fonction polynomiale de degré 1 fonction linéaire f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b
TRANSCRIPT
Fonction polynomiale de degré 1
Fonction linéaire
f(x) = x
f(x) = ax
f(x) = ax + b
Plusieurs situations de la vie courante évoluent selon une même tendance.
Exemples:
Le salaire d’un employé en fonction des heures travaillées.
Le coût d’un plein d’essence en fonction du nombre de litres.
Le périmètre d’un carré en fonction de la longueur du côté.
Le coût de location en fonction des heures.
Le remplissage d’une piscine en fonction des heures.
La conversion en degré Fahrenheit en fonction des degrés Celsius.
Le revenu des ventes en fonction des articles vendus.
En électricité, la courbe de la tension en fonction du courant.
Etc.
En mettant en relation les variables de ce type de situations, on observe qu’elles ont tendance à s’aligner selon une ligne droite.
Exemples:
5
50
Heures
($)
Salaire d’un travailleur
20 0C
25
0F
Conversion de température
Courbe de la tension en fonction du courant
Courant (A)
0,25 0,50 0,75 1
Ten
sion
(V
)
2
4
6
8
Elles suivent un certain modèle mathématique:
soit le modèle de la fonction polynomiale de degré 1
mieux connu sous le nom de fonction linéaire:
f(x) = x
f(x) = ax
f(x) = ax + b
La courbe associée à ce modèle est une ligne droite oblique.
x
y
x
y
Remarque: Dans le plan cartésien, une série de points reliés entre eux porte le nom de courbe.
Exemples:
courbe linéaire courbe parabolique courbe sinusoïdale
x
y
x
y
x
y
La fonction linéaire est une fonction polynomiale de degré 1 car:
f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b
l’exposant de la variable indépendante est 1.
1 1 1
Remarque: En algèbre, l’exposant 1 ne s’écrit pas mais il faut se souvenir qu’il est là.
La courbe associée à la fonction polynomiale de degré 1 est toujours une ligne droite.
La courbe associée à la fonction polynomiale de degré 2 est toujours une parabole.
f(x) = x f(x) = x2
x
y
x
y
Examinons donc ce que signifie chacun des éléments de cette fonction.
f(x) = a x + b
représente la variable dépendante
représente la variable indépendante
Ces deux variables sont mises en relation par une règle;
cette règle est déterminée par les deux paramètres qui les accompagnent.
a
est le taux de variation; il indique la grandeur de la variation entre les deux variables.
b
est l’ordonnée à l’origine; dans une situation réelle, on l’appelle aussi la valeur initiale.
dans le plan cartésien, elle correspond à l’axe des ordonnées ( y ).
dans le plan cartésien, elle correspond à l’axe des abscisses ( x ).
Remarque: Les lettres a et b représentent des paramètres;
f(x) = ax + b
On aurait pu choisir d’autres lettres.
L’important est de savoir que dans une fonction de degré 1 ( fonction linéaire):
le paramètre qui est additionné ou soustrait à la variable indépendante est l’ordonnée à l’origine.
On pourrait aussi bien écrire f(x) = mx + k
le paramètre qui multiplie la variable indépendante est le taux de variation;
a le taux de variation
Le taux de variation indique la grandeur de la variation entre les deux variables.
Observons ce que cela signifie:
Sa formule est:
x1x2 -
y1y2 -
C’est donc un rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses.
Variation
Le point P1 s’est déplacé vers le point P2 .
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
Remarque: La détermination des points se fait toujours par rapport à l’axe des abscisses.
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6 P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
Par rapport à l’axe des abscisses, le point P1 est le premier.
Par rapport à l’axe des abscisses, le point P2 est le deuxième.
Variation
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6Le point P1 s’est déplacé vers le point P2 .
Il a donc subi une variation ( un déplacement ) par rapport à l’axe des x. On peut calculer cette variation en reportant les abscisses des points sur l’axe des x.
x1
x2
Variation des abscisses :
x1x2 -
Il a également subi une variation par rapport à l’axe des y. On peut calculer cette variation en reportant les ordonnées des points sur l’axe des y.
Variation des ordonnées :
y1y2 -
y1
y2
7 - 2 = 5
3 - 5 = -2 Une variation négative est significative.
Remarque: La variation est parfois notée par ce symbole : ∆ .
∆ x : x2 – x1
∆ y : y2 – y1
V ( x1 , x2 ) :
V ( y1 , y2 ) :
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6En reportant la variation des ordonnées sur la variation des abscisses, on obtient le taux de variation de la fonction.
