BRUNO PROULX

DÉVELOPPEMENT D'UN MODÈLE DE SIMULATION SUR LE CONTRÔLE

ACTIF D'UNE PLAQUE MINCE AVEC DES CÉRAMIQUES PIÉZOBLECTRIQUES

Mémoire

présenté

à la Faculté des Études Supérieures

de IfUniversit4 Laval

pour l'obtention

du grade de maître ès sciences (M.Sc.)

Département de génie mécanique

FA CUL^ DE SCIENCES ET D E GÉNIE

UNIVERSITÉ LAVAL

AVRIL 1997

O Bruno Proulx 1997

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Ce travail présente le développement theorigue ainsi qu'une &-de numérique et expeimentale

sur le comportement d%i système composé d'me structure plane et de pièces piézoélectriqyes. Les

pièces piézoélectriques faites de ceamique peuvent agir comme amateur ou comme senseur. Ces

pièces piézoéIectriques positionnées symétriquement de part et d'autre de la plaque ont pour but

d'imposer un moment de fiexion h cellea L'ualisation de l'approche variatiomelle permet d'obtenir

I'effet de couplage entre les pièces piézoéIectnques et la structure. Le simirlateur numérique qui en

résulte a l'avantage de permettre Mude parametrique de différents montages sans passer par la phase

expérimentale. De cette etude paramétrique, on observe reffet de la vaxiation des caractéristiques des

pièces pi&oélectriques sur le système et la comparaison entre le comportement d'un actuateur

piézoélectrique et un pot mirant Par la suite, des résultats num&riques et expérimentaux sont

comparés. Ces résultats démontrent une bonne concordance entre la partie théorique et experimentale

validant aiwi le simulateur. De plus, une methode de mise en place des pièces piézoélectriques est

suggérée pour optimiser le rendement des actuateurs et des senseurs. Ii importe de bien connaître le

comportement existant entre les acniateurs et les senseurs sur une structure plane. En effet, ces

connaissances pemettront l'et~de du contrôle actif, prochaine &tape à ce travail.

B-O PROUW(

Étudiant gradue

Dr LiCHENG

Directeur de Recherche

il n'aurait pas &té fkciie de produire cet ouvrage sans la contribution de plusieurs personnes.

Tout d'abord, je tiens remercier le personnei enseignant et tedinique de 1WnivezSit~ Laval que

jhi eu la diance de cotôyer tout au long de mon baccalaur6at et de ma maîtrise. Ce fut pour moi une

expérience très enrichisSante autant sur Ie plan humain que scientinque que de faire partie de ce milieu.

Ce mémoire, je l'ai accompli sous la supervision du Dr Li Cheng. En plus de son apport

s c i e n ~ u e . j'ai pu d6couvrir en lui une grande source de motivation, par son intérêt de bien former ses

étudiants et le dynamisme avec lequel il entreprend tous ses mandats.

Je voudrais tout sp&dement remercier mes parents pour leur soutien hanàer et leurs

encouragements. 5 ont su m'aider a me r6aliser à travers ces années d'6tudes.

Finalement, j'airnerais témoigner ma reconnaissance A mes soeurs Lise et France. Elles ont su

démontrer leur appui et une confiance soutenue.

Je dédie ce havail à mon pere.

Bruno Proulx

Avril f 997

TABLE DES M A T I ~ ~ E s

Pane

AVANT-PROPOS .............................................................................................................................

TABLE DES MATIÈRES ...................... .. ..................................................................................

LEXIQUE DES SYMBOLES .............................................................................................................

INTRODUClCION .............................................................................................................................

.............................................................................................................................. His toriauc

rarmaue sous sa fonne moléculaire ...................................................................

................................................................................................ 1.2.1 L'effet pit5zoeiectrique 1.2.2 L'effet diélectrique ..................................... ......... 1.2.3 La ferroélectricité associée aux matériaux piézoélectrique ..................................... 1.2.4 Courbe d'hystérésis ........................................ .... .........

1.2.4.1 Courbe d'hystérisis lors de la polarisation ................................................... 1.242 Courbe d'hysténsis lors du fonctionnement ..................... .. .... .. .............

. . . aues mtnnsecues aux piéz~céramrqu~ ..........................................................

Système d'axes ......................................................................... ..................................................................................... Caractéristiques mécaniques ....................................................................................... Caractéristiques élecfxiques

Effet direct, effet inverse ............................................................................................ .............................................................................................. Facteur de dissipation

........................................ Facteur d'amortissement Q, ..... .............................

..................................................................................... Cons tantes piezo4lectriques Conditions aux limites des constantes piézoélechiques ......................................... 1.3.8.1 Élastiat6 .........................................................-.................................................

................................................................................ 1.3.8.2 Permittivité diélectrique indices des constantes piézoélectriques ................... ...... ....................................

......................................................................... 1.4.1 Enthalpie et déplacement éIectnque ................................................................................. 1.42 Voltage aux bornes du senseur

1.5.1 Résonance ..................................................................................................................... . . . . 1.52 Grcuit eqwvalent .........................................................................................................

1.6.1 PoIarit6 d'une pièce piézo4lectrique ............................................................................ 1.6.2 Types d'alimentation des pi&océramiques .............................................................. 1.6.3 Limitationdespi&océramiques .......~..............................~~...~.................................... 1-64 Couplage ...................................................................................................................... 1.6.5 Fabrication ................................................................................................................... 1.6.6 Vieillissement ............................. ... ..............................................................

CONCLUSION .....................................................................................................................

2.1.1 Présentation du système à d'étudier ............................................................... 2.1.2 Conditions aux Limites ............................................................................................... 2.1.3 Champ de d6placements ................................................ .. ...................................... 2.1.4 Méthode de Rayleigh-Ritz .........................................................................................

2.2 JX velo~~ement des eaua ....................................................... *

2.2. Énergie h é t i q u e ........................................................................................................ 2.2.2 Énergie potentielle ....................................................................................................

2.2.21 L'énergie potentielle de la plaque ................................................................ 2.2.2.2 L'énergie potentieUe des éléments piézoélectriques ............................... .... 2.223 L'énergie potentielle des bords ....................................................................

2.2.3 Travail .................................................................. ...........................................................

2.3 Calcul des termes matnaels du systèmg . . ............................................................................

2.3.1 Contribution de l'énergie cinétique : termes d'inertie ............................................... 2.3.2 Contribution de l'énergie potentielle ......................... .. ...........................................

2.3.2.1 Rigidité du senseur .................... .... ........................................................ 2.3.2.2 Rigidité et force généralisée de i'actuateur ............................................... 2.3.2.3 L'eiergie potentielle provenant des bords .................................................

2.3.3 Travail ..........................................................................................................................

2.4 Calcul de la tension aux bornes du senseur .........................................................................

25.1 Matrice de masse ....................................................................................................... 25.2 Matrice de rigidité .................... ... ......................................................................... 25.3 Vecteur de force geiél.alisée ......................................................................................

28.1 Résolution des valeurs propres du système ........................................................ ...... 2.6.2 Réponse du système forcé ............................................................................................ 26.3 Vitesse quadratique ....................................................................................................

alvse &n&ale du systeme ................................................................................................

3.1.1 Type demontage .................................................................................................... ....................... 3.12 Comparaison plaque seule et plaque + pièces piézoélectriques

3.1.3 Vérification du calcul de la masse et de la rigidité des pièces piézoélectriques .... 3.1.4 Poutre excitée par une paire d'actuateurs ................................................................

.................................................................................................. Comnortement du systPme

33.1 Exatation pondude versus actuateur piézoélectrique ......................... ...... ........ 3.2.2 Analyse de couplage ............................................................ ....................................

fiuence de 1 . . . . . iézoélectriau~ .................................. a vanahon des caractensticpes &s D

3.3.1 Module d'Young, densité. constantes ( e. ) ............................................................... ......................................... 3.3.2 Dimensions des pièces piézoélectriques non uniformes

3.3.3 Variation de la longueur des senseurs ................................................................... 3.3.4 Variation de l'épaisseur des senseurs et la permittivite .......................................... 3.3.5 Mat4riau PVDF versus matériau céramique ............................................................

4-1 JvBe en place des piEre5 piézoé1- ..........................................................................

.......................................................................... 41.1 Choix des pieces pi6zoélectriques .......... 4 Rbparation des pièces piézoélectriques ............................*............*.......

4.1.3 Choix du conducteur .................................................................................................. 41.4 Soudure .................... ........... .........................................................................................

4.1.5.1 Choix de l'adhésif .......................................................................................... 4.1.5.2 Inauence de l'adhésif sur la r4ponse du système ........................ .........

.......................................... 4.1.6 Proc6dure de q&g en &ce des pieces ~i6zoéle-es

4.1.6.1 Avec un bloc rigide ....................................................................................... 4.1.6.2 Autre méthode de mise en place et comparaison .............................. .. .....

4.2 Conclusion ............................................................................................................................

4.3.1 Fixation du système ...................................... .................. ......... 4.3-2 Élaboration sur les composantes électromécaniques du montage et le traitement

................................................................................................................... de signaux 4.3.2.1 Actuateur piézoélectrique et capteur de force ............................................. 4.3.2.2 Accél4romètre et senseur piézoélectrique ...................................................

4.4.1 Fréquences naturelles ................................................................................................

4.4.2 pla?ue excltee par un pot . . vibrant .............................................................................

4.4.2.1 Repense mesude avec un accélérom&re .................................................... 4.4.2.2 R6ponse mesurée avec un senseur ..............................................................

4.4.3 m u e -citée par un actuateur ...............................................................................

4.4.3.1 Rkponse mesurée avec un accékomètre ................................................... 4.4.3.2 Réponse mesurée avec un senseur ..................... ... ..................................

........................................................................................... 4-45 Facteurs de perturbation

4.4.5.1 Infiuence du champ magnétique sur la charge induite dans la plaque ..... 4.4.5.2 Influence des bandes adhésives ...................................................................

4.5 C o n d m .............................................................................................................................

CONCLUSION .....................................................................................................................

....................................................................................................................... R~F~RENCES

ANNEXE A Amélioration du protocole de soudure .................................................

ANNEXE B Références gértédes ................................................................................

CONSTANTES

Ë = Champ électrique [volt/m&re]. [M] = Matrice de masse.

[KI = Matrice de rigidité complexe. y = Module d'Young complexe de la plaque [Pa 1. j' = Nombre complexe fi. [ adimensiomde] c(a$) = Vecteur de configuration de la représentation par carroyage [ adimensionneile]. fi = Déplacement électrique [couIomb/mètd 1.

h.. KI

= Fonction de x et y représentant le profil de polarisation [ adimensionnelle]. = Force généralisée de l'actuateur m. = Aire de nirface occupée par l'électrode ou la céramique [mètre2 1. = Capacitance [farad]. = Rigidité Pa]. = Constante piézoélectrique ( effet direct [C/NJ effet inverse [m/v ). = Épaisseur [mètre]. = Energie cinétique [ joule]. = Constante piézoélectrique (effet direct [C /m2], effet inverse [N/m.V] ). = Demi-épaisseur de la plaque [mètre]. = hergie potentielle [joule]. = Module de cisaillement ( Pa ). = Constante piézoélectrique de tension ( effet direct [V-m/N], effet inverse [ m2/C] ). = Densité de 1' enthalpie électrique [Pa]. = Constante piézoélectrique, effet direct [ V/m], effet inverse m/C]. = Coefficient de couplage [ adimensiome~e]. = Charge [coulomb]. = Facteur d'amortissement mécanique [adirnensiomelle]. = Déformation [mètre/mètre J. = "Cornpliance" ou souplesse élastique [ Pa"]. = Perte tangentielle [ adimensiomde]. = Contrainte [Pa]. = Coordomées sur l'axe des x coin inférieur gauche. = Coordonnées sur I'axe des x coin inférieur droit. = Module Young piézoélectrique [Pa]. = CoordomeeS sur l'axe des y coin supérieur gauche. = Coordonn6es sur l'axe des y coin supérieur droit. = Impédance

v = Coeffiaent de Poisson [ adimensionnelle]. P = Densit4 volumique [kg / m3]. 5 = Permittivite du vide = 8.85 x luU [farad / mètre]. Ey = Permittivité ( farad / mètre ). e" = permittivit6 complexe du diélectrique [ k a d / mètre]

4 = Angle de déphasage des amateurs par rapport ii la force d'exatation [rad/s].

'4 = Permittivité relative [ admidunnelle]. O = Fr6qyence [ rad / s ] s(t) = Coefficient de l'expansion polynomiale [ adimensionnde]. m = Nombre de tennes en direction x de l'expansion polynomiale [ adimensionnelle]. n = Nombre de termes en direction y de Pexpawion polynomiale [ adimensionneile]. L = Lagragien boule] f (t) = Force ponctuelle extérieure généralisee N

A champ constant (électrodes court- circuit6es ). A induction constante (électrodes en circuit ouvert ). A effort constant (eprouvette libre ). A déformation constante (éprouvette encastrée ). Plaque. Actuateur. Senseur. Senseur ou actuateur. Aux limites de la plaque.

INDICES

cin = Ch6tique. pot = Potentielle. P = Plaque. a = Actuateur. s = Semeur.

Dans les dix demières années, plusieurs recherches ont &té réabées sur le contrôle actif du bruit

acoustique et des vibrations. Dans le cas des vibrations, l'utilisation de pièces pi&oélechiques semble

avoir retenu l'attention de plusieurs auteurs et ce, pour de multiples raisons. Pour approfondir le sujet et

nous permettre de prendre connaissance de ce qui a et6 accompli en matière de recherche jusqu'a

maintenant, ce travail a débuté par une recherche bibliographique (voir annexe B) en septembre 1995.

Lbbjeaif visait à d e r un simulateur numérique capable de domer la repense d'un sys tbe composé

d'une plaque mince et de pièces piézoélectriques. Ces pièces piézoélectriques pourraient travailler

comme senseur ou actuateur.

Les éléments piézoélectriques ont la propriété de se déformer sous l'action d'un signal électrique

et inversement, génèrent des charges aux éiectrodes sous l'effet d'une déformation. Cette partidarité

des éléments piézoélectriques en fait des pièces maîtresses dans la conception d'une structure

intelligente. Beaucoup d'auteurs se servent de ces propriétés pour en tirer parti. Au début, les

chercheurs se sont penchés sur Mude de systèmes composés d'une seule pièce piézoélectrique

positionnée symétriquement ou asymétriquement par rapport au centre d'une poutre[3,15,32]. En

positionnant la pièce piézoélectrique asymétriquement, 2s désiraient obtenir une combinaison des

déplacemenk de flexion et d'extension. Crawley et de Luis [9] commencèrent à s'intéresser à une paire

de pièces piézoélectriques plades de part et d'autre d'une poutre dans le but de tirer avantage de

l'efficacité d'un mouvement de flexion pure. Finalement, on s'intéressa à la moddisation et au

comportement d'une structure bidimensionnelle exatée par une paire d'actuateurs piézoélectriques.

Ces diff6rents systèmes sont basés, pour la plupart, sur une modélisation statique[4,9,15].

Cependant, un désavantage pour ce type de modélisation, c'est qu'elle perd son exactitude avec

l'augmentation de la fréquence. En effet, l'utilisation d'une approche statique pour une analyse

dynamique n'est pas suffisamment précise, puisque les forces actives produites par I'actuateur sont, dans

la plupart des cas, des forces alternatives. Ainsi, il existe une interaction dynamique entre la structure et

i'actuateur, i'é1ément actif. Cette interaction, que l'on qualifie de couplage dynamique, affecte la

performance de la structure et de l'actuateur lui-même. De plus, lorsqu'on procède à une modélisation

statique, on ne s'en tient qu'au moment produit par les actuateurs. On néglige ainsi la masse et la

rigidité dynamique des éléments piézoélectriques. Dans ce cas, pour amenuiser l'effet de masse et de

rigidite des pièces piézuéIe&iques, on choisit un ratio aeve de la d c e occupée par k plaque sur c d e

des pièces piézoéleckiques.

Pour remédier aux lacunes des modèles statiques qui nous doment des résultats valables

seulement en basses fréquences, nous avons r6alisé dans ce présent travail, une modélisation dynamicpe.

Rogers et a1.[37] ont déja produit un modèie dynamique d6veloppé à partir de l'irnp6dance du système,

en ualisant une seule paire d'actuateurç piézoeiectriques et des jauges de déformation comme senseurs.

Nous proposons plutôt, une modélisation dynamique basée sur l'approche variationnelle. De cette

façon, nous pouvons tenir compte de l'effet de masse et de rigidit6 des &éments piézoéiectriqyes dans le

système. Pour r6soudre le système, on ualise la m6thode variationnelle de Raleigh-Ritz. La préasion de

cette méthode dépend du type de série de puissance utiiîsée et du nombre de termes dans la série.

Le modèle, sur lequel nous désirons 6tabli.r une modéhation dynamique, consiste en une plaque

rectangulaire, homogène, mince, sur laquelle sont disposées de chaque côté, des pikes piézoélectriques.

L'arrangement en paire des élhents piéz061echiques~ de par leurs syrnéûies, facilite la modélisation

mathématique de ce système continu. En effet, la simplification de la modélisation du système est

associée au mouvement résultant de chaque paire de pièces piézoéIectriques se traduisant ahsi par une

flexion pure. De plus, la plaque et les pièces piézoélectriques &tant minces, on peut apporter une

simplification supplémentaire en negligeant le cisaillement produit par la déflexion. La disposition de

chaque paire d'éléments piézoélectriques peut être aMatoire, s a w @rd h leurs caractéristiques. Par

contre, à ce stade-ci du projet, la forme, à la fois de la plaque et des pièces piézoélectriques, devra être

rectangulaire. Pour I'iwant, le but premier n'est pas de déterminer la forme des pieces piézoélectriques

mais bien la relation électrom4canique des éléments piézoélectriques sur la plaque par rapport à la

repense du système.

Les amateurs piézoélectriques offrent plusieurs avantages comparativement au pot vibrant. Ils

prennent peu de place, sont lggers, ont un prix abordable, sont faciles à tailler, n'exigent pas d'appui en

fonctio~ement et, lors du contrôle actif, ils émettent un minimum de "spillover'". Lors de l'utilisation

des pièces pi&oélectriques en contrôle a d , on se sert habituellement de deux types de materiaux: les

matériaux PVDF ( fiuorure de poIyvinyle) et les c6ramiques. Le premier affiche un faible module de

Young et une faible densite. Même avec ces piètres caractéristiques, certaiw auteurs [14,23] les utilisent

&nt donné qu'5 négligent la masse et la rigidité de c e d dans leur propre modelisation. Pour

contrer ces lacunes, nous avons fixé notre choix sur les pièces pi&&Iectriques en matériau céramique

' Le terne " spillover" se définit comme &ant un surplus d'énergie injecte dans les modes résiduels du système.

présentant une masse et une impédance supérieures aux matériaux PVDF. De plus, la modélisation

dynamique employée dans ce travail nous permet de tenir compte de la rigidité et de la masse comme

exprimé plus tôt.

Nous traiterons aussi de l'analyse des différents essais numériques exécutés à partir du

simulateur numérique. Dans un premier volet, nous avons insisté sur l'effet de la variation des

caractéristiques des pièces piézoélectriques sur la réponse du système. Cette &tude prend de

l'importance puisque les fabricants de pièces piézoélectriques évaluent leur pourcentage d'erreur à

environ 10% à 20% sur la valeur des constantes mtrinsèques aux éléments piézot5Iechiques. Dans un

deuxième temps, on passe en revue l'influence de Ilgères variations de dimensions des pièces

piézoélectriques lorsqu'on les utilise comme senseur ou amateur.

Par la suite, une comparaison est établie entre la réponse d'un senseur fabriqué en PVDF et un

senseur de céramique. Ce paraIlè1e nous permet de déterminer la différence de sensibilité entre les deux

modèles.

D'autre part, une étude de la variation de la longueur du senseur positionné au centre de la

plaque a été effectube de façon a établir un paTaU3de avec l'étude déjà faite par Fuller et al. 1141 sur la

forme des senseurs. Fuller et al. ont démontré que la forme du senseur, pour certains modes donnés,

produira une r6ponse plus adaptée au contrôle adif qu'un accéléromètre. Le senseur &tant étalé sur une

grande surface établira une moyenne des d o ~ & s , ce qui aura un effet de filtre.

Lonqu'on entreprend une étude de forme, on peut évaluer le prof3 d'une pièce unique à l'aide

d'un gand nombre de pièces de dimension moindre. L'utilisation d'un grand nombre de pièces permet

de se rapprocher de la forme déside. Mais avant, on doit s'assurer que la sommation des déformations

ou confxaintes pour une seule pièce piezoélechique sera la même, que pour cette même pièce

piezoéledrique divisée en partie. Nous avons qualifie cette proprieté d'additivité. Cette propriété existe

pour un senseur et un actuateur. Cette étude sera entreprise dans le chapitre 3.

Une des étapes importantes de ce projet couvre la partie exp&i.mentale. Le but de cette étape

consiste à valider les différents caiculs fournis par le simulateur. Pour ce faire, on procède à la mise en

place des pièces piézdectriques sur la plaque a raide d'un adhésif. L'objectif est alors d'obtenir une

épaisseur de l'adhésif suffisamment mince et un positionnement des 6léments piézoélectriques

relativement exact. En effet, le simulateur considère que la disposition de chaque chmique de part et

d'autre de la plaque est exacte et ignore l'existence de Pinterface entre la céramique et la plaque. Cette

demière hypothèse demeure valable sous certaines conditions. Crawley et de Luis [9] considèrent que

les pertes en cisaillement par la couche de i'adhésif sont n6gligeables. Par contre, Plantier [32] a procédé

à une modébation en tenant compte de la couche d'adhésif et associe les écarts entre les t6SULtats

numériques et les résultats expérimentaux aux variations du module de cisaillement par rapport a la

fréquence. En nous basant sur cette étude, nous proposons dans ce travail, une procédure de montage et

un type d'adhésif qui minimisait les erreurs causées par La couche d'adhésif.

Le choix du conducteur et de la procédure de soudure doivent être faits afin que l'ensemble soit

suffisamment solide et occupe le moins d'espace possible; ces directives s'appliquent en particulier pour

le conducteur hxé à l'électrode, faisant face à la structure. En effet, pour laisser place au conducteur se

situant entre Pélément piézoélectrique et la pIaque, une rainure doit être pratiquée dans la plaque. Cette

rainure doit respecter une largeur et une longueur minimum afin d'éviter les pertes en cisaillement au

niveau de la couche d'adhésif.

A la suite de la lechire de plusieurs publications sur l'optimisation de l'épaisseur d'une paire

d'actuatetm, nous avons prévu un volet traitant du sujet Après une étude pr41iminairef nous avons

condu que l'épaisseur optimale des pièces piézoélectriques était influencée par les conditions aux limites

de la plaque, les forces extérieures et le niveau d'activation de l'actuateur. Étant donné que l'épaisseur

des actuateurs piézoélectriques dépend d'autant de paramètres, il nous est apparu infnictueux de

poursuivre cette étude.

Enfin, ce projet de maîtrise fait partie de la première phase d'un contrat de recherche avec la

compagnie de Havilland, portant sur le contrôle actif d'une stnicture d'un Dash-8 série 400.

Dans ce chapitre, nous aborderons les points importnnts traitant du phénomène piaoélectrujue, en

dehfunt par [a présen fation de son amnngemmt moléculaire, suivi de ses umtcténsfiques mécaniques et

eIlectrrctrrques. Le chupitre se termine par In présentation des propriétés mucroscopipes du phénornke. M e

étude porte essenfiellemetzt sur les maférinux cémmiipes.

Le phénomène piézoélectrique fut découvert à h S r b o ~ e en 1880 par les &es Pierre et

Jacques Curie [31b]. Dans la biographie de Pierre, Marie Curie, sa femme, précise que cette découverte

ne fut pas accidentelle, mais bien le r6sultat d'une etude expérimentale et thkorique sur la symétrie des

matériaux cristallins. ta cristallographie et les relations mathématiques se rapportant aux pièces

piézoélectriques furent développées quelques armées avant la d6couverte. Les cristaux étudiés à cette

époque comprenaient le quartz, la tourmaline, le sel de Rochelie mais devinrent techniquement

importants cinquante ans plus tard.

