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de

Cours • Méthode • Exercices • Corrigés

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Première L / ES

mon annéeMathématiques

1re L/ESMaths

rédigé par des professeursde l’Éducation Nationale

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1

© Copyright Cours Legendre – tous droits réservés

Ce cours a été rédigé par :

M. Hollander,

professeur de mathématiques

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Le cours de révision est composé de quatre dossiers. 1. Un bilan-test de début de cours qui permet de repérer les éventuelles difficultés et de mieux

orienter ses révisions. Il ne faut pas l’adresser à la correction car vous trouverez les corrigés juste après.

2. Le cours. 5 séries de travail avec des leçons et des exercices d’application. Ceux-ci sont

autocorrectifs et servent d’entraînement aux devoirs. Il ne faut pas les adresser à la correction. 3. Corrigé des exercices. Ce sont les corrigés des exercices du cours. 4. Devoirs à adresser à la correction. 4 devoirs à réaliser après l’étude de chaque série + 2

devoirs facultatifs (« devoir bilan » et « QCM »). Étudiez une série de travail par semaine en faisant tous les exercices d’application, en vérifiant leur exactitude avant de commencer le devoir correspondant. Pour chaque série, un devoir vous est proposé. Exemples : Après l’étude de la première série de travail, faites votre devoir 1R. Après l’étude de la deuxième série de travail, faites votre devoir 2R… Après avoir rédigé les 4 devoirs R, nous vous proposons deux devoirs facultatifs : un devoir de rattrapage et un devoir bilan, avec des exercices récapitulatifs sur toutes les séries. La durée d’étude de ce cours de révision est de quatre à six semaines selon les capacités de l’élève. Travaillez régulièrement chaque jour. Envoyez chaque devoir dès qu’il est terminé pour bénéficier ainsi des conseils des correcteurs. N’attendez pas le retour du devoir corrigé pour continuer à travailler.

Bon Travail !

COURS DE RÉVISION

COMMENT ÉTUDIER SON COURS ?

COURS DE RATTRAPAGE CONSEILS

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Les questions suivantes ont pour but de vous permettre d'évaluer vos connaissances avant de commencer le cours.

1. L’ensemble de définition de la fonction définie par x x³

x f(x) 43

−+

= est :

a) ]-∞ ; -2[ ∪ ]2 ; +∞[ b) ℝ c) ℝ – {-2 ; 0 ; 2}

2. L’ensemble de définition de la fonction définie par

21

x x f(x)

−−

= est :

a) ℝ – {2} b) [1 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[ c) [1 ; +∞[

3. La représentation graphique d’une fonction du second degré est :

a) une hyperbole b) une droite c) une parabole

4. L’équation 3x² + 5 x – 1 = x² – 2 x + 3 :

a) admet deux solutions distinctes b) admet une solution double c) n’admet pas de solution

5. La fonction cube est :

a) décroissante sur ℝ b) croissante sur ℝ c) décroissante puis croissante

6. La fonction dérivée de la fonction définie par

213

x x f(x)

−+

= est :

a) )² (x

x f '(x) 2

56−−

=

b) 3 f '(x) =

c) )² (x

- f '(x) 2

7−

=

7. La fonction dérivée de la fonction définie par f(x) = 3x³ + 5x² – 2x – 4 est : a) f ’(x) = 9x² + 10x – 2 b) f ’(x) = 6x² + 7x – 2 c) f ’(x) = 9x³ + 10x² – 2x + 4

8. Pour étudier le sens de variation d’une fonction, il faut: a) chercher les valeurs qui annulent la fonction b) faire un tableau de valeurs c) étudier le signe de la fonction dérivée

