléchissants.

A) Théorie

A.1) Poutre encastrées

En d’autres termes, la flèche au point P s’exprime par la relation suivante :

fE I

A dP i v i= 1(éq. 7.81)

Avec : E : module d’élasticité longitudinale [N/mm2]I : moment d’inertie de la section [mm4]Ai : aire du diagramme des moments fléchissants situés entre l’encastrement et le point Pdvi : distance du centre de gravité de la surface du diagramme des Mf à l’endroit de la

recherche de la flèche. [mm]

A.2) Poutre sur appuis

En d’autres termes : ( )fE I

R d A dP i v i= − 1(éq. 7.82)

Avec : E : module d’élasticité longitudinale [N/mm2]I : moment d’inertie de la section [mm4]Ai : aire du diagramme des moments fléchissants situés entre l’appui et le point Pdvi : distance du centre de gravité de la surface du diagramme des Mf à l’endroit de la

recherche de la flèche. [mm]R : réaction d’appuis due au chargement du moment fléchissant [N]d : distance entre l’appui et le point P [mm]

Dans le cas d’une poutre sur appuis, il faut tenir compte du moment du à la réaction d’appui, caril existe une déviation angulaire au droit de l’appui qui induit une flèche. Ce n’est pas le cas d’unencastrement où, au droit de celui-ci, la déviation angulaire est nulle.


fig. 7.25. -

fig. 7.26. -

B) Exemples

B.1.) Poutres encastrées

B.1.1) Charge à l’extrémité (fmax à l’extrémité de la poutre)

Appliquons la formule de base :

fE I

A dE I

A dB i v i v= =1 1

La surface du diagramme des Mf entre (A) et (B)

est :( )

AF l l F l

= =2 2

2

(Mf est ! Y prendre +)La distance du centre de gravité de la surface des Mf

à l’extrémité (B) est : d lv = 2

3

La flèche devient : Y

fE I

F l

A

l

d

B

v

= ×

1

2

2

3

2

fF l

E Imax = 1

3

3

(éq. 7.87)

B.1.2) Charge répartie (fmax à l’extrémité de la poutre)

avec : p : charge répartie [N/m]


fE I

A dE I

A dB i v i v= =1 1

La surface du diagramme des Mf entre (A) et (B)

est : A p l

l p l= = =1

3

1

3 2 6

2 3

rectangle

(Mf est ! Y prendre +)La distance du centre de gravité de la surface des Mf

à l’extrémité (B) est : d lv = 3

4


fE I

p l

A

l

d

B

v

= ×

1

6

3

4

3

fp l

E Imax = 1

8

4

(éq. 7.92)


fig. 7.27. -

fig. 7.28. -

B.2) Poutres sur appuis

B.2.1) Charge ponctuelle au milieu de la portée (fmax au centre)


fE I

A dE I

A dC i v i v= =1 1

La surface du diagramme des Mf entre (A) et (C)

est : AF l l F l

=

=1

2 4 2 16

2

La distance du centre de gravité de la surface des Mf

au point (C) : dl l

v = =1

3 2 6

Recherche de (R) : RF l

lF l

=

=4

1

2 16

2


fE I

F l

R

l

d

F l

A

l

d

C

v

= × − ×

1

16 2 16 6

2 2

fF l

E Imax = 1

48

3

(éq. 7.98)

B.2.2) Charge répartie (fmax au centre de la poutre)


fE I

A dE I

A dP i v i v= =1 1

La surface du diagramme des Mf entre (A) et (C)

est : A p l

l

p l= = =2

3

2

3 8 2 24

2 3

rectangle

La distance du centre de gravité de la surface des Mf

au point (C) : dl

lv = =3

8 2

3

16

Recherche de (R) : Rp l p l

=

=2

3 8

1

2 24

2 3


fE I

p l

R

l

d

p l

A d

lC

v

= × − ×

1

24 2 24

3

16

3 3

fp l

E Imax = 5

384

4

(éq. 7.104)


fig. 7.29. -

C) Récapitulatif - Résumé

Surface (Ai) Distance (d v i )

A M lf= ×max d lv i = 1

2

( )A M lf= ×1

2 max d ou lv i =

1

3

2

3

( )A M lf= ×1

3 max d ou lv i =

1

4

3

4

( )A M lf= ×2

3 max d ou lv i =

3

8

5

8


7.8.2. Calcul de la flèche en un point : “Méthode différentielle”


7.8.3. Flèche admissible

Dans le cas de constructions métalliques ou de charpentes (bois ou métal) le calcul à ladéformation maximum devient prépondérant par rapport au calcul à la contrainte admissible. C’estpourquoi il convient dans ces cas-là de vérifier que :

f f admmax ≤ (éq. 7.113)

Ci-dessous quelques exemples de flèches admissibles rapportées à la portée (l) de la poutre (entreappuis).

