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ETUDE DES ENGRENAGES

TERMINALE S.T.I. 1 / 30 TRANSMISSION DE PUISSANCE LES ENGRENAGES

Construction engrenages

Jardin-Nicolas Hervé http://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/

LES ENGRENAGES I) Fonctions de service Un engrenage est utilisé pour remplir l’une ou l’autre des deux fonctions suivantes.

A. TRANSMETTRE le mouvement de rotation d’un arbre « 1 » à un arbre « 2 ».

1) Avec « 1 » et « 2 » parallèle, 1Ω = ou ≠ de 2Ω avec inversion du sens de rotation.

ENGRENAGES CYLINDRIQUES EXTERIEURS




2) Avec « 1 » et « 2 » parallèle, 1Ω ≠ de 2Ω sans inversion du sens de rotation.

ENGRENAGES CYLINDRIQUES INTERIEURS

3) Avec « 1 » et « 2 » concourant et 1Ω = ou ≠ de 2Ω

ENGRENAGES CONIQUES




4) Avec « 1 » et « 2 » orthogonaux et 1Ω = ou ≠ de 2Ω

ENGRENAGES ROUE ET VIS SANS FIN

B. TRANSFORMER le mouvement de rotation d’un arbre « 1 » en un mouvement de translation rectiligne d’une crémaillère « 2 ».

SYSTEME PIGNON CREMAILLERE.




II) Définition.

Un engrenage est constitué de 3 éléments :

• Un bâti « 0 ». • Un élément « 1 » muni d’une denture. • Un élément « 2 » muni d’une denture complémentaire à celle de l’élément « 1 ».

Chacun des éléments « 1 » et « 2 » est en liaison avec le bâti. Ces liaisons comportent un seul degré de liberté. Liaison pivots pour les arbres Liaison glissière pour les crémaillères. Le graphe des liaisons est toujours sous la forme suivante :

1 2

Bâti 0

Linéique (engrènement)

Pivot (Si « 1 » est une roue dentée)

Pivot (Si « 2 » est une roue dentée)

Glissière (Si « 2 » est une crémaillère)

III) Principe de transmission de puissance entre « 1 » et « 2 ».

Il existe deux grands principes pour transmettre un mouvement ou une puissance entre deux organes « 1 » et « 2 ».

• La transmission par adhérence. • La transmission par obstacle.

1) La transmission de puissance par adhérence.

C’est le principe utilisé dans les systèmes de transmission : • Par roue de friction • Par courroie plate ou trapézoïdale.




1) Transmission par roue de friction

Ce principe utilise l’adhérence existante au contact entre deux roues cylindres liées chacune à un arbre de transmission.

1ω

2ω

1/VI bâti∈ = 2 /VI bâti∈ si roulement sans glissement en I

Dans un premier temps, la transmission de mouvement de rotation était faite par simple contact direct entre deux roues « 1 » et « 2 ». Un ressort exerce un effort sur le coulisseau afin qu’il y ai suffisamment d’adhérence au contact en « I » entre la roue « 1 » et la roue « 2 » Cette adhérence doit permettre à la roue « 1 » d’entrainer la roue « 2 » en rotation sans qu’il y ai glissement au contact entre « 1 » et « 2 ». La puissance pouvant être transmise avant qu’il y ai glissement en « I » dépend :

• De l’intensité de l’effort appliqué par le ressort. • Du facteur de frottement entre les roues « 1 » et « 2 ».

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TRANSMISSION DE PUISSANCE LES ENGRENAGES


Limites du système. La puissance transmise par ce système est très limitée. En effet pour augmenter la puissance transmissible il faudrait :

Augmenter le facteur de frottement entre « 1 » et « 2 » o Il dépend de la nature des matériaux de « 1 » et de « 2 ».

(Il est maxi lorsque « 1 » est en caoutchouc). o Il dépend aussi de l’état des surfaces (sèches ou lubrifiée)

Augmenter l’effort du ressort.

o Contact linéique rectiligne en « I » donc il y a risque de destruction des roues « 1 » et « 2 » si l’effort est trop important.