9. Le prix d’un article est de 64 €. Après une hausse de 12%, son nouveau prix est : a) 76 € b) 71,68 € c) 7,68 €

10. Trois baisses successives de 8% revient à :

a) une baisse de 24% b) une baisse de 22,13% c) une baisse de 25,97%

BILAN TEST

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11. La suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 5 – 3n – n² est :

a) minorée b) convergente c) monotone

Soit le tableau suivant avec les notes sur un devoir et les effectifs correspondants : 12. D’après le tableau, la moyenne des notes est d’environ :

a) 12,5 b) 12,2 c) 12

13. D’après le tableau, l’écart interquartile est égal à :

a) 2 b) 3 c) 4

14. D’après le tableau, le mode est égal à :

a) 11 b) 12 c) 13

15. Dans un histogramme, les effectifs sont proportionnels :

a) à la hauteur des rectangles b) à la surface des rectangles c) à l’aire des secteurs

16. La variance et l’écart type sont des paramètres :

a) de position b) de dispersion c) de conversion

17. La probabilité de tirer un valet ou un Trèfle dans un jeu de 52 cartes est :

a) 4/13 b) 17/52 c) 1/52

18. La probabilité de tirer un double au domino est :

a) 3/14 b) 1/4 c) 5/28

19. Soit X la variable aléatoire égale au double de la face supérieure d’un dé cubique non pipé. la probabilité p(X = 9) est égale à :

a) 1/6 b) 0 c) 9/91

20. L’espérance mathématiques de la variable est égale à :

a) 91/6 b) 15,2 c) 3,5

Notes 7 9 11 13 15 17 Effectifs 2 5 8 13 7 4

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20 bonnes réponses : Bravo ! Entre 15 et 19 bonnes réponses : Vous avez de bonnes connaissances qui ne demandent qu'à être approfondies. Entre 10 et 14 bonnes réponses : Trop de trous de mémoire ! Ce livre est fait pour vous ! Entre 6 et 9 bonnes réponses : L'été sera studieux et ce livre un précieux compagnon ! Entre 0 et 5 bonnes réponses : Au boulot ! Et rassurez-vous, vous allez vite progresser !

BONNES RÉVISIONS ET BON COURAGE !

QUESTIONS RÉPONSES

1 c)

2 b)

3 c)

4 a)

5 b)

6 c)

7 a)

8 c)

9 b)

10 b)

11 c)

12 a)

13 c)

14 c)

15 b)

16 b)

17 a)

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BILAN TEST - CORRIGÉ

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SOMMAIRE

PREMIÈRE L/ES

MATHEMATIQUES Série 1

1ère Leçon Fonctions

2ème Leçon Polynômes et équations

Série 2

1ère Leçon Fonctions cube et racine car rée

2ème Leçon Fonction dérivée

3ème Leçon Sens de variation d’une fonction

Série 3

1ère Leçon Pourcentages

2ème Leçon Suites numériques et ar ithmétiques

3ème Leçon Suites géométr iques 4ème Leçon Appl ication à l ’économie

Série 4

1ère Leçon Statistiques

2ème Leçon Représentations graphiques

3ème Leçon Paramètres de position et de dispersion Série 5

1ère Leçon Probabi l i tés

2ème Leçon Probabi l i tés (suite) 3ème Leçon Arbre pondéré

4ème Leçon épreuve de Bernoui l l i

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MATHÉMATIQUES

1ère L/ES 1ère SÉRIE

PREMIÈRE LEÇON Fonctions

DEUXIÈME LEÇON Polynômes et équations

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11 1ère leçon


1ère Série

PREMIÈRE LEÇON

Fonctions I - Courbes et fonctions Dans un repère (O,𝚤𝚤 ,𝚥𝚥), tout point d'une courbe C a deux coordonnées (x ; y) : x est l'abscisse et y l'ordonnée. Définition : Lorsque tous les points d'une courbe ont des abscisses différentes, alors cette courbe est représentative d'une fonction. Exemples :

y y A C C’

B

O x O x Il n'existe pas deux points de C ayant Les points A et B de C’ ont la la même abscisse donc C est la courbe même abscisse donc C’ n’est pas représentative d'une fonction. la courbe représentative d’une fonction.

