exoreductionendo(fran)
DESCRIPTION
vsvsTRANSCRIPT
Agregation interne de MathematiquesDepartement de Mathematiques
Universite de La RochelleF. Geo!riau
2006-2007
Exercices sur la reduction des endomorphismes1. Valeurs propres communes2. Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)3. Diagonalisation dans M3(k)4. Trigonalisation dans M3(k)5. Valeur propre commune6. Sous-groupe fini de GL(E)7. Trace nulle des puissances d’une matrice8. Limite de suites de matrices9. Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)10. Matrice compagnon11. Polynome caracteristique d’un produit12. Le rayon spectral
Agregation interne de MathematiquesDepartement de Mathematiques
Universite de La RochelleF. Geo!riau
2006-2007
Exercices sur la reduction des endomorphismesEnonces
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
1. – Valeurs propres communes
Soit f et g deux endomorphismes d’un k-espace vectoriel de dimension finie. Montrerque f ! g et g ! f ont meme valeurs propres (f et g ne sont pas supposes commuter).
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
2. – Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)
D’abord pour k = R puis pour k = C, etudier la possibilite de diagonaliser l’endomor-phisme de k3 determine dans la base canonique (e1, e2, e3) par la matrice
M =
!
"0 "2 01 0 "10 2 0
#
$
Dans le cas ou il est diagonalisable, determiner des matrices P # GL3(k) et D # M3(k)diagonale telles que M = PDP!1 et calculer Mk, k # N".
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
3. – Diagonalisation dans M3(k)
Soit !, ", # # k. Discuter la possibilite de diagonaliser la matrice
M =
!
"1 ! "0 1 #0 0 "1
#
$
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
4. – Trigonalisation dans M3(k)
Trigonaliser l’endomorphisme de k3 determine dans la base canonique (e1, e2, e3) parla matrice
M =
!
""3 "3 2
1 1 "22 4 "4
#
$
c’est-a-dire, determiner des matrices P # GL3(k) et T # M3(k) triangulaire superieuretelles que M = PTP!1.
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
5. – Valeur propre commune
Soit A et B deux matrices de Mn(C). On suppose qu’il existe C # Mn(C) non nulletelle que AC = CB.a. Montrer que AkC = CBk pour tout entier k # N et en deduire que P (A)C = CP (B)pour tout polynome P # C[X].b. Montrer qu’il existe une valeur propre commune a A et B.
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
6. – Sous-groupe fini de GL(E)
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corpsalgebriquement clos tel que up = idE . Montrer que u est diagonalisable.
Soit G un sous-groupe fini de GL(E). Montrer que tous les elements de G sontdiagonalisables.
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
7. – Trace nulle des puissances d’une matrice
Soit k un corps algebriquement clos et A une matrice de Mn(k) telle que la trace deAk soit nulle pour tout k # N". Montrer par recurrence que A est nilpotente.
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
8. – Limite de suites de matrices
Soit A,B # Mn(C) avec AB = BA et A diagonalisable. Montrer qu’il existe unesuite (Bp)p#N de matrices diagonalisables, de limite B, et verifiant ABp = BpA pour toutp # N.
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)
Soit A,B # Mn(C). Determiner les valeurs propres de l’endomorphisme
$
%%%%Mn(C) "$ Mn(C)
M %"$ MA + BM
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
10. – Matrice compagnon
Soit P (X) = Xn + an!1Xn!1 + · · · + a1X + a0 un polynome de k[X]. La matricecompagnon de P est la matrice M = (!ij) # Mn(k) definie par
!ij =
& 1 si i = j + 1 et 1 ! j ! n" 10 si i &= j + 1 et 1 ! j ! n" 1"ai!1 si j = n et 1 ! i ! n
a. Determiner le polynome caracteristique %M de M .b. Determiner le polynome minimal µM de M .
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
11. – Polynome caracteristique d’un produit
Soit A et B deux matrices de Mn(C). Montrer que AB et BA ont meme polynomecaracteristique.
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
12. – Le rayon spectral
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et || · || une norme sur L(E). Soitu # L(E), on note &u le rayon spectral de u (le module maximal des valeurs propresde u).