D&ja h l'époque, Pierre et Marie Curie les utilhient dans des applications é1ectrostatiques

rencontrées dans leur étude de la radioactivité. La première application en ingénierie fut r6alisée en 1916

par Paul Langevin, lors de la fabrication d'un générateur &ondes ultra-soniques pour la mesure et la

détection sous-marine Cet appareil est fabrique a parfir d'une pièce piézoélectriqye positionnée entre

deux plaques de met&

C'est après 1945 que le terme ferroélectrique fut généralement accept6 par les scientifiques aprk

qu'ils eurent observé la valeur élevée de la constante diélectrique et la courbe d'hystérésis des sels de

Rochelle. Vers 1940, les chercheurs commencèrent à produire des composés tels que le titanates de

baryum (BaTi0,) dans le but d'améiiorer les performances des sels de Rochelle. Depuis ce temps, on

travaille à amdiorer les procedés; ainsi le composé de plomb, zirconium, titane ou PZ'( titanates-

zirconates de plomb) avec Pajout de différents additifs est devenu la ceamique la plus performante

depuis les annees 50.

1.2 LE PI&ZOC~~RAMCQI~TE SOUS SA FORME MOUCULAIRE

13.1 L'EFFET P~ZO&.XCTRIQUE

Lorsqu'on exerce sur les matciriaux piézoélectriques des efforts dans rune ou l'auhe direction,

des charges électriques apparaissent sur des faces données de certains aistaux, c'est l'effet direct. L'effet

inverse doit aussi exister, c'est-à-dire que lorsqu'on amène des charges électriques aux bornes d'un

matériau piéz&ledrique, celui-ci subit un changement de forme.

L'effet piézoélectrique ne peut s'observer exclusivement que chez les non-conducteurs, puisque

dans les conducteurs. la charge (aectrons ) se répartit sur la totalité de la surface conductrice. Pour que

les électrons puissent se déplacer suivant une direction privilégiée sous l'effet d'effort de traction ou de

compression, il faut que cette direction trouve son origine dans la structure même du corps. L'&et

piézoélectrique ne pourra se manifester que dans les corps dont l'édification des constituants

élémentaires est soumise 2 une certaine ordonnance. On parle alors de cristaux. Dans notre cas, nous

nous attarderons aux c6ramiques.

La céramique est un compose ionique ayant la propriété d'être di&ctrique. Les isolants

électricpes, appelés &@ment diélectriques, sont des matériaux dont la résistivité est extrêmement

élevée. Ils sont caractérisés par une largeur importante de la bande interdite (d'environ quelques

électronvolts). La bande interdite se situe entre ia bande de valence et la bande de conduction. C'est

donc i'énergie nécessaire pour qu'un électron de valence passe a la bande de conduction. Ainsi, les

diélectriques sont essentiellement des matériaux liaisons ioniques ou covalentes dans lesquelles les

électrons de liaison sont fortement localisés.

Pour arriver A produire l'effet piézdectrique d m un diélectrique, on doit, tout d'abord être en

possession d'un matériau dont l'arrangement comprend des dipôles ou a la possibiLit4 d'en acquérir. On

doit souligner que certains matériaux présentant des dipôles ne sont pas nécessairement

piézoélectriques. Voyons maintenant de quelle façon on génère un dipôle.

Tout d'abord pour bien comprendre le phénomène de la formation des dipôles[ll], utilisons un

cas simple de polarisation, à savoir la polarisation fiectronique, à partir d'une orbitale sphérique "s" d'un

atome. A cause de la symétrie sphérique de cette orbitale, le centre de gravité des charges négatives et

celui des charges positives sont confondus (figure 1.la).

.* 0 : noyau ; .

Fi- 1.1

Atome A orbitale sphérique polarisé par un champ dectzique E.

Sous i'iduaice d'un champ éiectrique Ë, i'orbtale a tendance se déformer, car les électnms sont attirés

par le pôle positif du champ (figurel.lb). A noter que les charges positives et négatives sont exactement

balancées dans un corps éleckiqyement neutre. Ii s'ensuit alors que les centres de gravit6 des charges

negatives et positives ne sont plus confondus, entraînant ainsi la formation d'un dipôle électrique,

~mctérisé par un vecteur de polarisation i? qui s'oppose au champ électrique Ë . Dès que l'influence du

champ électrique cesse, les orbitales reprennent leur forme et la polarisation disparait

Certaines molécuies dont les centres de gravit6 des charges positives et négatives ne se

confondent pas sont polarisées naturellement Lorsqu'on soumet une mo16cuIe polaire à un champ

électrique extérieur, son dipôle tend à s'orienter selon la direction du champ. Consé~emment, la

molécule se déforme légèrement, on parle alors de polarisation d'mienfafiun. La polarisation d'orientation

ne p r h t e aucune polarisation permanente en l'absence d'un champ électrique extérieur. En effet, dans

les matériaux moléculaires à dipôles permanents, ces demiers s'orientent au hasard en l'absence d'un

champ extérieur; donc, la résultante devient nulle.

13.3 LA ~ O ~ C T R I C ~ ASSOC& AUX MATERIAUX

PII~ZOÉL~CTRIQUES

Dans les deux cas de diélectrique atés plus haut, nous ne pouvons obtenir de polarisation

permanente. Il n'en est toutefois pas aiwi pour les matériaux diélectriques. En effet, 5 ont la

partidarité d'être ferroélectriques puisqu'ils présentent une polarisation permanente et ce, même en

l'absence de champ électrique extérieur. Citons comme exemple la céramique ferroélectrique.

Les dipôles éktriques formés à partir du centre de gravit6 des charges positives ne co'incidant

pas avec celui des charges négatives, a h t une polarisation non nuile dans la maille élémentaire même

en l'absence de champ extérieur. La figure 1.2 represente une disposition des dipôles électriques tous

orientés dans Ia même direction, à l'intérieur d'un domaine ferroélectrique délimité de ses voisins par

des parois. En i'absence d'un champ électrique extérieur, la direction de polarisation dans chaque

domaine se positionne au hasard et la résultante de polarisation est nulle. Mais lorsqu'on applique un

champ électrique, les domaines dont l'orientation voisine celle du champ exatateur tendent il a o k e .

Suite à ce traitement de polarisation, analogue h la magn6tisation d'un aimant, la céramique s'apparente

alors à un cristal pyroélebnque ayant un seul dipôle. Cette nouvelle céramique polarisée rbpond

lin4airernent A un champ électrique ou h une contrainte mécanique tel un monocristal. Cette particularité

subsiste tant et aussi longtemps que le champ ou la contrainte demeure en dessous des limites de

dépolarisation. Ainu, le but de la polarisation est de réorienter les domaines de façon se rapprocher du

comportement d'un rnonoaktd.

En résum& la ferroélectriatt! se caractérise par la possibiiit6 de former des domaines, c'est-&dire

des régions à I'int&ieur desquelles chaque dipôle est orienté dans un sais donné. Sous ï'influence d'un

champ électriqye suffisamment puissantr la plupart des domaines changent leur orientation La

résultante de polarisation n'est plus nuiie et de ià naît le phénomène piézoéiectrique. Une autre

particularité des ferroélectriquesr c'est la température critique que Pon nomme le point de Curie. On

doit éviter d'atteindre cette température. En effet, au-dessus du point de Curie, la structure formée par

les domaines disparaît et la ceamique devient paraélectrique et donc, les charges retrouvent leur centre

de symétrie. Aussi, à cette température, la pexmittivitti diéiectrique atteint sa valeur maximale.

Parois domaines

Figure 1.2

Représentation schématique des domaines ferroélectriques d'une céramique non poIaris6e.

1.2.4 COURBES D-T&&SIS

1.2.4.1 COURBE D'HYS'&?&SIS LOaS DE LA POLARISATION

La courbe d'hystérésis se manifeste lors de la polarisation de la céramique. Le but de la

polarisation est de faire tendre l'orientation des domaines disposés aléatoirement dans une même

direction. Le r6suitat de cette polarisation dépend de l'intensité du champ électrique à courant continu

et des caractéristiques intrinsèques au diélectrique. Par contre même en imposant un champ électrique

d'intensité maximum à la pièce piézoélectrique, la nouvelle orientation des dipôles dans le sens de la

polarisation n'est jamais parfaite. L'effet résuitant de cette polarisation demeure cependant suffisant

pour nous permettre d'émettre l'hypothèse suivante [28] : on pourra considérer la nouveiie céramique

polarisée, comme un cristal comprenant un domaine unique même si les dipôles ne sont pas

parfaitement alignés. On obtiendra alors un effet global de la céramique. De p lu , lors de la

polarisation, la céramique, au départ isotrope, devient anisotrope. Ainsi, des déformations et des

contraintes permanentes seront induites dans la céramique ( voir secüon 1.65 ).

1.2.4.2 COURBE D'HYST~~&SIS LORS DU FONCTIONNEMENT

Lors de la polarisation, les dipôles sont pour la plupart orientés dans la même direction que le

champ existant, on se retrouve alors avec l'équivalent d'un seul domaine. Ainsi, lorsqu'on impose a une

pièce piézoélectrique une contrainte mécanique, des charges apparaissent aux électrodes de ceiIe4, c'est

I'effet direct'. Par contre, si on impose un champ électrique inférieur A celui requis lors de la

polarisation, des défornations sont induites dans la céramique, c'est l'effet inverse. Nous avons émis

l'hypothèse à la section 12.4.1 que ce cristal se comportait comme un domaine unique. Pour cette raison,

on considère que son comportement est linéaire par rapport à différentes so~citations, lors de l'effet

direct ou inverse. En réalité, le système n'est pas tout à fait Maire puisqu'on retrouve un certain effet

d'hystérisis[33] que i'on néglige (voir figure 1.2b). Précisons que la courbe d'hystérésiç produite lors de

la polarisation a un profil différent de celie produite lors du fonctionnement Pour évaluer les pertes, on

doit se tourner vers le facteur de dissipation qui doit être minimum (voir secüon 1-35 ).

' Voir section 1.3.4

Représentation de la courbe dfhyst6résis de deux différentes pièces piézoélectriques . Le modele BM400 est équivalent au modéle PZT-4 utilise daw le chapitre 4.

Tiré de "sensor technology Limited1'[33].

Nous introduisons i a le système d'axes ualisé, tout au long de ce travail, pour définir dairement

les différentes orientations repr6sentees par la figure 1.3. Les trois axes sont désignes par les lettres

'X",'Y" et " Z Par contre, certains termes de déformations, de conhaintes et de polarisation devront être

mdicés. Pour faciliter la notation, il devient nécessaire de remplacer les directions des axes "X","Y" et"Zn

par les nombres "IW,"î" et "3". Quant aux effets de cisaillement de contrainte ou de déformation, iIs sont

s p b o l i s e par les nombres "4","SW et "6" se rapportant respectivement aux plans 2-3,13 et 1-2

\ Polarisation

Figure 13 représentation cartésienne.

On suppose qu'avant de subir une polarisation, les céramiques ferroélectriques ont au départ, un

arrangement isotropique. A la suite de la polarisation, des conhaintes mécaniques rémanentes

s'installent dans la céramique et l'arrangement devient anisotropique ou plus précisément orthotrope.

Pour décrire le comportement du système, on doit être amilier avec certains termes touchant les

caractt5ristiques mécaniques.

Débutons tout d'abord avec le concept de "compliancen ou nisceptibilitb Wque[l3] définie

comme suit :

défamation dans la direction i Si sq = =-

contrainte dans la direction j 5

L'inverse de la susceptibilite élastique, comparable à la rigiditg, se de6nit comme étant :

contrainte dans la direction i Cs = =-

déformation dam la direction j Si

Par exemple, on définit le module de Young par :

Y , = (c,)

Les indices i , j , prennent les valeurs de 1 à 6 avec les dénominations suivantes :

Tl , T,, T, = contraintes de tension ou de compression parallaes aux axes 12 et 3.

T, , T, , T6 = contraintes de cisaillement dans les plans 2-3, 3-1 et 2-1, qui sont respectivement

perpendiculaires aux axes 123.

Il en est de même pour les déformations relatives de tainon suivant les axes 12 et 3 que Pon dénote par :

SI, S, , S et les déformations de cisaillement autour des axes 1,î et 3 que l'on représente par : S,, S, , S,.

Les aistaux que l'on retrouve dans les céramiques qui seront le sujet de notre étude dans les chapitres

suivants, sont de la dasse cristalline 26 du système hexagonal. Le symbo1e repr&entant cette dasse

cristalline est 6rnm[13]. À partir de cette dasse cristalline, on obtient la matrice de susceptibilité élastique

suivante :

I 0 0 0 0 s , O c ) O o o s , O J

Puisque le plan 1-2 perpendiculaire à L'axe de polarisation est isotropique on obtient[l6] : s,, = s,

Une pièce piézoélectrique se compose de deux déments prinapaux. Dans la partie principale,

au centre de la pièce piézoélectrique, on retrouve un matériau f-dechique; de diaque côte, deux

électrodes servant h emmagasiner Ies charges. Dans ce travail, nous insisterons sur les matériaux

ferroélectriques composés de ceamique.

Pour expliquer le phénomène de polarisation des pièces piézdechiques, commençons par

reproduire un condensateur plan dont le vide separe les deux électrodes. Pour ce faire, appliquons une

tension à deux électrodes dispos6es h e en face de l'autre (voir figure 1.4a). Lorsque la tension est

appliquée, des charges migrent sur chacune des électrodes contribuant ainsi les polariser. La présence

de ces charges de polarité différentes sur chacune des électrodes produit un champ électrique. Pour

établir une relation entre le champ électrique produit et les charges impliquées, on se sert d'une

constante E,,~, appelée permittivité diélectrique. On utilise alors la relation linéaire suivante entre le

vecteur déplacement électrique et le vecteur champ é1ectrique :

D = déplacement éiectrique (coulomb/m~tre' )

E, = permittivitb du vide ( 8.85 E-12 farad/ mètre)

Ë = champ électrique (volt/m&re)

Le dkplacement électrique, ou charges totales, se définit comme le nombre de charges par unité de

surface polarkble sur chacune des 4lectrodes.

On attribue h la permittivité absolue une valeur unitaire lorsque les deux électrodes sont separées par

un milieu sous vide.

Lorsque deux charges sont placées A proMt6 l'une de l'autre, une force 6Iechostatique s'exerce entre

ces deux charges. On dit alors qu'il existe un champ électrique Ë entre les deux charges.

Lorsqu'un champ électrique existe, on peut le décrire soit par une grandeur vectorielle : appelée

champ éIectrique Ë, ou par une gandeur scalaire : appelée potentiel électrique V. Ces deux

grandeurs sont étroitement liées et l'utilisation de Yune ou l'auke dgpend du problème a résoudre. La

relation entre la force électrique t et le champ électrique Ë sera donnée par :

- - - - - - - -

'Details sur la permittivité section 1.3.8.2

où F étant la force exercée sur la charge d'essai aq.

La différence de potentiel entre deux points "a" et "bn sera definie comme suit :

dL = distance le long de la trajectoire reliant les points "a" et "b".

V = Va - V, = différence de potentiei.

électrodes électrodes

Figure 1.4

A) Représentation d'un condensateur plan dont le vide sépare les deux électrodes.

B) Polarisation d'une céramique ferroéIectrique parfaite dont les dipôles sont tous alignés.

Lëtape suivante consiste à insérer entre les deux électrodes, A la place du vide, une céramique

ferroélectrique. Lorsque les éiectrodes sont alimentées par un voltage suffisant, il y a alors polarisation

de la ceamique comme repr6sent4 h la figure 1.4 b [13]. Les dipôles prennent forme et se rangent en

chaînes perpendiculaires aux électrodes. L'effet r6sulte en une accumulation de charges

'On consid&re que la céramique est panaite, donc, les dipôles sont tous alignes dans le même sens.

positives d'un CM de la céramique et une accumulation de charges nkgatives de i'auhe côté.

Fkrnarquo~ls que les charges apparaissant sur chacune des faces de Ia céramiqye sont de signes

contraires de celles se trouvant sur les éktrodes. Comme la chmique en entier est neutre, la charge de

surface positive induite doit être égale h la charge de sutface nbgative induite. Pour une chatne donnée

de dipôles, il ne peut apparaître de charges dites de polarisation qu'aux extrémités de la dite chaîne,

c'est-&-dire au voisinage imm6diat de la Surface même des électrodes.

Cependant, l'apparition des charges de polarisation aux confins du didechique conduit a deux

types de charges les charges liées et les charges libres :

Afin de neutraliser les charges liées qui s'apparient avec les charges voisines de polarisation du

diéiectxique, ceiles-@ doivent être de signes opposés. Les charges liées génèrent la polarisation

induite dans la céramique E' (voir figure 1.5). Cette polarisation induite est de signe contraire au

champ E, mduit par les électrodes.

Les charges libres contribuent à d e r le champ électrique E dans le di~ectrique.

Les charges totales égalent ta somme des charges libres et des charges liées. La tension V

apparaissant aux bornes d'une pièce piézoélectrique en dépend. C'est le déplacement blectrique.

céramique I électrodes

- --

Figure 2.5

A) Céramique (isolée) sous l'effet d'un champ électrique.

B) C 4 d q u e sous I'effet d'un champ Heftrique avec représentation vectorielle.

Comme le mon&e la figure 15A, isolons maintenant la céramique. A ce moment, elle se retrouve

dans un champ électrique. Tout d'abord, on constate que les charges de surface sont toujours disposées

de hçon h ce que le champ de polarisation E' qu'elles produisent soit oppod au champ électrique

extérieur E, ou charge totale. Le champ E, est foxmé par la somme des charges libres et des charges

liées, soit la charge totale. Rappelons que la charge totale par unit6 de surface nécessaires ii la formation

du champ E, portent le nom de déplacement électrique. Le champ résultant E i'intérieur du

diéiectriqye est &gai la différence vectorielle du champ E, et du champ induit Er. Le champ résultant à

l'intérieur de la ceamique est par conséquent toujours plus f&iile. Établissons maintenant la relation qui

existe entre les figures 15A et 1.5B par l'équation suivante[lJ ] :

oc q est la quantite de charges se trouvant sur les électrodes; (charge totale, coulomb)

A est la s h c e qu'occupe chacune des électrodes polarisées. (rnetre' )

ï~ permittivit6 relative de la céramique. ( farad /métre )

E, permittivit6 électrique du vide. (farad /mètre )

Le teme à gauche de l'équation 1.7 représente le déplacement électrique fi cons6quence des

charges totales. Le deuxième terme a droite de Pdquation désigne la charge de surface induite par unit6

de &ce polarisable; c'est la polarisation électrique p. Sa polarité est de signe contraire à celui du

déplacement électrique. Le champ électrique E' est gén6r6 par cette polarisation. Le terme entre

parenthèses représente le champ éIectrique E, qui est le champ résultant dans la céramique. Finalement,

l'équation 1.7 peut se mettre sous la forme suivante :

puisque :

c'est une relation qui lie le vecteur deplacement électrique au champ élecfxique Ë et au vecteur de

poIarisation B.

1.3.4 EE%ZT DIRECT, m T INVERSE

Lorsqu'me pièce piézoélectrique est sollicitée par des contraintes mécaniques, elle se charge

électriquement, on parle alors d'effet direct D'autre part, lorsqu'on impose une source de tension ou de

courant au piézocéramique, cea provoque des déformations, c'est I'efkt inverse'. L'effet üirect et reffet

inverse existent pour les quatre constantes piézoélectfiques associées par les grandeurs électriques,

champ et induction et les grandeurs mécaniques contraintes et déformation ( voir section 1.3.7 ). Même

si les unités de I'effet direct et de I'effet inverse diffèrent pour une constante piézoélectrique d o n a , la

valeur de la constante ne change pas.

1.3.5 FACTEUR DE DISSIPATION

Si la source d'alimentation d'une piece piézoélectrique est alternative: la charge emmagasinée

par le diélectrique a deux composantes : une composante réelle et une composante imaginaire. Le

déphasage entre la source et l'effet est dfi aux pertes résiscives et i'absorption diélebcique[l6,3fl. Les

pertes sont exprimées par le rapport entre la partie imaginaire et la partie réelle. C'est ce qu'on appeile

facteur de dissipation ou pertes diélectriques. Dans la littérature [16], on utiiise souvent l'expression

perte tangentielle ou tan 6 exprimée ahsi :

où E"= Permittivité complexe du diélectrique ( k a d / mètre ).

E = Permittivité réelle du diélectrique ( farad / mètre ).

Les pertes diélectriques se mesurent l'aide d'un analyseur d'impédance à une fréquence de

1 lcHz Cet étalonnage se fait en régime statique éloigné des fréquences de résonance. Il est recommandé

d'utiliser une pièce piézdiectrique ayant un facteur de dissipation faible, si de surcroît l'application

demande une puissance élevée[26].

1.3.6 FACTEUR D'AMORTISSEMENT Q,

Le facteur d'amortissement QM mesure les pertes mécaniques dans la céramique. Cela se traduit

par la dissipation de chaleur due A la friction des molécules. Ce facteur d'amortissement se manifeste

-- -

'Effet inverse existe sur tous Ies corps isoIants Iorsqu'iIs sont placés dans un champ électrique. On qualifie ce phénomhe d'6lectroshiction. Par contre, 1'~lectrostrition diffère de la piézoélectricité par la mesure de la déformation qui est moindre dans le cas de I'électrostriction et le sens des déformations qui est ind6pendant du sens du champ 61ettrique[ 161. Dans notre cas, la source d'alimentation est sinusoïdale.

lorsque la pièce piézoélectrique se retrouve dans la zone d'une de ses fréqyences naturelles. C'est le

rapport entre la rigidité mécaniwe ou la masse ( réactance) et la résistance mécanigue.

1.7 CONSTANTES PI&zo]ELECIRIQUES

Les constantes piézoélectriques servent à établir les relations de comportement électromécanique

de l'actuateur ou du senseur. Ces constantes sont déterminées à partir de tests statiques ou quasi-

statiqyes[30]. Pour bien représenter les configurations dans lesqyelles peuvent se retrouver la pièce

pi&oélectrique, on a besoin de quatre différentes constantes piézoélectriques. Ces constantes sont

fonction des p m e n e s tels que : les contraintes mécaniquesI les déformations, le champ é1ectrique et la

charge électrique. Avec les différentes combinaisons possibles de ces paramètres et en incluant l'effet

direct et inverse, on obtient quatre groupes de constantes piézoélectriques soit 4 , gS , eq , hq [2] ( voir

tableau 1.2 ).

1.3.8 CONDITIONS AUX LIMITES DES CONSTANTES P ~ ~ ~ O ~ C T ~ E I Q U E S

Avant de définir la valeur des constantes piézoélectriques, on doit déterminer si nous sommes en

présence d'un senseur (effet direct) ou d'un achateu (effet inverse). Dans le cas du senseur (effet direct)

donc, qui subit des déformations engendrées par des forces externes, sa ngkfité est influencée par les

conditions aux limites qu'on lui impose électriquement. Lorsque le champ électrique dans la pièce

piézoélectrique est maintenu constant, par exemple en court-circuitant les aectrodes, on ajoute aux

termes de rigiditk l'exposant '8'. Par contre, lorsque la densité de charges sur les électrodes est

maintenue constante, soit en gardant les électrodes ouvertes, on joint au terme de rigidité l'exposant "D".

Dans les conditions de chcuit ouvert, la rigidité du senseur demeure plus élevée que dans le cas d'un

circuit fermé. Le module de Young d'un senseur circuit ouvert est d6terminée par le rapport

suivant [3] :

El= module de Young du senseur. Y,, = module de Young de I'actuateur, d,, [C/w et g,, fVmN']

étant des constantes piézoélectriques.

L'augmentation du module de Young du senseur par rapport à l'actuateur est nécessaire lorsque

les bornes du senseur se retrouve en circuit ouvett Ce phénomène est attribuab1e aux charges qui

demeurent emprisonnées sur les électrodes étant dom4 les conditions de circuit ouvert. Cette

augmentation de rigidit6 dépendamment de la dimension de L'élément piézoélectrique, peut être

tangible. En effet, si on applique une flexion à une pièce piézoélectrique en circuit ouvert, l'effort

demandé sera plus élevé que si on court-circuite le circuit.

Iî existe cependant des conditions intermédiaires où la rigidit6 du senseur se retrouve entre la

rigidite d'un circuit ouvert et celie d'un circuit fermé. Cette variation de la rigidité d&pend de

l'irnpgdance du circuit servant recueillir le signal qui vient se brancher au senseur. Par exemple pour

un circuit ouvert I'impkdance tend vers l'infini. Avant de déterminer les caractéristiques du circuit

branché au senseur, on doit considérer la constante piézoélectrique utilisée. Par exemple, lorsque la

constante piézoélectrique du senseur a &té déterminée à champ constant ( voir tableau 1.2). on doit, pour

être rigoureux, utiliser un Prcuit servant à recueillir le signal qui se rapproche d'un circuit fermé. Cea

est possible en positionnant en parailde à la sortie du senseur un condensateur avec une capaatance

relativement élevée. Dans ce cas, la rigidité du senseur se retrouvera plus près des conditions aux

limites définies pour un circuit fermé que pour un circuit ouvert. Par contre, dans le cas de I'actuateur,

sa rigidité est toujours équivalente à un circuit fermé.