II - Image et ensemble de définition 1. Image Définition : L'image d'un réel x par une fonction f est l'ordonnée du point d'abscisse x de la courbe représentative de f. Exemple :

y 5

C

O 7 x C est la courbe représentative de f. Par lecture graphique l'image de 7 par f est 5 : f (7) = 5.

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i

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12 1ère leçon


1ère Série 2. Ensemble de définition Définition : L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels x qui ont une image par cette fonction. L'ensemble de définition se note Df. Exemple : y C -2 2 6 O x La fonction f représentée graphiquement est définie sur Df = [-2 ; 2[ ∪ ]2 ; 6]. Jusqu’en classe de Première, les réels de l’ensemble de définition correspondent à : - un dénominateur non nul. La fonction définie par

123

x x f(x)

−+

= existe si x ≠ 1, soit Df = ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.

- le radical d’une racine carrée supérieur ou égal à zéro. La fonction définie par 3 x f(x) −= existe si x ≥ 3, soit Df =[3 ; +∞[. III - Sens de variation d'une fonction 1. Fonction croissante ou décroissante Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple d’éléments de I. 1. f est dite croissante sur I lorsque pour tout réel a de I et tout réel b de I : si a < b alors f (a) ≤ f (b) (c’est à dire si x augmente, alors f (x) augmente aussi).

y

f (b)

f (a)

O a b x

j j

j

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13 1ère leçon


1ère Série 2. f est dite décroissante sur I lorsque pour tout réel a de I et tout réel b de I : si a < b alors f (a) ≥ f (b) (c’est à dire si x augmente, alors f (x) diminue).

y

f(a)

f(b)

O a b x Remarque : Les économistes, sociologues, etc. différencient trois sortes de croissance :

y y y

O x O x O x Croissance ralentie Croissance accélérée Croissance régulière f croît de « moins en f croît de « plus en plus (ou proportionnelle) f croît moins vite. » vite. » comme une fonction affine. 2. Fonction monotone Définition : Soit f une fonction définie par l'intervalle I. On dit que f est monotone sur I lorsque f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Exemple : Déterminons le sens de variation et représentons graphiquement la fonction f définie par f (x) = x² + 2x – 3.

Df = ℝ Montrons que f est décroissante sur ]-∞ ; -1] et croissante sur [-1 ; +∞[. Soit a et b deux éléments de ]-∞ ; -1] tels que a < b. Calculons f (a) – f (b) = a² + 2a - 3 – (b² + 2b – 3) = a² + 2a – 3 – b² - 2b + 3 = a² - b² + 2a – 2b = (a – b) (a + b) + 2 (a – b) = (a – b) (a + b + 2) Or a < b ⇔ a – b < 0 De plus, a ≤ -1 et b ≤ -1 donc a + b ≤ -2, soit a + b + 2 ≤ 0. Il vient (a – b) (a + b + 2) ≥ 0 ⇔ f (a) – f (b) ≥ 0 ⇔ f (a) ≥ f (b)

j j

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14 1ère leçon


1ère Série Donc f est décroissante sur ]-∞ ; -1]

De la même façon, on montre que si a < b sur [- 1 ; +∞[ alors f (a) ≤ f (b)

Donc f est croissante sur [- 1 ; +∞[ Dressons le tableau de variation de f :

x -∞ -1 +∞ f

-4 Tableau de valeurs :

x -5 -3 -2 -1 0 1 3 f (x) 12 0 -3 -4 -3 0 12

Représentons graphiquement f dans un repère orthogonal (O, →i , →j )

IV - Maximum, minimum d'une fonction Nous allons utiliser le sens de variation d'une fonction pour la recherche d'extremums. 1. Maximum sur un intervalle donné Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b]. Dire que f admet sur [a ; b] un maximum égal à f(x0) signifie qu'il existe un nombre x0 de [a ; b] tel que pour tout x de [a ; b], f(x) ≤ f(x0)