Montrer que&u = lim
p$+%||up||1/p
Indication Solution F. Geo!riau
Agregation interne de MathematiquesDepartement de Mathematiques
Universite de La RochelleF. Geo!riau
2006-2007
Exercices sur la reduction des endomorphismesIndications
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
1. – Valeurs propres communesIndication
Soit ' une valeur propre de f ! g. Si ' est nulle, montrer que g ! f n’est pas inversible(utiliser le determinant). Si ' est non nulle, prendre un vecteur propre associe a '.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
2. – Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)Indication
Le polynome caracteritique de A est X3 + 4X.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
3. – Diagonalisation dans M3(k)Indication
Discuter suivant !.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
4. – Trigonalisation dans M3(k)Indication
Autant chercher une forme de Jordan. La seule valeur propre de M est "2, choisiralors un vecteur qui n’est pas annule par (M + 2I3)2.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
5. – Valeur propre communeIndication
a. Faire une recurrence.b. Prendre comme polynome, le polynome caracteristique %A (ou le polynome minimal)de A et raisonner par l’absurde en montrant que si B n’a pas de valeur propre communeavec A, %A(B) est une matrice inversible.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
6. – Sous-groupe fini de GL(E)Indication
L’endomorphisme u est annule par le polynome Xp " 1. Pour la deuxieme question,utiliser l’ordre du groupe.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
7. – Trace nulle des puissances d’une matriceIndication
On montrera que 0 est une valeur propre de A en utilisant le theoreme de Cayley-Hamilton, il existe alors P # GLn(k), B # Mn!1(k) et X # M1,n!1(k) telles que
P!1AP ='
0 X0 B
(
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
8. – Limite de suites de matricesIndication
Remplacer A par une matrice diagonale et montrer alors que B est diagonale par bloc.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)Indication
Les valeurs propres de $ sont les complexes de la forme ' + µ avec ' valeur propre deA et µ valeur propre de B.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
10. – Matrice compagnonIndication
a. Pour calculer le determinant det(XIn "M), ajouter a la premiere ligne une combi-naison des autres lignes et developper.b. Considerer l’application f : kn $ kn dont la matrice associee dans la base canonique(e1, . . . , en) est M et montrer que, pour tout polynome Q non nul de degre strictementinferieur a n, Q(f)(e1) est non nul.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
11. – Polynome caracteristique d’un produitIndication
Premiere methode : le demontrer tout d’abord pour A inversible puis considerer unvoisinage V de 0 dans C tel que pour tout x # V \ {0}, Ax = A + xIn soit inversible.
Deuxieme methode : considerer les matrices par blocs
M(') ='
'In "BA B0 In
( 'In B'A 'In
(N(') =
'0 'In
'In "AB A
( '0 In
In B
(
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
12. – Le rayon spectralIndication
On pourra prendre comme norme une norme sous-multiplicative, i.e. telle que pourtous v, w # L(E)
||v ! w|| ! ||v|| ||w||
Et on pourra ecrire u = d + n avec d, n # L(E), d diagonalisable, n nilpotente etd ! n = n ! d. On montrera alors que Sp(u) = Sp(d) et qu’on peut se ramener aucas ou u = d.
Enonce Solution F. Geo!riau
Agregation interne de MathematiquesDepartement de Mathematiques
Universite de La RochelleF. Geo!riau
2006-2007
Exercices sur la reduction des endomorphismesSolutions
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
1. – Valeurs propres communesSolution
Soit ' une valeur propre de f ! g.Supposons ' nul. Alors f ! g est non bijective et son determinant est nul (l’espace
vectoriel etant de dimension finie, on peut parler de determinant d’endomorphisme).Ainsi
det(g ! f) = det(g) det(f) = det(f) det(g) = det(f ! g) = 0
Donc g ! f est non bijective et en particulier non injective, d’ou 0 est une valeur proprede g ! f .
