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ENGRENAGES - GENERALITES
Ci-dessous des courbes présentes dans la théorie et la pratique des roues dentées,
ou encore dans les mécanismes à came.
Cycloïde (normale, à points de rebroussement)
C'est la courbe décrite par un point M d'un cercle de rayon R qui roule sans glisser sur une
droite. La courbe est périodique de
période R2 . Un point M est défini par :
cos1Ry
sinRx étant l'angle IOM.
C'est Galilée qui a donné son nom à
cette courbe que Roberval voulait
appeler "trocoïde" et Pascal "roulette".
Cycloïde raccourcie (à points
d'inflexion)
En posant ROM avec 1 un
point M de cette courbe est défini par :
cos1Ry
sinRx
Cycloïde allongée ou trochoïde
En posant ROM avec 1 un point M
de cette courbe est défini par
cos1Ry
sinRx
Néphroïde (épicycloïde à 2 rebroussements)
Si l'on fait rouler sur un cercle un autre cercle de rayon
moitié, un point de ce dernier cercle décrit une courbe du
sixième ordre unicursale.
Les équations paramétriques sont par exemple :
3coscos3ay
3sinsin3ax
L'équation cartésienne est : 243222 xa108a4yx
Cette courbe appelée parfois épicycloïde de Huygens a
été considérée en effet par ce savant en 1670. Il l'a
rencontrée dans des études de caustiques par réflexion.
Le nom de néphroïde lui a été donné par l’anglais Proctor
en 1878.
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Epicycloïde Hypocycloïde
Le cercle roulant est à l'extérieur du cercle de base Le cercle roulant est à l'intérieur du cercle de base
L'épicycloïde, ou l'hypocycloïde, est transcendante si r est incommensurable avec R. Ici 37rR
Astroïde (Hypocycloïde à 4 rebroussements) Hypocycloïde à 3 rebroussements
C'est une unicursale du sixième ordre, enveloppe des positions Le cercle roulant est à l'intérieur, et trois fois plus petit
d'un segment de longueur fixe dont les extrémités décrivent que le cercle de base. C'est une quartique unicursale.
les deux axes de coordonnées. Forme paramétrique : Sous forme paramétrique on a :
3
3
sinay
cosax forme cartésienne :
2sinsin2ay3
2coscos2ax3 et en cartésien :
32
32
32
ayx ou bien 0yxa27ayx2223222 0ayxa6xyax8yx3
422222222
Cette courbe a été étudiée par de nombreux géomètres et En 1745, Euler, en étudiant un problème de réflexion
en particulier par Jean Bernoulli. de rayons lumineux, a rencontré cette courbe, retrou-
vée plus tard par Steiner (1745).
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Spirale d'Archimède : courbe obtenue par un
point extérieur à une droite qui roule sans
glisser sur un cercle.
Equation générale : a
Développantes
Développante d'un contour polygonal Deux développantes d'une courbe C
Développante de cercle
Un point d'une droite qui roule sans glisser sur un cercle décrit une développante de ce cercle.
La définition paramétrique est :
cossinRy
sincosRx
Cette courbe a été envisagée par Huygens en 1693.
Cette courbe a été choisie comme forme du profil des dents d'une roue dentée car elle
découle directement du principe de transmission issu lui-même des roues de friction. Elle
présente des avantages nets par rapport à d'autres courbes (comme des arcs de cycloïde)
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Illustration de l'obtention du profil en développante (taillage par crémaillère)
La crémaillère (dotée d’arêtes coupantes car c’est l’outil de coupe) possède un mouvement
rectiligne alternatif, de direction perpendiculaire à cette feuille.
pignon
crémaillère
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SYSTEMES EPICYCLOIDAUX
ou TRAINS PLANETAIRES
Des groupes de roues dentées sont appelés ainsi, lorsqu'une roue, au moins, possède deux
mouvements de rotation simultanés :
- l’un autour de son propre axe de rotation,
- l’autre autour d'un axe parallèle ou perpendiculaire au précédent.
Ceci suppose la présence d'une pièce appelée porte-satellite, animée elle-même d'un
mouvement de rotation.