La pemûttivite diélectrique dépend de la température et atteint son maximum au point de Curie.

De plus, la permittivit4 diélectrique dennit une relation entre la densité de charge et le champ électrique.

Cette constante di&ctrique peut-être mesurée lorsque la pièce piézoélectrique ne subie aucune

contrainte, on la nomme alors permittivitg di61ectrique libre. On ajoute alors A la permittivité

didectrique l'exposant T. Cette valeur est prise pour la plupart des cas h une fréquence de 1 -1. D'autre part, on mesure la permittivit6 diélectrique lorsque la pike piézoélectrique ne subie aucune

déformation, on la nomme dors permittivit4 diélectrique encastrée. Dans ces conditions d'encastrement,

la valeur de la permittivité diminue. 0x1 considhe que la déformation est constante (ou zéro) et on

ajoute A la pemiitüvit4 l'exposant "S" pour la diff4rence.r des conditions aux limites qui sont libres. Pour

arriver à déterminer la vdeur de k pennittivite diéiectrique dans des conditions d'encastrement on se

sert de 1'mertie de la pike pi&oéIectnque[26,B] aux fi4quertces de résonance. En effet, aux fréquences

de résonance de la pièce p i 4 z o d e q e , celle-ci se comporte comme une pièce "encastrée? On

différencie la permittivité diéIectriqye libre de la permittivité diélectrique encastrée par le facteur de

couplage voir 1.6.4). Selon [16] on aura alors la relation :

De plusJa permittivite relative est &gale au rapport entre la pennittivit6 absolue et la permittivité du

vide, ce qui s'écRt(26 ] :

q, = perrnittivite du vide 8.85 X looU (farad / mètre)

EL = permittivité absolue dans des conditions libres ( farad / mètre )

i(& = la permittivité relative.

Zhou et a1.[3q tiennent compte du facteur de dissipation tan5 dans la mod&lisation. La

permittivité absolue se trouve alors sous une forme complexe soit : EL = E,(I -jTan5).

où E; est égal à une constante diélectrique complexe et Tans aux pertes tangentides [adimensionnelle].

Le tableau 1.1 rbsume la signification de chaque exposant qui accompagne le module de Young et la

permittivité diéiechique.

1 EXPOSANT 1 CONDITION ____) EFFET 1 SIGNIFICATION 1

1 S 1 éprouvette encastrée 1 A déformation constante 1 déformation = cte = O 1

E D T

Tableau 1.1 Conditions aux limites des constantes piézoélectriques

1

courant constant voltage constant contraintes = cte = O

électrodes court-circuit6es électrodes en circuit ouvert éprouvette Iiire

A champ constant A induction constante A effort constant

22

13.9 INDICES DES CONSTANTES P~zo&,ECTRIQUES.

Pour permettre de bien identifier le couplage ékctmmécanique, des mdices sont attribués aux

constantes piézoélectriques. Le premier indice, qui varie de 1 A 3, est l'indice électrique définissant le

sens de polarisation des dipôles. Le deuxième, identifie comme mécanique, désigne le sens des

déformations ou des contraintes que subit la chunigue; il varie de 1 à 6. Les indices m&aniques 4,s et

6 indiquent les déformations ou les contraintes en cisaillement autour des axes 1 2 et 3 respectivement,

(voir figure 1.3).

Le tableau 1.2 d6taille la signification des indices et des exposants des trois groupes de

constantes piézoélectriques 4, , gS , e4 que l'on rencontre dam la littérature. La constante h, a été omise

vu le peu d'intérêt qu'on lui porte dans les applications qui nous concernent On notera que la relation

entre 4, et est le tenseur de permittivité diélectrique, soit :

d , = ~ & ( 1.14 )

où m et n, sont des indices éiectriques.

L= permittivité electrique ( farad / me tre ), d3, [coulomb/newton] et g,, [volt.mètre.new ton"].

Les constantes piézoélectriques d, indiquent bien la sensibilité d'un éiément piézoélectrique à se

déformer ou à produire des charges. Dans le cas de l'actuateur, cette même constante désigne la

déformation relative par rapport au champ dectrique. Pour ce qui est du senseur, d, indique la densité

de charge par rapport aux contraintes imposées. Par contre, lors de la modélisation mathématique du

senseur et de I'actuateur, il est nécessaire d'utiliser la constante e, étant donné le type de solliatation et

le type d'alimentation utilisés. On détemine la valeur de e, par la relation suivante :

c, = rigidite du piézoélectrique [Pa].

eg = Densité de charge sur éIectLTode n o d e à l'axe i Déformation relative suivant 1 axe j

e.- = Contrainte suivant I'axe j Champ électrique suivant 1 axe i

EFFET DIRECT

dv = Densité de charge sur électrode nomde à i Contrainte suivant l'axe j

w C.Ni

EFFET INVERSE

- Déformation relative suivant l'axe i Ug - Champ électrique suivant l'axe i

5

effort constant

EFFET DIRECT

Champ électrique suivant l'axe i gij = Contrainte suivant l'axe j

on constante

Déformation reiative suivant I'axe j g4 = DeMt6 de charge sur éiect~ode normale à l'axe i

Tableau 1.2 Constantes piézoélectriques.

'On peut obtenir la constante piézoéIectrique e, partir de la constante de charge d, en la multipliant par le module de Young fi Dans ce cas, on considère que la constante e+ A des conditions aux limites qui sont libres ou 21 effort constant plutôt qu'a déformation constante. La permittivit6 diélectrique est alors eT soit à effort constant.

24

On retrouve h la fi- 1.5 une représentation schématique de l'effet direct et inverse lorsque la constante e4 est en cause.

Effet direct Effet inverse

Densite decharge +- " = Déformation Qi

Contrainte 5 ' j = champ électrique -) E,

( A ) ( B I Figure 1.5

A) Effet direct à champ constant dont les électrodes sont courtilinruitées. Permet

d'obtenir explicitement le voltage aux bornes du senseur à partir du déplacement,

B) Effet inverse à déformation constante.

A partir de l'arrangement cristaUographique7, on obtient la matrice 3x6 suivante pour les 4 constantes

piézoélectriques [16] :

composante nulle , 0 composante non -nulle, - composantes égales.

Comme les pièces piézoélectriques utilisées ont et6 poiarisees perpendidairement au plan 1-2,

seules les constantes e,, et e, seront employées. En raison de cette polarisation qui prim7ég2 les

contraintes et déformations des axes p ~ a p a u x , les termes de cisaillement dans le plan 1-2 ne donnent

aucun effet piézoélectrique ( voir équation 222 et 2.59). En ce qui a trait aux termes e, ou e, 5 ne

s'appliquent évidemment pas au modèle de pièce piézoélectrique utilisée dans le cadre de ce bvail.

'La c6ramique composée de plomb, zirconate et titane (PZT.), qui est notre sujet d'etude, fait partie de la classe cristalline du système hexagonal de dasse 26 dont le symbole est 6 m m.

1.41 ENTHALPIE ET D ~ C E M E N T ~ c T R I Q u E .

Tiersten (341 a dhontré qu'à parth du principe de conservation d'énergie, on peut évaluer la

densité de l'enthalpie électrique H dans le but de determiner l'énergie potentide des pièces

piézoélectriques. Pour une plaque mince, en considérant l'hypothèse de Kirchhoff-Love, la densité de

l'enthalpie électrique de Tactuateur ou du senseur est représent6 de la façon suivante [35] :

H = O - ~ [ T ~ A ~ +TA +W,I -[e,a(~ll +s,)I -pe, EI ( 1.16 )

où :

H =densité de l'enthalpie électrique [ Pa], Tg= contrainte [Pa], S, = d&€ormation [ mètre/m&re],

e4= constante piézoélectrique (newton/mètmvolt), %= permittivité du didechique [ firad/m&tre]

& = champ électrique [volt/mètre].

Dans le cas de l'actuateur tout comme dans le cas du senseur, 1e premier terme à droite de

l'équation détermine la rigidité de la pièce piézoélectrique, tandis que le deuxième terme A droite de

l'équation repr6sente les contraintes developpées par l'actuateur h partir de rapport de l'énergie

électricpe. Cette valeur est nulle dans le cas du senseur puisqu'aucun voltage ne lui est imposé. Dans le

cas de l'actuateur et du senseur, le dernier terme h droite de Nquation disparaît lors de la minimisation

(voir équation 2.48 ).

En resumé, lorsqu'on traite l'enthalpie d'une pièce pi~zoélectrique, qu 'de agisse comme

actuateur ou comme sensetu, on utilise ia même formulation. Par contre, dans le cas du senseur, les

deuxièmes et troisièmes termes à droite de l'équation disparaissent; aprés le développement, le terme

restant se retrouve dans la matrice de rigidit6.

1.4.2 VOLTAGE AUX BORNES DU SENSEUR.

Le senseur génère des charges dectriques h ses bornes lorsqu'on lui fait subir des containtes

mécaniques. En dérivant la densit6 de l'enthalpie électrique H par rapport au champ &chique Ë [34]

on obtient alors le d4placement électrique B qui se définit comme étant la charge par unit6 de surface

des électrodes. Pour determiner le déplacement é1ectrique expliatement aux bornes du senseur on doit

considérer les électrodes comme étant court-circuitées, puisque l'on ualise la constante dq

(voir tableau 12 ). On retrouve donc pour un pro£iM plan et mince d'une pièce piézoélecûique (221 :

4 = le déplacement électrique [coulomb /mètre2]

d4= constante piézoélectrique [coulomb/Newton],

T= containte mkanique [Pa].

Aussi, comme nous le venons dans le chapitre suivant, lors de la modélisation, le premier terme

6 droite de l'équation disparaît puisqu'il est invariable par rapport au temps. De plus, s e S les ternes

représentant la deformation seront conserv6s pour être ini6grés sur la surface d'un élément

piézoélectrique. Le dernier terme h droite de l'équation egde zéro puisque la polarisation (selon l'axe 3)

par rapport au plan de déformation n'est pas affect6 par le cisaillement dans le plan 1-2

1.5 ANALOGIE *LECTRI]:QUE:. T CA NI BUE

1.6.1 &SONANCE

Un circuit électrique peut être utilisb pour faire l'analogie entre le comportement électrique et

mécanique d'un systbe. Un circuit qui représente un système mécanique, dont les héquences sont

éloignées des fréquences naturelles de la pièce piéz&lectrique, diffère de celui représentant le même

système en résonance. Dans les applications qui touchent le contrôle actif, le niveau des fréquences

demeure bien en deça des fréquences de résonance de la pièce piézoélectrique. Par contre, il est

intéressant de connaître ces diff6rences et c'est In raison pour laquelle nous introduisons brièvement le

comportement d'une pièce piézoélectrique en résonance.

Pour modéliser la dynamique d'une pièce piézoékcüique aux fréquences de résonance, on

transforme le système de base de la figure 1.6 en ajoutant en parallèle une branche dite motionelle.

Ainsi, on retrouve dans cette branche additionnelle [2] :

une inductance proportionnelie à la masse de la céramique;

une capaatance proportionnelle h la souplesse élasticit6;

deuxrésistances.

Ces defniikres, qui sont poupées entre d e s en M e dans la branche motionneIle, traduisent

l ' k g i e mécanique rayonnée par la céramipe et les pertes mécaniques dans le matériau. Les

caractéristiques hainseques reliées ces résstances et réactances, nous amène à un système comportant

une partie r&Ue et une partie imaginaire.

1.5.2 CIRCUIT BQW-

Lorsque la pièce piézoélectrique atteint une fréquence de résonance, son comportement se

modifie et les constantes déterminées statiquement ne tiennent plus. Ce phénomène entraine des

changements au niveau du circuit électrique servant d'analogie avec le circuit mécanique. Ce cas hit

détaiiié dans la section 15.1 par l'ajout d'une branche motionnelle. La figure 1.6 reprgsente le circuit

analogique d'une pièce piézoélectrique étant soumise à un signal dont la k6quence se situe en deça de sa

propre Wquence naturelle.

Dans le cas des circuits non-résonants [27], le comportement de l'élément pi&oélectrique

branche au reste du système, soit le circuit de charge, peut être représenté par un système composé de

deux condensateurs et de deux résistances. En se référant à la figure 1.6, Ce représente la capacitance de

la pièce piézoélectrique proportiomelle la permittivité et à la surface qu'occupe L'élément

piézodectrique lui-même, et inversement proportionnelie à i'épaisseur. La partie des charges de

l'élément piézoélectrique empruntant Ia résistance de dérivation RC correspond à l'amortissement de la

pike piézoélectrique.

RL et CL désignent I'impédance résultante ("load resistance" et "load capacitance") du

système sur lequel la pièce piézoélectrique est branchée. Les valeurs de Ce et RC dependent de la

dimension de Pélément piézdlectrique lui-même et, dans le cas de la résistance RC, le miüeu

environnant est à considérer. En effet, l'humidité de rair ou se retrouve le système a une influence sur la

valeur de la r6sistance RC. Sous des conditions d'opération normale, la valeur de la résistance RC est

très éIev4e variant de quelques centaines h quelques milliers de mégohrn. Pour cette raison, on peut

négliger l'effet de la résistance RC représentée en pointillé et la soustraire au circuit Fait à noter

cependant, lorsqu'on ualise une pièce piézoélectrique à de très basses fréquences, la resistance RC ne

doit plus être n&gligée puisque la partie des charges de l'dément piézoélectrique déviées dans la

r6sistance ne peuvent plus être consid6rées comme négligeables. Le profil de la courbe d'hystéréris

apparaissant b la figure 1.2b se modifie par un espacement plus marque entre les deux courbes. On doit

dors en tenir compte et la modélisation s'effectue un peu différemment en branchant les condensateurs

CL et Ce en p d è l e .

Circuit de charge

T- I branche

I I A

Circuit piézoélectrique

Figure 1.6

Analogie dechique m6canique d'une piece piézoélectrique branchée A un

circuit de charge. La branche motionelle ne sert qu'en résonance.

En résumé, en enutilisant une pièce pi&oélectrique h des fr6quences suffisamment élevées, mais

sous une valeur inférieure à la premiére fréquence de résonance, on peut alors considérer la pièce

piézoélectrique comme une réactance purement capacitive. Les conditions d'opbtion doivent toutefois

demeurer normales. Dans ce cas, lorsque la source d'alimentation est sinusoïdale, on obtiendra la

relation suivante :

j = nombre complexe 4-1 , C = la capautance du senseur [farad].

Certains fournisseurs de pièces piézoéiectfiques n'indiquent pas la polaritg de cellesci à la sortie

de l'usine. Ii est évident que nous devons en connaître la polarit6 pour faciliter les connections lors de la

rnise en place des piézocémniques sur la pfague- Rappelons que pour produire une fiexion pure partir de deux piézoc&amïques disposées de part et d'autre de la plaque, on doit envoyer un signal Zt chacun

des piézocéramiques dgphasés de 1809 Ce type d'alimentation oblige l'une des pièces piézoélectriques a travailler en traction, tandis que son opposé travaüle en compression; ce qui produit une W o n p w

(voir figure 21). il devient important de bien définir au préalable la poIarit6; afin d'6viter de procéder au

branchement des piézocéramiqyes par la méthode d'essai erreur.

Pour déterminer la polarit6 de la pièce piézoélectrique expérimentalement, on propose de

brancher un osQlloxope sur les électrodes de la pièce piézoélectrique (voir figure 1.7). Par la suite, on

prend soin de déposer la pièce piézoélectrique sur des appuis se situant à chacune de ses extrémités.

Cette disposition de la pièce piézoélectrique permet un mouvement de flexion sous l'effet d'une force

appliqyée transversalement à l'élément pi6zoélectrique. On définit une convention de signes par

rapport à la polarité du voltage apparaissant aux bornes de la pièce piézoélectrique lue s u Posdoscope

en fonction du sens de la force appiiquée à la pièce piézoélectrique. Selon cette convention de signes, on

détermine quelle face ou électrode sera positive et laquelie sera nkgative. Par exemple, pour une force

appliquée dans le sens indique! sur la figure 1.7, on établit, selon notre convention de signes, que la face

au-dessus seta positive et celle du bas sera négative. Par la suite, pour chaque pièce dont on aura à

determiner la polarité, on conserve la même convention de signes par rapport au sens de la force et de la

polarité donnée par l'oscilloscope. Lorsque vient le moment de brancher un senseur à un appareil de

mesure, on doit, dans ce cas, tenir compte de la polarité de cet appareii. En effet, la convention de signes

établi au depart pour le senseur peut être différente de la polarite de l'appareil de m m .

appuis I - - - --

Figure 1.7

Montage permettant de déterminer la poIarité d'un élément piézo4lectrique.

On peut alimenter une pièce piézoélectrique avec une source à faible impédance (figure 1.8A)

c'est-à-dire à voltage constant[27l. La figure 1.8B représente une alimentation à courant constant soit A

haute impédance. Dans le cas d'une source à faible impédance, le déplacement I voltage par rapport à la

fréquence sera égal à une constante jusqu'à la fr6quence de coupure. La vitesse/voltage en fonction de la

fi4quence suivra une progression iin6aire. Par contre, avec une source à courant constant, il y aura un

déplacement / voltage versus la frt5quence qui présente une pente négative jusqu'à la fréquence de

coupure. De plus, en conservant une source a courant constant, la vitesse/voltage en fonction de la

fréquence sera égale à une constante.

Déplacement /E

Vé1WM /E

Figure 1.8

Comportement d'un Urnent piézoélectrique sous I'effet :

A) source de voltage B) source de courant

1.63 LIMITATION DES P~zoC&RAMIQUES

Une caractéristique importante que l'on retrouve dans les pièces piézocQamigues soumises a un

champ éIectnpe, c'est la tension de daquage et la tension de d+oIarisation exprimées en kV/m]- La

tension de daquage est design6 comme la tension ma>9male entraînant la dégradation du m a t a u par la

formation d'un arc éIectrïque. Par contre, la tension de dépoI;uisation, bien inférieure ia tension de

daquage, entraîne la dépolarisation de la pièce piézoélectrique si elle est atteinte, sans toutefois

i'endommager. Le procédé de polarisation et de depolarisation demeure toutefois r&enibIe. Pour une

pièce piézoélectrique de modèle PZT-4, la tension de d6polarisation se situe aux environs de 500

[V/mml-

Le coefficient de couplage éIectrom6canique [28,31] d'une c6ramique caract6rise son aptitude

transformer l'énergie électrique en énergie mécanique et inversement- On retrouve cette valeur

irnpliatement dans les constantes piézoélectriques. Pour cette raison, nous ne traiterons pas du

coefficient de couplage dans ce travail. Le coeffiaent de couplage est donc &al à :

~2 = Énergie de déformation emmagasinée

*. -

Énergie &lechique fournie au cristal

A noter que même avec toutes ces similitudes, le coeffiaent de couplage tient compte de la forme

de la pièce piézoélectrique, et ne représente donc pas un rendement En effet, le rendement est le

rapport entre l'énergie à la sortie et l'énergie à l'entrée sans égard à la forme.

1.6.5 FABRICATION

La fabrication industride de ceamique se fait par frittage d'oxydes ou de sels de plomb, de

zirconium et de titane. Ces composés ont comme formule générale [Z] :

Pb Ti, Zr, O, > PZT avec x voisin de O,5 ( 1.21 )

Dans tous ces composés, les microcristaux &mentaires sont ferroélectri~ues~ donc doués d t n e

polarisation spontanée. CependantI l'agrégat désordonn6 de ces microcristaux qui constitue la

ceamique simplement frittée n'a, l'échelle ma<mscopiqye, aucun moment dipolaire dectrique global.

Pour mtroduire dans un tel milieu I'mUSotropie ou plus précisément I'orthotropie nécesçaire l'etence

de la piézdectricité, on doit la soumettre comme mentionné auparavant, à un aiamp aectrique intense.

Ce champ aligne préférentiellement dans sa direction les polarisations des microcristaux é1hentaires. et

suscite une polarisation rémanente considérable. Lors de la polarisation, un changement se produit au

niveau des dimensions. Dam le cas du plomb Prtonate titane, la déformation est de 0.47% suivant raxe

de polarisation et de 020% suivant le plan X Y [29].

On doit remarquer qu'une contrainte mécanique très élevée imposée à une pièce piézodectnque

peut entraîner sa dépolarisation partielle ou complète.

La plupart des propriétés d'une piece piézoélectrique changent graduellement avec le temps

après avoir subi une polarisation. Aiwi les constantes pi&dectriques et la permittivité diminuent

graduellement à un taux logarithmique. L'expression permettant de determiner Le taux de vieillissement

est la suivante[l6 1 :

où y(tl est la valeur par unité de temps que l'on exprime souvent en jour et "c" représente la constante

caractérisant le materiau et le param&he impliqué. Après int4grationI on obtient :

Taux de vieillissement = c log,,(t)

1.7 CONCLUSION

L'objectif de ce chapitre &ait de faire connaître le fonctionnement électromécanique d'une pièce

piézoélectrique dans la zone anti-résonance. Une bonne connaissance du comportement des pièces

pi&dectriques pennet une mdeure compréhension de la modélisation mathématique, de la mise en

place de celles-ci et de l'analyse de diff&ntes simulations, principaux thèmes abordes d m les

prochaines chapitres.

A partir de l'approche varinfionnelle, ce chapitre présente le dheZoppnnmt mnthémrrfique d'un

modèle de simulation. kr prin-le tâche du simulateur numérique, est de représenter ia réponse mbafoire

d'un système composé d'une plaque mince et de pièces piézoélecfriques. Les p2ces piézoélectriques peuvent

agir comme actuafmr ou comme setzseur.

La mod4lisation dynamique comporte diffhnts avantages que l'on ne retrouve pas dans la

modélisation statique[4,9,15]. Ainsi, la modélisation dynamique, permet d'indure la masse et la rigidité

des pièces piézoélectriques du système de manière h tenir compte de ï'effet de couplage entre la structure

et les pièces piézoélectriques. Cet effet de couplage augmente évidemment avec le nombre de pièces

piézoélectriques uualées.

La methode des éléments finis demeure un oual très intéressant pour la modélisation d'un tel

système. Par contre, pour cette première &tape nous avons préfére l'approche variatiomde. En effet, la

méthode approximative de Rayleigh-Ritz comporte plusieurs. La methode de Rayleigh - Ritz s'adopte

facilement aux conditions Iimites du système, aux différentes caractéristiques de la structure et des

pièces piezoélectriques par un simple changement des données d'entrée* De plus, pour une précision

acceptable dans les basses et moyennes m e n c e s , le temps de calcul se chiffre en terme de minutes.

Les éléments finis on l'inconvénient de moins bien s'ajuster aux changements des caractéristique.

du système. En effet, lorsque i'on procède à certaines modifications du système, le maillage doit être

refait Aiwi, lors d'une &ude param&ique, la méthode approximative de Rayleigh-Ria s'adopte plus

rapidement a diffrkents systèmes.

Les éléments fhÜs ont par contre, l'avantage de pouvoir traiter avec une très bonne précision des

systèmes plus complexes que ceux présentés dans ce travail, ce qui nous obligera à faire appel à cet outil

dans un avenir prochain. Ce travail est consid& comme une première étape avant qu'une analyse en

éIéments fkis soit entreprise.

Le système sur lequel porte cette présente &de se compose d'une plaque rectangulaire mince

recouverte de pièces piézocéramiques. Les piézoceamiques, disposées symétriquement de part et

d'autre de la plaque, sont fixées à l'aide d'un adhésif. Des rainures de dimension minimum doivent être

machinées sur la plaque, sous chaque piézocéramique, de hçon a k e r un passage au conducteur

branche à l'électrode. Les piézocéramiques sont dispos4es et alimentées d'une façon telle que seul un

déplacement transversal est a&. Pour produire ce déplacement, nous devons combiner deux pièces

piézoélectriques disposées symétriquement de diaque côte de la plaque. Une des pièces pi4zoélectriques

travaille en compression tandis que son opposé se déforme en extension. Pour produire cet effet, on

inverse la polant6 de chacun des éléments piézoélectriques (voir figure 2.1). Ainsi, on n'obtient que des

déplacements transversaux tout en rbduisant au mi-un les déplacements axiaux. Le but d'inverser la

polarité des pièces piézoélectriques est de retrouver sur chacune des électrodes faisant face ih la plaque,

la même polarité lors de I'alimentation [7j. Il est aussi possible avec la méthode de Rayleigh-Ritz de

modéliser le système avec une seule pièce piézoélectrique plutôt que deux pièces disposees de part et

d'autre de la stnicture. Par contre, le système serait moiw performant et des termes de déplacements

longitudinaux dans le plan 1-2 devraient être ajoutés.

