cours de series temporelles

8/21/2019 Cours de Series Temporelles

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COURS DE SERIES TEMPORELLES

THEORIE ET APPLICATIONS

VOLUME 1

Introduction la thorie des processus en temps discret

Modles ARIMA et mthode Box & Jenkins

ARTHUR CHARPENTIER

[email protected]

DESS Actuariat & DESS Mathmatiques de la Dcision


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ries temporelles : th orie et applications rt ur

Contents

1 Introduction et notations 51.1 Approches temps/frquences : un peu d histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Analyse h armon iqu e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1. 2 Modles autoregressi fs et moyennes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Lapproche temporelle : concept de corrlation srielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 Lquivalence entre les deux approches temps/frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 L es d velop pement s r cents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Les modlesARMA, ARIM A et SARIMA : mod les lin aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Modles ARCH - vo latilit stocha stique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 .2.3 Les pro cess us mmoire lo ng ue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 .2.4 Les pro cess us mu ltivaris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5 Exemple : histoire de la prvision des modles conomiques (macroconomiques) . . . . . . . . 121.2.6 Remarque sur les processus de comptage ou valeurs dans un espace dtats nis . . . . . . . . 131.2.7 Remarque sur les donnes hautes frquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 T ho rie d es p ro cessus temp s d is cret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 .3.1 St atio nna rit d es p ro cessu s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. 2 Propri t de Markov en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 O bjecti fs de ltudes des sri es temporel les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1 .4.1 Descript io n et mo dlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2 Prvision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 C onseils b ib liogr ap hiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Proprits des processus univaris en temps discret 192.1 Rappels sur les martingal es temps di scret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 R app els s ur les Ch anes de Marko v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Notions de processus stationnaire et de processus non-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Fonction dautocovariance et densit spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. 1 Autocovariance et autocorrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.2 Dens it sp ectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.3 Estimation de la fonction dautocorrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. 4 Estimati on de la densi t spectral e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Lien entre processus en temps continu et en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Dsaisonnalisation par regression linaire 293.1 P rsentation des donn es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 L e modle linair e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 .2.1 Hyp oth ses sur les erreu rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. 2 Composante saisonnire du modl es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 .2.3 C omp osante tend an cielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2. 4 Modle trimestriel de Buys-Ballot (1847) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Estimateur des moindres carrs ordinaires (mco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.1 Solutions gn r ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2 Cas particulier : le modle trimestriel de Buys-Ballot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3 Gnralisation des formules de Buys-Ballot (tendance linaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Ap plicatio n au tra c voya geu r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 .4.1 Srie ag rge par t rimes tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 .4.2 Ana lyse su r d on nes mensu elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Propri ts stati stiques des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Prvision un horizon h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6.1 C alcul d e la prvision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 .6.2 App lication au t rac SNC F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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4 Dsaisonnalisation par la mthode des moyennes mobiles 404.1 Gnralits sur l es moyennes mobil es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Notion doprateur retard L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.2 Les moyennes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1. 3 L espace des oprateurs moyenne-mobil e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Vecteurs propres associs une moyenne mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1 Les sries absorbes : = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Absorbtion de la composante saisonnire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.3 Les sries invariantes : = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.4 Transformation de suites gomtriques(rt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.5 Moyenne mobile direncep= (IL)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.6 Moyenne mobile dirence saisonnirep;s= (I Ls)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 .2.7 Moyenn e mo bile impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.8 Moyenn e mobile paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Notion d e bru it blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 .3.1 Tr an sfo rma tion dun br uit b la nc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Les procduresX11 et X12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.1 Un algorithme simple de dsaisonnalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.2 Lalgorithme de base de la mthodeX11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.3 Amlioration de la mthode : X11

ARIMA et X12

ARIM A . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4.4 Utilisation de la mthodeX11 et comparaison avec les modles ARIMA saisonni ers . . . . . . 544.4.5 Exemple simple inspir de la mthodeX11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Description du modle TRAMO/SEATS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 La prvision par lissage exponentiel 575.1 Principe du li ssage exponentiel simpl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1. 1 Mthode adaptati ve de mise jour (ordre 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 .1.2 C ho ix de la co nsta nte de lissa ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.3 Lien entre robustesse de la prvision et choix de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 .1.4 Exemple d a pp lica tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Principe de l issage exponenti el double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2. 1 Mthode adaptati ve de mise jour (ordre 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2 Application de la mthode de lissage exponentiel double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3 Lissage exponentiel multiple, ou gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3. 1 Mthode adaptati ve de mise jour (ordre 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Les mthodes de Holt-Winters (1960) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 .4.1 Mth ode n on sa iso nnire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 .4.2 La mth ode saiso nn ir e a dditive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Exemple de mise en pratique des mthodes de lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 .5.1 Prsenta tio n d es d on nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5.2 Lissage linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 .5.3 Lissa ge exp on entiel s imp le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 .5.4 Lissa ge exp on entiel d ouble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Introduction aux modles linaires ARIMA 73

6.1 Rappels sur les espacesL2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 .1.1 Pro prits topo log iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.1.2 Rappel sur les vecteurs et processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.1.3 Regression ane dansL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 .1.4 La n ot io n din novat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Polynmes doprateurs retardL et avance F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 .2.1 R ap pels sur les o prat eu rs reta rds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.2 Inversibilit des polynmesP(L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Complments sur les sries stationnaires : les autocorrlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3. 1 Autocovariance et autocorrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 .3.2 Auto corrla tion s p art ielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.3 Dens it sp ectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 .3.4 Auto corrla tion s inver ses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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6.3.5 Complment : autocorrlogrammes de fonctions dterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.4 Les processus autorgressifs : AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.4.1 Rcriture de la formeAR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4.2 Proprits des autocorrlations - les quations de Yule-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4.3 Le processusAR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4.4 Le processusAR(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.5 Les processus moyenne-mobile : MA (q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.5. 1 Propri ts des autocorrlati ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.5.2 Le processusMA (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5.3 Le processusMA (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.6 Les processusARM A (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.6. 1 Propri ts des autocorrlati ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.6.2 Densit spectrale des processus ARMA (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.6.3 Les processus ARMA (1; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.7 Introduction aux modles linaires non-stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.8 Les processusARIM A (p; d; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.8.1 Processus ARIMA et formes AR ou M A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.9 Les modles SARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.10 T horme d e Wold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.11 Thorie spectrale et processus ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.11.1 Thorie spectrale et notion de ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.11.2 Le spectre dun processus ARM A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.11.3 Estimation de la densit spectrale dun processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7 Estimation des modles ARIMA : Box-Jenkins 1147.1 Estimation du paramtre dintgration d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.1.1 Approche empirique par l autocorrlogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147 .1.2 Tes ts d e ra cine u nit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 157.1. 3 Tests de raci nes uni taires saisonni res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.1.4 Complment sur la notion de sur-direntiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.2 Estimation des ordres p etqdun modle ARMA (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2.1 Problmes dunicit de la reprsentationARM A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.2.2 Comportement asymptotique des moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2.3 Mthode pratique destimation des ordres p et q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2.4 Cas dun processusMA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.2.5 Cas dun processusARMA (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267 .2.6 Pro prit des es tim ateu rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 29

7.3 Test de brui t bl anc et de stati onnari t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.3.1 Analyse des fonctions dautocorrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.3.2 Statistique de Box-Pierce, ou test de portmanteau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3. 3 Complments : les tests de normalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3.4 Complment : Test de rupture et de changement de tendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.4 Estimation des paramtres dun modleARMA(p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4.1 Estimation pour les modlesAR(p) par la m thode des moindres carrs . . . . . . . . . . . . 1347.4.2 Vraissemblance dun processus ARMA(p; q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.4.3 Rsolution du programme doptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.4.4 Tests statistiques de validation du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.5 C hoix d u n m odle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397 .5.1 C rit re de po uvo ir pr dicitf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 397 .5.2 C rit re dinfo rma tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 40

7.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.6.1 Identication du modle : recherche des paramtresd, p et q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.6.2 Estimation du modle ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.6.3 Vrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3


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8 Prvisions laide des modles ARIMA : Box-Jenkins 1458.1 Prvisions laide dun modleAR (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.2 Prvisions laide dun modleM A(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.2.1 Utilisation de lcritureAR(1) du processus MA (q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.2.2 Utilisation de la formule de mise jour des rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3 Prvisions laide dun modleARM A (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.3.1 Utilisation de la formeAR (1)pu processus ARMA (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.3.2 Utilisation de la formeM A(

