analyse 4 - lesfarilesfari.com/note de cours/sma3, analyse 4 (series numeriques, suite… · 4.5...

ANALYSE 4

(Séries Numériques, Suites et Séries deFonctions)

SMA3, 2017-2019

A. LesfariDépartement de Mathématiques

Faculté des SciencesUniversité Chouaïb DoukkaliB.P. 20, El Jadida, Maroc.

E. mail : [email protected] Web : http://lesfari.com

A. Lesfari (Séries Numériques, Suites et Séries de Fonctions) 2

Table des matières

1 Séries numériques 3

1.1 Dé�nitions et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Séries à termes de signes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Associativité et commutativité . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Multiplication des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Produits in�nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Suites et séries de fonctions 25

2.1 Convergence simple, convergence absolue . . . . . . . . . . . . . 252.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Dé�nitions et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 Continuité, intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Convergence normale et critère de Weierstrass . . . . . . . . . . 302.4 Critère d'Abel-Dirichlet de convergence uniforme . . . . . . . . 312.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Séries entières 38

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Comportement sur le bord du disque de convergence . . . . . . 413.3 Convergence normale et uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Continuité, dérivation et intégration d'une série entière . . . . . 423.5 Développement d'une fonction en série entière. Calcul de la

somme d'une série entère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Résolution des équations di�érentielles à l'aide des séries entières 463.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Séries de Fourier 53

4.1 Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Séries de Fourier, Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 544.3 Théorèmes de Cesaro, Fejér, Jordan et Weierstrass . . . . . . . . 644.4 Egalité de Parseval et inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . 654.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


1 Séries numériques

1.1 Dé�nitions et propriétés générales

Soit (ak) une suite réelle ou complexe. Considérons les sommes partielles

S1 = a1

S2 = a1 + a2...

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑k=1

ak

...

On appelle série numérique de terme général ak et on note∑k∈N∗

ak ou tout

simplement∑ak, la suite (Sn) des sommes partielles.

Dé�nition 1 On dit que la série∑ak converge ou est convergente si la suite

(Sn) converge. Dans ce cas la limite S de la suite (Sn) est appelée somme dela série et on note

S =∞∑k=1

ak = limn→∞

n∑k=1

ak = limn→∞

Sn.

Si la série ne converge pas, on dit qu'elle diverge ou est divergente.

Si une série∑ak converge, on appelle reste d'ordre n de cette série et on

note Rn la di�érence

Rn =∞∑k=1

ak −n∑k=1

ak.

D'où,

Rn = limp→∞

p∑k=1

ak −n∑k=1

ak = limp→∞

p∑k=n+1

ak,

on peut donc écrire

Rn =∞∑

k=n+1

ak,

et Rn tend vers zéro quand n → +∞. Les sommes partielles d'une série sontévidemment toujours dé�nies, mais les restes ne le sont que lorsque la série estconvergente.


Remarque 2 On désignera indi�érament une série de terme général ak parles symboles

∑k∈N∗

ak, ou∑k≥1

ak, ou encore∑ak, etc. Par ailleurs de nombreux

auteurs utilisent aussi, avec un léger abus d'écriture courant, la notation∞∑k=1

ak

bien que celle-ci désigne à la fois la suite (Sn) et la limite de cette suite lorsqu'ily en a une. Cependant il convient de noter que la somme d'une série conver-gente est la limite d'une suite de nombres obtenus en formant des sommesayant un nombre croissant de termes mais n'est pas une "somme d'un nombrein�ni de termes". Dans la dé�nition ci-dessus, nous avons considéré la suite(ak) indexée par les entiers strictement positifs mais il est évident qu'on peutenvisager des séries dont les termes sont indexées à partir de 0 au lieu de 1ou même considérer une partie in�nie I de N comme ensemble d'indices, parexemple le cas où I est la suite des nombres premiers.

Exemple 3 La série géométrique

∞∑k=0

ak, a ∈ R

converge si |a| < 1 et diverge si |a| ≥ 1.

Théorème 4 (Critère de Cauchy). La série∞∑k=1

ak converge si et seulement si

∀ε > 0,∃N(ε) > 0 : n > m ≥ N(ε) =⇒

∣∣∣∣∣n∑

k=m+1

ak

∣∣∣∣∣ ≤ ε

Cauchy

Exemple 5 La série harmonique ∑ 1k,

diverge.


Corollaire 6 (Condition nécessaire de convergence). Si la série∞∑k=1

ak converge,

alors limk→∞

ak = 0.

Remarques 7 a) Si limk→∞

ak 6= 0, alors la série∞∑k=1

ak diverge.

b) La réciproque du corollaire précédent est fausse en général.

Propriété 8 Si la série∑ak converge, alors sa somme est unique.

Propriété 9 Si les séries∑ak et

∑bk convergent, alors

∑(αak+βbk) converge

et ∑(αak + βbk) = α

∑ak + β

∑bk, (α, β ∈ R ou C)

Propriété 10 Si∑ak converge et

∑bk diverge, alors

∑(ak + bk) diverge.

Propriété 11 Si les séries∑ak et

∑bk divergent, alors on ne peut rien dire

sur la nature de∑

(ak + bk).

Exemple 12 La convergence d'une suite (ak) équivaut à celle de la série ditetélescopique :

∞∑k=1

(ak − ak−1), a0 = 0.

En outre,∞∑k=1

(ak − ak−1) = limn→∞

an.

1.2 Séries à termes positifs

Théorème 13 Soit∞∑k=1

ak une série à termes positifs. Alors cette série converge

si et seulement si la suite des sommes partielles (Sn) =

(n∑k=1

ak

)est majorée.

Théorème 14 (Critère de comparaison). Soient (ak) et (bk) deux suites véri-�ant : 0 ≤ ak ≤ bk.

a) Si∑bk converge, alors

∑ak converge.

b) Si∑ak diverge, alors

∑bk diverge.


Exemple 15 La série ∑arcsin

1√k,

diverge.

Corollaire 16 (Critère d'équivalence). Soient (ak) et (bk) deux suites positiveset supposons que :

limk→∞

akbk

= L 6= 0,∞ (c.-à-d. ak ∼ Lbk pour k →∞)

alors les séries∑ak et

∑bk sont de même nature. Si L = 0 et si

∑bk

converge, alors∑ak converge. Si L =∞ et si

∑bk diverge, alors

∑ak diverge.

Exemple 17 La série∞∑k=1

1

k2 − ln k,

converge.

Corollaire 18 (Règle kαak)). Soit∑ak une série à termes positifs. Supposons

que :limk→∞

kαak = L, α ∈ R

Alors∑ak converge si L est �nie et α > 1 et diverge si L 6= 0 et α ≤ 1.

Exemple 19 La série de Bertrand∞∑k=2

1

kα(ln k)β, (α, β) ∈ R2,

- converge si α > 1, ∀β ∈ R.- diverge si α < 1, ∀β ∈ R.- converge si α = 1, β > 1.- diverge si α = 1, β ≤ 1.

Bertrand


Théorème 20 (Critère intégral de Cauchy). Soit f une fonction positive et

décroissante sur [1, u], ∀u ≥ 1. Alors la série∞∑k=1

f(k) converge si et seulement

si l'intégrale généralisée∫ ∞

1

f(x)dx converge.

Exemple 21 La série de Riemann

∞∑k=1

1

kα,

converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1. Pour α = 1, on obtient la série harmo-nique.

Riemann

Théorème 22 (Critère de la racine de Cauchy). Soit∑ak une série à termes

positifs.a) S'il existe un nombre L < 1 tel qu'à partir d'un certain rang

k√ak ≤ L ≤ 1,

alors∑ak converge et si

k√ak ≥ 1,

la série diverge.b) Si

limk→∞

k√ak = L,

alors∑ak converge si L < 1 et diverge si L > 1.

c) Silimk→∞

sup k√ak = L,



Exemple 23 La série ∑ 3kk,

diverge.

Remarques 24 a) Si L = 1, on ne peut rien conclure.b) Si limk→∞ k

√ak = 1

+, alors∑ak diverge.

Théorème 25 (Critère du quotient de d'Alembert). Soit∑ak une série à

termes positifs.a) S'il existe un nombre L < 1 tel qu'à partir d'un certain rang

ak+1ak≤ L ≤ 1,

alors∑ak converge et si

ak+1ak≥ 1,

la série diverge.b) Si

limk→∞

ak+1ak

= L,


c) Si

limk→∞

supak+1ak

< 1,

alors∑ak converge et si limk→∞ inf

ak+1ak

> 1, la série∑ak diverge.

d'Alembert


k!

kk,

converge.


Remarques 27 a) Si L = 1, on ne peut rien conclure.b) Si limk→∞

ak+1ak

= 1+, alors∑ak diverge.

c) Le critère de la racine de Cauchy est plus général que le critère duquotient de d'Alembert au sens suivant :

limk→∞

ak+1ak

= L =⇒ limk→∞

k√ak = L.

La réciproque est fausse en général.

Proposition 28 (Règle de Raabe-Duhamel). Soit (ak) une suite strictementpositive.

a) Supposons que :

∃(α, β) ∈ R∗+×]1,+∞[,ak+1ak

= 1− αk

+O

(1

kβ

).

Alors, la série∑ak diverge si α ≤ 1 et converge si α > 1.

b) Supposons que :

∃α ∈ R∗+,ak+1ak

= 1− αk

+ o

(1

k

).

Alors, la série∑ak diverge si α < 1 et converge si α > 1. Pour α = 1, on on

ne peut rien conclure.

Raabe

Duhamel


Remarque 29 Les résultats obtenus dans cette section, concernent les sériesà termes positifs. On peut aussi les utiliser pour les séries à termes négatifscompte tenu de la relation :

∑ak = −

∑(−ak) qui permet de passer d'une

série à termes négatifs à une série à termes positifs.

1.3 Séries à termes de signes quelconques

Dé�nition 30 On dit que la série∑ak converge absolument si

∑|ak| converge.

Théorème 31 Toute série absolument convergente est convergente et on a∣∣∣∣∣∞∑k=1

ak

∣∣∣∣∣ ≤∞∑k=1

|ak|.


(1

2

)keik

π2 ,

converge.

Remarques 33 a) La réciproque du théorème précédent est fausse en général.b) Il est clair que les résultats de la section 1.2, fournissent en remplaçant

ak par |ak| des critères de convergence absolue de la série∑ak où ak n'est pas

nécessairement positif.

Dé�nition 34 Une série convergente∑ak telle que

∑|ak| diverge est dite

semi-convergente.

Théorème 35 (Critère d'Abel-Dirichlet). La série∞∑k=1

akbk converge si les

conditions suivantes sont satifaites :(i) lim

k→∞bk = 0.

(ii)∞∑k=1

|bk+1 − bk| converge.

(iii) ∃C :

∣∣∣∣∣n∑k=1

ak

∣∣∣∣∣ ≤ C, ∀n ∈ N∗.