On remargue sur la figure 2.2 que le repère cartésien se situe au centre de la plaque. Des

variables sont utiliséeç pour représenter les dimensions de la plaque ainsi que celles des éiéments

piézoélectriques. Pour la plape, la variable "b" mdique la demi-largeur, "h" indique la demi-longueur

et "e" représente la demi-épaisseur.

Figure 22

Systeme d'étude dont Ies coordonnées cartésiennes se situent au centre du système.

Afin de définir le champ de déplacement nécessaire à la modélisation du système, nous nous

sommes basés sur l'hypothèse de LoveKirchhoff pour une plaque mince. L'hypothèse de Love-

Kirchhoff spécifie que pour une plaque mince, les contraintes et les déformations dans la direction

transversale (l'axe "2') sont nulles. Si les déformations imposées selon I'axe x et y sont faibles, le

cisaillement et l'effet de Poisson deviennent n6gligeables. Ainsi, avec cette hypotheçe, on considke qu'en

choisissant un point sur la plaque ou sur les céramiques qui subissent une flexion, et que l'on trace une

droite perpendiculaire à l'axe neutre passant par ce point, on trouvera, apr& ddéformation, que cette

même ligne est demeurée perpendiculaire à I'axe neutre. La figure 2.3 représente une partie de la plaque

subissant une t d e déformation. Pour éviter les erreurs d'interprthtion, il est donc important de noter,

que cette modélisation est limitée par l'6paisseu.r admissible de la plaque et des pièces piézoélectriques

suivant l'hypothèse de Love-Kirchhoff. En d'autres termes, si l'épaisseur de la plaque additionnée h celle

des pièces piézoélectriques devient trop élevée, la modélisation n'est plus valide En effet, le cisaillement

impose par le mouvement de flexion ainsi que Les contraintes et les déformations d6veloppées selon i'axe

'Y' ne seraient plus n4gügeables. De plus, le fait de travailler en basses et moyennes fréquences nous

permet de négliger l'énergie de rotation qui est proportionnelle au moment d'inertie de in section du

système-

Après déformation Crection p u t i d e 1

I Figure 2.3

Champ de déplacement selon l'axe x et L'axe z

Le champ de déplacement peut être défini à partir des variables u, o et w représentant les trois

déplacements d'un point quelconque selon les trois directions x, y et z. Won la théorie d'une plaque

mince on aura le champ de déplacement suivant [llb]:

Dans ce champ de deplacement, les effets de membrane sont negligés, puisque nous travaillons en

flexion pure. Ainsi, les d6placeme.t~ U , ( X , ~ ) et V , ( X , ~ ) dans le plan 1-2 au centre de la plaque sont

négligeables. De plus, on ne tient pas compte de ï'effet de I'adhesif entre la plaque et les pièces

piézdectriqms, supposant ainçi un collage parfait. Par conséquent, ce champ de déplacement

s'applique h la fois h la plaque et a u pièces piézoélectriques.

Le systhe décrit dans la section 21.1 n'admet pas de solution analytiqye exacte. La méthode

approximative de Rayleigh-Ritz[25] a et4 choisie pour les raisons mentionnées à la section 21. Pour

6valuer le déplacement transversal, on choisit une combinaison linéaire de la forme suivante:

où a, sont les coeffiaents comp1exes de la série de puissance. Les fondions de forme f, (x) et (y) doivent être linéairement indépendantes et satisfaire aux conditions aux limites géom&iques (de

déplacement et de rotation) et être différentiables autant de fois que le nombre de degré de liberté du

système. Dans le cas nous concernant, une série d'expansion polynomiale a été choisie sous la forme

suivante:

où b et h sont respectivement la demi-largeur et la demi-longueur de la plaque. La serie sera limitée

selon la direction de x A ( m+l) termes et selon la direction de y à (n+l) termes, pour un nombre de

degres de liberté de (m+l)*( n+l). Une 6tude de convergence[21] nous permet de d4terminer le nombre

de termes suffisants pour ce type de système. Ainsi, pour un système continu, le nombre de degr& de

liberté représente le nombre de termes total utilisés àans la série.

L'approche variatiomelle[llb] permet de minimiser ou de maximiser une quantité appelée

fonctionnelle. La fonctio~elle ne dépend pas d'une ou de plusieurs variables indépendantes mais plutôt

d'une ou plusieurs fonctions. Lorsque les déplacements du syst&ne, varient dans le temps sous l'effet

d'un champs de force consenratif ou non conservaaf[36] on uaüse le prinape d'Hamilton pour obtenir

les équations d'Euler-Lagrange qui serviront A minimiser la fonctionnelle entre les temps 4 et t,. La

fonctionnelle 1 est représent6e sous la forme suivante :

E, représente i'énergie &&tique du système8 E, i'énergie potentielle et W le travail fiit par les forces

ponctuelles extérieures amsi que i'Qiergie éiectromécanique mtroduite par les amiateurs. Les équations

d'Euler-Lagrange qui découlent du principe d'Hamilton se retrouvent sous h forme suivante :

L8 étant le Lagrangien du système, égale :

En ualisant les équations d'Euler-Lagrange pour minimisex les équations d'énergie8 on obtient les

6quations différentielles lin6aires d'ordre (m4) x ( n+l) sous la forme matriaeile suivante :

où [M ] symbolise la matrice de masse et [K] la matrice de raideur complexe compte tenu de

l'amortissement de la plaque9. Cf(t)} dbigne le vecteur représentant la force généralisée extérieure

introduite par des excitations et { ~ ( t ) ) le vecteur repr6sentant la force électromécanique introduite par

les actuateurs.

2.2 OPPEMENT DES ~QUATIONS D@-RGIES DU S Y S ~ ~ M E .

2.2.1 ÉNERGIE C ~ ~ X Q U E

Par définition, l'énergie chétique du système se calcule de la façon suivante :

'L'introduction de i'amortissement de la plaque dans la matnce d e ngidité est d6taiiiée dans le mémoire

de R. Lapointe [21]

où l'intégrale se fait sur tout le volume occupé par les pihes piézoélectriques et la plaque. p

représente la densité volumique du matériau concerné. L'effet de membrane des variables u et v, dans

les tennes d'énergie cin6ti9~e0 est négligeable comparativement au terme de flexion du deplacement

transversal w [21]. L'Qiergie cinétique se réduit donc sous la forme suivante :

Étant donné que nous ualisons une approche énergétique et que le système est lin6aire0 il est permis

d'intégrer chaque partie du système soit la plaque et les pièces piézoélectriques indépendamment? tout

en respectant les bornes d'intégration. Par la suite, par superposition, on additionne chaque terme

d'énergie cinétique trouvé. Pour le système en entier, nous avons donc l'expression de i'hergie cinétique

totale sous la forme suivante:

où les exposants p, a et s représentent respecfivement la plaque, l'achiateur et le senseur.

2.2.2 ]ENERGIE POTENTIELLE

L'énergie potentielle totale du système se définit comme suit :

L'énergie potentielle emmagasinée dans la plaque et

présente modélisation sous trois forrnes distinctes. il y a tout

les piézocéramiques apparaît selon la

d'abord l'énergie de déformation de la

plaque E& . Par la suite vient l'énergie élastique que l'on retrouve dans les ressorts virtuels *. La troisième forme d'giergie potentielle provient des actuateurs et des senseurs, E +% , déterminée h

partir de la densité de i'enthalpie électrique (voir équation 1.16) traitée plus en détail à partir de

Pécpation 221. Commençons par definir les termes servant à calculer l'énergie de déformation.

D'après [llb] on retrouve les expressions suivantes des déformations et des conhaintes :

Tenseur de contraintes :

Y représente le module de Young, G le module de cisaillement et v le cQeffiaent de Poisson. Le module

de Young prendra des valeurs différentes à la fois pour le senseur, l'amateur et la plaque.

2.2.2.1 L%WERGIE POTENTIELCE DE LA PLAQUE

L'énergie de déformation de la plaque s'exprimera ainsi :

La fonction matrïaeUe hace représente la somme des termes se trouvant sur la diagonale de la matrice

résultante du produit des matrices [T] et [SI. En insérant les 4qyations 211 h 218 dans 2.19, on

retrouvera apds réarrangement :

2.2.2.2 L-GIE POTENTIELLE DES ÉLÉMEWTS PI&O&J~CTRIQUES.

Dans le cas des pi- pi&dectriques, l'équation de i'énergie de d6fonnation des amateurs et

des senseurs sera exprimée en terme de la densité d'enthalpie électrique Ainsi, en reprenant l'équation

de la densite d'enthalpie éIectrique (équation 1.16), on aura :

qui doit être int6grée sur le volume afin d'obtenir l'eiergie potentielle des pièces piézoélectriques. On

aura alors :

Lorçqu'on intègre la relation 1.16 sur le volume, le premier terme à droite de Iëquation définit

l'énergie de déformation des amateurs et des senseurs; ces termes de rigidité doment après

d6veloppement la même expression que la relation 220. La relation 1.16 provient de Tzou et al. [35].

On remarque que la déformation en cisaillement Su dans la représentation de Tzou ne comprend pas de

facteur " 2 contrairement à la représentation 1.16. Étant donné que les termes de déformation en

cisaülernent ont éte définis selon I'expression 2.14, h valeur finaie ne subira aucun changement. Comme

mentionné dans le premier chapitre (voir section 1-42), les modules de Young du senseur et de

l'actuatm ne sont pas les mêmes. La raison de cette disparité est attnbuable au fait que Ie senseur est

un élément passif tandis que I'actuateur est un dément a& ( voir la section 1.4).

Le deuxième élément h droite de l'équation 1.16 représente l'apport de l'énergie fournie au

système par i'mterm6diaire de i'actuateur. A la suite de la minimiçittion, nous retrouvons ce terme à

droite de Mquation différentielle comme faisant partie des forces généralis&. En developpant les

termes de l'équation 1.16 par rapport au charrtp de déplacement 6tabli plus tôt, on a u a :

Comme l'épaisseur d'un élément piézoélectrique est beaucoup plus petite que la longueur d'onde

du signal sinuso1da.l alimentant ce dernier, on peut considérer le champ électrique E, = Ag / e' 1201 . Aq

étant le voltage entre les électrodes de I'actuateur et e' l'bpaisseur de I'actuateur. %est la permittivité

électrique de la céramique. Les constantes piézoélectriques g, et elo, ont la même valeur en raison de

l'arrangement cristallographique. Elles représentent dans le cas de l'actuateur, I'effet inverse dont les

unités sont @ l e s à [newton/mètre-volt].

En résum6, si on désire calculer l'énergie de déformation de la plaque ou du senseur, seule la

relation 220 est nécessaire en tenant compte du module de Young et du coeffiaent de Poisson

correspondant A chacun d'eux. Concemant i'actuateur, on s'en tiendra en totalité à i'équrtion 2.22,

puisqu'on doit ajouter à l'énergie de déformation l'apport de l'énergie électrique.

2.2.2.3 L-GIE POTENTIELLE DES BORDS

L'énergie potentielle des bords se définit comme suit :

on- LJ~ . td .dz 2

''La constante e, n'apparaît pas dans la formulation 222 puisqu'elie est dans notre cas équivalente à la constante e,,

Figure 2.4

Num6rotation des bords de Ia plaque.

où les coeffiaents k, et c, sont respectivement les raideurs par unit6 de longueur, en translation et en

rotation des bords selon les indices suivant "1" pour le bord x négatif de la plaque, "2" pour le bord x

positif, "3" pour le bord y négatif et "4" pour le bord y positif ( voir figure 24).

2.2.3 TRAVAIL

Le travail fait par une force pondueile P sur un deplacement curviligne x se définit de la façon

suivante :

Dans le cas présent, les forces ponctuelles P appliquées sur le système sont pe.rpendiculaKes à la

surface de la plaque. Chacune de ces forces sera affectée d'un indice b pour les identiner. Ces forces

sont de plus indépendantes du déplacement B leur point d'application asocié w ( x6, y6 , t ) de sorte que

l'on peut écrire :

Le travail total sera donc la sommation des travaux faits par chacune des forces. Les temes

d'énergie étant tous trouvés, il convient maintenant d'appliquer les équations de Lagrange nous

permettant de trouver les matrices du système.

Les termes d'énergie cinétique, d'énergie potentielle et de travail ont été développés dans la

section précédente. Nous avons maintenant tous les 4léments nécessaires pour procéder à la

minimisation de l'énergie du système, par l'approche variatiomde, en passant par I'équation de

Lagrange (2.4). L'équation de Lagrange nous permettra d'obtenir tous les t m e s du systbne d'équations

différentielles. Chaque terme du Lagrangien incluant l'énergie anétique, l'énergie potentielle et le travail

sera traité individuellement. Avant d'appliquer I'Quation de Lagrange, il convient de definir la fiçon

dont les termes matriaeis seront représentés. Les coefficients seront a£feciés d'un indice pqrs soit les

coefficients devant les termes a,et 0, obtenus h la suite de l'application des équations de Lagrange par

rapport aux termes 5, et & (voir [21] pour la représentation d6taiUée des indices matria&).

25.1 CONTRZBUTION DE L-GIE -TIQUE : Termes d'inertie

A partir du premier terme de l'équation de Lagrange ( 2 4 ) :

en d&eloppant ce terme h partir du Lagragien " L ", on obtient :

Le premier terme à droite de l'équation est le seul qui ne soit pas nul. En effet, les derivées

partielles par rapport à 4, (t) de Pénergie potentielle et du travail sont nuls. On retrouvera donc

l'équation suivante :

En insérant l'expansion polynomiale (equation 2.3) et en différenciant par rapport à t, on obtient :

Pour la partie se rapportant B la plaque, les coefficients devant le terme d1accél&ation â&t)

representent la masse et peuvent s'écrire sous la forme suivante :

Après avoir intégré par rapport x et y on obtient :

O (autrement ) J

où e est la demi-épaisseur de la plaque.

Pour la partie du volume correspondant aux zones couvertes par les pièces piézoélectriques,

cette mOme expression 2.32 doit s'adapter pour chaque pièce piézoéectrique en definissant des bornes

d'intégration intrinsèques à chacune d'des. On aura :

K représente le nombre de pièces piézoélectriques. On obtient, avec les variables en coordonnées

cartésiennes, l'expression suivante :

qui, après résolution donne :

On doit noter que l'exposant ou l'indice "piezo" hdiqye que i'expression est valable h la fois pour

l'actuateur ou le senseur. La variable x, représente le coin M e u r gauche des pièces piéz&ectriqyes,

la variable x, le coin inférieur droit, y, le coin supérieur gauche et y, le coin supérieur droit (voir figure

2.6). L'indice k représente la k- section rectangulaire. Finalement, la matrice de masse totale se lit

comme suit :

où Mp représente la masse de la plaque, Ma la masse de l'actuateur et M* la masse du senseur.

2.3.2 CONTRIBUTION DE L ~ G I E PO-

L'énergie potentielle de la plaque, des pièces piézoélechiques et des bords est composée du

coefficient ais@). En appliquant l'équation de Lagrange sur le Lagrangien, le premier terme à gauche de

la relation 2.4 devient nul. Lors de la minimisation, nous ne conservons donc que le deuxième terme de

l'équation de Lagrange soit :

ainsi on aura :

*= aEL . a 5 , a~p , ac ( 2.41 )

aapq(t) a a , ( t ) an,$) anp#) hpq(f)

Le premier terme A droite de l'équation concerne l'énergie potentielle de flexion de la plaque. A partir de 2.20, on atteint le r6sultat :

49

où? est le module de Young complexe en raison de ï'amortissement de la plaque. Par la suite, le terme

(2.40) de l'équation de Lagrange devient :

v p L ( ~ ~ ~ * W ) aap4 (t) ax2ay2

En incorporant la représentation en s&îe de décomposition 23 dans 242, on obtient finalement

les termes suivants pr4sentant la rigidité de la plaque :

MP - lk-1) + b4dq - 1 k - 1) b3(p+r-3) ( r+s+l ) - 3 + ](Pour ( p + r ) et) 1

2.33.1 RIGI DIT^ DU SENSEUR

Puisque le senseur se comporte comme un élément passif, on uüiise, pour déterminer i'eiergie

potentieile dû ii la déformation en flexion du senseur, seulement le premier terme de l'équation 2.21, soit

En changeant le module de Young et le coeffiaent de Poisson, on aura : la relation 2.20.

L'évaluation de conduit à une expression semblable à ceiie de la plaque ( voir 242). Par

contre, on doit apporter des changements au module de Young et au coefficient de Poisson comme

mentiom6 auparavant et on aura après incorporation de la reprhntation en s&e 2.3 dans 2.44 :

En procédant comme pour la plaque nous obtenons finalement la rigidité du senseur à l'aide de

l'expression suivante :

2.3.2.2 RIGIDIT& ET FORCE G&U&WLIS*E DE L'ACTUATEUR

A partir de l'4quation suivante :

en minimisant on obtient :

en incorporant la série d'expansion 23 dans 2.47, on obtient :

On somme les indices i et j d o n les séries r = (m+l) et s = (n+l). Le deuxième terme de

l'intégrale a l'intérieur de la deuxième accolade, concerne la force généralisee produite par Pactuateur.

Le troisième terme dans l'equation 221 est supprimé lors de la minimisation puisqu'il n'y a aucun facteur

aq. Après avoir integré le premier terme de l'expression 2.48, on retrouve le terme de rigidité de

l'amateur représenth comme suit :

K étant Ie nombre d'actuateurs.

Le deuxième terme de l'expression 248 nous permet d'obtenir après intégration, le vecteur

{ ~ ( t ) } correspondant la force généralisée produite par les aduateurs. On obtient :

L

où K représente le nombre d'actuateurs.

2.3.!2.3 L ~ G I E PO- PROVENANT DES BORDS

A partir de i'expression 225 dans laquel on hère l'expansion polynomiale 2.3, on obtient :

gui après d6veloppement [21] nous mène A l'expression suivante pour la rigidité des bords :

En additionnant les termes de rigidité, on obtient la matrice de rigidit6 totale sous la forme suivante :

où P' represente la +dit& de la plaque, C la rigidit6 du senseur, IC la rigidité de I'actuateur et K~

représente la rigidité des ressorts virtuels simulant les différentes conditionç aux limites.

Analysons maintenant le dernier terme du Lagrangien, qui représente la sommation du travail

fait sur le système par chacune des forces ext4rieures. Apartir de 2-27, on aura :

Si on insère l'expansion polynomiale 2.3 dans i'équation 227, on obtient une expression

comprenant le facteur a, (t). En minimisant, on obtient l'expression suivante :

On suppose que la résultante des forces est périodique, de forme sinusoïdale, appliquée de façon

ponctuelle perpendiculairement à la plaque et qu'il n'y a aucun déphasage entre chacune des forces.

Alors, la représentation complexe du vecteur force s'écrit comme suit :

5 ( t ) = &elu ( 2.55 )

où P6 est l'amplitude de la force. La variable j' est utilisee pour désigner le nombre imaginaire. En

ù i s ~ m t cette dernière equation dans l'équation 254, nous obtiendrons :

55

Le vecteur force est donc représente de la façon suivante :

Cf@)) = {F)ejed

SION A- BORNES DU SENS-

Pour définir la tension aux bornes du senseur, on doit détexminer le d6placement électrique

génére aux bornes du senseur sous l'influence d'une d6formation. Selon la relation 1.17, on a :

où 4 étant le déplacement électrique, d, est la constante piézoélectrique (coulornb/newton) et Po est une

fonction qui dépend des variables x et y que l'on nomme profil de polarisation[Z2] tandis que Ti

représente les containtes que subies le senseur sous I'infiuence des déformations de la plaque. Notons

que le profil de polarisation Po n'apparaît pas dans le chapitre 1 puisque dans notre cas, nous avons

considéré que l'électrode occupait toute la surface de la chmique. C'est pourquoi nous avons attribué à

Po une valeur égale à 1. Comme até dans le chapitre 1, le dernier terme à droite de l'équation est nui

puisque les senseurs que nous utüisons ne peuvent capter les déformations en cisaillement. De plus, en

intégrant le déplacement éiectrique sur la surface des électrodes on obtient la charge électrique q(t).

NOUS avons :

où q(t) est la charge électrique dont la derivée par rapport au temps est 6@e au courant i(t). On

obtient ainsi à partir de lëquation 2.58 :

J aire

Par la suite, on maoduit la représentation en série polynomiale de w (23) dans i'4quation 259.

Rappelons qu'me pièce piézoélecüicpe se comporte comme une capautance dans un circuit. Ainsi, dans

un régime harmonique avec a comme -ence anguiaire et sachant que le voltage est égal a[3] :

J aire

Après intégration, on obtient :

Ainsi, pour déterminer la tension aux bornes du senseur, on se sert des coefficients a,( t ) obtenu lors du

calcul de la résolution des équations diff6rentielles1' que Son réinjecte dans l'expression 2.63. On obtient

alors :

AT est la tension aux bornes d'un senseur.

"La résolution des équations diff&entielles tient compte bien sûr du couplage dynamique entre la plaque et les

pièces pieoélectriques. La résolution est ddfinie dans la section 26.

Pour évaluer les termes de volume correspondant aux pieces piézoélectriques, deux rn6tttodes de

r ephge ont &te ualisées. La première mkthode, comme celle utiüsée précédemment, consiste à

procéder par repérage cartésien. Cette technive permet de positionner les pièces piézoélectziques à des

endroits indépendants les uns par rapport aux autres- De plus, chaque élément piézoélectrique peut

avoir ses propres caractéristiques telles que : la largeur, la longueur, l'épaisseur, le module d'Young etc

(voir tableau 3.2 et 33).

La deuxième méthode de repérage consiste en un procédé par osroyage. Ce procédé devient

très intéressant Iorsqu'on cherche déterminer la position idéale des piikes piézoélectriques dans un but

d'optimisation. La méthode par carroyage a été développée entièrement dans le mémoire de R. Lapointe

[21] pour des matériaux viscoélastiques. C'est pourquoi dans le présent travail nous nous contenterons

d'ajouter une partie complémentaire au développement mathématique déja fait. Cette partie

complémentaire nous permet de passer d'un matériau viçcoélastique aux matériaux ayant des propriétés

piézoélectriques comme l'actuateur ou le senseur.

Cette démarche consiste à diviser la plaque en plusieurs sections. Ces sections peuvent être

occupées par une paire d'aéments piézoélectriques ou laissées libres. L'emplacement que peut occuper

une paire de pièces piézoélectriques et les dimensions des pièces piézoélechiques sont prédéterminées

par la disaétisation. Pour délimiter ces sections, on divise la plaque en " X portions le long de I'axe des

x et en Y" portions le long de I'axe des y que l'on nomme discrétisation.

1

Figure 2 5 Représentation par m y a g e .

Vecteur C(a,b)

1

O

1

1

a = 1,2,3... X O

1 - 8 = 1,2,3 ... Y

i

O

1

O

On attribue chacun des carreaux une position et un vecteur de configuration correspondant à

c(a$). On assigne à ce vecteur une valeur "1" ou "O", dépendant si le carreau est couvert ou non

(voir figure 25).

Pour permettre de localiser chaque éIhent, on assigne au coin inférieur gauche et au coin

supérieur droit de chaque carreau, une coordomée. Pour représenter ces coordonnées, on utilise les

variables x, , x, y, , y, déja décrites dans ce même chapitre. Ainsi, lors de I'integration, on se sert de

cette nouveiie déihitation. Si on décompose i'axe des x en "X" carreaux (voir figure 26) et qu'on ramhe

le tout en coordomées cartésiennes soit x, et x, on aura :

Pour l'extrémité droite :

-b -3 -2 -1 O f ...- xb x, b (coordom& cartésiennes) I f

. . . ..- . - a ,' . . . - - -

I

4 X carreaux

a=iJ J... x

figure 2 6 Relation entre coordonn6es cartésiennes et carroyage. Ici, les carreaux 1,4,7 et 8 sont occupés par des

paires de pièces pi6zo6lectriques tandis que Les carreaux 2,3,5 et 6 sont vides.

(3 + (a - 11) - %ka -- (-x +2(a - l ) )b

Pour l'extrémité gauche : X 26

+ x, = X

Ainsi, dans le système de représentation par carroyage, nous utilisons les ternes de droite des

expressions 263 et 264, qui repr6sentent impliatement les coordonn6es carf6siennes. Le développement

demeure similaire pour les c o o r d o ~ & suivant I'axe des y.

