Chapitre 8

Les engrenages

Les engrenages ont pour fonction de transmettre un mouvement. Les engrenages sontgénéralement composés de roues dentées, mais peuvent aussi inclure des crémaillèreset des couronnes.

En transmettant le mouvement, les engrenages peuvent démultiplier la force ap-pliquée. À l’instar du palan qui servait à utiliser une force plus faible que le poids dela charge, mais sur une distance plus grande que l’élévation de cette charge (section4.3), le pignon d’un engrenages utilisera un moment de force plus faible que celui queproduira la roue, mais en tournant plus vite que cette dernière (figure 8.1).

Les engrenages nous permettront d’aborder deux nouveaux concepts, celui desvariables angulaires et celui de la puissance.

PignonRoue

Figure 8.1 – Engrenage constitué d’un pignon et d’une roue.

79

80 Physique des mécanismes

8.1 Les variables angulaires

La relation entre la longueur d’arc s d’un cercle de rayon r et l’angle qui la sous-tendest

s = ◊r. (8.1)

L’angle ◊ doit être exprimé en radians. Lorsque la longueur d’arc est égale à la cir-conférence, on retrouve bien l’équation C = 2fir.

En divisant chaque membre de l’équation (8.1) par le temps que prend un corpspour parcourir la longueur d’arc, on obtient les relations de la vitesse angulaire Ê etde l’accélération angulaire –

s

�t

= ◊

�t

r ∆ v

t

= Êr (8.2) v

t

�t

= Ê

�t

r ∆ a

t

= –r. (8.3)

Au mouvement circulaire correspondent les mêmes équations qu’au mouvementrectiligne (voir tableau 8.1.)

Exemple 8.1

Pendant que vous faites fonctionner le Rotor (voir figure 7.1), vous remarquez un pas-sager en grande détresse et vous diminuez la vitesse angulaire du cylindre de 3, 4 rad/sà 2 rad/s en 20 tours, avec une accélération angulaire constante du manège.

a) Quelle est l’accélération angulaire durant cette diminution de la vitesse angu-laire ?

b) Combien de temps la diminution de vitesse nécessite-t-elle ?

Solution

Chapitre 8. Les engrenages 81

θ

s

Figure 8.2 – Relation entre la longueur d’arc de cercle et l’angle qui la sous-tend.

Tableau 8.1 – Les équations du mouvement circulaire à accélération angulaire

constante.

Variable absente Équation

�◊

Ê

f

= Ê

i

+ –t (8.4)

Ê

f

�◊ = Ê

i

t + 12–t

2 (8.5)

t

Ê

2f

= Ê

2i

+ 2–�◊ (8.6)

– �◊ = 12(Ê

i

+ Ê

f

)t (8.7)

Ê

i

�◊ = Ê

f

t ≠ 12–t

2 (8.8)

82 Physique des mécanismes

8.2 Rapports de transmission

Lorsque le mouvement d’un engrenage est transmis par les dentures (figure 8.3), onobtient les relations suivantes

s1 = s2 ∆ ◊1r1 = ◊2r2 ∆ ◊1◊2

= Ê1Ê2

= –1–2

= r2r1

. (8.9)

Lorsque que le mouvement est transmis par un axe de rotation commun, lesrelations suivantes sont obtenues

◊1 = ◊2 ∆ s1r1

= s2r2

∆ s1s2

= v

t1v

t2= a

t1a

t2= r1

r2. (8.10)

Exemple 8.2

Un cycliste professionnel sprinte à une cadence de 120 tours/min en utilisant unrapport de dentures plateau/pignon de 53/11. À quelle vitesse se déplace-t-il si lacirconférence de ses roues est de 210 cm ?

Solution

Chapitre 8. Les engrenages 83

21 ss = 21 θθ =

1s 2s θ

Figure 8.3 – Transmission par les dentures et transmission par un axe commun.

R3

s3

r1

r2

ω2

ω1

ω3vvélo

Figure 8.4 – Transmission de la vitesse angulaire en vitesse linéaire sur un vélo.

84 Physique des mécanismes

8.3 La puissance

La notion de travail vue aux chapitres 4 et 5 nous renseigne sur l’énergie transféréepar les di�érente forces. Cependant, cette notion de travail ne nous renseigne pas surla rapidité avec laquelle le travail est e�ectué. La puissance est définie comme étantle taux auquel une force e�ectue un travail

P = �W

�t

. (8.11)

Puisque W = ˛

F · ˛

d on peut écrire

P =˛

F · �˛

d

�t

(8.12)

= ˛

F · v̨. (8.13)

La figure 8.5 illustre un pignon hissant une charge en tournant à vitesse constantesur une crémaillère fixe. Si le pignon s’élève d’une hauteur h en un temps t, la puissancedu moteur qui entraîne le pignon est

P = �U

t

= mgh

t

. (8.14)

De plus, puisque F = ·/r et v = Êr, on peut trouver une relation entre lapuissance du moteur et le moment de force que celui-ci applique à l’arbre du pignon

P = ˛

F · v̨ =3

·

r

4(Êr) (8.15)

= ·Ê. (8.16)

Les équations (8.11), (8.13) et (8.16) nous donnent trois façons de calculer lapuissance.

