séries de fourier · fonctions périodiques une fonction f(t) est périodique s’il existe une...

Séries de Fourier

Séries de Fourier – p.1/55

Fonctions périodiques

Une fonction f(t) est périodique s’il existe une valeur Tpour laquelle

f(t + T ) = f(t)

T est appelé la période de f . Par simple itération, onmontre que :

f(t + nT ) = f(t) (n ∈ Z)


Énoncé du théorème de Fourier

Toute fonction périodique de période T , peut êtredécomposée en une somme infinie (série) de fonctionscomplexes harmoniques (=“sinusoïdales”) dont lesfréquences sont des multiples de la fréquencefondamentale ν = 1T .

f(t) =+∞∑

n=−∞

Cn exp[2πi(nν) · t]

︸︷︷︸

Serie de Fourier

où f(t) est une fonction périodique de période ν.


Les coefficients complexes (Cn) de chaque termeharmonique (=“sinusoïdale”) sont appelés coefficients deFourier.

|n| = 1 → ν : fréquence fondamentale|n| = 2 → 2ν : 1ère harmonique|n| = 3 → 3ν : 2ème harmonique

etc|n| = 0 → ν = 0 : terme constant indépendant de t


Quelques illustrations du théorèmede Fourier


fonction périodique quelconque


onde rectangulaire


Les coefficients de Fourier


Relation générale

Les coefficients de Fourier de la fonction périodique f(t), depériode T (= 1ν ) sont données par la relation:

Cn =1

T

∫ T2

−T

2

f(t) exp(−2πinνt)dt

Comment peut-on obtenir cette relation?


Pour f(t), nous avons la série de Fourier:

f(t) =+∞∑

n=−∞

Cne2πi(nν)·t

Cm · T =

∫ T2

−T

2

f(t)e−imω·t =

∫ T2

−T

2

+∞∑

n=−∞

Cneinω·te−imω·tdt

=+∞∑

n=−∞

Cn ·

∫ T2

−T

2

einω·te−imω·tdt

Il s’agit d’une somme sur un nombre infini de termes, maison peut montrer que l’intégrale est nulle pour tous lestermes, sauf pour n = m :


∫ T2

−T

2

einω·te−imω·tdt =

∫ T2

−T

2

ei(n−m)ω·tdt

=

[

ei(n−m)ω·t

i(n − m)ω

]T2

−T

2

=1

i(n − m)ω

[

ei(n−m)π − e−i(n−m)π]

=1

i(n − m)ω[cos((n − m)π) + i sin((n − m)π)

− cos((n − m)π) + i sin((n − m)π)]

=2 sin((n − m)π)

(n − m)ω

= 0 si n 6= m


Si n = m

limn→m

{2 sin((n − m)π)

(n − m)ω

}

= limn→m

{2π cos((n − m)π)

ω

}

=2π

ω= T


On obtient donc finalement :

Cm =1

T

∫ T2

−T

2

f(t)e−imω·tdt

L’ensemble des fonctions{e−inω·t, n ∈ Z

}forment un

ensemble de fonctions orthogonales sur [T2 ,T2 ]


Il est important de comprendre que l’ intégration

∫ T2

−T

2

+∞∑

n=−∞

Cneinω·te−imω·tdt

“sélectionne” exclusivement et uniquement le terme n = m.Tous les autres termes sont égals à zéro.

Nous pouvons essayer de comprendre cette propriété en

étudiant la figure suivante.


− −−− −

+ ++++

cos(4wt)

cos(4w) . cos(3wt)

cos(3wt)

On y voit deux fonctions cosinus, de fréquence 4ωo (n = 4) et 3ωo (n = 3), ainsi que leproduit des deux fonctions. L’intégration est une sommation de l’aire signée sous la courbe.On peut voir sur la figure qu’à chaque “lobe”positif correspond un lobe négatif de mêmesurface. L’intégrale sur toute la période [ T

2,

T

2] est donc nulle.