2.5.1 MATRICE DE MASSE

A partir de I'expression 238, on obtient pour la methode par carroyage, en incorporant le vecteur

de configuration c(a$ ), l'expression suivante :

2.5.2 MATRJCE DE MGID-

A partir de l'expression 246, nous obtenow pour la méthode par carroyage et pour la rigidité du

senseur, l'expression suivante :

I MP-lk-1)

Après mtegration, on retrouve h partir de l'expression 2.49 la matrice de rigidiM de i'achiateur qui

devient :

2.5.3 VECTEUR DE FORCE G-S&

Le vecteur force généralisée produite par L'amateur devient :

En reprenant l'expression 2.62, on détermine la tension aux bornes du senseur et on obtient :

où A q est la différence de potentiel pour un senseur de coordom&s a,$.

L'expression £inale des 6quations matnaelles du mouvement se définit comme suit :

oh M , M, et M, representent respectivement la masse de la plaque, la masse des amateurs et la masse

des senseurs. Dans ce cas ci, K, représente la rigidité de La plaque sous une forme complexe, puisque

I'arnortissement de la plaque est indus dans ce terme. et 4 désignent dans l'ordre la rigidité des

senseurs et des actuateurs. IC, correspond à la rigidité des ressorts virtuels position& sur les bords de

la plaque, simulant ainsi les différentes conditions aux limites. ( ~ ( t ) } est le vecteur des forces

génealisées extérieures et ( ~ ( t )) l'excitation produite par les achiateurç.

2.6.1 R&SOLUTION DES VALEURS PROPRES DU S'Ys-

une fois que le système des équations différentielles est déterminé, nous pouvons évaluer les

valeurs propres du système correspondant aux fréquences propres. Pour ce faire, en éliminant

l'amortissement du système, on résout i'équation homogène suivante :

Le système étant un +&ne h4aire de second ordre, la solution de l'équation homoghe sera de la

forme :

d'où en substituant 272 dans Z7î on obtient :

Ce système matriciel comporte autant de valeurs propres ( cd ) que sa dimension qui est de

(rn+l) x (n+l) . Chacune de ces valeurs correspond h la fi&vence naturelle au carre du mode en

question. Les fréquences naturelles pourront être d&errnin&s pour la plaque seule ou pour l'ensemble

plaque et pièces piézoélectriques. Pour ce faire, des changements devront êhe apportés a u matrices de

masse et de rigiditt5 selon Ie système à résoudre.

La rt5ponse du système est déterminée h partir de l'équation différentide suivante :

où est I'angle de déphasage de chacun des amateurs par rapport aux forces d'exatation. Ainsi, tous

Les vecteurs représentant la force généraMe des amateurs pourront être déphasés par rapport aux

forces d'excitation. Par contre, comme mentionné plus tôt, les forces généralisées d'excitation n'ont

aucun angle de dkphasage.

L'étape suivante consiste à faire une substitution de I'expression 2.72 dans les équations

diff6rentielles 273 . On aura aprk réarrangement :

On doit par la suite proctider h un bakyage fréquentid dans le but de tracer la réponse en

fréquence. Lorsque tous ces ternes sont d6tenninésf on peut procbder A la résolution de chacune des

équations pour chaque fiQuence h l'aide d'une methode numénque[U] celle d'élimination de G a w , en

passant par la relation suivante :

où ( X ) de l'expression 275 est le vecteur {A] de Mquation 274 &nt les valeurs recherch&s. La matrice

i ~ ] représente la matrice [ K - 0 2 ~ ] de l'expression 274 tandis que le vecteur ( B ) correspond au forces

généralisées {{F} + { Q } ~ J ' ~ }. Par la suite, lorsque la valeur du vecteur {A} est d&ermin& on introduit

celui-ci dans la représentation en série polynomiale w( 2.3). nous avons donc :

Le coeffiaent A, étant complexe[21] compte tenu de l'amortissement de la plaque, on peut le représenter

sous la forme suivante :

où R, est la partie réeue de A, tandis que 1, est la partie imaginaire de A, En ins6rant cette expression

dans l'équation 276, on a :

Cette expression peut se ramener sous la forme complexe suivante :

w(x, y, t ) = [wpe'a

llw] représente donc i'ampïitude de la deformation et 0 son dephasage pour une fréquence donnée et un

point dome. En procédant à un balayage h4quentiel comme déja mentionnb, on trace une courbe en

fonction de la fréquence.

26.3 VITESSE QUADRATIQUE

Dans le but d'avoir une mesure globale de la réponse du système, il est préférable de regarder ce

qui se passe à tous les points de la plaque. Pour y arriver, on calcule la moyenne de l'amplitude de la

vitesse quadratique sur toute la surface, définie comme suit :

où A représente la surface de la plaque. Après développement, on obtient :

C'est h partir de cette relation que nous obtenons la vitesse moyenne quadratique.

2.7 ORGANIGRAMME

I Plaque [KI, [MI, {FI,.

Fr6q. Naturelle de la plaque 1 [MI-' [K] = ai2

Pièces piézoélectriques 1 (Klet[Ml 1 I Freq. Naturelle de la plaque + pièces piézoélectriques

[MI-' [KI = a2

Force g é n h i i s é e {Q},.

1 Accélération - vitesse - déplacement 1 T

1 Tension aux bornes (

"BB" non

t- oui

*

1 oui 1 Résolution du svstème 1

Fréq. = Fréq. + sautmax tp=t, u = 1

7

Vitesse Quadratique

Vérification de Ia pente avant le sommet

. Fréq. = fréq. + sautmax non

tp=t , u=l

+ 1 Réponse en un point 1 1 ~ccél6ration - vitesse - déplacement (

*

des senseurs Fréq. = Mq. - sautmin + sautm

I

d

oui *

4

*

Fréq. = fréq. - 2*sautmax t = t - 2 non

tp = kt( t+(2*sau~ax/sautmin)) - 1 Erreur &

I

non

/ Sortie des données /

Figure 27 Organigramme du simulateur num6nque.

La modélisation mathématique obtenue dans ce chapitre, nous a permis de développer un

programme calculant la réponse vibratoire d'un système tel que décrit à la section 2.1.1. Ce programme

permet de calculer la réponse fréquentide en un point, du déplacement de la vitesse ou de l'accélération

hansversai du système. De plus la tension aux bornes d'un ou des senseurs peut-être determinée. La

vitesse quadratique du système ainsi que l'aire se trouvant sous la courbe de la vitesse quadratique sont

calculées. Le programme a la possibilité d'emmagasiner dans un fichier les valeurs des coefficients A,

qui servent apr& traitement à tracer la déformée. La figure 2 7 représente l'organigramme du

programme.

2.8 NCLUSION

Ce chapitre nous a permis d'établir toutes les relations mathématiques nécessaires à la création

du simulateur numérique. Il nous est donc possible maintenant d'établir une étude paramétrique de

différents syst&mes comportant différentes configurations partir de ce simulateur numérique.

A l'aide du simulateur n u m u e , nous avons effectué une étude parantétri@ d i tn système

composé d'une phque mince homogène et de pièces piZme7ecfnques qui peuvent agir comme senseur ou

comme actwiteur. Les objedji oisés lors de cette analyse sont de comprendre et de découmir les

phénomènes physiques qui s'upparentmt à ce type de montage.

3.1.1 TYPE DE MONTAGE

Dans les deux prochains chapitres, nous utiliserons le même type de montage décnt dans les

tableaux 3.1,3.2 et 3.3. Lorsque différents arrangements seront préférés dans certaines simulations, ces

modifications partielles ou totales seront clairement indiquées textuellement ou dans des tableaux

prevus à cette fin. Les caractéristiques de la plaque en aluminium mince, rectanguiaire utilisée, ainsi que

69

du système en généralf apparaWent au tableau 3.1. On retmuve au tableau 3.2 et 3.3 les particularités

des actuateurs et des senseurs disposés de part et d'autre de Ia plaque.

demi-b ase (b) 0.130 [ml demi-hau teur(h) 0.250 [ml demi-épaissew(e) 0.00113 [ml disuétisation en x 5 disa6tisation en y 20

densité (plaque) 2700 [kg/m3] mod. de Young plaque(re) 0.700 E+11 [kPa] mod. de Young plaque(im) 0.700 E N 9 m]

coeff. de Poisson (plaque) 030

raideur trans. k, 0.0 w/m/m] raideur rotation. c, 0.0 FJ-m/rad/m]

Freq. min. de balayage 2 Hz Freq. max. de balayage 1200 Hz

force # 1 : 1.0 N position (xf y) : (-0.0600,0.100)[m]

SV. en un oomt : position (*,y) : ( 0.056,-0.112) [ml

Tableau 3.1 Caractéristiques de la plaque et du systeme en général.

Densité volumique Coeffiaent de Poisson Module de Young Épaisseur Cte piézoélectrique 4, Largeur de l'actuateur Longueur de l'actuateur Centre sur l'axe des x de l'act. Centre sur l'axe des y de l'act.

- -

Tableau 3.2 Caract6ristiques de la paire d'actuateurs.

Densité volumique 7600 [kg/m'] Coefficient de Poisson 0.30 Module de Young .99e+ll [Pa] Épaisseur 0.7620 E-03 [ml Cte piézoélectrique q, 12.078 [N/rn*V] Permittivité E, 0-11510E-07[F/m] Largeur du senseur 0.02500 [ml Longueur du senseur O.OSOS0 [ml Centre sur i'axe des x du sens- 0.05600 [ml Centre sur Paxe des y du sew. -0.1120 [ml

- - - -

nbleau 3.3 Caractéristiques de la paire de senseurs.

Les éiéments piézoélectriques ( tableaux 3.2 et 3.3 ), de forme rectanguiairef sont positionnés de

façon à ce que leurs axes longitudinaux, correspondent au sens longitudinal de la plaque. Dans le cas

des pièces piézoélectriques8 on constate que le module de Young est diffeent pour l'amateur et le

senseur. Ceci est iniputabIe au fait que le senseur n'étant pas activé par un signal, il devient passif. Ce

phénomhe, déjà mentiorné à la sedion 1.3.8.1, nous oblige à le traiter comme un circuit ouvert ou semi-

ouvert*

Nous avons assigné h la constante piézoélectrique du senseur e, une vdeur de 12078 P/rn-V]

dors qu'en réalit4 la valeur devrait être de 10.0 /m-W. Cela ne change en rien les résultats, puisque

dans ce chapitre nous avons établi une étude comparative entre différents résultats numériques. Cette

vdeur de ïZ.078 [N/m.V] attriïuée au senseur, a ét6 déterminée ii partir de la constante piézoélectrique

4, que l'on mulaplie par le module de Young. Au moment de deluter les çimulations numériques, nous

avons utilis4 le module de Young d'un senseur ii circuit ouvert pour transformer la constante 4, ii q,. En

réafité il faut utiliser la valeur du module de Young à circuit fermg même si nous sommes en présence

d'un senseur.

3.1 COMPARAISON PLAQm SEULE ET

PLAQUE + P ~ C E S P ~ Z O ~ C T R I Q U E S

Dans le chapitre 2, la methode u W e pour résoudre les différents systèmes considère l'effet de

couplage entre les pièces piézodectriques et la plaque. L'effet de couplage s'applique en tenant compte

de l'effet de masse et de rigidité des éléments pi6zoélechiques sur tout le système pour chaque fréquence

donnée contrairement à une approche statique [4,9,10,173. Pour 4value.r l'importance de cette influence,

nous avons déterminé, à L'aide du simulateur numérique, la rkponse en fréquence de deux différents

systèmes.

Le premier montage comprend une plaque mince (décrite au tableau 3.1), dont la source

d'exatation est un pot vibrant et les conditions aux limites sont libres. Le deuxi-e système est

identique au premier sauf que nous avons ajoute deux paires de pièces piézoéIectriques considér6es dans

ce cas bien précis, comme des éléments passifs. Ainsi, dans cette etude, I'actuateur se comporte comme

un senseur. Par conséquent, le module de Young de i'actuateur devient 4quivalent h celui du senseur

soit 99 [GPa].

La figure 3.1 présente i'analyse spechale des deux différents montages dkrits précédemment.

L'axe des ordonnées de la figure 3.1 est défini selon une échelle logarithmique en terme de décibels[dB].

Pour déterminer cette échelle, on multiplie par 20 le logarithme en base 10 de la fonction de transfert de

Figure 3.1

Reponse en fréquence des deux systemes, l'un comprenant des pieces piézoélectriques agissant

comme éIéments passifs positionnks sur une plaque, l'autre n'impliquant qu'une plaque seule.

Tableau 3.4

Comparaison entre les fréquences naturelies d'un système comprenant des pieces pi&oélectriques

agissant comme 6léments passifs positionnées sur une plaque, l'autre n'impliquant qu'une plaque

seule.

i'accélémtion en un point, divisée par la force d'excitation En observant la figure 3.1, on constate que

lorsque la fréquence augmente, la courbe pour une plaque avec les pièces piézoélectrîques se détache des

crêtes de la courbe du montage de la plaque seule. Ce phénomène démontre i'importance que prend la

rigidité par rapport à la masse lorsque la fréquence augmente. La rigidite et la masse influenceront

Pamplitude du système comprenant des pièces piézoélectriques. La comparaison des fiéquences

naturelles est donnée dans le tableau 3.4.

3.1.3 V&RIFICAION DU CALCUL DE LA MASSE ET DE LA RIGIDM DES

Figure 3.2

Validation de la sous-routine calculant la masse et Ia rigidité des pieces piézo6lectriques.

Dans le but de valider la sous-routine du simulateur numérique qui calcule la masse et la

rigidité des pièces piézoélectriques, nous avons procédé de la façon suivante. Nous avons choisi une

sous-routine déjà validée, soit celle qui c a l d e la masse et la rigidité d'une plaque mince pour un

système avec matike viscoélastique[21]. Cette sous-routine a été intkgrée en permanence au simulateur

num6rique. Les cdculs effectués par cette sous-routine dans ce cas-9, serviront donc de référence. Dans

un premier temps, nous avons utilisé une plaque avec les mêmes caractéristiques que celles indiquées au

tableau 3.1, en apportant des modifications h Npaisseur et en annulant L'amortissement de la plaque.

Ainsi, les premiers dcu l s furent lancés avec une épaisseur de la plaque de 0.00256 [ml. La réponse en

fréquence obtenue a p p d t à la figure 3 2 Ce premier essai ne faisait appel qu'a la sous-routine

calculant la rigidité et la masse d'une plaque-

Densité voIumicpe 2700 Fg/m31 Voltage entre les bornes 0.0 [vl Coefficient de poisson 0.30 Longueur de I'actuateur 0.260 [ml Module de Young -7000 Ee+ll[ Pa] Largeur de I'actuateur 0.500 [ml Épaisseur du piezo 0.120 E-02 [ml Centre sur l'axe des x 0.0 [ml Cte containte/charge e,, 10.0 [C / m2] Centre sur l'axe des y 0.0 [ml Permittivité% 0.11510 E-07 IF /m]

Tableau 3.5

Caractéristiques des 4léments pit5zoélectriques recouvrant Ia plaque en totalité.

La deuxième etape consistait h relancer les calculs avec une 6paisseur de la plaque et des pièces

pi6zo6lectnques t5quivale.e à c d e du premier essai. Précisons que les caractéristiques des déments

piézoélectriques disposés de part et d'autre de ta plaque ont des propriétes semblables 2i ceiles de la

plaque ( voir tableau 35).

Ainsi, cet artifice nous permet de simuler les mêmes conditions que lors du premier essai. Pour

ce faire nous utilisons à la fois la premiiire sous-routine déjh validée pour les calculs de la plaque et la

nouvelle sous-routine servant h calculer la rigidité et la masse des pièces piézoélectriques. Étant donné

que les pikes piézoélectriques ont les mêmes propriétés que celles de la plaque, les resultats du premier

et deuxième essai doivent concorder. La figure 3.2 en Mt foi par la superposition des deux courbes de

chaque essai, ce qui permet de valider la nouvelle sous-routine.

3.1.4 POUTRE EXCIT& PAR UNE PAIRE DIACTUATE'üRS

Nous avons voulu vérifier la rkponse en fréquence d'une pouwe excitée par une paire

d'abuateurs dans le but de comparer un système statique celui d'un système dynamique. On doit

préciser que le simulateur numérique s'adapte aussi bien à un système compose d'une poutre ou d'une

plaque en modifiant la série de puissance rn et n (voir tableau 3.1). Les résultats obtenus à l'aide du

simulateur numérique ont kt6 cornpar& avec des résultats présentés dans une publication à partir d'une

modéiisation statique [18] . Le montage apparaît à h figure 3.3. La poutre en aluminium correspond

aux dimensions suivantes : 0.3 [ml x O.OS[m] x 0.00312 [ml. De plus, la poutre a un module de Young de

6.5 XE10 [Pa] et une densit6 de 2992 kg/m3]. De forme carrée, les éléments piézoélectiiques mesurent

0.05[m] x 0.05[m] et i'4paisseur varie pour les trois différentes courbes. Ils sont locaüsés h x, = O.O5[m] et

x, = O.l[m]. L'axe des ordonnées des figures 3.4 et 3.5 est défini sehm une échelle logarithmique en terme

de [dB]. Pour déterminer cette échelle, on multiplie par 10 le logarithme en base 10 de la fonction de

transfert de l'accélération prise au bout de la poutre, divisée par le champs électrique.

I

Figure 3.3

Poutre encastrée, excitée par une paire d'actuateurs dont la réponse est prise i l l'extrémité libre

de Ia poutre.

Réponse en fréquence d'un systéme suivant une modélisation statique, pour trois diff4rentes

épaisseurs d'actuateurs. ( Tiré de Kim et al. [18] ).

Les pi& piézoélectriques sont de modèle PZ', le module de Young est égal 8.îxElO[Pa] tandis que la

densité et la constante piézoélectrique d,l sont respectivement de 7550 kg/m3J et de 1.35 XE-10 (mm. De plus, dans la modélisation, Kün et a1.[18] ont tenu compte de l'amortissement h la fois des pièces

piézoélectriques et de la poutre. Dans notre cas, seul i'arnortissement de la poutre a éte retenu. En

comparant les courbes des figures 3.4 et 35, on voit que pour le premier mode propre, les résultats sont

presque similaires. Par contre, plus la fréguence augmente et plus les crêtes de résonance s'@oignent

entre chaque courbe et ce, pour la modéliçation dynamique ( voir figure 3.5 ). Ii est tout à fait habituei de

retrouver cette démarcation ii mesure que la Mquence augmente &tant donné que i'effet de rigidité en

flexion augmente avec P4paisseu.r des actuateurs. Par contre, cet effet se manifeste très peu dans la

modélisation statique. L'amortissement des pièces piézoéktriques n'est pas indus dans la modékation

dynamique représentée à la figure 3.5, comparativement à la modélisation statique. Cela se traduit par

des amplitudes plus éievées sur chacune des courbes de la figure 3.5 2 mesure que la fréquence

augmente.

Figure 3.5

Riiponse en fréquence d'un systeme suivant une modélisation dynamique, pour trois ciifferentes

epaisseurs d'actuateurs. Résultats obtenus i partir du simulateur numérique.

Loaqu'une plaque est excitée ponctuellement en son centre, les modes anti-symétriques ne se

manifestent pas. En effet, les modes anti7ymétriques ont au moins un noeud qui se situe au centre de la

plaque; par conséquent, la source d'exatation ne peut activer ces modes &nt elle-même positionnée sur

ce noeud.

Figure 3.6

Repenses en fréquence d'un systhe, dont les conditions aux limites sont libres et la source

d'excitation est un pot vibrant ou une paire d'actuateurs piézoélectriques.

Cela se traduit par une r6ponse en fiequence où tous les modes anti-sy&triques sont absents.

En observant les deux signatures de la figure 3.6, on peut déduire qu'à partir du premier mode jusqu'à

1200 [Hz], la rkponse pour une paire d'actuateurs piézo&Iectriqyes ou un pot vibrant est similaire. Dans

ce cas-ci, la paire d'actuateurs piézdecûiques ou le pot vibrant sont positionnés au centre de la plaque

et c'est la raison pour laquelle les modes anti-symétriques sont absents.

Comme les actuateurs piézoélecaiques se déforment d'une façon similaire en direction x et en

direction y dans le plan de la plaque, les déformations imposées à la plaque sont par conséquent

uniformes, sur la surface que les amateurs occupent Ainsi la répdtim des déformations n'est pas la

même dans le cas des actuateurs piézoéIectiigues comparativement une force ponctuelle tel un pot

vibrant En effet compte tenu du dhphasage de 180° des signaux d'alimentation de chaque pièce

piézoélecaique, les actuateurs piézoéiectriques aéent des déformations qui se soldent par un

déplacement trançvexsal. Par contre, i'action du pot vibrant se limite a imposer un déplacement

tansversal la plaque çur une très faibIe &ce que nous considérons comme ponctuelle.

D'autre part, la plaque &pond très difféIemment daw la zone de fréquences se situant en deqà

de la première fréquence natureiie. Dans le cas du pot vibrant, si on se rapproche de la Mquence zéro,

l'amplitude de la réponse du système tend vers une valeur très grande étant donné que les conditions

aux limites sont libres. Cette différence est imputable au mode rigide. Le mode rigide se définit

mathématiquement comme étant un déplacement que subit la plaque lorsque cette demière est

considérée comme étant parfaitement rigide A une fréquence égale h zéro. Ce type de mode à frequertce

nulie est systématiquement obtenu pour les systèmes dont les conditions aux limites sont libres. Ce

mode est possible dans le cas du pot vibrant puisque ce dernier peut être dote d'un point d'appui ou

offrir une inertie au mouvement kansversal de la plaque. Ainsi le pot vibrant à la possibilité d'appliquer

une force transversale qui peut d e r un tel mouvement au système. Par contre, dans le cas de la paire

d'actuateurs piézoélectriques, le mode rigide ne peut se manifester puisqu'elle applique un moment qui

ne peut d e r une translation libre. En effet, les pièces piézoélectriques se déforment uniquement dans le

plan de la plaque. C'est pour cette raison que la signature d'un système activé par des pièces

piézoélectriques débute par un mouvement qui tend vers zero lorsque la fréquence d'excitation tend

aussi vers zéro.

3 ANALYSE DE COUPLAGE

Lors de l'exécution de différentes simulations, nous avons remarqub que dans des conditions

bien particulières, la repense en fiéquence d'un système exaté par un pot vibrant ou une paire

d'actuateurs piézoélectriques démontrait des différences qui n'&aient pas associées cette fois-ci au mode

rigide. En effet, dans ce cas-ci, Ies conditions aux iimites semblent en être la principale cause. Pour

l'analyse de cette particularité, nous procéderons de la &on suivante.

Tout d'abord, des changements seront apportés aux caractQistkpes de k plaque apparaissant au

tableau 3.1 en la rempIaçant par Eellcs du tableau 3.6. Notons que la conditions aux limites adoptées

sont maintenant encastrées aux quatre bords. Les données sur les éléments p i ~ e c t n q u e s quant A eux,

apparaissait toujours au tableau 32. Par conke, l'épaisseur a été modifiée; elle affiche maintenant 0 5

[mm]. Dans cette simulation, nous n'utiliserons pas ia paire de semeurs-

Tableau 3.6

Cariactézirptiques du syst&me Ion de t'étude du couplage

Comparaison entre la réponse d'un système pris au point ( 0.056, -OJl2))[mJ), dans Ie cas o ù

hxcitation pmvient d'une exatation ponctuelle ou d'une paire d'awte- pi&odlechiques.

La figure 3.7 compare deux courbes, représentant la réponse du systbe h deux sources

d'exatation différentes. En comparant ces deux courbes, nous constatons qu'il se produit m e baisse

d'amplitude subite et ce, juste avant d'atteindre la première fi6quence naturelle, lorsque la plaque est

existée par une paire Gactuateurs piézoélectriques. En remplaçant la source d'excitation par un pot

vi'brant, ce phhomène est absent- Nous supposons que ce cleux avant la première fréquence naturelle

pourrait se caractériser par la contribution plus marquée de modes propres plus complexes. Pour

appuyer cette prémisse, nous avons tout d'abord vérifié s'il y avait un changement de phase dans la zone

immédiate de ce aeux. Cette vérification s'est avérée positive puisque le premier changement de phase

se sihie à 104 [Hz] ( voir figure 3.8 ). La fr4quence de 104 [Hz] représente une amplitude minima dans la

zone immédiate du aeux. Le deuxième changement de phase survient il 126 w], soit exactement au

premier mode propre, ce qui correspond évidemment au premier changement de phase dans le cas du

pot viirant Notons que ce même phénomène se manifeste lorsque les conditions aux limites sont

encastr6es sur deux ou trois bords. Dans ce cas, les bords qui ne sont pas encastrés sont laissés libres.

Figure 3.8

Diagramme de phase d'une plaque encastrée aux quatre bords dont la source d'excitation est une

paire d'actuateurs piézoélectriques.

