e c o and 4e é r scolaires s r p a e i l l e u rles

Re

commandé

par les meilleur

sétablissements

scolaires

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

*Jeu

gra

tuit s

ans o

blig

atio

n d’

acha

t. Rég

lem

ent e

t con

ditio

ns d

e pa

rticip

atio

n su

r www

.cou

rs-le

gend

re.fr

de

Cours • Méthode • Exercices • Corrigés

Grand jeu concours

300 BDà gagner !*

Quatrième

mon annéeMathématiques

4e

Maths

rédigé par des professeursde l’Éducation Nationale

Reprod

uctio

n inte

rdite

1

© Copyright Cours Legendre – Tous droits réservés

Ce cours a été rédigé par :

Laurie Obadia et Catherine Joannard

Professeurs de mathématiques

Reprod

uctio

n inte

rdite

2


Le cours de révision est composé de trois dossiers.

1. Un bilan-test de début de cours qui permet de repérer les éventuelles difficultés et de mieux orienter ses révisions. Il ne faut pas l’adresser à la correction car vous les trouverez ainsi que les conseils du professeur juste après.

2. Le cours. 4 séries de travail avec des leçons et des exercices d’application. Ceux-ci

sont autocorrectifs et servent d’entraînement aux devoirs. Il ne faut pas les adresser à la correction.

3. Corrigé des exercices. Ce sont les corrigés des exercices du cours.

Nous vous conseillons d’étudier une série de travail par semaine en faisant tous les exercices d’application. Durée théorique du cours : 4 ou 5 semaines.

Bon travail !

COMMENT ETUDIER SON COURS ?

COURS DE REVISION

Reprod

uctio

n inte

rdite

3

BILAN TEST

Questions : Réponses :


1) La vitesse moyenne d'un motocycle ayant parcouru 16 km en 12 min à l’aller et 16 km en 18 min au retour, est de :

a. 80 km/h b. 64 km/h c. 133 km/h

a b c

2) Lorsqu'un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires, on est sûr que c'est :

a. un rectangle b. un losange c. un carré

a b c

3) L'expression (-3) × (-6) + 5 × (-5) - [14,3 - (5 - 9,2) + (-7 + 0,3)] est égale à :

a. - 18,8 b. - 10,4 c. - 18,2

a b c

4) Dans le triangle ABC : si M est le milieu de [AB] et O le milieu de [BC], alors :

a. (MO) // (BC) et BC = 2 MO b. (MO) // (AC) et AC = 2 MO c. (MO) // (AC) et MO = 2 AC

a b c

5) Ranger les fractions dans l'ordre croissant :

79 ,

56 et

23 :

a. 23 <

56 <

79 b.

23 <

97 <

56 c.

56 <

23 <

79

a b c

6) Pour la figure ci-contre la propriété des "trois rapports égaux" aussi appelé théorème de Thalès, permet d'écrire que :

a. XAXB =

BZXB =

ABYZ

b. XAAY =

XBBZ =

ABYZ (AB) // (YZ)

c. XYXA =

XZXB =

ABYZ

a b

c

7) L'expression 115 –

325 x

52 est égale à :

a. 730 b.

–215 c.

–730

a b c

8) Le centre du cercle circonscrit à un triangle quelconque est le point d'intersection :

a. des hauteurs b. des médiatrices c. des médianes

a b c

9) 5

32

est égale à :

a. 25 x 3-5 b. 25

3-5 c. 25

3

a b c

10) Si les côtés d'un triangle rectangle mesurent 3, 4 et 5, alors la médiane relative à l'hypoténuse mesure :

a. 5 b. 3,5 c. 2,5

a b c

Score

Reprod

uctio

n inte

rdite

4

BILAN TEST

Questions : Réponses :


11) 37 x 10-3 est égale à :

a. – 37 000 b. 370 c. 0,037

a b c

12) La diagonale d'un rectangle de côtés 10 et 16 mesure à 0,001 près : a. 26,000 b. 17,099 c. 18,868

a b c

13) 3 (x – 4) – 2 (2x – 5) = a. -x – 2 b. 7x c. –x - 22

a b c

14) Dans le triangle AMN : AM = 4 cm, AN = 5 cm et MN = 6 cm. La distance d du point A à la droite (MN) vérifie :

a. d > 5 b. 4 < d < 5 c. d < 4

a b c

15) L'arrondi au centième de 2π est : a. 6,2 b. 6,29 c. 6,28

a b c

16) AC =

a. cos65°

2

b. 2

cos65°

c. 2 x cos 65°

a b c

17) La solution de l'équation 2x + 7 = 5 – 4x est :