Abel

Dirichlet

Corollaire 36 Le critère d'Abel-Dirichlet reste vrai si au lieu de (i) et (ii),on suppose que (bk) décroît vers 0 pour k →∞. Autrement dit, il reste vrai siau lieu de (ii), on suppose que b1 ≥ b2 ≥ ...

Exemple 37 Les séries réelles

∞∑k=0

bk cos kα,∞∑k=0

bk sin kα,

et la série complexe∞∑k=0

bk(cos kα + i sin kα),

convergent si on suppose que (bk) décroît vers 0 pour k → ∞ et que α 6= 2lπ,l ∈ Z. La série

∑bk sin kα converge évidemment pour α = 2lπ, l ∈ Z.


Dé�nition 38 On dit qu'une série est alternée si ses termes sont alternative-ment positifs et négatifs (à partir d'un certain rang). Autrement dit, c'est unesérie dont le terme général est de la forme (−1)kbk ou (−1)k+1bk avec bk ≥ 0à partir d'un certain rang.

Théorème 39 (Critère de Leibniz). Soit (bk) une suite décroissante telle que :

limk→∞

bk = 0. Alors, la série alternée∞∑k=1

(−1)kbk converge.

Leibniz

Exemple 40 La série harmonique alternée

∞∑k=1

(−1)k

k,

converge.

Développement asymtotique : Considérons la série numérique

∞∑k=2

(−1)k

k + (−1)k.

On ne peut pas utiliser le critère de Leibniz car 1k+(−1)k ne décroît pas. Soit

ak =(−1)k

k + (−1)k=

(−1)kk

1 + (−1)k

k

,

et posons x = (−1)k

k, f(x) = x

1+x. Ecrivons le développement limité de cette

fonction à l'ordre 2, au voisinage de 0 :

f(x) = x− x2(1 + ε(x)), limx→0

ε(x) = 0.


D'où,

ak =(−1)k

k− 1k2

(1 + ε

((−1)k

k

))= bk + ck.

On montre aisément que∑bk converge,

∑ck converge absolument et par

conséquent∑ak converge. On peut évidemment utiliser la notation de Lan-

dau :

ak =(−1)k

k− 1k2

+ 0

(1

k2

).

1.4 Opérations sur les séries

1.4.1 Associativité et commutativité

Soient∞∑k=1

ak une série numérique et ϕ : N∗ −→ N∗ une application stricte-

ment croissante. Posons

b1 = a1 + a2 + · · ·+ aϕ(1),b2 = aϕ(1)+1 + aϕ(1)+2 + · · ·+ aϕ(2),

...

bk+1 = aϕ(k)+1 + aϕ(k)+2 + · · ·+ aϕ(k+1), k ∈ N∗

Dé�nition 41 On dit que la série∞∑k=1

bk est déduite de∞∑k=1

ak par groupement

de termes (ou par sommation par paquets ou encore par insertion de paren-

thèses). Tandis que la série∞∑k=1

ak est dite déduite de∞∑k=1

bk par suppression de

parenthèses.

Théorème 42 a) Si la série∑ak converge, alors

∑bk converge vers la même

somme.b) Si

∑bk converge et si ak ≥ 0, alors

∑ak converge vers la même somme.

c) Si limk→∞

ak = 0 et s'il existe une constante C telle que :

ϕ(k + 1)− ϕ(k) ≤ C, ∀k ∈ N∗,

alors les séries∑ak et

∑bk sont de même nature.

Exemple 43 On reprend la série∞∑k=2

(−1)k

k + (−1)k,

et on montre qu'elle converge (utiliser le théorème précédent, point c)).


Dé�nition 44 Une série∞∑k=1

ak est dite commutativement convergente si pour

toute bijectionσ : N∗ −→ N∗, k 7−→ σ(k),

la série∞∑k=1

aσ(k) est convergente. Cette dernière série est dite un réarrangement

de la série∞∑k=1

ak.

Théorème 45 La série∑ak est commutativement convergente si et seule-

ment elle est absolument convergente.

On dit qu'une famille de nombres complexes (ak)k∈N∗ est sommable si etseulement si la série

∑ak converge absolument. Dans ce cas, la somme de la

série∑ak est la somme de la famille (ak)k∈N∗ .

Dans le cas d'une suite double

(akl), k ∈ N∗, l ∈ N∗

sommable, on a

∑k,l∈N∗

ak,l =∑k∈N∗

(∑l∈N∗

ak,l

)=∑l∈N∗

(∑k∈N∗

ak,l

), (série double)

1.4.2 Multiplication des séries

Dé�nition 46 Soient∞∑k=1

ak et∞∑k=1

bk deux séries numériques. La série∞∑k=1

ck

où

ck =k∑i=1

aibk−i+1,

est dite produit (au sens de Cauchy) des séries∞∑k=1

ak et∞∑k=1

bk.

Théorème 47 (Cauchy-Mertens). Si la série∑ak converge et a pour somme

A et si la série∑bk converge et a pour somme B, alors la série

∑ck converge

et a pour somme AB.


Mertens

Remarque 48 La série produit de deux séries convergentes peut-être diver-gente.

Proposition 49 Si les séries∑ak et

∑bk convergent absolument, alors la

série∑ck converge absolument et on a

∑ck = (

∑ak) (

∑bk).

Théorème 50 (Abel). Si la série∑ak converge et a pour somme A, si la

série∑bk converge et a pour somme B, si la série

∑ck converge et a pour

somme C, alors C = AB.

1.5 Produits in�nis

Soit (ak) une suite réelle ou complexe. On suppose que ces nombres sontnon nuls. Considérons les produits partiels

P1 = a1

P2 = a1a2...

Pn = a1a2 . . . an =n∏k=1

ak

L'expression∞∏k=1

ak = a1a2 . . . an . . .

s'appelle produit in�ni de facteur général ak.Si

limn→∞

Pn = P,

est �nie et non nulle, on dira que le produit in�ni∞∏k=1

ak converge et P est sa

valeur. Sinon, on dira qu'il diverge.


Exemple 51 Les produits in�nis

∞∏k=1

(1 +

1

k

),

∞∏k=1

(1− 1

k

),

divergent.

Théorème 52 (Condition nécessaire de convergence). Si le produit in�ni∞∏k=1

ak

converge, alors limk→∞

ak = 1.

Remarque 53 La réciproque du théorème précédent est fausse en général.

Il existe des critères de convergence analogues à ceux des séries numériques.On a aussi le résultat suivant qui lie l'étude des produits in�nis à celle des sériesnumériques.

Théorème 54 L'étude du produit in�ni∞∏k=1

ak, ak > 0, se ramène à celle de

la série numérique∞∑k=1

ln ak. De plus, on a P = eS, où P est la valeur de∞∏k=1

ak

et S est la somme de∞∑k=1

ln ak.

1.6 Exercices

Exercice 1.1 Etudier la convergence des séries suivantes :

a)∞∑k=1

kk

k!,

b)∞∑k=1

(−1)k−1

(2k − 1)ksin

1√2k − 1

,

c)∞∑k=1

(k

k + 1

)k,

d)∞∑k=2

1

(ln k)ln k.

Réponse :a) Diverge.b) Converge absolument.c) Diverge.d) Converge.


Exercice 1.2 Soit l2(R) l'espace vectoriel des suites (ak) telles que la série∞∑k=1

a2k converge. Soient (ak) et (bk) deux suites dans l2(R). Déterminer la na-

ture de la série∞∑k=1

akbk.

Réponse :∑akbk converge absolument.

Exercice 1.3 On pose

Ik =

∫ k1

dx

x√x+ 1

,

et on considère la série∞∑k=2

ak de terme général

ak =(−1)k

kαIk, α ∈ R.

a) Montrer que la suite (Ik) converge.

b) Etudier suivant la valeur de α, la nature de la série∞∑k=2

ak (convergence

absolue, semi-convergence, divergence).

Réponse :a) On peut utiliser un raisonnement théorique ou un calcul direct.b)∑ak converge absolument si α > 1, semi-convergente si 0 < α ≤ 1 et

diverge si α ≤ 0.

Exercice 1.4 (Extrait du concours CCP). Montrer la convergence et calculerla somme de la série

∞∑k=0

2k + 7

k3 + 7k2 + 14k + 8.

Réponse : 6536.

Exercice 1.5 Soient∑ak et

∑bk deux séries à termes strictement positifs

telles qu'à partir d'un certain rang

ak+1ak≤ bk+1

bk.

Montrer que si∑bk converge, alors

∑ak converge.


Exercice 1.6 (Critère de Kummer). Soient∑ak une série à termes stricte-

ment positifs. Posonsck =

akak+1

.bk − bk+1,

où les bk sont des nombres positifs.a) Montrer que s'il existe un nombre L tel que pour presque toutes les

valeurs de k,ck > L > 0,

alors la série∑ak converge.

b) Montrer que si ck ≤ 0, pour tout k ≥ N > 0, alors∑ak diverge en

même temps que∑ 1

bk.

Kummer

Exercice 1.7 Soit (ak) une suite à termes positifs. Montrer que les séries∑ak et

∑ln(1 + ak) convergent ou divergent en même temps.

Exercice 1.8 Déterminer la nature des séries suivantes :

a)∞∑k=2

(1− cos π

k

)(ln k)20,

b)∞∑k=1

∫ ∞1

e−xkαdx, α > 0.

Réponse :a) Converge absolument.b) Converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1.

Exercice 1.9 Montrer que la série∞∑k=1

ak où a1 ≥ a2 ≥ · · · ak ≥ · · · , converge

si et seulement si la série∞∑k=0

2ka2k converge.


Exercice 1.10 Etudier la nature des séries suivantes :

a)∞∑k=0

αk∏kj=0(1 + α)

j, α ≥ 0,

b)∞∑k=1

2k

k2(sinα)2k, α ∈

[0,π

2

].

Réponse :a) Converge.b) Converge si 0 ≤ α ≤ π

4et diverge si π

4< α ≤ π

2.

Exercice 1.11 a) Soit∑ak une série à termes positifs, convergente et telle

que la suite (ak) soit décroissante. Montrer que :

limk→∞

kak = 0.

b) La réciproque est-elle exacte ? Justi�er la réponse.c) Application : soit (ak) une suite à termes strictement positifs véri�ant

pour tout k ∈ N, l'inégalité :

ak ≤ (1 + ak)ak−1.

Montrer que les séries∑ak et

∑bk où bk =

ak1 + kak

, sont de même nature.

Réponse :b) La réciproque est fausse en général, choisir par exemple ak =

1k ln k

.

Exercice 1.12 Soit∑ak une série réelle absolument convergente. On pose

a+k = max(ak, 0), a−k = max(−ak, 0).

Déterminer la nature des séries∑a+k et

∑a−k . Même question si la série

∑ak

est semi-convergente.

