cours series de fonction

8/15/2019 Cours series de fonction

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IntroductionRappels sur les suites de fonctionsExemplesSéries de fonctionsConvergence uniforme des séries de fonctionsCritères de convergenceExercices

Séries de fonctions

Saiida LAZAAR

Département de Mathématiques InformatiqueENSA de Tanger

Université AbdelMalek Essaadi

Avril 2016

[email protected]

Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com

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Pourquoi étudiez-vous les Séries?

Dans la pratique, les séries de Fourier sont un exemple fort desséries de fonctions; elles sont par exemple indispensables dans le

traitement du signal et de l’image dont les applications autour denous sont multiples (acoustique, multimédia, imagerie médicale,téĺedétection satellitaire, téĺecommunications, etc.)

Pŕe-requisSuites numériques, limites, dérivation, intégration dans R, espacesmétriques, espaces normés.Et la bonne volonté!!


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Suites de fonctions et convergence simple

Suites de fonctions

Définition: Une suite de fonctions (f n)n, n ∈N

de D dans K estune application: n −→ f n de N dans l’ensemble des fonctions de D dans K .

Convergence simple

Définition: Une suite de fonctions (f n)n, n ∈ N de D dans K converge simplement vers une fonction f si: ∀t ∈ D , la suite(f n(t ))n, n ∈ N converge vers f (t ).


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Convergence simple des suites de fonctionsProposition

La suite de fonctions (f n)n, n ∈ N de D dans K convergesimplement vers une fonction f ssi

∀t ∈ D , ∀ε > 0, ∃N ∈ N/n ≥ N ⇒ |f n(t ) − f (t )| ≤ ε

ExempleSoit (f n)n, n ∈ N la suite de fonctions numériques définies sur R

par f n(x ) = sin(nx )

n .

L’inégalité |f n(x )| ≤ 1n

valable pour tout x ∈ R montre que la suite

(f n)n,

n ∈

N

converge simplement vers 0 la f onction nulle.Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com

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Convergence uniforme des suites de fonctionsDéfinition

Une suite de fonctions (f n)n∈N de D dans K convergeuniformément vers la fonction f si:

∀ε > 0, ∃N ∈ N, n ≥ N ⇒ ∀x ∈ D , |f n(x ) − f (x )| ≤ ε

PropositionLa suite des fonctions (f n)n∈N de D dans K convergeuniformément vers f si:

∀ε > 0, ∃N ∈ N, n ≥ N ⇒ sup t ∈D |f n(t ) − f (t )| ≤ ε


I d

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Corollaire

Soit (f n)n∈N une suite de fonctions définies sur un domaine D etqui converge uniformément vers une fonction f sur D .

Si pour tout n ∈ N, f n est continue sur D , f est aussi continue surD .

Théorème

Soit I un intervalle donné. Si (f n)n∈N est une suite de fonctionscontinues en x 0 ∈ I qui converge uniformément vers une fonction f sur I , alors f est continue en x 0.


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I t d ti


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Exemple 2

Soit (f n)n, n ∈ N la suite de fonctions de R+ dans R définie par

f n(x ) = x n+x , x ≥ 0.


Introduction

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Exemple 2

Soit (f n)n, n ∈ N la suite de fonctions de R+ dans R définie par

f n(x ) = x n+x , x ≥ 0.

Cette suite converge simplement vers 0 mais la convergence n’estuniforme que sur les parties bornées de R+ . En effet,

|f n(x )| ≤ ε ⇔ n ≥ 1 − ε

ε x

Pour qu’elle soit vérifiée sur toute partie A de R, il faut et il suffitque l’on ait n ≥ 1−ε

εx A avec x A = sup (A).

Ce n’est possible que si x A


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Convergence uniforme: Illustration (http://sma.epfl.ch/)


Introduction

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Convergence uniforme vers |x

| (https://fr.wikipedia.org/)


Introduction

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Convergence non uniforme de la suite (x n

)n


Introduction

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Rappels sur les suites de fonctionsExemplesSéries de fonctionsConvergence uniforme des séries de fonctionsCritères de convergenceExercices

Séries de fonctions

Définition

Une série de fonctions +∞

i =0 f i (x ) de terme général f n de D dans

K est formée de deux suites de fonctions définies sur D à valeursdans K : ((f n)n∈N, (s n)n∈N) telles que:

∀x ∈ D , ∀n ∈ N, s n(x ) =n

i =0

f i (x )

∀n ∈ N, f n s’appelle le terme général d’ordre n de la série defonctions et s n s’appelle somme partielle d’ordre n.


Introduction

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Convergence simple de la série de fonctions

Définition

Une série de fonctions de terme général f n

définie sur D à valeursdans K converge simplement et a pour somme s si:∀x ∈ D , la série numérique de terme général f n(x ) converge et apour somme s (x ).

Si la série converge simplement,∀x ∈ D , n ∈ N, r n(x ) = s (x ) − s n(x ) s’appelle le reste d’ordre n dela série.


Introduction

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Notations

On note: s =+∞

i =0 f i i.e

∀x ∈ D , s (x ) = limn→+∞

n

i =0

f i (x )

.

La convergence de la série s’exprime par la convergence de la suitede ses sommes partielles.


