11

Difficultés liées à l’articulation Difficultés liées à l’articulation de deux niveaux d’étudede deux niveaux d’étude

des mathématiques des mathématiques

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Université de LiègeUniversité de Liège

Activités du Centre de Didactique SupérieureActivités du Centre de Didactique Supérieure

12 novembre 200712 novembre 2007

22

Deux niveaux d’étude mathématiqueDeux niveaux d’étude mathématique

Premier niveau : on cherche à modéliser des Premier niveau : on cherche à modéliser des objets non définis mathématiquement mais dont objets non définis mathématiquement mais dont on a une certaine connaissanceon a une certaine connaissance

Deuxième niveau : on construit une organisation Deuxième niveau : on construit une organisation déductive des éléments du modèle ainsi déductive des éléments du modèle ainsi construitconstruit

33

Premier niveau d’étude : Premier niveau d’étude : le travail de modélisationle travail de modélisation

Il s’agit, par exemple, de déterminer des aires Il s’agit, par exemple, de déterminer des aires curvilignes, des vitesses variables, des tangentes, par curvilignes, des vitesses variables, des tangentes, par des techniques « conviviales » : calcul de limites, de des techniques « conviviales » : calcul de limites, de dérivées, de primitives ou de construire des modèles dérivées, de primitives ou de construire des modèles fonctionnels qui rendent compte de la covariation de fonctionnels qui rendent compte de la covariation de grandeursgrandeurs

Et de justifier que ce calcul donne bien ce que l’on Et de justifier que ce calcul donne bien ce que l’on cherche, au prix d’une « validation » non canonique cherche, au prix d’une « validation » non canonique (validation pragmatique, intuitions géométriques ou (validation pragmatique, intuitions géométriques ou cinématiques) cinématiques)

44

Premier niveau d’étude : Premier niveau d’étude : le travail de modélisationle travail de modélisation

Questions d’élèves bien réelles, même si elles ne sont Questions d’élèves bien réelles, même si elles ne sont pas toujours exprimées : pas toujours exprimées : « Un calcul de limites peut-il donner la valeur exacte « Un calcul de limites peut-il donner la valeur exacte d’une aire curviligne ou d’une vitesse instantanée ? »d’une aire curviligne ou d’une vitesse instantanée ? »« Qui nous prouve que l’addition de vecteurs correspond « Qui nous prouve que l’addition de vecteurs correspond bien à la coplanarité ? »bien à la coplanarité ? »

Questions souvent évacuées par le professeur :Questions souvent évacuées par le professeur :« Déjà les bouquins sont faits comme ça et, euh, les questions plus « Déjà les bouquins sont faits comme ça et, euh, les questions plus délicates, ben je veux dire, le visuel c’est quand même pour ça qu’on délicates, ben je veux dire, le visuel c’est quand même pour ça qu’on montre, euh, on essaie quand même de leur faire voir quelque chose montre, euh, on essaie quand même de leur faire voir quelque chose pour qu’ils nous laissent tranquilles entre guillemets, quoi. Qu’ils voient pour qu’ils nous laissent tranquilles entre guillemets, quoi. Qu’ils voient que c’est juste et qu’ils nous posent pas de question plus précise, que c’est juste et qu’ils nous posent pas de question plus précise, quoi. »quoi. » (étudiant d’agrégation) (étudiant d’agrégation)

55

Deuxième niveau d’étude : Deuxième niveau d’étude : couler le modèle dans un moule euclidien couler le modèle dans un moule euclidien

Définir mathématiquement les objets initiaux par les Définir mathématiquement les objets initiaux par les techniques qui permettaient de les déterminer au stade techniques qui permettaient de les déterminer au stade précédent, ce qui rend nulles et non avenues les précédent, ce qui rend nulles et non avenues les questions précédentesquestions précédentes

Agencer les pièces du modèle en une organisation Agencer les pièces du modèle en une organisation déductive où le mode de validation est exempt de toute déductive où le mode de validation est exempt de toute considération étrangère au contexte d’origineconsidération étrangère au contexte d’origine

66

Deuxième niveau d’étude :Deuxième niveau d’étude : couler le modèle dans un moule euclidien couler le modèle dans un moule euclidien

Ce 2Ce 2èmeème niveau se distingue du 1 niveau se distingue du 1erer par des tâches et par des tâches et techniques d’un autre ordre : conjecturer un ordre techniques d’un autre ordre : conjecturer un ordre d’agencement de théorèmes, démontrer l’un d’eux au d’agencement de théorèmes, démontrer l’un d’eux au moyen des règles d’inférence du calcul propositionnel, moyen des règles d’inférence du calcul propositionnel, établir un lot d’axiomes, réfuter une conjecture fausse établir un lot d’axiomes, réfuter une conjecture fausse par la technique de la recherche du lemme coupable, …par la technique de la recherche du lemme coupable, …

Pose des questions épistémologiques : nature des Pose des questions épistémologiques : nature des concepts scientifiques, falsifiabilité des théories, concepts scientifiques, falsifiabilité des théories, problème méthodologique de la simplicité, refus du problème méthodologique de la simplicité, refus du mélange des genres, …mélange des genres, …

77

Deux niveaux de rationalitéDeux niveaux de rationalité

Ces deux niveaux d’étude peuvent être identifiés comme Ces deux niveaux d’étude peuvent être identifiés comme deux niveaux de rationalité complémentaires (E. Rouy) deux niveaux de rationalité complémentaires (E. Rouy)