Cette solution est possible pour les faibles puissances : Exemple d’utilisation :

Transmission de puissance d’un ancien vélo SOLEX Entrainement du plateau d’un ancien Tourne disque.

2) La transmission de puissance par obstacle.

La transmission de puissance par adhérence n’est pas assez performante pour pouvoir être adopté en mécanique générale. Il solution au problème fus de tailler des obstacles (des dents) sur les roues « 1 » et « 2 ». La forme de ces obstacles doit interdire le glissement de « 1 » par rapport à « 2 », mais ne doit surtout pas empêcher le roulement Ainsi, ni l’adhérence, ni l’action d’un ressort ne sont mis à contribution pour assurer l’entrainement du mouvement. Toute la difficulté à été de définir la géométrie de ces dents. Cette géométrie devait assurer une transmission douce et régulière (homocinétique) du mouvement, sans bruit et sans usure.

1) Profile des dents en développante de cercle. Le profil idéale définit par les mathématiciens est appelé profil en développante de cercle. Ce profil est obtenu en traçant la trajectoire d’un point « A » appartenant à une droite que l’on fait rouler sans glisser sur un cercle de diamètre db, appelé diamètre de base de la roue.




Le profil des flancs et faces des dents suivent rigoureusement la géométrie de la développante.

Conclusion.

Le profil en développante de cercle est le plus utilisé, il est insensible aux variations d’entraxe et se laisse tailler à l’aide d’outils relativement simple, (fraise module).




2) Système cinématiquement équivalent à un engrenage cylindrique.

Un engrenage cylindrique peut être définit géométriquement par un système de transmission POULIES + COURROIE CROISEE.

Soit une poulie « 1 » de diamètre de base db1. (rayon de base rb1). Soit une poulie « 2 » de diamètre de base db2. (rayon de base rb2). Soit une courroie plate tangente en T1 avec la poulie « 1 » et en T2 avec la poulie « 2 ». Soitα , l’angle d’inclinaison du brin [T1, T2] de la courroie.

Soit « I », l’intersection du segment [T1, T2] avec la droite (O1, O2). On appel cercle primitif 1, le cercle de centre « O1 » et de rayon [O1, I]. On appel cercle primitif 2, le cercle de centre « O2 » et de rayon [O2, I].

Ces 2 cercles primitifs tangent en « I » sont les cercle primitif respectif du pignon « 1 » et de la roue dentée « 2 » de diamètre « d1 » et « d2 ». Soit « M » le point de tangence des deux développantes de cercle, nous pouvons constater que tout au long de l’engrènement, le point « M » se déplace sur la droite [T1, T2], appelée droite de pression ou ligne d’engrènement notéeΔ .




3) Géométrie générale d’un engrenage cylindrique.




Définition :

a) Le cercle de base.

Chaque denture possède un cercle de base. Ce cercle de diamètre « db » est fictif et non mesurable. Il est le point de départ théorique du profil en développante de cercle de chaque dent.

b) Ligne d’engrènement ou ligne de poussée Δ (T1, T2).

Elle est tangente aux deux cercles de base. Elle est le support permanent de l’effort de contact s’exerçant entre le pignon et la roue. Elle est toujours inclinée d’un angle α par rapport à la en « I » à la droite (O1, O2)

⊥

c) Angle de pressionα .

Autre caractéristique importante d’un engrenage, il définit l’inclinaison de la droite de pousséeΔ .

La valeur la plus utilisée est 20α = ° .

d) Le nombre de dent. Le nombre de dent est noté « Z ». C’est à dire « Z1 » pour l’élément « 1 » et « Z2 » pour l’élément « 2 ». Dans un engrenage nous appelons : • Pignon, l’élément comportant le plus petit nombre de dent. • Roue, l’élément comportant le plus grand nombre de dent.

e) Le module. Chaque denture possède son propre module. Le module permet de définir la taille des dents. Deux roues dentées de même module peuvent engrainer parfaitement quel que soit leur nombre de dent. Le module est notée « m », il est exprimé en mm, ses valeurs sont normalisées.

