DS de maple (lundi 23 mai 2005, de 13 h 30 à 14 h 30)

Calcul numérique d’une intégrale. 1) On désire calculer numériquement

1

40 1dxx−∫ . Ecrire la commande.

2) La réponse à cette commande est (1 1 1,

4 4 2B ) . Que faire ?

Algorithmique 1) Si est une liste, comment désigne-t-on le troisième élément de cette liste ? L2) Soit une liste de 347 points, chaque point étant une liste de ses deux coordonnées entières . Ecrire un

programme qui calcule une nouvelle liste de 347 points, chaque point se déduisant de son homologue de la première liste et ayant pour coordonnées .

,x y

,x x y×3) Soit t un tableau indicé de 1 à , contenant des entiers et un entier. Ecrire une procédure de paramètres t , N

et qui retourne true si est un élément de t et false dans le cas contraire. On utilisera une boucle while pour éviter d’examiner le reste du tableau si on a trouvé l’élément.

N pp p

Cinétique d’ordre 2. 1) Soit k et deux constantes positives. Lors d’une cinétique chimique, une concentration c évolue au cours du

temps t selon

0c

2dc kcdt

− = . Résoudre analytiquement cette équation différentielle, avec la condition initiale . 0c c=

2) En déduite l’instant pour lequel . 1t 0 /2c c=3) Tracer le graphe de entre les instants 0 et . ( )c t 15t

Le chien et le lapin. Un lapin A court le long du grillage circulaire de centre C et de rayon R qui entoure un pré avec la vitesse angulaire

constante ω positive. Un chien M part d’un point M0 du grillage tel que ( et court en direction du lapin avec une vitesse u de module constant et inférieure à celle du lapin.

)0,AC AM = θ0

)Plaçons nous dans le référentiel tournant lié à AC et repérons le chien par ses coordonnées polaires par rapport au

lapin r et . Choisissons comme unité de longueur le rayon du pré et comme unité de vitesse celle du lapin. Les équations en coordonnées polaires du mouvement du chien sont :

AM= ( ,AC AMθ =

sin

cos1

dr udtddt r

= − + θ

θ θ= −

1) Résoudre numériquement ces équations pour et (la résolution analytique échoue). 0,5u = 0 0θ =2) Afficher la trajectoire du chien. 3) Ecrire une procédure dont les paramètres sont u , et la durée maximale étudiée et qui retourne un objet de type

plot représentant la trajectoire du chien. 0θ

4) Afficher la trajectoire du chien et le grillage pour et en utilisant cette procédure. 0,5u = 0 0θ =

Corrigé A.1. > int(1/sqrt(1-x^4),x=0..1);

14

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟Β ,

14

12

A.2. > evalf(int(1/sqrt(1-x^4),x=0..1));

1.311028777 B.1. L[3]B.2. > for i to 5 do L[i]:=[L[i,1],L[i,1]*L[i,2]] od:B .3. > existe:=proc(t ::array(integer),N ::integer,p ::integer) local i:

i:=1: while i<=N and t[i]<>p do i:=i+1 od: evalb(i<=N): end: C.1. > sol:=dsolve({diff(c(t),t)=-k*c(t)^2,c(0)=c0},c(t));

:= sol = ( )c t1

+ k t1c0

C.2. et 3. > assign(sol): t1:=solve(c(t)=c0/2,t);

:= t11

k c0

plot(subs(k=1,c0=1,c(t)),t=0..subs(k=1,c0=1,t1)*5,0..1); D.1. > restart:with(plots): sol:=dsolve({diff(r(t),t)=-0.5+sin(theta(t)), diff(theta(t),t)=cos(theta(t))/r(t)-1, theta(0)=0,r(0)=2},{r(t),theta(t)},numeric);

:= sol proc( ) ... end procrkf45_x D.2. > odeplot(sol,[r(t)*cos(theta(t)),r(t)*sin(theta(t))],

0..20,scaling=constrained); D.4. > traj:=proc(u,theta0,duree) local sol: sol:=dsolve({diff(r(t),t)=-u+sin(theta(t)), diff(theta(t),t)=cos(theta(t))/r(t)-1, theta(0)=theta0,r(0)=2},{r(t),theta(t)},numeric); odeplot(sol,[r(t)*cos(theta(t)),r(t)*sin(theta(t))], 0..duree,numpoints=200); end: D.5. > display({traj(0.5,0,20),polarplot(2*cos(theta), theta=-Pi/2..Pi/2)},scaling=constrained);