chapitre 5 - École saint-luc...exemple 1 : déterminez l’équation canonique de la fonction...

__________________________________________________________________________________________________ MATH 064506-TS 84 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

CHAPITRE 5

LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE

5.1 FONCTION PARTIE ENTIÈRE DE BASE ET CANONIQUE

Fonction partie entière de base : f (x) = [x] où [x] =

Exemples : Déterminez la valeur de ces expressions.

a) [0,8]= b)[

]= c)2[3,3]- 3= d) -2[

]+1=

Fonction partie entière de forme canonique :

f (x) = a[b(x - h)] + k

5.2 RÔLE DES PARAMÈTRES « a » et « b »

x si x

le plus grand entier < x si x


5.3 PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE


Les propriétés de la fonction partie entière

PROPRIÉTÉ FONCTION SOUS

FORME CANONIQUE EXEMPLE

f(x) = a[b(x h)] + k f(x) = –2[0,5(x + 3)] + 4

(–3, 4)

1) Coordonnées

d’une extrémité fermée

d’un palier (h, k)

2) Domaine (dom f) dom f = (ou selon le contexte) dom f =

3) Image (ima f) ima f = k + a n, où n ima f = 4 + –2n, où n

ima f = …, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, …

4) Variation :

Croissance et

décroissance

• Si les paramètres a et b sont

de même signe (ou si ab > 0), alors

la fonction est croissante sur son

domaine.

• Si les paramètres a et b sont

de signes contraires (ou bien

ab < 0), alors la fonction est

décroissante sur son domaine.

Puisque (–2)(0,5) < 0, alors la fonction f est

décroissante sur

tous les nombres réels ( ).

5) Zéros de

la fonction f

S’ils existent, ce sont les valeurs de x

pour lesquelles f(x) = 0.

Les zéros sont dans l’intervalle

[1, 3[.

6) Ordonnée

à l’origine

C’est la valeur de f(0). f(0) = –2[0,5(0 + 3)] + 4

f(0) = –2[1,5] + 4

f(0) = –2(1) + 4

f(0) = 2

La valeur peut généralement être

lue sur le graphique.

7) Signe de

la fonction f

Selon l’équation de la fonction. La fonction f est :

• positive sur l’intervalle ]–, 3] ;

• négative sur l’intervalle [1, +[.

8) Extremums Aucun extremum, à moins que

le domaine soit limité par le contexte.

Selon la situation. Dans ce cas-ci, il n’y a

pas d’extremum.


Exemples 2 et 3 :

PROPRIÉTÉ f(x) = –2[0,5(x – 0,5)] + 3 g(x) = –2 + 3[x + 1]

Graphique

Coordonnées

d’une extrémité

fermée d’un palier

Domaine

Image

Croissance et

décroissance

Zéros de

la fonction

Ordonnée

à l’origine

Signe de

la fonction

Extremums

Longueur du palier (marche)=

Distance entre 2 paliers(contremarche)=

Longueur du palier (marche)=

Distance entre 2 paliers(contremarche)=


5.4 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS IMPLIQUANT UNE FONCTION PARTIE ENTIÈRE

Exemple 1 : Méthode algébrique pour déterminer les zéros de la fonction lorsqu’ils existent c'est-

à-dire lorsque le paramètre k est un multiple de a.

f (x) = ─2[3(x ─ 1)] + 4


Exemple 2 : Résolvez 5 +

[

(x ─ 4)] = 6

Exemple 3 : Résolvez [

(x + 2)] + 4 = 5


Exemple 4 : Déterminez le point ou les points d’intersections de ces 2 fonctions :

f(x) = [

(x ─ 4)] et g(x) = ─

x + 5


Exemple 5 : Résolvez

[

(x ─ 10)] ─ 3 =

x + 2


5.5 RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS IMPLIQUANT UNE FONCTION PARTIE ENTIÈRE

Exemple 1 : Méthode algébrique pour déterminer le signe de la fonction.