Valeurs normalisées du module (NF ISO 54...) Valeurs principales en mm Valeurs secondaires en mm

0,06 - 0,08 - 0,10 - 0,12 - 0,15 - 0,20 -0,25 - 0,30 - 0,40 - 0,50 - 0,75 - 1,00 - 1,25 -1,50 - 2 - 2,5 - 3 - 4 - 5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 16 - 20 - 25 - 32 - 40 - 50 - 60

0,07 - 0,09 - 0,11 - 0,14 - 0,18 - 0,22 - 0,28 - 0,35 - 0,45 - 0,55 - 0,7 - 0,9 - 1,125 - 1,.375 - 1,75 - 2,25 - 2,75 - 3,5 -4,5 - 5,5 - 7 - 9 - 11 - 14 - 18 - 22 - 28 - 36 - 45 - 55 -70




1 2

f) Cercles primitifs. Chaque pignon et chaque roue dentée possède un cercle (un cylindre) primitif. Lors de l’engrènement, ces deux cercles sont tangents. Leurs diamètres est noté « d1 » et « d2 ». Ils sont équivalents du point de vue cinématique au diamètre des deux roues de frictions vues précédemment. Ces diamètres primitifs sont donnés par les relations suivantes :

1 .d m Z= et 2 .d m Z=

4) Géométrie d’une dent d’un pignon cylindrique à denture droite.

A partir du cercle primitif, la dent est limitée à l’extérieur par le cercle de tête et à l’intérieur par le cercle de pied.

a) La hauteur de dent : Notée « h » avec h = 2,25.m.

b) La saillie : Notée « ha » avec ha = m.

c) Le creux : Notée « hf » avec ha = 1,25.m.




5) Le pas de la denture d’un pignon cylindrique à denture droite.

a) Le pas : noté « p ». Le pas de la denture définit la distance entre deux dents. Il est mesuré sur le diamètre primitif et il correspond à la longueur de l’arc situé entre deux profils de dents consécutif. « p » est donné par la relation : .p mπ=

b) La largeur de denture : notée « b ».

La largeur de denture correspond à la longueur de la dent. « b » est donné par la relation : .b k m= avec (7 12)k≤ ≤ .

c) Le diamètre de tête : notée « da ».

C’est le diamètre extérieur du pignon et de la roue avec 2.da d m= +Soit pour l’élément « 1 » 1 1 2.da d m= + Soit pour l’élément « 2 » 2 2 2.da d m= +

d) Le diamètre de pied : notée « df ». C’est le diamètre intérieur du pignon et de la roue mesuré entre les dents avec 2,5.df d m= −

Soit pour l’élément « 1 » 1 1 2,5.df d m= −

Soit pour l’élément « 2 » 2 2 2,5.df d m= −

e) L’entraxe : noté « a ». C’est la distance entre les deux axes de rotation de « 1 » et « 2 », c’est aussi la distance [O1, O2].

L’entraxe de l’engrenage est 1 2 ( 1 2

2 2d d m Z Za )+ +

= =




f) Le rapport de transmission : notée « i ».

C’est le rapport des fréquences de rotations de « 1 » par rapport à « 2 ».

Si 1ω est la fréquence de rotation de « 1 » en rd/s et N1 en trs/mn Si 2ω est la fréquence de rotation de « 2 » en rd/s et N2 en trs/mn

Le rapport de transmission est 2 2 11 1 2

N d ZiN d Z

12

ωω

= = = =

6) Résumé de la géométrie d’un engrenage cylindrique à denture droite.




7) Résumé des formules de calcul d’un engrenage cylindrique à denture droite.




8) Représentation d’un engrenage extérieur cylindrique à denture droite.

9) Représentation d’un engrenage intérieur cylindrique à denture droite.




10) Effort dans les dentures d’un engrenage extérieur cylindrique à denture

droite.

Le pignon « 1 » est supposée menant (moteur) et la roue « 2 » menée (réceptrice), « r1 » et « r2 » sont les rayons primitifs. En isolant le pignon « 1 », nous constatons que ce dernier est soumis à deux actions extérieures.

• L’action de l’arbre sur « 1 » modélisable en « O1 » par le torseur suivant :

{ }1

1

1

0( 1) ;

0 1O

O XT arbre OY

C0

⎧ ⎫⎪ ⎪→ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Avec « C1 » le couple moteur en N.m.