Réponse : Si∑ak convverge absolument, alors les séries

∑a+k et

∑a−k convergent.

Si∑ak est semi-convergente, alors les séries

∑a+k et

∑a−k divergent.

Exercice 1.13 Calculer les réels α et β a�n que la série de terme général akdé�ni ci-dessous soit convergente,

ak =3√k3 + k2 + k + 1−

√k2 + 1 + α +

β

k.

Réponse : α = −13, β = 5

18.


Exercice 1.14 (Extrait du concours CCP). a) Montrer que la suite

1 +1

2+ · · ·+ 1

n− lnn,

est décroissante et converge vers un réel strictement positif γ (constante d'Eu-ler).

b) Montrer la convergence de la série∑k≥2

(1

k+ ln(1− 1

k)

).

c) Etablir la relation

γ = 1 +∞∑k=2

(1

k+ ln(1− 1

k)

).

d) En déduire la convergence de la série∑p≥2

ζ(p)− 1p

où ζ(p) désigne la

somme de la série∑k≥1

1

kpainsi que l'identité

γ = 1−∞∑p=2

ζ(p)− 1p

.

Euler

Exercice 1.15 Déterminer la nature de série :∑ 11 +√

2 + 3√

3 + · · ·+ k√k.

Réponse : Diverge.


Exercice 1.16 Soient (ak), (bk) deux suites de nombres complexes. On pose

s0 = 0, sk = a1 + · · ·+ ak, k ≥ 1,

et on suppose que :

(i) la suite

(sk√k

)est bornée.

(ii) la série∑|bk − bk+1|

√k est convergente.

(iii) limk→+∞

bk√k = 0.

1) Montrer que la série∑akbk est convergente.

2) En déduire que la série∑ (−1)E(√k)

kest convergente. Ici E(x) désigne la

partie entière du nombre réel x.

3) Montrer que les séries∑ (−1)E(√k)

kαsont convergentes pour α > 1

2et

divergentes pour α ≤ 12.


a)∞∑k=1

∫ (k+1)πkπ

e−αxsinx√xdx, α ≥ 0,

b)∞∑k=2

ln

(1 +

(−1)k√k

).

Réponse :a) Converge.b) Diverge.

Exercice 1.18 1) Soit (bk) une suite décroissante de nombres positifs conver-

geant vers zéro. Montrer que la série alternée∞∑k=1

(−1)kbk, converge et soit S

sa somme.2) Montrer que : S2n+1 ≤ S ≤ S2n, où Sp est la somme partielle d'ordre p.3) Donner une majoration du reste de cette série.

Exercice 1.19 Montrer que le critère de la racine de Cauchy est plus géné-ral que celui du quotient de d'Alembert au sens suivant : soit (ak) une suiteà termes strictement positifs. Montrer que si limk→∞

ak+1ak

= L existe, alorslimk→∞ k

√ak = L. Trouver un exemple montrant que la réciproque est fausse

en général.



a)∑ 2× 4× · · · × (2k)

3× 5× · · · × (2k + 1),

b)∑ (2k)!

(k!)222k.

Réponse : a) Diverge. b) Diverge.

Exercice 1.21 Soit∞∑k=1

ak une série et Sk la suite de ses sommes partielles.

Posons

σ1 = S1, σ2 =S1 + S2

2, ..., σk =

S1 + S2 + · · ·+ Skk

.

On dit que la série∞∑k=1

ak converge au sens de Cesaro et a pour somme σ si et

seulement si la suite (σk) converge vers σ.

a) Montrer que si la série∞∑k=1

ak converge (au sens usuel) et a pour somme

S, alors elle converge au sens de Cesaro vers la même somme.b) La réciproque est-elle exacte ? Justi�er la réponse.

Cesaro

Exercice 1.22 Déterminer :

limα→1+

(α− 1)∞∑k=1

1

kα.

Réponse : 1.


Exercice 1.23 Soient les deux séries de termes généraux respectifs,

ak =(−1)k√

k, bk =

(−1)k√k + (−1)k

.

a) Montrer que : ak ∼+∞

bk.

b) Montrer que∑ak converge et que

∑bk diverge.

c) Qu'en conclure ?

Réponse :c)∑ak et

∑bk ne sont pas de même nature bien que ak ∼

+∞bk car ak et bk

ne sont pas de signe constant à partir d'un certain rang. La décroissance n'estpas conservée par équivalence.

Exercice 1.24 Déterminer la nature de la série∑ak, à termes positifs don-

née par a0 > 0 et

ak =1

keak−1.

Réponse : Diverge.

Exercice 1.25 Soit (ak) une suite telle que : a0 = 0, limk→∞

ak = l ∈ ]0,∞[.

Commek∑i=1

(ai − ai−1) = ak alors

0 6= l = limk→∞

ak =∞∑i=1

(ai − ai−1) = (a1 − a0) + (a2 − a1) + (a3 − a2) + · · ·

= a1 + a2 − a1 + a3 − a2 + · · ·= a1 − a1 + a2 − a2 + · · ·= (a1 − a1) + (a2 − a2) + · · ·

=∞∑i=1

(ai − ai)

= 0

ce qui est absurde. Expliquer pourquoi ce raisonnement est contradictoire.

Exercice 1.26 Les familles

(1

k2

)k∈N∗

et

((−1)k

k

)k∈N∗

sont-elles sommables ?

Que dire des séries associées ?

Réponse :(

1k2

)k∈N∗ est sommable,

((−1)kk

)k∈N∗

n'est pas sommable.


Exercice 1.27 (Extrait du concours communs TSI). 1) Soit (ak) une suite deréels non nuls telle que le produit in�ni

∏k∈N

ak converge. Montrer que la suite

(ak) tend vers 1 et étudier la réciproque.2) Soit (ak) une suite de réels strictement positifs. Montrer que le le produit

in�ni∏k∈N

ak converge si et seulement si la série∑k∈N

ln ak converge et que, dans

ce cas de convergence, on a :∞∏k=0

ak = exp

(∞∑k=0

ln ak

).

3) La première propriété motive l'écriture ak = 1 + uk avec (uk) à valeursdans R\{−1}, notation qui sera souvent adoptée dans la suite. Soit (uk) unesuite de réels positifs.

(a) Montrer que la suite Pn =n∏k=0

(1 + uk) véri�e :

∀n ∈ N, u0 + · · ·+ un ≤ Pn ≤ exp(u0 + · · ·+ un).

(b) En déduire que la série∑k∈N

uk converge si et seulement si le produit

in�ni∏k∈N

(1 + uk) converge.

(c) Reprendre (b) en utilisant le résultat de la question 2).4) Etudier les produits in�nis ci-après, en précisant la valeur de leur produit

en cas de convergence :

(a)∏k∈N

(1 +

1

(2k + 1)(n+ 2)

), (b)

∏k∈N

(1 + x2

k), x ∈ R.

(Indication : pour calculer les produits, en cas de convergence, on pourra :dans (a), écrire Pn comme produit de deux produits "télescopiques" ; dans (b),multiplier Pn par (1− x) et utiliser une identité remarquable).

5) On dé�nit la suite (λk) par λ1 = x > 1 et ∀k ≥ 1, λk+1 = 2λ2k − 1.Démontrer avec soin la relation

∞∏k=1

(1 +

1

λk

)=

√x+ 1

x− 1.

(Indication : on pourra poser x = cosh θ et utiliser des formules de trigonomé-trie hyperbolique).

Réponse : 1) La réciproque est fausse en général comme le montre l'exemple

ak = e1k+1 . 4) (a) Le produit in�ni en question converge et vaut 2. (b) Pour

|x| ≥ 1, le produit in�ni en question diverge. Pour |x| < 1, le produit in�ni enquestion converge et vaut 1

1−x .


2 Suites et séries de fonctions

2.1 Convergence simple, convergence absolue

Soient Ω un ensemble non vide et (fk) une suite de fonctions de Ω dans R(ou C).

Dé�nition 55 On dit que la suite (fk) converge simplement dans Ω vers unefonction

f : Ω −→ R(ou C)si

∀x ∈ Ω, limk→∞

fk(x) = f(x).

Autrement dit, si

∀x ∈ Ω,∀ε > 0,∃N(ε, x) : k ≥ N(ε, x) =⇒ |fk(x)− f(x)| ≤ ε.

(N(ε, x) dépend en général de ε et x).

Exemple 56 La suite de fonctions (fk) dé�nie par

fk(x) = xk, x ∈ [0, 1]

converge simplement vers

f(x) =

{0 si 0 ≤ x < 11 si x = 1

Dé�nition 57 On dit que la série de fonctions∞∑k=1

fk converge simplement

dans Ω vers une fonction

S : Ω −→ R(ou C)

si la suite des sommes partielles (Sn) =

(n∑k=1

fk

)converge simplement vers

S. On dit que S est la somme de la série∞∑k=1

fk.

Par analogie avec les séries numériques, le reste de la série∞∑k=1

fk s'écrit

Rn(x) =∞∑

k=n+1

fk = S(x)− Sn(x).


Dire que la série∞∑k=1

fk converge simplement vers S équivaut à dire que la suite

(Rn) converge simplement vers 0.

Exemple 58 La série de fonctions

∞∑k=0

sinx

2k, x ∈ [0, 1]

converge simplement vers S(x) = 2 sinx.

Dé�nition 59 La série∑fk converge absolument dans Ω si

∑|fk| converge

simplement dans Ω

Proposition 60 Si la série∑fk converge absolument, alors elle converge

simplement.

2.2 Convergence uniforme

2.2.1 Dé�nitions et propriétés générales

Dé�nition 61 On dit que la suite (fk) converge uniformément dans Ω versune fonction

f : Ω −→ R(ou C)

si∀ε > 0,∃N(ε) : ∀k ≥ N(ε), ∀x ∈ Ω =⇒ |fk(x)− f(x)| ≤ ε.

(N(ε) ne dépend que de ε), c'est-à-dire, si

limk→∞

(supx∈Ω|fk(x)− f(x)|

)= 0.

Autrement dit, s'il existe une suite numérique ak,

limk→∞

ak = 0 : |fk(x)− f(x)| ≤ ak,

pour tout x ∈ Ω.


fk(x) =sin kx√

k, k ∈ N∗, x ∈ R

converge simplement vers f(x) = 0.


Remarque 63 Pour montrer qu'une suite de fonctions (fk) ne converge pasuniformément vers f , il su�t de trouver une suite numérique bk telle que :

limk→∞

(fk(bk)− f(bk)) 6= 0.


fk(x) =1

1 + kx2, k ∈ N

converge simplement sur R vers

f(x) =

{0 si x 6= 01 si x = 0

On montre que la convergence n'est pas uniforme sur R, de (fk) vers f .Théorème 65 La convergence uniforme entraine la convergence simple. Laréciproque est fausse en général.


fk converge uniformément

dans Ω vers une fonction

S : Ω −→ R(ou C)

si la suite des sommes partielles (Sn) =

(n∑k=1

fk

)converge uniformément dans

Ω vers S. Il revient au même de dire que la suite

(Rn) =

(∞∑

k=n+1

fk

),

converge uniformément vers 0.