a. – 6 b. –13 c. 2

a b c

18) Kévin a 18 ans et son père a 46 ans. Dans combien d’années le père de Kévin aura-t-il le double de son âge ? a. 10 b. 12 c. 7

a b c

19) Dans une série statistique, le dernier effectif cumulé est : a. l'effectif total b. la moyenne c. ça dépend

a b c

20) Les faces latérales de n'importe quelle pyramide régulière sont des triangles :

a. isocèles b. équilatéraux c. rectangles

a b c

65° C

B A 2

Score

Reprod

uctio

n inte

rdite

5

BILAN TEST - CORRIGÉ


QUESTIONS

REPONSES

1 b Le motocycle parcourt 32 km en 30 min donc en 1 heure il parcourt : 60 × 32

30 = 2 x 32 = 64 km

1ère leçon / série 1 2 a Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires

est un rectangle 2ème leçon / série 1

3 a (-3) × (-6) + 5 × (-5) - [14,3 - (5 - 9,2) + (-7 + 0,3)] = 18 - 25 - [14,3 - (5 - 9,2) + (-7 + 0,3)] = - 7 - [14,3 - (-4,2) + (-6,7)] = - 7 - (14,3 + 4,2 - 6,7) = - 7 - 11,8 = - 18,8

3ème leçon / série 1 4 b Dans le triangle ABC, la droite

joignant les milieux des côtés [AB] et [BC] est parallèle au troisième côté [AC] et AC = 2 x MO

4ème leçon / série 1 5 b

79 =

7x29x2 =

1418

56 =

5x36x3 =

1518

23 =

2x63x6 =

1218

1218 <

1418 <

1518 donc :

23 < 79 <

56

1ère leçon / série 2 6 c Dans le triangle XYZ, A ∈ [XY], B ∈ [XZ] et (AB) // (YZ)

d'après la propriété de Thalès (ou propriété des trois rapports égaux), on a :

XAXY = XB

XZ = ABYZ

2ème leçon / série 2 7 c

115 –

325 x

52 =

115 –

3x55x5x2 =

115 –

310 =

1x215x2 –

3x310x3

= 230 –

930 =

-730

3ème leçon / série 2 8 b Le point d'intersection des médiatrices des côtés d'un triangle

est le centre du cercle circonscrit au triangle. 4ème leçon / série 2

32 km 30 min 64 km 60 min

Reprod

uctio

n inte

rdite

6



A B

D C

16

10

QUESTIONS

REPONSES

9 a 2

35 = 2

5

35 = 25 x 3-5

1ère leçon / série 3 10 c L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le plus long côté donc

5 est la mesure de l'hypoténuse. La médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse donc 2,5.

2ème leçon / série 3 11 c 37 x 10-3 = 0,037

3ème leçon / série 3 12 c Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABD

rectangle en A : BD² = AB² + AD² = 16² + 10² = 256 + 100 = 356 BD = 356 ≈ 18,868

4ème leçon / série 3 13 a 3 (x – 4) – 2 (2x – 5) = 3 x x – 3 x 4 – [2 x 2x – 2x 5]

= 3x – 12 – [4x – 10] = 3x – 12 – 4x + 10 = -x – 2

1ère leçon / série 4 14 c Construction au compas.

d < 4

2ème leçon / série 4 15 c 2 x π ≈ 6,28318… L'arrondi au centième de 2π est 6,28

3ème leçon / série 4 16 b Dans le triangle ABC rectangle en B :

cos 65° = ehypothénusadjacent côté

= CBCA

cos 65° = 2

CA cos 65° x CA = 2 CA = 2

cos65°

4ème leçon / série 4

Reprod

uctio

n inte

rdite

7



QUESTIONS

REPONSES

17 b 2x + 7 = 5 – 4x 2x + 4x = 5 – 7 6x = - 2

x = -26 d'où x =

-13

1ère leçon / série 5 18 a Soit x le nombre d’années cherché. On obtient l’équation

suivante : 46 + x = 2 (18 + x) 46 + x = 36 + 2x 46 – 36 = 2x – x 10 = x.

2ème leçon / série 5 19 a Dans une série statistique le dernier effectif cumulé est l'effectif

total. 3ème leçon / série 5

20 a Les faces latérales de n'importe quelle pyramide régulière sont des triangles isocèles.

4ème leçon / série 5

Si ton score final est supérieur à 17/20 c'est un bon début. Ne relâche pas tes efforts. Tu peux commencer sereinement l'étude de ton cours.

S'il est compris entre 12 et 17, tu as de bonnes connaissances mais

certaines notions doivent être révisées. Si ton score est inférieur à 12/20, je te conseille de bien revoir les

leçons et les exercices dans lesquels tu as fait des erreurs. Si tu as fait des erreurs dans les questions 1 à 5, tu dois revoir les leçons

de la série 1. Si tu as fait des erreurs dans les questions 16 à 20, tu dois revoir les

leçons de la série 5.

