Ex110 p 96 f(x)=cos(2x)-2cos(x)

1)f(-x)= cos(-2x)-2cos(-x)=cos(2x)-2cos(x)=f(x) donc f est paire donc Cf symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

f(x+2𝝅)= cos(2x+4𝝅) -2 cos( x +2𝝅) = cos(2x) -2cos(x)=f(x) donc f est périodique de période 2𝝅

on pourra effectuer des translations de vecteur 2𝜋𝑖 ⃗ 𝑜𝑢 − 2𝜋𝑖

3) On peut restreindre l’étude de f à [ 0 ; 𝜋 ] , on fera une symétrie de Cf par rapport à l’axe des ordonnées on aura alors

Cf sur [ -𝜋 ; 𝜋 ] et ensuite on fera des translations de vecteur 2𝜋𝑖 ⃗ 𝑜𝑢 − 2𝜋𝑖 pour avoir la courbe sur ℝ

4) f est dérivable sur [ 0 ; 𝜋 ] f’(x) =-2 sin(2x) +2sin(x) = -4 sin(x) cos(x) +2sin(x) = 2 sin(x) (-2 cos(x) +1)

Sur [ 0 ; 𝝅 ] 2 sin (x) ≥0 donc le signe de f’ dépend de celui de -2 cos(x)+1

-2cos(x)+1 ≥ 𝟎 𝒔𝒊 𝐜𝐨𝐬(𝒙) ≤𝟏

𝟐 soit si x∈ [

𝝅

𝟑; 𝝅 ] donc

x 0 𝜋

3 𝜋

f’(x) 0 − 0 + 0

f(x) -1 3 -1,5