∆ y : variation des ordonnées :
∆ x : variation des abscisses : x1x2 -
y1y2 -
a = x1x2 -
y1y2 - =
27 -
53 - =
5
-2∆ y :
∆ x :
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
Dans l’exemple ci-contre:
∆ y : variation des ordonnées :
∆ x : variation des abscisses : x1x2 -
y1y2 -
a = x1x2 -
y1y2 - =
02 -
15 - =
2
4=
∆ y :
∆ x :2
1
2=
a = 22
1
Graphiquement, on peut constater ce fait.
+ 1
+ 2
+ 1
+ 2
Ce qui signifie que pour un accroissement d’une unité des abscisses, il y a accroissement de deux unités des ordonnées.
c’est-à-dire
a =2
1
1 2 3
1
2
3
4
5
x
y
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6Dans cet exemple, a =5
-2
Ce qui signifie que pour
un accroissement
de 5 unités des abscisses,
il y a décroissement
de deux unités des ordonnées.
+5
- 2
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6 P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
Un taux de variation positif indique que la fonction est croissante.
Un taux de variation négatif indique que la fonction est décroissante.
Remarque:
a > 0 a < 0
Une des particularités de la fonction linéaire est que le taux de variation est
constant.
Cette caractéristique nous permet de déterminer si une table de valeurs représente une fonction linéaire.
1 2 3
1
2
3
4
5
+ 1
+ 2
+ 1
+ 2
x
y
Exemple:…x
f(x) …
…
…
-3
-7
-2
-4
-1
-1
0
2
1
5
2
8
3
11
En utilisant la formule du taux de variation, on calcule au moins trois couples:
x1x2 -
y1y2 - =
-4 - -7
-2 - -3= 3
2 - -1
0 - -1= 3
11 - 5
3 - 1= 3
Cette table de valeurs représente une fonction linéaire car le taux de variation est constant.
…x
f(x) …
…
…
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
Exemple:
x1x2 -
y1y2 - =
1 - 0
1 - 0= 1
4 - 1
2 - 1= 3
9 - 4
3 - 2= 5
Cette table de valeurs ne représente pas une fonction linéaire car le taux de variation n’est pas constant.
b l’ordonnée à l’origine
Graphiquement, l’ordonnée à l’origine est le point de rencontre de la fonction avec l’axe des ordonnées.
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
Dans l’exemple ci-contre, l’ordonnée à l’origine est
On appelle ce point ainsi car lorsque la fonction traverse l’axe des ordonnées, elle le fait vis-à-vis l’origine du plan cartésien.
Algébriquement, il existe donc un symbole précis pour représenter l’ordonnée à l’origine:
f (0)
À l’origine du plan cartésien, la valeur dex est 0. 0
la valeur de la fonction
( la valeur de y )
quand x vaut 0.
Ce symbole est très important en mathématique.
x
y
On utilise, dans certaines situations, le terme « valeur initiale » pour parler de l’ordonnée à l’origine.
5 10 15 20 250
1 000
2 000
3 000
4 000
Remplissage d’une piscine
Litres
Minutes
Dans une situation réelle, comme le remplissage d’une piscine, on peut avoir un point de départ.
Par exemple, dans le graphique
illustré ci-contre,
il y a déjà 2 000 litres d’eau audépart.
C’est la première donnée donc la valeur initiale.
Maintenant que l’on connaît les différentes significations des termes d’une fonction du premier degré, voyons quelles différences il y a entre les 3 formes:
f(x) = x
f(x) = ax
f(x) = ax + b
C’est le modèle de base, c’est-à-dire, le modèle le plus simple.
En fait, on devrait lire f(x) = x : f(x) = 1 x + 0
a = 1 et b = 0
Graphiquement, cela correspond à:
Dans une table de valeurs, cela correspond à:
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … f(x)
Les valeurs de x sont égales aux valeurs de f(x).
En géométrie, cette droite correspond à la droite d1.
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
123
4
-4-3-2
-1
-5
5
x
y
f(x) = ax
Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation directe.
On l’appelle aussi, simplement, fonction linéaire.
Graphiquement, elle peut être orientée de plusieurs façons
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
123
4
-4-3-2
-1
-5
5
Dans une table de valeurs, les couples de coordonnées forment toujours une suite proportionnelle.
… -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 …
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
f(x)
mais elle passera toujours par l’origine du plan cartésien.