• L’action de la roue « 2 » sur le pignon « 1 » modélisable en « I » par le glisseur suivant.

{ }2 /1.cos 0

( 1) 2 /1.sin0 0

I

FT arbre F

αα ;0

⎧ ⎫⎪ ⎪→ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Avec F2/1 effort dans la denture porté par la ligne de pression inclinée de 20α = ° avec x .




Définitions :

a) L’effort tangentiel : noté « ». TFIl est obtenu en faisant la projection de F2/1 sur la tangente en « I » aux cercles primitifs.

D’où : 2 /1.cosTF F α=

Le couple « C1 » transmis par l’arbre est la l’origine de . TF

Avec : ( : rayon primitif du pignon). 1 .TC F r= 1 1r

b) L’effort radial: noté « ». RFIl est obtenu en faisant la projection de F2/1 sur (O1, O2).

D’où : 2 /1.sinRF F α=

RF Il ne participe pas à la transmission de la puissance, son action a tendance à provoquer un fléchissement des arbres.

11) Avantages et inconvénients d’un engrenage cylindrique à denture droite.

1. Avantages • Les dentures droites sont relativement faciles à réaliser avec des

machines traditionnelles (Fraise module). Des pignons standards sont vendus dans le commerce à des prix très attractifs.

• Son rendement est le meilleur parmi tous les types d’engrenage.

Il est d’environ 98% à 99,8% selon les diamètres, la lubrification et la qualité d’usinage des dents (taillage ou rectification). C’est pourquoi il est utilisé dans toutes les boites de vitesse de véhicules de course ou de compétition (voitures, moto etc…).

2. Inconvénients. • Son fonctionnement est bruyant, c’est pourquoi il n’est utilisé que pour

la marche arrière des boites de vitesses de voitures particulières. • Des problèmes d’engrènement dû au phénomène d’interférence

apparaissent pour un nombre dent Z<13dents.




IV) LES ENGRENAGES CYLINDRIQUES A DENTURE HELICOIDALE.

Denture hélicoïdale avec hélice à

DROITE

Denture hélicoïdale avec hélice à GAUCHE

1. Définition :

Un pignon cylindrique à denture hélicoïdale est géométriquement équivalent à un pignon cylindrique à denture droite auquel nous aurions fait subir les transformations suivantes :

• Dans un premier temps nous l’aurions découpé en tranches d’épaisseur infiniment petites.

• Dans un deuxième temps nous aurions recollé chacune de ces tranches

après les avoir décalé angulairement les unes par rapport à l’autre.




2. Fonctions de services :

Ce sont les mêmes que pour les engrenages cylindriques à denture droite, c'est-à-dire :

• Transmettre un mouvement de rotation entre des arbres à axes parallèles avec inversion du sens de rotation et avec 1Ω = ou de . ≠ 2ΩIl est toutefois possible de les utiliser pour transmettre un mouvement de rotation entre des arbres dont les axes sont contenus dans deux plans parallèles.

• Transformer un mouvement de rotation en un mouvement de translation rectiligne (pignon crémaillère à denture hélicoïdale).

3. Particularités géométriques de la denture hélicoïdale.

Les dents sont inclinées par rapport à l’axe du cylindre dans lequel elles sont taillées. L’angle d’inclinaison est appelé angle d’hélice, il est notéβ . Les valeurs usuelles se situent entre 15° et 30°. De grandes valeurs de β permettent d’augmenter le nombre de dent en prises et ainsi d’augmenter la douceur de fonctionnement et diminuer le bruit. Pour qu’il puisse y avoir engrènement, il faut inverser l’inclinaison des dents sur la roue par rapport à celle du pignon. Une denture avec une hélice à droite ne peut engrainer qu’avec une denture avec une hélice à gauche. Nous définirons la géométrie de cette denture en nous appuyant sur celle de la crémaillère pouvant lui être associée (pouvant engréner avec la denture du pignon).




Définitions.

La figure de la page précédente fait apparaître des dimensions différentes de la denture selon qu’on l’examine suivant la coupe A-A ou suivant la coupe B-B

4. Les dimensions réelles : Elles sont mesurées dans le plan A-A perpendiculaire à la denture. Elles portent l’indice « n »

a) Angle de pression réel noté« nα ».