Supposons que ' soit non nul. Soit x un vecteur propre de f ! g associe a '. Alors
g ! f)g(x)
*= g
)f ! g(x)
*= g('x) = 'g(x)
Si g(x) = 0, alors 'x = f ! g(x) = 0, ce qui est impossible car ' et x sont non nuls. Doncg(x) est non nul et c’est un vecteur propre de g ! f associe a '. Ainsi ' est une valeurpropre de g ! f .
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
2. – Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)Solution
On a
%M (X) =
%%%%%%
X 2 0"1 X 1
0 "2 X
%%%%%%= X3 + 4X
Les valeurs propres de M dans C sont 0, 2i et "2i. Ainsi M n’est pas diagonalisabledans M3(R) (car le polynome %M n’est pas scinde dans R[X]) et est diagonalisable dansM3(C) (car les trois valeurs propres sont distinctes).
Soit
!
"xyz
#
$ # C3. On a
M
!
"xyz
#
$ = 0 '(
+,
-
"2y = 0x" z = 02y = 0
'(.
y = 0z = x
M
!
"xyz
#
$ = 2i
!
"xyz
#
$ '(
+,
-
"2y = 2ixx" z = 2iy2y = 2iz
'(.
z = "xy = "ix
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
M
!
"xyz
#
$ = "2i
!
"xyz
#
$ '(
+,
-
"2y = "2ixx" z = "2iy2y = "2iz
'(.
z = "xy = ix
Donc !
"101
#
$
!
"1"i"1
#
$
!
"1i"1
#
$
sont respectivement des vecteurs propres associes a 0, 2i et "2i. Donc en posant
P =
!
"1 1 10 "i i1 "1 "1
#
$ et D =
!
"0 0 00 2i 00 0 "2i
#
$
on a M = PDP!1. De plus
det(P ) = 4i et P!1 =1
det(M)t Com(M) =
14i
!
"2i 0 2ii "2 "ii 2 "i
#
$
Ainsi on a
M =14
!
"1 1 10 "i i1 "1 "1
#
$
!
"0 0 00 2i 00 0 "2i
#
$
!
"2 0 21 2i "11 "2i "1
#
$
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
Et pour k # N",
Mk = (PDP!1)k = PDkP!1
=14
!
"1 1 10 "i i1 "1 "1
#
$
!
"0 0 00 2i 00 0 "2i
#
$k !
"2 0 21 2i "11 "2i "1
#
$
=14
!
"1 1 10 "i i1 "1 "1
#
$
!
"0 0 00 (2i)k 00 0 ("2i)k
#
$
!
"2 0 21 2i "11 "2i "1
#
$
=14
!
"(2i)k + ("2i)k (2i)k+1 + ("2i)k+1 "(2i)k " ("2i)k
"i(2i)k + i("2i)k "i(2i)k+1 + i("2i)k+1 i(2i)k " i("2i)k
"(2i)k " ("2i)k "(2i)k+1 " ("2i)k+1 (2i)k + ("2i)k
#
$
Ainsi
M2k = ("1)k22k!1
!
"1 0 "10 2 0"1 0 1
#
$ et M2k+1 = ("1)k+122k
!
"0 2 0"1 0 10 "2 0
#
$
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
3. – Diagonalisation dans M3(k)Solution
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de k3 et soit $ l’endomorphisme de k3 dont la matricedans la base (e1, e2, e3) soit M . Les valeurs propres de $ sont 1 et "1, la premiere ayantune multiplicite de 2 et la deuxieme de 1.
On a $(e1) = e1 et ($ " idk3)2(e2) = ($ " idk3)(e1) = 0. Donc (e1, e2) est une basedu sous-espace caracteristique de $ associe a 1.
Soit e4 un vecteur propre de $ associee a "1. La famille (e1, e2, e4) est une base dek3 et la matrice de $ dans cette base est
N =
!
"1 ! 00 1 00 0 "1
#
$
Si ! est nul, alors N est diagonale et M est diagonalisable.Si la matrice M est diagonalisable, la restriction de $ au sous-espace caracteristique
associe a 1 est diagonalisable et donc sa matrice dans la base (e1, e2)
'1 !0 1
(
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
est diagonalisable et alors ! = 0.