_____________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

8


Reprod

uctio

n inte

rdite

9


SOMMAIRE

Première leçon Grandeurs et mesures : La proportionnalité Deuxième leçon Espace et géométrie : Les quadrilatères Troisième leçon Nombres et calculs : Les nombres relatifs Quatrième leçon Espace et géométrie : Triangles et droites parallèles

Première leçon Nombres et calculs : Les fractions

Deuxième leçon Espace et géométrie : Théorème de Thalès

Troisième leçon Nombres et calculs : Les fractions (suite)

Quatrième leçon Espace et géométrie : Droites remarquables dans un triangle

Cinquième leçon Organisation et gestion des donnée : Statistiques et probabilités

Première leçon Nombres et calculs : Les puissances

Deuxième leçon Espace et géométrie : Propriétés du triangle rectangle

Troisième leçon Nombres et calculs : Les puissances de dix

Quatrième leçon Espace et géométrie : Le théorème de Pythagore

Cinquième leçon Fonctions : Equations et problèmes

Première leçon Nombres et calculs : Calcul littéral

Deuxième leçon Espace et géométrie : Distance – Tangente à un cercle

Troisième leçon Nombres et calculs : Comparaison de nombres

Quatrième leçon Espace et géométrie : Cosinus d'un angle aigu

Cinquième leçon Espace et géométrie : Pyramide et cône de révolution

Sixième leçon Algorithmique et programmation : Instructions de contrôle

1ère SÉRIE

2ème SÉRIE

3ème SÉRIE

4ème SÉRIE

Reprod

uctio

n inte

rdite

10


Reprod

uctio

n inte

rdite

11


Vérifie tes connaissances !

Notre collection mon année DEVOIRS AVEC CORRECTION te propose 6 devoirs* en phase avec ton cahier de révision.

Ces devoirs, à nous renvoyer pour être corrigés par nos professeurs de

l’Education Nationale, sont un complément essentiel pour t’assurer de la bonne compréhension du cours.

Disponibles dans toutes nos matières, ils sont à commander sur notre site

www.cours-legendre.fr sur notre boutique en ligne, rubrique « Devoirs avec correction ».

*4 pour les cahiers de CM2 Anglais et CM2 Allemand

Reprod

uctio

n inte

rdite

12


SOMMAIRE

Première leçon : Grandeurs et mesures : La proportionnalité

Deuxième leçon : Espace et géométrie : Les quadrilatères

Troisième leçon : Nombres et calculs : Les nombres relatifs

Quatrième leçon : Espace et géométrie : Triangles et droites parallèles

1ère SÉRIE

Reprod

uctio

n inte

rdite

13


1ère Série

1ère leçon

GRANDEURS ET MESURES LA PROPORTIONNALITÉ

I. PROPORTIONNALITÉ ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

1. Grandeurs proportionnelles

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre constant.

Exemple : Un kilogramme de pommes coûte 1,30 €. Le prix payé est proportionnel à la quantité de pommes achetées.

Poids (en kg) 0 1 2 3 6 Prix (en €) 0 1,30 2,60 3,90 7,80

Les deux grandeurs (prix et poids) sont proportionnelles. 1,30 est le coefficient de proportionnalité.

Contre-exemple : À 7 ans Marie mesure 1,26 m et à 14 ans, elle mesure 1,68 m.

7 x 0,18 = 1,26 or 14 x 0,18 = 2,52 et non pas 1,68. Les deux grandeurs (taille et âge) ne sont pas proportionnelles.

2. Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une relation de proportionnalité sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère. Exemple : Reprenons l'exemple précédent.

Les points O (0 ; 0), A (1 ; 1,3), B (2 ; 2,6), C (3 ; 3,9) et D (6 ; 7,8) sont alignés et la droite passe par l'origine du repère.

Age (ans) 7 14 Taille (en m) 1,26 1,68

× 1,30

Reprod

uctio

n inte

rdite

14


1ère Série

1ère leçon

II. QUATRIEME PROPORTIONNELLE ET PRODUITS EN CROIX EGAUX Soit a, b, c et d quatre nombres relatifs non nuls. Propriété : Dans un tableau de proportionnalité, il y a égalité des produits en croix. En effet, si est un tableau de proportionnalité, alors a x d = b x c. Propriété réciproque : Si tous les produits en croix d’un tableau sont égaux, alors il s’agit d’un tableau de proportionnalité.

En effet, si a x d = b x c, alors ba =

dc et donc est un tableau de proportionnalité.