La puissance est exprimée en watt (W) dans le SI, mais le cheval vapeur ou horsepower (hp) est aussi couramment utilisé.

1 J/s = 1 W et 1 hp = 746 W. (8.17)

Chapitre 8. Les engrenages 85

100 N

ω

v

r

Figure 8.5 – Engrenage servant à hisser une charge.

86 Physique des mécanismes

Exemple 8.3

Un moteur entraîne un pignon P sur un arbre a tel qu’illustré à la figure 8.6. Lepignon entraîne à son tour une couronne C montée sur un arbre b. Le moteur déve-loppe une puissance de 4 hp et fonctionne à une fréquence de rotation constante de300 tours/min. En supposant qu’il n’y a pas de perte d’énergie dans ce mécanisme,déterminez

a) le moment de force exercé par le moteur sur le pignon P et

b) le moment de force exercé par la couronne C sur l’arbre b.

Solution

Chapitre 8. Les engrenages 87

C

Pa b

Figure 8.6 – Un pignon entraînant une couronne.

88 Physique des mécanismes

8.4 Exercices

8.1 Quelle est la vitesse angulaire

(a) de l’aiguille des secondes,

(b) de l’aiguille des minutes et

(c) de l’aiguille des heures d’une horloge analogique.

8.2 Une roue possède six rayons espacés de ma-nière égale. Le rayon de cette roue est de30 cm. Elle est montée sur un essieu fixe ettourne à 2,5 tours/s. Vous voulez tirer uneflèche de 20 cm parallèlement à son essieu àtravers la roue sans toucher un rayon. Sup-posez que la flèche et les rayons sont trèsminces.

rl

ω

(a) Quelle doit être la vitesse minimale de la flèche ?

(b) L’endroit visé entre l’essieu et la jante est-il important ? Si oui, où est-ilpréférable de viser ?

8.3 Un disque tournant initialement à 120 rad/s ralentit avec une accélérationconstante de ≠4 rad/s2.

(a) Combien de temps lui faut-il pour s’arrêter ?

(b) Quel est le déplacement angulaire du disque durant cette période ?

8.4 Une voiture de course se déplace sur une piste circulaire de 200 m de rayon.Sachant que la voiture est animée d’une vitesse constante de 80 m/s, déterminez

(a) la vitesse angulaire de la voiture et

(b) la grandeur et la direction de l’accélération de la voiture.

8.5 Un pignon de rayon r1 = 10 cm est couplé par une courroie à une roue derayon r2 = 25 cm. Immobile au départ, la vitesse angulaire du pignon augmenteà un taux constant de 1,6 rad/s2. Déterminez le temps qu’il faut à la roue

Chapitre 8. Les engrenages 89

pour atteindre une fréquence de rotation de 100 tours/min, en supposant quela courroie ne glisse pas.

8.6 Deux poulies sont utilisées avec une cour-roie dans l’une ou l’autre des trois posi-tions. Si l’accélération angulaire de l’arbreA est 8 rad/s2 et si le système est initia-lement au repos, calculez le temps requispour que l’arbre B atteigne une fréquencede rotation de 300 tours/min avec la cour-roie dans chacune des trois positions. (r1 =10 cm, r2 = 15 cm, r3 = 20 cm)

r1r2r3

r1 r2 r3A

B

8.7 À quelle vitesse un moteur de 37,3 kW peut-il soulever une charge de 1500 kg ?

8.8 Supposons que le moteur d’une voiture produise 2,24◊104 W de puissance ef-fective à une vitesse constante de 27 m/s. Quelle est la force de frottement quiagit sur la voiture à cette vitesse ?

8.9 Des boîtes sont transportées d’un endroit à un autre dans un entrepôt à l’aided’un convoyeur qui roule à une vitesse constante de 0,5 m/s. À un endroit donné,le convoyeur se déplace de 2 m vers le haut, le long d’un plan incliné à 10¶ parrapport à l’horizontale puis de 2 m à l’horizontale et enfin de 2 m vers le bas, lelong d’un autre plan incliné à 10¶ par rapport à l’horizontale. Supposez qu’uneboîte de 2 kg roule sur le convoyeur sans glisser. Quelle est la puissance duconvoyeur

(a) lorsque la boîte s’élève le long du plan incliné à 10¶,

(b) lorsqu’elle se déplace à l’horizontale et

(c) lorsqu’elle redescend le long du plan incliné à 10¶ ?

90 Physique des mécanismes

8.10 Un moteur entraîne un pignon P relié à un treuilT tel qu’illustré ci-contre. Le rayon du tambour dutreuil est r = 18 cm et celui de sa roue d’engrenageest R = 36 cm. Si un poids de 100 N est hissé surune hauteur h = 1 m en 1 s,

(a) quelle est la puissance e�ective du moteur ensupposant que la masse du treuil est négli-geable ?

(b) À quelle vitesse tourne-t-il ?

100 N

R

h

rPT