1) pu processus ARMA (p; q) et des formules de mise jour . . . 147

8.4 Prvisions dans le cas dun processus ARIM A (p; d; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.4.1 Utilisation de lapproximation AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.2 Utilisation de lapproximation MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.5 Intervall e de conance de la prvision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.6 Prvision pour certains processus ARet M A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.6.1 Prvision pour un processusAR (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.6.2 Prvision pour un processusM A (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.6.3 Prvision pour un processusARIMA (1; 1;0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.7 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.7. 1 Example de prvi si on : cas dcole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.7. 2 Exempl e dapplication : cas prati que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9 Applications de la mthode de Box & Jenkins 1569.1 Application un portefeuille dassurance-vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9 .1.1 Mo dlisa tion de la s rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 569.1.2 Estimation de modlesARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.2 Application de la srie des taux dintrt 3 m ois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619 .2.1 Mo dlisa tion de la s rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 629.2.2 Estimation des paramtres dune modlisation ARIMA (1; 1; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.2.3 Estimation des paramtres dune modlisation ARIMA (2; 1; 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.2.4 Estimation des paramtres dune modlisation ARIMA (4; 1; 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.2.5 Estimation des paramtres dune modlisation ARIMA (8; 1; 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.2.6 Estimation des paramtres dune modlisation ARIMA (8; 1; 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.2.7 C hoix du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9.3 Appli cation des donnes si mules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.4 Modl isati on du trac autorouti er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

9.4.1 Modlisation du trac sur lautorouteA7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.4.2 Modlisation du trac sur lautorouteA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.5 Modlisation du nombre de victimes sur les routes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.6 Modlisation du taux de croissance du P I B amr icain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

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La statistique est la premire des sciences inexactes.Edmond et Jules de Goncourt, Journal

1 Introduction et notations

Ltude des sr ies temporelles, ou sries chronologiques, correspond lanalyse statistique dobservations rgulirementespaces dans le temps. Elles ont t utilises en astronomie (on the periodicity of sunspots, 1906), en mtorologie(time-seires regression of sea level on weather, 1968), en thorie du signal (Noise in FM receivers, 1963), en biologie(the autocorrelation curves of schizophrenic brain waves and the power spectrum, 1960), en conomie (time-seriesanalysis of imports, exports and other economic variables, 1971)...etc.

1.1 Approches temps/frquences : un peu dhistoire

De faon gnrale, quand on parle de sries stationnaires, on a en tte une reprsentation de la forme Xt, o t2 Z,

reprsentant les observations (potentielles) du processus, dont on peut dnir un ensemble dautocovariance (t; s) =E ([Xt ] [Xs ]) qui ne dpend que la distance entre t et s, (t; s) = (t+ h; s+ h) pour tout h2 Z (notionfaible de stationnarit). On demande gnralement cette autocovariance (t; s)de tendre vers0quand la direnceentre t ets tend vers linni : la covariance entre des lments trs loigns dans la srie tend vers0.

Cette approche, base sur lutilisation des corrlations, correspond lanalyse de type temporelle : elle consiste tudier les corrlations croises de fonctions de la srie(Xt). Ces mthodes sont gnralement paramtriques detype moyenne-mobiles (moving averageM A) ou autorgressives (AR) - voire les deux ( ARMA). Toutes ces mthodesconsistants estimer des p aramtres p euvent gnralement tre vus comme des gnralisations de la rgression linaire.

Lautre approche galement utilise est celle base sur ltude des frquences. Cette vision est une gnralisationdes mthodes utilises en analyse d e Fourier. Lide est ici dapproximer u ne fonction analytique par une sommepondre de fonctions sinus ou cosinus.

Historiquement, ce sont les astonomes qui les premiers ont travaill sur des sries chronologiques. La reproduction

ci-dessous est tir dun manuscrit du Xe

sicle, reprsentant linclinaison des orbites des plantes en fonction du temps.Cest en particulier grce ce genre de donnes que Kepler a pu noncer ses lois sur le mouvement des plantes.

Ces visualisations graphiques ont permis, grce aux dirents outils mathmatiques mis en place au XV IIIe etX I Xe

sicles, de mettre en place les premires techniques dtude des sries chronologiques1 , parmi lesquelles, lanalyseharmonique.

1 En fait, comme le note Bernstein dans Against the Gods (the remarkable story of risk), les grecs ou les hbreux ont observs desphnomnes cycliques (par exemple), mais ils nont jamais pens faire de la prvision. Il a fallu attendre la Renaissance pour que lavenirne soit plus quune question de chance ou un fruit du hasard.Y compris au XVIIIme sicle, prvoir des phnomne futurs pouvait fairecroire une tentative de rivaliser avec les dieux : Halley remarqua que la mme comte fut aperue en 1531, en 1607 et en 1682 ( cettecomte avait t observe dailleurs depuis 240 avant J.C.), et il prvoit quon la reverra en 1758 (ce fut eectivement le cas, au grandmoi de toute lEurope, puisque tous les 76 ans, la comte, dite de Halley, arrive en vue de la terre).

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1.1.1 Analyse harmonique

Les astronomes ont t les premiers u tiliser lanalyse de Fourier pour des sries chronologiques. Leur but tait dedtecter des saisonalits caches au s ein de leurs donnes. Ainsi, L agrange a utilis ces mthodes p our dtecter dela priodicit cache en1772 et en1778. Un demi-sicle plus tard, en1847, Buys et Ballot, dans Les changementspriodiques de tempratures ont propos des mthodes pour tudier la priodicit de donnes astronomiques. Toutefois,il a fallu attendre1889pour que Sir Arthur S huster introduise le p riodogramme, qui constitue la base des mthodesspectrales danalyse de sries chronologiques.

Lide est la suivante : on recherche un modle sous-jacent de la forme

Yt=X

jcos [!j t j ] + "t=X

jcos (!jt) + jsin (!j t)+ "t ;

o("t) est une suite de variables alatoires indpendantes identiquement distribues, qui correspondront un bruitblanc (cette notion serait longuement dveloppe par la suite).

Le facteur j (ouq

2j+ 2j ) correspond lamplitude de la j -me composante priodique, et indique le poids de

cette composante au sein de la somme.

Exemple 1 Considrons la srie t emporel le ci-dessous gauche. Une fois e nlev le bruit, nous obtenons une sriequi peut tre dcrite comme une somme pondre de fonctions sinusodales

En loccurence, la srie de gauche peut tre vue comme la somme dun bruit et de 4 fonctions sinusodales (damplitudesj direntes).

A partir dun chantillon Y0;:::;YT1, et en considrant les frquences !j= 2j=T, lepriodogrammeest dnipar

I(!j ) =2

T

XYtcos (!j)

2+X

Yt sin (!j)2

= T

2

a2 (!j ) + b

2 (!j )

:

Il est alors possible de montrer que2I(!j ) =Test un estimateur consistant de 2j (au sens o cet estimateur converge

en probabilit quand le nombre dobservations augmente). Cette convergence t longuement tudie par Yule en1927.

Exemple 2 En considrant la srie chronologique du nombre de taches solaires

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Wolf a obtenu le priodogramme reprsent ci-dessous ( gauche en frquence!, droite en priodef= 2=!),

et a ainsi pu montrer quil y avait une priodicit de11 annes dans le cycle solaire. Ce rsultat a t retrouv par lasuite avec davantage de donnes, et un second cycle de lordre de160 annes a galement t dtect.

En1924, Whittaker et Robinson ont utilis cette thorie sur la brillance de ltoile T-Ursa Major, observe sur 600jours, et ont montr que la brillance pouvait tre m odlise (presque parfaitement) laide de2fonctions harmoniques,de priodes respectives24 et29 jours.

Si cette thorie a donn de trs bons rsultats en astronomie, son application en conomie a conduit des rsultatsnettement moins concluants. En1921 et1922, Beveridge a utilis cette thorie sur le prix du bl (wheat prices andrainfall in western europe). La srie prsentait tellement d e pics quau moins 20 priodicits taient possibles... etplus encore si lon commenait prendre en compte de facteurs conomiques ou mtorologiques.

Si les phnomnes astronomiques permettent dutiliser cette thorie, cest parce que des cycles parfaitement rgulierssont observs. Toutefois, cette mthode sest rvle plus complique mettre en oeuvre en sciences humaines.

1.1.2 Modles autoregressifs et moyennes mobiles

Deux articles en 1927 ont ouvert une autre voie : larticle de Yule (on the method of investigating periodicities indisturbated series with sepcial reference to Wolfers sunspot numbers) et celui de Slutsky (the summation of randomcauses as the source of cyclical processes).