Exemple : Calcul de la quatrième proportionnelle x. Le nombre x du tableau de proportionnalité ci-dessus est tel que : 5 x x = 7,5 x 13,4.

Donc x = 7,5 x 13,45 = 20,1.

III. MOUVEMENT UNIFORME

1. Définition Lorsque la distance, d parcourue par un mobile, est proportionnelle à la durée du parcours t, on dit que ce mobile a un mouvement uniforme. Le coefficient de proportionnalité v est la vitesse constante de ce mobile, c'est la distance parcourue par unité de temps.

On a : v = dt d = v x t t = dv

Remarque : Cette vitesse constante s'exprime généralement en kilomètre par heure (km/h

ou km.h-1) ou en mètre par seconde (m/s ou m.s-1 )

Exemple : une voiture roule à une vitesse constante de 90 km/h

Durée du parcours t (en h) 1 1,5 2 Distance parcourue d (en km) 90 135 180

a c

b d

a c

b d

5 13,4

7,5 x

× v = 90

Reprod

uctio

n inte

rdite

15


1ère Série

1ère leçon

Le mouvement uniforme de ce véhicule est représenté par le graphique ci-dessous :

v = 90 km/h Sur un parcourt de 15 km, la vitesse moyenne d’un marcheur est de 6 km/h à l’aller et de 5 km/h au retour. Calculer sa vitesse moyenne V sur le trajet aller-retour.

• On commence par calculer la distance totale : d = d1 + d2 = 15 + 15 = 30 km où d1 est la distance parcourue à l’aller et d2 celle parcourue au retour.

d1 = v1 × t1 donc t1 = d1

v1 = 15

6 = 2,5 h

d2 = v2 × t2 donc t2 = d2

v2 = 15

5 = 3 h

t = t1 + t2 = 2,5 + 3 = 5,5 h

d’où : V = dt = 30

5,5 ≈ 5,45 km/h.

On n’a pas « vitesse moyenne = moyenne des vitesses », c’est-à-dire V ≠ v1 + v2

2 .

En effet, le trajet retour étant ici plus que celui aller, il marche plus longtemps à 5 km/h qu’à 6 km/h. Sa vitesse moyenne est donc plus proche de 5 km/h que de 6 km/h.

IV. POURCENTAGE

1. Utiliser ou déterminer un pourcentage Exemple : 30 filles et 28 garçons de 2 classes de 4ème ont effectué un devoir commun. 60 % des filles et 50% des garçons ont obtenu la moyenne. Calculer le pourcentage d’élèves qui ont obtenu la moyenne dans l’ensemble de ces 2 classes.

1. On calcule le nombre de filles qui ont obtenu la moyenne : 60100 × 30 = 18 filles.

2. On calcule le nombre de garçons qui ont obtenu la moyenne : 50100 × 28 = 14 garçons.

3. On calcule le nombre total d’élèves dans les 2 classes : 30 + 28 = 58 élèves.

Reprod

uctio

n inte

rdite

16


1ère Série

1ère leçon

On calcule le nombre d’élèves ayant eu la moyenne : 18 + 14 = 32 élèves. On obtient donc le tableau de proportionnalité suivant : Nombre d’élèves qui ont eu la moyenne 32 x ? Nombre total d’élèves 58 100 L’égalité des produits en croix donne : 58 × x = 32 × 100.

Donc x = 32 × 10058

x ≈ 55,17. Donc environ 55,17 % des élèves des 2 classes ont obtenu la moyenne.

2. Appliquer un pourcentage Un pourcentage est une situation de proportionnalité.

Appliquer x % à un nombre c'est le multiplier par x

100

Exemple 1 : 24 % de 38,11 € vaut 38,11 x 24100 = 9,14 €

Augmenter un nombre de x % c'est le multiplier par 1 + x

100

Exemple 2 : Un article coûte 25 €, son prix augmente de 5 %.

Le nouveau prix est :

25 x (1 + 5100) = 25 x 1,05 = 26,25 €

ou

25 + 25 x 5100 = 25 + 1,25 = 26,25 €

Diminuer un nombre de x % c'est le multiplier par 1 – x

100

Exemple 3 : Un article coûte 30,49 €, son prix diminue de 15%.

Le nouveau prix est :

30,49 x (1 – 15100) = 30,49 x 0,85 = 25,91

ou

30,49 – 30,49 x 15100 = 30,49 – 4,57 = 25,91 €

Reprod

uctio

n inte

rdite

17


1ère Série

1ère leçon

Exercice 1 ______________________________________________________________

1. Complétez le tableau de change (en arrondissant les valeurs au centième) : valeur en € 111,59 223,19 152,45 valeur en $ 120 540 1 000

2. Quelle est la valeur (en €) de un dollar ?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Exercice 2 ______________________________________________________________

Les sons se propagent à la vitesse de 340 m/s. A quelle distance de l'orage se trouve-t-on lorsqu'on entend le tonnerre 7 secondes après avoir vu l'éclair ? ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Exercice 3 ______________________________________________________________

Convertissez en km/h.