O i

j

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15 1ère leçon


1ère Série y

f (x 0)

f (b)

f (a) x O a x 0 b f est croissante sur [a ; x0] et décroissante sur [x0 ; b]. 2. Minimum sur un intervalle donné Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b]. Dire que f admet sur [a ; b] un minimum égal à f(x0) signifie qu'il existe un nombre x0 de [a ; b] tel que pour tout x de [a ; b], f(x) ≥ f(x0).

y

f (a)

f (b)

f (x 0) x O a x 0 b f est décroissante sur [a ; x0] et croissante sur [x0 ; b]. Exercice 1 Déterminez l'ensemble de définition D de la fonction f proposée :

1. 1 ² 5 - 2

+xxx a 2.

9 -² 7 - 3

xxx a 3.

5) ( 1) -² (1 - 2 -² +xx

xxx a 4. 1) - (3 1) ( xxx +a

j j

j j

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16 1ère leçon


1ère Série Exercice 2 f est une fonction définie sur l'intervalle I indiqué, a et b sont des éléments de I tels que a ≤ b. - Comparez f(a) et f(b) - Déduisez-en le sens de variation de f sur I

1. f(x) = x² +

x1 I = ]-∞ ; 0[

2. f(x) = 12 +x I = [0 ; +∞[ Exercice 3 Une entreprise produit quotidiennement un nombre x d'objets. Sa capacité maximale de production est de 50 objets par jour. Une étude de marché a permis de déterminer que pour un nombre x d'objets, le coût de production noté C(x) et le revenu noté R(x), sont donnés par les relations : C(x) = 350 – 2x et R(x) = 138x – 2x². Démontrez que le bénéfice maximal est obtenu pour une production journalière de 35 objets. Rep

roduc

tion i

nterdi

te

17 2ème leçon


1ère Série

DEUXIÈME LEÇON

Polynômes et équations I - Polynômes du 2nd degré Définition : Un polynôme du 2nd degré (ou de degré 2) est une fonction définie sur ℝ par p(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont trois nombres réels et a est non nul. Cette écriture est unique. Exemple : x², x² - 2x + 5 et 3x² - x sont des polynômes du second degré. II - Équations du 2nd degré Définition : On appelle équation du second degré toute équation qui peut se mettre sous la forme ax² + bx+ c = 0, avec a non nul. 1. Résolution d’équation du second degré a) Mise en évidence

( )

−−

++=

+−++=

++=++=

a²ac b²

ab x

ab x² a

ac

a²b²

a²b² x

ab x² a

ac x

ab x² a c bx ax² f(x)

44

2

2

44

( ) .

−−+=

a²ac b²

ab x a f(x)

44

2

2

b) Discriminant On appelle discriminant de l'équation ax² + bx + c = 0 (ou discriminant du polynôme ax² + bx + c) le nombre noté ∆ tel que : ∆ = b² - 4ac

( ) .

−+=

a²Δ

ab x a f(x)

42

2

Rep

roduc

tion i

nterdi

te

18 2ème leçon


1ère Série c) Solutions d'une équation du 2nd degré Soit l'équation ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0), ∆ son discriminant avec ∆ = b² - 4ac.

Si ∆ > 0 alors l'équation admet 2 solutions distinctes : x1 = −𝑏𝑏−√∆2𝑎𝑎

et x2 = −𝑏𝑏+√∆2𝑎𝑎

Si ∆ = 0 alors l'équation admet une solution, dite « double »: x0 =−𝑏𝑏2𝑎𝑎

2. Solution évidente Soit l'équation ax² + bx + c = 0 Si 1 est solution, alors l'autre solution est

𝑐𝑐𝑎𝑎

Exemple : 2x² + x – 3 = 0 ; 2 × 1² + 1 – 3 = 0 donc 1 est solution. L'autre solution est –3

2 .