Yule a introduit dans la littrature les modles autorgressifs, en considrant des modles de la forme

Yt= Yt1+Yt2:

Etant donnes deux valeurs initiales, cette suite prsente un comportement saisonnier, fonction des paramtres et. Yule remarque quen fait, le comportement dpend des racines (complexes) de lquation z2 z = 0, et plusparticulirement de leur position par rapport au disque unit. Si leur module est infrieur 1, alors on observe uncomportement sinusodal amorti. En fait, la forme gnrale des solutions sera

Yt=At cos(!t ) ; lorsque0 <


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Slutsky a introduit les moyennes mobilesla mme anne que Yule a introduit les processus autorgressifs... maisson article, crit en1927en russe na t traduit quen1937 en anglais. Pour cela, il a utilis des nombres gnrs parla lotterie ocielle, et a russit gnrer une srie dcrivant le cycle conomique en Angleterre, de1855 1877. Laforme gnrale tait la suivante,

Yt= 0"t+ 1"t1+ ::: +q"tq ; (2)

o("t) est un bruit blanc, correspondant ces nombres gnrs par la lotterie ocielle : on obtient des variablesindpendantes entre elles (cf tables de nombres alatoires), mais surtout indpendantes du cycle conomique. Cette

criture a suggr dlargir la relation(1) sous une forme proche de(2), savoir0Yt+ 1Yt1+:::+ pYtp= "t :

Les processus introduits par Yule deviendront les p rocessusAR(p)et ceux introduits par Slutsky les processus M A (q).Lanalogie entre les deux processus sera mme pousse plus loin lorsquil sera montr que les processus AR(p)et M A(q)sont respectivement des processus M A (1) et AR(1), sous certaines conditions.

1.1.3 Lapproche temporelle : concept de corrlation srielle

Si lapproche spectrale repose sur lutilisation du spectre (ou du priodogramme), lapproche temporelle repose surlautocorrlogramme, ou plus gnralement sur lutilisation de la corrlation srielle. Poynting est le premier a intro-duire cette ide, en1884, en tudiant la relation entre le mouvement du prix du bl, et les importations de coton etde soie. Le coecient de corrlation srielle a t dnit par Hooker en1901, dans une tude sur le taux de mariage

en Angleterre, et lindice du commerce. Etant donnes deux sries temporelles,(Xt) et(Yt), la covariance srielleest dnie par ck(X; Y) =cov (Xt ; Yt+k) et la corrlation srielle sera alors rk(X; Y) =ck(X; Y) =c0(X ; Y).

Le coecient dautocorrlation est alors obtenu en considrant k= corr(Xt; Xt+k) = rk(X; X). Les annes30ont alors vu lclosion des rsultats de base dans le domaine des sries chronologiques, sous limpulsion de Khintchine,Cramer, Wold, Kolmogorov, Wiener...etc. Ces auteurs ont dvelopp une thorie des sries temporelles, en considrantquune srie chronologique est une ralisation dun processus alatoire.

1.1.4 Lquivalence entre les deux approches temps/frquence

Dans un premier temps, lanalyse harmonique a t gnralise pour passer dune somme de Fourier une intgralede Fourier

Yt=

Z

0

[cos (!t) dA (!) + sin (!t) dB(!)] :

Cette simple ide de lissage du priodogramme a permis de contourner les problmes quavait pu observer Beveridgelorsquil cherchait des priodicits caches dans des disciplines autres que lastronomie.

La synthse entre ces deux branches (la premire travaillant en temps, avec des autocorrlations, et la seconde tra-vaillant sur le spectre de la srie) a t faite dans les annes30, en parallle aux Etats-Unis par Norbert Wiener (gen-eralised harmonic analysis,1930) et en Union Sovitique par Khintchine (korrelationstheorie der stationaren stochas-tichen prozesse,1934). Leur rsultat est de mettre en avant une relation bijective entre la fonction dautocovariancedun processus stationnaire, et sa densit spectrale :

g (!) = 1

2

+1Xh=1

(h) cos (!h) ou (h) =

Z 0

cos (!h) g (!) d!, o(h) =cov (Xt; Xth) :

Et si lanalogie entre autocorrlogramme et densit spectrale existe dun point de vue thorique, il est possible de mettreen avant le mme genre de relation entre les autocorrlations empiriques et le priodogramme empirique. Les g raphiquesci-dessous reprsentent les variations de lindiceC AC40 en donnes mensuelles, gauche, et le priodogramme associen frquence(!) droite,

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

11/08/87 23/12/88 07/05/9019/09/91 31/01/93 15/06/94 28/10/95 11/03/9724/07/9806/12/99 19/04/01

Variation (%) du CAC 40 - index return - net - mensuel

/4 /2 3/4 0

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1.2 Les dveloppements rcents

Ltude des sries temporelles semble avoir atteint sa maturit au cours des annes70o des dveloppements signi-catifs sont apparus. En1965, Cooley et Tukey ont beaucoup aid ltude spectrale des sries grce leur article analgorithm for the machine calculation of complex Fourier series, introduisant la Fast Fourier Transfo rm (FFT).Cet algorithme a permis de calculer rapidement des p riodogrammes. A la mme p oque, en1970, Box et Jenkinsont publi leur ouvrage Time series analysis, forecasting and control, montrant que ltude des sries temporelles laide de processus de type ARMA (obtenus en associant les critures(1) et(2) des processus AR et M A) pouvait

sappliquer de nombreux domaines, et pouvait tre facilement implmente informatiquement2 .

1.2.1 Les modles ARMA, ARIMA etSARIM A : modles l inaires

Les modles ARMA sont un mlange des modles(1) et(2) proposs p ar Yule et Slutsky. Un processus(Xt) est unprocessus ARMA (p; q) sil existe un bruit blanc("t) (cest dire un processus stationnaire tel que "t et "tk soientindpendants, pour tout k, pour tout t) tel que

Xt= 1Xt1+ ::: +pXtp+ "t+ 1"t1+:::+ q"tq ; pour toutt:

Sous certaines conditions, ces processus sont stationnaires. Comme nous le verrons par la suite, ces pr ocessus peuventscrire sous la forme

(L) Xt= (L) "t ; o (L) =I 1L ::: pLp

et (L) = I+ 1L+:::+ qLq

;

L reprsentant loprateur retard, au sens o LXt=Xt1, et avec la conventionLp =L Lp1, soitLpXt= Xtp: la srie(Yt) telle queYt=L

pXt est alors la srie(Xt) retarde de p priodes.Paralllement, on dira quun processus non-stationnaire est intgr dordre1, si en le direnciant une fois, on

obtient un processus stationnaire : (Xt) (non-stationnaire) sera dit intgr dordre 1 si le processus(Yt) dnitYt= Xt= Xt Xt1= (1L) Xt est stationnaire. On dira, par extension, que(Xt)est intgr dordred si(Xt)estnon-stationnaire, ...,(Yt) o Yt= (1 L)d1 Xt, est non-stationnaire, et(Zt) o Zt= (1 L)d Xt, est stationnaire.On appelera alors p rocessusARIM A (p; d; q) un processus(Xt) pouvant se mettre sous la forme

(L) Xt= (L) (1 L)d Xt= (L) "t; o ("t) est un bruit blanc.

Pour les donnes relles, on notera que d= 1,2 ou3 (au maximum). Cela signie que(Yt)dnit comme dirence

dordre d du processus(Xt), soit Yt= (1L)d Xt , suit un processus ARMA (p; q)3 .On parlera dailleurs de prsence de racine unit : 1 est alors racine du polynme autorgressif (z). Par

gnralisation, on peut considrer le cas o exp (2i=s) est racine d u polynme autorgressif : cest dire que (L) = (1 Ls) (L). On dira alors que lon est prsence dune racine unit saisonnire, qui engendreront lesmodles SARIMA.

Les modles intgrs sont trs prsents dans les sries conomiques, par exemple les sries dindices boursiers,dindice de production, dindice de prix.... Les modles SARIMA sont galement trs prsents ds lors que les sriessont trs saisonnires (avec une forte pridicit trimestrielle, annuelle...etc).

Remarque 1 Parmi les transformations usuelles des variables, la transformation par(1 L) est parmi les plusutilises : on ne considre alors plus la srie brute(Xt)mais la variation (brute) Yt= Xt Xt1. Dans le cas oXtest un prix (par exemple un indice boursier, CAC40 ouSP500), on considre galement souvent la variable obtenuecomme dirence des logarithmes des prixZ

t= log X

t log X

t1, qui est alors le rendement ou le taux de croissance

(return en anglais).

1.2.2 ModlesARCH - volatilit stochastique

Dans les annes80, des dveloppements ont t apports dans ltude de la non-linarit de certaines sries, etsur leur modlisation. En1982, Engle a introduit la classe des modles ARCH (autorgressifs conditionnellementhtroscdastiques4 ). Ces modles ont t introduits pour palier une observation empirique qui ntait pas prise

2 Sur les mthodes de prvision en conomie, il peut tre intressant de se reporter The past, present and future of macroeconomicforecasting de Francis Diebold (1997).

3 Ceci nest quune notation : comme nous le verrons par la suite, les processus ARIMAsont un peu plus compliqus que les processusARMApuisquil faut prendre en compte des conditions initiales : (Yt) ne suit quasymptotiquement un processus ARMA (p; q).