Exemple:
f(x)
x=
-10
-5=
-8
-4=
-6
-3=
-4
-2=
-2
-1=
2
1=
4
2=
…
…= 2
Bien entendu sauf le couple ( 0 , 0 ).
x
y
Remarque:
La fonction f(x) = x est une fonction linéaire de variation directemais comme le coefficient ( le paramètre ) a = 1, les mathématiciens en ont fait la fonction de référence ou fonction de base du modèle linéaire.
Toutes les fonctions que nous étudierons sont considérées comme fonction de base quand le paramètre a = 1 et que les autres paramètres sont égales à zéro.
Exemple: La fonction du deuxième degré, appelée fonction quadratique, peut s’écrire comme suit:
f(x) = ax2 + bx + c
Si a = 1, b = 0 et c = 0, alors la fonction s’écrit: f(x) = 1x2 + 0x + 0
c’est-à-dire f(x) = x2
C’est la fonction de base du second degré et son graphique est :
1 x
y
f(x) = ax + b
Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation partielle.
On l’appelle aussi fonction affine.
Graphiquement, elle peut être orientée de plusieurs façons
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
123
4
-4-3-2
-1
-5
5
mais, bien entendu, elle ne passera jamais par l’origine du plan.
x
y
f(x) = ax + b
Exemple:
f(x) = 0,5x
Le paramètre b crée une translation verticale de la fonction de variation directe.
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
123
4
-4-3-2
-1
-5
5
f(x) = 0,5x + 2
f(x) = 0,5x - 2
Remarque: Les taux de variation étant identiques dans chaque équation, les 3 droites sont donc parallèles entre elles.
x
y
Dans une table de valeurs, le taux de variation est constant mais les différents couples ne sont pas proportionnels.
f(x)
x=
4
4=
1
-2
2,5
1=
3
2=
… 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4.5 …
x … -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
f(x)
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
123
4
-4-3-2
-1
-5
5
x
y
Comment déterminer la règle d’une fonction du premier degré
Parmi les différentes fonctions, l’équation de la fonction linéaire est la plus facile à déterminer.
En effet, une propriété géométrique de la droite dit que:
« Par 2 points, on ne peut faire passer qu’une seule droite. »
Donc sachant qu’une fonction est linéaire, nous n’avons besoin que de deux couples de coordonnées pour en déterminer la règle.
Dans un graphique,
123
45678
-4-3-2
-1
-5-6-7-8
1 2 3 4 5 6 7 8-4 -3 -2 -1-5-6-7-8
Il n’est pas nécessaire de prouver que la fonction est linéaire.
Étape 1: En utilisant des coordonnées les plus précises possibles, oncalcule le taux de variation.
( -3 , -7 )
( 2 , 8 )
a = x1x2 -
y1y2 - =
-32 -
-78 - = 3
La règle débute donc par: f(x) = 3x + b
x
y
Étape 2:
En utilisant le début de la règle, on détermine la valeur du paramètre b en utilisant un des couples.
f(x) = 3x + b avec ( 2 , 8 )
On remplace f(x) par l’ordonnée du couple,
123
45678
-4-3-2
-1
-5-6-7-8
1 2 3 4 5 6 7 8-4 -3 -2 -1-5-6-7-8
( -3 , -7 )
( 2 , 8 )
8 = 3x + b
On remplace x par l’abscisse du couple,
8 = 3 X 2 + b
On isole b.
8 = 6 + b
2 = b
8 = 3 X 2 + b
La règle de cette fonction est: f(x) = 3x + 2
Remarque: Parfois le graphique nous permet de déterminer b, mais ce n’est pas
toujours précis tandis que le calcul, lui, est précis.
x
y
Dans une table de valeurs
en utilisant la formule du taux de variation, on calcule au moins trois couples:
x1x2 -
y1y2 - =
-2 - -6
0 - -1= 4
2 - -2
1 - 0= 4
10 - 6
3 - 2= 4
Il faut d’abord vérifier si la table de valeurs représente une fonction linéaire;
…x
f(x) …
-3 -2 -1 0 1 2 3 …
-14 -10 -6 -2 2 6 10 …
La table de valeurs représente bien une fonction linéaire et le taux de variation est 4.
La règle débute donc par f(x) = 4x + b
…x
f(x) …
-3 -2 -1 0 1 2 3 …
-14 -10 -6 -2 2 6 10 …
La règle débute donc par f(x) = 4x + b
On calcule b avec le début de la règle et un couple.
f(x) = 4x + b avec ( 2, 6 )
On remplace f(x) par l’ordonnée du couple,
6 = 4x + b
On remplace x par l’abscisse du couple,
6 = 4 X 2 + b
On isole b.