Si -1 est solution alors l'autre solution est −𝑐𝑐𝑎𝑎

III – Représentation graphique d’une fonction du 2nd degré Tout polynôme ax² + bx + c peut se mettre de façon unique sous la forme unique : a(x - α)² + β, où α et β sont des réels. La courbe d'équation y = a(x - α)² + β se déduit de la courbe d’équation y = ax² par translation de vecteur →u (α,β) Définition : La courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c est une parabole. Rôle du coefficient et du discriminant ∆ Soit la fonction f , définit sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c et (C) sa courbe représentative. Soit ∆ = b² - 4ac. Nous distinguerons les 6 cas suivants : Rep

roduc

tion i

nterdi

te

19 2ème leçon


1ère Série

IV - Factorisation 1. Racines d'un polynôme Définition : On appelle racine d'un polynôme P(x) = ax² + bx + c une solution de l'équation P(x) = 0 2. Factorisation Propriétés : - Si l’équation a deux solutions distinctes x1 et x2 (∆ > 0), alors on peut écrire P(x) sous la forme :

P(x) = a(x – x1) (x – x2) - Si l’équation a une solution double x0 (∆ = 0), alors on peut écrire P(x) sous la forme :

P(x) = a (x – x0)² - Si l’équation n'a pas de solution (∆ < 0) alors P(x) ne se factorise pas.

a > 0 a < 0

∆ > 0

L'équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions distinctes x1 et x2

∆ = 0

L'équation ax² + bx + c = 0

a une solution double x0 =−𝑏𝑏2𝑎𝑎

∆ < 0

L'équation ax² + bx + c = 0 n'a pas de solution

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20 2ème leçon


1ère Série Exercice 4 Résolvez les équations et inéquations suivantes sans calculer leur discriminant : 1. x² - 3x = 0 2. x² + 4 = 0 3. x² + 6x + 9 = 0 4. x² ≥ 4 5. x (x + 1) > (2x + 3) (x + 1) Exercice 5 Résolvez dans ℝ les équations suivantes : 1. x² - 2x – 3 = 0

2. -14 x ² + x – 1 = 0

3. x² - x + 1 = 0 4. y² + y – 3 = 0

5. 2t (3t – 12) = t² + 34

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21 2ème leçon


1ère Série Exercice 6 Résolvez graphiquement : 1. - x² + 4x + 5 < 0 2. x² - 2 x – 8 = 0 Exercice 7 Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, →i , →j ). Pour toute fonction f, Cf désigne la courbe représentative de f dans ce repère. Soit f le polynôme du second degré x a x² - 6x + 7. 1. a. Donnez la forme canonique de f , c'est-à-dire trouvez a et b tels que pour tout réel x :

f(x) = (x + a)² + b. b. Du tableau de variation de la fonction k : x a x², déduisez-en celui de f et précisez par quelle transformation géométrique on passe de la parabole P d'équation y = x² à Cf. 2. Résolvez dans ℝ l'inéquation f(x) ≤ 0. 3. Tracez Cf. 4. On considère la fonction g : x a | x² - 6x + 7|. Tracez Cg en expliquant sa construction.

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22 2ème leçon


1ère Série Exercice 8 Pour chacun des polynômes P ci-dessous : - Résolvez l'équation P(x) = 0 - Factorisez P(x) lorsque c'est possible - Étudiez le signe de P(x) suivant la valeur de x

1. P(x) = 5x² + 9x – 2 2. P(x) = - x² + x + 6 3. P(x) = x² + x + 1

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23


MATHÉMATIQUES 1ère L/ES

2ème SÉRIE

PREMIÈRE LEÇON Fonctions cube et racine carrée

DEUXIÈME LEÇON Fonction dérivée

TROISIÈME LEÇON Sens de variation d’une fonction

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24 1ère leçon


2ème Série PREMIÈRE LEÇON

Fonctions cube et racine carrée

I – Fonction cube Définition : La fonction cube est une fonction de référence définie sur ℝ par f(x) = x3. C’est en fait la variable x à la puissance 3, autrement dit x × x × x. 1. Parité et conséquence

f(-x) = (-x)3 = -x3 = - f(x) La fonction cube est donc une fonction impaire. Il en résulte que la représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine. 2. Tableau de variation

x -∞ +∞

f(x)