4 Pour rappel, un modle conomtrique est dit homoscdatique si la variance des erreurs ( centres) E

"2t

est constante - quelque soitla priode dtude. Dans le cas contraire, on p arlera dhtroscdasticit. Les modl es sont ici conditionnellement htroscdatistique car

E"2t j"t1dpend det.9


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en compte par les modles : la volatilit conditionelle dune srie(Yt) na aucune raison dtre constante. Dans lesmodles AR (1), la variance conditionnelle de Xt sachant Xt1 est constante : V(XtjXt1) = 2 o V("t) = 2(notion dhomoscdasticit). Engle a cherch un modle d ans lequel la variance conditionnelle d e Xt sachant Xt1dpendrait deXt1, et plus particulirement, V(XtjXt1) =

+X2t1

2. Pour cela, il a considr les modles de

la formeXt="t

pht; o ht=0+ 1X

2t1:

Cette classe de modle, appele ARCH(1) a t gnralise sous la forme ARCH(p),

Xt="tp

ht ; o ht= 0+ 1X2t1+ ::: +pX

2tp:

Cette forme pour ht a permis lanalogie entre les modles AR et les modlesARC H. De plus, cette classe de modlesARCHa t gnralise de la mme faon que les ARMA gnralisent les AR, en considrant des fonctions ht de laforme

ht=0+

pXi=1

iX2ti+

qXj=1

j"tj ;

gnrant ainsi les modles GARCH.

Exemple 4 Le graphique ci-dessous gauche correspond des taux dintert(Xt), et droite, la variation de cestaux dintrtYt=Xt

Xt1,

0

4

8

12

16

20

60 65 70 75 80 85 90 95

X

-6

-4

-2

0

2

4

60 65 70 75 80 85 90 95

Y

Les longues priodes de fortes volatilit (volatility clustering) sont une des caractristiques des modlesARCH, et cest,entre autres, pour cela que les modlesARCH ou GARCH sont normment utiliss dans les modles nanciers.

1.2.3 Les processus mmoire longue

Dautres avances ont t faites sur la mmoire longuede certaines sries. Les processus stationnaires d e type ARont un autocorrlogramme qui converge vers0 de faon exponentielle ((h) =h). Les processus mmoire longueseront caractriss par une dcroissance de leur autocorrlogramme suivant une fonction puissance ( (h) = h).

Exemple 5 Par exemple, le graphique ci-dessous gauche correspond au niveau minimum du Nil entre622 e t1284,

9

10

11

12

13

14

15

700 800 900 1000 1100 1200

NILE

Bien que la srie soit stationnaire, les autocorrlations(h) =cov (Xt ; Xt+h)sont encore signicativement non-nullesaprs60 ans (graphique de droite). Ce type de comportement s era appel mmoire longue.

10


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Plusieurs classes de processus appartiennent cette srie,(i) les processus self-similaires, introduits par Kolmogorov en1958 et dvelopps par Mandelbrot (1965) : ces

processus sont caractriss par lexistence dune constante H (dite de self-similarit) telle que, pour tout constante c,la distribution de Yctsoit gale celle de cHYt: On retrouve dans cette classe les processus de Levy.

(ii)les p rocessusFARM A, gnralisation des modles ARIM A d crits par Box et Jenkins. Ces modlesARIM Ataient obtenus en considrant que les dirences premires dXt (oXt= Xt Xt1,2Xt= (Xt)...etc)suivent un processus ARMA (p; q). On parle alors de processus ARMA intgr. Les processus FARIMA ont tobtenus en considrant, formellement, les cas o d nest pas entier, compris entre

1=2 et1=2:Cette gnralisation,

propose par Granger en1980, repose sur la manipulation des sries doprateurs retard (L), et sur le dveloppement

en srie entire de(1 L)d.(iii) laggrgation de processus AR(1)a galement t propose par Granger en 1980 et cette classe de processus

a t tudie par Gourieroux et Gonalves en1988. On considre des processus vriant, pour tout t 0,Xi;t= iXi;t1+Ci"t+ i;t pour i= 1; 2;:::

1.2.4 Les processus multivaris

Enn, dautres dveloppements ont t fait dans ltude des p rocessus multivaris. Si lon se place uniquement endimension2, on comprend que la gnralisation des processus univaris une dimension suprieur est relativementcomplique.

(i) les modles V AR - vecteurs autorgressifs - sont une gnralisation des modles AR en dimension n. Si lon

considre par exemple un couple Zt de deux variables(Xt; Yt) que lon souhaite expliquer par leur pass, on obtientun modle de la forme

XtYt

=

1 11 1

Xt1

Yt1

+

"tt

, soitZt= A1Zt1+ Ut;

o la matrice At est compose des coecients autoregressifs usuels (1et 1) mais aussi des notions relatives lanotion de causalit, Xt dpendant deYt1, et Yt dpendant deXt1.

(ii) la cointgration est une notion relative au comportement des plusieurs variables intgres, et la relation quiles unit long terme : on considre(Xt) et(Yt) non-stationnaires, et intgres dordre d, satisfaisant une relation dutype

Xt= +Yt+ "t:

Plus formellement, si le vecteur(Zt) est intgr dordre d, on dira que les sries Z1t; Z

2t; :::;Z

nt sont cointgres si et

seulement sil existe une relation linaire non-nulle des composantes qui soient intgres dordre strictement infrieur d

(iii)le modle ltre de Kalman. Ce modle est un cas particulier dune classe plus large de modles, les modlesespace dtats, de la forme

Zt+1= AtZt+"tYt=CtZt+ t ;

o(Yt) est le vecteur que lon tudie,(Zt) est un vecteur alatoire (=tat) inconnu, At et Ct sont des matricesdterministes, et("t; t) est un bruit blanc normal. Lide est destimer rcursivement Zt en fonction de Y0;:::;Yt:

Exemple 6 Considrons un entrepreneur amricain, investissant dans dirents pays. An de faire de la prvisionde ses rsultats, il est ncessaire de prvoir les taux de change des direntes devises : cette prvision doit se faire sur

le couple

rUSD=FRFt ; r

USD=DMKt

et non pas dvise par devise.

2

4

6

8

10

12

FRF

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

DMK

11


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En eet, deux analyses faites en parallle, et indpendement, peuvent aboutir des rsultats impossibles : il seraitincohrent, dans lexemple ci-dessus, de prvoir que le taux de change du Franc va augmenter, et que le taux de changedu Deutsche Mark va baisser.

1.2.5 Exemple : histoire de la prvision des mo dles conomiques (macroconomiques )

La thorie conomique inspire de Keynes reposait sur lutilisation de prvisions conditionnelles : sous certaineshypothses, les prvisions dune ou plusieurs variables taient faites conditionellement des comportements, au sein

de modles structurels. Plus particulirement, ds1936, Keynes proposait par exemple de lier la consommation Ct aurevenu disponibleRt, sous la forme Ct= Rt+ : une prvision deRt permettait de prvoirCt . Brown avait proposun modle lgrement dirent ds 1952, en intgrant le fait que les individus ont des habitudes de consommation,entrainant une inertie importante : Ct= Rt++Ct1. Ces prvisions structurelles ont toutefois cess de fairerfrence partir des annes70.

Les prvisions non-structurelles ont alors pu prendre en compte les dirents cycles observs en conomie (1977 :Business cycle modeling without pretending to have too much a priori theory de Sargent et Sims) : des prvisions desries conomiques peuvent se faire sans ncessairement avoir de modle structurel derrire. Les modles utiliss sonttoutefois relativement anciens puisquils sont inspirs des modles de Slutsky et Yule, tous deux datant de1927, basssur la n otion de modle autorgressif. La publication de louvrage de Box et Jenkins en1970 permettra une avancerapide avec lutilisation des modles ARMA.

Toutefois, le lacune de la thorie de Box et Jenkins est quelle ne prend pas en compte des eets croiss de

dpendance entre variables. Pour eectuer de la prvision dun ensemble de variables, a priori lies, il convientdeectuer une prvision globale : la thorie des modles V AR (modles autorgressifs vectoriels) a t introduiteen conomie sous limpulsion de Sims en1980, qui a travaill sur des systmes dquations o toutes les variables sontalors endognes (contrairement aux quations structurelles de Keynes). Cette t horie avait toutefois t tudie dsles annes70 par Granger par exemple, qui avait travaill sur la notion simple de causalit entre variables.