Il est définit par l’outil qui va tailler la denture, il définit aussi l’inclinaison de la droite de poussée . ΔLa valeur la plus utilisée est la même que pour les dentures droite

20nα = °

b) Le module réel noté« mn ». Il défini la taille des dents, c’est le module réel dont la valeur est normalisée. Il est définit aussi par l’outil qui va tailler la denture.

c) Le pas réel noté « pn ». Il définit la distance entre deux profils de dents consécutifs mesuré dans le plan ⊥ à la denture. « pn » est donné par la relation : .pn mnπ=

5. Les dimensions apparentes : Elles sont mesurées dans le plan B-B perpendiculaire à l’axe du cylindre dans lequel est taillée la denture. Elles portent l’indice « t ».

a) Angle de pression apparent noté« tα ». Mesuré dans le plan B-B, sa valeur dépend de l’ange de pression réel nα et de l’angle d’hélice β

tantancos

nt ααβ

=

b) Le module réel apparent « mt ». Il dépend de l’ange de pression réel nα et de l’angle d’hélice β

cosmnmtβ

=

c) Le pas apparent noté « pt ». Il définit la distance entre deux profils de dents consécutifs mesuré dans le plan ⊥ à l’axe du cylindre dans lequel est taillée la denture.

.cos

pnpt mπβ

= = t




6. La géométrie de l’engrenage.

a. Le diamètre primitif noté « d » Il dépend du nombre de dent mais aussi du module réel, lui-même dépendant de l’angle d’hélice β

1 .d mt Z= 1 2 et 2 .d mt Z= avec cosmnmtβ

=

b. L’entraxe noté « a »

Il correspond à la distance entre les deux axes de rotations. A la différence des engrenages à denture droite, pour un même nombre dent « Z1 » et « Z2 », l’entraxe varie en fonction de l’angle d’hélice β . Cette particularité est très intéressante pour réaliser des trains d’engrenages ayant des entraxes communs.

1 2 ( 1 2) ( 1 2)2 2 2cos

d d mt Z Z mn Z Zaβ

+ + += = =

c. La largeur de denture notée « b »

Pour des raisons de continuité et de progressivité de l’engrènement, la largeur « b » doit être supérieur au pas axial « px » (voir figure page 20).

1, 2 xb p≥

Pour les autres caractéristiques dimensionnelles, hauteur de dent « h », saillie « ha », creux « hf » diamètre de tête « ha », diamètre de pied « hf ». voir le tableau suivant.




7. Efforts dans la denture.




L’effort résultant « F » appliqué sur la dent étant porté par la normale au contact en « a » Cette normale ayant pour support par la droite de pression .

Si nous faisons la projection de la force « F » dans les trois directions principales du pignon, nous pouvons définir :

L’effort tangentiel : « » donné par la relation :TF .cos .cosTF F nα β=

Le couple « C » transmis par l’arbre est la l’origine de . TF → TCFr

=

L’effort radial : « » donné par la relation :RF .cos .sinRF F nα β= A tendance à éloigner le pignon de la roue (par flexion des arbres).

L’effort axial : « » donné par la relation :AF .sinAF F nα= L’apparition de cet effort axial est un des plus gros défauts de ce type de denture. Effet il faudra prévoir une solution technologique réalisant le guidage en rotation qui puisse supporter et encaisser ces efforts (qui n’existent pas pour les dentures droites).




V) LES ENGRENAGES CONIQUES A DENTURES DROITES.

1. FONCTION DE SERVICE :

Transmettre un mouvement de rotation entre 2 arbres « 1 » et « 2 » concourants avec = ou de . 1Ω ≠ 2Ω

Le point d’intersection des deux arbres peut être noté « S », s’est aussi le sommet des « Cône primitif du pignon et de la roue »




2. PARTICULARITES GEOMETRIQUES DES ENGRENAGES CONIQUES.

Pour commencer une étude il faut connaître :

• L’angle situé entre les deux arbres « 1 » et « 2 » souvent noté Σ• Le rapport de transmission 2 1

1 2ZZ

ωω

=

Un pignon conique « 1 » est définit :

• Par son nombre de dent « Z1»

• Par son cône primitif dont le demi angle au sommet noté « 1δ » est appelé angle primitif.