+∞ 0

-∞ 3. Tableau de valeurs

x -2,5 -2 -1 0 1 2 2,5

f(x) = x3 15,625 -8 -1 0 1 8 15,625

4. Représentation graphique

f (x)

x Rep

roduc

tion i

nterdi

te

25 1ère leçon


2ème Série II – Fonction racine carrée Définition : La fonction racine carrée est une fonction de référence définie sur ℝ+ par f(x)= x . C’est en fait la variable x à la puissance ½. 1. Tableau de variation

x 0 +∞

f(x)

+∞ 0

2. Tableau de valeurs

x 0 1 2 3 4 6 9 12

f(x) = x 0 1 ≈ 1,4 ≈ 1,7 2 ≈ 2,4 3 3,5

3. Représentation graphique f(x)

0

x

Reprod

uctio

n inte

rdite

26 1ère leçon


2ème Série Exercice 9 Résolvez les équations et inéquations suivantes : 1. x3 = 27 2. x = 4 3. x3 + 7 = 15 4. x = -9

Exercice 10 1. À quel intervalle appartient x3 si : a) -3 ≤ x ≤ -1 b) 4 ≤ x ≤ 7 c) -2 ≤ x ≤ 5

2. À quel intervalle appartient x si : a) 4 ≤ x ≤ 49 b) 1 ≤ x ≤ 169

Reprod

uctio

n inte

rdite

27 2ème leçon


2ème Série DEUXIÈME LEÇON

Fonctions dérivées

I - Fonction dérivée 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, telle que pour tout x de I, f '(x) existe. Alors la fonction x a f '(x) définie sur I est appelée fonction dérivée de f et notée f’. C’est la limite du taux de variation en un point donné. 2. Fonction dérivée de fonctions usuelles

La fonction f définie sur ℝ par … admet pour dérivée la fonction f ' définie sur ℝ par…

f(x)= a

(a est une constante)

f(x)= 0

f(x)= x f '(x) = 1

f(x)= x² f '(x) = 2x

f(x)= x3 f '(x) = 3x²

f(x)= xn

(n ∈ *)

f '(x) = nxn-1

La fonction f définie sur ℝ * par … admet pour dérivée la fonction f ' définie sur ℝ * par …

f(x) = x1 f '(x) =

2-1x

f(x) = 2

1x

f '(x) = 3x

-2

f(x) = 3

1x

f '(x) = 4

-3x

f(x) = n

1x

(n ∈ ℕ*)

f '(x) = 1n

n+

−

x

La fonction f définie sur ℝ* par f(x) = x admet pour dérivée la fonction f ' définie sur ℝ*+ par :

f '(x) = x2

1

Reprod

uctio

n inte

rdite

28 2ème leçon


2ème Série 3. Opérations sur les fonctions dérivées Soit f et g deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. f + g est dérivable et (f + g)' = f ' + g' kf (où k est une constante) est dérivable et (kf)' = kf' fg est dérivable et (fg)' = f'g + fg' Si de plus g(x) ≠ 0 pour tout x de I :

1𝑔𝑔

est dérivable et �1𝑔𝑔�'

= �−𝑔𝑔′𝑔𝑔²�

𝑓𝑓𝑔𝑔

est dérivable et �𝑓𝑓𝑔𝑔�'

= 𝑓𝑓′𝑔𝑔−𝑓𝑓𝑔𝑔′

𝑔𝑔²

II - Grandeurs marginales En économie, pour savoir s'il est rentable d'augmenter une production, on s’intéresse souvent utiliser aux grandeurs marginales plutôt qu’aux grandeurs totales (coût total par exemple). 1. Coût marginal Définition : Le coût marginal est le supplément de coût engendré par la production d'une unité supplémentaire. Calcul du coût marginal Si x a C(x) représente le coût total de la production, lorsque l'on augmente légèrement la production de a à a + h, alors le coût total augmente d'environ