Toutefois, la prsence dun certain nombre de variables non-stationnaires a pos un certain nombre de problmes: Granger a alors introduit la notion de cointgration en1981 : cette notion dit que d eux variables X et Y peuventsuivre une tendance stochastique, mais la dirence (ou le spread) X Ypeut tre stationnaire. Cette notion sera lorigine des modles tendance commune, permettant de travailler sur des systmes dquations o certaines variablessont cointgres. En particulier, ds1978, Hall se posait la question de savoir si la consommation par habitant ntaitpas une martingale, ce qui conduirait crireCt= Ct1+ "t o "t est un ala. Nelson et Plosser ont dailleurs not,en1982 quun grand nombre de sries macroconomiques taient caractrises par la prsence dune racine unitaire(cest dire une criture de la forme Ct= Ct1+ Xt). Et cest nallement en1987 que Campbell a propos un

modleV AR sur la consommation Cet le revenu R, puis un modle V AR intgrant dans chaque quation un modle correction derreur.

Une autre piste qui a t explore la mme poque est celle des modles non-linaires. Cette voie a t ouverteds1982 par Engle, qui introduisi de la dynamique dans la volatilit, laide des modles ARCH. Ces modles ontt trs u tiliss en nance, mais aussi p our des modles dination.

Parmi des amliorations apportes dans les annes90, on peut noter les modles avec cycles, avec rupture detendance, changement de rgime...etc. La thorie des modles changement de rgime repose sur lide que derrireles variables observes existent des variables caches, non observes.

Pour rsumer lhistoire des applications conomiques des sries temporelles, on peut retenir le schma suivant- annes 20 : macroconomie descriptive : description des cycles (courts = Slutsky, longs = Kondratie)- annes 50 : dbut de la thorie des sries temporelles, avec comme o bjectif principal, la prvision- annes 60 : application en macroconomie, avec des modles structurels : une vingtaine de variables, et200

observations (maximum)- annes 70 : thorie de Box et Jenkins, sappuyant sur un logiciel (modle linaire) : on considre les variables

une une, sur200observations (dbut, la mme poque, de la thorie des panels en microconomie : 3000individussuivis sur3 ou4 priodes)

- annes 80 : en marcronomie, modles multivaris (causalit, cointgration, codpendance). Dbut de lutilisationdes modles de sries temporelles sur donnes nancires : beaucoup de variables,2000 observations. Dbut des modles temps continu.

- annes 90 : donnes hautes frquences sur les marchs nanciers (de4000 plus de2000000 dobservations).Des complments peuvent se trouver dans larticle de Chris Chateld(1997)intitul Forecasting in the1990s.

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1.2.6 Remarque sur les processus de comptage ou valeurs dans un espace dtats nis

A retenir 1 Les modles que nous allons tudier dans ce cours sont bass sont bass sur ltude de processus(Xt)oles variables observes sur supposes valeurs relles : X1; X2;:::;Xt; : : :.2 R. On observera ainsi des prix,des variations de prix, des taux, des montants...etc. Des nombres de voyageurs seront, a la rigueur, considrs commeune variable relle, mais deux cas seront exclus de notre tude, a priori :

(i) les processus de comptage (ex : nombre daccident pour un conducteur lanne t)(ii) les processus valeurs dans un espace dtat ni

Dans le premier cas, la mthode la plus usuelle pour tuder les processus de comptage est de considrer des modlesde la forme suivante : soit(Yt)le processus d ni p ar

Yt=Ut+ "t=

Yt1Xi=1

Ui;t+ "t o

(Ui;t) i.i.d. Ui;t sB (p)("t) i.i.d. "t sP() :

Les processus(Ut) et("t) sont indpendants, conditionellement Yt1; Yt2;:::;Ut1; Ut2; : : :. De plus, pour tout t,Ut suit une loi binomialeB (Yt1; p) :On a alors

Yt~P

1 p

, et d onc E (Yt) =

1 p .

De plus, la fonction dautocorrlation est donne par

(h) =cov (Yt; Yth) = ph

1 p :

Ce type de processus est appel Poisson AR(1) ou INAR (1), selon la terminologie de Al-Osh et Alzad(1987) 5 . Pourinformation, les paramtresp et dans ce genre de modle sont gnralement estims par maximum de vraisemblance.McKenzie (1988) 6 a galement montr quil est possible de faire d e la prvision laide d e ce genre de modles,puisque la loi de YT+h conditionnellement au pass observ jusqu la date T vrie

P (YT+h=x jXT=xT) =minfx;xTg

Xs=0

xTs

s (1 )xTs 1

(x s)!

1 1 p

exp

1

1 p

; o = ph;

dont la moyenne et la variance sont

E (YT+hjXT= xT) =phxT+ 1 ph

1 p et V(YT+hjXT= xT) =ph1 ph xT+ 1 ph

1 p :

Dans le cas o la loi de Poisson nest pas la plus adapt, McKenzie(1986) 7 a propos dautres modles pour avoir,marginalement, une loi gomtrique, ou une loi binomiale ngative.

Dans le second cas, le plus simple est de se ramerner la thorie des chanes de Markov.

1.2.7 Remarque sur les donnes hautes frquences

A retenir 2 Les modles que nous allons tudier dans ce cours sont bass sont bass sur ltude de processus(Xt),

observs des dates rgulires: X1; X2;:::;Xt; :::. Il peut sagir, par exemple, de la version discrre dun processusen temps continu : on observeXt1 ; Xt2 ;:::;Xtn; ::: o les dates ti sont telles que ti ti1 soit constante pour tout i.

Dans le cas des donnes hautes frquences, lanalyse est relativement dirente, puisque laspect temporel doit trepris en compte. Par exemple, p our tudier la liquidit d es marchs nanciers, on considre les triplets d e variablessuivants :(Ti; Vi; Pi), o Ti est la date de la ime transaction,Vi le volume chang lors de la transaction, et Pi le prixde cette transaction. Cette tude permet de changer lchelle des temps : on ne considre plus le temps calendaire

5 AL-OSH,M.A. & ALZAID,A. (1987). First-order interger-valued autoregressive ( IN AR (1)) process. Journal of Time Series Analysis.8 261-275.

6 McKENZIE,E.(1988). Some ARMAmodels for dependent sequences of Poisson counts. Advances in Applied Probability. 20 822-835.7 McKENZIE,E.(1986). Autoregressive m oving-average processes with negative-binomial and geometric marginal distribution. Advances

in Applied Probability. 18 679-705.

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mais le temps des tr ansactions. Et comme le montre le graphique ci-dessous, ces deux temps peuvent tre relativementdirents

Obs Time PRICE VOL

868 10:00:04 1378.50 500869 10:00:06 1379.75 1000870 10:00:07 1379.50 800871 10:00:08 1379.50 1250

872 10:00:13 1378.25 300873 10:00:15 1379.00 1500874 10:00:18 1379.75 500

875 10:00:19 1378.25 750876 10:00:22 1380.25 1250877 10:00:23 1379.50 1500878 10:00:27 1379.50 1750

879 10:00:28 1380.25 250880 10:00:29 1380.50 500811 10:00:32 1375.75 500

En eet, il y a trois fois plus de transactions sur un march tt le matin qu lheure du djeuner : le temps entredeux transactions s era alors, en moyenne, trois fois plus long 13 heures 30 qu 9 heures 45. Cette dirence quiexiste entre les heures de la journe peut se retrouver entre les jours de la semaine (il y a ainsi, en moyenne,10% de

transaction en plus le mardi, compar au vendredi ou au lundi), ou au mois (il y a, par jour ouvr, prs de deux foisplus de transactions en septembre quen fvrier).

La notion de base po ur tudier ce genre de donnes est la thorie des modles de dures. On considre(Ti), lasuite des dates de transaction, et i la date coule entre la i me et la i 1me transaction : i=Ti Ti1.

Toutefois, dans ce cours, nous ne traiterons pas de ces aspects, mais nous considrerons plutt des agrgations, oudes observations ponctuelles : Pt sera le prix observ la date t ( par exemple tous les jours, ou toutes les heures) etVt le volume total chang pendant la priode (en une journe, ou une heure). Toutefois, il est noter que mmedans ce cas, o les volumes de donnes sont trs importants, ltude peut savrer plus complexe que dans le cas olon considre des sries conomiques observes 200 dates, en particulier cause de la prsence de multiples cycles(un cycle dune journe sera observe sur des donnes horaires par exemple, puis des cycles mensuels, ou trimestriels(publication de comptes), ou encore annuels...).

1.3 Thorie des processus temps discretDeux types de processus sont utiliss dans la thorie des sries stationnaires

(i)les processus stationnaires(ii) les processus markoviens

1.3.1 Stationnarit des processus

La stationnaritjoue un rle central dans la thorie des processus, car elle remplace (de faon naturelle) lhypothsedobservation i.i.d. en statistique. Deux notions sont gnralement considres. La premire notion d e stationnaritpeut se dnir de faon forte par une stabilit en loi du processus : quel que soit n, t1;:::;tn et h , on a lgalit entreles lois jointes

L (Yt1 ;:::;Ytn) =L(Yt1+h;:::;Ytn+h)Cette dnition toutefois peut tre aaiblie : le processus est ditstationnaire au second ordre si

- la moyenne du processus est constante : E (Yt) =m pour tout t2 Z- les autocovariances ne dpendent que de la dirence entre les observations : cov (Xt; Xs) =(jt sj)Cette dernire proprit implique en particulier que la variance de Yt est constante : V(Yt) =2.