1. 7 200 km/jour 2. 12 m/s

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

18


1ère Série

1ère leçon

Exercice 4 ______________________________________________________________

Dans une classe de 30 élèves, 3 élèves sont nés en 1994, 18 en 1995 et 9 en 1996. Quels sont les pourcentages de chaque catégorie d'âge ?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Exercice 5 ______________________________________________________________

Pour faire un gâteau, je dois faire fondre une tablette de 100 g de chocolat dont la teneur en cacao est de 70% avec une tablette de 200 g dont la teneur en cacao est de 85 %.

1. Calculez la masse de cacao contenue dans le mélange ainsi constitué. 2. Quel est le pourcentage de cacao dans ce mélange ?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

19


1ère Série

1ère leçon

Exercice 6 ______________________________________________________________

Le prix d'une calculatrice qui coûtait 27 € en 2005 a augmenté de 3% en 2006, puis de 4% en 2007.

1. Calculez les prix de cette calculatrice en 2006 puis en 2007. ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2. Vérifiez que le pourcentage de l'augmentation globale sur 2006 et 2007 est

supérieur à 7%. ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

20


1ère Série

2ème leçon

A B

CD

A B

CD

A B

CD

O

A B

CD

ESPACE ET GEOMETRIE LES QUADRILATÈRES (rappel de 5ème)

I. Le parallélogramme

1. Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Je sais que : ABCD est un parallélogramme. Je montre que : (AB)//(CD) (AD)//(BC)

2. Propriétés

a. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Réciproquement si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Je sais que : ABCD est un parallélogramme. Je montre que : Ses diagonales [AC] et [BD] ont même milieu O. Le point O est le centre de symétrie de ABCD.

b. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses cotés opposés ont même longueur. Réciproquement, si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Je sais que : ABCD est un parallélogramme. Je montre que : AB = DC AD = BC

c. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Je sais que : (AB)//(CD) et AB = CD. Je montre que : ABCD est un parallélogramme.

Reprod

uctio

n inte

rdite

21


1ère Série

2ème leçon

A B

CD

A B

D C

A B

D C

d. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont même mesure. Les angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires.

Je sais que : ABCD est un parallélogramme. Je montre que : A)

= C)

et B)

= D)

A)

+ B)

= 180 ° B)

+ C)

= 180 ° C)

+ D)

= 180 ° D)

+ A)

= 180 °

II. Le rectangle

1. Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Je sais que : ABCD est un rectangle. Je montre que : (AB) ⊥ (BC) (BC) ⊥ (CD) (CD) ⊥ (DA) (DA) ⊥ (AB)

2. Propriétés

a. Propriété des côtés

Si un parallélogramme est un rectangle, alors il a un angle droit. Réciproquement, si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle. Conséquence : le rectangle a les mêmes propriétés que le parallélogramme.

b. Propriétés des diagonales

Si un parallélogramme est un rectangle, alors il a ses diagonales de même longueur. Réciproquement, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle.

Je sais que : ABCD est un rectangle, Je montre que : AC = BD

Reprod

uctio

n inte

rdite

22


1ère Série

2ème leçon

A

B

D

C

c. Axes et centre de symétrie

Un rectangle a : - un centre de symétrie : le point d'intersection des diagonales ; - deux axes de symétrie perpendiculaires : les médiatrices des côtés.

Je sais que : ABCD est un rectangle. Je montre que : d1 et d2 sont des axes de symétrie de ABCD et O est le centre de symétrie de ABCD.

III. Le losange

1. Définition

Un losange est un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur.

Je sais que : ABCD est un losange. Je montre que : AB = BC = CD = DA

2. Propriétés

a. Propriétés des côtés

Si un parallélogramme est un losange, alors il a deux côtés consécutifs de même longueur. Réciproquement, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors ce parallélogramme est un losange. Conséquence : Le losange a les mêmes propriétés que le parallélogramme.

A B

D C

O

d1

d2

d1

d2

Reprod

uctio

n inte

rdite

23


1ère Série

2ème leçon

A C

D

B

B

C

D

A

B

C

D

AO

b. Propriété des diagonales

Si un parallélogramme est un losange, alors il a ses diagonales perpendiculaires. Réciproquement, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors ce parallélogramme est un losange.