C(a + h) – C(a)) ≈ C'(a) × h Si h = 1, il vient c(a+1) – c(a) ≈ c’(a) Le nombre de C'(a) est appelé le coût marginal en a. On le note Cm. 2. Autres grandeurs marginales De la même façon on définit : Coût total C(x) → coût marginal Cm(x) = C'(x) Recette totale R(x) → recette marginale Rm(x) = R'(x) Bénéfice total B(x) → bénéfice marginal Bm(x) = B'(x) - Cm (a) × h est l'augmentation du coût total - Rm (a) × h est l'augmentation de la recette totale - Bm (a) × h est l'augmentation du bénéfice total

Donc il est intéressant d'augmenter une production tant que :

Bm(a) > Rm(a) > Cm(a)

Reprod

uctio

n inte

rdite

29 2ème leçon


2ème Série III - Équation de la tangente à la courbe Si une fonction f est dérivable en x0, alors la représentation graphique de f admet une tangente T au point M d'abscisse x0. C’est la droite passant par le point (x0, f (x0)) et de pente f ’(x0). L'équation de cette tangente est : y = f '(x0) (x – x0) + f (x0) Remarque : La position de la courbe représentative de f par rapport à cette tangente se détermine en étudiant le signe de : h(x) = f(x) – [f '(x0) (x – x0) + f (x0)]. Exercice 11 Pour chacune des fonctions, précisez l'ensemble de définition D de la fonction, l'ensemble D' de la dérivée et calculez la dérivée :

1. a) f(x) = 2x² - 3x - 5 b) g(x) = -5x3 + 2

2x - x - 2

2. a) f(x) = x² - 2x+ 3 b) g(x) = 32

12 +− xx

3. a) f(x) = x3 + x b) g(x) =

x3 +

21

x - 2

4. a) f(x) = (2x – 1) (x + 5) b) g(x) =

512

+−

xx

5. a) f(x) =x

xx−++

312

b) g(x) = 2

52

2

−+

−

xxxx

Reprod

uctio

n inte

rdite

30 2ème leçon


2ème Série Exercice 12 Soit C la courbe représentative de f définie sur ℝ par f(x) = x3 + x² - 5x + 2. 1. On note (T) la tangente à (C) au point A d'abscisse x0 = -1. a) Calculez le coefficient directeur de (T) b) Déduisez-en une équation de (T)

2. Déterminez les coordonnées des points de (C) admettant une tangente de coefficient directeur 3.

Reprod

uctio

n inte

rdite

31 3ème leçon


2ème Série TROISIÈME LEÇON

Fonctions

I - Sens de variation d'une fonction Le sens de variation d'une fonction est lié au signe de sa fonction dérivée. Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ' sa dérivée : - si f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I, - si f ' est (strictement) positive sur I, alors f est (strictement) croissante sur I, - si f ' est (strictement) négative sur I, alors f est (strictement) décroissante sur I. Remarque : Pour étudier le sens de variation d'une fonction, on utilise généralement le signe de la dérivée. Néanmoins, il est parfois plus simple d'utiliser les théorèmes sur les composées de fonctions (2ème série : exemple : la composée de deux fonctions croissantes est croissante, etc.) 1. Extremums Propriété : Nous admettrons : Soir f une fonction dérivable sur un intervalle I et f' sa dérivée. Si f’ admet un maximum local (ou un minimum local) pour une valeur a distincte des bornes de l'intervalle I, alors f '(a) = 0 Remarques : La condition f’(a) = 0 s’exprime graphiquement par le fait que la courbe représentative de f admet une tangente horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) au point d'abscisse a. 1ère remarque : La réciproque de la propriété précédente y n’est pas toujours vraie. Si f '(a) = 0, f n'admet pas forcément d'extremum en a. f(a) O a x 2ème remarque : y f peut posséder un extremum en a sans être dérivable en a. f (a) O a x 3ème remarque : Si f est dérivable en a et si f ' s'annule en a en changeant de signe alors f admet un extremum en a.