Remarque 2 Si lon considre les lois marginales (t x) du processus, la stationnarit (forte) signie une stabilitde la loi marginale : la loi deYt et la loi deYs sont identiques pourt6=s. La stationnarit du second ordre corresponduniquement une stabilit des deux premiers moments : E (Yt) =E (Ys) etV(Yt) = V(Ys) pour t6=s. Dans ce cas,rien nempche davoir des skewness et des kurtosis variables en fonction du temps. Le graphique ci-dessous gauche

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correspond une stabilit au sens fort, et droite, une stationnarit au second ordre,

En particulier pour la stationnarit au sens fort, les moments dordrek, pour toutk2 N, sont constants.

Remarque 3 Si lon considre la dpendance temporelle, la stationnarit du second ordre suppose uniquement unestabilit de la corrlation (moment dordre2) : cov (X

t; X

t+h) = cov(X

s; X

s+h). La stationnarit au sens fort est

beaucoup plus forte que cette condition sur le moment dordre2, puisquelle suppose une stabilit de toutes les loisjointes8 : en particulier, cette condition implique lgalit en loi des couples(Xt; Xt+h)e t(Xs; Xs+h). Dans lexempleci-dessous, nous avons considr deux processus dont les lois marginales reste constantes(Xt sN(0; 1) pour tout t),avec une stationnarit au sens fort gauche (en particulier la l oi(Xt; Xt+h) est gale la loi de(Xs; Xs+h)), etune stationnarit au second ordre droite (en particulier, on a uniquement galit des covariancescov (Xt; Xt+h) =cov (Xs; Xs+h))

La notion de stationnarit au second ordre, qui sera utilise dans la premire partie de ce cours, suppose u niquementune stabilit des deux premiers moments :

- la stationnarit au second ordre nempche pas une variation des moments dordres plus levs (asymtrie de laloi ou paisseur des queue fonctions du temps),

- la stabilit de la structure de dpendence entre Xt et Xt+h se rsume une stabilit du coecient de corrlation(ou de covariance).

8 Rappel : soient X1 et X2 de mme loi, Y1 et Y2 de mme loi, tels que cov (X1; Y1) = cov (X2; Y2), alors on na pas galit des lois

jointes : L(X1; Y1) 6= L (X2; Y2). En particulier, si X et Y suivent des lois normales N

X; 2

X

et N

Y;

2

Y

avec corr (X; Y) = ,

alors on na pas ncessaire X

Y

sN

X

Y

;

2

X XY

XY 2

Y

Un vecteur gaussien nest pas uniquement un vecteur dont les lois marginales sont uniformes (cf cours de probabilit).

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Remarque 4 Dans la pratique, on retrouve parfois des courbes aux allures sensiblement direntes,

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

100 200 300 400 500

X

-2

0

2

4

6

8

100 200 300 400 500

Z

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

100 200 300 400 500

Y

La srie(Xt) gauche est (ou tout du moins semble) stationnaire, la srie(Zt) au centre est ditenon stationnaireen moyenne, et la srie(Yt) droite est ditenon stationnaire en variance

9 .

Lexemple le plus simple de processus stationnaire est le bruit blanc. Toutefois, de la mme faon quil est possiblede dnir deux notions de st ationnarit, il existe deux sorte de bruit blanc. Le processus("t) est un bruit blancfaiblesil existe 2 telle que

8


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Remarque 5 Nous ne nous intresserons, dans ce cours, que dans le cas o lespace dtat estR, cest dire que nousne traiterons pas le cas des chanes de Markov (oXt prend ces valeurs dans un espace dtat ni ou dnombrable)

t discret t continu

espace dtatfi1;:::;in; :::g Cours sur les Chanes de Markovespace dtatR Cours de Sries Temporelles Cours de Calcul Stochastique

Les chanes de Markov correspondent par exemple au cas o Xt est valeurs dans un ensemble ni (

fi1;:::;in;:::

g)

o dnombrable (N) : par exemple les variables dichotomiques, o Xt vaut soit0, soit1:. Le calcul stochastiquecorrespond au mouvement brownien, et aux processus de diusion obtenus partir du mouvement brownien. Le caso le temps est continu et o les variables sont valeurs dansN (par exemple) correspond aux processus de comptage,aux processus de Poisson, la thorie des les dattente...etc.

1.4 Objectifs de ltudes des sries temporelles

1.4.1 Description et modlisation

Le b ut est ici de dterminer les direntes composantes dune srie(Xt), en particulier, obtenir la srie corrigedes variations saisonnires (mthodes de dsaisonnalisation). Pour les sries stationnaires, o n peut aussi chercher modliser la srie laide dun modle ARMA, par exemple dans le but de faire de la prvision.

1.4.2 Prvision

Sur la base dobservation X1;:::;XT le but est de faire une prvision, la date T, de la ralisation en T+ h, notebXT(h). Une premire mthode est le lissage exponentiel, bas sur une f ormule de rcurrence de la formebXT(1) =Xt+ (1 )bXT1(h), o, compris entre0et1, est gnralement choisi de faon minimiser la somme des carrsdes erreurs de prvision.

Dans le cas des modles ARMA, de nombreuses relations existent an de faire de la prvision, avec un intervallede conance. Nous verrons comment ces intervalles de conance sont modis si une modlisation ARCHest retenue,ou du type mmoire longue.

Exemple 7 Quelques exemples de prvisions,En 1977, Ken Olson, prsident du conseil dadministration, PDG et fondateur de la s ocit Digital Equ ipment

armait qu il ny a aucune raison de vouloir possder u n ordinateur l a maison .Thomas Watson, prsident dIBM, prdisait en 1943 : Je crois que le march mondial pourrait peut-tre accueillir

cinq ordinateurs. Une note de service de la Western Union qui armait, en 1876 : Le tlphone a bien trop de dfauts et de

lacunes pour que nous le considrions srieusement comme un moyen de communication. Cet appareil na pour ainsidire aucune valeur nos yeux.

En 1895, Lord William Thomson Kelvin, prsident de la Socit Royale des Sciences armait : Il est impossibledimaginer des marchines volantes plus lourdes que lair.

Le concept est intressant et bien formul, mais pour esprer avoir une note meilleure quun C, encore faudrait-il que lide soit ralisable!. dclara un professeur de management de luniversit de Yale en rponse la propositionde Fred Smith de crer un service able de livraison de nuit (Smith fonda ensuite Federal Express Corp.)

Quelques jours avant le dbut de la crise, en 1929, Irving Fisher, Professeur d conomie lUniversit de Yaledclarait Le march de la Bourse semble avoir atteint un haut plateau permanent.

Labdomen, la poitrine et le cerveau sont jamais interdits lintrusion de la connaissance et de la chirurgiehumaine. selon Sir John Eric Ericksen, chirurgien Anglais, mdecin personnel de la Reine Victoria, 1873.

1.4.3 Filtrage

Le lissage consiste transformer une srie de faon dtecter ( pour liminer ou au contraire conserver) certainescaractrisques (composante saisonnire, points abrants...). Cette mthode permet galement de dtecter des rupturesau s ein dune srie.

1.5 Conseils bibliographiques

Les principaux ouvrages servant de rfrence ce cours sont les suivants,

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DROESBEKE,J.J., FICHET,B. & TASSI,P. (1995). Sries chronologiques - thorie et pratique des modlesARIMA, Economica

GOURIEROUX,C. & MONFORT,A. (1995) Sries temporelles et modles dynamiques, Economica

Des complments dinformations sur dirents points abords peuvent tre trouvs galement dans

BOURBONNAIS,R. & TERRAZA,M. (1998). Analyse des sries temporelles en conomie, PUF BOX,G. & JENKINS,G.. (1970). Time Series analysis : forecasting and control, Holden-Day[519:5 B OX] BROCKWELL, P.J. (1987) Time series : theory and methods Springer-Verlag COUTROT, B & DROESBEKE,J.J. (1995) Les Mthodes de prvision Presses Universitaires de France (Que

sais-je ? 2157)

DACUNHA-CASTELLE,D. & DUFLO,M. (1985). Probabilits et Statistiques - Tome 2 : Problmes tempsmobile Masson

HAMILTON,J. (1994). Time series analysis, Princeton University Press[519:5 HAM] HARVEY,A.C. (1993) Time Series Models Cambridge: MIT Press[519:5 H AR ]

HYLLEBERG S. (1992), Modeling Seasonality Oxford University Press [330:115 M OD] LUTKEPOHL,H. (1991). Introduction to multiple time series analysis Springer-Verlag MELARD, G. (1990) Mthodes de prvision court terme. Ellipses NERLOVE M, GRETHER D.M, CARVALHO J.L. (1995). Analysis of Economic Time Series Academic Press. PINDYCK,R.S & RUBINFELD,L.D. (1984) Econometric models and economic forecasts McGraw-Hill [330:115 P I

Des complments et des documents au format pdf sont tlchargeables sur le site internet,

http:== www:crest:fr=pageperso=lfa=charpent=charpent:htm

avec la version pdf de ce polycopis, des liens vers des notes de cours disponibles sur internet, et un certain nombrede bases de donnes qui peuvent tre utilises en guise dexercices.