Je sais que : ABCD est un losange. Je montre que : (AC) ⊥ (BD)

c. Axes et centre de symétrie

Le losange a : - un centre de symétrie : le point d'intersection de diagonales ; - deux axes de symétrie perpendiculaires : les diagonales.

IV. Le carré

1. Définition Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

Je sais que : ABCD est un carré. Je montre que : (AB) ⊥ (BC) (BC) ⊥ (CD) (CD) ⊥ (DA) (DA) ⊥ (AB) et AB = BC = CD = DA.

2. Propriétés Un carré est à la fois un rectangle et un losange donc le carré possède toutes les propriétés du rectangle et du losange.

Je sais que : ABCD est un carré. Je montre que : (AB) // (DC) et (AD) // (BC) AB = BC = CD = DA (AB) ⊥ (BC) (BC) ⊥ (CD) (CD) ⊥ (DA) (DA) ⊥ (AB) [AC] et [BD] ont même milieu AC = BD

Le point d'intersection des diagonales est centre de symétrie. Le carré a 4 axes de symétrie : les diagonales et les médiatrices.

Reprod

uctio

n inte

rdite

24


1ère Série

2ème leçon

Conseil pour les exercices de géométrie Vous devez à chaque exercice :

- Faire une figure codée à main levée. - Relever toutes les données de l’énoncé et procéder pas à pas en vous

demandant quelle est la propriété que vous devez utiliser pour répondre à la question.

Exercice 7 ______________________________________________________________

Soit ACB un triangle, I le milieu de [BC] et A' le symétrique de A par rapport à I. Quelle est la nature du quadrilatère ACA'B ? Démontrez-le.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Exercice 8 ______________________________________________________________

KLMN est un losange. Démontrez que la droite (KM) est la médiatrice du segment [LN].

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

25


1ère Série

2ème leçon

Exercice 9 ______________________________________________________________

Construisez un cercle de centre O et tracez deux diamètres [EF] et [HG]. 1. Montrez que EGFH est un rectangle. 2. Pour que EGFH soit un carré, comment faut-il tracer les diamètres [EF] et [HG] ?

Justifiez.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

26


1ère Série

3ème leçon

NOMBRES ET CALCULS : LES NOMBRES RELATIFS

I. Rappels

1. Définition

Un nombre relatif est déterminé par : - son signe (+ ou -), - sa partie numérique ou sa « distance à zéro ».

2.Addition

Lorsque l’on doit additionner deux nombres relatifs, on regarde s’ils sont de même signe ou non. 1er cas : Les deux nombres sont de même signe. Règle : On additionne leur distance à zéro et on met au résultat le signe commun aux deux

nombres. Exemple : -7 + (-3) = -10 La distance à zéro de -7 est 7.

La distance à zéro de -3 est 3. On additionne 7 et 3. Le résultat est 10. Puis on met le signe « - ».

2ème cas : Les deux nombres sont de signes contraires. Règle : On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande distance à zéro et on met au

résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. Exemple : -7 + (+ 6) = -1 La distance à zéro de -7 est 7. La distance à zéro de +6 est 6. 7 est la plus grande distance à zéro. On soustrait 6 à 7. Le résultat est 1. On met ensuite au résultat le signe « - » du « -7 ».

3. Soustraction

Règle : Pour soustraire un nombre, on additionne son opposé. On transforme donc les soustractions en additions et on se ramène aux règles du 2. Exemple : -7 – (- 6) = -7 + (+6) = -1.

ATTENTION ! IL FAUT UNIQUEMENT CHANGER LE SIGNE DU NOMBRE QUI EST À DROITE DU SIGNE « - », PAS CELUI DU NOMBRE QUI EST A GAUCHE.

Dans l’exemple ci-dessus, « -7 » ne change pas de signe.

Reprod

uctio

n inte

rdite

27


1ère Série

3ème leçon

4. Parenthèses

On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. Exemple : 7 – [-3 – (8,5 – 17)] = 7 – [-3 – (-8,5)]

= 7 – [-3 + 8,5] = 7 – 5,5 = 1,5

II. Multiplication de nombres relatifs

1. Vocabulaire et notation

Si a et b sont deux nombres relatifs, a x b est le produit des deux facteurs a et b. Autres écritures :

a x b = ab 2 x a = 2a 5 x (a-2) = 5 (a-2)

Le signe « x » est sous-entendu.

2. Produit de deux nombres relatifs

a. Règle des signes

Règle : Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif. Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif.

b. Méthodes

1. Pour calculer le produit de deux nombres relatifs de même signe : Calculer le produit A = (-4) x (-3). A = + 4 x 3 (1) Les deux nombres sont de même signe donc leur produit est positif. A = 12 (2) On effectue ensuite le produit habituel.