Pour mieux comprendre ce phénomène, nous avons tracé la déformée du système à 104 [Wz]. La

figure 3.9 présente la defornée lorsque le système est exaté par une paire d'actuateurs. La figure 3.10

80

p r h t e le même système mais cette fois4 un pot vibrant sert de source d'exatatioh Dans ce cas, la

paire d'actuateus agit comme élhent passif ( module de Young 99[GPa] ).

Longumur *hœ (rnhtre) * O ;

Figure 3.9

Déformée d'une plaque encastrée aux quatre bords à 104[ Hz]. La source d'excitation est une paire d'ac tuateur.

Le graphique de la figure 3.9 nous montre deux ventres dont un se manifeste avec une moindre

amplitude. Ce dernier n'apparaît pas lorsque la source d'exatation est un pot vibrant. C'est ce ventre

secondaire qui nous laisse croire que les modes propres plus complexes occasionneraient le =eux

apparaissant dans la signature de la réponse en fréquence, si la source d'exatation est une paire

d'actuateurs piézoélectricpes. Ce qui nous amène a émettre l'hypothèse que même avant le premier

mode, des modes plus élevés conhibuent h la dponse du système. Ainsi, lorsqu'on traite une paire

d'amateurs piézoélectriques, il devient important de modéliser le système dynamiquement avec

suffisamment de termes dans la série polynomiale de hçon indure suffisamment de modes. Par

contre, 1a modélisation statique, n'utilisant dans k plupart des cas que quelques modes, pourrait s'avérer

insuffisante pour faire apparaître la deformée avec le ventre secondaire. A partir de ces réniltats nous

pouvons conclure que lorsqu'on exate un système avec des amateurs piézdectriques le couplage

modal s'intensifie.

Pdèlement tout d a , nous devons considérer que les amateurs piézoélectriques présentent

des déformations, une rigidité et une masse locales, rendant le comportement du système beaucoup plus

complexe qu'une exatatîon avec pot vibrantf ce qui ne hdite pas l'analyse en cause puisque l'impédance

mécanique du système dî£fère dans les deux cas.

En résume, nous avons découvert un phénomène hédit jusqu'à maintenant et dans tout ce qui a

été publié scientifiquementt Ce phénomhe se M e s t e en grande partie lorsque les conditions aux

limites sont encastrées sur plus de deux bords et que la source d'exatation est une paire d'actuateurs

piézoéIectriques. Ii reste maintenant à approfondir i'analyse de fiçon à déterminer la raison pour

laqyde on retrouve ce phénomène avec une paire d'actuateurs piézoélectrigues dors que le pot vibrant

ne génère pas cette singdarit6.

Figure 3.10

Déformke d'une plaque encastrée aux quatre bords 104 [Hz]. L a source d'excitation est un pot

vibrant.

Notons que des simulations ont ét6 effectuées lorsque les conditions aux limites présentent un

appui simple aux quatre bords. Dans ce montage, nous avons obtenu des résultats au niveau de la

déformée qui sont similaires aux conditions Limites d'encastrement. Par contre, dans le cas d'appui

simple le ratio des surfaces (plaque / pièces piézoélectriques) ifluence les résultats.

3.3 INFLUENCE DE L A VARIATION DES CARACT~RISTIQUES DES P ~ C E S

33.1 MODUL,E DE YOUNG, DENS-, CONSTANTES ( 4, )

Les pièces piézdectriqyes livrées par le fabricant sans être calibre% peuvent présenter des

erreurs aux niveaux des différentes constantes de l'ordre de &!O%, [26]. Des calculs ont été effectués à

raide du sinidateur numérique pour vérifier l'importance de ces variations. Les caractéristiques des

éiéments pi&d&ques et de la plaque utilisées dans les simulations suivantes correspondent ii ceux

des tableaux 3.1,32 et 3.3.

- - - -. - - - -- - -

Figure 3.11

Réponse en fréquence d'un systeme lorsque le module de Young des actuateurs piézoélectriques

varie de f 20 %.

Ainsi, en variant le module de Young. autour d'une valeur nominale se situant h 82 [Gpa], on

remarque de légers écarts au niveau de l'amplitude de la réponse du système sur Péchde dB ( voir

figure 3.11). Dans un même ordre d'idée, on distingue une legère variation de l'amplitude (voir figure

3.12) si on diange la densite des pieces piézoélectriques cette fois4 60%.

ûensit6 des pièces pko6lectriques 3400 kg / m3 -- -- - 7600 kg 1 ri-? . ---- 114ûûkg/rn3

O 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1ûûû 1100 1200

Frdquenœ (Hertz)

--

Figure 3.l2

Réponse en fréquence d'un systeme lorsque la densité des pieces piézoélectriques subit une variation

de f SO %.

Figure 3.13

Variation des constantes piézoélectriques pour une paire d'actuateurs. Repenses en fréquence pour

une accélération transversale ponctuelle.

Par contre, dans le cas où ce sont les constantes piézoéiectriqyes en de la paire d'actuateurs ou

de la paire de senseurs qui varient, on observe des écarts notables au niveau de l'amplitude de la réponse

du systhe ( voir figure 3.13 et 3.14 ). Pour ce faire, nous avons varié les constantes de la paire

d'actuateurs en gardant celles des senseurs fixes pour obtenir les résuitab de la figure 3.13. Par la suite,

nous avons maintenu fixe les constantes de la paire d'actuateurs tout en aWnt varier d e s du senseur

( voir figure 3.14 ).

Cette première &tude démontre, que la variation des constantes piézoélectriques a un effet plus

marqué sur le comportement du système, que la variation du module de Young ou de la densité des

pièces piézoélectriques.

-5

-1 5

-25 A c. L.

O

-45

-55 Cunstantes piézoélectriques

-65

-75

Figure 3.14

Variation des constantes piézoéIectriques pour une paire de senseurs.

3.3.2 DWENSIONS DES P&CES PTÉZO~CTRIQUES NON UNIFORMES.

Lors des manipulations expérimentales, on procede quelquefois à une segmentation des pièces

piézoélectriques en utilisant une lame. Cette tansformation engendre des dimensions des pièces

piézoélectriques qui ne sont pas rigoureusement exactes. Cela est d'autant plus vrai lorsqu'on procède

manuellement à la segmentation. Nous avons voulu vérifier les effets d'une variation de la longueur et

des senseurs - 25.0 m n x 50.8 mn --- 23.0mnx 48.8 rnn

O 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Io00 1100 1200

Frdquence ( Hertz )

Figure 3.15

Diminution des dimensions de la paire de senseurs.

--

Figure 3.16 Diminution des dimensions de Ir paire d'actuateurs dont la dponse est lue I'aide d'une paire de

senseurs.

de largeur des éléments piézoélectriques de 2[mm] W e u r aux dimensions indiquées aux tableaux 3.1

et 3.2. Les figures 3.15 et 3.16 démontrent qu'une teiie variation des dimensions peut être considérée

comme négligeabk sur le signal recueilli au niveau de la paire de senseus.

En résumé, nous constatons la prépondérance de faire varier les principales constantes

intrinsèques aux pikes piézdectriques, sur la réportse du système. Dans ce cas-ci, on se rend compte

gue les constantes piézoélectriques ( e,, ) de l'actuateur et du senseur semblent affecter substantiellement

l'amplitude de la rkponse en Wquence d'un système. Par contre, les erreurs provoquées par les autres

constantes comme le module de Young, la densite ou la non uniformit6 des dimensions des pikes

piézoélectriques ne sont pas aussi importantes.

3.3.3 VARIATION DE LA LONGUEUR DES SENSEURS

Variation de h iorigueur des senseurs 25 mnx 50.8 mn --- 25 mnx 500 mn

Figure 3.17

Signaux émis par une paire de senseurs dont Ia longueur varie.

La paire de senseurs a pour fonction de lire la réponse du système partir des d&formations

qu'elle subit sous l'influence de celles de la plaque. Remarquons que même si les senseurs sont disposés

en paires de part et d'autre de la plaque, la lecture du signal émis est relevée sur un seul senseur.

Voyons maintmant les réniltats à i'on modine la longueur d'une paire de senseurs positionnée au centre

de la plaque. La courbe en trait continu de la figure 3.17 nous fournît la variation du voltage d'un

senseur dont les dimensions standard sont de 250 (mm] x 50.8 [a. La source d'excitation provient

dune paire d'actuateurs alimentés par une source de 1 [volt] toujours positionnée au point (0.060,

O.lOO)[rn]. La deuxiéme courbe en pointillé représente la tension d'une paire de senseurs toujours placés

au centre de la plaque, mais occupant cette fois-ci toute la longueur de la phque sur une largeur de

Z[mm]. On remarque que le signal provenant de la paire de senseurs occupant toute la longueur de la

plaque est plus diffus par rapport celui de la paire de sertseurs occupant une plus petite surface. Cela

est attribuable, en partie? au fait que chacun des senseurs enregistre une moyenne des déformations qu'il

subit, sur la surface respective qu'ils occupent. Ii s'ensuit que la paire de senseurs occupant une plus

grande surfitce émettra un signal qui sera "écrasé" par cette moyenne et par conséquent, nous fait perdre

de L'information.

3.3.4 V m T I O N DE L%PAISSEUR DES SENSEURS ET LA PERMITTIVITÉ

0.44 -- Épaisseur des senseurs -- - O Z 4 mn 0.39 - - - 0.762û mn -- 1.0 mn 0.34 - - 0.29 - -

0.19 - - 0.14 - -

Frbquenœ (Hertz)

Figure 3.18

Effet sur le signal produit par une paire de senseurs lorsque l'épaisseur de ces derniers varie.

Un autre critère important concernant les pièces piézoélectriques lorsqu'des sont utilisées

comme senseur, c'est l'épaisseur de ce dernier. La figure 3.18 présente trois courbes dont le seul

paramètre variable touche I'épaisseur de chaque senseur. La paire de senseurs est positionnée au point

( 0.056,-0.112 )[ml. L'épaisseur du senseur ait varier In capaatance affeaant amsi la relation 262 par

un tenne au c a d qui se retrouve au numérateur. Aussi en observant les courbes de la figure 3.18, on

reconnaît l'importance de l'épaisseur du senseur par un signal de sortie se rkvèlant beaucoup plus

puissant.

La permittivit6 produit aussi un effet direct sur la capaatance et est inversemmt proportionnelle

l'amplitude du signal produit ( voir figure 3.19 ).

En résumb, en se basant sur les résultats obtenus, on doit choisir, de préférence, un senseur dont

l'épaisseur est la plus élevée possible et dont l'aire de surface occupée par le senseur est la plus petite

possible[l]. Par contre, le choix final des dimensions du senseur se fait h partir des limites physiques

acceptables, du senseur et du système. La perfoxmance du senseur, a Laquelle on s'attend, inauencera

aussi notre choix des dimensions désirées.

Variation de ia pemiüiiit6 - 9 9- - 0.920s 5 8 0.1151 S7 -- 0.1381 G7

Figure 3.19

Influence de la permittivité sur le signal de sortie du senseur. La variation de la permittivité est de

=O% de la valeur nominale.

4, = 23.0 E -12 [m/V] Y = 2 0 E+9 [Pa] v = 030

Tableau 3.6

Caractéristiques des senseurs PVDF

Les matériaux PVDF (polyvinylidene fluonde)[23] sont parfois utilisés comme senseur. Entre

autres, leurs prix peu éieves, l e m faibles densités et la fadité de procéder A la mise en place en

laboratoire inauencent ce choix. A l'aide du simulateur, nous etablirons une comparaison entre le signal

émis par un matériau PVDF et un matériau céramique comme le PZT-4. Dans le tableau 3.7, on retrouve

les propriétés des senseurs PVDF utilisés dans cette simulation.

La première simdation consiste à établir une comparaison entre une paire de senseurç fabriqués

en céramique PZT-4 et une paire de senseurs PVDF d'épaisseur égale 0.7620[mm].

Cette fois&, la deuxième simulation implique un senseur PVDF ayant une &paisseUr de

O.ll[mm], étant une dimension plus réaliste pour un matériau PVDE En observant la figure 3.20, on voit

que l'innuence de la rigidité de la céramique PZT-4, deplace les crêtes de fréquence de résonance vers la

droite. Si on compare maintenant l'amplitude des signaux produits par les senseurs PVDF et PZT-4, on

se rend compte que le signal de la paire de senseurs PZT-4 est plus puissant. Cela est imputable entre

autres à fa constante piézoélectrique du PZT-4 qui est 217 fois supérieure à ceiie du PVDF. Le nombre de

charges produites par la c6ramique seront donc plus élevées que celles produites par le matériau PVDF.

Ainsi le matériau PVDF produit moins de charges par rapport aux déformations qu'il subit, ce qui rend

les senseurs PVDF plus susceptibles d'engendrer du bruit dans le systenie[l].

O 200 400 600 800 1200

Réquenœ ( Hertz )

Figure 3.20

Signal d'une paire de senseurs PVDF comparativement A une paire de senseurs c6amiques.

L'additivité est une operation associative et commutative. Ainsi, la commutativité de pièces

piézoélectriques "A" et 73" nous permet d'affirmer que : " A u *B1* = "B" u "A". De p lu , I'associativité de

trois éléments piézo&ctriques quelconques "A" , '3" et "C" signifie que : (l'AI' t'BI*) llC11 = ItAl* O(Bt1 WCW)

Nous désirons verifier si les actuateurs et les senseurs piézoélectriques ont des propriétés

d'additivité, lorsque ceux-a sont s e o n n é s en plusieurs unités. Si tel est le cas, l'énergie transmise ou

recueillie au système, par une pièce piézo6iectrique, sera équivaiente A cette même pièce piézoéiechique

partitionde en plusieurs actuateurs ou senseurs.

La propriété d'additivitk prend de son importance dans le cas où l'on désire discrétwr les

actuateurs ou les senseurs dans le but d'en faire une étude de forme.

La première simulation consiste à prendre une paire d'actuateurs et de la positionner au centre

de la plaque. Les caractéristiques de ces actuateurs sont les mêmes que celles du tableau 3.2 sauf que la

longueur est maintenant de 0.2[m]. On envoie à cette paire d'actuateurs un signal de 1 [volt]. Par la

suite, on recueille la réponse du système à raide d'une paire de senseurs selon les caractéristiques du

tableau 3.3. On reprend I'expérîence en sectionnant chacun des amateurs de la première simulation en 4

parties &ales tout en conservant la position d'origine aiwi que les caractéristiques. On envoie à chacune

des 4 nouvelles paires d'amateurs un signal de 1 [volt]. Dans le cas des deux simulations, les signaux

obtenus par la paire de senseurs sont représentés à la figure 3.21. On peut constater, par la superposition

exacte des deux courbes corrobore h i avec la prémisse de départ, à savoir que les actuateurs

piézoélectriques ont des propriétés d'additivit4.

0.69 , Propriété diaddithrit6

1 actuateur - - - - - - 4 actuateurs juxtaposés

Figure 321

Vérification de la propri6t6 d'additivité des aduateurs.

3.4.2 SENSEURS

Pour vérifier les propriétés d'additivitb de la paire de senseurs, on exate la plaque à l'aide d'une

paire d'actuateurs comme décrit dans te tableau 3.2; les actuateurs sont alimentés par un signal

sinusoïdal de 1 [Volt]. Quant h la paire de -8 d e a toujours les mêmes propriétés qu'au tableau

3.3, sauf qu'elle est positionnée au centre de la plaque. Chaque senseur de cette même paire a une

longueur égaie 2 ceile de la plaque soit de 0.5 [ml. La premike simulation consiste h recueilli+ le signal

produit par cette paire de senseurs lorsque la source d'exatation est sous tension. Le résultat appaaît a la figure 3 2 2 Par la suite. on sedionne ces semeurs en dix unités égales. On alimente une fois de plus la

paire d'actuateurs avec un signal de 1 [volt]. Les signaux recueillis pour chaque paire sont séparés d o n

leurs parties réelles et imaginaires. On fait l'addition de chacune de ces valeurs que l'on divise par la

suite par dix, étant donné que nous avons dix paires de senseurs. Enfin. on d&rmïne la gandeur

vectorielle du signal, à i'aide bien sûr des valeurs réelles et imaginaires. La courbe résultante apparaît h

la figure 322 où on peut constater une superposition avec la courbe de la prernière simulation. A la

lumière de ces résultats. on peut confirmer que les senseurs piézoélectriques, tout comme les actuateurs

piézoélectriques, poss&dent des propri6tés dtadditivit6-

Ropriét4 d'addiiit6 - 1 senseur - - - 10 senseurs

. . . - - - - - - - - . -. . - - -. . -

Figure 3.22

Vérification de la propriété d'additivité des senseurs.

Les quelques simukitions que nous avons réalisées jusqy'a maintenant nous ont permis de

comprendre certaiw comportements d'un système compraiant une plaque mince et des pièces

piézoélectriques, dont k source d'exatation peut-être un pot vibrant ou une paire d'actuateus

piézoélectri~ues. Les possibilités d'agencement demeurent toutefois infinies. Les principaux points à

retenir dans cette &tude paam6trique sont les suivants :

Un système dont les conditions aux limites sont ïibrerlibres x6pondra différemment jusqu'au premier

mode propre lorsqu'il est excité par un pot mirant ou une paire d'actuateurs piézoélectriques. Ce

phénomène est attribuable au mode rigide.

Lorsqu'une plaque est encastrée sur deux, trois ou même quatre côtés et que la source d'excitation est

un actuateur piézoélectrique, la déformée de ia plaque avant 1e premier mode propre est plus

complexe gue si on utilise un pot vibrant On distingue par le terme complexe, que la déformée exige

la superposition de plusieurs modes, pour être représentée.

Pour maximiser la tension par unité de force d'un senseur, on doit tendre vers un senseur qui

présente une épaisseur la plus grande possible et une surface de contact la plus petite possible.

Les pièces piézoélectriques, qu'des soient utilisées comme actuateur ou comme senseur, ont des

propriétés d'additivité.

D'autres simulations numériques ont permis de comprendre les effets des paramètres liés aux

6léments piézoélectriques sur la réponse du système.

Le chapitre suivant traite de la partie exp4rimentale qui nous permet de valider le simulateur

numérique.

PARTIE EXP*~XIMENT~~,E

La premi&e partie de ce chapitre conceme le choir des pièces piétoélectnques ainsi que le protocole

de leur mise en phce. Nous avons adopté ce protocole à partir des procédures déja utilisées dans le cas des

jauges de deformation, de la littérature disponible sur le sujet et de notre propre expertise dkveloppée en

laboratoire. L 'objectifde la deuxième partie c o r n la validation du simulateur numérique fnisant suite à

différents essais expén'tnefftaux. La source d'excitation utilisée est le pot vibrant ou une paire d 'actuateurs

p ~ é l e c t ~ u e s . Pour recueillir La réponse du système, nous employons un accéléroomètre ou une paire de

senseurs piézoelerfriques.

4.1 E DES P@CES PI&O&~CTRIQUES

Lorsqu'on procède au choix des pièces piézoélectriques, on doit tenir compte des critères

d'uaüsation. Rappelons que les pièces piézoélectriques utilisées sont positionnées sur une plaque

d'aluminium dont le but est de foumir des amplitudes vibratoires ou de lire la réponse du système.

Pour satisfaire ces conditions, nous avons besoin d'un matériau pouvant produire de grandes amplitudes

en d6placement tout en consemant de faibles pertes mécaniques. De plus, 5 doivent supporter des

tensions et des contraintes mécaniques élevées, tout en étant utilisé sur de longues périodes sans que les

constantes piézoélectriques ne soient affectées. Lors du choix des pièces piézoélectriques, voici les

~rincipaux critères qui ont retenu notre attention :

Dans le cas de i'actuateur, un module de Young élevé pour augmenter i'impédance mécanique.

Dans le cas du senseur, un module de Young élevé dans le but de saisir la majoritt? des contraintes [Il.

Une constante piézoélectrique (e,J élevée puisqu'eiie indique la sensibilité d'un élément

piézoélectrique En faitf ia constante piézAectrique e, se définit comme étant la (densite de charge /

déformation relative) dans le cas de l'effet direct.

Dans le cas du senseur, on préfere un matériau générant le moins de bruit possible tout en optant

pour une sensibilitté la plus élevée possible. Par la suite, on optimise avec une épaisseur sutfisamment

élevée et dont l'aire de surface occupée par le senseur est la plus petite possible. Par contre, en

contrôle actif, on doit éviter des senseurs occupant de petite surface puisqu'ils auront tendance A

capter les moindres fluctuations du système, ce qui alourdi la tâche du contrôleur.

Un point de Curie suffisamment éIev4 pour éviter de dépolariser l'élément piézoélectrique lorsqu'on

procede entre autres à la soudure des conducteurs.

Des dimensions permettant de satisfaire aux exigences de la plaque mince sur laquelle sont

positiondes les pièces piézoélectriques. Par exemple, la rigidité de la plaque, ses dimensions, sa

composition etc.

Perte diélectrique (D.F. dielechic loss) la plus faible possible de &on à diminuer la courbe

d'hystérésis lors du fonctionnement (en particulier dans le cas du senseur).

Le choix du matériau des éIectrodes recouvrant les pieces piézoélectriques.

Un champ électrique maximum permis.

Un taux de vieillissement minimal.

En tenant compte de tous ces facteurs, nous avons opte pour des é1hents piezdectnques

constitués de c4amique. Nous avons retenu le modèle PZT-4 de la compagnie Morgan Matroc[26]

fréquemment utilis6 d m certains artides comme actuateur [3,7,32]. Lors de i'utilisation, il présente des

caract6ristiques intéressantes que ce soit comme actuateur ou comme senseur. De plus, sa grande

rigidit6 represente un atout puisque le système en entier se houve raffermi. Un système dont on

augmente la rigidité a pour effet de déplacer les fréquences naturelles du système à des fréquences plus

éievées; ceci est souvent souhaitab1e- La densité élevée comparativement h celle d'une pike

pi6zoéIecüique de type PVDF ne cause pas vraiment de problème puisque le simulateur num&ique tient

compte de I'effet dynamique. Quant au choix du m a t a u des électrodes, on préfère le nickel à l'argent.

En effet, les électrodes en argent se présentent comme un meilleur conducteur que le nickeL Par contre,

en praticpe, ü laisse fadement apparaître des "manques" au niveau de radhérace avec la

céramïque[l6]. Ces "manques" se traduisent par des espaces d'air et agissent comme une série de

capatitances de faibles valeurs. Ainsi, lorsque le champ électriqye se manifeste, la presque totalité du

voltage chute dans la zone où il y a présence d'air. Cette répartition non uniforme du champ éiectrique

diminue le rendement de l'amateur ou du senseur.

4.1.2 PI&PARATXON DES P ~ C E S P~ZOÉLECTIUQUES.

Les pièces piézoélectriques se composent essentieliement d'une partie en ceamique et de deux

électrodes. Dans certains cas, les pièces piézoékctnques peuvent être livrées par le fabricant avec des

dimensions qui ne correspondent pas à nos besoins. Il peut a w i arriver que le sens de la polarité ne soit

pas indique. Dans ce cas, la tâche première consiste & déterminer la polarité des pièces piézoé1ectriques.

Pour ce faire, on doit se référer à la section 1.6.1 du présent travail. Par contre, lorsque la pièce

piézoélectrique dépasse les dimensions requises, on peut le rectifier à l'aide d'un outil tranchant [q.

Le principe de coupe d'une pièce piézoélectrique est basé sur le même prinape que l'on utilise

pour couper Ie verre. Ainsi, on se sert d'un outil il arête vive avec lequel on amorce une fissure à

l'endroit où l'on désire que le fractionnement ait lieu. Il est préférable de faire plusieurs petites passes

avec l'outil tranchant en évitant de mettre trop de pression sur celui-ci. Le nombre de passes dépend de

l'épaisseur de la céramique. Won notre expertise, la profondeur doit être d'au moins le 1/5 de

l'épaisseur de la céramique. L'étape suivante consiste 6 separer en deux les deux pièces piézoélecfriques.

Pour ce faire, on positionne de chaque c6t6 de la fissure des pièces bien planes et suffisamment rigides

qui n'endommageront pas les électrodes. On suggère d'utiliser des pièces de bois. Par la suite, on sépare

les deux pieces en appliquant, à l'aide de nos doigts, un moment de chaque côté de la fissure d m le but

d'obtenir une flexion pure. Pour améLiorer le fini de surface des côtés qui ont ét6 sectionnés, on passe

chacun de ceuxci sur une toile d'émeri (=#40) en ayant soin de maintenir la pièce pi&dectrique

angle droit pour éviter d'endommager les électrodes.

La réussite de ce travail depend de la minutie avec laquelle on exécute la tache. On doit

particuü&rement bviter les mouvements saccadés.