La nature semblait avoir sagement pourvu ce que les sottises des hommes fussent passagres, et les livres lesimmortalisent. (Montesquieu, Les Lettres Persanes). Malgr les nombreuses relectures, il est possible quun certainnombre de coquilles, voire derreurs p ersistent. Merci de men tenir inform....

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"Contrariwise," continued Tweedledee,"if it was so, it might be; and if it were so,

it would be; but as it isnt, it aint. Thats logic."Lewis Carroll.

2 Proprits des processus univaris en temps discret

La pratique de lanalyse des sries temporelles vise modliser une (ou plusieurs, comme nous le developperons enn de cours) srie dobservations x1;:::;xn par un processus alatoire temps discret, cest dire une suite (Xn)de variables alatoires dnies sur un espace de probabilit( ; A;P), tel que lon puisse penser que la srie observesoit une ralisation du processus. En dautres termes, x1;:::;xndoit tre obtenu comme tirage alatoire de X1;:::;Xnsuivant la probabilit P, cest dire que se ralise un vnement ! tel que xi= Xi (!) pour i= 1;:::;n. Le butest alors, tant donne une trajectoire x1;:::;xn de reconstruire la dynamique du modle sous-jacent, cest dire decomprendre la liaison entre X

iet son pass X

i1; X

i2;:::;X

1.

2.1 Rappels sur les martingales temps discret

Un processus ( temps discret) sur un espace( ; A;P) est une suite de variables alatoires(Xt (!) ; t 2 N), valeursdans un espace mesur(E; E) (dans le cas qui nous intresse, E= R). On peut considrer le processus comme lavariable alatoire X(t; !), dni sur lespace produit N muni de la tribu produit.

Dnition 1 UneltrationfFt ; t 2 Ng est la donne dune suite croissante (au sens de linclusion) de sous-tribusdeA. On poseraF1= supfFt; t 2 Ng : il sagit de la plus petit tribu qui contienne toutes lesFt :

La ltration la plus usuelle est obtenue de la faon suivante : on observe une suite(Xt) de variables alatoires,et on considreFt = (X0;:::;Xt), qui est la p lus petite tribu qui rende mesurable les variables(X0;:::;Xn ). On

appellera ltration naturelle cette ltration, et on la notera FXt .On dira que(Xt) est adapte la ltration(Ft) si pour tout t, Xt estFt-mesurable. La ltration naturelle est laplus petite ltration p ar rapport laquelle le processus soit adapt. On dira que le processus(Xt) est prvisible sipour toutt1, Xt estFXt1-mesurable.

Dnition 2 Le processusfXt ; t 2 Ng muni de la ltrationfFt; t2 Ng tel que pour tout t; Xt soit intgrable. Ondira que(Xt) est une martingale si et seulement si, pour toutt , E (Xt+1jFt) =Xt presque srement.

Remarque 6 Si pour tout t, E (Xt+1jFt) Xt presque srement, on dira que(Xt) est une sous-martingale, et sipour toutt , E (Xt+1jFt)Xt presque srement, on dira que(Xt) est une sur-martingale.

Si(Xt) est une(Ft)-martingale, alors pour tout h 0 , E (Xt+hjFt) = Xt . De plus, si la martingale est decarr intgrable, les accroissements sont orthogonaux : siXt= Xt Xt1, pour s6= t, E (XtXs) = 0: Une desconsquences est que, pour touth 0

E

[Xt+hXt]2

=

hXi=1

EX2t+i

:

2.2 Rappels sur les Chanes de Markov

Dnition 3 Le processusfXt; t 2 Ng est unechane de Markov dordre 1 si et seulement si, pour tout t,

L (XtjXt1; Xt2; Xt3; :::) =L(XtjXt1) :

Autrement dit, compte tenu de la trajectoire(XT1= xT1; XT2= xT2; : : :) dun processus(Xt), la loi de XT linstantT est entirement dtermine par le fait que la valeur en T

1 soit xT1.

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Thorme 1 Le processusfXt ; t 2 Ng est une chane de Markov dordre 1si et seulement sil existe une fonctiong (:) mesurable et un processus"t tel queXt=g (Xt1; "t)- avec("t) une suite de variables alatoires, indpendanteset de mme loi.

Lorsque lapplicationg ne dpend par de t, la chane de Markov est dite homogne.

Exemple 8 Les processusAR(1) : Xt=+ Xt1+"t; o("t) est un bruit blanc, sont markoviens.

Exemple 9 En particulier, les processus de la formeXt= Xt1+ "t correspond une marche alatoire :- si X02 Z et P ("t=1) = P ("t= +1) = 1=2, on obtient la marche alatoire symtrique sur Z (jeu du pile ouface),

- si"t suit une loi normale centre, on obtient une discrtisation du mouvement brownien.

2.3 Notions de processus stationnaire et de processus non-stationnaire

Dnition 4 Un processus(Xt) eststationnaire au second ordresi(i) pour tout t, E

X2t


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La notion de stationnarit (faible, ou au second ordre) se dnie par une invariance des moments dordre 1 et2 au cours du temps. Par opposition, on dira quune srie est non-stationnaire si elle nest pas stationnaire. Onpeut noter que la classe des processus non-stationnaire est alors relativement vaste, et surtout htrogne : il existedirentes sources de non-stationnarit, et chaque origine de non-stationnarit est associe une mthode propre destationnarisation. Nelson et Plosser ont retenu, en1982, deux classes de processus non-stationnaires : les processusT S (trend stationary) et les processus DS (dierence stationary) Les premiers correspondent une non-stationnaritde type dterministe, alors que les seconds correspondent une non-stationnarit de type stochastique.

Dnition 9 (Xt) est un processus non-stationnaire TSsil peut scrire sous la formeXt= f(t) +Zt of(t)est une fonction (dterministe) du temps, et(Zt) est un processus stationnaire.

Lexemple le plus simple est celui de la tendance linaire bruite : Xt= + t+"t. Ce processus est en eetnon-stationnaire puisque son esprance vaut + t la date t , et donc, dpend de t. Une des proprits importantesde ce type de processus est quil ny a pas persistance des chocs : linuence dun choc subit un instant auratendance sestomper au cours du temps, et la variable rejoint alors sa dynamique de long-terme, dtermine parf(t).

Dnition 10(Xt)est un processusnon-stationnaire DS- ou intgr dordred, notI(d) - si le processus obtenu

aprsd direnciation est stationnaire : Zt= dXt= (1 L)d Xt est stationnaire

Comme nous le verrons par la suite, le fait quil faille direncierd fois, cest dire multplier par(1

L)

d, polynme

de loprateur retard L, revient chercher la prsence de racines unit : si le processus (L) Xt est stationnaire,si1 est une racine du polynme, alors(Xt) sera non-stationnaire. Cest pour cela que la plupart des tests denon-stationnarit sont des tests de dtection de racine unit.

2.4 Fonction dautocovariance et densit spectrale

2.4.1 Autocovariance et autocorrlation

Dnition 11 Pour une srie stationnaire(Xt) ; on dnit lafonction dautocovariance, pour tout t, par

h 7!X(h) =cov (Xt ; Xth) =E (XtXth) E (Xt) :E (Xth) :Dnition 12 Pour une srie stationnaire(Xt) ; on dnit lafonction dautocorrlation, pour toutt , par

h 7!X(h) =corr (Xt; Xth) = cov(Xt; Xth)p

V(Xt)p

V(Xth)=

X(h)

X(0):

Cette fonctionX(:) est valeurs dans[1; +1], et X(0) = 1.Dnition 13 Un processus("t) sera appelbruit blanc (faible) sil est stationnaire, centr et non-autocorrl :

E ("t) = 0; V("t) =2 et"(h) = 0 pourh 6= 0:

On parlera de bruit blanc fort sil est indpendant et identiquement distribu ( i:i:d:) : la notion dindpendanceest plus forte que la nullit des autocorrlations, et le fait que le processus soit identiquement distribu est plus fortque la stabilit des deux p remiers m oments.