Ce n’est que pour n = m, que l’intégrale est différente de zéro. Séries de Fourier – p.15/55

Exemple d’application: fonction créneau

( onde “rectangulaire”)

f(t)

{

= 0 : Tk < t < T −Tk

= 1 : −Tk≤ t ≤ T

k

f(t)

−T/k T/k T


Cn =1

T

∫ T2

−T

2

f(t)e−inω·tdt

=1

T

[∫

−T

k

−T

2

0e−inω·tdt +

∫ Tk

−T

k

1e−inω·tdt +

∫−

T

2

T

k

0e−inω·tdt

]

=1

T

∫ Tk

−T

k

1e−inω·tdt

=1

T

[

−e−inω·t

inω

]Tk

−T

k

=1

T

[

−1

inω

[

e−inωT

k − einωT

k

]]

= −1

2πin

{

cos(−2πn

k) + i sin(−2π

n

k) − cos(2π

n

k) − i sin(2π

n

k)}

Cn =sin(2πnk )

πnSéries de Fourier – p.17/55

Remarque :

Les coefficients sont réels

Cn = C−n

On peut donc ré-écrire la série de Fourier :

f(t) =+∞∑

n=−∞

Cneinωt = C0 +

+∞∑

n=1

Cn[einωt + e−inωt

]

= C0 +

+∞∑

n=1

Cn[cos(nωt) + i sin(nωt)

+ cos(−nωt) + i sin(−nωt)]

= C0 ++∞∑

n=1

2Cn cos(nωt)


Ou encore

f(t) = C0 ++∞∑

n=1

CN cos(Nωt) avec CN = 2Cn

Coefficient du terme en n = 0

limn→0

[sin(2πnk )

πn

]

limn→0

[(2π/k) cos(2πnk )

π

]

⇒ C0 =2

k

f(t) =2

k+

+∞∑

n=1

CN cos(Nωt) CN =2 sin(2πNk )

πN


Exemple (k = 4): f(t) = 12 +2π

cos(ωt) − 23π cos(3ωt) + ...

On peut aussi écrire :

C4 =4

k·2 sin(2πNk )

πN

La fonction sin(x)/x, que nous allons rencontrer souvent estappelée sinus cardinal et notée

sinc(x) =sin x

x


Notion de spectre

Un spectre est une représentation numérique et/ougraphique des coefficients de Fourier en fonction desfréquences.Lorsque les coefficients de Fourier sont des nombrescomplexes, on se limite souvent à la représentation de leursmodules.


Application en acoustique

Le son peut être considéré comme une onde qui setraduit par des vibrations mécaniques dans les milieuxmatériels. Il est bien connu que la “hauteur” d’un sonest déterminée par la fréquence de l’oscillation. Lesondes sonores ne sont jamais purement sinusoïdales.

Le plus souvent, ce sont des mouvements périodiquesplus ou moins complexes. Ces vibrations peuventsdonc être décomposées en une série de Fourier c.à.dune somme de vibration purement sinusoïdales.

La fréquence fondamentale détermine la hauteur duson. Mais ce sont les coefficients de Fourier, autrementdit le spectre, qui détermine le timbre du son.


Sur cette figure, l’épaisseur des traits est proportionnelle àl’intensité des différentes harmoniques (c.à.d. auxcoefficients de Fourier).


C’est également par leurs caractéristiques spectrales quenous pouvons distinguer différents instruments de musique.


Forme réelle d’une série de Fourier

Nous avons jusqu’à présent, écrit une série de Fouriercomme somme de fonctions harmoniques complexeseinωt.

On peut écrire cette même fonction comme une sériede fonctions harmoniques réelles, c.à.d. comme unesomme de fonctions cosinus et sinus.

f(t) =

+∞∑

n=−∞

Cne2πinωt =

a02

+

+∞∑

n=1

[an cos(nωt) + bn sin(nωt)]

Les deux formulations sont complètement équivalentes.(Attention : les fonctions cos(nωt) et sin(nωt) sontréelles, mais les coefficients an et bn peuvent êtrecomplexes).