2. Pour calculer le produit de deux nombres relatifs de signes contraires : Calculer le produit B = 5 x (-9). A = - 5 x 9 (1) Les deux nombres sont de signes contraires donc leur produit est négatif. A = - 45 (2) On effectue ensuite le produit habituel. Exemple : 8 x 7 = 56 -8 x 9 = - 72 6 x (-4) = - 24 -3 x (-5) = 15.

Reprod

uctio

n inte

rdite

28


1ère Série

3ème leçon

c. Propriété

Le produit d’un nombre relatif par – 1 est égal à l’opposé de ce nombre. Exemples : (- 1) x 6,2 = -6,5 (-8) x (-1) = 8

Conséquence : Si a est un nombre relatif positif, alors -a est négatif. Si a est un nombre relatif négatif, alors -a est positif.

3. Produit de plusieurs nombres relatifs

Rappel : Un nombre entier est :

- pair s’il est divisible par 2 (c’est à dire si le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8). - impair s’il n’est pas divisible par 2 (c’est à dire si le chiffre des unités est 1, 3, 5, 7 ou

9).

a. Règle des signes Règle : Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif si le nombre de facteurs négatif est pair. Le produit de plusieurs nombres relatifs est négatif si le nombre de facteurs négatif est impair.

b. Méthode Calculer le produit C = (-4) x (-3) x (+5) x (-2). (1) On compte le nombre de facteurs négatifs. Il y a 3 facteurs négatifs. (2) Comme le nombre de facteurs négatifs est impair, alors C est négatif. C = - 4 x 3 x 5 x 2 C = - 120 (3) On effectue ensuite le produit habituel. Exemples : A = -2 x (-4) x 3 = 2 x 4 x 3 = 24 B = (-5) x (-3) x (-3) x (+2) = - 5 x 3 x 3 x 2 = -90

c. Propriété Un produit de plusieurs nombres relatifs ne change pas si on modifie l’ordre des facteurs ou si on regroupe des facteurs. Exemples : -4 x 3 x 2 = -12 x 2 = -24

3 x [(-4) x 2] = 3 x (-8) = -24

Reprod

uctio

n inte

rdite

29


1ère Série

3ème leçon

d. Multiplication par 0 a x 0 = 0 x a = 0 Si l'un des facteurs est nul, alors ce produit est nul.

III. Division de deux nombres relatifs

1. Vocabulaire et notation a et b sont deux nombres relatifs avec b ≠ 0

Le quotient a ÷ b se note aussi sous la forme d'une écriture fractionnaire ab .

a est appelé le numérateur et b le dénominateur.

2. Règle des signes

La règle des signes est la même que pour la multiplication.

- Si a et b sont de même signe, ab est positif.

- Si a et b sont de signes contraires, ab est négatif.

Exemple : 3-2 = -32 = - 32 = -1,5 -3

-2 = 32 = 1,5

Attention : La division par zéro est impossible !

a est le dividende b est le diviseur a ÷ b

quotient

Reprod

uctio

n inte

rdite

30


1ère Série

3ème leçon

IV. Suppression de parenthèses dans une somme algébrique

1. Règles

Lorsqu'un signe - précède des parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et le signe - à condition de changer tous les signes des termes de la somme placés dans ces parenthèses.

Lorsqu'un signe + précède des parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et le signe + sans rien changer.

Exemples : 3 + (-5 + 12,3) = 3 - 5 + 12,3 11 - (4 + 6,2 - 7,9) = 11 - 4 - 6,2 + 7,9 25 - (-7 + 14,6) – [-12 + (-3,5 + 2)] = 25 + 7 - 14,6 - [-12 - 3,5 + 2] = 25 + 7 - 14,6 + 12 + 3,5 - 2 Exercice 10 ______________________________________________________________

Calculez les expressions suivantes : A = (-12,8) + 5,4 B = 14 – (-5,2) + (-20) C = -12 + 7 – 31,2 + 2,2 D = 7,6 – [-27 + 3 – (-6 + 4,1)]

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Exercice 11 ______________________________________________________________

Pour chaque expression, donnez le signe du résultat :

E = (-13) x 18 x 1,1 x (-2) F = -1 x 3 x (-5)2 x (-7)

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

31


1ère Série

3ème leçon

Exercice 12 ______________________________________________________________

Calculez : G = (-3,1) x 2 H = (-8) x (-5) x 10 x (-2)

I = -4,8-0,6 J = 5 – 2 x 3 + 10 ÷ 5 x 4 – 7

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Exercice 13 ______________________________________________________________

Supprimez les parenthèses et simplifiez les expressions : K = (3 + a) - (-5 + 4a) L = -(2a + 1 - b) + (-b + 4) M = (7 – a) + [-5 + 3a – (-1 + a) - 10]

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

32


1ère Série

4ème leçon

B

A

C

I J

E

D

F

M N

TRIANGLES ET DROITES PARALLÈLES I. Propriété de la droite des milieux

Enoncé

Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Exemple :

Hypothèses : ABC est un triangle I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] Conclusion : (IJ)//(BC)

Dans le triangle ABC, la droite passant par les milieux I et J des côtés [AB] et [AC] est parallèle au troisième côté (BC), donc (IJ)//(BC).