j j

j j

Reprod

uctio

n inte

rdite

32 3ème leçon


2ème Série II - Plan classique d'étude d'une fonction Ce plan d'étude s'applique à toute fonction f définie sur un intervalle de ℝ : 1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f (s'il n'est pas donné dans l'énoncé). 2. Déterminer l'ensemble sur lequel f est dérivable. Calculer f '(x) et étudier son signe ; en déduire

le sens de variation de f. 3. Étudier f aux bornes de son ensemble de définition (calcul des limites), donner les équations des

éventuelles asymptotes. 4. Dresser le tableau de variation (il doit être aussi complet que possible et être cohérent) 5. Construire un tableau de valeurs. 6. Tracer la représentation graphique de f (sans oublier les éventuelles asymptotes et tangentes

horizontales) Remarques : - On peut s’aider d’une calculatrice graphique pour avoir une idée de la représentation graphique de

la fonction f. - Dans certains cas, on n’est pas obligé de calculer f '(x) pour connaître le sens de variation de f

(composées de fonctions simples, etc.) Exercice 13 Un fabricant réalise une production annuelle de q articles pour un coût total de :

C(q) = 12q3 – 12q² + 90q

1. Déterminez en fonction de q le coût marginal C'(q) et le coût unitaire moyen Cm(q)

2. Étudiez les variations de la fonction Cm. Déduisez-en la production q0 pour laquelle le coût

unitaire moyen est minimum. Montrez que l'on a : Cm(q0) = C'(q0). 3. Chaque article est vendu au même prix p = 48. Vérifiez que le bénéfice s'exprime par :

B(q) = -12 q3 + 12q² - 42q

Calculez B'(q) et étudiez les variations de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 20]. Déduisez-en la production q1 correspondant à l'optimum économique (c'est-à-dire celle qui correspond au bénéfice maximum).

Reprod

uctio

n inte

rdite

33 3ème leçon


2ème Série Exercice 14 Un livre doit contenir 500 cm² de texte imprimé à chaque page. Chaque page est rectangulaire. Les marges des bords gauche et droit doivent mesurer 4 cm et celles des bords inférieur et supérieur 5 cm. Quelles doivent être les dimensions d'une page de livre pour que la consommation de papier soit minimale ? Exercice 15 On se propose de déterminer à 10-2 près les solutions dans ℝ de l'équation :

-x3 + 3x² - 6x + 5 = 0 (E) 1. Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = -x3 + 3x² - 6x + 5. Étudiez le sens de variation de f.

2. Tracez la courbe représentative (C) de f dans un repère (O, →i , →j )

Exercice 16

Soit f la fonction définie sur ℝ \{2} par f(x) =xxx

−+−

2752

.

1. Démontrez qu'il existe des réels a, b et c tels que f(x) = ax + b +

x−2c , pour tout x ∈ ℝ \{2}

Déterminez les limites de f aux bornes de ℝ \{2}

2. Calculez f '(x) et étudiez les variations de f.

Reprod

uctio

n inte

rdite

34 3ème leçon


2ème Série 3. Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, →i , →j ), démontrez que

la droite (D) d'équation y = -x + 3 est asymptote à (C). 4. Représentez (C) et ses asymptotes.

Reprod

uctio

n inte

rdite

35


MATHÉMATIQUES

1ère L/ES 3ème SÉRIE

PREMIÈRE LEÇON Pourcentages

DEUXIÈME LEÇON Suites numériques et arithmétiques

TROISIÈME LEÇON Suites géométriques

QUATRIÈME LEÇON Application à l’économie

Reprod

uctio

n inte

rdite

e c o and 1 l/es é r scolaires s r p a e i l l e u rles …...2. le cours. séries de travail avec...

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