Démonstration

f(t) =+∞∑

n=−∞

Cne2πinωt =

+∞∑

n=−∞

Cn[cos(nωt) + i sin(nωt)]

= C0 ++∞∑

n=1

[Cn + C−n] cos(nωt) + i+∞∑

n=1

[Cn − C−n] sin(nωt)

f(t) = C0︸︷︷︸

a0

2

+

+∞∑

n=1

[Cn + C−n]︸︷︷︸

an

cos(nωt) + i[Cn − C−n]︸︷︷︸

bn

sin(nωt)


⇒

a0 = 2C0

an = Cn + C−n

bn = i(Cn − C−n)

etC0 =

a02

Cn =12(an − ibn)

C−n =12(an + ibn)


a0

a0 = 2C0 =2

T

∫ T2

−T

2

f(t)e−i(0)ω·tdt

⇒ a0 =2

T

∫ T2

−T

2

f(t)dt


an

an = Cn + C−n =1

T

∫ T2

−T

2

f(t)e−inω·tdt +1

T

∫ T2

−T

2

f(t)e+inω·tdt

=1

T

∫ T2

−T

2

f(t)[e−inω·t + e+inω·t]dt

⇒ an =2

T

∫ T2

−T

2

f(t) cos(nωt)dt


bn

bn = i(Cn − C−n) =1

T

∫ T2

−T

2

f(t)ie−inω·tdt −1

T

∫ T2

−T

2

f(t)ie+inω·tdt

=1

T

∫ T2

−T

2

f(t)[i(e−inω·t − e+inω·t)]dt

⇒ bn =2

T

∫ T2

−T

2

f(t) sin(nωt)dt


Les deux formulations - série complexe aveccoefficients Cn et série réelle avec coefficients a0, an etbn - sont strictement équivalentes.

La série complexe est d’une écriture moins lourde, maisil peut être avantageux d’utiliser la série réelle lorsquela fonction f(t) est symétrique ou antisymétrique parrapport à l’origine.


Le théorème de Parseval.

Il s’agit d’une “loi de conservation” qui dit que la sommedes carrés des modules des coefficients de Fourier d’unefonction f(t) est égale à la moyenne du carré du module def(t) sur une période :

+∞∑

n=−∞

|Cn|2 =< |f(t)|2 >T

=1

T

∫ T2

−T

2

|f(t)|2dt

(Sans démonstration)


Quelques exemples de séries deFourier


Fonction cos(2π tT )

On peut remarquer que

cos(x) =1

2(eix + e−ix)

⇒ cos(2πt

T) =

1

2(eiωt + e−iωt)

⇒ dans la série de Fourier, il n’y a que deux termes nonnuls: n ± 1. Les deux coefficients de Fourier sont 12


−T/2

−1/T

1/2

Re

Im

T/2

1/T

n=+1n=−1

f(t)

1

t ν

ν

Remarquons que f(t) est une fonction réelle et paire. Enconséquence, les coefficients de Fourier sont réels etCn = C−n


Fonction sin(2π tT )

On peut remarquer que

sin(x) =1

2i(eix − e−ix)

⇒ sin(2πt

T) =

1

2i(eiωt − e−iωt)

⇒ dans la série de Fourier, il n’y a que deux termes nonnuls: n ± 1. Les deux coefficients de Fourier sont ±12i


−T/2

T/2

f(t)

1

t

−1/T

1/2

−1/2

Im

1/T

n=+1

n=−1

ν

Re

ν

Remarquons que f(t) est une fonction réelle et impaire. Enconséquence, les coefficients de Fourier sont purementimaginaires et Cn = −C−n


La fonction créneau

Nous avons déjà développé cette fonction précédemment.Reprenons le cas particulier où k = 4.

f(t)

−T/4 T/2 TT

Cette fonction est réelle, et telle qu’elle est dessinée sur lafigure, elle est également paire.⇒ Coefficients de Fourier réels avec Cn = C−n


Nous avons trouvé précédemment que :

Cn =sin(πn2 )

πn=

1

2sinc(π

n

2)

Re Cn

TT T T

TT

T

T

1−1 4 6

57

3

2

n=1

n=3n=−3

n=−1

T

T

T

TT

T−3

−2

−4

−5−7

−6

Les coefficients de Fourier ne dépendent pas de T ! Si onmodifie T , on ne modifie pas la courbe sinc(πn2 )