f(x) = [

(x ─ 5)] ─ 4


Exemple 2 : Résolvez

[ (x + 3)] + 5 ≥ ─ 1


Exemple 3 : Résolvez 3 [ (x ─ 5)] ─ 4 < 4


5.6 RECHERCHE DE L’ÉQUATION D’UNE FONCTION PARTIE ENTIÈRE

Pour trouver l’équation sous forme canonique définissant une fonction de partie entière, il faut

connaître certaines informations parmi les suivantes :

- les coordonnées d’une extrémité fermée d’un palier ou marche (valeurs de h et k);

- la distance verticale entre deux paliers consécutifs, la hauteur de la contremarche

( valeur du paramètre a);

- la longueur de chaque palier ou marche (valeur du paramètre b);

- si la fonction est croissante ou décroissante (signe des paramètres a et b);

- l’ordre des points fermés et ouvert de chaque palier ou marche (signe du paramètre b)

- un ou deux points faisant partie de la fonction.

Exemple 1 : Déterminez l’équation canonique de la fonction partie entière ayant ses zéros dans

l’intervalle ]–1, 2], qui est décroissante et pour laquelle f(4,5) = –2.


Exemple 2 : Déterminez l’équation canonique de cette fonction partie entière.

Exemple 3 : Déterminez l’équation canonique de la fonction partie entière ayant un palier correspondant

à l’intervalle ]0; 0,5] et pour laquelle f(1) = –1 et f(1,5) = –2,5 .


5.7 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES IMPLIQUANT UNE FONCTION PARTIE ENTIÈRE

Exemple 1 : Un vendeur reçoit un salaire de base hebdomadaire de 150$ et une prime de 50$

pour chaque tranche complète de 1000$ de ventes effectuées dans la semaine.

a) Trouvez l’équation de cette fonction partie entière.

b) S’il réalise 12 480$ de ventes durant une semaine, quel sera son salaire?

c) Pour quel montant des ventes, le vendeur recevra-t-il un salaire de 1000$?

d) Est-il possible que le vendeur reçoive un salaire de 825$?


Exemple 2 : Dans un stationnement, le tarif à payer est calculé ainsi : un coût minimum de 2$

comprenant la durée du stationnement inférieure à 30 minutes. Par la suite 1,50$ de plus par

tranche de 30 minutes non complétée.


b) Quel est le coût pour 8h30 de stationnement?

c) Quelle est la durée de stationnement qui correspond à un tarif de 8$?

d) Quelle est la durée de stationnement qui correspond à un tarif de 10$?


Exemple 3 : Dans un centre de villégiature, le coût de location d’un canot est de 12$ pour les deux

premières heures et de 8$ pour chaque deux heures ou fraction de deux heures additionnelle.


b) Quel est le coût pour 7h15 de location?

c) Quelle est la durée d’une location qui correspond à un coût de 44$?


Exemple 4 : Olivier veut concevoir un jardin rectangulaire sur son terrain. La largeur du jardin sera

de 2,5 m, mais la longueur reste à déterminer. Olivier estime qu’un sac de terre devrait être suffisant pour

couvrir une surface de 3 m2 et il ne veut pas acheter plus de 10 sacs pour son jardin. Déterminez la

longueur que pourrait avoir le jardin si Olivier se sert de 10 sacs de terre exactement.

Exemple 5: Anna, qui est pâtissière, confectionne au moins 60 gâteaux par semaine. La préparation

de chaque gâteau nécessite 400 g de farine, qu’Anna achète en sacs de 2 kg. Un ami lui fait remarquer qu’en

achetant des sacs de 5 kg elle économiserait au moins 30 $ par semaine. Que pensez-vous de cette

affirmation, sachant qu’un sac de 2 kg de farine coûte 3 $ alors qu’un sac de 5 kg coûte 5,50 $ ?

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