Théorème 67 (Critère de Cauchy pour la convergence uniforme). a) La suitede fonctions (fk) converge uniformément dans Ω si et seulement si

∀ε > 0,∃N(ε) > 0 : ∀n ≥ N(ε),∀m ≥ N(ε),∀x ∈ Ω =⇒ |fn(x)− fm(x)| ≤ ε

b) La série∞∑k=1

fk converge uniformément dans Ω si et seulement si

∀ε > 0,∃N(ε) > 0 : ∀n > m ≥ N(ε),∀x ∈ Ω =⇒

∣∣∣∣∣n∑

k=m+1

fk

∣∣∣∣∣ ≤ εThéorème 68 Si la série

∞∑k=1

fk converge uniformément dans Ω, alors

limk→∞

fk(x) = 0,

uniformément dans Ω. La réciproque est fausse en général.


2.2.2 Continuité, intégration et dérivation

Théorème 69 (continuité). Soient fk : Ω −→ R, des fonctions continues.a) Si la suite (fk) converge uniformément dans Ω vers f , alors f est conti-

nue sur Ω.

b) Si la série∞∑k=1

fk converge uniformément dans Ω vers S, alors S est

continue sur Ω.

Remarque 70 Soient fk : Ω −→ R, des fonctions continues.a) Si la suite (fk) converge simplement dans Ω vers f et si f est discontinue,

alors la convergence n'est pas uniforme.

b) Si la série∞∑k=1

fk converge simplement dans Ω vers S et si S est discon-

tinue, alors la convergence n'est pas uniforme.


fk(x) =k(x2 + 1)x

(kx+ 1)ex, x ∈ [0, 1]

converge simplement vers

f(x) =

{x2+1ex

si x ∈]0, 1]0 si x = 0

On montre que la convergence n'est pas uniforme sur [0, 1], par contre, il y'aconvergence uniforme sur [a, 1], a > 0.

Remarque 72 Soit a ∈ Ω un point d'accumulation (c-à-d. tout voisinage dea contient au moins un point de Ω autre que a). Le théorème précédent signi�eque

limx→a

(limk→∞

fk(x))

= limk→∞

(limx→a

fk(x)),

limx→a

∞∑k=1

fk =∞∑k=1

limx→a

fk(x).

Théorème 73 (Dini). Soit (fk) une suite de fonctions réelles continues conver-geant vers une fonction continue f sur [a, b]. Si la suite (fk) est monotone, alorselle converge uniformément vers la fonction f .


Dini

Théorème 74 (dérivation). Soit (fk) une suite de fonctions de classe C1 de[a, b] dans R.

a) Si la suite (fk) converge simplement en x0 ∈ [a, b] et si la suite desdérivées (f ′k) converge uniformément sur [a, b], alors la suite (fk) convergeuniformément vers f sur [a, b], f est de classe C1 et on a(

limk→∞

fk(x))′

= limk→∞

f ′k(x).

b) Si la série∑fk converge simplement en x0 ∈ [a, b] et si la série des

dérivées∑f ′k converge uniformément sur [a, b], alors la série

∑fk converge

uniformément vers S sur [a, b], S est de classe C1 et on a(∞∑k=1

fk(x)

)′=∞∑k=1

f ′k(x).

Théorème 75 (intégration). Soit (fk) une suite de fonctions intégrables de[a, b] dans R.

a) Si la suite (fk) converge uniformément vers f dans [a, b], alors f estintégrable sur [a, b] et on a

limk→∞

∫ ua

fk(x)dx =

∫ ua

limk→∞

fk(x)dx =

∫ ua

f(x)dx, u ∈ [a, b]

(la convergence de la suite ainsi obtenue est uniforme sur [a, b]).b) Si la série

∑fk converge uniformément vers S dans [a, b], alors S est

intégrable sur [a, b] et on a

∞∑k=1

∫ ua

fk(x)dx =

∫ ua

(∞∑k=1

fk(x)

)dx =

∫ ua

S(x)dx, u ∈ [a, b]

(la convergence de la série ainsi obtenue est uniforme sur [a, b]).


2.3 Convergence normale et critère de Weierstrass

Théorème 76 (Critère de Weierstrass). Si

|fk(x)| ≤ ak ∈ R, ∀x ∈ Ω,

et si la série numérique∞∑k=1

ak converge, alors la série de fonctions∞∑k=1

fk

converge absolument et uniformément sur Ω.

Weierstrass


fk converge normalement

dans Ω si on peut lui appliquer le critère de Weierstrass. Autrement dit, si∞∑k=1

‖fk‖ converge où ‖fk‖ = supx∈Ω|fk(x)| < +∞, ∀k ∈ N∗.

Remarque 78 Pour une série de fonctions, on les implications suivantes :

CN↙ ↓ ↘

CU ↓ CA↘ CS ↙

En l'absence d'hypothèses supplèmentaires, toutes les réciproques sont faussesen général.

Exemple 79 La série de fonctions∞∑k=1

sin 2kx

(2k2 − 1)(3k2 − 2),

converge normalement sur R.


Exemple 80 La fonction f dé�nie par

f(x) =∞∑k=0

(2

3

)kcos(3kx), x ∈ R

est continue sur R mais elle n'est dérivable en aucun point de R.

2.4 Critère d'Abel-Dirichlet de convergence uniforme

Théorème 81 (Critère d'Abel-Dirichlet). Soient (fk) et (gk) deux suites defonctions véri�ant les conditions suivantes :

(i) la suite (gk) est positive, décroissante et converge uniformément vers 0.(ii) il existe une constante C telle que :∣∣∣∣∣

n∑k=1

fk(x)

∣∣∣∣∣ ≤ C, ∀x ∈ [a, b]Alors la série de fonction

∞∑k=1

fk(x)gk(x) converge uniformément sur [a, b].

Corollaire 82 Si (gk) est une suite positive, décroissante et converge unifor-

mément vers 0 alors la série alternée∞∑k=1

(−1)k+1gk(x) converge uniformément

sur Ω.


(−1)k

2√k + cosx

,

converge uniformément sur R.

2.5 Exercices

Exercice 2.1 On considère la suite d'applications

fk :

R −→ R

x 7−→

1

k ln(1− 1

kx

) si x < 0 ou x > 1k

0 si 0 ≤ x ≤ 1k

a) Véri�er que fk est continue sur R.b) Montrer que la suite (fk)k∈N∗ converge simplement sur R vers une fonc-

tion f que l'on déterminera.


c) Construire le graphe de la fonction fk. Points remarquables. Branchesin�nies. Montrer que sup

x∈R|fk − f | existe et le calculer. Ce maximum est-il at-

teint ?. Que peut-on dire de la convergence uniforme de la suite (fk)k∈N∗.

Réponse :b) f(x) = −x, ∀x ∈ R.

Exercice 2.2 Soit la suite de fonctions (fk) dé�nie sur [0, 1] par

fk(x) =k(x2 + 1)x

(kx+ 1)ex.

a) Montrer que la suite (fk) converge simplement vers une fonction f quel'on déterminera.

b) La suite (fk) converge-t-elle uniformément sur [0, 1] ?c) Même question sur [a, 1], a > 0 ?

Réponsea) (fk) converge simplement vers

f(x) =

{x2+1ex

si x ∈]0, 1]0 si x = 0

b) Non.c) Oui.

Exercice 2.3 On pose pour tout k ∈ N,

fk(x) =

{x2k lnx si x > 0

0 si x = 0

a) Montrer que la série de fonctions∞∑k=0

fk(x), converge simplement sur

[0, 1] vers une fonction S(x) que l'on précisera.b) La convergence de cette série est-elle uniforme sur [0, 1]?c) Montrer que la convergence de cette série est normale sur [0, α] pour

tout α ∈]0, 1[.

Exercice 2.4 Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonc-tions dé�nie sur [−1, 1] par

fk(x) = sin(kxe−kx2).

Réponse : (fk) converge simplement vers 0 mais ne converge pas uniformémentsur [0, 1].


Exercice 2.5 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). a) Soit (fk) unesuite de fonctions satisfaisant à

|fk(x)− fk−1| ≤ ak ∈ R, k ≥ 2.

On suppose que la série numérique∞∑k=2

ak converge. Montrer que la suite de

fonctions (fk) converge uniformément.b) Montrer que la limite uniforme de fonctions bornées est uniforme. Que

peut-on dire si la limite est simple ? (justi�er la réponse).

Exercice 2.6 On considère la série de fonctions∑k∈N

x2

(1 + x2)k, x ∈ R.

a) Montrer que cette série est convergente pour tout réel. Montrer que lasomme de la série n'est pas continue à l'origine.

b) Montrer que la série ne converge pas uniformément sur R, mais qu'il ya convergence uniforme sur tout intervalle [a,+∞[ ou ]−∞,−a] avec a > 0.

Exercice 2.7 (Extrait de l'oral, concours X, école polytechnique). Détermi-ner la nature et calculer la somme de la série∑ 1

cosh kx. cosh(k + 1)x.

Réponse : La série en question converge simplement pour x ∈ R∗ vers

f(x) =

{1

sinhxsi x > 0

− 1sinhx

si x < 0

Exercice 2.8 Soit la série réelle∑k≥0

e−kx

1 + k2.

a) Quel est le domaine de convergence D de cette série ?b) Montrer que la somme de cette série est continue sur D. Cette somme

sera notée f .c) Trouver le domaine de convergence de la série dérivée dont la somme

sera notée g. Déterminer la plus grande partie de R sur laquelle f ′(x) = g(x).

Réponse :a) D = [0,+∞[.c) f ′(x) = g(x) sur ]0,+∞[.


Exercice 2.9 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère lasérie de fonctions

∑k∈N∗

fk(x) où

fk(x) =x

kα(1 + x2kβ), x ∈ R, α, β ∈ R∗+.

1) Donner une condition nécessaire et su�sante sur les paramètres α et βpour que cette série converge simplement sur R.

2) On désigne par S(x) la somme de cette série. Montrer que si α+ β2> 1,

alors S est continue sur R.3) On suppose que la série converge simplement et que α + β

2≤ 1.

a) Montrer que S est continue sur R∗.b) On pose

gk(x) =x

kα + x2k2−α.

Véri�er que |fk(x)| ≥ |gk(x)| sur R. Montrer que

2k∑p=k+1

gp(kα−1) ≥ 1

2α + 22−α,

et en déduire que S n'est pas continue en 0.

Réponse :1) α + β > 1.

Exercice 2.10 (Extrait du concours X, école polytechnique). Soit la suite defonctions (fk)k∈N da�nie par :

∀k ∈ N, ∀x ∈ R, fk(x) =2kx

1 + k2kx2.