Flèches admissibles (fadm) rapportées à la portée (l) de la poutre

Poutres en général 1/250

Poutres en porte-à-faux ((l) étant ici (2 ×) la longueur du porte-à-faux)

1/200

Planchers en général (solives,...) 1/250

Planchers supportant des poteaux, murs... 1/400

Poutres des planchers d’étages 1/400

Toitures en général 1/200

Toitures supportant fréquemment du personnelautre que du personnel d’entretien

1/250

Poutres de roulement et fermes : a) pont manoeuvré à bras, poutres roulantes b) ponts roulants (Q # 50 T) c) ponts roulants (Q > 50 T)

1/5001/6001/750

Poutres des passerelles d’un bâtiment industriel : a) en l’absence de rails de roulement : - poutres maîtresses - autres poutres b) en présence d’un chemin de roulement

1/4001/2501/600


7.9. Applications

7.9.1. Calcul (simplifié) d’une dent de roue dentée (engrenage cylindrique)

Une dent d’engrenage se calcule suivant plusieurs critères :1) A la résistance à la flexion et à la compression2) A la pression spécifique3) A l’échauffement

Pour un calcul simplifié nous ne calculerons la denture qu’à la flexion en considérant la dentcomme un solide encastré.

Connaissant la puissance P à transmettre [en Watt] et la vitesse de rotation (n) [en tour/min] dela roue dentée, nous pouvons en déduire le couple (C) à transmettre par la roue dentée et donc la forceF (en [N]) s’exerçant sur les dents de l’engrenage.

Rappelons-nous l’équation liant le couple et la vitesse de rotation : CP

n=

30

π

Mais pour le calcul des engrenages, nous avons tout intérêt à prendre le couple maximum et nonle couple nominal. Dans le cas des roues dentées, il y a deux sortes d’efforts supplémentaires :

1) celui provenant de la plus ou moins grande précision de la denture et dont on tientcompte en multipliant (C) par (kp) : kp = 1.05 à 1.30

2) celui provenant de la nature des deux machines reliées par l’engrenage. Ce facteurde choc (kc) peut être assez élevé et n’est pas toujours facile à évaluer avecprécision (voir chapitre “Torsion”)

Dans un calcul d’avant projet on peut ce contenter du couple maximum déterminer par :

C k k Cp cmax = (éq. 7.115)

La force sur une dent d’engrenage s’exerce suivant un certain angle(la plupart du temps suivant un angle de 20E) sur le diamètre primitif (dprim).La force engendrant le couple est la projection de cette force sur laperpendiculaire au diamètre primitif : soit (Ft).

Dès lors, sachant que : nous avons :FC

dtprim

= max

2

[N]FP

d ntprim

=60

π (éq. 7.117)

Remarque :Si P est en W, dprim doit être en m !

Connaissant maintenant la force Ft s’exerçant sur la dent, il s’agit de déterminer son module met à partir de là, toutes ses dimensions.


fig. 7.31. -

Diamètre primitif : d = m . ZPas : p = m . πSaillie : ha = mCreux : hf = 1.25 mHauteur de dent : ha + hf = 2.25 mDiamètre de tête : da = d + 2ha = d + 2mDiamètre de pied : df = d ! 2hf = d ! 2.5mLargeur de denture : b = K . m7 # K # 12 suivant la qualité de l’engrènementEntr’axe : a = (d1 + d2) /2

l’indice “a” signifie de têtel’indice “f” signifie de pied

fig. 7.32. -

fig. 7.33. -

Valeurs du module [mm]

Principales Secondaires

0.50.60.81

1.251.52

2.534568

10

12162025324050

0.550.70.9

1.1251.3751.752.25

2.753.54.55.579

11

141822283645

Hypothèses de calcul

[H1] La dent est une poutre encastrée.[H2] L’épaisseur au pied = épaisseur au cercle primitif.[H3] La force (Ft) est appliquée au sommet de la dent (et non sur le

primitif) de manière tangentielle.[H4] Une seule dent transmet toute la force (Ft).[H5] On ne tient pas compte des concentrations de contraintes.