4.1.3 CHOIX DU CONDUCTEUR.

Dans la première H e d'essais en laboratoire, nous avons utiiisé de fines lames en laiton de

0.0254 [mm] d'épaisseur sur une largeur d'environ 1.6 [mm] comme conducteur qui raccorde la pièce

piézoélectrique aux appareils en périphérie. Ces conducteurs alimentent indépendamment les deux

électrodes de la pièce piézoélectrique. Par contre, pour nous permettre de se brancher l'éiectrode

faisant face ia phque, on doit créer un passage au conducteur. Cela nous oblige machiner une

rainure daw la plaque. La rainure doit avoir une profondeur d'environ 02032 [mm] et cet espace est

occupe à la fois par la fine lame de laiton, la soudure et i'adhésif. La profondeur qu'occupe la rainure

réduit le rendement de l'actuateur et du senseur. En effet, même pour un module en cisaillement élevé

de l'adhésif, la d6fomation d'une pièce piézoéiectrique transmise b la plaque sera absorbée en

cisaillement 1321 par l'adhésif. Il devient donc important de machiner une rainure qui soit d'une largeur

et d'une longueur minimum. En raison de la profondeur de la rainure, le mouvement transmis à la

plaque par la pièce pi4zoeiechique dans cette zone demeure négligeable. Ce qui détermine la largeur

minimum permise de la rainure? c'est l'espace qu'occupe la soudure qui fixe le conducteur à l'élément

piézoélectrique. Après avoir fait des essais de soudure du conducteur sur la pièce piézdlectrique, nous

nous sommes arrêtés à une largeur de 2.54 [mm].

4.1.4 SOUDURE

Les essais expérimentaux de la deuxième partie de ce chapitre ont et4 réalisés à partir du

matériel et de la procédure de soudure suiMnte :

Matériel utilisé :

Un fer à souder d'environ 15 watts].

Un metal d'apport A base de 62% d'&.in et 36% de plomb et 2% d'argent.

Ethanol.

Pompe ii soudure.

Oculaire.

Procédure de soudure :

On nettoie au préalable les pièces avec un d4gtaisseur i?i base d'éthanol.

Température du fer A souder à environ 275 YC].

Dépôt du métal d'apport sur la partie du conducteur qui reposera sur i'éIectrode de la pieCe

piézdectrique.

Utüisation de la pompe A soudure si le m&al d'apport est en trop grande quantite.

Dépôt du métal d'apport sur l'éîectrode de i'élément piézoélectrique.

Succion du métal d'apport si sai ire puisqu'il y a toujours un risque d'endommager la pièce

piézoélectrique. Il faut maintenir la pompe à soudure à un angle d'environ 60° par rapport au plan de

la pièce piézoélectrique. Ceci évite d'endommager la pièce piézoélectrique par ronde de choc

trammise à la pièce piézAectrïque lorsque le mécanisme de la pompe h soudure se déciendie. Le

but de cette ophtion est de diminuer au minimum IYpaiçseur du metal d'apport

Soudure du conducteur sur l'électrode en chauffant les deux pièces.

Les mêmes opérations doivent être exécutées pour procéder a la mise en place du conducteur ntr

l'électrode dont la face est opposée à la surface de la plaque. Par contre, on néglige d'utiliser la

pompe & soudure puisque Mpaisseur de la soudure n'est plus vraiment importante et qu'on court

toujours le risque d'endommager la pièce piézoélectrique.

Précautions :

On s'assure que les soudures ne dépassent pas les dimensions désirées en épaisseur, en largeur et en

longueur.

La continuité entre les électrodes et chacun des conducteurs doit être vérifiée à l'aide d'un ohmmètre.

A la suite de cette première experience du choix du conducteur et de la procédure de soudure,

nous avons note qu'il était possible d'apporter des améliorations. On retrouve en annexe "A" ces

changements.

4.1.5 TYPE D ' A D ~ ~ S E

Le simulateur numérique considiire que la position de chaque pièce piézdeckique de part et

d'autre de la plaque est exacte et ignore l'existence de Padh6sif entre la piézocéramique et la plaque.

Pour déterminer iëpaisseur et le module de Young de l'adhésif nous permettant de minimiser les erreurs

produites par celieci, nous nous sommes basés sur un arade dans lequel on retrouve des r6sultat.s

num6riques [32]. On doit pr6ciser que le système propos4 dans cet artide ne comprend qu'une seule

pièce piézoélectxiqye agissant comme actuateur- Cet actuateur est poSitio~6 asym4triquement sur une

poutre et séparé de celle-ci par une couche adhésive. Cette couche adhesive est consid6rée dans la

modélisation se rapportant à la poutre La longueur de la plaque que nous utilisons est similaire h celle

de la poutre tandis que sa 1argeu.r est 205 fois plus élevée que celle de la poutre. De plus, l'6paisseur de

la poutre est 28 fois plus élevée que celle de la demi-plaque tandis que le module de Young de la plaque

est 1.15 fois plus élevé que celui de la poutre. Cette &tude nous révèïe qu'en choisissant un adhésif avec

un module de cisaillement de IO' [N/m7 et une 6paisseu.r de 0.05 [mm]# Tamplitude du déplacement

total d'un point du système est réduit d'environ 5% par rapport à un adhésif parfaitement coUé. On

considère que le déplacement total comprend les déplacements axiaux et transversaux. Par contre, si on

choisit un module de cisaillement de lb w/m2] et une épaisseur de i'adh6sif de 0.01 [mm], le

déplacement enregistré se situe à 47%.

Ces valeurs dépendent beaucoup de la rigidité du système alors que celle-ci est différente pour

les deux systèmes. La rigidité d'une plaque mince est proportio~elle à son module de Young et à son

épaisseur au cube. II faut donc être prudent dans I'interpr4tation de ces résultats puisque les deux

systèmes, même s'ils ont des similitudes, comportent a w i des différences en terme de rigidité et de

dimensions. Par contre, puisque la rigidité en flexion de la poutre est plus élevée que celle de la plaque,

on aoit qu'en choisissant un adhésif ayant au moins un module de cisaillement de 10' [N/m2] et une

épaisseur inférieure à 0.05[mm], nous obtiendrons des résultats numériques se rapprochant du 5%.

De plus, pour déterminer le choix 6na l de I'adhésif, nous recherchons les caractéristiques

suivantes :

L'adhésif doit :

Etre en mesure de joindre deux métaux différents, soit de l'aluminium et du nickel, avec des surfaces

lisses;

sécher à la température ambiante;

atteindre la résistance de fixation après plus de 30 secondes;

être un bon isolant électrique;

résister à la fatigue;

avoir une vixosit6 suffisante pour nous permettre d'avoir une épaisseur de 0.04mm;

s'appliquer manuellement;

être disponible dam la région de Québec.

En tenant compte de tous ces a5tères, nous avons choisi i'adhésif "Superbonder 496" de la

compagnie Locate dont les principales propri4tés appaaiçsent dans le tableau 4.1[24]. Selon les

représentants de M i e , cet adhésif de type cyanoacrylate est utilisé id6alement pour les siufaces

métalliques. Après une première utilisation de i'adhésif "superbonder 496", nous avons été satisfaits des

résuitab obtenus de par sa rigidit6 dors que le temps de séchage de fixation nous semble suffisant Par

contre, nous avons remarqu6 qu'un excédent de liquide se forme de chaque côte des pièces

piézoélectriques lorsque nous procédons ik la mise en place de ceux-ci en raison de la viscosité de 110

[cq de l'adhésif. En effet, la viscosité est le facteur qui determine l'espace interstitiel. Ainsi, plus cette

valeur est grande et plus l'épaisseur de la couche de l'adhésif que l'on applique est élevée. Comme

l'6paisseur h a l e visée de l'adhésif est de O.O38[mrn], on se retrouve alors avec un &dent de colle. Cet

excédent est difidement retirable avant le séchage complet compte tenu du type de montage utilisé. Le

contrôle de l'epaisseur de l'adhésif se fait A partir de l'espace laissé sous le bloc rigide où loge la pièce

piézoélectrique ( voir figure 4.2 ).

Interstice

mm

-15

Tableau Cl

Séchage

complet

hrs

Propriét4s de l'adhésif "Superbonder 496" de Ia compagnie Loctite.

Pour sa part, la compagnie Devcon présente un adhésif avec des propriétés quelque peu

Résine

M6thyIe

Résistance

diélectriqueY

kV / mm

supérieures. C'est la colle "Zip Grip Super Glue 4404 Méthyle Cyanoacrylate". A titre dexemple, la

viscosité se situe à 40 [cP], le module de &ailiement à 20.68 w a ] et l'espace interstitiel est de 0.0762

[mm]. Par contre, cet adhésif doit être utilisé avec un accélérateur et ce même adhésif n'est pas

disponible dans la region de Quebec.

Les cyanoacrylates possèdent certaines propriétés que i'on doit connaître avant l'uolisation.

Voia Ies principales [24] :

Les cyanoacrylates reposent sur l'humidit6 pour durcir. L'humidité ou Pal&t6 superfiaelle,

présente sur la plupart des surfaces dans des conditions ambiantes, amorce le séchage qui se

développe rapidement, produisant de fortes liaisons en quelques secondes.

Viscosité

centiPoise

110

12 Valeur approximative pour un adhésif cyanoacrylate.

Module de

cisaillement

MPa

17.2

Temp4rature

OC

-54 a 82

Séchage

fixation

sec.

30-40

La durée de conservation est de 1 an h la température ambiante. Par contre, la réfrigération 6 4 rC]

prolonge la durée de conservation d'une manière substantielle. Avant usage, Padhésif doit être

rament5 h la tempbture ambiante a£in dëviter la condensation de l'humidite daw les embouts de

l'applicateur et pour assurer une vitesse n o d e de séchage.

Les températures élevées accélèrent le séchage. Par contre, le séchage est ralenti aux températures

inf'eures a IO[OC].

4.1.5.2 INFLUENCE DE L'ADHI~IF SUR LA -ONSE DU SYST~ME

L'adhésif de type cyanoacryiate est un matériau viscoélastiqye dont la rigidité et i'arnoriissement

varient avec la fiéqueme. En se référant au même artide que précédemment, G. Plantier et a1.[32]

établissent une comparaison entre des résultats expérimentaux et nudriques sur la vitesse quadratique

en fondion de la Hquence. Rappelons que le système en cause comprend une poutre et un élément

piézoélectciqye dont l'interface est une couche adhésive. Seion Plantier, les écarts obtenus aux niveaux

des signatures seraient associés à la ri@dit& de Padhésif, qui varie avec la fréquence, alors que

l'amortissement peut être négligé. De plus, il est très difficile de se procurer les caractéristiques de

l'adhgsif en fonction de la fréquence de la part du manufacturier, ce qui nous oblige à considérer sa

rigiditk comme constante.

Bref, il est intéressant d'étudier Ie comportement du système de Plantier[32] puisqu'il comporte

certaines similarités avec notre propre montage. A partir de ces résultats, on doit s'attendre à ce que

certains karts notables dans la repense en fréquence soient dus, en partie, à la variation de la rigidité de

l'adhésif par rapport à la frequence.

4.1.6.1 AVEC UN BLOC RIGIDE

Lors de la mise en place des pièces piézoélectriques, nous avons procédé de trois hçons

différentes. La première méthode consistait B coller une pièce au point ( -0.060,0.100)[m] en suivant les

&tapes 1,2 et 3 décrites plus bas et en apposant la pièce h l'aide de nos doigts. La pose de la deuxième

pièce, aussi positionnée au point (-0.060,0.100)[m) mais sur le côté opposé de la plaque, s'est faite en

suivant les 6tapeç 1,2,3 et 4. Finalement, le montage des pièces situées au point ( 0.056,-0.112 )[ml a eté

réaiisé de Ia façon suivante :

Poncer la plaque d'aluminium à raide d'une toile d'émeri (# 4ûû), ce qui permet de créer des liaisons

d'une qualité supérieure entre la plaque et l'adhésif. Cette étape est importante puisque le moduie

de cisaillement de l'adhésif n'atteint pas sa valeur ma>amale lorsque les surfaces sur lesquelles ii

repose manque de rugosit6.

Nettoyer les pieces à l'aide d'un dégraisseur ( &han01 ).

Marquer le contour où les pièces piézdedriques seront positionnées sur la plaque à l'aide d'un

trait de crayon au plomb. V&ifier le conducteur pour qu'il soit bien positionné dans la rainure

pratiquée dans la plaque.

Pour maintenir la pièce piézoéldque au bon aidroit sur la plaque avant que ne soit appose

I'adhésif, on utilise une ou des bande@) adhésive(s) du même type que l'on retrouve dans la

fourniture de bureau. Tout d'abord, on colle une partie de la bande adhésive sur la plaque et cette

partie demeure fixe. La partie mobile. soit la partie restante de la bande adhésive, senrisa à

positionner la pièce piézoélectrique comme le montre la figure 4.1. Avant de mettre en contact la

pièce piézoélectrique et la bande adhésive, il faut s'assurer que l'élément piézoélectrique occupe

avec précision sa position pr6d6terminée sur la plaque en vérifîant les repères sur la plaque.

Il ne faut pas hésiter à utiliser plusieurs bandes adhésives de façon à couvrir toute la surface de

l'électrode de la pièce piézoélectrique. Ainsi on permet au bloc rigide d'être en contact sur toute la

surface de la pièce piézoélectrique (voir etape #8). On s'assure toutefois que les bandes adhésives ne

se chevauchent pas.

Positionner la pièce piézoélectnque précisément sur la plaque; apposer la bande adhksive sur celle-

a. Par la suite, on déplace la partie mobile de la bande adhésive de façon à faire subir une rotation

de 180' a la pièce piézoélechique. Avec l'adhésif, on peut alors badigeonner l'élément

piézoélectrique et la plaque.

Après avoir apposé i'adhésif, coller définitivement la partie mobile de la bande adhésive sur la

plaque.

L'btape suivante consiste A obtenir une épaisseur de l'adhésif uniforme de 0.04 [mm]. On r6alise

cette étape en positionnant un bloc rigide, dont Pespace où loge la pièce pi6zoélechique est d4jà

calibré de façon & ce que i'espace libre laissé pour l'adhesif est de 0.04 [mm] comme le demontre la

figure 4.2. Pour cette étape, il n'est pas necessaire d'utiiiser les appuis sous la plaque de la figure 4.2

puisque nous ne sommes qu'à la pose de la première pièce piézoélectrique. On peut donc appuyer

la plaque sur une surface lisse. Par contre, il est important de souligner que peu importe la méthode

utilisée pour appuyer la plaque, on doit toujours s'assurer que cette dernière ne subisse pas de

déformation. Cette précaution prend toute son importance lorsque la plaque n'est pas anodiséeu.

Le but d'anodiser la plaque est de l'isoler. Ainsi, si la plaque non anodisée présente une

deformation par rapport la pièce piézoélectrique, il pourrait se produire un contact entre les deux,

ce qui n'est pas souhaitable, puisque des charges de la pièce piézoélectrique seraient transmWs à la

plaque.

Pour les &tapes 6 à 8, on dispose, dans le cas de l'adhsif nSuperBonder 496", d'environ 30 à 40

secondes avant que l'adhesif atteigne le séchage de fixation

1 Bandes adhésives

Pièce piéraélectrique

Figure 4.1

Étape #4 de la procédure de mise en place d'une pièce piézoélectrique.

8. Laisser sécher pendant 24 heures. Par la suite, enlever le bloc rigide et les bandes adhésives ai

prenant soin de ne pas endommager l'électrode de la pike piézoélectrique. L'excedent de l'adhésif

peut être enlevé en le chauffant avec le fer à souder. Par contre, éviter de trop chauffer pour ne pas

endommager l'adhesif se trouvant sous la surface de la pièce piézoélectrique. De plus, le fait de

laisser une partie du cordon de l'adheif sur tout le contour de la pièce piézoélectrique permet

d'isoler l'électrode supérieure de la plaque. En effet, l'air humide qui entoure le système pourrait

rendre l'air conducteur et provoquer un arc électrique entre l'eiement piézoélectrique et ia plaque.

* ~ o u r Mter les problhnes de court-circuit entre Ia pièce piézoélectrique et la plaque, on anodise c e l l m [8]

On passe &te à i'étape suivante, qui consiste positionner la deuxibe pièce piézoélectrique

située vis-à-vis la première sur la face opposée de la plaque.

9. Pour procéder a la pose de la deuxième pièce piézoéleckÎque, on mît toutes Iles &tapes

pr6cédemmment &ablies. Par contre, on doit obiigatoirement utiliser des appuis sous la plaque,

comme démontré à h figure 42, pour éviter les déformations. Si on en voit la nécessite, on n'hésite

pas à mettre des appuis ailleurs sous la plaque. L'appui pourrait aussi prendre la forme d'une seule

pièce telle que le bloc rigide plutôt que deux appuis independants comme illustré sur la figure 4 2

Bloc rigide

A adhésive

Adhésif 7

Plaque

/--

\ piézoélectriques

Bloc rigide servant h la mise en place des pièces piézoélectriques dont le but est d'obtenir

une couche de l'adhésif ne dépassant pas 0.04[mm] d'épaisseur.

4.1.6.2 AUTRE THO ODE DE MISE EN PLACE ET DE COMPARAISON

Une autre methode de collage est proposée dans l'article de M e r et al.[fi . On procède par

multi-couches. Le but est d'appliquer le nombre de couches d'adhésif suffisant sur la plaque pour en

arriver à l'isoler de la pièce piézoélectrique. On appose une première couche d'adhésif sur la plaque,

puis on laisse sécher. Par la suite, on vérifie la résistance à l'aide d'un ohmmètre. S'il y a continuité, on

répète l'4tape préckdente jusqu% ce qu'on atteigne une isolation acceptable. M e r et al.[;rl ont uaüçe

cette méthode avec un adhésif appei6 M-200; ce même adhésif sert habituellement & la mise en place des

jauges de déformation. L'epaisseur de l'adhésif obtenue par cette méthode varie de 0.08 [mm] à 0.14

[mm] alors que nos &je& sont de 0.04 [mm] d'épaisseur. Même si cette méthode nous permet

d'obtenir une excellente isolation avec la plaque, l'épaisseur ha ie de l'adhésif 6tant trop aevée, cette

solution a été rejetée.

L'expertise finale que nous avons developp6e concernant la mise en place des pièces

piézoélectriques a et6 utiüsée sur deux pièces piézoélectriques. Les résultats obtenus avec la première

pièce piézoélectrique sont excellents puisque la couche d'une epaisseur de 0.04 [mm] nous a permis

d'isoler parfaitement la pièce piézoélectrîqye avec la plaque. Par contre, lors de la pose de la deuxième

pièce, nous n'avons pas réussi à isoler complètement la pièce piézoélectrique avec la plaque. Nous

imputons cette lacune dans l'isolation au a i t que la plaque &tait legèrement recourbée résultant du

manque d'appui. Pour remédier au problème dans les prochains essais, nous isolerons la plaque par

anodisation.

Dans la procédure de mise en place, nous avons manifest6 une attention particulière sur

l'épaisseur et l'uniformit6 de la couche de l'adhésif et sur l'espace minimum que doit occuper la rainure

machinée dans la plaque. Ces facteurs déterminent le niveau des pertes en cisaillement. L9 succès

dépend a w i de la précision et de la minutie avec lesquelles le travail est accompli. Notons que des

ajouts ou des modifications d m le protocole serviront enrichir notre expertise.

Le montage expérimentai utilise pour valider le simulateur numérique est représenté au bas de la

figure 4.3. Il comprend un cadre rigide sur lequel est fixé à l'aide de bandes &tiques une plaque mince

en aluminium. Les bandes élastiques, qui ont une rigidité negligeable, nous permettent de simuler des

conditions aux limites libres. LES caractéristiques de la plaque mince apparaissent au tableau 3.1. Nous

retrouvons, disposés de part et d'autre de la plaque une paire d'actuateurs et une paire de senseurs. Les

spécifications de la paire d'actuateurs et de la paire de senseurs sont déaites respectivement aux

tableaux 32 et 3.3. Par contre, le senseur a une constante piézoelectrique ( s,) égale A 10.0 [N/m-V]

plutôt que de 12.078 w/m-V] comme indique au tableau 3.3. Cette valeur de 10 [N / m v est une valeur

réelle" par rapport au module de Young du senseur. En effet, lorsqu'on mesure le signal du senseur, on

considère celui-ci comme un circuit f m é à champ constant.

4.3.2 LABOR RATION SUR LES C O M P O S ~ S ~ECTROMI~CANIQUES DU

MONTAGE ET LE ~ M E N ' i ' ' DES SIGNAUX

L'ensemble qui permet de capter et de traiter les signaux émis par le système apparaît à la figure

4.3. L'appareil qui traite ces signaux est un analyseur de modèle 2035 de la compagnie Bruël & Kjaer.

Cet appareil, aussi dote d'un générateur, est capable de reproduire toute une panoplie de signaux. Dans

notre cas, nous utiliserons uniquement le signal "random".

La première &tape consiste à envoyer un signal aux différentes sources d'exatation, en

l'occurrence, le pot vibrant ou la paire d'actuateurs piézoélectriques. La puissance de ce signai émis par

le générateur ne suffit pas à satisfaire aux exigences des deux différentes sources d'excitation. Pour ce

faire, on ait passer le signal par un amplificateur de modèle 2706. Par la suite, ce signal est envoyk

directement au pot vibrant ou en direction de la paire d'actuateurs.

"On ca ide la constante piézdectrique e, a partir du module d'Young h cimxït ferme et de la constante 4,. On obtient e,,=Y,,*d,,

ANALYSEUR 2035 Amplificateur 27M Tramformateux 110 / 220

' O O

capteur de force] 1 senseur ou 1 simai ou amateur accélérom&tre randorn

Analyseur ArnpIificateur de charge 2626 '00

O

Accéléromé tre

Condensateur Senseurs Actua teurs

Système plaque mince et piéces piézoélectriques

Figure 4.3

Montage expérimental

Lors de l'emploi des pièces pi&oeiectrïques comme actuateur, on doit, en plus d'amplifier le

signal provenant du gQiératew, en augmenter la tension. Pour ce faire, nous utilisons un amplificateur

et M transformateur de type 110 / 220 [Volts] ayant une entrée primaire et deux sorties secondaires.

C'est le même type de transformateur que l'on se sert pour augmenter le voltage domestique de 110 M 220 M. Le signal à la sortie du trawfomiateur ne peut être retourne directement Zi l'analyseur étant

donné que celui-ci n'accepte qu'un voltage maximum de 30 polts rms]. Pour rem6dier au problème, on

diminue le signal envoyé ii i'anaiyseur en utilisant un diviseur de tension composé de résistances de 1

m] et de 1M) [Kn]. Le but d'utiliser deux sorties secondaires plutôt qu'une seule est attriibuable au fait

que nous n'ayons pas obtenu une isolation adequate entre la plaque et les pièces piézoékechiques. Daw

ce cas bien precis, chacun des deux actuateurs composant une unité d'exatation exige deux signaux bien

distincts puisque les électrodes de chacun des pièces piézodectriques en contact avec la plaque sont

court-circuit&s. La disposition des pièces piézoélectriques sur la plaque est telle que l'alimentation de

chacune des élecfzodes faisant face à la plaque est de même polaritk que son opposé faisant partie de la

même paire ( voir figure 2.1).

Lorsque le signal ampliné provenant du générateur est transmis au pot vibrant, on place, enbe

celui-ci et la plaque, un capteur de force. Ce capteur nous permet d'avoir en tout temps la force

trammise dynamiquement A la plaque. II devient possible alors de détexminer la fonction de transfert

entre la force et la réponse en fréquence. Une tige mince d'un diametre d'environ 0.80 [mm] est placee

entre le capteur de force et le pot vibrant. Cette tige transmet uniquement des mouvements de

translation à la plaque tout en annulant les moments. Il faut rappeler que la modélisation mathématique

considère que lors de I'exatation, seules des forces perpendiculaires peuvent être transmises à la plaque

sans égard aux moments. Le signal à la sortie du capteur de force est de I'ordre du picocoulomb, ce qui

nous oblige h i'ampli6er avant de l'envoyer ii l'analyseur. Pour accomplir cette tâche, on ualise un

amplificateur de type 2525.

Dans notre montage, nous employons deux types de capteurs, soit un accél6romètre et une paire

de senseurs. L'accélérom6tre transforme les accélérations transversales de la plaque en un signal

électrique. Ce demie. signal, tout comme celui du capteur de force, est de l'ordre du picocoulomb. Il

devient donc nécessaire de faire passer ce signal dans un amplificateur de charge de type 2626 dans le

but d'en augmenter la puissance avant qu'il ne parvienne l'analyseur.