1) Etudier la convergence simple de la suite (fk).

2) Calculer∫ 1

0

fk et limk→∞

∫ 10

fk. La convergence est-elle uniforme ?

Réponse :1) (fk) converge simplement vers 0 (sur R).2) On obtient,∫ 1

0

fk =ln(1 + k2k)

2k, lim

k→∞

∫ 10

fk =ln 2

2.

La convergence n'est pas uniforme sur [0, 1].


Exercice 2.11 Soit D le domaine dé�ni par | arg z| ≤ π4.

a) Montrer que la série complexe

∞∑k=0

z

(1 + z2)k,

converge absolument mais non uniformément sur D.b) Montrer que si on multiplie le terme général de cette série par (−1)k, il

y a alors convergence uniforme sur D.

Exercice 2.12 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère lafonction dé�nie par :

f(x) =∞∑k=1

1

k2 + k4x2.

a) Montrer que f est continue sur R.b) Montrer que f est de classe C1 sur R∗.c) Etudier la dérivabilité en x = 0.d) Représenter graphiquement f .

Exercice 2.13 (Extrait de l'oral, concours X, école polytechnique). Etudierla suite de fonctions

fk : x 7−→kx2e−kx

(1− e−x)2.

Réponse :1) (fk) converge simplement vers 0 (sur ]0,+∞[).2) La convergence n'est pas uniforme sur ]0,+∞[. La convergence est uni-

forme sur [a,+∞[, a > 0.

Exercice 2.14 On pose

fk (z) =z2

k

z2k+1 − 1, k ≥ 0, z ∈ C.

a) Montrer que la série∞∑k=0

fk (z) est absolument convergente pour |z| < 1

et pour |z| > 1.b) Montrer que pour tout nombre réel r > 1, la série

∑fk (z) est unifor-

mément convergente pour |z| ≥ r et pour |z| ≤ 1r.

c) Calculer

Sn (z) =1

1− z+

n∑k=0

z2k

z2k+1 − 1,


par récurrence sur n.

d) En déduire la somme∞∑k=0

fk (z), pour |z| < 1 et pour |z| > 1.

Exercice 2.15 a) Montrer que la série de terme général

fk(x) = sin(akx), 0 < a < 1,

est simplement et uniformément convergente sur tout intervalle I = [−α, α] ⊂R, α ∈ R.

b) On pose

S(x) =∞∑k=1

sin(akx).

(i) Montrer que S est continue sur I.(i) Montrer que S est indé�niment dérivable sur I.

c) Trouver une relation entre S(x) et S(ax).d) Montrer que S (x) est développable en série entière et trouver les coe�-

cients bk de la série

S (x) =∞∑k=0

bkxk.

Exercice 2.16 (Extrait du concours CCP). Soit (ak) une suite réelle de carrésommable (c'est-à-dire telle que

∑a2k converge) telle que a0 6= 0.

1) Montrer que

f(x) =∞∑k=0

akk + x

,

est dé�nie et continue sur R∗+.2) Déterminer les limites suivantes : lim

x→0+f(x) et lim

x→+∞f(x).

Réponse :2) limx→+∞ f(x) = 0, limx→0+ f(x) = +∞ si a0 > 0 et −∞ si a0 < 0.

Exercice 2.17 On considère la fonction f dé�nie par

f(x) =∞∑k=1

2−k sin(24kπx).

a) Montrer que f est continue sur R.b) Montrer que f n'est dérivable en aucun point de R.


Exercice 2.18 (Extrait du concours Centrale). Montrer les égalités suivantesen justi�ant l'existence des intégrales et des séries écrites :

a)

∫ ∞0

x2

ex − 1dx = 2

∞∑k=1

1

k3, b)

∫ ∞0

sin bx

eax − 1dx = 2

∞∑k=1

b

b2 + k2a2, (a > 0).

Exercice 2.19 (Extrait du concours communs, MP). On considère la fonc-tion ζ, somme de la série de fonctions∑

k≥1

1

ks.

1) Montrer que la fonction ζ a pour domaine de dé�nition I =]1,+∞[.2) Montrer la convergence uniforme de la série de fonctions

∑k≥1

1

ksvers ζ

sur [a,+∞[, pour tout a > 1.3) Cette série de fonctions converge-t-elle uniformément sur I ?4) Montrer que ζ est continue sur I.5) Déterminer avec soin ses limites aux bornes de I.6) Par comparaison avec une intégrale montrer l'équivalent

ζ(s) ∼ 1s− 1

,

au voisinage de 1.7) Montrer que ζ est de classe C1 sur I et donner une expression de sa

dérivée.8) Montrer que ζ est de classe C∞ sur I et donner une expression de ses

dérivées successives.9) Montrer l'équivalent

ζ(s)− 1 ∼ 2−s,au voisinage de +∞ et en déduire la convergence de la série∑

k≥2

(ζ(s)− 1).

10) En introduisant une suite double sommable bien choisie, calculer lasomme de la série précédente.

Réponse :3) Non.5) lims→+∞ = 1, lims→1 = +∞.7) ζ ′(s) =

∑∞k=1−

ln kks, ∀s ∈ I.

8) ζ(p)(s) =∑∞

k=1(−1)plnp kks

, ∀p ∈ N, ∀s ∈ I.10) On introduit la suite double sommable ( 1

kn)k,n≥2 et on obtient la somme∑

k≥2(ζ(s)− 1) = 1.


3 Séries entières

3.1 Généralités

Une série entière réelle est une série de fonctions de la forme

∞∑k=0

ak(x− x0)k,

où (ak) est une suite de nombres réelles, x0 est un nombre réel �xé et x ∈ R.On dé�nit de la même manière une série entière complexe

∞∑k=0

ak(z − z0)k,

où (ak) est une suite de nombres complexes, z, z0 ∈ C.Un lemme d'Abel a�rme que si la suite (|ak|rk) est bornée, alors la série∑akz

k converge absolument pour tout z tel que : |z| < r. Le nombre r est laborne supérieure de ensembles

{r ∈ R+ :∞∑k=0

akrk converge}, {r ∈ R+ :

∞∑k=0

|ak|rk borné}.

Ce nombre s'appelle rayon de convergence.On dispose de plusieurs méthodes pour déterminer la nature d'une série

entière en tant qu'une série de fonctions. Une fois le domaine de convergenceest déterminé, on en déduira aisément le rayon r de convergence. Le rayon deconvergence d'une série entière peut donc être obtenu de plusieurs manièresmais il serait intéressant d'avoir des formules directes qui permettent de lecalculer. On disposes de certaines recettes pour calculer ou estimer le rayon deconvergence. Les résultats qui suivent sont des conséquences assez immédiatesdes critèes de la racine de Cauchy (qui nous fournira la formule très connuede Cauchy-Hadamard) et du quotient de d'Alembert. On utilisera aussi le faitqu'une série enttière, sa série dérivée ainsi que sa série primitive ont mêmerayon de convergence.

Proposition 84 Soit∑ak(z−z0)k une série entière. Alors il existe un nombre

r ≥ 0 �ni ou non tel que :a) si |z − z0| < r, la série

∑ak(z − z0)k converge absolument.

b) si |z − z0| > r, la série∑ak(z − z0)k diverge.

De plus, on a

r =1

limk→∞

sup k√|ak|

, (formule de Cauchy-Hadamard)


Hadamard

Exemple 85 Le rayon de convergence de la série entière

∞∑k=0

e−√kzk,

est égal à 1.

Remarque 86 Si r =∞, alors∑ak(z − z0)k converge absolument pour tout

z ∈ C. Si r = 0, alors∑ak(z − z0)k converge absolument pour tout z = z0 et

diverge pour tout z 6= z0. Pour |z − z0| = r, on ne peut rien a�rmer à priori(voir section suivante pour l'étude du comportement sur le bord du disque deconvergence).

Dé�nition 87 On appelle disque de convergence de centre z0 et de rayon r(voir proposition précédente) de la série

∑ak(z − z0)k, l'ensemble

D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r}.

Le nombre r s'appelle rayon de convergence de la série. Le bord du disque deconvergence est le cercle

∂D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| = r}.

Dans le cas d'une série entière réelle∑ak(x − x0)k, au lieu de disque de

convergence, on dit intervalle de convergence : ]x0 − r, x0 + r[.

Proposition 88 Soit∑ak(z−z0)k une série entière telle que ak 6= 0, k ∈ N∗.

Si la limite

limk→∞

∣∣∣∣ akak+1∣∣∣∣ ,

existe, alors elle est égale au rayon de convergence r.



∞∑k=1

(−1)k−1(2k − 1)z2k−1,

est égal à 1.

Dé�nition 90 On appelle série entière dérivée de∞∑k=0

ak(z − z0)k, la série

∞∑k=1

ak(z − z0)k−1.

Proposition 91 Une série entière et sa série dérivée ont même rayon deconvergence.


∞∑k=1

(−1)k−1

2k − 1x2k−1,

est égal à 1.

Proposition 93 Soient∑akz

k et∑bkz

k deux séries entières ayant respec-tivement r1 et r2 pour rayon de convergence. Soient r le rayon de convergencede la série somme

∑(ak + bk)z

k et r′ celui de la série produit∑ckz

k où

ck =∑i=0

kaibk−i.

a) Si r1 6= r2, alors r = inf(r1, r2) et si r1 = r2, alors r ≥ r1. En outre, ona ∑

(ak + bk)zk =

∑akz

k +∑

bkzk,

pour |z| < inf(r1, r2).b) On a r′ ≥ inf(r1, r2) et∑

ckzk =

(∑akz

k)(∑

bkzk),

pour |z| < inf(r1, r2).


3.2 Comportement sur le bord du disque de convergence

Proposition 94 Soit∑akz

k une série entière de rayon de convergence r. Si

limk→∞|ak|rk 6= 0,

alors∑akz

k diverge en tout point du bord du disque de convergence.


k une série entière de rayon de convergence r. Sicette série converge absolument en un point du bord du disque de convergence,alors elle converge absolument en tout point du bord du disque de convergence.


k une série entière de rayon de convergence r.Supposons que :

ak ∈ R, ak > ak+1, limk→∞

ak = 0.

Si r = 1, alors la série∑akz

k converge en tout point du bord du disque deconvergence sauf peut-être au point z = 1.

Exemple 97 La série entière∞∑k=1

zk

k2,

a un rayon de convergence égal à 1 et elle converge absolument sur le domaine

D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}.


∞∑k=1

k2

2kzk,

est égal à 2 et cette série converge absolument sur le domaine

D = {z ∈ C : |z| < 2}.

Exemple 99 Soit x ∈ R. La série entière réelle∞∑k=1

xk

k,

a un rayon de convergence égal à 1 et elle converge sur l'intervalle

D = [−1, 1[.