La roue ayant les deux rotations s'appelle le satellite. Les roues qui sont en prise avec lui sont
les planétaires. Un point du satellite décrit une épicycloïde par rapport au planétaire central et
une hypocycloïde par rapport au planétaire couronne.
Si les roues sont cylindriques, le train est dit plan.
Si les roues sont coniques, le train est dit sphérique.
1- Détermination de la relation dite "de Willis"
Par rapport à (2) le porte-satellites, on peut écrire :
21
24
2
2
/
/
B
A
/A
/B
Z
Z
et
24
23
2
2
/
/
D
C
/C
/D
Z
Z
En multipliant membre à membre on obtient :
DB
CA
/
/
/
/
/
/
ZZ
ZZ
21
23
24
23
21
24
mais 0203200323 ///// et 0201200121 /////
donc DB
CA
//
//
ZZ
ZZ
0201
0203 ou bien b
PSP
PSD r
avec :
D vitesse angulaire de la dernière roue du train
P vitesse angulaire de la première roue du train
PS vitesse angulaire du porte-satellites
rb raison algébrique interne ou de base du train (obtenue en immobilisant par la
pensée le porte-satellites et en libérant toutes les roues).
Caractéristiques par rapport aux trains classiques :
- possibilités de très grands rapports de vitesses,
- moins de roues dentées à rapport égal, donc encombrement réduit, compacité,
- possibilité de sommes ou différences de vitesses angulaires (différentiels),
- rendement plus élevé,
- plus coûteux.
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2- Trains sphériques
Ce sont des trains d'engrenages comportant des pignons coniques à axes généralement
orthogonaux. Ils sont, entre autres, utilisés pour l'automobile dans ce que l'on nomme les
différentiels.
La règle des contacts extérieurs ne s'applique pas ici, et il faut chercher directement sur le
schéma ou le dessin les sens de rotation.
L'engrenage 1-2 est un couple hypoïde car les axes de 1 et 3 (ou 5) ne sont pas concourants.
Les planétaires sont 3 et 5. Les satellites 4 et 6. La première roue menante du train est 3. La
dernière roue menée est 5. Le calcul donne :
5
3
5
4
4
3
Z
Z
Z
Z
Z
Zrb Les nombres de dents étant nécessairement égaux pour 3
et 5, ainsi que pour 4 et 6, on obtient alors r = -1. La relation de Willis donne :
123
25
soit 2325 enfin 020305 2 ///
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Discussion de cette relation
En ligne droite sur sol sec les deux roues ont la même vitesse, donc 235 . Les
satellites ne tournent pas autour de leur propre axe, ils se comportent comme des obstacles
vis-à-vis des deux planétaires.
En ligne courbe, la roue intérieure tourne moins vite que la roue extérieure donc 35
mais on a encore 020305 2 ///
Si une roue se trouve sur une surface à facteur de frottement voisin de zéro ( 0), alors
05 et 23 2 , donc la roue qui "patine" tourne deux fois plus vite que si les deux
roues étaient motrices.
Applications :
En automobile, permet de transmettre une puissance à deux roues qui n'ont pas la
même fréquence de rotation.
En mécanique, utilisé par exemple dans les machines à tailler les engrenages par
fraise-mère. Voir ci-dessous le montage du différentiel d'une telle machine.
Remarques :
Pour l'automobile, le couple moteur va toujours vers la roue la moins chargée, donc
celle qui a l'adhérence la plus faible.
Avec un véhicule équipé d'un différentiel classique, il est donc difficile voire impossible :
- de démarrer si l’une des deux roues motrices est sur du verglas ou du sable.
- de contrôler la trajectoire du véhicule en virage serré où la roue intérieure est
"délestée" à cause des actions d'inertie centrifuges.
- d'éliminer le danger de dérapage à grande vitesse par suite d'adhérence inégale des
roues.
Pour pallier ces inconvénients, on utilise divers mécanismes qui vont bloquer partiellement ou
totalement le train épicycloïdal. Ce sont les différentiels à glissement limité et les différentiels
autobloquants.