Exemple 10 ProcessusM A (1) : Xt="t+ "t1 o("t) est un bruit blanc centr de variance2,8


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(i)la suite des fonctions dautocovariance X(h)dun processus stationnaire p eut tre crit sous la forme

X(h) =

Z+

exp (i!h) dFX(!) ;

o FX(!) =X(0) est une fonction de rpartition,

(ii) tout processus stationnaire peut se mettre sous la forme Xt=R+

exp (i!t) dz (!) o z (!) est une fonctionalatoire, complexe, accroissements non corrls. Cette reprsentation est appele reprsentation de Cramr.

Dnition 14 Soit(Xt)un processus stationnaire de fonction dautocovarianceX(:), ladensit spectrale de(Xt)scrit

fX(!) = 1

2

Xh2Z

X(h) exp (i!h) :

Proprit 2 Rciproquement, sifX(:) est la densit spectrale de(Xt) alors

X(h) =

Z+

fX(!) exp(i!h) d!:

Exemple 11 Un bruit blanc("t) est caractris par

"(0) =V("t) =

2

"(h) = 0; pourh

6= 0;

Alors sa densit spectrale est donne par

f"(!) = 2

2(= constante).

Proprit 3 Si la densit spectrale dune srie(Zt) est constante, alors(Zt) est un bruit blanc.

Preuve. En eet

Z(h) =

Z+

fZ(!) exp(i!h) d!=K

Z+

exp (i!h) d!| {z }=0 sauf si h=0

Cette nullit de la fonction dautocorrlation est donc une charactristique du bruit blanc.

Proprit 4 SiXt est une moyenne mobile,

Xt=Xk2Z

ak"tk , o("t) est un bruit blancB B0; 2

;

avecP jaj j


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La procdure suivante permet dobtenir le priodogramme de cette srie

title"Wolfer0s Sunspot Data";proc spectra data= sunspot out=b p s adjmean whitetest;var wolfer;weights 1 2 3 4 3 2 1 ;run;

avec, respectivement, en haut, le priodogramme (P) en fonction de la frquence ( gauche), et de la priode ( droite),et en bas, la densit spectrale estime (S) en fonction de la frquence ( gauche), et de la priode ( droite). Surces donnes, on observe un pic correspondant une priodicit de11 ans. Le graphique ci-dessous10 correspond aupriodogramme obtenu sur direntes priodes dobservation,

2.4.3 Estimation de la fonction dautocorrlation

Considrons un ensemble dobservations X1;:::;XT.Lamoyenne empirique est donne par

XT=1

T

TXt=1

Xt:

10 tir de The analysis of economic time series, de Davis (1963)page 318.

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La fonction dautocovariance empirique est donne par

bT(h) = 1T hThXt=1

Xt XT

Xth XT

;

et la fonction dautocorrlation empirique est donne par

bT(h) =bT(h)

bT(0) :Si ces estimateurs sont biaiss ( distance nie), ils sont malgr tout asymptotiquement sans biais.

Proprit 5 Les moments empiriques convergent vers les moments thoriques : XT! m,bT(h)!(h)etbT(h)! (h) quandT! 1.

En fait, comme nous le verrons par la suite, nous avons mme normalit asymptotique des moments empiriques.

Remarque 10 Bien que ces fonctions soient dnies pour tout h tel queT < h < T, la fonction dautocovarianceempirique fournit un estimateur trs pauvre de(h)pour des valeursh proches den. A titre indicatif, Box et Jenkinsrecommandent de nutiliser ces quantits que si T >50 et h T =4. In pratice, to obtain usefull estimate of theautocorrelation function, we need at least50 obsevations, and t he estimated autocorrelationsrk could be calculated fork= 1;:::;K whereKwas not larger than, say, T =4.

An, par exemple, de faire de la selection d e modles, il est important de pouvoir dire si les autocovariancesempiriques sont signicativement non nulles. Il est alors possible dutiliser le rsultat suivant

Proprit 6 Si(Xt) est un processus linaire, au sens o il s atisfait Xt=P

j2Zj"tj o("t) est une suite de

variables i.i.d. centres, telle que E

"4t=E

"2t2


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Exemple 13 Dans le cas dun processus i.i.d. gaussien, valu aux frquences de Fourierde]0; [ forme une suite devariables indpendantes, et identiquement distribues, suivant une loi du2, centr, deux degrs de libert.

Exemple 14 Pour les processus dit mmoire longue, la densit spectrale sexprime sous la forme

f(x) =j1 exp(ix)j2d f (x) ;of est une fonction positive. Les valeurs du priodogramme sont asymptotiquement biaises, et asymptotiquement

corrles. Le fait que cette fonction ait un ple (ici en0) est dailleurs une caractrisation de la mmoire longue.

Cette densit spectrale permet dobtenir u n grand nombre de rsultat. Par exemple, il est possible destimerdirectement la variance du processus dinnovation11 , en utilisant la formule dite de Kolmogorov,

2 = 2 exp

1

2

Z 20

log fX(x) dx

:

Un estimateur de cette variance est alors

b2 =1T

TXt=1

log IT;k :

Dans le cas des processus mmoire longue, la densit spectrale est de la forme fX(x) sCx2d . Un estimateur nonparamtrique de d peut tre obtenu en rgressant localement le log-priodogramme dans un voisinage de la frquencenulle. On a ppelle alors estimateur GPH

bd= mTXk=1

L2T; k

!1 mTXk=0

LT;n : log LT;k oLT; k=2 log jxkj + 2

mT

mTXj=1

log IT;j ;

et o mT est u ne suite dentiers positifs telle que mT!0 =1et mT=T!0quandT! 1.

2.5 Lien entre processus en temps continu et en temps discret

Dnition 15 Un mouvement brownien Wt est un processus stochastique, dnit pour t 2 R+, tel queW0= 0 ettel que, quelles que soient les datest1< t2 < ::: < tk , les variations du processusWt2 Wt1 ; Wt3 Wt2 ;:::;Wtk Wtk1sont indpendantes, avec E WtiWtj = 0 et V Wti Wtj=

2 (ti

tj ). De plus, l es variations du processus

entre deux dates ti et tj (telles que ti < tj) sont normalement distribuesWti Wtj sN0; 2 (ti tj ).Dans le cas o 2 = 1, on parlera de mouvement b rownien standard. De plus, Wt est continu en t, sans tre

drivable : bien que le processus soit continu, les variations ne sont pas bornes. Pour visualiser un mouvement browienil sut d e considrer u ne marche alatoire continue : on considre u ne marche alatoire discrte (Xt= Xt1+"t o"t sN(0; 1)), pour laquelle on diminue les intervalles temporels entre deux dates conscutives,

-10

0

10

20

30

40

50

100 200 300 400 500 600 700

DX

Proprit 8 Soit X1; X2;:::;XT un chantillon i:i:d:, centr, de variance 2. Soit[:] la partie entire au sens o

[x]x


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Ce rsultat est parfois appel Thorme Centrale Limite Fonctionnel. NotonsX(r)

T la variable construite partirdes[rT] premires observations par

X(r)

T =1

T

[rT]Xt=1

Xt;

du rsultat prcdant, il en dcoule que

pT X(r)

T

L! N(0; r) ou encore pTX(r2)T X(r1)T

L! N(0; r2 r1) ;

pour r1 < r2. Ceci permet de montrer que la suite desp

T :X(:)

T = est asymptotiquement d istribue comme unmouvement brownien, au sens o p

T X(:)

T

L!W:Ce type de rsultat est alors trs utile p our obtenir des rsultats analytiques s ur les processus intgrs.

Considrons par exemple, une marche alatoire dnie parXt= Xt1+ "t o"t est un bruit blanc de variance 2,

soitXt="1+ "2+ ::: + "t pour toutt, avec la convention X0= 0:NotonsX(r)

T la variable construite partir des[rT]premires observations par

X(r)

T ==1

T

[rT]Xt=1

Xt=1

T("1+ "2+ ::: + "i) ; o

i 1T

r < iT

;

on a alorsp

T

Z 10

X(r)

T dr=T3=2

TXt=1

xt1;

et daprs le thorme central limite fonctionnel,p

T :X(:)

TL!W:. On obtient alors le rsultat suivant

T3=2TXt=1

Xt1T!1!

Z10

Wsds:

De faon analogue, on peut montrer que

T2TXt=1

(Xt1)2 T!1! 2

Z 10

(Ws)2

ds:

Ces rsultats seront utiliss en particulier pour la dtermination des proprits asymptotiques des estimateurs obtenus partir de sries intgres.

La construction de lintgrale stochastique sobtient dailleurs comme passage la limite sur des processus temps discret12 . Considrons un dcoupage en T subdivisions de lintervalle d e t emps[0; 1] : soit st = t=T pourt = 0; 1;:::;T. Considrons ici(Xst), not(Yt), un processus dni pour t = 0; 1;:::;T.

cours de series temporelles

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