Autre methode. Le polynome caracteristique de M est (X " 1)2(X + 1), donc lepolynome minimal de M est (X"1)(X+1) ou (X"1)2(X+1). Ainsi M est diagonalisablesi et seulement si elle est annulee par (X " 1)(X + 1) = X2 " 1, i.e. si et seulement siM2 = I3. Or
M2 =
!
"1 2! !#0 1 00 0 1
#
$
Donc M est diagonalisable si et seulement si ! = 0.
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
4. – Trigonalisation dans M3(k)Solution
On a%%%%%%
X + 3 3 "2"1 X " 1 2"2 "4 X + 4
%%%%%%= (X + 3)
)(X " 1)(X + 4) + 8
*+ 3(X + 4)" 8" 12" 4(X " 1)
= X3 + 6X2 + 12X + 8 = (X + 2)3
Ainsi la seule valeur propre de M est "2.Soit v = (x, y, z) # k3,
M · v = "2v '(
+,
-
"3x" 3y + 2z = "2xx + y " 2z = "2y2x + 4y " 4z = "2z
'(
+,
-
x + 3y " 2z = 0x + 3y " 2z = 02x + 4y " 2z = 0
'(.
x + y = 0y " z = 0
donc le vecteur v1 = (1,"1,"1) est un vecteur propre de M et le sous-espace propreassocie est de dimension 1. Donc M n’est pas diagonalisable et elle est semblable a lamatrice
T =
!
""2 1 0
0 "2 10 0 "2
#
$
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
On cherche v2 # k3 tel que M · v2 = v1 " 2v2. Soit v = (x, y, z) # k3,
M · v = v1 " 2v '(
+,
-
"3x" 3y + 2z = 1" 2xx + y " 2z = "1" 2y2x + 4y " 4z = "1" 2z
'(
+,
-
x + 3y " 2z = "1x + 3y " 2z = "12x + 4y " 2z = "1
'(.
x + y = 02y " 2z = "1
on pose donc v2 = (0, 0, 1/2) .On cherche v3 # k3 tel que M · v3 = v2 " 2v3. Soit v = (x, y, z) # k3,
M · v = v2 " 2v '(
+,
-
"3x" 3y + 2z = "2xx + y " 2z = "2y2x + 4y " 4z = 1/2" 2z
'(
+,
-
x + 3y " 2z = 0x + 3y " 2z = 02x + 4y " 2z = 1/2
'(.
x + y = 1/22y " 2z = "1/2
on pose donc v3 = (1/2, 0, 1/4) .On pose
P =
!
"1 0 1/2"1 0 0"1 1/2 1/4
#
$
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
et on a M = PTP!1.
Autre methode. On a
(M + 2I3)2 =
!
""1 "3 21 3 "22 4 "2
#
$2
=
!
"2 2 0"2 "2 0"2 "2 0
#
$
On choisit un vecteur w3 n’appartenant au noyau de (M +2I3)2, soit w3 = (1, 0, 0). Alorson pose
w2 = (M + 2I3) · w3 = ("1, 1, 2) et w1 = (M + 2I3) · w2 = (2,"2,"2)
La famille (w1, w2, w3) est une base de k3 et l’endomorphisme dont la matrice dans labase canonique de k3 est M a pour matrice dans la base (w1, w2, w3) la matrice
T =
!
""2 1 0
0 "2 10 0 "2
#
$
Et en posant
P =
!
"2 "1 1"2 1 0"2 2 0
#
$
on a M = PTP!1.