Exemple 100 Soit z ∈ R. La série entière complexe∞∑k=1

zk

k,

a un rayon de convergence égal à 1 et elle converge absolument sur le domaine

D = {z ∈ C : |z| < 1},

et converge en tout point du bord

∂D = {z ∈ C : |z| = 1},

sauf au point z = 1.

3.3 Convergence normale et uniforme

Théorème 101 Une série entière∑ak(z − z0)k de rayon de convergence r,

converge normalement dans le disque fermé

D(z0, %) = {z ∈ C : |z − z0| ≤ %},

où % est tel que : 0 < % < r.

Cas particulier important : Une série entière converge normalement danstout compact contenu dans le disque (ou intervalle) ouvert de convergence.

Théorème 102 (Abel). Soit∑akx

k, une série entière de rayon de conver-gence r. Si cette série converge pour x = r (resp. x = −r), alors elle convergeuniformément sur [0, r] (resp. [−r, 0]) et on a

limx→r−

∞∑k=0

akxk =

∞∑k=0

akrk,

(resp. limx→−r+

∞∑k=0

akxk =

∞∑k=0

ak(−r)k).

3.4 Continuité, dérivation et intégration d'une série en-

tière

Théorème 103 (Continuité). La somme d'une série entière

f(z) =∞∑k=0

ak(z − z0)k,

est une fonction continue dans le disque de convergence D(z0, r).


Théorème 104 (Intégration). Soit∑akx

k, une série entière de rayon deconvergence r 6= 0. On peut intégrer terme à terme cette série dans ]− r, r[,∫ x0

0

(∞∑k=0

akxk

)dx =

∞∑k=0

(∫ x00

akxkdx

)=∞∑k=0

akxk+10k + 1

, x0 ∈]− r, r[

Théorème 105 (Dérivation). La somme d'une série entière

f(x) =∞∑k=0

ak(x− x0)k,

est une fonction de classe C∞ sur son intervalle de convergence et on a

f (p)(x) =∞∑k=p

k(k − 1)...(k − p+ 1)ak(x− x0)k−p.

3.5 Développement d'une fonction en série entière. Cal-

cul de la somme d'une série entère

En posant x = x0 dans le théorème précédent, on obtient

f (p)(x0) = p!ap,

d'où

f(x) =∞∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k.

Cette dernière expression s'appelle développement en série entière de f autourde x0. Ce développement est unique. On dit aussi développement en série deTaylor si x0 6= 0 et de Mac-Laurin si x0 = 0.

Taylor


Mac-Laurin

Une condition nécessaire pour qu'une fonction

f : I =]x0 − r, x0 + r[−→ R,

soit développable en série entière est

f ∈ C∞ dans I, ak =f (k)(x0)

k!.

La réciproque n'est pas vraie en général ; une fonction f possédant des dérivéesde tout ordre en x0, n'est pas nécessairement égale à la série entière

∞∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k,

correspondante. Par exemple, la fonction f dé�nie sur R par

f(x) =

{e−

1x2 si x 6= 00 si x = 0

est de classe C∞ mais n'est pas développable en série entière au voisinage de0.

Dé�nition 106 Une fonction égale à sa série entière au voisinage de x0 estdite analytique en x0.

Théorème 107 (Condition nécessaire et su�sante). Soit f une fonction declasse C∞ dans I =]x0 − r, x0 + r[. Pour que l'on ait

f(x) =∞∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k,

dans I, il faut et il su�t que

limn→∞

Rn(x) = 0, ∀x ∈ I

où Rn(x) est le reste dans la formule de Taylor

f(x) =∞∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k +Rn(x).


Théorème 108 (Condition su�sante). Si f est une fonction de classe C∞dans I =]x0 − r, x0 + r[ et s'il existe une M > 0 tels que :

∀x ∈ I, ∀k ∈ N,∣∣f (k)(x)∣∣ ≤M,

alors

f(x) =∞∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k, ∀x ∈ I

Exemples de développement de fonctions en série entière :

sinx =∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!, r =∞

cosx =∞∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!, r =∞

expx =∞∑k=0

xk

k!, r =∞

coshx =∞∑k=0

x2k

(2k)!, r =∞

sinhx =∞∑k=0

x2k+1

(2k + 1)!, r =∞

1

(1− x)2=∞∑k=1

kxk−1, r = 1, x ∈]− 1, 1[

ln(1− x) = −∞∑k=0

xk+1

k + 1, r = 1

(1 + x)α =∞∑k=0

α(α− 1)...(α− k + 1)k!

xk, r = 1, x ∈]− 1, 1[, α ∈ R\N

Pour déterminer la somme d'une série entière, plusieurs méthodes sontpossibles. On peut par exemple utiliser le théorème de dérivation ainsi quecelui d'intégration. On peut aussi utiliser une équation di�érentielle ou encoredécomposer le terme général de la série en élments simples et calculer la sommedes séries correspondantes, etc.



∞∑k=0

(k + 1)xk,

est égal à 1, elle converge sur l'intervalle ]− 1, 1[ et sa somme est∞∑k=0

(k + 1)xk =1

(1− x)2.


f(x) =∞∑k=0

(k2 + 3k − 1

k + 3

)xk

k!,

est égal à l'in�ni et elle converge sur R. On a f(0) = −13et pour x 6= 0, on a

f(x) = xex − 1x3(ex(x2 − 2x+ 2)− 2

).


∞∑k=0

sin kθ

k!xk, θ ∈ R

est égal à l'in�ni, elle converge donc sur R et sa somme est égale à∞∑k=0

sin kθ

k!xk = ex cos θ sin(x sin θ).

3.6 Résolution des équations di�érentielles à l'aide des

séries entières

Problème 1 : Considérons l'équation di�érentielle

y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0,

où P1 et P2 sont des fonctions analytiques sur ]x0 − r, x0 + r[. On montre quedans ce cas toute solution de l'équation ci-dessus est analytique sur ce mêmeintervalle.

Exemple 112 On considère l'équation di�érentielle

xy′′ + (1− x)y′ − y = 0,


où y est une fonction de la variable réelle x. Supposons qu'il existe une sérieentière, de rayon de convergence r > 0,

y =∞∑k=0

akxk,

qui soit solution de cette équation et telle que : y(0) = 1. On montre que

ak+1 =ak

k + 1, r = +∞,

et

y =∞∑k=0

xk

k!= ex.

Exemple 113 Etudier l'équation de Legendre :

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0,

où n est un nombre réel.

Legendre

Problème 2 : Considérons l'équation di�érentielle

(x− x0)2y′′ + (x− x0])P1(x)y′ + P2(x)y = 0,

où P1 et P2 sont des fonctions analytiques sur ]x0 − r, x0 + r[. On cherche àsatisfaire l'équation ci-dessus par une relation dy type

y(x) = xα∞∑k=0

ak(x− x0)k,

et il s'agira de déterminer α ainsi que les coe�cients ak.

Exemple 114 Etudier l'équation de Bessel :

x2y′′ + xy′ + (x2 − λ2)y = 0, λ ∈ R


Bessel

3.7 Exercices

Exercice 3.1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières sui-vantes :

a)∞∑k=1

cosh k

sinh2 kx2k.

b)∞∑k=1

k!zk!.

Réponse :a)√e.

b) 1.

Exercice 3.2 a) Soit r le rayon de convergence de la série entière∑akz

k.Quel est celui de la série

∑akk

pzk ? où p désigne un entier naturel.b) Soit P (z) un polynôme distinct du polynôme nul. Déterminer le rayon

de convergence de la série entière∑P (k)zk.

Réponse :a) r.b) 1.

Exercice 3.3 (Extrait du concours Centrale). Même question pour la sérieentière

∑akx

k où (ak) est une suite de réels dé�nie par a0 > 0 et ∀k ∈ N :ak+1 = ln(1 + ak).

Réponse : 1.


Exercice 3.4 Etudier la convergence des trois séries de fonctions suivantes :a) 2− 3z + z2 + 2z3 − 3z4 + z5 + 2z6 − 3z7 + z8 + · · ·b) (2− 3z + z2) + (2z3 − 3z4 + z5) + (2z6 − 3z7 + z8) + · · ·c) 2 + (−3z + z2 + 2z3) + (−3z4 + z5 + 2z6) + · · ·

Réponse :a) La série en question converge si |z| < 1.b) La série proposée converge si |z| < 1, z = 1 et z = 2.c) La série en question converge si |z| < 1, z = 1 et z = −3

2.

Exercice 3.5 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère lasérie entière

∞∑k=1

(−1)k−1

2k − 1x2k−1, x ∈ R. (3.1)

a) Déterminer le rayon de convergence r de la série (3.1). Trouver les va-leurs de x pour lesquelles la série (3.1) converge et la série dérivée ne convergepas.

b) Soit x0 ∈] − r, r[. Montrer que la série dérivée converge uniformémentsur [0, x0]. Calculer la somme de la série (3.1) pour x ∈]− r, r[.

c) Montrer que la série (3.1) converge uniformément sur [0, 1] et déterminersa somme pour x = 1.

Réponse :a) r = 1, les valeurs cherchées sont x = ±1.b) ∀x ∈]− 1, 1[,

∑∞k=1

(−1)k−12k−1 x

2k−1 = arctanx.c) π

4.

Exercice 3.6 Soit f(z) =∞∑k=0

akzk, la somme d'une série entière supposée

convergente sur le disque ouvert D1 = {z ∈ C : |z| < 1}. De plus, on supposeque les conditions suivantes sont satisfaites

a1 6= 0,∞∑k=2

k|ak| ≤ |a1|.

Montrer que f est injective sur D1 et que la série considérée converge sur ledisque fermé D2 = {z ∈ C : |z| ≤ 1}.

Exercice 3.7 Déterminer somme des séries entières réelles suivantes :

a)∞∑k=0

xk

(k + 3)k!.


b)∞∑k=0

k2 + 3k − 1(k + 3)k!

xk.

c) (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida) :∞∑k=0

cos kθ

k!xk, θ ∈ R.

Réponse :

a)∑∞

k=0xk

(k+3)k!= e

x(x2−2x+2)−2x3

si x 6= 0 et vaut 13si x = 0.

b)∑∞

k=0k2+3k−1(k+3)k!

xk = xex − ex(x2−2x+2)−2

x3si x 6= 0 et vaut −1

3si x = 0.

c)∑∞

k=0cos kθk!

xk = ex cos θ cos(x sin θ).

Exercice 3.8 Soit f dé�nie sur R par

f(x) =

{e−

1x2 si x 6= 00 si x = 0

Montrer que la fonction f n'est pas développable en série entière au voisinagede 0.

Exercice 3.9 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère lasérie entière

f(x) =∞∑k=0

(−1)k

(3k)!x3k.

a) Quel est le rayon de convergence de cette série ? Montrer que f véri�eune équation di�érentielle linéaire du troisième ordre à coe�cients constantset sans second membre.

b) Montrer que l'on peut déterminer trois constantes C1, C2, C3 de sorteque l'on ait dans l'intervalle de convergence :

f(x) = C1ew1x + C2e

w2x + C3ew3x,

où w1, w2 et w3 sont les trois racines cubiques de −1. En déduire l'expressionde f(x).

c) En déduire la somme de la série

∞∑k=0

(−1)k

(3k)!.

