Tale Maths complémentaires Corrigé du D.S. n°1 du vendredi 15 octobre 2020

Le barème est donné, à titre indicatif, sur 20.

EXERCICE 1 FONCTION ET ÉCONOMIE. 10 points

Partie A

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [1 ; 25] par f (x) = 10 − e 0,2x + 1

x

1. Montrer que pour tout x de [1 ; 25], f ′ (x) = e 0,2x + 1 (1 − 0,2x)

x2 où f ′ est la fonction dérivée de f.

f ′ (x) = 0 − 0,2x e 0,2x + 1 − e 0,2x + 1

x 2 = −

e 0,2x + 1(0,2x − 1)x 2

= e 0,2x + 1 (1 − 0,2x)

x2

2. Étudier le signe de f ′ sur l’intervalle [1 ; 25] et dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle [1 ; 25]. On arrondira les valeurs au millième

Quel que soit le réel x de [1 ; 25], e0,2x + 1 > 0 et x2 > 0, donc le signe de f ′(x) est celui de 1 − 0,2x.

1 − 0,2x = 0 ⇔ x = 5 et – 0,2 < 0 donc 1 − 0,2x > 0 ⇔ x < 5 et 1 − 0,2x < 0 ⇔ x > 5

D’où le tableau de variations :

f (1) = 10 − e 0,2 × 1 + 1

1 = 10 – e 1,2 ≈ 6,68 ; f (5) = 10 −

e 0,2 × 5 + 1

5 = 10 −

e 2

5 ≈ 8,522.

f (25) = 10 − e 0,2 × 25 + 1

25 = 10 −

e 6

25 ≈ − 6,137.

3. On s’intéresse à l’équation f (x) = 0.

a. Justifier que l’équation f (x) = 0 n’admet pas de solution sur l’intervalle [1 ; 5].

Le tableau de variations montre que sur l’intervalle [1 ; 5], le minimum de f est f (1) ≈ 6,68, donc f (x) > 0 : l’équation f (x) = 0 n’a pas de solution sur cet intervalle.

b. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [5 ; 25].

Sur l’intervalle [5 ; 25] : la fonction f est continue, la fonction f est strictement décroissante, 0 est compris entre f (5) ≈ 8,522 et f (25) ≈ − 6,137,

donc d’après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [5 ; 25].

c. Déterminer un encadrement d’amplitude 10 −2 de la solution α.

D’après la calculatrice :

f (21,95) ≈ 0,014 et f (21,96) ≈ −0,002, donc 21,95 < < 21,96.

4. Déduire des deux questions précédentes le tableau de signe de f (x) sur l’intervalle [1 ; 25].

x 1 5 25

Signe de f ' (x) + | 0 |

−

Variations de f

f (1)

f (5)

f (25)

x 1 5 25

Variations de f

f (1)

f (5)

0

f (25)

Signe de f (x)

+ |

0 |

−

Partie B

Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s’intéresse au bénéfice réalisé, en milliers d’euros, correspondant à la production d’une quantité de x dizaines de tonnes d’aliments. On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A ci-dessus. La production minimale est de 10 tonnes, ainsi x 1.

Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.

1. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d’aliments qu’il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.

On a vu dans la partie A que f est positive sur l’intervalle [1 ; ] et que ≈ 21,95.

La société peut donc fabriquer au maximum 219 tonnes (à une tonne près) d’aliments pour réaliser un bénéfice.

Bonus : 1,5 points

2. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? Pour quelle quantité d’aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?

D’après la partie A, on a vu que f a pour maximum f (5) ≈ 8,522

Le montant du bénéfice maximal que peut dégager la société est d’environ 8522 euros.

Ce maximum est obtenu pour x = 5, soit 50 tonnes produites.

EXERCICE 2 PROBABILITÉS 9 points

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d’humidité qui doit être de 7%. On dit alors que la fève est conforme. L’entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30% et le dernier apporte 20%. Pour le premier, 98% de sa production respecte le taux d’humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20% de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note : Fi l’évènement « la fève provient du fournisseur i », pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3,

et C l’évènement « la fève est conforme ».

1. a. Compléter l’arbre de probabilité ci-contre.

b. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1 et soit conforme.

P (C ∩ F1) = P(F1) × PF1 (C) = 0,5 × 0,98 P (C ∩ F1) = 0,49. c. Justifier que P(C) = 0,92.

F1, F2 et F3 forment une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales :

P(C) = P (C ∩ F1) + P (C ∩ F2) + P (C ∩ F3)

P(C) = 0,49 + 0,3 × 0,9 + 0,2 × 0,8

P(C) = 0,49 + 0,27 + 0,16

On obtient, après calcul, P(C) = 0,92.

d. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est conforme.

Le résultat sera arrondi à 10−2.

PC (F1) = P (C ∩ F1)

P(C) =

0,490,92

0,53 à 10−2 près.

2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, l’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92% de fèves qu’elle achète soient conformes.

Quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?

Vous justifierez soigneusement la réponse.

Faisons un arbre qui résume la nouvelle situation :

En reprenant la formule des probabilités totales, on cherche p tel que P(C) = 0,92, ce qui s’écrit :

0,98 p + 0,9 (1 − p) = 0,92 ⇔ 0,08 p = 0,02

⇔ p = 0,020,08

= 0,25

L’entreprise doit donc acheter au minimum 25% de ses fèves au premier fournisseur.