A partir de ces hypothèses, vérifions les contraintes normales (σ) :

[N/mm2]σ σ= = ≤M

I v

M

W

f f

xadm

max max

avec : Mf : moment fléchissant Mf = Ft . hauteur de la dent = F . 2.25 mWx : module de résistance Wx = b e2 / 6b : largeur de dent b = K m avec : K = 8 ... 12e : épaisseur de dent e = (π / 2) m

et :( )[ ]

σπ

σ= × × ×

× × ×≤F m

K m m

tadm

2 25 6

22

.


Application 7.3. Un pignon, de 120 mm de diamètre primitif, est calé sur un moteur électrique de 20kW tournant à une vitesse de rotation de 1440 tours par minute. Déterminez le module de cette rouedentée si la contrainte admissible est de 200 N/mm2.

et donc : mF

K

F

Kt

adm

t

adm

≥ ≈542 34

2π σ σ. (éq. 7.120)

Remarque :Le coefficient (K) détermine la largeur de la denture. On prend généralement une valeurentre 8 et 12 (en avant projet K = 10). Il va de soit que plus la largeur de denture estimportante plus il est difficile de faire porter la denture sur toute sa longueur, il est alorsnécessaire de rectifier les dentures ce qui fait augmenter le coût de celles-ci.

Dans le cas présent la contrainte admissible (σadm) est une contrainte admissible de fatigue. Pourle cas des aciers on peut, pour un calcul simplifié, prendre :

( )σ adm fatigue mR= 0 4 05. ... . ... (éq. 7.34)

Solution :Recherche de la force tangentielle

FP

d nNt

prim

= =×

× ×=

60 60 20000

0120 14402 210

π π .

Appréciation des différents coefficientsCoefficient de choc : kc = 1.2 6 moteur électriqueCoefficient de précision : kp = 1.15 6 précision moyenne

Calcul de la force tangentielle maximaleF F k k Nt t c pmax . .= = × × =2 210 12 115 3 050

Calcul du module

mF

Ksoit mmt

adm

≥ =×

=54 54 3050

10 2002 89 3

2 2π σ π.

Avec un (K) moyen de 10.


7.9.2. Calcul de poutres de plancher

Surcharges surfaciques des planchers en N/m2 ou Pa

Locaux privés (immeubles d’habitation)Locaux publics (bureaux)Locaux accessibles au public (banques, grands magasins, ... )Salles de cours ordinairesSalles de cours spéciaux (laboratoires, gymnastique, ... )Salles de réunions, salle de danse non munie de sièges fixes, tribunes desportsThéâtres, cinémas, ... Escaliers et corridors :

a) maisons d’habitationslogements individuelslogements multiples

b) bureaux, écoles, salles de réunions, théâtres, etc...Locaux pour archives, magasins de librairie. Suivant le cas : minimumToitures, terrasses (neige comprise)

a) accessibles pour l’entretienb) accessibles privéesc) accessibles au public

Balcons de maisons d’habitation

2000300040003000500060004000

2500400050005000

1000200050005000

Dans le cas d’un plancher, chaque poutre reprend une partie de la charge surfacique, de part etd’autre de celle-ci, sur une largeur égale à (l/2).

C’est pourquoi, les différentes poutres centrales reprendront, comme charge uniformément

répartie tout au long de la poutre : pl

psurfacique=

22

[N/m]p l psurfacique= (éq. 7.125)

Par contre les poutres le long des murs ne reprennent que la moitié de la charge surfacique, c’est-

fig. 7.35. -


à-dire : pl

psurfacique=

2

C’est donc au moyen de l’équation (éq. 7.59) que nous déterminerons la dimension des gîtes àutiliser sachant que nous considérerons les poutres comme simplement appuyées et non encastrées.

Voici les contraintes à la rupture (Rm), le module d’élasticité (E) ainsi que la contrainte à la limiteélastique (Re), si celle-ci est connue, pour différentes espèces de bois utilisées en construction.