L’absence d’identification du premier niveau empêche la L’absence d’identification du premier niveau empêche la visibilité et la viabilité des deux et se solde souvent par, visibilité et la viabilité des deux et se solde souvent par, d’une part, un repli sur le procédural au niveau du d’une part, un repli sur le procédural au niveau du secondaire et, d’autre part, une « copie » du discours secondaire et, d’autre part, une « copie » du discours théorique universitaire dont on a retiré les endroits les théorique universitaire dont on a retiré les endroits les plus délicats (E. Rouy)plus délicats (E. Rouy)

Qu’en est-il du 2Qu’en est-il du 2èmeème niveau ? niveau ? Le « partage » des deux niveaux entre le secondaire et Le « partage » des deux niveaux entre le secondaire et

l’université est à penser différemment d’un domaine l’université est à penser différemment d’un domaine mathématique à l’autremathématique à l’autre

88

Quel partage des rôles entre Quel partage des rôles entre secondaire et université ?secondaire et université ?

« Je crois que tout simplement dans le secondaire j’ai vu la limite et « Je crois que tout simplement dans le secondaire j’ai vu la limite et la dérivée comme des techniques. Je savais très bien dériver, je ne la dérivée comme des techniques. Je savais très bien dériver, je ne me trompais pas mais la signification profonde de la dérivée, je ne me trompais pas mais la signification profonde de la dérivée, je ne l’avais pas perçue. Je pense que la maturité de l’élève est telle que l’avais pas perçue. Je pense que la maturité de l’élève est telle que c’est une notion sur laquelle il faut revenir après. Je ne vois pas de c’est une notion sur laquelle il faut revenir après. Je ne vois pas de problème à dire : on a donné la définition, on a surtout insisté sur la problème à dire : on a donné la définition, on a surtout insisté sur la technique de calcul parce que c’est à la portée des élèves à cet technique de calcul parce que c’est à la portée des élèves à cet âge-là et puis en premier bac, on revient sur la notion en disant : âge-là et puis en premier bac, on revient sur la notion en disant : attention, voilà ce qu’il y a en plus. Même en bio, je reviens dessus attention, voilà ce qu’il y a en plus. Même en bio, je reviens dessus en disant : c’est un taux de variation instantané particulier. Et ça, en disant : c’est un taux de variation instantané particulier. Et ça, dans le secondaire, on ne l’a pas vu mais il ne fallait peut-être pas dans le secondaire, on ne l’a pas vu mais il ne fallait peut-être pas le voir. C’est à nous à le faire »le voir. C’est à nous à le faire » (professeur 1er BAC) (professeur 1er BAC)

99

Quel partage des rôles entre Quel partage des rôles entre secondaire et université ?secondaire et université ?

« Je pense que, dans le secondaire, les élèves n’ont aucun « Je pense que, dans le secondaire, les élèves n’ont aucun intérêt, aucun désir de maîtriser les dérivées »intérêt, aucun désir de maîtriser les dérivées » (professeur (professeur d’université)d’université)

« Les élèves qui arrivent du secondaire ne réfléchissent pas : ils « Les élèves qui arrivent du secondaire ne réfléchissent pas : ils appliquent des procédures »appliquent des procédures » (professeur d’université) (professeur d’université)

« On nous dit qu’il faut évaluer selon trois compétences : « On nous dit qu’il faut évaluer selon trois compétences : connaître, appliquer et résoudre des problèmes. Mais, il vaut connaître, appliquer et résoudre des problèmes. Mais, il vaut mieux mettre le maximum de points pour la deuxième rubrique si mieux mettre le maximum de points pour la deuxième rubrique si l’on veut ne pas avoir trop d’échecs »l’on veut ne pas avoir trop d’échecs » (professeur du secondaire) (professeur du secondaire)

« Tout ce qu’on nous demande, c’est de préparer les élèves à « Tout ce qu’on nous demande, c’est de préparer les élèves à bien calculer pour la suite »bien calculer pour la suite » (professeur du secondaire) (professeur du secondaire)

1010

Quel partage entre futurs mathématiciens et Quel partage entre futurs mathématiciens et futurs « utilisateurs » de mathématiques ?futurs « utilisateurs » de mathématiques ?

Exemple : étude des limites proposée par J. Stewart Exemple : étude des limites proposée par J. Stewart dans le cadre d’un cours de « mathématiques dans le cadre d’un cours de « mathématiques générales » :générales » :

• Un aperçu du calcul différentiel et intégralUn aperçu du calcul différentiel et intégral• Le problème de l’aireLe problème de l’aire• Le problème de la tangenteLe problème de la tangente• La vitesseLa vitesse• La limite d’une suite (paradoxe de Zénon)La limite d’une suite (paradoxe de Zénon)• La somme d’une sérieLa somme d’une série

• Les limites et dérivéesLes limites et dérivées• Les problèmes de tangente et de vitesseLes problèmes de tangente et de vitesse• La limite d’une fonctionLa limite d’une fonction

1111

Quel partage entre futurs mathématiciens et Quel partage entre futurs mathématiciens et futurs « utilisateurs » de mathématiques ?futurs « utilisateurs » de mathématiques ?

Faut-il dépasser le 1er niveau d’étude avec de Faut-il dépasser le 1er niveau d’étude avec de futurs « utilisateurs » de mathématiques ?futurs « utilisateurs » de mathématiques ?

Avec lesquels et en quelles circonstances ?Avec lesquels et en quelles circonstances ?