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
5. – Valeur propre communeSolution
a. On a A0C = InC = C = CIn = CB0. Soit k # N, supposons que AkC = CBk. Alors
Ak+1C = AkAC = AkCB = CBkB = CBk+1
Donc d’apres le theoreme de recurrence, pour tout k # N, on a AkC = CBk.Soit P =
/!kXk un polynome de C[X]. Alors d’apres ce qui precede
P (A)C =01
!kAk2C =
1!kAkC =
1!kCBk = C
1!kBk = CP (B)
b. Soit '1, . . . ,'n les valeurs propres de A. Supposons qu’aucune ne soit valeur proprede B, alors pour tout i = 1, . . . , n, la matrice B " 'iIn est inversible et donc le produit
%A(B) =n3
i=1
(B " 'iIn)
aussi, ou %A =4n
i=1(X"'i) est le polynome caracteristique de A. Or d’apres la premierequestion et d’apres le theoreme de Cayley-Hamilton
C%A(B) = %A(A)C = 0
donc C est nulle, ce qui est contraire aux hypotheses. Donc l’une des valeurs propres deA est valeur propre de B.
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
6. – Sous-groupe fini de GL(E)Solution
Puisque up = idE , l’endomorphisme u est annule par le polynome Xp " 1. Or cepolynome n’a que des racines simples et donc l’endomorphisme u est diagonalisable.
Soit p l’ordre du groupe G. D’apres le theoreme de Lagrange, pour tout u # G, on aup = idE et d’apres ce qui precede, u est diagonalisable.
Si de plus G est commutatif, on peut trouver une base commune de diagonalisationdes elements de G.
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
7. – Trace nulle des puissances d’une matriceSolution
Si n = 1, il est clair qu’une matrice de trace nulle est nilpotente (et meme nulle).Supposons que pour toute matrice B # Mn!1(k) dont les traces des puissances soient
nulles est nilpotente.Soit %A =
/k !kXk le polynome caracteristique de A. D’apres le theoreme de Cayley-
Hamilton, on a0 = %A(A) =
1
k
!kAk
La trace etant une application lineaire, on a
0 = tr(0) = tr01
k
!kAk2
=1
k
!k tr(Ak) = n!0
Ainsi le terme constant du polynome caracterisque de A (qui est det(A)) est nul. Parconsequent 0 est racine de %A et valeur propre de A. Il existe donc une matriceB # Mn!1(k) telle que A est semblable a une matrice de la forme
!
55"
0 ) · · · )0... B0
#
66$
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
Par recurrence, on montre que pour tout k # N", Ak est semblable a une matrice de laforme !
55"
0 ) · · · )0... Bk
0
#
66$
donc tr(Bk) = tr(Ak) = 0. Ainsi la matrice B verifie les memes conditions que la matriceA. Par hypothese de recurrence, B est nilpotente. Par consequent il existe k # N" telque Bk = 0 et Ak soit semblable a
!
55"
0 ) · · · )0... 00
#
66$
Donc Ak est nilpotente ainsi que A.
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
8. – Limite de suites de matricesSolution
Puisque A est diagonalisable, il existe une matrice P inversible et une matrice D dela forme
D =
!
5555"
'1In1 0 · · · 0
0 '2In2
. . ....
.... . . . . . 0
0 · · · 0 'rInr
#
6666$
telles que A = PDP!1 et '1, . . . ,'r deux a deux distincts. On a PDP!1B = BPDP!1,d’ou DP!1BP = P!1BPD. Ainsi la matrice D commute avec la matrice B& = P!1BP .
En ecrivant la matrice B& = (Bi,j)i,j par blocs, on obtient
!
555"
'1B1,1 '1B1,2 · · · '1B1,r
'2B2,1 '2B2,2 · · · '2B2,r
......
. . ....
'rBr,1 'rBr,2 · · · 'rBr,r
#
666$=
!
555"
'1B1,1 '1B1,2 · · · '1B1,r
'2B2,1 '2B2,2 · · · '2B2,r
......
. . ....
'rBr,1 'rBr,2 · · · 'rBr,r
#
666$
donc Bi,j = 0 pour i, j # {1, . . . , r}, i &= j.
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
Pour i # {1, . . . , r}, il existe une suite (Bi,i,n)n#N de matrices diagonalisablesconvergeant vers Bi,i (il su"t de triangulariser la matrice Bi,i et de modifier les elementsde la diagonale). Pour n # N, on pose
Bn =
!
5555"
B1,1,n 0 · · · 0
0 B2,2,n. . .
......