• Par son diamètre primitif noté « d1 » avec d1 = m.Z1 d1 est le diamètre du cercle situé à la base du cône primitif. Sur la figure ci-dessus « d1 » correspond à la distance [N, M]




a) Angle primitifs des cônes primitifs.

Trois cas de figure se présentent pour déterminer les angles primitifs 1δ et 2δ Premier cas : Les deux arbres sont perpendiculaires → 1 2 90δ δΣ = + = °

Alors les angles primitifs sont donnés par les relations suivantes : et

Second cas : Les deux arbres forment un angle aigu → 1 2 90δ δΣ = + < °

Alors les angles primitifs sont donnés par les relations suivantes : Et

Troisième cas : Les deux arbres forment un angle obtus → 1 2 90δ δΣ = + > °

Alors les angles primitifs sont donnés par les relations suivantes : Et Dans tous les cas, les deux cônes primitifs sont tangents suivant leur génératrice primitive commune (segment S, N de la figure page précédente) de longueur « L ». Avec

1tan 12

ZZ

δ = 2tan 21

ZZ

δ =

sintan 2 1 cos2

ZZ

δ Σ=

+ Σ sintan 1 2 cos

1ZZ

δ Σ=

+ Σ

sin (180 )tan 1 2 cos (180 )1

ZZ

δ −Σ=

− −Σ sin (180 )tan 2 1 cos (180 )

2ZZ

δ −Σ=

− −Σ

1 22sin 1 2sin 2

d dLδ δ

= =




b) Angles des cônes complémentaires extérieurs.

Chaque pignon possède un cône complémentaire extérieur destiné à limité la matière de ce dernier.

• Le sommet de ce cône est noté « S’1 » (pour le pignon « 1 ») • Son axe est confondu avec celui du cône primitif. • Le cône primitif et le cône complémentaire se coupent suivant le cercle

primitif • Le demi angle au sommet du cône complémentaire est noté « 1φ » ou

« 2φ » 1φ et 2φ sont donnés par les relations suivantes :

1 2φ δ= Et

2 1φ δ=

1 90 1φ δ= − Et

2 90 2φ δ= −

• Pour 1 2 90δ δΣ = + = ° →

• Pour 1 2 90δ δΣ = + ≠ ° →

3. PARTICULARITES GEOMETRIQUES DES PIGNONS CONIQUES.




Les caractéristiques géométriques sont résumées dans le tableau suivant.

4. EFFORTS DANS LES DENTURES. Les efforts dans les dentures apparaissent au contact des dents sous trois composantes perpendiculaires les unes aux autres.

• L’effort axial « FA » : parallèle à l’axe de l’arbre, il devra être transmis au carter par l’intermédiaire d’un roulement à rouleaux conique le plus souvent.

• L’effort tangentiel « FT » : Tangent au cône primitif et ⊥ à l’axe, « FT » est le seul effort

qui participe à la transmission de puissance.

• L’effort radial « FR » : Perpendiculaire aux deux autres, cet effort peut engendrer une flexion de l’arbre si ce dernier est sous dimensionné.




5. REPRESENTATION NORMALISE (figure ci-dessous).

Sous forme de schéma cinématique.

Sous forme de dessin industriel.

6. CONDITIONS DE MONTAGE.

Sommet S1

Sommet S2

Réglage position axiale

Réglage position axiale

Afin que le contact entre le pignon et la roue s’effectue sur toute la largeur « B » de la denture, il est IMPERATIF que le sommet « S1 » du cône du pignon « 1 » soit confondu avec le sommet « S2 » du cône de la roue. Il faut donc prévoir un dispositif de réglage de la position axiale de l’arbre « 1 » et un autre pour l’arbre « 2 ». Le réglage est réalisé par empilage de rondelles pelables entre le roulement et l’épaulement de l’arbre par exemple. Toute la difficulté consiste à les faire coïncider 2 point S1 » et « S2 » immatériels dans la pratique.

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