IntroductionR l l i d f i

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Convergence uniforme des Séries de fonctionsDéfinition

Une série de fonctions de terme général u n de D dans K convergeuniformément et a pour somme s si ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que:

n ≥ N ⇒ ∀t ∈ D , |s n(t ) − s (t )| = |

ni =0 u i (t ) − s (t )| ≤ ε

Proposition

Si une suite de fonctions (f n)n∈N converge uniformément vers

la fonction f , elle converge simplement vers f . La réciproqueest fausse.

Si une série de fonctions de terme général u n convergeuniformément et a s pour somme, elle converge simplement eta s pour somme. La réciproque est fausse.


IntroductionR l l it d f ti



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Critère de Cauchy uniforme

Théorème

a: Une suite de fonctions (f n)n∈N de D dans K convergeuniformément ssi:∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que: p , q ≥ N ⇒ sup t ∈D |f p (t ) − f q (t )| ≤ ε

Théorème

b: Une série de fonctions de somme partielle s n convergeuniformément ssi:∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que: p , q ≥ N ⇒ sup t ∈D |s p (t ) − s q (t )| ≤ ε


IntroductionRappels sur les suites de fonctions



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Convergence normale

Définition

Une série de fonctions de terme général u n converge normalement

sur D si la série à termes positifs de terme général

u n∞ = sup t |u n(t )|

converge.

Proposition

Si la série de fonctions converge normalement, alors elle convergeuniformément. La réciproque est fausse.





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Dérivation terme à terme d’une sérieProposition: Soit I un intervalle de R et (u n) une suited’applications dérivables de I dans un e.v.n E telle que la série

u n soit simplement convergente.

Si la série

u

n est uniformément convergente sur I alors lafonction:

S : t −→∞

n=0

u n(t )

est dérivable sur I et on a:

S

(t ) =∞

n=0

u

n(t )



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Autre critère de convergence uniforme

Théorème d’Abel

Soit E un e.v.n complet et (an) une suite d’éléments de E telle quela śerie

an soit convergente.

Alors, la série

r nan est uniformément convergente sur 0 ≤ r ≤ 1.

∗ La preuve du théorème d’Abel est laissée comme exercice.





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ppExemplesSéries de fonctionsConvergence uniforme des séries de fonctionsCritères de convergenceExercices

Exemples

Exemple 1

La série de terme général u n(t ) = sin(nt )n2 , n > 1 définie sur R

converge normalement car u n∞ = sup t |sin(nt )

n2 | = 1

n2.

Exemple 2

La śerie géométrique S (z ) =∞n=0 z n, c ∈ C est uniformément

convergente dans le disque fermé {z ∈ C, |z | ≤ k , 0 ≤ k


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ppExemplesSéries de fonctionsConvergence uniforme des séries de fonctionsCritères de convergenceExercices

Exercices

Exercice 1

Considérons la suite de fonctions (f n)n∈N définie sur R+

par nx

1+nx .Etudier la convergence simple et uniforme.

Exercice 2

Montrer que si (f n)n∈N est une suite de fonctions uniformémentconvergente vers une fonction f sur un intervalle I , alors la suite defonctions (sin(f n))n∈N converge uniformément vers sin(f ) sur I .





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ExemplesSéries de fonctionsConvergence uniforme des séries de fonctionsCritères de convergenceExercices

Exercices

Exercice 3

Soit la suite de fonctions définie par sin(nx )1+n2x 2 . Montrer que cette

suite converge simplement mais pas uniformément sur R.

Exercice 4

Montrer que la suite de fonctions (f n) définie parf n(x ) = e

−nx , x ≥ 0 ne converge pas uniformément (Etudier lacontinuité des f n et de leur limite f .


IntroductionRappels sur les suites de fonctionsE l

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Exercices

Exercice 5

Soit I = [−k , k ], k


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ExercicesExercice 7

∀n ∈ N∗, x ∈ I = [−1, 1], on pose u n(x ) = x nsin(nx )

n .

1. Montrer que la série+∞

n=1 u n(x ) converge uniformément sur[−1, 1] vers une fonction f continue.2. Etudier la dérivabilité de f sur I et calculer f

. En déduire f (x ).3. En se basant sur ce qui précéde, calculer la valeur de la série+∞

n=1sin(n)

n .

Exercice 8

Soit la série+∞

n=0 x 2n. Etudier les convergences simple et uniforme

de cette série sur [0, 1[.


IntroductionRappels sur les suites de fonctionsExemples

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Un peu d’histoire (source: wikipédia)Niels Henrik Abel, né le 5 août 1802 à Frindoë près de Stavangeret mort le 6 avril 1829 à Froland pr̀es d’Arendal, est unmathématicien norvégien.

Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur laconvergence des séries numériques, des suites et séries defonctions, les critères de convergence d’intégrale généralisée, etc.



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Un peu d’histoire (source: wikipédia)Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 26 août 1789 et mort àSceaux (Hauts-de-Seine) le 23 mai 1857, est un mathématicien français,membre de l’Académie des sciences et Prof. à l’École polytechnique.

Il fut l’un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps,

quoique devancé par Leonhard Euler, avec près de 800 parutions et septouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques

de l’époque. On lui doit l’introduction des fonctions holomorphes et des

critères de convergence des suites et des séries entières. En optique, on

lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.





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Bibliographie

J. Lelong-Ferrand, J. M. Arnaudiès. Cours de mathématiques,tome 2: analyse . Dunod, (1972)

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