Réponse :a) r = +∞, f ′′′(x) + f(x) = 0.b) C1 = C2 = C3 =

13, f(x) = 1

3(e−x + 2e

x2 cos

√3

2x).

c)∑∞

k=0(−1)k(3k)!

= 13(e−1 + 2e

12 cos

√3

2).


Exercice 3.10 Développer en séries entières au voisinage de 0, les fonctionssuivantes :

a) x 7−→ ln(x3 − x2 − x+ 1).b) x 7−→ (1 + x)α, α ∈ R\N.

Réponse :

a) ln(x3 − x2 − x+ 1) =∑∞

k=1

((−1)k−1−2

k

)xk, x ∈]− 1, 1[.

b) (1 + x)α =∑∞

k=0α(α−1)···(α−k+1)

k!xk, x ∈]− 1, 1[, α ∈ R\N.

Exercice 3.11 On considère l'équation di�érentielle

xy′′ + (n− x)y′ − y = 0, n ∈ N

où y est une fonction de la variable réelle x. Supposons qu'il existe une série

entière, de rayon de convergence r > 0, fn(x) =∞∑k=0

akxk, qui soit solution de

cette équation et telle que : fn(0) = 1.a) Déterminer les coe�cients de cette série. Quel est son rayon de conver-

gence ?b) Donner la valeur de f1(x), f2(x) et établir une relation simple entre

fn(x) et fn+1(x).c) En déduire la valeur de fn(x) pour tout n ∈ N∗.

Réponse :a) ak =

1n(n+1)···(n+k−1) , r = +∞.

b) f1(x) = ex, f2(x) =

ex−1x

, fn+1(x) =nx(fn(x)− 1).

c) fn(x) =(n−1)!xn−1

(ex − 1− x− x2

2− x3

3!− · · · − xn−2

(n−2)!

), ∀n ∈ N∗.

Exercice 3.12 Soit f(x) =∞∑k=0

akxk, une série entière de rayon de conver-

gence r.

a) Montrer que si∞∑k=0

akrk converge, alors

∞∑k=0

akxk converge uniformément

sur [0, r] et

limx→r−

f (x) =∞∑k=0

akrk.

Réciproque ? Justi�er votre réponse.

b) On pose r = 1 et Sn =n∑k=0

ak. On suppose que limx→1−

f (x) = L existe et

que limk→∞

kak = 0. Montrer que :


(i) |Sn − f (x)| ≤ (1− x)n∑k=0

kak +∞∑

k=n+1

|ak| |x|k, ∀x ∈ ]−1, 1[.

(ii) limn→∞

λn = 0 où λn = sup {|kak| : k 〉 n+ 1}.

(iii)∞∑

k=n+1

|ak| |x|k ≤λn

n (1− |x|), ∀x ∈ ]−1, 1[.

(iv) limn→∞

1

n

n∑k=0

kak = 0.

c) En utilisant ce qui précéde, calculer

limn→∞

∣∣∣∣Sn − f (1− 1n)∣∣∣∣ .

En déduire que la série∞∑k=0

ak converge et que sa somme est L.

d) On suppose que ak ≥ 0, ∀k ∈ N∗, |f(x)| ≤ C, 0 ≤ x < 1. Montrer que

limx→1−

f (x) existe et est égale à∞∑k=0

ak.

Exercice 3.13 On considère la fonction dé�nie par

f(x) =arcsin

√x√

x(1− x),

a) Montrer que pour x ∈]0, 1[, f véri�e une équation di�érentielle linéairedu premier ordre à coe�cients variables et avec second membre.

b) On suppose qu'il existe une série entière∑akx

k solution de cette équa-tion di�érentielle. Déterminer ak ainsi que le rayon de convergence de cettesérie.

c) En déduire le développement en série entière dans ]0, 1[ de f(x).

Réponse :a) 2x(1− x)f ′(x) + (1− 2x)f(x) = 1.b) ak =

(2kk!)2

(2k+1)!, k ∈ N, r = 1.

c) Le développement en série entière de f(x) dans ]0, 1[, n'est autre que la

solution de l'équation di�érentielle ci-dessus et il est égal à∑ (2kk!)2

(2k+1)!xk.

Exercice 3.14 Soit f :]− r, r[−→ R une fonction de classe C∞ telle que pourtout x ∈]− r, r[ et tout k ∈ N, f (k)(x) ≥ 0. Montrer que pour tout x ∈]− r, r[,on a

f(x) =∞∑k=0

f (k)(x0)

k!xk.


4 Séries de Fourier

4.1 Séries trigonométriques

Dé�nition 115 On appelle série trigonométrique, une série de la forme

a02

+∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx), x ∈ R (4.1)

où les ak et bk sont des nombres réels ou complexes.

Remarque 116 En fait une série trigonométrique s'écrit sous la forme∞∑k=0

(ak cos kx+ bk sin kx), x ∈ R

Mais comme sin 0 = 0, on peut sans restreindre la généralité, poser b0 = 0. Enoutre, nous avons désigné par a0

2le terme d'indice 0. Ceci provient du fait que

a0 est choisi de façon à se calculer par la même formule (voir plus loin) queles autres ak.

Proposition 117 Si les séries numériques∑ak et

∑bk convergent absolu-

ment, alors la série trigonométrique (4.1) converge normalement dans R. Enoutre, sa somme est une fonction continue sur R.

Exemple 118 Les séries∑

cos kxk2

et∑

sin kxk2

, convergent normalement sur R.

Proposition 119 Si (ak) et (bk) sont des suites réelles positives, décroissanteset tendant vers zéro, alors la série trigonométrique (4.1) converge simplementpour tout x 6= 2lπ, l ∈ Z et uniformément sur tout intervalle de la forme[α, 2π − α] pour tout l ∈ Z et α ∈]0, π[. En outre, sa somme est une fonctioncontinue sur ]2lπ, 2(l + 1)π[, l ∈ Z.

Exemple 120 Les séries∑

cos kxk

,∑

sin kxk

convergent pour tout x 6= 2lπ, l ∈Z et leur sommes sont des fonctions continues en tout point x 6= 2lπ, l ∈ Z.

Propriété 121 Si la série trigonométrique (4.1) converge vers f(x) sur [−π, π],alors f(x) est 2π-périodique, c-à-d., f(x+ 2π) = f(x), x ∈ R.

Propriété 122 Soit f une fonction dé�nie, intégrable sur [−π, π] et dévelop-pable en série trigonométrique

f(x) =a02

+∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx).

Si cette série est intégrable terme à terme, ce développement est unique (ceciest véri�é par exemple lorsque la série converge uniformément sur [−π, π]).


Série trigonométrique associée à une série entière : Soit

f(z) =∞∑k=0

akzk,

une série entière de rayon de convergence r > 0. Posons

z = ρeix = ρ(cosx+ i sinx), 0 < ρ < r, x ∈ R.

On a zk = ρk(cos kx+ i sin kx) et par conséquent

f(ρeix) =∞∑k=0

akρkeikx =

∞∑k=0

akρk(cos kx+ i sin kx).

Cette série converge normalement sur R en vertu du critère de Weierstrasspuisque |akρk(cos kx + i sin kx)| ≤ |ak|ρk et

∑|ak|ρk converge car d'après le

critère de la racine de Cauchy, on a

lim supk→∞

k√|ak|ρk = ρ lim sup

k→∞

k√|ak| =

ρ

r< 1.

Si la fonction f est à valeurs réelles, ak et bk sont nécessairement réels. On a

Re f(ρeikx) =∞∑k=0

akρk cos kx, Im f(ρeikx) =

∞∑k=0

akρk sin kx.

4.2 Séries de Fourier, Théorème de Dirichlet

Dé�nition 123 Soit f une fonction dé�nie et intégrable sur l'intervalle [−π, π].Les nombres ak et bk dé�nis par

ak =1

π

∫ π−πf(x) cos kxdx, k ≥ 0, (4.2)

bk =1

π

∫ π−πf(x) sin kxdx, k ≥ 1,

s'appellent coe�cients de Fourier de f et la série trigonométrique

a02

+∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx), (4.3)

est dite série de Fourier de f .


Fourier

Remarque 124 On écrit

f(x) ∼ a02

+∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx),

pour dire que la série (4.2) est la série de Fourier associée à la fonction f . Lefait que les intégrales (4.1) existent, n'impliquent pas que la série (4.2) convergeet, même si elle converge, sa somme n'est pas nécessairement égale à f(x).

Remarque 125 Au lieu de considérer l'intervalle [−π, π], on peut considérertout autre intervalle d'amplitude 2π, par exemple [0, 2π].

Propriété 126 Pour une fonction f , 2L-périodique, dé�nie et intégrable surun intervalle [−L,L] d'amplitude quelconque �nie, la série de Fourier associéeà la fonction f est donnée par

a02

+∞∑k=1

(ak cos

kπx

L+ bk sin

kπx

L

),

où

ak =1

L

∫ L−Lf(x) cos

kπx

Ldx, k ≥ 0 (4.4)

bk =1

L

∫ L−Lf(x) sin

kπx

Ldx, k ≥ 1

Remarque 127 Soit f une fonction 2L-périodique, dé�nie et intégrable surun intervalle [−L,L]. Au lieu de développer f(x) en série de Fourier sur[−L,L], on peut la développer, moyannant le changement de variable t = πx

L,

sur l'intervalle [−π, π].

Propriété 128 Pour une fonction f , 2L-périodique, dé�nie et intégrable surun intervalle [α, α + 2L] où α est une constante arbitraire, on a∫ L

−Lf(x)dx =

∫ α+2Lα

f(x)dx.


D'après la propriété précédente, on peut donc remplacer l'intervalle [−L,L]par [α, α + 2L] et les coe�cients de Fourier deviennent :

ak =1

L

∫ α+2Lα

f(x) coskπx

Ldx, k ≥ 0 (4.5)

bk =1

L

∫ α+2Lα

f(x) sinkπx

Ldx, k ≥ 1

Propriété 129 Si f est paire, alors

ak =2

π

∫ π0

f(x) cos kxdx, bk = 0,

et

f(x) ∼ a02

+∞∑k=1

ak cos kx. (série cosinus).

Si f est impaire, alors

ak = 0, bk =2

π

∫ π0

f(x) sin kxdx,

et

f(x) ∼∞∑k=1

bk sin kx. (série sinus).

