Fiche mémo fonction vectorielle

1. Primitive d’une fonction continue.

2. Intégrale d’une fonction continue sur [a,b].

3. Méthode de changement de variable.

4. Calcul de la longueur d’une courbe paramétrée.

5. Calcul du travail d’une force.

(Rappel de cours)

Intégrale d’une fonction continue sur [a,b].

DéfinitionSoit f une fonction de la variable réelle définie sur un intervalle I de R. On appelle primitive de f, toute fonction g définie et dérivable sur I et telle que

Notation. On note

Proposition 1. Toute fonction continue admet une primitive.2. Si une fonction f admet une primitive g ; alors l’ensemble des primitives de f est

l’ensemble des fonctions h définies par : où C est une constante.

Tableau des primitives usuelles

(Exercice énoncé)

Primitive d’une fonction continue.

Ex1 Mouvement rectiligne uniformément accéléré.Un mobile est lâché sans vitesse initiale à une altitude de 9,81m au bout de combien de temps touchera-t-il le sol ? (On prendra g=9,81m/s2).

Ex 2 Mouvement circulaire uniformément retardéDès l’instant où le moteur est coupé, une hélice d’avion qui tournait à la vitesse de 1200tours par minutes effectue 80 tours jusqu’à l’arrêt complet. On suppose que le mouvement est uniformément retardé, quelle est la durée totale du mouvement ?

.

(Exercice corrigé)

Primitive d’une fonction continue.Ex 1. L’accélération est g=-9,81m/s2. Soit z(t) l’altitude du mobile à l’instant t, on a :

= = et .A l’instant 0 on a : 981m et 0 A l’instant cherché de la fin du mouvement t1, on a 0.

Donc .981 donc t2 = (-2*981)(-9,81)= -200 et t 14 s

Ex 2.Soit l’accélération constante et (t) l’angle que fait l’hélice avec sa position initiale à

l’instant t, on a : = = et .A l’instant 0 on a : et 1200tours/mnA l’instant cherché de la fin du mouvement t1, on a 80 tours et (t1)=0

Donc 0= 1200 et 80 80 = -600t1 +1200t1

Donc t1=(80/600)mn 8s

(Rappel de cours)

Intégrale d’une fonction continue sur [a, b].

DéfinitionSoit f une fonction continue de la variable réelle définie sur un intervalle [a ; b] de R. On appelle intégrale de f sur l’intervalle [a , b] la valeur numérique : F(b)-F(a) où F est une primitive de f.

Notation. On note

Remarque. Le résultat est indépendant de la primitive choisie puisqu’elles diffèrent toutes d’une constante.

Interprétation géométrique. La valeur représente l’aire de la portion de plan comprise en la courbe représentative de la fonction f, l’axe des x et les deux droites d’équation x = a et x = b. Attention il s’agit d’une aire algébrique c'est-à-dire que les portions de plan situées au-dessus de l’axe de x sont comptées positivement tandis que les portions de plan situées en-dessous sont comptées négativement

(Exercice énoncé)

Intégrale d’une fonction continue sur [a,b].

Ex Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, ), on considère les points A(3,4) et B(3,0)1. Calculer l’aire du triangle OAB2. Ecrire une équation de la droite (AB)3. Retrouver la valeur de l’aire du triangle en utilisant le calcul intégral.

(Exercice corrigé)

Intégrale d’une fonction continue sur [a,b].

Ex . L’aire du triangle est « base fois hauteur divisé par 2 » soit (3x4)/2=6 u ; u étant l’unité d’aire.

2. La droite (OA) est une droite qui passe par l’origine, elle aura une équation du type :y = a.x comme elle passe par le point A, on a 4=  3a donc a=4/3

3. L’aire du triangle est donnée par 6.

(Rappel de cours)

Méthode de changement de variable

Th Soit une fonction de classe C1 (c'est-à-dire continue et de dérivée continue) définie sur [, , on pose et . Alors, si f est une fonction continue définie sur un intervalle contenant , on a :

En pratique : Pour obtenir l’égalité : , on voit que dans le premier membre il suffit de : - poser u = φ (t), alors du, appelé élément différentiel, devient ,- remplacer les bornes et par et .

(Exercice énoncé)

Méthode de changement de variable

Ex Calculer les intégrales suivantes :

a) étant une constante non nulle.

b) .

(Exercice corrigé)

Méthode de changement de variable

Ex a) Par le changement de variable

b) Par le changement de variable

(Rappel de cours)

Calcul de la longueur d’une courbe paramétrée.

Soit un arc de courbe paramétrée (dans le plan ou l’espace affine muni d’une repère orthonormé), définie par : (La longueur de la courbe est définie comme la borne supérieure des lignes polygonales inscrites dans cette courbe)

En coordonnées cartésiennes a pour coordonnéesSi les fonctions x, y et z sont dérivables et de dérivées continues,

la longueur de l’arc est donnée par dt

On écrit symboliquement :

En coordonnées cylindriques a pour coordonnées Si les fonctions r, et z sont dérivables et de dérivées continues,

La longueur de l’arc est donnée par dt

On écrit symboliquement :

(Exercice énoncé)

Calcul de la longueur d’une courbe paramétrée

Ex1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct on considère le point A(2 ;4)Calculer de deux manières la longueur du segment [OA] .

Ex2 Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, ), on considère le demi-cercle de centre O et de rayon r. Calculer de deux manières la longueur du demi-cercle.

(Exercice corrigé)

Calcul de la longueur d’une courbe paramétrée

Ex1. La longueur du segment est la norme de  ; = = = 2 .La droite a pour équation y=2x ; un paramétrage est donc (x ; 2x)

La longueur de la courbe est donc =2 .

Ex 2. 1. La longueur du demi cercle est « un demi de2 soit .2. Une paramétrisation du demi-cercle est ( r est une constante et est le paramètre la

longueur du demi-cercle est donnée par

(Rappel de cours)

Application au calcul du travail d’une force.

L’espace est muni d’un repère orthonorméLe travail d’une force appliquée à un point mobile M se déplaçant sur un arc de courbe

est donné par la formule : Notez que c’est une notion difficile puisqu’il s’agit d’intégrer sur une courbe, un produit scalaire de deux vecteurs qui varient suivant la position du point M. Le vecteur est appelé déplacement élémentaire.

Si la force est perpendiculaire au déplacement, le travail est nul.

Cas où la courbe est donnée par une paramétrisation cartésienne

L’espace est muni d’un repère orthonormé La force a pour coordonnées (Fx, Fy,Fz)Le point mobile M(t) de coordonnées (x(t), y(t), z(t)) et a pour coordonnées

On a dt .

Cas où la courbe est un segment et la force est constante faisant un angle constant avec la W=Fdcos où d est la distance parcourue.

Cas où la courbe est un arc de cercle Prenons comme paramètre et soit r le rayon du cercle. Le point a pour coordonnées

et a pour coordonnées ( on a

.Ou encore en notant ( le repère mobile (c'est-à-dire que a pour coordonnées (cos

et (-sin  : .Par exemple, dans un mouvement circulaire, le travail d’une force centripète ou centrifuge est nul puisque la force est perpendiculaire au déplacement.

(Exercice énoncé)

Application au calcul du travail d’une force.

Ex ..

(Exercice corrigé)

Application au calcul du travail d’une force.

Ex Dans les trois cas la force est constante et forme un angle constant avec le vecteur vitesse de même direction que le plan inclinéLe travail de est W=Fdcos =58,46JLe travail de est W=Fdcos =0JLe travail de est W=Fdcos =52,5J