II. Propriété réciproque

Enoncé

Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un second côté, coupe le troisième côté en son milieu.

Exemple :

Hypothèses : DEF est un triangle M est le milieu de [DE] (MN)//(EF) Conclusion : N est le milieu de [DF]

Dans le triangle DEF, la droite (MN) qui passe par le point M milieu du côté [DE] et qui est parallèle au côté [EF] coupe le troisième côté en son milieu, donc N est le milieu de [DF].

Reprod

uctio

n inte

rdite

33


1ère Série

4ème leçon

B

A

C

I J

III. Segment joignant les milieux de deux côtés

1. Enoncé

Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

2. Exemple

Hypothèses : ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] Conclusion :

IJ = BC2

Dans le triangle ABC, la longueur du segment [IJ] joignant les milieux respectifs des côtés

[AB] et [AC] est égale à la moitié du troisième côté [BC] donc IJ = BC2 .

Autres égalités : On a IJ = BC2 , en appliquant l'égalité des produits en croix on a :

BC = 2 x IJ ou BCIJ = 2 ou IJ

BC = 12

Exercice 14 ______________________________________________________________

M, N et O sont trois points non alignés. I et J sont symétriques de O respectivement par rapport à M et N. Démontrez que les droites (MN) et (IJ) sont parallèles.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Reprod

uctio

n inte

rdite

34


1ère Série

4ème leçon

Exercice 15 ______________________________________________________________

ABCD est un parallélogramme. E est le symétrique de D par rapport au point A. Les droites (EC) et (AB) se coupent en F. Démontrez que F est le milieu de [EC].

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Exercice 16 ______________________________________________________________

On considère la figure ci-contre ; Les droites (AB) et (LI) se coupent en M.

1. Faites la liste des hypothèses.

2. Démontrez que (IK)//(AB) et IK = AB2 .

3. Démontrez que M est le milieu de [LI] et AM = IK2 .

4. Déduisez-en : AM = AB4 .

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

A

B

C L K

M I

Reprod

uctio

n inte

rdite

35


1ère Série

4ème leçon

TRIANGLES EGAUX

Définitions : Deux triangles sont égaux lorsqu’ils sont superposables. Les angles B et B’, C et C’ sont des angles superposables. Ils sont dits homologues. Propriété : Si deux triangles ont un coté de même longueur et des angles adjacent à ce côté de même mesure deux à deux, alors ces deux triangles sont égaux.

TRIANGLES SEMBLABLES Définition : Deux triangles sont semblables lorsque les angles de l’un sont égaux aux angles de l’autre

Pour que deux triangles soient semblables, il suffit que deux angles de l’un des triangles soient

égaux à deux angles de l’autre.

Les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables puisque les angles 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� et 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� sont respectivement

égaux aux angles 𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′� et 𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′� .

Propriété : Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont

proportionnels. BCEF =

ABDE =

ACDF = k

k est appelé : rapport de proportionnalité

B

A

C B’

A’

C’

B

A

C B’

A’

C’

Reprod

uctio

n inte

rdite

36


1ère Série

4ème leçon

Dessiner un triangle isocèle rectangle avec Scratch.

Exercice résolu : ABC est un triangle rectangle en B. ACDE et ABFG sont des carrés.

Les triangles AGC et BAE sont-ils égaux ?

Solution : AG = AB dans le carré ABFG, AB = AC dans le carré ACDE, sont des côtés

superposables qui sont dit homologues. De plus l’angle BAE= GAB+BAC, et pour

GAC=CAE+BAC. Or GAB=CAE=90° et l’angle BAC commun aux deux triangles. D’où

BAE=GAC. Les triangles AGC et BAE sont donc égaux.

A

B C

D

E

G

F Reprod

uctio

n inte

rdite

37


Première leçon : Nombres et calculs : Les fractions

Deuxième leçon : Espace et géométrie : Théorème de Thalès

Troisième leçon : Nombres et calculs : Les fractions (suite)

Quatrième leçon : Espace et géométrie : Droites remarquables dans un triangle

Cinquième leçon : Organisation et gestion des données fonctions : Statistiques

2ème SÉRIE

Reprod

uctio

n inte

rdite

e c o and 4e é r scolaires s r p a e i l l e u rles

Documents