La paire de senseurs piézoélectriques qui compose notre système ne comprend qu'une seule

pièce parfaitement bien isolée de la plaque. Heureusement, lorsqu'on recueille Ie signal, il n'est pas

essentiel que les deux pièces piézoélectriques de la même paire soient parfaitement isolées puisqu'une

lecture de la tension aux bornes d'un seul élément pi&deckiqye sufnt Par contre, un senseur mal isole

a une rigiditb moindre puisqu'on ne peut plus le considérer comme faisant partie d'un circuit ouvert. En

effet, le module de Young d'un senseur en circuit ouvert est supérieur à celui d'un senseur en circuit

ferIn&

Si la source d'excitation du systéme est élevée, Ie sipal émis par le senseur parfaitement isolé

peut dépasser le voltage admis par I'analyseur. C'est pour cette raison qu'on place en parallèle avec le

senseur un condensateur qui fait chuter la tension. Ainsi, on traite le signal à la sortie du senseur en

toute s&urit&

4.4 ~ T A T S ~ J ~ R I M E N T A U X

Tableau 4.2

Les 15 premieres fréquences natureIIes du système incluant la plaque et les pieces pi&zo4lectriques.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t7 18 19 20 21

Mode

Comparaison thkorique et expérimentale entre les fkéquences natureIles d'un système comportuit des pieces piézodilectriques.

Le tableau 4.2 ainsi que le graphique de la figure 4.4 montrent les résultats des fkéquences

naturelles du système plaque et pièces piézdectriques obtenus ti l'aide du simulateur numéripe et de

données exp4rimentales. La modélisation dynamique du simulateur, qui tient compte de l'effet de masse

et de rigidite, nous permet d'obtenir des résultats qui s'approchent des données expérimentales. En

effet, l'erreur la plus grande n'atteint que 5.29% au sixième mode.

Pour améliorer sensiblement les résultats, il faudrait tenir compte entre autres de Ia masse de

I'accélérom&tre. La méthode consiste à ajouter un terme d'énergie cindtique ponctuel à l'endroit où l'on

desire que Paccélérom&re soit plac4. Ce terme d'énergie pourait être d4veloppé et incorporé dans le

programme.

111

4.42 PLAQUE E X ~ E PAR UN POT VIRRANT

4.4.2.1 *ONSE MESUR&E AVEC UN ACC&&RO~&TRE

Dans le but de valider le simulateur numénqye, nous &ablissons une comparaison entre les

résultats de ce dernier et les signatures obtenuent expérinientalement.

Figure 4.5

Fonction de transfert de Ia réponse en fdquence de l'accél6romètre 1 force

La première analyse spectrale consiste à étudier le comportement d'un système dont les deux

paires de pièces piézoélectriques sont b lëtat passif. L'état passif des paires d'éléments

piézoélectriques nous amène à considérer la rigidité de celles-ci, comme 6quivalente à celle d'une

paire de senseurs. Le système est exat6 à l'aide d'un pot vibrant positionné au point (0.054, 0.1385)

[ml. La r6ponse du système se lit h partir d'un acc&romètre positionn6 au point (0.10325,0.1314)[m].

La figure 4.5 montre les résultats expérimentaux et num6riques obtenus en terme de fonction de

transfert entre I'accél&om&tre et la force. Rappelons que l'axe des ordonnées des figures 4.5 et

suivantes est défini selon une échelle logarithmique en terme de d6QbeIs [dB]. Pour déterminer cette

échelle, on multiplie par 20 le logarithme en base 10 de la fonction de transfert de I'accékation, en un

point, divisée par la force d'excitation. La comparaison entre les deux courbes demontre, qu'en basse

fr&guence, les résultats du simulateur se rapprochent de ceux obtenus expérimentalement. Avec

l'augmentation des k&pences, on découvre que ies crêtes du spectre du simulateur sont déportées

vers ia droite r6v&nt un système giobdement plus rigide. Plusieurs facteurs sont imputables h la

baisse de rigiditb obtenue expérimentalement, entre autres :

A la couche adhesive qui n'est pas uniforme sous la paire de pièces piézoéktri~ues localisees au

point (-0.060,0.100)[m]. Cette non-uniformitté ne hanmet pas adéquatement I'efkt de rigidité.

Aux rainures pratiquées sous chacune des pièces piézoéktricpes (dans le cas des pièces

piézoélectriques positionnées au point (-0.060,0.100)[m]), nous retrouvons deux rainures par pièce

piézoélectrique comparativement à une sede pour les pièces positionnées au point (0.056,4.112)[m].

Comme ce fut déja mentionné, la profondeur de la rainure occasionne des pertes en cisaillement

provoquant du même coup une mauvaise transmission de la rigidité. Les amplitudes du système

peuvent être influencées par les points suivants :

La -ce occupée par I'accélérom&re permet de aire une moyenne de I'accélération sur

chacun des points occupant cette surface de ia plaque- Par contre, le simulateur calcule

I'acc41ération ponctuelle.

* Le poids de Paccéléromètre influence, en diminuant les amplitudes vibratoires, par

I'augmentation de la masse du système.

4.4.2.2 R&PONSE MEsUX~E AVEC UN SENSEUR

- - - - - - - Expérimentaux

a

-60 v q

O 100 200 300 400 500 600 700 800

h6quence ( Hertz )

Figure 4.6 Fonction de transfert de la réponse en Mquence du semeur / force.

L'ktape suivante consiste a recueillir la réponse du système à l'aide dime paire de sawurs

piézoéIectriques lorsque ie système est exat6 par un pot vibrant La deuxième paire de pièces

piézoélectriques (-0.060.0.100)[m] garde ses caract&istiques de senseurt vu son &at passif. C'est la paire

de senseurs positionnée au point (0.056,-0.112) [ml qui recueille la réponse du système. Les résultats

numérives (voir figure 4.6) démontrent encore une fois des valeurs supérieures au niveau des

amplitudes de vibrations et de la rigidiM du système. Les hypothbes mvoquées pour expiiquer cette

différence au niveau de la rigidite dans l'analyse précedente demeurent valables.

4.4.3.1 &POME MESUR& AVEC UN AcC&ARO~~~E:TR;E

Figure 4.7

Fonction de transfert de la réponse en fréquence de l'accéléromètre / amateur

Position [ml : acc6léromètre ( 0.0826,0.140 ) , actuateur ( -0.060,0.100 ) .

Dans cette expériencer nous voulons etabiir une comparaison entre les deux paires de pièces

piézoélectriques composant notre système. Chacune des paires de pièces piézoélectriques est utilisée

tour de rôle comme actuateur tandis que l'autre paire agit comme semeur. Pour dresser un paraiieie,

nous avons place un accélérom&tre au pomt (0.0826,0.140) [ml qui demeurera en place pour les deux

difY&ents essais. La figure 47 nous donne la réponse en fi&pence lorsque la paire d'actuateurs laQlisee

au point (4.060,û.lOO) [ml est activk. ta figure 4 8 nous founiit les résuitats du système lorsgue la

paire d'achiateurs située au point (0.056,4.112) [nt] est a son tour mise sous tension. On se rend compte

évidemment que la réponse de chacun des essais n'est pas la même compte tenu du fait qpe la position

de k source d'exatation est différente. On remarque h figure 4.7 qye dans les zones d'anti-résonance,

les écarts entre les spectres obtenus numériqyement et expérimentalement sont plus appréciables,

comparativement au deuxième essai ( voir figure 4.8). On impute cette diBrencet en partie, h la mise en

phce des pièces situées au point (-0.060.0.100) [ml. En effet, au moment de la pose de la première paire

de pièces p i é z o é l h ~ e ~ ~ le protocole de la mise en place n'&ait pas encore bien défini. Nous avons

donc obtenu une épaisseur irr6guli&re de la couche d'adhésif. Signalons qu'a cet endroit, il y a deux

rainures machinées dans la plaque pour chacune de ces pièces piézoéiectriques.

. -

Figure 4.8

Fonction de transfert de k dponse en fdquence de I'accéiérurnétre I actuateur.

Position [ml : acc4l&om&re ( O.ûû26,0.140 1 , actuateur (: 0.056,4.1l2 .

Notons que le bruit au d e k t de chacun des spectres expérimentaux est attraxable i'ualisation

d'un transformateur dont le rôle est d'augmenter la tension d'alimentation des actuateurs.

4.43.2 *ONSE ME- AVEC UN SENSEUR

L'essai final consiste A proceder à l'analyse spedale d'un système comportant des pièces

piézoélectriques pouvant être employées comme senseur et actuateur. Le système s'active uniquement à

l'aide d'une paire d'achiateurs piézoélectriques et la réponse se lit h partir d'un senseur faisant partie

d'une paire de pikes pi&dlectnques. Ils sont positionnées respectivement a u . points (-0.060,O.lûû) [ml et (0.056, -0.lU) [ml. En jetant un premier coup d'oeil aux spectres en fréquence de la figure 4.9, on

observe que, dans les zones de résonance, les deux systèmes se suivent avec des écarts acceptables.

- - -

Figure 4.9

Fonction de transfert de la réponse en fréquence du senseur 1 actuateur

Par contre, c'est encore au niveau des &-résonances que les différences entre les deux courbes

prennent de l'ampleur. En se réf&ant aux analyses précédentes, on peut associer ce phénomène en partie

à deux facteurs pr6dominants : la mise en place des pièces piézoélectriques et les pertes en cisaillement

par l'adhésif causées par la profondeur des rainures dans la plaque. Il s'ensuit que l'énergie transmise au

s y s t b e par la paire d'actuateurs et la réponse lue par le senseur subissent des pertes. Dans la prochaine

SeCaon on essaiera de parfaire cette analyse-

A la suite des simulations rédis&s, on peut maintenant proceder a une analyse globale des

différents systèmes mis à l'étude. Comme mentionne au chapitre 2, le simulateur numérique utilise une

methode approximative par décomposition polynomiale pour calculer la réponse du système. Le

développement en série de type polynomial (voir 2 3 ) nous a permis d'obtenir des résultats numériques

qui suivent les tendances des résultats expérimentaux. Cette série nous permet, pour un système dont

les conditions aux Iimites sont libres, d'atteindre une Wie &gale à rn = 10, n = 10, soit 121 termes. Cette

restriction a tendance à atténuer la précision de la réponse avec l'augmentation de la fréquence ou la

cornplexit4 des modes.

L'amortissement des pièces piézoélectriques a été négligé. Par ailleurs, si on se rSere à la figure

4.9, la hauteur des crêtes coihade bien entre les deux courbes; donc, nous supposons que I'hypothèse de

négliger l'amortksement est valable.

L'adhésif &tant viscoélastique, la variation du module de Young en fonction de la fréquence

influence tri% probablement les résultats (voir 4.152).

4.4.5 JMCTEURS DE PERTURBATION

4.4.5.1 INFLUENCE DU CHAMP M A G ~ T I Q U E SUR LA CHARGE

INDUïTE DANS LA PLAQUE

Le système utiüs6 tout au long des essais expérimentaux comporte trois pièces pi6zoélecaiques

sur une possibiiitt! de quatre, dont l'une des électrodes est court-circuitée A Ia plaque. De par ses

caractéristiques, le pot vibrant produit un champ magdtique. Ii importe donc de savoir si le

déplacement de la plaque dans ce champ magnbtique induit d a m m e n t de charges pour influencer la

réponse du système. Pour ce faire, nous avons procédé B deux différents essais. Le premier essai permet

aux charges de circuler librement dans la plaque. Pour le deuxième essai, la plaque a et6 mise à la

masse. Nous avons plad le pot vibrant à une distance d'environ 70 [mm] de la plaque sans qu'il y ait

contact avec cette dernière. Par la suite, nous avons brancht! en parallèle la source d'excitation, soit une

paire d'actuateurs, et le pot vibrant lui-même Notons que le pot vi'brant n'excite pas kt piaque. Son seul

rôle est de permettre de créer un champ magnétique dans son environnement immédiat

O *

-10 . -

A -20.- a

- Piaque B h masse - - - - - - Clrcuk owert

O 100 200 300 400 500 600 700 800

Figure 4.10

Influence du champ magnétique provoqué par le pot vibrant.

La réponse du systéme a été prise à partir de la paire de senseurs comme défini au chapitre 3.

La figure 4.10 montre les résultats obtenus lors des deux essais. On remarque que les courbes sont

pratiquement superposees sauf à quelques endroits. La faible clifference entre les deux courbes est

imputable aux erreurs expérimentales telies que l'influence du conducteur fixé à la plaque pou.

permettre de faire la mise à la masse. Nous pouvons donc condure que les charges induites par le

déplacement de la plaque n'influencent aucunement la réponse du système.

4.4.5.2 INFLUENCE DES BANDES ADHI~IVES

Des bandes adhesives ont seM à retenir les diffkrents conducteurs reliés aux pièces

piézoélectriques. Comme ces bandes adh6sives sont collges de chaque côté de la plaque, nous vouüons

connaître leur effet sur la réponse en fréquence du système. Nous avons donc procédé à deux essais;

seul le premier essai induait des bandes adhésives. L'exatation du systhe a 6té assurée par le pot

118

vibrant. La réponse a &te prise à bide de l'acd&omehe placé au point (10325, 131.4) [mm]. En

observant la figure 4-11, on constate que l'effet des bandes adhésives sur la plaque est negligeable.

4.5 SION

En se référant chacune des analyses de cette section, on peut admettre que les résultats

numériques du simulateur sont très satisfaisants. En tenant compte de l'effet de masse et de la rigidit6

des éIéments piezoélectriques, les résultats numériques et exptkimentaux se rapprochent. La méthode

de mise en place des pièces piézoélectriques et la procédure de soudure présentée en annexe "A"

devraient nous permettre d'améliorer nos résuitats.

119

CONCLUSION

L'objectif de départ consistait h développer un modèle dynamipe capable de domer la réponse

miratoire d'une plaque mince sur lacpelle sont apposées des pièces piézoélectriques pouvant travailler

comme senseur ou comme amateur. Pour y arriver, nous avons débuté les travaux par une recherche

bibliographique. Cette étude bibliographique nous a permis de nous situer par rapport ce qui avait &té

accompli jusqu'à maintenant en matière de recherche dans le domaine. A partir de ces travaux, pour la

plupart basés sur une approche statique, nous avons remarque l'importance de modéliser le système

dynamiquement La méthode des énergies a été adoptée.

Ce type de modélisation permet de placer les termes sous une forme modulaire. Il est

avantageux d'utiliser cette formulation dans le cas où nous voudrions apporter certaines modifications à

la modélisation. La modélisation mathématique ainsi obtenue nous a permis de a6er un simulateur

numérique. Ce simulateur a l'avantage de procéder à des calculs num6riques sans que nous soyons

obligés de passer par la phase expérimentale. Les possibilités d'agencement de pieces piézoélectriques et

de structures demeurent infinies dans le cas du simulateur.

Nous avons r6alw un traitement numérique à la fois pour la methode par carroyage et pour la

méthode utilisant les coordonnées cart4siennes- Lors de simdations, dans le cas où l'emplacement et les

dimensions exactes des piézoélectriques ne peuvent être représentés par une disaétisation, on utilise

alors les coordonnées cartésiennes. Par contre, dans le cas où l'on désire r6aliser une étude de forme, il

est préférable d'utiliser la méthode par carroyage. Peu de recherches ont été entreprises jusqu'à

maintenant sur la forme des piézoélectriques appelés à travailler comme senseur ou actuateur. En

apportant quelques changements au simulateur, il nous sem possible de procéder à une étude de forme

des pièces piezoélectriques h l'aide de la méthode par carroyage.

Nous avons port6 une attention toute partidère A l'étude du phénomihe piézo6lechique. La

connaissance des caractéristiques électromecaniques est importante lorsqu'on desire faire un choix

judiaeux des pièces pi4zoélectriques. La &etion des éléments piézoélectriques doit se faire en fonction

des conditions d'opération et des performances que l'on désire obtenir du système. On a remarqué, au

cours de cette &tude, que certains facteurs avaient une influence plus marquée que d'autres sur les

résultats du système. Ce mémoire nous a permis de relever les avantages d'ualiw des pièces

piézoélecûiques faites de céramique. Notons que les matériaux céramiques offient plusieurs modèles

ayant chacun sa spédiat6 adaptée différentes conditions d'opération- Dans cemins cas, les

oactéristiqyes ne correspondent pas nécessairement à nos propres exigences.

Am cours des différentes simulations effectuées, nous avons observ6 que des écarts importants

nu la réponse du système se produisent lorsqu'on fait varier la valeur des constantes piézoélectriques

e ) Dans le cas du senseur, ceci justifie le choix d'une constante piézoéIectrique d, ayant une valeur

élevée, dans l'espoir d'obtenir un signal exempt de bruit Quant ractuateur, une valeur élevée de la

constante piézoélectrique induit de plus grandes contraintes à la structure par rapport au champ

électriqye qu'on lui impose.

Sous certaines conditions aux limites, une paire d'actuateurs piézoélectriques semble engendrer

une série de modes complexes créant une déformée différente de celle produite par un pot vibrant. Dans

ce contexte, la paire d'achiateurs piézdectriques fome dans le système une déformée différente de celle

du pot vibrant On observe ce comportement avant que le système n'ait atteint la première héquence

naturelle. Il semblerait donc faux de croire qu'aux basses fréquences, on puisse procéder à une analyse

modale avec seulement quelques termes. Une recherche plus poussée devra être entreprise pour en

déterminer la cause.

La manipulation expérimentale comprend la procédure de soudure des conducteurs sur les

électrodes et la mise en place des pièces piézoélectriques. Au cours de la procédure de soudure et de la

mise en place des pièces piézoélectriques, nous avons sans cesse amaoré le protocole à chaque essai De

plus, à partir du dernier essai, nous avons apporté d'importants changements sur la façon de souder.

Cette nouvelle méthode se retrouve en annexe "A.

Plusieurs auteurs, utilisant une modélisation statique, ont foumi des résultats ne comprenant

que la r6ponse du système aux fkbquences naturelles. Cette façon de faire leur permet d'omettre les

zones d'anti-résonance. Ainsi, lorsqu'üs comparent les résultats de leur mod&Ie Worique aux résultats

expérimentaux, ils obtiennent des valeurs qui sont valables aux premières fréquences de résonance. Le

simuiateur numérique que nous proposons permet de couvrir une plus grande zone de fr4quences

comprenant entre autres celles des anü-rbnances. On voit un des nombreux avantages de modéliser

dynamiquement plutôt que statiquement.

Nous sommes confiants que l'amélioration du protocole de soudure du conducteur et la mise en

place des pièces piézoélectriques nous permettra, pour les prochains essais, d'obtenir des résultats

supérieurs à ceux obtenus jusqu'à maintenant. De plus, le fait d'anodiser la structure permettra

d'éliminer les problèmes d'isolation avec les pièces piézoélectriques. La variation du module de

cisaillement de l'adhésif ai fonction de la fréquence pourra être réduite en diminuant au minimum

l'4paiçseur de l'adhésif.

Les possiïiiités du simulateur numérique ainsi aéé demeurent très grandes. Dans le but de

procéder différents calculs, on pourra y apporter des modifications. En appoaant quelcpes

changements, on pourra, dans un premier temps, l'utiliser dans un algorithme de contrôle. Dans un

deuxième temps, le simulateur nous permettra de proceder h une étude de forme des pièces

piézoélectriques. Dans un troisième temps, toujours en modifiant le simulateur, on pourra parfaire

l'espace occupé par les pièces piézoélectriques en ajoutant des matériaux viscoélastiques. Déjà, à ia base,

la première tâche du simulateur visait à fournir la réponse du système composé d'une plaque et de

matériaux viscoéias tiques[22].

Pour l'instant, selon la compagnie Digisonix, avec la technologie disponible, le contrôle actif

demeure performant jusqu'à environ de 500 ml. Pour les fréquences plus élevées, il est préférable de

s'en remettre au contrôle passif. On pourrait donc tirer avantage des deux différentes mQthodes: ai

positionnant sur la plaque des pi- pi&oéIechiques pour le contrôle des basses fi6quences et des

matériaux viscoélastiques pour le contrôle des hautes frequences-

Beaucoup de recherches sont présentement effectuk dans Le domaine du contrôle actif.

L'expertise que nous avons développée en effectuant ce travail comporte de l'originalit6; les possibilités

d'adaptation du simulateur numérique à différentes exigences demeurent très grandes. A partir de ce

mémoire et de différents travaux en cours au departement de génie mécanique de l'université Laval, le

Dr Li Cheng et ses collègues ont créé une synergie avec i'objectif de mettre à terme un projet portant sur

le contrôle actif d'un plancher d'un avion de type Dash-8 de la série 400.

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743.

A~K&IORATI:ON DU PROTOCOLE DE SOUDURI3

Pour arriver i# mmimiser l'espace de chacune des rainures dans la plaque, nous utiliserons, pour

les prochains essais, un conducteur de section circulaire plutôt que rectanguiaire. Après des essais de

soudure, nous avons choisi un conducteur de O.ll[mm] de diamètre. Avec un tel conducteur, l'espace

occupe par la soudure se diiffre h environ 0.77[mm]. Avec ce type de montage, on fixe la largeur de la

rainure à 159[mm? ce qui nous donne une marge de securité de 0.82 [mm]. La largeur de la rainure a été

fixée à partir des £raises disponiiles en atelier puisque nous aurions souhaité que la rainure soit plus

etroite. La longueur de la rainure est de 3.175[a tandis que la profondeur est de 0.26[mm].

Lors du montage des pieces piézoélectriques sur la plaque, on doit conserver un standard sur la

position du conducteur par rapport au pièce piézoélectrique pour que les rainures demeurent

équidistantes entre elles. L'utilisation d'une matrice ( voir figure A.1) s'impose. Lorsqu'on procède à la

soudure, cette matrice permet de maintenir bien au centre le conducteur par rapport à la pièce

piézoélectrique.

-- --

MATRICE

Pièce piézoélectrique

- - - -

Figure AS

Matrice servant à souder le conducteur sur une piece pi&oélectrique.

Lorsqu'on soude le conducteur sur la pièce piézoélectrique, l'objectif visé est d'occuper un espace

minimum tout en ayant un assemblage SuffiSanunent costaud. Cette faSon &item qu'il y ait rupture

durant le fonctionnement- Pour exécuter la soudure, on recommande d'utiliser le matériel suivant

[26,33] :

Un fer à souder d'environ 30 [Watts] ou le modèle Metcal.

Un metal d'apport de la compagnie AIM - N6 2û9 AX/NC - à base de 63% étain et 370h plomb de

0.010(po] de diamètre (fondant de brasage à l'intérieur).

Fondant de brasage ( flux) de la compagnie AIM de type "no dean" - flux 264-5, lot : F-353.

Ethanol.

Aiguille 27 gage de 1 pouce de long.

Oculaire (facultatif).

Procédure de soudure :

Nettoyer au préalable les pièces avec un dégaisseur à base d'éthanol;

ajuster la température du fer à souder pour le cas des pièces piézoélectriques d e la compagnie polytec

à 260 Oc;

fixer la pièce piézoélectrique dans la matrice (voir figure 4;l); le guide de la matrice détermine la

ligne d'axe sur laquelle on doit souder le conducteur; c'est dans ce guide que se positionne l'aiguille;

préchauffer l'ensemble pendant environ vingt minutes il une température en-dessous du point de curie,

soit environ 150 [Oc] de façon à ne pas créer de gradient thermique trop élevé lors de la soudure;

preparer le conducteur en l'enfilant dans l'aiguille;

tremper la partie du conducteur à souder dans le fondant de brasage;

déposer le métal d'apport sur la partie du conducteur à souder;

sortir la matrice du four;

positionner l'aiguille dans le guide de la matrice;

appliquer le fondant de brasage sur la partie de l'électrode de l'élément piézoélectrique à souder;

tremper le bout du fer à souder dans le fondant de brasage;

deposer une faible quantite de métal d'apport sur le bout du fer à souder;

placer le fer à souder sur le conducteur jusqu'h ce que le métal d'apport atteigne l'éiectrode;

procéder à la mise en place du conducteur, les mêmes opérations doivent être exécut6es sur

l'électrode dont la face est opposée b la surface de la plaque;

nettoyer la partie de l'électrode oxydée par le fondant de brasage à l'aide d'éthanol;

précautions :

s'assura que les soudures ne dépassent pas les dimensions escomptées en épaisseur, en largeur et en

longueur;

vérifier Ia continuitb entre les électrodes et chacun des conducteurs à l'aide d'un ohmmètre;

Vérifier que le fondant de brasage soit peu corrosif et adapter aux éIectrodes de nickel. ne pas utiliser

de fondant de brasage contenant du chlorure de zinc;

éviter la dépolarisation de la céramique. La durée de la soudure doit être aussi courte que possible : 2

secondes maximum-

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