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Intégration

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Les savoir-faire

Le problème du chapitre

Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle

Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue

Calculs de primitives

Intégrale d’une fonction continue

Calcul d’aires

Intégration


Lycée Louise Michel (Gisors)

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Les savoir-faire






Calcul d’aires

Les savoir-faire

180. Calculer une intégrale à l’aide d’aires simples.

181. Montrer qu’une fonction est primitive d’une fonction donnée.

182. Déterminer les primitives d’une fonction donnée.

183. Calculer une intégrale à l’aide de primitives.

184. Déterminer une aire à l’aide du calcul intégral.

185. Encadrer une intégrale.

186. Calculer et utiliser la valeur moyenne d’une fonction.

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Les savoir-faire






Calcul d’aires

L’intro de Nabolos

Soit f la fonction carré définie sur l’intervalle[0 ; 1]. On note Cf sa courbe.1. Donner un encadrement grossier de l’aire A

hachurée.2. On subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0, 2.

1

1

OSur chacun des intervalles [xk ; xk+1]avec 0 6 k < 5, on détermine la valeurminimale et maximale de la fonctioncarrée.Compléter le tableau ci-dessous et dé-terminer l’aire A1 somme des aires desrectangles hachurés et A2 somme desaires des rectangles bleus. En déduire unencadrement de A .

1

1O

xk 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1f (xk )

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Calcul d’aires

L’intro de Nabolos

3. On subdivise l’intervalle [0 ; 1] en n intervalles. On obtient deuxséries de rectangles et on définit deux suites :La suite (Sn) des rectangles hachurés et la suite (Tn) des rectanglesbleus.

Montrer que Sn =1

3−

1

2n+

1

6n2et Tn =

1

3+

1

2n+

1

6n2.

En déduire la valeur de A .

On rappelle que

n∑k=1

k2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6.

1

O 1

n

2

n

...... ......k

n

k + 1

n

n

n

f

Ä

k + 1

n

ä

f

Ä

k

n

ä

Suite Sn

Suite Tn

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Calcul d’aires

Unité d’aire

Définition

Soit (O ; I ; J) un repère orthogo-nal du plan et K le point de coor-données (1; 1).L’aire du rectangle OIKJ définitl’unité d’aire (noté u.a).Ainsi AOIKJ = 1 u.a. I

J K

O

1 u.a

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Calcul d’aires

Définition

Définition

Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].On appelle intégrale de a à b de f , l’aire A (D) (en u.a)de la partie D du plan limitée par la courbe Cf , l’axe desabscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

Ainsi :

∫ b

a

f (x) dx = A (D) en u.a

I

J

O

Cf

a b

D

1 u.a

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Calcul d’aires

Définition

Définition

Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].On appelle intégrale de a à b de f , l’aire A (D) (en u.a)de la partie D du plan limitée par la courbe Cf , l’axe desabscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

Ainsi :

∫ b

a

f (x) dx = A (D) en u.a

I

J

O

Cf

a b

D

1 u.a

Exemple

Calculer :

∫ 5

−1

1

2x + 3 dx Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=jkxNKkmEXZA&index=3&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&t=0s

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Calcul d’aires

Relation de Chasles

Propriété

Additivité des aires (relation de Chasles) :Pour tous a, b et c tels que b ∈ [a ; c] :

∫ c

a

f (x) dx =

I

J

O

Cf

a cb

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Calcul d’aires

Relation de Chasles

Propriété

Additivité des aires (relation de Chasles) :Pour tous a, b et c tels que b ∈ [a ; c] :

∫ c

a

f (x) dx =

∫ b

a

f (x) dx +

∫ c

b

f (x) dx

I

J

O

Cf

a cb

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Calcul d’aires

Conservation de l’ordre

Propriété

On considère deux fonctions f et g définies et continues etpositives sur un intervalle [a ; b].Si pour tout nombre réel x ∈ [a ; b], on a f (x) 6 g(x),alors :

Cf

Cg

a b

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Calcul d’aires

Conservation de l’ordre

Propriété

On considère deux fonctions f et g définies et continues etpositives sur un intervalle [a ; b].Si pour tout nombre réel x ∈ [a ; b], on a f (x) 6 g(x),alors : ∫ b

a

f (x) dx 6

∫ b

a

g(x) dx

Cf

Cg

a b

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Calcul d’aires

Lien entre intégrale et dérivée

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalleI = [a ; b]. La fonction F définie sur I par :

F (x) =

∫ x

a

f (t) dt est dérivable sur I et a pour dérivée f .