Remarque 130 Soit f une fonction 2L-périodique, dé�nie sur l'intervalle[0, L]. On peut lui faire correspondre soit une fonction paire, soit une fonc-tion impaire, dé�nie sur [−L,L]. On procède comme suit : On prolonge f(x)sur [−L, 0] de telle façon qu'on ait pour x ∈ [−L, 0], f(x) = f(−x) ouf(x) = −f(−x). Dans le premier cas, la fonction f sera paire sur [−L,L],d'où ak = 2L

∫ L0f(x) cos kxdx et bk = 0. Dans le second cas, f sera impaire sur

[−L,L], d'où ak = 0 et bk = 2L∫ L

0f(x) sin kxdx.

Exemple 131 Considérons sur [−π, π], la fonction f(x) = x. Cette fonctionétant impaire, on a

ak = 0, bk =2

π

∫ π0

x sin kxdx = 2(−1)k+1

k.

Par conséquent, la série de Fourier associée à f est

f(x) ∼ 2∞∑k=1

(−1)k+1

ksin kx, x ∈ [−π, π].


Exemple 132 Considérons sur [−π, π], la fonction f(x) = x2. Cette fonctionétant paire, on a

bk = 0, a0 =2

π

∫ π0

x2dx =2π2

3

et

ak =2

π

∫ π0

x2 cos kxdx = 4(−1)k

k2.

D'où,

f(x) ∼ π2

3+ 4

∞∑k=1

(−1)k

k2cos kx, x ∈ [−π, π].

Proposition 133 En notation complexe, la série de Fourier d'une fonction2π-périodique f s'écrit sous la forme

∞∑k=−∞

ckeikx,

où

ck =1

2π

∫ π−πf(x)e−ikxdx, k ∈ Z.

Remarque 134 On déduit de ce qui précède que si f est 2L-périodique, sasérie de Fourier s'écrit en notation complexe sous la forme

∞∑k=−∞

ckei kπLx,

où

ck =1

2L

∫ L−Lf(x)e−i

kπLxdx, k ∈ Z.

Exemple 135 Soit f la fonction 2π-périodique, dé�nie dans l'intervalle ] −π, π[ par f(x) = ex, −π < x < π. La valeur de f pour x = π est quelconque.On a

c0 =1

2π

∫ π−πexdx =

eπ − e−π

π=

sinhπ

π,

et

ck =1

2π

∫ π−πexe−ikxdx =

sinhπ

π.(−1)k

1− ik.


Or c0 = a02 , ck =ak−ibk

2, c−k =

ak+ibk2

, d'où

a0 = 2c0 = 2sinhπ

π,

ak = ck + c−k = 2sinhπ

π.(−1)k

1 + k2,

bk = i(ck − c−k) = −2sinhπ

π.(−1)kk1 + k2

.

Par conséquent,

f(x) ∼ sinhππ

+ 2sinhπ

π

∞∑k=1

(−1)k

1 + k2(cos kx− k sin kx).

Plusieurs questions se posent : La série de Fourier associée à une fonction fest-elle convergente ? En cas de convergence, peut-on dire que que la somme decette série coïncide avec f et de quelle type est-la convergence ? Tout d'abord,on déduit de ce qui précéde que si la série de Fourier associée à une fonctioncontinue converge uniformément, alors elle converge vers cette fonction. Aprèsun rappel sur les fonctions réglées et une nouvelle notion de dérivée à droiteet à gauche adaptée à l'étude des séries de Fourier, on aborde le théorème deDirichlet donnant des conditions su�santes pour qu'une fonction soit représen-table par une série de Fourier. D'autres questions et réponses seront évoquéesplus loin.

Proposition 136 Si la série de Fourier associée à une fonction continue fconverge uniformément, alors elle converge vers f .

Soient f : [a, b] −→ R(ou C) et x ∈ [a, b]. Nous noterons f(x+0) et f(x−0)les limites à droite et à gauche de f en x, i.e.,

f(x+ 0) = limh→0h>0

f(x+ h), f(x− 0) = limh→0h>0

f(x− h).

Aux extrémités a et b, la limite n'est dé�nie que d'un côté.On dit que la fonction f possède une discontinuité de première espèce au

point x ∈ [a, b] si f n'est pas continue en x et si les limites f(x+ 0) et f(x−0)existent et sont distinctes.

Dé�nition 137 Une fonction f dé�nie sur un intervalle [a, b], est dite régléesi elle admet une limite à droite en tout point de [a, b[ et une limite à gaucheen tout point de ]a, b].


Les points de discontinuité des fonctions réglées sont toujours de premièreespèce. On montre aisément que toute fonction réglée est bornée et intégrableau sens de Riemann.

Exemples importants de fonctions réglées :

1) Toute fonction continue est réglée.2) Toute fonction continue par morceaux est réglée. Une fonction f est

dite continue par morceaux sur un intervalle [a, b], si ce dernier admet unesubdivision par un nombre �ni de points : a = α0 < α1 < · · · < αk = b, telleque dans chaque intervalle ]αi, αi+1[, 0 ≤ i ≤ k − 1, f soit continue et possèdeune limite �nie aux extrémités droite et gauche. (Certains auteurs appellentde telles fonctions, des fonctions réglées continues par morceaux).

3) Toute fonction en escalier est réglée. Une fonction f dé�nie sur un in-tervalle [a, b], est dite en escalier s'il existe une subdivision de [a, b] : a = α0 <α1 < · · · < αk = b, telle que f soit constante dans chacun des intervallesouverts ]αi, αi+1[, 0 ≤ i ≤ k − 1. Signalons qu'une fonction f est réglée si etseulement si f est limite d'une suite uniformément convergente de fonctionsen escalier.

4) Toute fonction numérique monotone est réglée.5) Toute fonction à variation bornée est réglée. Une fonction f est dite à

variation bornée sur [a, b], s'il existe une constante C ≥ 0 telle que pour toutesubdivision de [a, b] : a = α0 < α1 < · · · < αk = b, on ait

k−1∑i=0

|f(αi+1)− f(αi)| ≤ C.

On montre que toute fonction f , di�érence de deux fonctions bornées et nondécroissante, est à variation bornée. Signalons aussi que toute fonction mono-tone est à variation bornée. Toute fonction admettant une dérivée à droite età gauche en chaque point est à variation bornée. Mais une fonction continuen'est pas toujours à variation bornée.

Dé�nition 138 On appelle dérivée à droite de f au point x, la limite (si elleexiste) suivante :

limh→0h>0

f(x+ h)− f(x+ 0)h

.

De même, on appelle dérivée à gauche de f au point x, la limite (si elle existe)suivante :

limh→0h>0

f(x− 0)− f(x− h)h

.


Le résultat suivant (appelé lemme ou théorème de Riemann-Lebesgue),obtenu par Riemann a été généralisé par la suite par Lebesgue.

Lebesgue

Lemme 139 Si f est une fonction bornée et intégrable sur [a, b], alors

limλ→∞

∫ ba

f(x) cosλxdx = 0, limλ→∞

∫ ba

f(x) sinλxdx = 0.

Théorème 140 (Dirichlet). Soit f une fonction 2π-périodique sur R, régléeet dérivable à droite et à gauche sur R. Alors la série de Fourier de f convergesimplement en tout point x vers

f(x+ 0) + f(x− 0)2

(régularisée de f).

En particulier, si f est continue au point x, sa série de Fourier converge versla fonction f(x).

Remarque 141 Le théorème que l'on vient de prouver se généralise évidem-ment aux séries de Fourier de fonctions 2L-périodique, dé�nie et intégrable surun intervalle [−L,L] d'amplitude quelconque �nie.

Remarque 142 Soulignons que la convergence de la série de Fourier au pointx, ne dépend que du comportement de f(x) au voisinage de x. Par conséquent,si on modi�e la valeur de f en un seul point, sa série de Fourier n'est pasmodi�ée, puisque les coe�cients sont dé�nis par des intégrales.

Remarque 143 Si la fonction f est dé�nie seulement sur [−π, π], on peutla prolonger par périodicité en une fonction sur R, sauf aux points ±π (etgénéralement aux points π + 2kπ) lorsque f(π) 6= f(−π). Le théorème de


Dirichlet s'applique à la fonction ainsi prolongée. Dès lors, si f satisfait auxhypothèses du théorème de Dirichlet, la série de Fourier converge vers

f(x+ 0) + f(x− 0)2

,

en tout point intérieur au segment où les dérivées à droite et à gauche existent.Cependant, aux extrémités x = ±π (et généralement aux points π + 2kπ), lasérie converge vers

f(π − 0) + f(−π + 0)2

,

pourvu que f possède une dérivée à droite en x = −π et une dérivée à gaucheen x = π, car f(−π−0) = f(π−0) et f(π+ 0) = f(−π+ 0) (et généralement,f(π + 2kπ − 0) = f(π − 0), f(π + 2kπ + 0) = f(−π + 0)).

Exemple 144 Soit f la fonction 2π-périodique, dé�nie dans l'intervalle [−π, π]par f(x) = |x|. La fonction f est continue sur R et dérivable à droite et àgauche sur R. Comme elle est paire, on a donc bk = 0, ∀k ≥ 1 et

a0 =2

π

∫ π0

xdx = π,

ak =2

π

∫ π0

x cos kxdx =

{0 si k = 2p

− 4π(2p+1)2

si k = 2p+ 1

On obtient ainsi la série :

π

2− 4π

∞∑p=0

cos(2p+ 1)x

(2p+ 1)2, −π ≤ x ≤ π.

D'après le théorème de Dirichlet, cette série converge et sa somme est égale àf(x), ∀x ∈ R. En particulier, pour x = 0,

f(0) = 0 =π

2− 4π

∞∑p=0

1

(2p+ 1)2,

donc∞∑p=0

1

(2p+ 1)2=π2

8.

Notons en�n que∞∑k=1

1

k2=∞∑p=0

1

(2p+ 1)2+∞∑p=1

1

(2p)2=π2

8+

1

4

∞∑k=1

1

k2,

d'où la somme d'Euler∞∑k=1

1

k2=π2

6.


Exemple 145 Reprenons l'exemple de la fonction f , 2π-périodique, dé�niesur l'intervalle ]− π, π] par f(x) = ex, −π < x < π. La valeur de f en x = πest quelconque. Nous avons montré précédemment que

f(x) ∼ sinhππ

+ 2sinhπ

π

∞∑k=1

(−1)k


La fonction f est réglée et dérivable à droite et à gauche sur R. D'après lethéorème de Dirichlet, en tout point où f est continue, i.e., ∀x 6= (2l + 1)π,l ∈ Z, on a

ex =sinhπ

π+ 2

sinh π

π

∞∑k=1

(−1)k


Au point de discontinuité x = π, on a

f(π + 0) + f(π − 0)2

=e−π + eπ

2= coshπ.

Donc

cosh π =sinhπ

π+ 2

sinhπ

π

∞∑k=1

1

1 + k2.

Le théo

analyse 4 - lesfarilesfari.com/note de cours/sma3, analyse 4 (series numeriques, suite… · 4.5...

Documents