Caractéristiques de différents bois

Espèces de bois Contraintes N/mm2 N/mm2

Re Rm E

Chêne 2z

23-

10012

110001600

Hêtre 2 - 117 6200

Pin 2z

16-

805

9000-

Sapin 2 20 70 10000

Sapin du nord 2 - 110 -

Pitchpin 2 - 140 -

Bambou 2 - 45 -

Dans le cas du bois nous utiliserons, pour déterminer la contrainte admissible de traction et deflexion, la relation donnée pour les matériaux fragiles (le bois n’étant pas isotrope). C’est-à-dire :

σ admmR

Savec S= = 10 (éq. 7.127)


Application 7.4. Quel sera la dimension des gîtes (en sapin du nord), composant un plancher, ayantune charge surfacique totale de psurfacique = 3000 N/m², sachant que la pièce à une dimension de 3 m x4 m, que la longueur entre appuis est de 4 m et que la distance entre les différentes poutres est de d =0.4 m. Les dimensions des gîtes standards sont : 63 x 150 (7/15), 63 x 175 (7/18) ou 75 x 225 (8/23).Vérifiez la flèche maximum du plancher.

Solution :Recherche de la contrainte admissible :

σ admmR

SN mm= = =110

1011 2/

Charge reprise par les poutres :p l p N msurfacique= = × =0 4 3000 1200. /

Recherche du moment fléchissant maximum (charge répartie)

Mp l

Nmf max = =×

=2 2

8

1200 4

82 400

Recherche du à avoir( )I v

σσadm

f f

adm

M

I vI v

Mmm cm≥ ≥ = = ≈

max max 2 40010

11218182 218

33 3

Recherche des des différentes gîtes (voir annexe pour les sections préférentielles)( )I v

63 1506

6 3 15

6236

63 175 322

75 225 633

2 23

3

3

× =×

= −

×

×

b hcm C est celle ci qui convient

cm

cm

.' .

Vérification de la flèche

Celle-ci est donnée par la formule : dans le cas d’une poutre sur deux appuisfp l

E Imax = 5

384

4

avec une charge répartie. Prenons : Esapin nord = 10000 N/mm2.

Sachant que dans notre cas : I I v v cm= × = × =23615

21770 4

fp l

E Immmax

..= =

××

=5

384

5

384

12 4 000

10000 17701022 6

4 4

4

f mm fl

mm KOadmmax . ?= ≤ = = =22 6250

4 000

25016

Prenons la (7/18) : I I v v cm= × = × =32217 5

22818 4.

fp l

E Imm OKmax

..= =

××

=5

384

5

384

12 4 000

10000 28181014 2

4 4

4


Dans le cas d’une charge roulante, le moment fléchissant maximum en une sectionquelconque est toujours donné quand la charge est appliquée directement en cettesection.

fig. 7.36. -

7.9.3. Charges roulantes

A) Charge roulante unique

Soit une charge F pouvant se déplacer sur toute la longueur d’une poutre (AB) reposant sur deuxappuis. C’est le cas, par exemple, d’un crochet de palan que l’on peut déplacer.

Considérons, figure ci-dessous, une position quelconque de la charge, le moment fléchissantmaximum est toujours donné au point d’application de celle-ci. Autrement dit :

Le calcul des réactions en (A) et (B) conduit aux résultats suivant :

R Fl x

let R F

x

lA B=−

= (éq. 7.141)

avec : x : la distance mesurée à partir de l’appui A (varie entre 0 et l)l : longueur entre appuis

L’équation du moment fléchissant, quant à lui, est égale à :

( )M R x Fl x

lx

F

ll x xf A= =

−= − 2 (éq. 7.142)

L’équation du moment fléchissant, pour une charge roulante ponctuelle, montre que la courbedes Mf est une parabole à axe vertical (le moment fléchissant varie en fonction de (x2)), au lieu d’untriangle pour une charge ponctuelle fixe, bien que le maximum se situe au milieu de la portée (en l/2) et

est égal, pour les deux cas de charges, à : MF l

f max =4

(éq. 7.143)


De plus, contrairement au cas de charge fixe, la réaction aux appuis peut cette fois-ci varier d’unminimum égal à 0 à un maximum égal à F :

La charge roulante se trouve en BR x lA = =0

La charge roulante se trouve en AR F xA = = 0

Les appuis devront donc être calculer pour le maximum.


7.1 - - 7.4 - - 7.6 - - 7.9 - - 7.10flexion).pdf · la flexion pure est un état de charge tel que,...

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