. . . . . . 00 · · · 0 Br,r,n
#
6666$
La matrice Bn est une matrice diagonalisable comme etant une matrice diagonale dematrices diagonaliables, elle commute avec D (car les matrices Bi,i,n commutent avec lesmatrices 'iIni) et la suite (Bn)n#N converge vers B&.
Soit n # N, la matrice PBnP!1 est diagonalisable (etant equivalente a une matricediagonalisable) et elle commute avec PDP!1 = A et la suite (PBnP!1)n#N converge versPB&P!1 = B
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)Solution
Soit ' et µ deux valeurs propres de A et B respectivement, alors ' est aussi une valeurpropre de tA et il existe X, Y # CCn non nuls tels que
tAX = 'X et BY = µY
Alors en posant M = Y tX, on a
$(M) = Y tXA + BY tX = Y t(tAX) + BY tX = (' + µ)Y tX = (' + µ)M
Donc M etant non nulle, ' + µ est une valeur propre de $.Reciproquement soit ( une valeur propre de $ et M # Mn(C) une matrice non nulle
telle que $(M) = (M . DoncMA = ((In "B)M
Par recurrence, on montre que pour tout entier k # N, on a MAk = ('In "B)kM et parlinearite que pour tout polynome P # C[X], MP (A) = P ((In "B)M .
Soit µA le polynome minimal de A. Puisque C est algebriquement clos, il existe'1, . . . ,'k # C telles que
µA = (X " '1) · · · (X " 'k)
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
et '1, . . . ,'k sont les valeurs propres de A (non necessairement deux a deux distinctes).On alors
)(( " '1)In "B
*· · ·
)(( " 'k)In "B
*M = µA((In "B)M = MµA(A) = 0
Comme M est non nulle, il existe i # {1, . . . , k} tel que (("'i)In"B soit non inversible,et donc ( " 'i est une valeur propre de B.
Ainsi les valeurs propres de $ sont les complexes de la forme '+µ avec ' valeur proprede A et µ valeur propre de B.
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
10. – Matrice compagnonSolution
a. La demonstration se fait par recurrence. La propriete est clairement etablie pourn = 1. Supposons qu’elle soit etablie pour n" 1. On a
%M =
%%%%%%%%%%%%
X 0 . . . 0 a0
"1 X. . .
... a1
0. . . . . . 0
......
. . . . . . X an!2
0 . . . 0 "1 X + an!1
%%%%%%%%%%%%
= X
%%%%%%%%%%%%
X 0 . . . 0 a1
"1 X. . .
... a2
0. . . . . . 0
......
. . . . . . X an!2
0 . . . 0 "1 X + an!1
%%%%%%%%%%%%
+
%%%%%%%%%%%%
0 0 . . . 0 a1
"1 X. . .
... a2
0. . . . . . 0
......
. . . . . . X an!2
0 . . . 0 "1 X + an!1
%%%%%%%%%%%%
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
Et d’apres l’hypothese de recurrence, on a
%%%%%%%%%%%%
X 0 . . . 0 a1
"1 X. . .
... a2
0. . . . . . 0
......
. . . . . . X an!2
0 . . . 0 "1 X + an!1
%%%%%%%%%%%%
= Xn!1 + an!1Xn!2 + · · · + a2X + a1
Donc
%M = X(Xn!1 + an!1Xn!2 + · · · + a2X + a1) + ("1)n!2
%%%%%%%%%%%%
"1 X 0 . . . 0
0 "1. . . . . .
......
. . . . . . . . . 0...
. . . . . . X0 . . . . . . 0 "1
%%%%%%%%%%%%
= Xn + an!1Xn!1 + · · · + a2X
2 + a1X + a0
= P
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
b. D’apres le theoreme de Cayley-Hamilton, le polynome P = %M annule M . Pourmontrer que c’est le polynome minimal, il su"t de montrer qu’aucun polynome de degrestrictement inferieur a n ne peut annuler M . On a
M =
!
555555"
0 . . . . . . 0 a0
1 0... "a1
0. . . . . .
......