Multiplions T par 2:

Re Cn

Re Cn

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

1

1

−1

−1

4

4

6

6

5

5

7

7

3

3

2

2

n=1

n=3n=−3

n=−1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

−3

−3

−2

−2

−4

−4

−5

−5

−7

−7

−6

−6


Prenons un exemple avec un rectangle (créneau) plusétroit: k = 16

f(t)

T/16−T/16T/2 T−T

Cn =sin(πn8 )

πn=

1

8sinc(π

n

8)


On observe que la fonction sinc qui module l’amplitude deFourier est beaucoup plus large:

f(t)

f(t)

T−T

Re Cn

Re Cn


Séries de Fourier en cristallographie


Cristal 1-dimensionnel

Un cristal peut être défini comme la répétition périodiquedans l’espace d’un motif (=1 molécule ou un ensemble demolécules). Le cristal peut donc être représenté par unefonction périodique dans l’espace et cette fonction peut, enconséquence, être décomposée en série de Fourier:


dans le cas 1-dimensionnel, la transposition des résultatsobtenus précédemment est triviale:

variable temporelle : t → variable spatiale : x (ou r)

période temporelle : T → période spatiale : p (ou λ)

fréquence temporelle : ν → fréquence spatiale : k ( = 1p)

f(x) =+∞∑

n=−∞

Cne2πinkx


Cristal 2-dimensionnel

La variable spatiale devient un vecteur : ~r = x~i + y~j

De même, la fréquence spatiale devient une quantitévectorielle: ~k = p~i + q~j


Il n’y a pas une mais deux fréquences fondamentales,(p = 1; q = 0) (p = 0; q = 1)

→ la sommation s’effectue sur p~i + q~j

⇒ f(~r) =+∞∑

p=−∞

+∞∑

q=−∞

Cpqe2πi(p~i+q~j)·~r

avec ~r = x~i + y~j

⇒ f(x, y) =+∞∑

p=−∞

+∞∑

q=−∞

Cpqe2πi(px+qy)


Généralisation à trois dimensions

f(x, y, z) =

+∞∑

p=−∞

+∞∑

q=−∞

+∞∑

r=−∞

Cpqr e2πi(px+qy+rz)

Cpqr =

∫

V

f(x, y, z)e−2πi(px+qy+rz)dxdydz


Lors d’une expérience de diffraction, on mesure lescoefficients de Fourier Cpqr.

On peut ensuite reconstituer numériquement la fonctionde densité électronique du cristal par la sommation deFourier.

Les coefficients de Fourier sont appelés Facteurs destructure en cristallographie. Ils sont notés: F (hkl).

Ces coefficients sont, en général, des quantitéscomplexes mais seul leurs modules peuvent êtredéterminés directement.

Or pour pouvoir effectuer la sommation de Fourier, ilfaut également connaître les phases des facteurs destructure. L’absence de cette information constitue cequi est appelé le problème des phases. C’est toujoursun des obstacles majeurs à la détermination desstructures de bio-molécules par radiocristallographie.


Cliché de diffraction d’un cristal d’une bio-molécule (ici uneprotéine). Chaque tache correspond à un coefficient deFourier de la fonction de densité électronique du cristal.L’intensité de chaque tache est proportionnelle au carré dumodule du coefficient de Fourier correspondant.


S'eries de FourierFonctions périodiquesÉnoncé du théorème de FourierQuelques illustrations du théorème de Fourierfonction périodique quelconqueonde rectangulaireLes coefficients de FourierRelation généraleExemple d'application: fonction créneauNotion de spectreApplication en acoustiqueForme réelle d'une série de FourierDémonstration$a_0$$a_n$$b_n$Le théorème de Parseval.Quelques exemples de séries de FourierFonction $cos (2pi �rac {t}{T})$Fonction $sin (2pi �rac {t}{T})$La fonction créneauSéries de Fourier en cristallographieCristal 1-dimensionnelCristal 2-dimensionnelGénéralisation à trois dimensions

séries de fourier · fonctions périodiques une fonction f(t) est périodique s’il existe une...

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