Cf

a bxF (x)

O

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Calcul d’aires

Lien entre intégrale et dérivée

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalleI = [a ; b]. La fonction F définie sur I par :

F (x) =

∫ x

a

f (t) dt est dérivable sur I et a pour dérivée f .

Cf

a bxF (x)

O

Exemple

Soit F la fonction définie sur [0 ; 10] par F (x) =

∫ x

0

t

2dt. Etudier la

fonction F puis tracer sa courbe représentative. Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=6DHXw5TRzN4&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=6

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Calcul d’aires

Primitives d’une fonction f

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].On appelle primitive de f sur [a ; b] toute fonction F déri-vable sur [a ; b] telle que pour tout réel x ∈ [a ; b] :

F ′(x) = f (x)

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Calcul d’aires


Théorème


F ′(x) = f (x)

Théorème

Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des pri-mitives sur I.

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Calcul d’aires


Théorème


F ′(x) = f (x)

Théorème

Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des pri-mitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue et sur un intervalle I et F uneprimitive de f sur I.f admet une infinité de primitives Fk sur I de la forme :

Fk : x 7−→ F (x) + k avec k ∈ R

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Calcul d’aires

Tableau de primitives (1)

f (x) = F(x) = I =

m (constante) R

x R

xn

(n ∈ Z∗r {−1})

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

1

x2

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

1

2√

x]0 ; +∞[

Exemples

Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .

a. f (x) = 5x4 b. f (x) = 5x − 3 c. f (x) = x3− 2x Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=GA6jMgLd_Cw&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=7

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Calcul d’aires


f (x) = F(x) = I =

m (constante) mx + k R

x R

xn

(n ∈ Z∗r {−1})

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

1

x2

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

1

2√

x]0 ; +∞[

Exemples




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Calcul d’aires


f (x) = F(x) = I =


x1

2x2 + k R

xn

(n ∈ Z∗r {−1})

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

1

x2

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

1

2√

x]0 ; +∞[

Exemples




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Calcul d’aires


f (x) = F(x) = I =


x1

2x2 + k R

xn

(n ∈ Z∗r {−1})

xn+1

n + 1+ k

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

1

x2

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

1

2√

x]0 ; +∞[

Exemples




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Calcul d’aires


f (x) = F(x) = I =


x1

2x2 + k R

xn

(n ∈ Z∗r {−1})

xn+1

n + 1+ k

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

1

x2− 1

x+ k

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

1

2√

x]0 ; +∞[

Exemples




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Calcul d’aires


f (x) = F(x) = I =


x1

2x2 + k R

xn

(n ∈ Z∗r {−1})

xn+1

n + 1+ k

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

1

x2− 1

x+ k

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

1

2√

x

√x + k ]0 ; +∞[

Exemples




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Calcul d’aires


cos(x) R

sin(x) R

ex

R

1

x]0 ; +∞[

Exemples


a. f (x) = −

2

xb. f (x) =

3

x+

1

x2c. f (x) = 4ex Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=gxRpmHWnoGQ&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=9

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Calcul d’aires


cos(x) sin(x) + k R

sin(x) R

ex

R

1

x]0 ; +∞[

Exemples


a. f (x) = −

2

xb. f (x) =

3

x+

1



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Calcul d’aires


cos(x) sin(x) + k R

sin(x) − cos(x) + k R

ex

R

1

x]0 ; +∞[

Exemples


a. f (x) = −

2

xb. f (x) =

3

x+

1



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Calcul d’aires


cos(x) sin(x) + k R


ex

ex + k R

1

x]0 ; +∞[

Exemples


a. f (x) = −

2

xb. f (x) =

3

x+

1



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Calcul d’aires


cos(x) sin(x) + k R


ex

ex + k R

1

xln(x) + k ]0 ; +∞[

Exemples


a. f (x) = −

2

xb. f (x) =

3

x+

1



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Calcul d’aires

Fonctions composées

u est une fonction dérivable sur un intervalle I.

f (x) = F(x) = Conditions

u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

u′

2√

uu(x) > 0 sur I

u′

u2u(x) 6= 0 sur I

u′e

u Aucune

u′

uu(x) > 0 sur I

Exemples


a. f (x) = xex2

b. f (x) = e4x+1 Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=iiq6eUQee9g&index=10&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs

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Calcul d’aires




u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

un+1

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

u′

2√

uu(x) > 0 sur I

u′

u2u(x) 6= 0 sur I

u′e

u Aucune

u′

uu(x) > 0 sur I

Exemples


a. f (x) = xex2



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Calcul d’aires




u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

un+1

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

u′

2√

u

√u + k u(x) > 0 sur I

u′

u2u(x) 6= 0 sur I

u′e

u Aucune

u′

uu(x) > 0 sur I

Exemples


a. f (x) = xex2



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Calcul d’aires




u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

un+1

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

u′

2√

u

√u + k u(x) > 0 sur I

u′

u2− 1

uu(x) 6= 0 sur I

u′e

u Aucune

u′

uu(x) > 0 sur I

Exemples


a. f (x) = xex2



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Calcul d’aires




u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

un+1

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

u′

2√

u

√u + k u(x) > 0 sur I

u′

u2− 1

uu(x) 6= 0 sur I

u′e

ue

u + k Aucune

u′

uu(x) > 0 sur I

Exemples


a. f (x) = xex2



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Calcul d’aires




u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

un+1

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

u′

2√

u

√u + k u(x) > 0 sur I

u′

u2− 1

uu(x) 6= 0 sur I

u′e

ue

u + k Aucune

u′

uln(u) + k u(x) > 0 sur I

Exemples


a. f (x) = xex2



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Calcul d’aires

Propriété

Primitive sous condition initiale

Soit f une fonction continue et définie sur un intervalle I.Pour tout réel x0 de I et tout y0 ∈ R, il existe une uniqueprimitive G de f vérifiant la condition initiale :

G(x0) = y0

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Calcul d’aires

Propriété

Primitive sous condition initiale

Soit f une fonction continue et définie sur un intervalle I.Pour tout réel x0 de I et tout y0 ∈ R, il existe une uniqueprimitive G de f vérifiant la condition initiale :

G(x0) = y0

Exemples

Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = 2ex +

3

x− 5x .

Déterminer la primitive de f qui prend la valeur 2e en 1. Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=-q9M7oJ9gkI&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=12

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Calcul d’aires

Propriété

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle[a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b]. Alors :

∫ b

a

f (x) dx = F (b) − F (a)

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Calcul d’aires

Intégrales et primitives

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F uneprimitive de f sur I. Pour tous réels a et b de I, on définitl’intégrale de a à b de la fonction f par :

∫ b

a

f (x) dx = F (b) − F (a)

Remarques :• Une intégrale n’est pas forcément positive : elle ne corres-pond plus à l’aire d’un domaine.

• Lorsque f est une fonction continue et positive sur un inter-

valle [a ; b], le nombre∫ b

af (x) dx est positif et correspond à

l’aire du domaine délimité par sa courbe représentative, l’axedes abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.• Une intégrale ne dépend pas de la primitive choisie pourla calculer.

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Calcul d’aires


Propriétés

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle et a, b

et c trois réels de I.

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Calcul d’aires


Propriétés


et c trois réels de I.∫ a

b

f (x) dx =

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Calcul d’aires


Propriétés



b

f (x) dx = −∫ b

a

f (x) dx

Relation de Chasles :∫ c

a

f (x) dx =

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Calcul d’aires


Propriétés



b

f (x) dx = −∫ b

a

f (x) dx


a

f (x) dx =

∫ b

a

f (x) dx +

∫ c

b

f (x) dx

Linéarité :∫ b

a

(f (x) + g(x)) dx =

Pour tout λ ∈ R :

∫ b

a

λf (x) dx =

Intégration


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Calcul d’aires


Propriétés



b

f (x) dx = −∫ b

a

f (x) dx


a

f (x) dx =

∫ b

a

f (x) dx +

∫ c

b

f (x) dx

Linéarité :∫ b

a

(f (x) + g(x)) dx =

∫ b

a

f (x) dx +

∫ b

a

g(x) dx


∫ b

a

λf (x) dx =

Intégration


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Calcul d’aires


Propriétés



b

f (x) dx = −∫ b

a

f (x) dx


a

f (x) dx =

∫ b

a

f (x) dx +

∫ c

b

f (x) dx

Linéarité :∫ b

a

(f (x) + g(x)) dx =

∫ b

a

f (x) dx +

∫ b

a

g(x) dx


∫ b

a

λf (x) dx = λ

∫ b

a

f (x) dx

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Calcul d’aires


Propriétés

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].

ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !

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Calcul d’aires


Propriétés


Si f est positive sur [a ; b], alors


Intégration


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Calcul d’aires


Propriétés



∫ b

a

f (x) dx > 0.


Intégration


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Calcul d’aires


Propriétés



∫ b

a

f (x) dx > 0.

Si f est négative sur [a ; b], alors


Intégration


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Calcul d’aires


Propriétés



∫ b

a

f (x) dx > 0.


∫ b

a

f (x) dx 6 0.


Intégration


Les savoir-faire






Calcul d’aires


Propriétés



∫ b

a

f (x) dx > 0.


∫ b

a

f (x) dx 6 0.

Si f 6 g sur [a ; b], alors


Intégration


Les savoir-faire






Calcul d’aires


Propriétés



∫ b

a

f (x) dx > 0.


∫ b

a

f (x) dx 6 0.

Si f 6 g sur [a ; b], alors

∫ b

a

f (x) dx 6

∫ b

a

g(x) dx .


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Calcul d’aires

Exemples

Exemples

1. Calculer

∫ 4

1

3

x2dx Vidéo

2. Calculer

∫ 5

2

(3x2 + 4x − 5)dx Vidéo

3. Calculer

∫ 1

0

ex

ex + 3dx Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=Z3vKJJE57Uw&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=13

https://www.youtube.com/watch?v=8ci1RrNH1L0&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=14

https://www.youtube.com/watch?v=BhrCsm5HaxQ&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=16

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Calcul d’aires

Avec une fonction négative

Propriété

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle[a ; b]. L’aire A (D) (en u.a) du domaine D du plan délimitépar la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équationsx = a et x = b est égale à :

A (D) =

∫ b

a

−f (x) dx = −∫ b

a

f (x) dx en u.a

I

J

Oa b

D

y = −f (x)

Cf : y = f (x)

1 u.a1 u.a

A (D) =∫ b

a−f (x) dx

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Calcul d’aires

Aire entre deux courbes

Propriété

Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef > g sur [a ; b].L’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre lescourbes Cf et Cg et les droites d’équations x = a et x = b

est égale à

A (D) =

I

J

O

Cf

Cg

a b

D

1 u.a1 u.a

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Calcul d’aires

Aire entre deux courbes

Propriété

Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef > g sur [a ; b].L’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre lescourbes Cf et Cg et les droites d’équations x = a et x = b

est égale à

A (D) =

∫ b

a

(f (x) − g(x)) dx

I

J

O

Cf

Cg

a b

D

1 u.a1 u.a

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Calcul d’aires

Valeur moyenne

Définition

On considère une fonction f définie et continue sur un inter-valle [a ; b]. On appelle valeur moyenne de f entre a et b lenombre µ tel que :

µ =1

b − a

∫ b

a

f (x) dx

O

Cf

a b

µ

Remarque : Dans le cas où f est strictement positive sur[a ; b], la valeur moyenne de f correspond à la hauteur durectangle de largeur (b−a) ayant la même aire que le domainesous la courbe Cf .

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Calcul d’aires

Exemples

Aires

On considère les fonctions f et g définies par :f (x) = x2 + 1 et g(x) = −x2 + 2x + 5. Déterminer

l’aire délimitée par les courbes de f et g sur [−1 ; 2]. Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=oRSAYNwUiHQ&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=17

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Calcul d’aires

Exemples

Aires

On considère les fonctions f et g définies par :f (x) = x2 + 1 et g(x) = −x2 + 2x + 5. Déterminer

l’aire délimitée par les courbes de f et g sur [−1 ; 2]. Vidéo

Valeur moyenne

On modélise à l’aide d’une fonction le nombre de malades lorsd’une épidémie. Au x -ième jour, le nombre de malades est égal à :f (x) = 16x2

− x3.Déterminer le nombre moyen de malades sur la période 16 jours. Donner

une interprétation graphique du résultat. Vidéo

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16Jours

Mala

des

Cf

https://www.youtube.com/watch?v=oRSAYNwUiHQ&list=PLVUDmbpupCaotX5idBCunutFUfZvIQFSs&index=17

https://www.youtube.com/watch?v=oVFHojz5y50&feature=youtu.be

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