.... . . . . . 0 "an!2
0 . . . 0 1 "an!1
#
666666$
Soit (e1, . . . , en) la base canonique de kn et $ l’endomorphisme de kn de matrice M danscette base. On a
* i # {1, . . . , n" 1} $(ei) = ei+1
et on montre par recurrence que pour tout k # {1, . . . , n"1}, on a $k(e1) = ek+1 et donc$k(e1) n’est pas combinaison lineaire de e1,$(e1), . . . ,$k!1(e1). Ainsi $ n’est pas annulepar un polynome de degre k.
Donc le polynome minimal de M est de degre au moins n, c’est donc %M . AinsiµM = %M = P .
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
11. – Polynome caracteristique d’un produitSolution
Supposons la matrice A inversible. Pour tout ' # C, on a
%AB(') = det('In "AB) = det)A('In "BA)A!1
*
= det(A) det('In "BA) det(A!1) = det('In "BA)= %BA(')
Ainsi %AB = %BA.Supposons maintenant A non inversible. Soit ' # C. Soit µ # C un complexe qui ne
soit pas valeur propre de A, la matrice A" µIn est inversible et on a
det)'In " (A" µIn)B
*= %(A!µIn)B = %B(A!µIn) = det
)'In "B(A" µIn)
*
Ainsi on a une egalite polynomiale verifiee en une infinite de points (A possede un nombrefinie de valeurs propres), elle est donc verifiee pour tout complexe µ, en particulier pour0. Par consequent
%AB(') = det('In "AB) = det('In "BA) = %BA(')
et %AB = %BA.
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
12. – Le rayon spectralSolution
L’espace vectoriel L(E) etant de dimension finie, toute les normes sont equivalentes.En munissant E d’une norme quelconque, notee aussi || · ||, on munit L(E) de la normedes applications lineaires continues, i.e.
*u # L(E) ||u|| = sup7 ||u(x)||
||x|| ; x # E \ {0}8
c’est une norme sous-multiplicative.Soit ' une valeur propre de u telle que &u = |'| et soit x un vecteur propre associe.
Pour tout p # N", on a
|'|p||x|| = ||'px|| = ||up(x)|| ! ||up|| ||x||
et comme x est non nul, |'|p ! ||up|| et &u = |'| ! ||up||1/p.Soit v # L(E) un endomorphisme semblable a u et supposons que le resultat est
demontre pour v. Il existe $ # GL(E) tel que u = $ ! v ! $!1. Alors pour p # N", on a
||up|| = ||($ ! v ! $!1)p|| = ||$ ! vp ! $!1|| ! ||$|| ||vp|| ||$!1||&v = &u ! ||up||1/p ! (||$|| ||$!1||)1/p ||vp||1/p
Enonce Indication F. Geo!riau
Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes
La suite (||$|| ||$!1||)1/p)p#N! converge vers 1 et donc d’apres le theoreme d’encadrementet limites, la suite (||up||1/p)p#N! converge vers &u.
D’apres la decomposition de Dunford, il existe d, n # L(E), d diagonalisable, nnilpotente telles que u = d+n et d!n = n!d. Quiite a remplacer u par u endomorphismesemblable, on peut supposer d diagonale et n triangulaire superieure stricte (il su"tde d’ecrire E comme somme directe des sous-espaces caracteristiques associes a u).L’endomorphisme n etant nilpotent, il existe un entier r tel que nr+1 = 0. On a &u = &d
car u et d ont memes valeurs propres et &d = ||d|| car d est diagonale. Soit p # N", on a
||up|| = ||(d + n)p|| !p1
k=0
Cpk||n
k|| ||dp!k|| ! ||d||pr1
k=0
Cpk
||n||k
||d||k
||d|| = &u ! ||up||1/p ! ||d||0 r1
k=0
Cpk
||n||k
||d||k21/p
Comme/r
k=0 Cpk||n||k||d||
k est un polynome en p, la suite)(/r
k=0 Cpk||n||k||d||
k)1/p*p#N!
converge vers 1. Ainsi la suite (||up||1/p)p#N! converge vers ||d|| = &u.
Enonce Indication F. Geo!riau