6 = 8 + b
-2 = b
6 = 4 X 2 + b
La règle de cette fonction est: f(x) = 4x - 2
Remarque: Parfois la table de valeurs nous permet de déterminer b,
L’ordonnée à l’origine est la valeur de f(0)
mais elle ne le
donne pas toujours; il faut alors le calculer.
Dans un problème théorique
Une fonction linéaire passe par les points ( 1 , 37 ) et ( 5 , 85 ). Quelle est sa règle ?
Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire, donc nécessairement:
f(x) = ax + b
Étape 1: Calculer le taux de variation: a =x1x2 -
y1y2 - =
15 -
3785 - = 12
Étape 2: Déterminer b : f(x) = 12x + b avec ( 1 , 37 )
37 = 12 X 1 + b
37 = 12 + b
25 = b
La règle est donc f(x) = 12x + 25
ou ( 5 , 85 )
85 = 12 X 5 + b
85 = 60 + b
25 = b
Une fonction linéaire passe par les points ( 2 , 66 ) et ( 4 , 132 ). Quelle est sa règle ?
Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire, donc nécessairement:
f(x) = ax + b
Étape 1: Calculer le taux de variation: a =x1x2 -
y1y2 - =
24 -
66132 - = 33
Étape 2: Déterminer b : f(x) = 33x + b avec ( 2 , 66 )
66 = 33 X 2 + b
66 = 66 + b
0 = b
La règle est donc f(x) = 33x
Il s’agit donc d’une fonction linéaire de variation directe.
Dans une mise en situation
Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées.
Détermine la règle de cette situation.
Les mises en situation sont les plus difficiles à transposer en équation.
Il faut, en premier, lire attentivement les données du problème pour identifier les variables indépendante et dépendante.
Dans cette situation, on pourrait se demander quelle variable dépend de l’autre ?
Le salaire dépend-il du nombre de fenêtres lavées ?
ou
Le nombre de fenêtres lavées dépend-il du salaire ?
Bien entendu, le salaire dépend du nombre de fenêtres lavées;
alors, variable dépendante: le salaire
variable indépendante: le nombre de fenêtres lavées.
Dans une mise en situation
Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées.
La formulation « en fonction de » permet également de déterminer les variables.
Ce qui suit cette formulation est toujours la variable indépendante.
En fonction du nombre de fenêtres lavées;
variable dépendante: le salaire.
variable indépendante: le nombre de fenêtres lavées;
f ( nombre de fenêtres lavées ) =
le salaire
( var.dépendante )var. indépendante
f ( x )
Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées.
Déterminer la règle dans une mise en situation.
Pour détecter le taux de variation, il faut comprendre ce qu’est un taux.
Un taux est un rapport entre 2 éléments.
Exemple : 0,50 $ par fenêtre 0,50 $ pour 1 fenêtre.
10,00$/heure 10,00$ pour 1 heure
100 km/hre 100 km pour 1 heure
Dans une mise en situation
Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées.
On a une valeur initiale:
On a une augmentation régulière:
20,00 $ ( salaire de base )
0,50 $ par fenêtre.
La fonction est donc une fonction linéaire.
La règle est donc: f(x) = 0,50x + 20
Aujourd’hui, au Québec, l’unité de mesure utilisée pour calculer la vitesse automobile est le kilomètre/heure ( Km/h ). Anciennement, ( et encore aujourd’hui aux USA ) le système était le mille/heure ( MPH ).
Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures.
Quelle règle permet d’exprimer le mille/heure en fonction du kilométrage/heure ?
Variable indépendante: x : Km/h
Variable dépendante: f(x) : MPH
Déterminons, d’abord, au moins 3 couples de coordonnées pour savoir si la relation est linéaire.
( Km/h , MPH )
( 0 , 0 )
( 80 , 50 )
( 160 , 100 )
Il faut lire le plus précisément possible.
Maintenant, calculons le taux de variation entre ces couples:
a =x1x2 -
y1y2 - =
080 -
050 - = 0,625
80160 -
50100 - = 0,625
0160 -
0100 - = 0,625
C’est bien une fonction linéaire; f(x) = 0,625x
Il ne sert à rien de calculer b car le premier couple indique ( 0 , 0 ).
Lorsque la règle d’une fonction est établie, elle sert d’outil pour effectuer certains calculs.
On peut ainsi calculer soit des valeurs de x soit des valeurs de f(x).
Exemple:
f(x) = 3 x + 2
En utilisant la règle f(x) = 3x + 2
Détermine f (10 )
la valeur de f quand x = 10
Il s’agit alors d’un simple calcul:
f(10) = 3 X 10 + 2 = 32On remplace x par la valeur suggérée:
Dans le plan cartésien, ce point serait situé à ( 10 , 32 ).
la valeur de la fonction
Exemple:
f(x) = 3 x + 2
En utilisant l’équation f(x) = 3x + 2
Détermine x quand f(x) = 62
La valeur de x quand f(x) = 62
Ici, il faut RÉSOUDRE le problème:
On remplace f(x) par la valeur suggérée:
Dans le plan cartésien, ce point serait situé à ( 20 , 62 ).
62 = 3 x + 2
On isole x : 62 = 3 x + 2
60 = 3 x
20 = x
quand la fonction vaut 62
Exemple: À partir de l’équation de la vitesse automobile, f(x) = 0,625x
Calcule en MPH, une vitesse de 160 Km/h.
f(160) = 0,625 X 160 =
f(x) = 0,625x
f(x) = MPH x = km/h
100 Réponse :
Calcule en Km/h, une vitesse de 60 MPH
f(x) = 0,625x
60 = 0,625x
96 = x
100 MPH
Réponse : 96 Km/h
Une fonction linéaire passe par les points ( 3 , 36 ) et ( 8 , 71 ).
Détermine f(13) et la valeur de x quand f(x) = 173,9.
Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire donc nécessairement:
f(x) = ax + b
Étape 1: Calculer le taux de variation: a =x1x2 -
y1y2 - =
38 -
3671 - = 7
Étape 2: Déterminer b : f(x) = 7x + b avec ( 3 , 36 )
36 = 7 X 3 + b
36 = 21 + b
15 = b
La règle est donc f(x) = 7x + 15
Il faut, en premier, déterminer la règle.
L’équation est f(x) = 7x + 15
f(13) = 7 X 13 + 15 = 106
f(x) = 173,9 f(x) = 7x + 15
173,9 = 7x + 15
158,9 = 7x
22,7 = x
Utilisons, maintenant, la règle pour déterminer les valeurs demandées.
En utilisant la fonction f(x) = 0,5x + 2
Calcule f(0):
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
123
4
-4-3-2
-1
-5
5
f(x) = 0,5x + 2
f(0) = 0,5 X 0 + 2 =
2
soit le couple ( 0 , 2 )
f(0) est le symbole de l’ordonnée à l’origine,
c’est-à-dire la valeur de f(x) quand x = 0
Calcule f(x) = 0: f(x) = 0,5x + 2
0 = 0,5x + 2
-2 = 0,5x
-4 = x
soit le couple ( -4 , 0 )
Remarque: Le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses s’appelle l’abscisse à l’origine.
x
y
Le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses s’appelle l’abscisse à l’origine.
On appelle ce point l’abscisse à l’origine car lorsque la fonction traverse l’axe des abscisses, elle le fait vis-à-vis l’origine du plan cartésien.
Algébriquement, il existe donc un symbole précis pour représenter l’ordonnée à l’origine:
f(x) = 0
À l’origine du plan cartésien, la valeur def(x) est 0 ( la valeur de y est 0 ).
la valeur de x
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
123
4
-4-3-2
-1
-5
5
quand f(x) vaut 0.
0
Ce symbole est très important en mathématique.
quand la fonction vaut 0
x
y
En résumé
1 2 3 4-4 -3 -2 -1-5 5
123
4
-4-3-2
-1
-5
5
f(0) : symbole de l’ordonnée à l’origine
Ici, les coordonnées de ce point sont: ( 0 , 2 )
f(x) = 0: symbole de l’abscisse à l’origine
Ici, les coordonnées de ce point sont: ( -4 , 0 )
Ces deux symboles sont très importants à retenir car ils reviennent dans tous les types de fonctions.
Remarque: L’abscisse à l’origine est appelée aussi le zéro de fonction car à ce point précis, la fonction est égale à 0, f(x) = 0
x
y
Conclusion
La fonction polynomiale de degré 1, soit la fonction linéaire, sert à représenter certaines situations de la vie courante.
Tu devrais visionner cette présentation à quelques reprises pour que l’utilisation de toutes les informations vues devienne aussi simple qu’un réflexe.
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